北京市清华附中高考数学二轮复习算法初步与框图专题训练测试卷及答案解析(理科)
2023-2024学年北京市清华大学附属中学高三上学期开学考试数学试卷含详解
2023-2024A ．1725-B ．42125-C ．35-10．已知函数()2sin (0)2x f x x x ωω-=+>+在[]0,2上恰有4值范围为（）A ．3π,2π2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3π,2π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．52π,π2⎛⎝二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.11．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则12．已知复数z 满足()1i 22z z +=+，则z 在复平面的对应点的坐标为13．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）2，高为32的正四棱柱构成，如图所示，则该14．已知函数()2,,x m x mf x x x m⎧+≤=⎨>⎩(1)求证：1C M //平面B (2)从下面两个选项中选择一个作为条作，求二面角①DE BC ⊥；②1C M =18．为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从取300名社区居民（分为比较了解（得分不低于6．C【分析】3223a b a b +=- 两边平方，结合0a b a b ⊥⇔⋅= ，故“a b ⊥”【详解】3223a b a b +=- 两边平方得，因为,a b 为平面上的单位向量，所以解得0a b ⋅=，由于,a b 为平面上的单位向量，所以故“a b ⊥”是“322a b a +=- 故选：C9．A【分析】求出AB、BD、要使函数()sin (0)g x x ωω=>与函数(h 由图知：()sin (0)g x x ωω=>的周期T【详解】如图，两个正四棱柱的重叠部分为多面体m=时，不符题意；当0m<时，若要满足题意需如图所示，当0综上m的取值范围是：0,2⋃故答案为：1；()18．(1)17 30；(2)答案见解析；(3)3 10【分析】（1）根据古典概型计算即可；（2）根据随机事件求分布列的步骤求解计算可得；（3）根据全概率及独立事件的概率乘法公式计算可得【详解】（1）设从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试其对垃圾分类比较了解为事件A,()1701730030P A==;（2）A小区比较了解的概率为：X可取0,1,2直线AP 的方程为0022y y x x -=+，联立0023y y x x y -⎧=⎪⎨⎪-⎩即点0000000124612,236236x x y M x y x y ⎛⎫+- ⎪-+-+⎝⎭，AQ 022y y x +=-+y ⎧=-⎪【点睛】关键点点睛；解决本题第（2）问的关键在于求出点M 、N 的坐标后，分析出线段AT 、MN 互相平分，进而结合平行四边形的几何性质求解.20．(1)1,1a b =-=-(2)证明见解析(3)1个【分析】（1）求导，利用()010f a '=+=且()010f b =+=即可求解，（2）求导，由导数即可得函数的单调性，（3）求导，根据到导函数的单调性，结合极值点的定义即可求解.【详解】（1）()2e 1ax f x a x x '=+-+，由题意可知0x =是()f x 在0x =处的切线方程，所以()010f a '=+=且()010f b =+=，故1,1a b =-=-（2）由（1）知1,1a b =-=-，所以()()2e 1x g xf x x x -'==-+-+，所以()e 21xg x x -'=+-，令()()()e 21,e 2x xh x g x x h x --''==+-=-+，当()()ln 2,0,x h x h x '>->单调递增，当()()ln 2,0,x h x h x '<-<单调递减，因此()()h x g x '=在()0,∞+单调递增，故()(0)0g x g ''>=，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增（3）由（2）知:当ln 2,()x g x '>-单调递增，当ln 2,()x g x '<-单调递减，所以当ln 2x =-时，()g x '取最小值，且(0)0g '=，()()22e 50,1e 30,g g ''-=->-=-<故存在()02,1x ∈--，使得()00,g x '=因此当0x >和0,()0,x x g x '<>当00,()0,x x g x '<<<因此()()f x g x '=在()0,+∞上单调递增，在()0,x -∞上单调递增，在()0,0x 时单调递减，由于()3333e 93113e 13 2.70f '-=-+++=-<-<，(0)0f '=，。
清华附中第二学期高三数学理科第二次统练试卷 新课标 人教版
清华附中第二学期高三数学理科第二次统练试卷 新课标 人教版本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1．15cot 15tan +的值是 ( )A ．2B ．32+C ．4D ．334 2．设数列{a n }是等比数列，2,51211==q a ，则a 4与a 10的等比中项为( ) A ．41 B ．81 C ．41± D ．81±3．过点(2，－2)且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．12422=-y x B ．12422=-x y C ．14222=-y x D ．14222=-x y4．若不等式：)40(342≤≤-+>+m m x mx x 恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．31≤≤-xB ．1-≤xC ．3≥xD ．31>-<x x 或5．若数列{a n }是等差数列，首项0,0,02042032042031<⋅>+<a a a a a ，使前n 项和S n <0的最大自然数n 是( ) A ．405B ．406C ．407D ．4086．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且∠A=2∠B ，则BB 3sin sin 等于( ) A ．cb B ．bc C ．ab D ．ca 7．过椭圆的一个焦点F (－c ，0)，倾斜角为43arccos 的直线，交椭圆于A 、B 两点，若|AF |:|BF|=1:3，那么椭圆的离心率e = ( ) A ．31B ．32C ．33D ．328．已知直线l ：m x y +-=21与曲线C ：|4|2112x y -+=仅有三个交点，则m 的取值范围是( )A ．)12,12(+-B ．)2,1(C ．)21,1(+D ．)21,2(+二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9．在复平面内，复数1ii+对应的点位于第 象限． 10．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是-80，则实数a 的值是 ．11．已知22,05302-+⎩⎨⎧≥+-≤-y x y x y x 则的最大值是 ．12．曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ． 13．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直． 其中真命题的个数是 ．14．)6,2(),817,1(N M ，点P 是曲线4422+-=x x y 上的动点，则|MP |+|NP |的最小值为 ．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题10分) 已知向量m = (1，1)，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m n ⋅= - 1． (1) 求向量；(2) 设向量))23(cos 2,(cos ),0,1(2xx -==π向量，其中320π<<x ，若0=⋅，试求||b n + 的取值范围．16．(本题满分10分) 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为53，且各次射击的结果互不影响．(1) 求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (2) 求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)； (3) 设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列． 17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．(I) 证明 ∥PA 平面EDB ； (II) 证明⊥PB 平面EFD ；(III) 求二面角D -PB -C 的大小．18．(本小题12分) 已知数列{a n }满足.81),2(12241=≥-+⋅=-a n a a n n n 且 (1) 求数列的前三项：a 1，a 2，a 3； (2) 是否存在一个实数λ，使得数列}2{nn a λ+为等差数列？ 若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由； (3) 求数列{a n }的前n 项和S n ． 附加题：(本小题14分)已知F 1、F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 是此椭圆的一动点，并且21PF PF ⋅ 的取值范围是].34,34[-(1) 求此椭圆的方程；(2) 点A 是椭圆的右顶点，直线y = x 与椭圆交于B 、C 两点(C 在第一象限内)，又P 、Q 是椭圆上两点，并且满足0||||21=⋅⎫⎛F F CQ CP ，求证：向量共线．[参考答案]1-5 C D D D A 6-8 A D D9、四 10、-2 11、 2 12 、43 13、3 14 83315、解：(1) 令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21),(22y x y x y x y x y x 或则π， )1,0()0,1(-=-=∴或 2分(2) )1,0(0),0,1(-=∴=⋅= 3分))32cos(,(cos )1)23(cos 2,(cos 2x x x x -=--=+ππ4分 2)234cos(122cos 1)32(cos cos ||222x x x x -+++=-+=+ππ 6分 )]23cos(2[cos 211)]234cos(2[cos 211x x x x --+=-++=ππ )32cos(211]2sin 232cos 212[cos 211π++=--+=x x x x 8分 35323320ππππ<+<⇒<<x x ， 45||2121)32cos(12<+≤⇒<+≤-∴x π 9分故25||22<+≤ 10分 16、 (1)63(注：第1、2次或第2、3次或三次均击中)；(2)162；(3)ξ 3 4 … k… P27125 162625…233123()()55k k C --…17、方法一：(1) 证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ． ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点， 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO，而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，所以，PA //平面EDB ． (2) 证明：∵PD⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ， ∴DC PD ⊥，∵PD=DC，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边 PC 的 中线，∴PC DE ⊥． ① 同样由PD⊥底面ABCD ，得PD⊥BC．∵底面ABCD 是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC ． 而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥． ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC ． 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB⊥平面EFD ．(3) 解：由(2)知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角． 由(2)知，DB PD EF DE ⊥⊥,．设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===，a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=，a PC DE 2221==．在PDB Rt ∆中，a aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=． 在EFD Rt ∆中，233622sin ===a a DF DE EFD ，∴3π=∠EFD ．所以，二面角C —PB —D 的大小为3π．方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC =． (1)证明：连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG ． 依题意得)2,2,0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A ． ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,2,2(aa， 且(,0,),(,0,)22a aPA a a EG =-=-．∴EG PA 2=，这表明PA//EG ．而⊂EG 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，∴PA//平面EDB ． (2)证明：依题意得)0,,(a a B ，),,(a a a PB -=．又(0,,)22a aDE =，故022022=-+=⋅a a ． ∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD ． (3)解：设点F 的坐标为),,(000z y x ，λ=，则),,(),,(000a a a a z y x -=-λ．从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===．所以00011(,,)(,(),())2222a a FE x y z a a a λλλ=---=---． 由条件PB EF ⊥知，0=⋅PB FE ，即0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得31=λ∴点F 的坐标为)32,3,3(a a a ，且(,,)366a a a FE =--，2(,,)333a a aFD =---∴03233222=+--=⋅a a a ， 即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角． ∵691892222a a a a =+-=⋅，且 a a a a 6636369||222=++=，aa a a FD 369499||222=++=，∴2136666cos 2=⋅==a a a EFD ． ∴3π=∠EFD ．所以，二面角C —PB —D 的大小为3π．(或用法向量求)18、解：(1) 由3381122)2(12234341=⇒=-+=⇒≥-+=-a a a a a n n n同理可得 a 2 = 13， a 1 = 5. 3分 (2) 假设存在的实数λ符合题意，则nn n n n n n a a a a 2222111λλλ--=+-+--- nn n 211212λλ+-=--=必是与n 无关的常数，则.1021-=⇒=+λλn7分 故存在实数λ= -1，使得数列}21{n λ+为等差数列.(3) 由(2) 知数列}21{n n a -是公差d = 1的等差数列12)1(11)1(21211+⋅+=⇒+=⨯-+-=-∴nn nn n a n n a a 9分 S n = n +2×2 + 3×22+ 4×23+…+(n +1)·2n +12S n = 2n +2×22 + 3×22 +…+n ·2n + (n +1)·2n +1⇒相减整理得： S n = n (2n +1+1) 12分附加．解：(1) 设)0,(),0,(),,(2100c F c F y x P -， 其中),(),()0,(,0000122y c x y x c PF b a c ---=--=-=则，).,(),()0,(00002y x c y x c PF --=-=从而.),(),(2202020220000021c y x y c x y x c y c x PF PF -+=+-=--⋅---=⋅ 2分 由于222122220202,c a PF PF c b a y x b -≤⋅≤-≤+≤所以，即.222122b PF PF a b ≤⋅≤- 3分又已知343421≤⋅≤-PF PF ， 4分 所以⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.34,4,34,34222222b a b a b 从而椭圆的方程是.143422=+y x (2) 因为PCQ CQ CP F F CQ CP ∠+=⋅+||||,0||||(21的平分线平行，所以∠PCQ 的平分线垂直于x 轴.由).1,1(,1,1,,143422C y x x y y x ∴⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+解得 不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为-k ，因此PC 和QC 的方程分别为)1(,1)1(--=+-=x k y x k y ，其中⎪⎩⎪⎨⎧=++-=≠.1434,1)1(,022y x x k y k 由消去y 并整理得(*).0163)1(6)31(222=--+--+k k x k k x k 9分 ∵C (1，1) 在椭圆上，∴x = 1是方程(*) 的一个根.从而222231163,31163kk k x k k k x Q P +-+=+--=同理， 10分 从而直线PQ 的斜率为.313112231)13(22)(222=+--+-=--+=--=kk k k k k x x k x x k x x y y k Q P Q P Q P Q P PQ11分又知A (2，0) ，B (－1，－1) ， 所以,312101AB PQ AB k k k =∴=----=12分与向量∴共线。
2022届北京市清华大学附属中学高三第二学期入学检测数学(理)试题Word版含答案
2022届北京市清华大学附属中学第二学期入学检测高三数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A【解析】因为2(1)1(1)(1)i z i i i -===-+-，所以应选答案A ． 2．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ）A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】B【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．4B ．3C ．2-D ．3-【答案】A【解析】执行程序框图，2i = ，第一次循环，2;s = 3i = ，第二次循环，1;s =-4i = ，第三次循环，3;s =5i = ，第四次循环，2;s =-6i = ，第五次循环，4;s =7i = 结束循环，输出4,s =故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b ”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可. 【详解】由（a ﹣b ）a 2＜0得到：0,0a a b ≠-<，则a ＜b 成立，即充分性成立，反之不成立，故为充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了不等式的关系，充分必要条件，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.5．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】由题意得1151()4216n n-=⇒= ,选A.6．自点A（﹣3，4）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的切线，则A到切点的距离为（）A．5B．3 C．10D．5【答案】D【解析】求出圆心和半径，求出AC的值，可得切线的长度.【详解】圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1表示以C(2,3)为圆心，1为半径的圆，由于26AC=且A,C,切点三个点构成以切点为直角顶点的直角三角形，故切线长为：2615-=故选：D【点睛】本题考查了圆的切线长求解，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（）A．103B．203C．25D．45【答案】B【解析】由三视图，可得该几何体为四棱锥，由体积公式即得解. 【详解】如图所示，该几何体为四棱锥，其中PA ⊥平面ABCD ，作BE CD ⊥，垂足为E 底面可以看成直角梯形ADEB 和直角三角形BEC 构成， 则：1121204(222)3223V +=⨯⨯⨯+⨯⨯= 故选：B 【点睛】本题考查了三视图及棱锥的体积，考查了学生空间想象，运算求解能力，属于基础题.8．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈的最小值为M ,若2M ≤, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈的最小值为0M =，满足2M ≤当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y xy x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈的最小值为M OB =，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-，由4221m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.【考点】简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.二、填空题9．在等差数列{}n a 中，若()246n n a a n n N *++=+∈,则该数列的通项公式n a =_____【答案】21n【解析】由已知条件可得数列的首项和公差，可得通项公式. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由246n n a a n ++=+ ①，可得24414n n a a n +++=+ ② ，可得②-①，48n n a a +-=，可得2d =， 把1n =代入①，可得12410a +=，可得13a =， 可得数列的通项公式32(1)21n a n n =+-=+，故答案为：21n . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解题的关键.10．102a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180，则a =_________． 【答案】2或2-【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得a 的值． 【详解】2a x ）10展开式中的通项公式为 T r+1=10r C •a r •552r x -， 令5﹣52r =0，求得r=2，可得它的常数项为a 2•210C =180，故a=±2，故答案为2或2- 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.11．若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是____． 【答案】π7π(,)1212(或π7π[,]1212)【解析】函数()()π2sin 2(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点(，则2sin ϕ=sin 2ϕ=，0,23ππϕϕ<<∴=，()2sin(2)3f x x π∴=+.0x π≤≤,022x π∴≤≤,72333x πππ≤+≤,有于sin y x =在3[,]22ππ为减函数，所以32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤.【点睛】根据函数图象过已知点，求出sin ϕ ，借助ϕ的范围求出ϕ的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据x 的范围研究x ωϕ+的范围，有时还要关注A 的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误.12．经过点(2,2)A -且与双曲线2212xy -=有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】22124x y -=【解析】由题意设所求双曲线的方程为22(0)2x y λλ-=≠，∵点()2,2-在双曲线上， ∴4422λ=-=-， ∴所求的双曲线方程为2222x y -=-，即22124y x -=．答案：22124y x -=13．已知非零向量a ，b 满足|b |＝1，b 与b a -的夹角为30°，则|a |的最小值是_____． 【答案】12． 【解析】构造满足题意的三角形，根据几何意义求出|a |的最小值. 【详解】根据题意：作,,30o CB a CA b b a BA A ==∴-=∠= 过C 作CD AB ⊥，垂直为D ，则CD 的长度即为|a |的最小值，1=sin 302o CD CA =，故|a |的最小值为12故答案为：12【点睛】本题考查了向量的线性运算的应用，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.14．在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙O ：x 2+y 2＝1来说，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O 的距离S P 的定义如下：若P 与O 重合，S P ＝r ；若P 不与O 重合，射线OP 与⊙O 的交点为A ，S P ＝AP 的长度（如图）． （1）直线2x +2y +1＝0在圆内部分的点到⊙O 的最长距离为_____； （2）若线段MN 上存在点T ，使得： ①点T 在⊙O 内；②∀点P ∈线段MN ，都有S T ≥S P 成立．则线段MN 的最大长度为_____．【答案】12-4 【解析】（1）作出对应的图象，由图象可知当直线与2x +2y +1＝0垂直时对应的交点P ，此时P 到⊙O 的距离最长，即得解；（2）分析可得S P ≤1，因此当线段MN 过原点时，当线段MN 过原点时，MN 的最大长度为4，即得解. 【详解】作出对应的图象如图：由图象可知当直线与2x +2y +1＝0垂直时对应的交点P ，|OP|取得最小值，此时P 到⊙O 的距离最长，此时OP 2212822===+，则AP ＝1﹣OP ＝12（2）∵点T 在⊙O 内，∴S T ≤1， ∵S T ≥S P 成立，∴S P ≤1，∀点P ∈线段MN ，若P 在圆内，都满足S P ≤1；若P 在圆外，P 必须在以原点为圆心，2为半径的圆的内部（含边界） ∴当线段MN 过原点时，MN 的最大长度为1+2+1＝4，【点睛】本题考查了直线和圆的新定义问题，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题15．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值． 【答案】（1）()sin()44f x x ππ=+；（2）45. 【解析】【详解】试题分析：本题主要考查三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、读图能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用函数图象先看出周期，再利用周期公式得到ω，再利用特殊点（1,1）解出ϕ的值，从而得到()f x 解析式；第二问，先利用1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，得到,,M N P 点坐标，从而利用两点间距离公式得到边MN 、MP 、PN 的长，利用余弦定理得到cos MNP ∠的值，最后利用平方关系得到sin MNP ∠，法二：还可以利用向量的数量积来计算. 试题解析：（1）由图可知，1A =， 最小正周期428,T =⨯= ∴2ππ8,.4T ωω===又∵π(1)sin()14f ϕ=+=，且ππ22ϕ-<< ∴ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+==∴()sin()44f x x ππ=+．（2） 解法一: ∵ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin(51)14f =+=-， ∴(1,0),(1,1),(5,1)M N P --，MN MP PN ===从而3cos5MNP ∠==-，∵()0,MNP π∠∈，∴4sin 5MNP ∠==. 【考点】三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系.16．某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题． （Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ，方差为S 12，如果表中n x =，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S 22，试判断S 12与S 22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．【答案】（Ⅰ）9395；（Ⅱ）1229；（Ⅲ）2212S S ＞； 【解析】（Ⅰ）此概率模型为古典概型，分别计算在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件和取到的是结案案件的方法数，即得解;（Ⅱ）此题仍为古典概型，分别计算对应的事件数，即得解;（Ⅲ）设4类案件的均值为x ，则34x x X x +==,代入运算，得解. 【详解】（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100＝9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000＝9300种，设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A ，则P （A ）9395=； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法，设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B ，则P （B ）1229=； （Ⅲ）2212S S ＞；设4类案件的均值为x ，则34x x X x +== 2214S =[22221234()()()()x x x x x x x x -+-+-+-] 14=[()2222123()()()x x x x x x x x -+-+-+-] 14=[222123()()()x x x x x x -+-+-] 13＜[222123()()()x x x x x x -+-+-]21S =． 【点睛】本题考查了统计与概率综合，考查了学生数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.17．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ；（Ⅲ）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）15 【解析】试题分析：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点，由FA FC =，知AC FO ⊥，由此能够证明AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以//,//AD BC DE BF ，平面//FBC 平面EAD ，由此能够证明//FC 平面EAD ；（Ⅲ）因为四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=，所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点，所以FO BD ⊥，故FO ⊥平面ABCD ，由,,OA OB OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=，则2BD =，所以()3,0,3CF =，()3,1,0CB =，求得平面BFC 的法向量为()1,3,1n =--，平面AFC 的法向量为()0,1,0v =，由此能求出二面角A FC B --的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．又 FA=FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD=O ，所以 AC ⊥平面BDEF ．（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD ∥BC ，DE ∥BF ，所以 平面FBC ∥平面EAD ．又FC ⊂平面FBC ，所以FC ∥平面EAD ．（Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（9分）设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以．所以，．设平面BFC的法向量为=（x，y，z），则有，取x=1，得．∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）．由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜，＞|==．所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．18．已知椭圆E：2xm+y2＝1（m＞13P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA0垂直于直线x＝4，垂足为A0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：直线A0B恒过定点．【答案】（Ⅰ）m＝4（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）利用221c b a a =-（Ⅱ）设AB方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简直线A0B的方程为点斜式形式，得到定点. 【详解】（Ⅰ）∵椭圆E：2xm+y2＝1（m＞1）的离心率为3，∴221311c ba a m=-=-=⇒m＝4，（Ⅱ）当直线AB与x轴不重合时，设其方程为x＝my+1．A（x1，y1），B（x2，y2），由22144x myx y=+⎧⎨+=⎩⇒（m2+4）y2+2my﹣3＝0．∴12224my ym-+=+，12234y ym-=+．因为A0（4，y1），2124A By ykx-=-，所以直线A0B的方程为：y﹣y1()21244y yxx-=--，⇒y21221212122122144444y y x y y x y yx y xx y y x y y⎛⎫⎛⎫----=-+⋅=+⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21122122144y y my y y yxx y y⎛⎫--+=+⎪--⎝⎭．∵()121232my y y y=+，∴()121221212154522y ymy y y yy y y y--+==---，∴直线A0B的方程为：y212542y yxx-⎛⎫=-⎪-⎝⎭，当直线AB 与x 轴重合时，直线A 0B 与x 轴重合，综上，直线A 0B 恒过定点（52，0） 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.19．设f （x ）＝xe x ﹣ax 2﹣2ax ．（Ⅰ）若y ＝f （x ）的图象在x ＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）存在极大值，且极大值小于0，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）a 1e =；（Ⅱ）（0，12e ）∪（12e ，1e）． 【解析】（Ⅰ）求f '（x ）得到切线斜率，结合直线过原点，即得解;（Ⅱ）分a ≤0，a ＞0两种情况分析导数极值，得到f （ln 2a ）是极大值，由极大值小于0，求a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）f '（x ）＝e x +xe x ﹣2ax ﹣2a ＝（x +1）（e x ﹣2a ），f '（﹣1）＝0，f （﹣1）1e=-+a ， 所以由题意得：011a e -+=-，∴a 1e =； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，当2a ≤0时，即a ≤0时，e x ﹣2a ≥0，∴x ＜﹣1，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，x ＞﹣1，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）有极小值，无极大值；当a ＞0，f '（x ）＝0，x ＝﹣1或x ＝ln 2a ，当ln 2a ＞﹣1时，即a 12e＞， ∴x ∈（﹣∞，﹣1）和 （ln 2a ，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当﹣1＜x ＜ln 2a 时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （﹣1）为极大值，且f （﹣1）1e =-+a ，由题意得：f （﹣1）＜0，∴112a e e ＜＜； 当ln 2a ＜﹣1时，即0＜a 12e＜， ∴x ∈（﹣∞，ln 2a ）和 （﹣1，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，x ∈（ln 2a ，﹣1），f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （ln 2a ）是极大值，且f （ln 2a ）＝2aln 2a ﹣aln 22a ﹣2aln 2a ＝﹣aln 22a ＜0恒成立； 当ln 2a ＝﹣1时，即a 12e=，f '（x ）＝（x +1）2≥0恒成立，f （x ）单调递增，无极值，舍去； 综上所述：符合条件的a 的取值范围：（0，12e ）∪（12e ，1e ）． 【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论的能力，属于较难题.20．如果无穷数列{a n }的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{a n }具有性质P ．（Ⅰ）若a n 12112n n k n n k +=-⎧=⎨-=⎩，，（k ∈N ），判断数列{a n }是否具有性质P ，并说明理由， （Ⅱ）若数列{a n }具有性质P ，求证：{a n }中一定存在三项a i ，a j ，a k （i ＜j ＜k ）构成公差为奇数的等差数列；（Ⅲ）若数列{a n }具有性质P ，则{a n }中是否一定存在四项a i ，a j ，a k ，a l ，（i ＜j ＜k ＜l ）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）数列{a n }具有性质P ．见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不一定存在，见解析【解析】（Ⅰ）分n 为奇数，n 为偶数讨论，研究a n 包含的数的情况，即得解;（Ⅱ）考虑12,,...,m a a a ，令12max{,,...,}m M a a a =，从1m a 开始寻找第一个大于M 的项，记为：j a ,分j a 为奇数，偶数讨论，分别构造,,t j k a a a ，,,s j k a a a 为公差为奇数的等差数列，即得证. （Ⅲ）构造反例：{}n a 为1，2，4，3，6，8，…,2k -1,4k -2,4k ,…,利用反证法，即得证,【详解】（Ⅰ）解：∵a n 12112n n k n n k +=-⎧=⎨-=⎩，，（k ∈N ），∴数列{a n }具有性质P ． 理由如下：当n 为奇数，n ∈N 时，a n ＝n +1包含所有的正偶数，当n 为偶数，n ∈N 时，a n ＝n ﹣1包含所有的正奇数，∴无穷数列{a n }的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，∴数列{a n }具有性质P ．（Ⅱ）证明：不妨设1,2,max{,}s t a a m s t ===考虑12,,...,m a a a ，令12max{,,...,}m M a a a =，从1m a 开始寻找第一个大于M 的项，记为：j a ，则12,,...,j a a a 中含有1，2，且j a 为前j 项中的最大项(3j a ≥)(i )若j a 为奇数，22j j a a ->，所以22j a -在j a 之后，记为22k j a a =-，则k j t >>，,,t j k a a a 为公差为奇数的等差数列;(ii ) 若j a 为偶数，令21k j a a =-，则k j s >>，,,s j k a a a 为公差为奇数的等差数列. 故结论成立.（Ⅲ）不一定存在例如{}n a 为1，2，4，3，6，8，…,2k -1,4k -2,4k ,…,即每三项构成一组，第k 组的通项公式为：2k -1,4k -2,4k ，假设存在4项构成公差为奇数的等差数列，则存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差， 由于{}n a 中，任意一项奇数j a 后面的偶数都大于等于2j a ，因此不可能存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差.故假设不成立.【点睛】本题是数列的创新题型，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于较难题.。
北京市海淀区清华附中2022~2023学年第二学期高三数学统练(2)参考答案
高20级统练二数学（高20级）2023.03第一部分（选择题 共40分）一、选择题 共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知集合{|10}A x x =+>，{2,1,1,2}B =−−，则A B = (A) {2} (B) {1,2} (C) {1,1,2}− (D) {2,1,1,2}−− (2) 已知复数(1i)(2i)z a =−+(R a ∈)在复平面对应的点在虚轴上，则a =(A)12 (B) 12− (C) 2 (D) 2− (3) 已知a ，b 为平面向量，若a =(1,)m ，b=(2,1)m −+，若a //b ，则实数m = (A) 13−(B)13(C) 1 (D) 2−(4) 已知抛物线22y px =的焦点为(2,0)，直线4x =与该抛物线交于,A B 两点，则||AB = (A) 4(B)(C) 8(D)(5) 若双曲线22221y x a b−=的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)(6) 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，119a =−，746a a −=，若对于任意的N*n ∈，总有n m S S ≥恒成立，则m =(A) 6(B) 7(C) 9(D) 10(7) 大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，1Pa=1N/m 2），大气压强p （Pa ）随海拔高度h （m ）的变化规律是0e khp p −=（0.000126k = m -1）， 0p 是海平面大气压强．已知在某高山12,A A 两处测得的大气压强分别为12,p p ，1212p p =，那么12,A A 两处的海拔高度的差约为（参考数据：ln 20.693≈）（A ）550m （B ）1818m （C ）5500m（D ）8732m(8) 已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n N ∈，0n S >”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件(9) 已知正方形ABCD 的边长为2，若将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成三棱锥A BCD −，则在折叠过程中，不可能出现(A) AB CD ⊥(B) AC BD ⊥(C) 三棱锥A BCD −(D) 平面ABD ⊥平面BCD(10) 函数()f x x =，2()3g x x x =−+，若存在129,,,[0,]2n x x x ∈，使得121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x −−++++=++++，则n 的最大值为 (A) 5(B) 6 (C) 7 (D) 8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5道小题，每小题5分，共25分。
算法初步流程图基本算法语句二轮复习专题练习(一)附答案人教版高中数学高考真题汇编
7．如图给出的算法流程图中，
输出的结果s=（）
A．19
B．25
C．23
D．21(汇编电白四中高三级2月测试卷)
答案D
8．（汇编福建文）
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
9．下图是某算法的流程图，其输出值 是.
10．如下图，给出一个算法的伪代码，
14．易得①符合题意；对于②：因为，所以，进而，符合题意；同理可得③符合题意；
解析：易得 符合题意；对于 ：因为 ，所以 ，进而
，符合题意；同理可得 符合题意；
15．34
16．5；
17．
18．
19．
20．45
评卷人
得分
三、解答题
21．解：（1）① ，②0.40，③ ，④ ．
（2）
即在参加的 名学生中大概有192名同学获奖．
Read x
If
则 ▲.
11．（汇编年高考浙江卷（文））某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于_________.
12．（汇编年高考湖北卷（理））阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 ___________.
13．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于90分的同学能获奖，请估计在参加的 名学生中大概有多少同学获奖？
（3）在上述统计数据的分析中有一项计算 见算法流程图，求输出 的值．(注: , 分别是第 组分数的组中值和频率)．
22．图所示是一个算法的流程图，其输出的结果为_____________
高中数学专题复习
清华大学附属中学高三期末考试理科数学试题及答案
1清华大学附属中学高三期末考试理科数学试题及答案数学（理科）试卷说明：本试卷分第І卷（选择题）和第П卷（非选择题）两部分。
满分160分。
考试时间120分钟。
第І卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1、已知甲、乙两个样本（样本容量一样大），若甲样本的方差是0.4，乙样本的方差是0.2, 那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是 （ ） A ．甲样本的波动比乙大 B ．乙样本的波动比甲大 C ．甲、乙的波动一样大 D ．无法比较2、 “3x >”是“24x >”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知向量()()8,3,,2,6,5m a n b ==，若//m n ，则a b +的值为 （ ） A ．0B ．52C ．8D ．2124、复数z 满足方程224z i z i ++-=，z 对应点的轨迹是 （ ）A ．一条直线B ．椭圆C ．一个圆D ．线段5、已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14,3,5,90AB AD AA BAD ===∠=，1160BAA DAA ∠=∠=，则1AC 等于（ ）AB ．85C． D ．506、已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为 （ ） A ．37- B ． 29- C ． 5- D ． 11- 7、已知椭圆22ax +y 2=1（a>1）的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60°，则 |PF 1|·|PF 2|的值为 （ ） A ．1B ．31 C ．34 D ．32 8、函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a 的值为 （ ） A ．43a a ==-或 B ．4a = C ．43a a =-=或 D ．3a =-9、已知点F 1、F 2分别是双曲线2222by a x -=1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 （A ．（1，+∞）B ．（1，3C ．（2－1，1+2）D ．（1，1+2）10、过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x轴上方，则|FA|的取值范围是（ ）A ．]221,41(+B ．)1,41[C ．]1,41(D ．),21(+∞ 第П卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市清华大学附属中学数学几何图形初步单元测试卷(含答案解析)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．【答案】（1）解：∵∴∵∴∴（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即（3）解：过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即故的关系仍成立（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H∴∠DEC=∠EGH∵∴∴∠HGF+∠BFG=180°∵∠HGF=∠EGF-∠EGH∴∠HGF=∠EGF-∠DEC∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到，因为，所以，得到，即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．2．如图，点C在∠AOB的边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C.（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；（2）试说明CG平分∠OCD；（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF？并说明理由．【答案】（1）解：∵DE//OB ，∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等）∵∠O =40°，∴∠ACE =40°，∵∠ACD+∠ACE= (平角定义)∴∠ACD=又∵CF平分∠ACD ，∴ (角平分线定义)∴∠ECF=（2）证明：∵CG⊥CF，∴ .∴又∵）∴∵∴ (等角的余角相等）即CG平分∠OCD（3）解：结论：当∠O=60°时，CD平分∠OCF ．当∠O=60°时∵DE//OB，∴∠DCO=∠O=60°.∴∠ACD=120°.又∵CF平分∠ACD∴∠DCF=60°，∴即CD平分∠OCF【解析】【分析】（1）根据平行线“两直线平行，同位角相等”，求得∠ACE＝40°，根据平角的定义以及CF平分∠ACD ，可得到∠ACF＝70°，然后求出∠ECF的度数；（2）根据∠DCG＋∠DCF＝90°，∠GCO＋∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，可得到∠GCO ＝∠GCD，即可证明CG平分∠OCD；（3）根据两直线平行，内错角相等得出∠DCO＝∠O＝60°，根据角平分线可得到∠DCF＝60°，以此可得∠DCO＝∠DCF，即CD平分∠OCF．3．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方.（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图，使一边在的内部，且恰好平分，问：此时直线是否平分？请直接写出结论：直线 ________（平分或不平分） .（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为________.（直接写出结果）（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转，请探究：当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明.【答案】（1）平分（2）或49（3）解：不变，设，，，【解析】【解答】（1）直线平分；（2）或【分析】（1）根据图形得到直线ON平分∠AOC ；（2）由三角板绕点 O 以每秒 5 °的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求出t的值；（3）根据题意得到∠AON=50°−y，∠AOM−∠NOC=x−y=40°.4．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为________度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．【答案】（1）90（2）解：如图3，∠AOM﹣∠NOC=30°．设∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得∠BOC=2α．∵∠AOC+∠BOC=180°，∴α+2α=180°．解得α=60°．即∠AOC=60°．∴∠AON+∠NOC=60°．①∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠AON=90°．②由②﹣①，得∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）（ⅰ）如图4，当直角边ON在∠AOC外部时，由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．因此三角板绕点O逆时针旋转60°．此时三角板的运动时间为：t=60°÷15°=4（秒）．（ⅱ）如图5，当直角边ON在∠AOC内部时，由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．因此三角板绕点O逆时针旋转240°．此时三角板的运动时间为：t=240°÷15°=16（秒）．【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质知，旋转角∠MON=90°．故答案是：90；【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角是∠MON；（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性质、图中角与角间的数量关系推知∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）需要分类讨论：（ⅰ）当直角边ON在∠AOC外部时，旋转角是60°；（ⅱ）当直角边ON在∠AOC内部时，旋转角是240°．5．如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，（1）若∠DCE=25°，∠ACB=？；若∠ACB=150°，则∠DCE=？；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系，请说明理由．【答案】（1）【解答】∵∠ECB=90°，∠DCE=25°∴∠DCB=90°﹣25°=65°∵∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=155°．∵∠ACB=150°，∠ACD=90°∴∠DCB=150°﹣90°=60°∵∠ECB=90°∴∠DCE=90°﹣60°=30°．故答案为：155°，30°（2）【解答】猜想得：∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补）理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣∠DCB∴∠ACB+∠DCE=180°（3）【解答】∠DAB+∠CAE=120°理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°．【解析】【分析】（1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；（2）根据前个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前问的解决思路得出证明．（3）根据（1）（2）解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明．6．如图，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E，∠ADE+∠BCF=180°．（1）请说明AB∥EF的理由；（2）若AF平分∠BAD，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE= ∠ABC．又∵∠ABC=2∠E，即∠E= ∠ABC，∴∠E=∠ABE．∴AB∥EF（2）解：结论：AF⊥BE．理由：∵∠ADE+∠ADF=180°，∠ADE+∠BCF=180°，∴∠ADF=∠BCF，∴AD∥BC；∴∠DAB+∠CBA=180°，∵∠OAB= DAB，∠OBA= ∠CBA，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠AOB=90°，∴AF⊥BE【解析】【分析】（1）由BE平分∠ABC，得∠ABE=∠ABC，结合∠ABC=2∠E，得∠E=∠ABC，等量代换得∠E=∠ABE，则内错角相等两直线平行，AB平行EF；（2）由同角的补角相等得∠ADF=∠BCF，则同位角相等两直线平行，AD∥BC，由于∠DAB和∠CBA是同旁内角，得∠DAB+∠CBA=180°，由于∠OAB和∠OBA分别是∠DAB和∠CBA的一半，则∠OAB和∠OBA之和为90°，即AF⊥BE。
北京市2021届高三上学期二轮模考数学(理)试题(含答案)
高三上学期二轮模考数学试题（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,}P m =，2{|250,}Q x x x x Z =-<∈，若P Q ≠∅，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或52D ．1或2 2.在等差数列{}n a 中，12a =，公差为d ，则“4d =”是“125a a a ，，成等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()a a +=（ ）A ．12-B ．3．12D 3 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，35a =，315S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（ ） A ．99100 B ．99101 C. 100101 D ．1011005.已知11a =，*1()()n n n a n a a n N +=-∈，则数列{}n a 的通项公式是（ ）A ．nB ．11()n n n-+ C.2n D ．21n - 6.在等差数列{}n a 中，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使nS达到最大值的n 是（ ）A ．21B ．20 C. 19 D ．187.函数ln sin (0)y x x π=<<的大致图象是（ ）A ．B ． C. D ．8.已知数列{}n a 是等差数列，11a =，513a =，设n S 为数列{(-1)}n n a 的前n 项和，则2016S =（ ）A ．2021B ．-2021 C.3024 D ．-30249.已知数列{}n a ，{}n b ，其中{}n a 是首项为3，公差为整数的等差数列，且313a a >+，425a a <+，2log n n a b =，则{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．8(21)n -B ．4(31)n - C.8(41)3n - D ．4(31)3n - 10.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：()(())()(())k f x f x k f x kf x k ≤⎧=⎨>⎩，取函数()2x f x x e -=--，若对任意的(,)x ∈-∞+∞，恒有()()k f x f x =，则（ ）A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C.k 的最大值为1 D ．k 的最小值为111.已知01a <<，01b <<，则函数2()log 2log 8a b f x x b x a =++的图象恒在x 轴上方的概率为（ ）A ． 14B ．34 C.13 D ．2312.已知函数2ln ()()()x x b f x b R x +-=∈，若存在1[,2]2x ∈，使得()'()f x x f x >-，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(2)-∞B ．3(,)2-∞ C. 9(,)4-∞ D ．(,3)-∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若011(2)3ln 2(1)x dx a x+=+>⎰，则a 的值是___________. 14.曲线2()f x x =过点(1,0)P -处的切线方程是_____________.15.1111111111111n ++++个之和是____________.16.定义：数列{}n a 对一切正整数n 均满足212n n n a a a +++>，称数列{}n a 为“凸数列”，以下关于“凸数列”的说法： ①等差数列{}n a 一定是凸数列；②首项10a >，公比0q >且1q ≠的等比数列{}n a 一定是凸数列；③若数列{}n a 为凸数列，则数列1{}n n a a +-是单调递增数列；④若数列{}n a 为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列.其中正确说法的序号是_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知3sin(3)2sin()2ππαα+=+，求下列各式的值. （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+； （2）2sin sin 2αα+.18.已知2{|440}A x x x =++=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，其中a R ∈.如果A B B =，求实数a 的取值范围.19.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[lg ]n n b a =.其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[lg 99]1=.（1）求111101b b b ，，；（2）求数列{}n b 的前1000项和.20.为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租.该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。
高考数学二轮复习算法初步与框图
北京航空航天大学附中三维设计高考数学二轮复习：算法初步与框图本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分．满分150 分．考试时间120 分钟．第Ⅰ卷 ( 选择题共 60分 )一、选择题 ( 本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．计算机中常用十六进制，采纳数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系以下表：比如用十六进制表示有D+E＝1B，则 A× B=( )A． 6E B． 7C C． 5F D． B0【答案】 A2．用展转相除法求394 和 82 的最大条约数时，需要做除法的次数是( ) A．1B．2C．3D．4【答案】 D3．履行以下图所给的程序框图，则运转后输出的结果是( )A．3B．－3C．－ 2D．2【答案】 B4．以下程序框图输出的结果是20，则判断框内应填入的条件是( ) 211A．n20?B．n20?C．n20?D．n20?【答案】 A5．程序框图以下图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P(a, b, c) ，则输出相应点Q (a, b, c) ，若点P的坐标为 (2,3,1) .若O为坐标原点，则cos OP, OQ( )A． 1B．13C．11D．5 14147【答案】 C6．以下图是计算某年级500 名学生期末考试（满分为 100 分）及格率 q 的程序框图，则图中空白框内应填入 ( )A． q= NB． q=MC． q=ND． q=MM N M N M N 【答案】 D7．以下框图中，不是构造图的是( )【答案】 C8．履行以下图的程序框图，若输入x=3，则输出 y 的值为 ( )A．5B．9C．17D．33【答案】 D9．阅读右图所示的程序框图，运转相应的程序，输出的结果是( )A．3B．11C．38D．123【答案】 B10．利用秦九韶算法计算多项式f (x)3x64x55x46x37x28x 1当x 4 时的值，需要做乘法和加法的次数分别为( )A．6，6B． 5，6C．5，5D． 6，5【答案】 A11．将八位数 135（8）化为二进制数为 ( )A． 1110101 （2）B． 1010101（2）C．1011101 （2）D．1111001（2）【答案】 C12．履行以下图的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是 ( )A．2或 2 2B．2 2或 2 2C．2或 2 2D．2或2 2【答案】 A第Ⅱ卷 ( 非选择题共 90分 )二、填空题 ( 本大题共 4 个小题，每题 5分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13．用秦九韶算法计算多项式f ( x)6560 x43264x12 x160 x240 x 192x当 x 2 时的值为____________。
北京市清华大学附属中学2019届高考数学二模试题文(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京市清华大学附属中学2019届高考数学二模试题 文（含解析）一、选择题。
1.设集合{}2|670A x x x =--<，{|}B x x a =≥，现有下面四个命题： 1p ：a R ∃∈，A B ⋂=∅；2p ：若0a =，则(7,)A B =-+∞U ；3p ：若(,2)R B =-∞ð，则a A ∈；4p ：若1a ≤-，则A B ⊆．其中所有的真命题为（ ）A. 1p ，4pB. 1p ，3p ，4pC. 2p ，3pD. 1p ，2p ，4p【答案】B【解析】 由题设可得，()17A =-，，则当7a ≥时，有AB ⋂=∅，所以命题1p 正确；若0a =时，[)0B =+∞，，则()1,A B ⋃=-+∞，所以命题2p 错误；若()2R B ，=-∞ð，则2a A =∈，所以命题3p 正确；若1a ≤-时，A B ⊆成立.故正确答案为B.点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根()1212,x x x x <，当0a >时，则有“大于号取两边，即()()12,x x -∞⋃+∞，，小于号取中间，即()12,x x ”.2.下列说法错误的是（ ）A. 回归直线过样本点的中心(),x yB. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C. 在回归直线方程0.20.8y x ∧=+y 0.2x 0.8=+$中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ∧平均增加0.2个单位 D. 对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小【答案】D【解析】分析：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D.正确.详解：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；也可以是非线性相关；B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D.正确.故选D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．3.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）A. 2盏B. 3盏C. 26盏D. 27盏【答案】C【解析】分析：每次灯的个数成等差数列，设最顶层有x 盏灯，则最下面一层有()8x n +盏，利用等差数列求和公式列方程可得详解：设最顶层有x 盏灯，则最下面一层有()8x n +盏，813,813x n x n x x +==-，2812,3n x x n ==， ()()()()23...8126x x n x n x n x n ++++++++=，()9123...8126x n +++++=，936126x n +=，29361263n n ⨯+=， 636126,42126n n n +==，126423n =÷=，2323x =⨯=（盏）， 所以最下面一层有灯，13226⨯=（盏），故选C. 点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.4.如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（ ）A. 5.3B. 4.3C. 4.7D. 5.7【答案】B【解析】 由古典概型概率公式概率公式及对立事件概率公式可得，落在阴影部分概率为1141200-，因为正方形的面积为10，所以由几何概型概率公式可得阴影部分的面积约为114101 4.3200⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故选B. 【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =，现在有周长为10+V ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得V ABC 的面积为（ ）A. B. C. D. 12 【答案】A【解析】因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理得：::2:a b c =，又ABC ∆Q的周长为10+，所以可得4,6,a b c ===，ABC ∆∴ 的面积为S === ，故选A.6.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图【详解】解：正方体1111ABCD A B C D -中，过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分．故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题．7.在如图所示的程序框图中，若输入的2s =，输出的2018s >，则判断框内可以填入的条件是（ ）A. 9i >B. 10i ≤C. 10i ≥D. 11i ≥【答案】D【解析】 输入2S =，1i =，242S ==2i =，382S ==当10i =，1122048S ==当10111i =+=，当11i ≥时，满足条件 退出循环，2048S =故选D8.（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足 ∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞UB ．3][9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．3][4,)+∞U【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60a b≥=o即≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab ≥=o ，即≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，选A ．点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定,a b 的关系，求解时充分借助题设条件120AMB ∠=o 转化为tan 60a b≥=o 的焦点位置进行逐一讨论．二、填空题。
北京市清华附中朝阳学校2019届高三上第二次质量检测理科数学试题 Word版
清华附中朝阳学校2018-2019学年第一学期第二次质量检测试题高三数学(理科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U=R,函数()1ln -=x y 的定义域为M,集合{}0|2＜x x x N -=，则下列结论正确的是 A.N N M = B.()∅=N C M U C.U N M = D.()N C M U ⊆ 2.下列函数中,在定义域内是减函数的是 A.()xx f 1=B.()x x f =C.()x x f 21=D.()x x f tan =3.若，＜＜10m 则A.()()m m m m -+1log 1log ＞B.()01log ＞m m +C.()211m m +-＞D.()()213111m m --＞4.将函数()ϕ+=x y 2sin 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图像,则ϕ的一个可能的值为 A.43π B.0 C.4π- D.43π- 5、“命题q p ∨为真命题”是“命题q p ∧为真命题”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知平面向量()()()，，，，241221--===则下列结论中错误的是 A.向量与向量共线B.若()，，R b a c ∈+=2121λλλλ则2021-==λλ，C.对同平面内任意向量,都存在实数，、21,k k 使得k k 21+=D.向量在向量方向上的投影为07.已知函数()32+--=x k x x f 至多有一个零点,则实数k 的取值范围是 A.(]3，∞- B.[)∞+，9 C.(]90， D.(]9，∞-8.已知集合()(){}x f y y x M ==|，，若对于任意()，，M y x ∈11存在()，，M y x ∈22使得02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“好集合”。
北京市清华附中2023届高三统练二数学试题(含答案解析)
北京市清华附中2023届高三统练二数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．己知集合{10},{2,1,1,2}A xx B =+>=--∣，则A B = （）A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,1,2}-D ．{2,1,1,2}--2．己知复数(1i)(2i)(R)z a a =-+∈在复平面对应的点在虚轴上，则=a （）A ．12B ．12-C ．2D ．2-3．已知a b ，为平面向量，若(1,),(2,1)a m b m ==-+ ，若a b ∥，则实数m =（）A ．13-B ．13C ．1D ．2-4．已知抛物线22y px =的焦点为(2,0)，直线4x =与该抛物线交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．4B．C ．8D．5．若双曲线22221y x a b-=的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（）A．2BCD．36．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，119a =-，746a a -=，若对于任意的*n ∈N ，总有n m S S ≥恒成立，则m =（）A ．6B ．7C ．9D ．107．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，1Pa =1N/m 2），大气压强p （Pa ）随海拔高度h （m ）的变化规律是0khp p e -=（0.000126k =m -1），0p 是海平面大气压强.已知在某高山12,A A 两处测得的大气压强分别为12,p p ，1212p p =，那么12,A A 两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：ln 20.693≈）A ．550mB ．1818mC ．5500mD ．8732m8．已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知正方形ABCD 的边长为2，若将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成三棱锥A BCD -则在折叠过程中，不可能出现（）A ．AB CD⊥B ．AC BD⊥C ．三棱锥A BCD -的体积为3D ．平面ABD ⊥平面BCD10．函数()f x x =，2()3g x x x =-+.若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x ，则n 的最大值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题11．已知443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则43a a -=__________．12．不等式32log (1)(2)0x x x --->的解集为__________．13．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，那么常数ω的一个取值____．14．已知函数()2,,x m x m f x x x m⎧+≤=⎨>⎩①函数()f x 的零点个数为__________．②若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是__________．15．对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00 f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，现新定义：若0x 满足()00 f x x =-，则称0x 为()0f x 的次不动点，有下面四个结论①定义在R 上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②定义在R 上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点③当312a ≤≤时，函数()2()log 421x xf x a =-⋅+在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点．④不存在正整数m ，使得函数()f x =在区间[0,1]上存在不动点，其中，正确结论的序号为__________．三、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，AB PA =，PA ⊥底面ABCD ，3ABC π∠=，E 是PC 上任一点，AC BD O = .（1）求证：平面EBD ⊥平面PAC ：（2）若E 是PC 的中点，求ED 与平面EBC 所成角的正弦值.17．在△ABC 中，5b a =，cos 10A =.(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求b 的值.条件①：π6B ∠=；条件②：△ABC 的面积为152；条件③：AB 边上的高为3.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；(2)从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，估计这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率；(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第k 天传统艺术活动的概率为(12345)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（直接写出答案即可）19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的短轴长为3．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 与圆2232x y +=相切，与椭圆E 交于不同的两点,A B ，求OAB 的面积的最大值．20．已知函数()f x=(1)求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间；(3)若方程()f x ax =a 的取值范围．21．若无穷数列{}n a 满足n *∀∈N ，11n n a a n +-=+，则称{}n a 具有性质1P ．若无穷数列{}n a 满足n *∀∈N ，2421n n n a a a +++≥，则称{}n a 具有性质2P ．(1)若数列{}n a 具有性质1P ，且10a =，请直接写出3a 的所有可能取值；(2)若等差数列{}n a 具有性质2P ，且11a =，求2223a a +的取值范围；(3)已知无穷数列{}n a 同时具有性质1P 和性质2P ，53a =，且0不是数列{}n a 的项，求数列{}n a 的通项公式．参考答案：1．B【分析】根据交集运算求解.【详解】因为{10}{1}A xx x x =+>=>-∣∣，所以A B = {1,2}，故选:B.2．D【分析】根据复数的运算法则，纯虚数的定义即可求解.【详解】依题意，()()(1i)(2i)22i z a a a =-+=++-，因为复数z 在复平面对应的点在虚轴上，所以20a +=，解得2a =-.故选：D.3．A【分析】由//a b，利用向量共线坐标公式即可求解.【详解】因为向量(1,),(2,1)a m b m ==-+，且//a b ，所以1(1)(2)0m m ⨯+-⨯-=，解得13m =-.故选：A 4．D【分析】根据题意可得抛物线的方程，从而可得,A B 坐标，从而得到AB .【详解】因为抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则242pp =⇒=，所以抛物线方程为28y x =，设()()124,,4,A y B y ，不妨令120,0y y ><，则可得232y y =⇒=±12y y ==-，所以11||AB y y =-=故选:D 5．A【分析】根据双曲线渐近线和离心率的公式即可.【详解】渐近线方程为y；aa b∴；c ∴==；e c a ∴==故选：A.6．D【分析】根据题意，求得等差数列的通项公式，从而得到数列{}n a 前10项都是负数，从而得到结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由性质知7436a a d -==，则2d =，且119a =-，则()()111912221n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，令0n a >，得212n >，即前10项都是负数，所以10S 最小，所以10m =.故选:D 7．C【分析】根据0khp p e -=以及指数的运算即可求解.【详解】在某高山12,A A 两处海拔高度为12,h h ，所以()1122012012kh k h h kh p e p e p p e ----===，所以()121ln ln 22k h h --==-，所以120.69355000.000126h h -≈=（m ）.故选：C 8．A【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n nnn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A 9．A【分析】根据题意，由线面垂直的性质定理即可判断AB ，由三棱锥的体积公式即可判断C ，由二面角的定义即可判断D.【详解】对于A ，若AB CD ⊥，因为BC CD ⊥，AB BC B CD ⋂=∴⊥面ABC ，所以CD AC ⊥，而2,2CD AD ==，即直角边长与斜边长相等，显然不对，故A错；对于B ，取BD 中点O ，因为,AO BD CO BD ⊥⊥，AO CO O ⋂=所以BD ⊥面AOC ，所以BD AC ⊥，故B 对；对于C ，当折叠所成的二面角150o AOC ∠=时，顶点A 到底面BCD的距离为2，此时11233A BCD V Sh -==⨯=，故C 对；对于D ，当沿对角线BD 折叠成直二面角时，有平面ABD ⊥平面CBD ，故D 对；故选:A 10．D【分析】构造函数()()()h x g x f x =-，研究()h x 的单调性．【详解】方程1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x 变形为：112211()()(()())(()())(()())n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x ---=-+-++- ，设()()()h x g x f x =-，则121()()()()n n h x h x h x h x -=+++ ，22()()()23(1)2h x g x f x x x x =-=-+=-+在[0,1]上递减，在9[1,]2上递增，∴572()4h x ≤≤，∴121()()()n h x h x h x -+++ 的值域是57[2(1),(1)]4n n --，若存在129,,...,[0,2n x x x ∈，使得121()()()()n n h x h x h x h x -=+++ ，则5722(1)4n ≤-≤，6528n ≤≤，∴n 的最大值为8．故选：D ．【点睛】本题考查函数的值域，解题关键是构造新函数()()()h x g x f x =-，把问题转化为“存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得121()()()()n n h x h x h x h x -=+++ ”，这样利用()h x 的值域就可以解决问题．11．9【分析】按照二项式定理展开，再根据对应项系数确定3a 和4a 的值，代入计算即可.【详解】404013122231340444444(2)C (2)C (2)C (2)C (2)C (2)x x x x x x -=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-4328243216x x x x =-+-+故41a =，38a =-，所以431(8)9a a -=--=，故答案为9.12．{}13x x <<【分析】利用数形结合思想，结合对数函数和二次函数的图象进行求解即可.【详解】由3312log (1)(2)0log (1)(2)2x x x x x x --->⇒>--，在同一直角坐标系内画出函数()()31log ,(1)(2)2f x xg x x x ==--的图象如下图所示：因为()()331f g ==，所以由函数的图象可知：当(1,3)x ∈时，有()()f x g x >，故答案为：{}13x x <<13．12ω=（答案不唯一）【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得2,(3242ππππωω⋅≤⋅-≥-,由此求得正数ω的范围，任取此范围内常数即可.【详解】()()2sin (0)f x x ωω=>在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则2,(3242ππππωω⋅≤⋅-≥-,304ω∴<≤，取一个该范围内的值即可，如12ω=．故答案为：12ω=.14．1()()0,2,2⋃-∞-【分析】第一空，分类讨论m ，无论R m ∈，函数都一个零点；第二空，由第一空讨论0m >，0m =，0m <值的情况，从而可得满足题意的m 的范围.【详解】第一空：当0m >时，可知()f x 有一个零点x m =-；当0m =时，()f x 有一个零点0x =；当0m <时，可知()f x 有一个零点x m =-；综上函数()f x 的零点个数为1个.第二空：如图所示，当0m >时，若要满足题意需22>m m ，得()0,2m ∈；当0m =时，不符题意；如图所示，当0m <时，若要满足题意需22m m >-，得2m <-；综上m 的取值范围是：()()0,2,2⋃-∞-故答案为：1；()()0,2,2⋃-∞-15．②③【分析】举反例偶函数2()f x x =，利用“不动点”、“次不动点”的定义即可判断①；对于②结合奇函数定义及性质即可判断；对于③首先利用“不动点”定义得到4212x x x a -⋅+=及利用“次不动点”的定义得14212x x xa -⋅+=，再分离变量，利用函数单调性即可求得a 的取值范围；对于④利用“不动点”x ，分离变量后得到21e 2x a x x =--，将问题转化为函数零点问题即可求解.【详解】对于①:取函数2()f x x =，(0)0f =，0既是()f x 的不动点，又是()f x 的次不动点，故①错误；对于②:定义在R 上的奇函数满足(0)0f =，故②正确；对于③:当()2log 421x x a x -⋅+=时，4212x x x a ∴-⋅+=，即1212xxa =+-.令2x t =，[1,2]t ∈，11a t t ∴=+-在区间[]1,2上单调递增，1212xx a =+-在[]0,1上单调递增，满足()2log 421x xa x -⋅+=有唯一解；当()2log 421x x a x -⋅+=-时，14212x xxa ∴-⋅+=即211222xx x a =+-.令2x t =，[1,2]t ∈，211a t t t ∴=+-在区间[]1,2上单调递增，211222xx x a =+-在[]0,1上单调递增，满足()12log 421x x a x -⋅+=有唯一解；综上312a ≤≤时函数()f x 在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点，故③正确;对于④:假设函数()f x =[]0,1上存在不动点，则()f x x =在[]0,1上有解，即21e 2x a x x =--在[]0,1上有解，令21()e 2xm x x x =--，则1()e 22x m x x '=--，再令1()e 22x n x x =--，则()2x n x e '=-，令()0n x '=，解得ln2x =，所以()n x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,1)上单调递增，所以32min 13()(ln2)22ln22ln2lne ln4022n x n ==--=-=-=>，所以()0m x '>在[]0,1上恒成立，所以()m x 在[]0,1上单调递增，所以min ()(0)1m x m ==，()()max 31e 2m x m ==-，所以实数a 满足31e 2a ≤≤-，存在正整数1a =满足条件，故④错误：故答案为：②③【点睛】本题考查的是函数的新定义问题，试题以函数和方程的有关知识为背景设计问题，难度较大.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解16．（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）依题意可得AC BD ⊥，再由线面垂直的性质得到PA BD ⊥，即可得到BD ⊥平面PAC ，从而得到BDE ⊥平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PA BD ⊥，PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAC ；（2）取BC 的中点F ，连接AF ，因为底面ABCD 为菱形且3ABC π∠=，所以ABC 为等边三角形，所以AF BC ⊥，所以AF AD ⊥，如图建立空间直角坐标系，令2AB PA ==，则()0,2,0D ，()3,1,0C，()3,1,0B-，31,,122E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以33,,122DE ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭ ，()0,2,0BC =uu u r ，31,,122EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EBC 的法向量为(),,n x y z = ，所以·0·0BC n EC n ⎧=⎨=⎩ 即2031022y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令2x =则0y =，3z =，所以()2,0,3n =，设直线ED 与平面EBC 所成角为θ，则()222223213221sin 73323122DE nDE nθ⨯+⨯===⎛⎫⎛⎫+⨯-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以直线ED 与平面EBC 所成角的正弦值为217【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.17．(1)证明见解析；(2)详见解析.【分析】（1）把105b a =a 、b 之间的倍数关系，把10cos 10A =转化为三边a 、b 、c 之间的关系，综合可得证；（2）条件①,与已知cos 10A =矛盾，三角形无解，不可选；条件②，通过三角形面积公式解得a ，可使△ABC 存在且唯一；条件③，通过转化条件，可使△ABC 存在且唯一.【详解】（1）在△ABC中，由5b a =，可得5b a =则由cos A =2222a c =+-⨯即()(35)0a c a c -+=，故有c a =故△ABC 为等腰三角形.（2）选择条件①：π6B ∠=时，由（1）知c a =，则有512A C π∠=∠=，此时5cos coscos()1264A πππ===，与已知矛盾，三角形无解.不能选；选择条件②：△ABC 的面积为152时，由cos 10A =得，3sin sin(2)2sin cos 210105B A A A π=-==⨯⨯=故有21315252a ⨯=，解得5a =，5c =,b =三角形存在且唯一，可选.选择条件③：AB 边上的高为3.由cos 10A =得，3sin sin(2)2sin cos 210105B A A A π=-==⨯⨯=可得3353sin 5a B ===，则有5c =,b =三角形存在且唯一，可选.综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，b =选择条件③时，三角形存在且唯一，b 18．(1)712(2)0.29(3)2k =【分析】（1）结合古典概型可直接求解；（2）先求出样本中这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率，再利用样本估计总体概率；（3）结合相互独立事件概率公式求出12345,,,,P P P P P ，即可求解.【详解】（1）由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，设事件A 为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，故所求概率为()175730012P A ==.（2）从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生，这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率为：0.20.20.250.80.80.250.80.20.750.29⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，估计这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率为0.29.（3）由题可知，10.80.40.150.048P =⨯⨯=，20.450.60.50.135P =⨯⨯=，30.550.60.40.132P =⨯⨯=，40.20.80.750.12P =⨯⨯=，50.450.40.30.054P =⨯⨯=，故15432P P P P P <<<<．所以当k P 取得最大值时，2k =.19．(1)22162x y +=【分析】（1）由题意可得2b c e a ⎧=⎪⎪⎨===⎪⎪⎩（2）当直线l 斜率不存在时，可得13222OAB S =⨯ ，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y kx m =+，联立椭圆方程根据韦达定理及弦长公式可表示出OAB ，结合条件即得.【详解】（1）由题意可得：2b c e a ⎧=⎪⎪⎨===⎪⎪⎩2a b c ===.故椭圆E 的标准方程为：22162x y +=；（2）圆的方程为2232x y +=，圆心为()0,0，半径为2，①当直线l 斜率不存在时，l的方程为2x =或2x =-，直线x =,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，OAB的面积为1322OAB S = ，根据对称性，直线2x =-时，OAB的面积为13222OAB S =⨯ ；②当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y kx m =+，2=得()22231m k =+，由22162y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222136360k x kmx m +++-=，则()()222Δ(6)413360km k m =-+->，得22620k m +->.因为()22231m k =+，所以()22312m k =+，所以2910k +>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222636,1313km m x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ===，所以12OABSAB == 令20t k =≥，则OAB 的面积为32OAB S =令()()()()()()()2222244133119+1910133=131313t t t t t t y t t t +++-+++==+++，令()1013n n t =≠+，224441441333233y n n n ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭,所以3322OAB S =≤= 32>，从而OAB综上，OAB 20．(1)210x y -+=(2)单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,∞+(3)(),0∞-【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）利用导函数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间；（3）分离参数，转化为函数32ln 1t y t+-=与直线y a =有公共点问题，求导，利用单调性画函数图象，利用数形结合求解即可.【详解】（1）由题()f x =()0x >，所以()f x ='()0x >，所以()112f '=，又()11f =，所以曲线()y f x =在()1,1处的切线方程为：()1112y x -=-，即210x y -+=；（2）令()0f x '=>得ln 1x <，所以0e x<<，令()0f x '=<得ln 1x >，所以e x >，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,∞+，（3）因为方程()fx ax =ax =+t =，()0t >，则方程22ln 1tat t +=有解，所以a =()0t >有解，记32ln 1t y t +=，()0t >，则函数32ln 1t y t +-=与直线y a =有公共点，y ='()6ln 1g t t =--，62()t g t t t=='，令()0g t '>得t >()0g t '<得0t <<，所以函数()6ln 1g t t =--在)∞+上单调递增，在上单调递减，所以()6ln 156ln 33ln 20g t g ≥=-=-+>，所以0'>y ，所以函数32ln 1t y t+-=在(0,)+∞上单调递增，记()2ln 1h t t =+，2)()t h t tt=='，令()0h t '>得0t <<令()0h t '<得t >()2ln 1h t t =+在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以()ln 210h t h ≤=-<，所以32ln 10t y t +-=<，作出y =图象，如图：由图可知，函数y =y a =有公共点时a<0，即实数a 的范围为(),0∞-.【点睛】方法点睛：方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.也可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题.21．(1)3a 的可能取值有：5-、1-、1、5(2)125,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)1,2,2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数【分析】（1）根据题中定义可得出122a a -=，233a a -=，可依次求得2a 、3a 的取值；（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据2421n n n a a a +++≥可求得d 的取值范围，再利用二次函数的基本性质可求得2223a a +的取值范围；（3）根据性质1P 可得出1n a ≥，根据24210n n n a a a ++≥-≥可推导出n a 、()4n k a k *+∈N 必同号，再利用性质2P 可得出312a ≠，利用反证法可证得：34a ≠，则32a =，再证明出21a =-，由此可知n *∀∈N ，20n a <都成立，可猜测数列{}n a 的通项公式，再利用反证法证明数列{}n a 的唯一性即可.【详解】（1）解：因为数列{}n a 具有性质1P ，则1222a a a -==，所以，22a =±，当22a =-时，由2333223a a a a -=--=+=，所以，31a =或5-，当22a =时，由23323a a a -=-=，所以，31a =-或5.综上所述，3a 的可能取值有：5-、1-、1、5.（2）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()22242222122141n n n n n n a a a d a d a d a ++++++=-++=-+≥，即241d ≤，所以，1122d -≤≤，所以，()()2222222331112562555a a d d d d d ⎛⎫+=+++=++=++ ⎪⎝⎭，因为1122d -≤≤，则131110510d ≤+≤，所以，22223311255,5544a a d ⎛⎫⎡⎤+=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（3）解：根据性质1P ，n *∀∈N ，都有n a ∈Z ，又因为0n a ≠，所以，1n a ≥，于是24210n n n a a a ++≥-≥，因为n a 、4n a +必同号，进而n a 、()4n k a k *+∈N 必同号，若30a <，由性质1P ，必有42a =-，36a =-，23a ≤-，11a ≤-，这与21531a a a +≥矛盾，所以，30a >，进而n *∀∈N ，210n a +>，讨论可知32a =或4或12，仅有这三种可能.若312a =，则48a =，215a ≤，116a ≤，这与21531a a a +≥矛盾，因此，312a ≠.下面证明：34a ≠，则32a =，利用反证法：假设34a =，则48a =，又因为215133116a a a a =+≥=，所以，15a ≥，若21a =，则11a =-或3，与15a ≥矛盾，则21a ≠，所以，27a =，则15a =或9，于是无论哪种情况，n *∀∈N ，0n a >，由656a a -=且60a >可得69a =，此时满足22641a a a +≥，所以，716a =，则824a =，933a =，所以，25971a a a +<，矛盾，综上可知，34a ≠，所以，32a =，42a =-，下面证明：21a =-，利用反证法，如不然，只能25a =，所以，60a >，则69a =，由于40a <，所以，80a <，只能有72a =，86a =-，这与23751a a a +≥矛盾，总之，21a =-，再由10a >可得11a =，进而n *∀∈N ，20n a <都成立，可以猜测数列{}n a 的通项为1,2,2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，可验证此时1P 、2P 两条性质均成立，符合题意，如另有其它数列{}n b 符合题意，则至少前5项必为：1、1-、2、2-、3，仍满足210n b ->，()20n b n *<∈N ，设()*∈N m b m 是第一个违反上述通项公式的项()6m ≥，若()23,m k k k *=≥∈N ，则21k b k -=，20k b <，所以，2k b k =-，符合通项公式，矛盾；若()213,m k k k *=+≥∈N ，则2k b k =-，210k b +>，所以，211k b k +=+，也符合通项公式，矛盾.综上所述，数列{}n a的通项公式必为1,2,2nn nan n+⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数.【点睛】思路点睛：本题考查了数列新定义问题，按着某种规律新生出另一个数列的题目，涉及到归纳推理的思想方法，对学生的思维能力要求较高，综合性强，能很好的考查学生的综合素养，解答的关键是要理解新定义，根据定义进行逻辑推理，进而解决问题.。