反比例函数分类汇编含解析
专题17 反比例函数篇(解析版)
专题17 反比例函数1. 反比例函数的性质与图像：反比例函数()0≠=k xky k 的符号＞k 0＜k 所在象限一、三象限二、四象限大致图像增减性在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而减小。
在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而增大。
对称性图像关于原点对称2. 反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。
②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线，并连接这个点与原点，则构成一个三角形。
这个三角形的面积等于2k 。
3. 待定系数法求反比例函数解析式：在反比例函数中只有一个系数k ，所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值，从而求出反比例函数解析式。
4. 反比例函数与一次函数的不等式问题：若反比例函数()0≠=k x ky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点，则不等式b kx xk +＞的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围；等式b kx xk＜的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。
反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。
1．（2022•湘西州）如图，一次函数y ＝ax +1（a ≠0）的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝xk的图象在第一象限交于点B （1，3），过点B 作BC ⊥x 轴于点C ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）求△ABC 的面积．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用直线的解析式求得点A 坐标，利用坐标表示出线段CA ，BC 的长度，利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵一次函数y ＝ax +1（a ≠0）的图象经过点B （1，3），∴a +1＝3，∴a ＝2．∴一次函数的解析式为y ＝2x +1，∵反比例函数y ＝的图象经过点B （1，3），∴k ＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝．（2）令y ＝0，则2x +1＝0，∴x ＝﹣．∴A （﹣，0）．∴OA ＝．∵BC ⊥x 轴于点C ，B （1，3），∴OC ＝1，BC ＝3．∴AC ＝1＝．∴△ABC 的面积＝×AC •BC ＝．2．（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I （单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）请求出这个反比例函数的解析式；（2）蓄电池的电压是多少？（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将点（8，6）代入I＝，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；（2）根据电压＝电流×电阻即可求解；（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，∵图象经过（8，6），∴6＝，解得k＝6×8＝48，∴I＝；（2）蓄电池的电压是6×8＝48；（3）∵I≤10，I＝，∴≤10，∴R≥4.8，即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．3．（2022•大连）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V ＝5m 3时，ρ＝1.98kg /m 3．（1）求密度ρ关于体积V 的函数解析式；（2）若3≤V ≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．【分析】（1）设密度ρ关于体积V 的函数解析式为ρ＝（k ≠0），利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k 值，进而可得出密度ρ关于体积V 的函数解析式；（2）由k ＝9.9＞0，利用反比例函数的性质可得出当V ＞0时ρ随V 的增大而减小，结合V 的取值范围，即可求出二氧化碳密度ρ的变化范围．【解答】解：（1）设密度ρ关于体积V 的函数解析式为ρ＝（k ≠0）．∵当V ＝5m 3时，ρ＝1.98kg /m 3，∴1.98＝，∴k ＝9.9，∴密度ρ关于体积V 的函数解析式为ρ＝（V ＞0）．（2）∵k ＝9.9＞0，∴当V ＞0时，ρ随V 的增大而减小，∴当3≤V ≤9时，≤ρ≤，即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3．4．（2022•淄博）如图，直线y ＝kx +b 与双曲线y ＝xm相交于A （1，2），B 两点，与x 轴相交于点C （4，0）．（1）分别求直线AC 和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞xm的解集．【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）直线AC ：y ＝﹣x +与双曲线：y ＝（x ＞0）相交于A （1，2），B 两点，联立方程组，求出点B 的坐标为（3，），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；（3）根据图象即可解决问题．【解答】解：（1）将A （1，2），C （4，0）代入y ＝kx +b ，得，解得：，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +，将A （1，2）代入y ＝（x ＞0），得m ＝2，∴双曲线的解析式为y ＝（x ＞0）；（2）∵直线AC 的解析式为y ＝﹣x +与y 轴交点D ，∴点D 的坐标为（0，），∵直线AC ：y ＝﹣x +与双曲线：y ＝（x ＞0）相交于A （1，2），B 两点，∴，∴，，∴点B 的坐标为（3，），∴△AOB 的面积＝4×﹣4×﹣×1＝；（3）观察图象，∵A （1，2），B （3，），∴当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞的解集是1＜x ＜3．5．（2022•镇江）如图，一次函数y ＝2x +b 与反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象交于点A （1，4），与y 轴交于点B ．（1）k ＝ ，b ＝ ；（2）连接并延长AO ，与反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象交于点C ，点D 在y 轴上，若以O 、C 、D 为顶点的三角形与△AOB 相似，求点D 的坐标．【分析】（1）将点A （1，4）分别代入反比例函数y ＝（k ≠0）和一次函数y ＝2x +b 的解析式中，求解即可；（2）根据题意，需要分类讨论：当点D 落在y 轴的正半轴上，当点D 落在y 轴的负半轴上，△COD ∽△AOB 或△COD ∽△BOA ，依次根据比例关系，求解即可．【解答】解：（1）将点A （1，4）代入反比例函数y ＝（k ≠0）的解析式中，∴k ＝1×4＝4；将A （1，4）代入一次函数y ＝2x +b ，∴2×1+b ＝4，解得b ＝2．故答案为：4；2．（2）当点D 落在y 轴的正半轴上，则∠COD ＞∠ABO ，∴△COD 与△ABO 不可能相似．当点D 落在y 轴的负半轴上，若△COD ∽△AOB ，∵CO ＝AO ，BO ＝DO ＝2，∴D （0，﹣2）．若△COD ∽△BOA ，则OD ：OA ＝OC ：OB ，∵OA ＝CO ＝，BO ＝2，∴DO ＝，∴D （0，﹣），综上所述：点D 的坐标为（0，﹣2），（0，﹣）．6．（2022•宁夏）如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴、y 轴分别相交于C 、B 两点，与反比例函数y ＝xm（m ≠0，x ＞0）的图象相交于点A ，OB ＝1，tan ∠OBC ＝2，BC ：CA ＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；（2）点D 是线段AB 上任意一点，过点D 作y 轴平行线，交反比例函数的图象于点E ，连接BE ．当△BDE 面积最大时，求点D 的坐标．【分析】（1）根据正切函数的定义可得出OC 长，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，则△ACF ∽△BCO ，由相似比可得出CF 和AF 的长，进而可得出点A 的坐标，代入反比例函数可得出m 的值，进而可得结论；（2）由（1）可得直线AB 的解析式．设点D 的横坐标为t ，由此可表达点D ，E 的坐标，根据三角形的面积公式可表达△BDE 的面积，根据二次函数的性质可得结论．【解答】解：（1）如图，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，∴AF ∥y 轴，∴△ACF ∽△BCO ，∴BC ：AC ＝OB ：AF ＝OC ：CF ＝1：2．∵OB ＝1，tan ∠OBC ＝2，∴OC ＝2，∴AF ＝2，CF ＝4，∴OF ＝OC +CF ＝6，∴A （6，2）．∵点A 在反比例函数y ＝（m ≠0，x ＞0）的图象上，∴m ＝2×6＝12．∴反比例函数的表达式为：y ＝（x ＞0）．（2）由题意可知，B （0，﹣1），∴直线AB 的解析式为：y ＝x ﹣1．设点D 的横坐标为t ，则D （t ，t ﹣1），E （t ，）．∴ED ＝﹣t +1．∴△BDE 的面积为：（t ﹣0）（﹣t +1）＝﹣t 2+t +6＝﹣（t ﹣1）2+．∵﹣＜0，∴t ＝1时，△BDE 的面积的最大值为，此时D （1，﹣）．7．（2022•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x +2的图象与反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点C ．（1）求点A 的坐标和反比例函数的解析式；（2）点B 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接AB ，CB ，求△ACB 的面积．【分析】（1）由一次函数的解析式求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）作BD ∥x 轴，交直线AC 于点D ，则D 点的纵坐标为1，利用函数解析式求得B 、D 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y ＝x +2的图象过点A （1，m ），∴m ＝1+2＝3，∴A （1，3），∵点A 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴k ＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝；（2）∵点B 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，∴B （3，1），作BD ∥x 轴，交直线AC 于点D ，则D 点的纵坐标为1，代入y ＝x +2得，1＝x +2，解得x ＝﹣1，∴D （﹣1，1），∴BD ＝3+1＝4，∴S △ABC ＝×4×3＝6．8．（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝ax +b 的图象与反比例函数y ＝xk的图象都经过A （2，﹣4）、B （﹣4，m ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过O 、A 两点的直线与反比例函数图象交于另一点C ，连接BC ，求△ABC 的面积．【分析】（1）把A ，B 两点的坐标代入y ＝中可计算k 和m 的值，确定点B 的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；（2）如图，设AB 与x 轴交于点D ，证明CD ⊥x 轴于D ，根据S △ABC ＝S △ACD +S △BCD 即可求得．【解答】解：（1）将A （2，﹣4），B （﹣4，m ）两点代入y ＝中，得k ＝2×（﹣4）＝﹣4m ，解得，k ＝﹣8，m ＝2，∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；将A （2，﹣4）和B （﹣4，2）代入y ＝ax +b 中得，解得，∴一次函数的表达式为：y ＝﹣x ﹣2；（2）如图，设AB 与x 轴交于点D ，连接CD ，由题意可知，点A 与点C 关于原点对称，∴C （﹣2，4）．在y ＝﹣x ﹣2中，当x ＝﹣2时，y ＝0，∴D （﹣2，0），∴CD 垂直x 轴于点D ，∴S △ABC ＝S △ADC +S △BCD ＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．9．（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在y 轴上，A ，C 两点的坐标分别为（4，0），（4，m ），直线CD ：y ＝ax +b （a ≠0）与反比例函数y ＝xk （k ≠0）的图象交于C ，P （﹣8，﹣2）两点．（1）求该反比例函数的解析式及m 的值；（2）判断点B 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．【分析】（1）把P （﹣8，﹣2）代入y ＝可得反比例函数的解析式为y ＝，即得m ＝＝4；（2）连接AC ，BD 交于H ，由C （4，4），P （﹣8，﹣2）得直线CD 的解析式是y ＝x +2，即得D （0，2），根据四边形ABCD 是菱形，知H 是AC 中点，也是BD 中点，由A （4，0），C （4，4）可得H（4，2），设B （p ，q ），有，可解得B （8，2），从而可知B 在反比例函数y ＝的图象上．【解答】解：（1）把P （﹣8，﹣2）代入y ＝得：﹣2＝，解得k ＝16，∴反比例函数的解析式为y ＝，∵C （4，m ）在反比例函数y ＝的图象上，∴m ＝＝4；∴反比例函数的解析式为y＝，m＝4；（2）B在反比例函数y＝的图象上，理由如下：连接AC，BD交于H，如图：把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：，解得，∴直线CD的解析式是y＝x+2，在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，∴D（0，2），∵四边形ABCD是菱形，∴H是AC中点，也是BD中点，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），设B（p，q），∵D（0，2），∴，解得，∴B（8，2），在y＝中，令x＝8得y＝2，∴B在反比例函数y＝的图象上．10．（2022•绵阳）如图，一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y ＝xk 2在第一象限交于M （2，8）、N 两点，NA垂直x 轴于点A ，O 为坐标原点，四边形OANM 的面积为38．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）点P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN 的面积最小时点P 的位置（不需证明），并求出点P 的坐标和△PMN面积的最小值．【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出（8+）•（m ﹣2）＝30，解方程即可求得N 的坐标，然后把M 、N 的坐标代入y ＝k 1x +b ，进一步求得一次函数的解析式；（2）求出与直线MN 平行且在第三象限内与反比例函数y ＝有唯一公共点的坐标即为点P 的坐标，此时△PMN 面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y ＝过点M （2，8），∴k 2＝2×8＝16，∴反比例函数的解析式为y ＝，设N （m ，），∵M （2，8），∴S △OMB ＝＝8，∵四边形OANM 的面积为38，∴四边形ABMN 的面积为30，∴（8+）•（m ﹣2）＝30，解得m 1＝8，m 2＝﹣（舍去），∴N （8，2），∵一次函数y ＝k 1x +b 的图象经过点M 、N ，∴，解得，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +10；（2）与直线MN 平行，且在第三象限与反比例函数y ＝有唯一公共点P 时，△PMN 的面积最小，设与直线MN 平行的直线的关系式为y ＝﹣x +n ，当与y ＝在第三象限有唯一公共点时，有方程﹣x +n ＝（x ＜0）唯一解，即x 2﹣nx +16＝0有两个相等的实数根，∴n 2﹣4×1×16＝0，解得n ＝﹣8或x ＝8（舍去），∴与直线MN 平行的直线的关系式为y ＝﹣x ﹣8，∴方程﹣x ﹣8＝的解为x ＝﹣4，经检验，x ＝﹣4是原方程的解，当x ＝﹣4时，y ＝＝﹣4，∴点P （﹣4，﹣4），如图，过点P 作AN 的垂线，交NA 的延长线于点Q ，交y 轴于点D ，延长MB 交PQ 于点C ，由题意得，PD ＝4，DQ ＝8，CD ＝2，MC ＝8+4＝12，NQ ＝2+4＝6，∴S △PMN ＝S △MPC +S 梯形MCQN ﹣△＝×6×12+（12+6）×6﹣×12×6＝36+54﹣36＝54，答：点P （﹣4，﹣4），△PMN 面积的最小值为54．11．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝21x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A （﹣4，0）、B 两点，与双曲线y ＝xk （k ＞0）交于点C 、D 两点，AB ：BC ＝2：1．（1）求b ，k 的值；（2）求D 点坐标并直接写出不等式21x +b ﹣x k ≥0的解集；（3）连接CO 并延长交双曲线于点E ，连接OD 、DE ，求△ODE 的面积．【分析】（1）根据点A在直线上，把点A代入，求出b的值；过C作CF⊥x轴于点F，得△AOB∽△AFC，根据AB：BC＝2：1，可求出点F的坐标，可得点C的坐标，代入反比例函数，即可求出k的值；（2）根据交点坐标的性质，可求出点D的坐标，根据，得，根据函数图象，即可得到解集；（3）根据同底同高，得S△ODE ＝S△COD，S△COD＝S△COA+S△ADO即可．【解答】解：（1）∵点A在直线上，A（﹣4，0），∴，解得b＝2，过C作CF⊥x轴于点F，∴△AOB∽△AFC，∵AB：BC＝2：1，∴，∴AF＝6，∴OF＝2，在中，令x＝2，得y＝3，∴C（2，3），∴，∴k＝6．（2）∵D点是和交点，∴，解得或，∵D点在第三象限，∴D（﹣6，﹣1），由图象得，当﹣6≤x＜0或x≥2时，，∴不等式的解集为﹣6≤x ＜0或x ≥2．（3）∵△ODE 和△OCD 同底同高，∴S △ODE ＝S △OCD ，∵S △COD ＝S △COA +S △ADO ，∴．12．（2022•资阳）如图，一次函数y 1＝kx +b 的图象与反比例函数y 2＝x6的图象交于点A （1，m ）和点B （n ，﹣2）．（1）求一次函数的表达式；（2）结合图象，写出当x ＞0时，满足y 1＞y 2的x 的取值范围；（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图象与平移后的一次函数图象无交点．【分析】（1）将A 、B 两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）当x ＞0，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应x 的即可；（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图象即可判断反比例函数的系数k ，进而得到反比例函数的解析式．【解答】解：（1）由题意得：，，∴m ＝6，n ＝﹣3，∴A （1，6），B （﹣3，﹣2），由题意得：，解得：，∴一次函数的表达式为：y ＝2x +4；（2）由图象可知，当x ＞0时，一次函数的图象在反比例函数的图像上方对应x 的值为x ＞1，当x ＞0时，满足y 1＞y 2的x 的取值范围为x ＞1；（3）一次函数y ＝2x +4的图象平移后为y ＝2x ，函数图象经过第一、三象限，要使正比例函数y ＝2x 与反比例函数没有交点，则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的k ＜0，∴当k ＝﹣1时，满足条件，∴反比例函数的解析式为（答案不唯一）．13．（2022•徐州）如图，一次函数y ＝kx +b （k ＞0）的图象与反比例函数y ＝x8（x ＞0）的图象交于点A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，AD ⊥x 轴于点D ，CB ＝CD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ．（1）点E 是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；（2）连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形．①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当|PE ﹣PB |最大时，求点P 的坐标．【分析】（1）设点A 的坐标为（m ，），根据轴对称的性质得到AD ⊥CE ，AD 平分CE ，如图，连接CE交AD 于H ，得到CH ＝EH ，求得E （2m ，），于是得到点E 在这个反比例函数的图象上；（2）①根据正方形的性质得到AD ＝CE ，AD 垂直平分CE ，求得CH ＝AD ，设点A 的坐标为（m ，），得到m ＝2（负值舍去），求得A （2，4），C （0，2），把A （2，4），C （0，2）代入y ＝kx +b 得，解方程组即可得到结论；②延长ED 交y 轴于P ，根据已知条件得到点B 与点D 关于y 轴对称，求得|PE ﹣PD |＝|PE ﹣PB |，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE 的解析式为y ＝x ﹣2，于是得到结论．【解答】解：（1）点E 在这个反比例函数的图象上，理由：∵一次函数y ＝kx +b （k ＞0）的图象与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于点A ，∴设点A 的坐标为（m ，），∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴AD⊥CE，AD平分CE，如图．连接CE交AD于H，∴CH＝EH，∵BC＝CD，OC⊥BD，∴OB＝OD，∴OC＝AD，∵AD⊥x轴于D，∴CE∥x轴，∴E（2m，），∵2m×＝8，∴点E在这个反比例函数的图象上；（2）①∵四边形ACDE为正方形，∴AD＝CE，AD垂直平分CE，∴CH＝AD，设点A的坐标为（m，），∴CH＝m，AD＝，∴m＝×，∴m＝2（负值舍去），∴A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，∴；②延长ED交y轴于P，∵CB＝CD，OC⊥BD，∴点B与点D关于y轴对称，∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P 即为符合条件的点，由①知，A （2，4），C （0，2），∴D （2，0），E （4，2），设直线DE 的解析式为y ＝ax +n ，∴，∴，∴直线DE 的解析式为y ＝x ﹣2，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴P （0，﹣2）．故当|PE ﹣PB |最大时，点P 的坐标为（0，﹣2）．14．（2022•济南）如图，一次函数y ＝21x +1的图象与反比例函数y ＝xk （x ＞0）的图象交于点A （a ，3），与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．【分析】（1）将点A 的坐标代入y ＝求得a ，再把点A 坐标代入y ＝求出k ；（2）先求出A ，B ，C 三点坐标，作CD ⊥x 轴于D ，交AB 于E ，求出点E 坐标，从而求得CE 的长，进而求得三角形ABC的面积；（3）当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y＝求得点P的横坐标．【解答】解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝x+1得，，∴a＝4，把x＝4，y＝3代入y＝得，3＝，∴k＝12；（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），①如图1，作CD⊥x轴于D，交AB于E，当x＝2时，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴x A＝＝8；②如图2，当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，∴y P＝1+3﹣0＝4，当y＝4时，4＝，∴x＝3，∴P（3，4），当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的▱ABQ′P′），由y Q′﹣y B＝y P′﹣y A得，0﹣1＝y P′﹣3，∴y P′＝2，当y＝2时，x＝＝6，∴P′（6，2），综上所述：P（3，4）或（6，2）．15．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：时间x（天）3569……硫化物的浓度y（mg/L）4.5 2.7 2.25 1.5……（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【分析】（1）设AC的函数关系式为：y＝kx+b，将A和C代入，从而求得k，b，进而求得的结果；（2）可推出x•y＝13.5为定值，所以当x≥3时，y是x的反比例函数，进而求得结果；（3）将x＝15代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，从而得出结论．【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，∴，∴，∴线段AC的函数表达式为：y 2.5x+12（0≤x＜3）；（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，∴y是x的反比例函数，∴y＝（x≥3）；（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：当x＝15时，y＝＝0.9，∵13.5＞0，∴y随x的增大而减小，∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．。
中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习附答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．（1）求k的值；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（，5），∴k=5 ；（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2= ，解得x= ，∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，∴菱形ABCD平移的距离为，同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，菱形ABCD平移的距离为，综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．4．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．5．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C（3，1）（1）试确定上述比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）点D（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点C作直线AC⊥x 轴于点A，交OD的延长线于点B；若点D是OB的中点，DE⊥x轴于点E，交OC于点F，试求四边形DFCB的面积．【答案】（1）解：将点C（3，1）分别代入y= 和y=ax，得：k=3，a= ，∴反比例函数解析式为y= ，正比例函数解析式为y= x；（2）解：观察图象可知，在第二象限内，当0＜x＜3时，反比例函数值大于正比例函数值；（3）解：∵点D（m，n）是OB的中点，又在反比例函数y= 上，∴OE= OA= ，点D（，2），∴点B（3，4），又∵点F在正比例函数y= x图象上，∴F（，），∴DF= 、BC=3、EA= ，∴四边形DFCB的面积为 ×（ +3）× = ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法把C坐标代入解析式即可；（2）须数形结合，先找出交点，在交点的左侧与y轴之间，反比例函数值大于正比例函数值.（3）求出DF、BC、EA，代入梯形面积公式即可.6．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是________；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．【答案】（1）﹣2（2）3【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，n+2），依题意得：，解得：k=﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC．又∵ = ，∴ = = ．令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b，∴BO=b；令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b，解得：x= ，即AO= ．∵△AOB∽△AEC，且 = ，∴．∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b．∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4，解得：b=3 ，或b=﹣3 （舍去）．故答案为：3 ．【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出==，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。
专题14 反比例函数(归纳与讲解)(解析版)
专题14 反比例函数【专题目录】技巧1：求反比例函数表达式的六种方法技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用【题型】一、反比例的定义【题型】二、反比例函数的图象【题型】三、反比例函数的性质【题型】四、求反比例函数解析式【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义【题型】六、反比例函数与一次函数综合【题型】七、实际问题与反比例函数【考纲要求】1、理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．2、会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质．3、能用反比例函数解决某些实际问题.【考点总结】一、反比例函数的概念【考点总结】二、反比例函数的图象和性质【注意】反比例函数x ky =（k ≠0）系数k 的几何意义 从反比例函数xky =（k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k |。
常见模型如图：【技巧归纳】技巧1：求反比例函数表达式的六种方法 【类型】一、利用反比例函数的定义求表达式1．若y ＝(m ＋3)xm 2－10是反比例函数，试求其函数表达式．【类型】二、利用反比例函数的性质求表达式2．已知函数y ＝(n ＋3)xn 2＋2n －9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y 随x 的增大而减小，求此函数的表达式．【类型】三、利用反比例函数的图象求表达式3．如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象在第一象限交于点C ，如果点B 的坐标为(0，2)，OA ＝OB ，B 是线段AC 的中点．求：(1)点A 的坐标及一次函数表达式； (2)点C 的坐标及反比例函数表达式．【类型】四、利用待定系数法求表达式4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，⎝⎛⎭⎫2，12，求y 与x 的函数表达式．【类型】五、利用图形的面积求表达式5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝kx 上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求B 点所在双曲线对应的函数表达式．【类型】六、利用实际问题中的数量关系求表达式 6．某运输队要运300 t 物资到江边防洪．(1)运输时间t(单位：h )与运输速度v(单位：t /h )之间有怎样的函数关系？(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h 之内运到江边，则运输速度至少为多少？ 参考答案1．解：由反比例函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10＝－1，m ＋3≠0，∴m ＝3. ∴此反比例函数的表达式为y ＝6x.易错点拨：该题容易忽略m ＋3≠0这一条件，得出m ＝±3的错误结论．2．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －9＝－1，n ＋3＞0.解得n ＝2(n ＝－4舍去)． ∴此函数的表达式是y ＝5x.3．解：(1)∵OA ＝OB ，B(0，2)，点A 在x 轴负半轴上，∴点A 的坐标为(－2，0)．设一次函数表达式为y ＝ax ＋b ，将A(－2，0)，B(0，2)的坐标代入表达式得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴一次函数表达式为y ＝x ＋2.(2)如图，过点C 作x 轴的垂线，交x 轴于点D.∵B 为AC 中点，且BO ∥CD ， ∴BO CD ＝12.∴CD ＝4. 又∵C 点在第一象限，∴设点C 的坐标为(m ，4)，代入y ＝x ＋2得m ＝2. ∴点C 的坐标为(2，4)．将C(2，4)的坐标代入y ＝kx (k≠0)，得k ＝8.∴反比例函数表达式为y ＝8x.4．解：∵y 1与x 成正比例，∴设y 1＝k 1x(k 1≠0)． ∵y 2与x 成反比例， ∴设y 2＝k 2x(k 2≠0)．由y ＝y 1＋y 2，得y ＝k 1x ＋k 2x.又∵y ＝k 1x ＋k 2x 的图象经过(1，2)和⎝⎛⎭⎫2，12两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 1＋k 2，12＝2k 1＋k 22.解此方程组得⎩⎨⎧k 1＝－13，k 2＝73.∴y 与x 的函数表达式是y ＝－13x ＋73x.5．解：如图，延长BA 交y 轴于点E ，由题意可知S 矩形ADOE ＝1，S 矩形OCBE ＝k.∵S 矩形ABCD ＝6， ∴k －1＝6.∴k ＝7.∴B 点所在双曲线对应的函数表达式是y ＝7x.6．解：(1)由已知得vt ＝300.∴t 与v 之间的函数关系式为t ＝300v(v ＞0)．(2)运了一半物资后还剩300×⎝⎛⎭⎫1－12＝150(t )，故t 与v 之间的函数关系式变为t ＝150v(v ＞0)．将t ＝2代入t ＝150v ，得2＝150v.解得v ＝75.因此剩下的物资要在2 h 之内运到江边，运输速度至少为75 t /h . 技巧2：反比例函数系数k 的几何意义解与面积相关问题 【类型】一、反比例函数的系数k 与面积的关系1．如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－4x 和y ＝2x 的图象交于A 点和B 点，若C 为x 轴上的任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，P 是反比例函数y ＝kx 的图象上一点，过P 点分别向x 轴，y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )A ．y ＝－6xB ．y ＝6xC ．y ＝－3xD ．y ＝3x3．如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD 为( )A ．36B ．12C ．6D ．34．如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，B C ⊥x 轴于点C ，则△ABC的面积为( )A ．1B ．2C ． 3D ．45．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，点A ，C 为反比例函数y ＝kx (x ＜0)图象上的点，过点A ，C 分别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B ，D ，连接OA ，AC ，OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为32时，k 的值为( )A ．4B ．6C ．－4D ．－6【类型】二、已知面积求反比例函数的表达式 题型1：已知三角形面积求函数表达式7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO ，已知S △AOB ＝4.(1)求该反比例函数的表达式和直线AB 对应的函数表达式； (2)若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积．题型2：已知四边形面积求函数表达式8．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数y ＝－x －(k ＋1)的图象与函数y ＝kx 在第二象限的图象的交点，AB ⊥x 轴于B ，AD ⊥y 轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3.(1)求两函数的表达式；(2)求两函数图象的交点A ，C 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一动点，且S △APC ＝5，求点P 的坐标．【类型】三、已知反比例函数表达式求图形的面积 题型1：利用对称性求面积9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y ＝－6x ，y ＝6x ，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？题型2：利用点的坐标及面积公式求面积10．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x (x ＜0)的图象相交于点A ，点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－2，4)，点B 的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的表达式； (2)求△AOC 的面积．题型3：利用面积关系求点的坐标11．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A(3，1)在反比例函数y ＝kx的图象上．(1)求反比例函数y ＝kx的表达式；(2)在x 轴的负半轴上存在一点P ，使得S △AOP ＝12S △AOB ，求点P 的坐标；(3)若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE ，点A ，O 的对应点分别为点E ，D.直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．参考答案1．A 点拨：设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ABC ＝12AB·h＝12(AP ＋BP)·h ＝12(AP·h ＋BP·h) ＝12(|－4|＋|2|) ＝12×6 ＝3. 故选A . 2．A3．D 点拨：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a ，b ，可得出B 点坐标为(a ＋b ，a －b)．因为点B 在反比例函数y ＝6x 第一象限的图象上，所以(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2＝6.所以S △AOC －S △BAD ＝12a 2－12b 2＝12(a 2－b 2)＝12×6＝3.故选D . 4．A5．D 点拨：由题意，易得出S △ODB ＝S △AOC ＝12×|－4|＝2.易知OC ＝OD ，AC ＝BD ，所以S △AOC ＝S △ODA＝S △ODB ＝S △OBC ＝2.所以四边形ACBD 的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝8.6．C 点拨：设点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，k m ，则点E ⎝⎛⎭⎫12m ，k 2m ，A ⎝⎛⎭⎫12m ，2km ，根据三角形的面积公式可得出S △AEC ＝－38k ＝32，由此即可求出k 值．7．解：(1)如图，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D.由题易知OA ＝2，BD ＝n.∴S △AOB ＝12OA·BD ＝12×2n ＝4.∴n ＝4.∴B 点的坐标为(2，4)．∴反比例函数的表达式为y ＝8x.设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，2k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2. ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝x ＋2.(2)对于y ＝x ＋2，当x ＝0时，y ＝0＋2＝2，∴C 点的坐标为(0，2)． ∴OC ＝2.∴S △OCB ＝S △AOB －S △AOC ＝4－12×2×2＝2.8．解：(1)由题中图象知k ＜0，由已知条件得|k|＝3，∴k ＝－3.∴反比例函数的表达式为y ＝－3x ，一次函数的表达式为y ＝－x ＋2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝－x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－1.∴点A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点P 的坐标为(0，m)，直线y ＝－x ＋2与y 轴的交点为M ，则点M 的坐标为(0，2)． ∵S △APC ＝S △AMP ＋S △CMP ＝12PM(|－1|＋|3|)＝5，∴PM ＝52，即|m －2|＝52.∴m ＝92或m ＝－12.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，92或⎝⎛⎭⎫0，－12.9．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD 分成四个全等的小矩形．因为点A 为y ＝6x的图象上的一点，所以S 矩形AEOH ＝6.所以S 矩形ABCD ＝4×6＝24.所以总费用为25×24＝600(元)．所以所需钢条一共要花600元．10．解：(1)∵点A(－2，4)在反比例函数y ＝k 2x的图象上，∴k 2＝－8.∴反比例函数的表达式为y ＝－8x.(2)∵点B 的横坐标为－4，且点B 在反比例函数y ＝－8x 的图象上，∴其纵坐标为2.∴点B 的坐标为(－4，2)．∵点A(－2，4)，B(－4，2)在直线y ＝k 1x ＋b 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－2k 1＋b ，2＝－4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，b ＝6. ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝x ＋6.当y ＝0时，x ＝－6. ∴点C 的坐标为(－6，0)． ∴S △AOC ＝12×6×4＝12.11．解：(1)∵点A(3，1)在反比例函数y ＝kx的图象上，∴k ＝3×1＝ 3.∴反比例函数的表达式为y ＝3x. (2)∵A(3，1)，AB ⊥x 轴于点C ， ∴OC ＝3，AC ＝1.由题意易得△AOC ∽△OBC ， ∴OC BC ＝AC OC . ∴BC ＝OC 2AC＝3.∴B 点坐标为(3，－3)． ∴S △AOB ＝12×3×(1＋3)＝2 3.∴S △AOP ＝12S △AOB ＝ 3.设点P 的坐标为(m ，0)，∴12×|m|×1＝ 3. ∴|m|＝2 3.∵P 是x 轴的负半轴上的点， ∴m ＝－2 3.∴点P 的坐标为(－23，0)． (3)点E 的坐标为(－3，－1)．点E 在该反比例函数的图象上，理由如下： ∵－3×(－1)＝3＝k ，∴点E 在该反比例函数的图象上． 技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用【类型】一、反比例函数图象与一次函数图象的位置判断1．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝kx(k≠0)的图象大致是( )2．一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝kx (k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则k ，b 的取值范围是( )A ．k>0，b>0B ．k<0，b>0C ．k<0，b<0D ．k>0，b<0【类型】二、反比例函数与一次函数的图象与性质3．如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2x的图象交于A(1，2)，B 两点，给出下列结论：①k 1<k 2；②当x<－1时，y 1<y 2；③当y 1>y 2时，x>1；④当x<0时，y 2随x 的增大而减小．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知函数y 1＝x(x≥0)，y 2＝4x(x>0)的图象如图所示，则以下结论：①两函数图象的交点A 的坐标为(2，2)； ②当x>2时，y 1>y 2； ③当x ＝1时，BC ＝2；④两函数图象构成的图形是轴对称图形；⑤当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是____________．【类型】三、反比例函数与一次函数的有关计算 题型1：利用点的坐标求面积5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋n 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线y ＝4x在第一象限内交于点C(1，m)．(1)求m 和n 的值；(2)过x 轴上的点D(3，0)作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线y ＝4x 交于点P ，Q ，求△APQ 的面积．题型2：利用面积求点的坐标6．如图，A ⎝⎛⎭⎫－4，12，B(－1，2)是一次函数y 1＝ax ＋b 与反比例函数y 2＝mx 图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，y 1－y 2>0? (2)求一次函数表达式及m 的值．(3)P 是线段AB 上一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 的坐标．参考答案 1．A 2.C3．C 点拨：把点A (1，2)的坐标分别代入y ＝k 1x ，y ＝k 2x 中，得k 1＝2，k 2＝2.所以①是错误的，易知点B 的坐标为(－1，－2)，由图象可知②，④是正确的，当y 1＞y 2时，x >1或－1＜x ＜0，所以③是错误的，故选C. 4．①②④⑤5．解：(1)把C(1，m)的坐标代入y ＝4x ，得m ＝41，∴m ＝4.∴点C 的坐标为(1，4)．把C(1，4)的坐标代入y ＝2x ＋n ，得4＝2×1＋n ，解得n ＝2. (2)对于y ＝2x ＋2，令x ＝3，则y ＝2×3＋2＝8， ∴点P 的坐标为(3，8)．令y ＝0，则2x ＋2＝0，得x ＝－1， ∴点A 的坐标为(－1，0)． 对于y ＝4x ，令x ＝3，则y ＝43.∴点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，43. ∴PQ ＝8－43＝203，AD ＝3＋1＝4.∴△APQ 的面积＝12AD·PQ ＝12×4×203＝403.点拨：注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的表达式，解答这类题通常运用方程思想．6．解：(1)在第二象限内，当－4<x<－1时，y 1－y 2>0.(2)∵双曲线y 2＝m x 过A ⎝⎛⎭⎫－4，12，∴m ＝－4×12＝－2. ∵直线y 1＝ax ＋b 过A ⎝⎛⎭⎫－4，12，B(－1，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋b ＝12，－a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝52.∴y 1＝12x ＋52.(3)设P ⎝⎛⎭⎫n ，12n ＋52，过P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ， ∴PM ＝12n ＋52，PN ＝－n.∵S △PCA ＝S △PDB ， ∴12·AC·CM ＝12·BD·DN ， 即12×12(n ＋4)＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12n －52，解得n ＝－52. ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－52，54.【题型讲解】【题型】一、反比例的定义 例1、反比例函数ky x=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（ ） A ．2k =B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小【答案】C【提示】将点（2,1）代入ky x=中求出k 值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一提示即可． 【详解】将点（2,1）代入ky x=中，解得：k=2， A ．k=2，此说法正确，不符合题意；B ．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；C ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法错误，符合题意；D ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法正确，不符合题意； 故选：C ．【题型】二、反比例函数的图象例2、已知点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 都在反比例函数ky x=()0k <的图像上，且1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．213y y y >>B ．321y y y >>C ．123y y y >>D ．312y y y >>【答案】A【提示】首先画出反比例函数ky x=()0k <，利用函数图像的性质得到当1230x x x <<<时，1y ，2y ，3y 的大小关系．【详解】解：反比例函数ky x=()0k <， ∴ 反比例函数图像在第二、四象限，观察图像：当1230x x x <<<时， 则213y y y >>． 故选A ．【题型】三、反比例函数的性质例3、已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【答案】B【提示】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．【详解】解： 观察图像①可得120,0k k >>，所以120k k >，①符合题意； 观察图像①可得120,0k k <>，所以120k k <，①不符合题意； 观察图像①可得120,0k k ><，所以120k k <，①不符合题意； 观察图像①可得120,0k k <<，所以120k k >，①符合题意； 综上，其中符合120k k ⋅>的是①①， 故答案为：B ．【题型】四、求反比例函数解析式例4、已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( ) A ．y =2xB ．y =﹣2xC ．y =8xD ．y =﹣8x【答案】D【提示】设解析式y =kx，代入点(2,-4)求出k 即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为y =kx，将(2，-4)代入，得：-4=2k，解得：k =-8，所以这个反比例函数解析式为y =-8x． 故选：D ．【题型】五、反比例函数比例系数k 的几何意义 例5、如图，点A 是反比例函数ky x=图象上的一点，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若AOD ∆的面积为1，则k 的值为（ ）A ．43B ．83C ．3D ．4【答案】D【提示】先设出点A 的坐标，进而表示出点D 的坐标，利用①ADO 的面积建立方程求出2mn =，即可得出结论．【详解】点A 的坐标为（m ，2n ）， ①2mn k =， ①D 为AC 的中点， ①D （m ，n ），①AC①x 轴，①ADO 的面积为1， ①()ADO11121222SAD OC n n m mn =⋅=-⋅==， ①2mn =， ①24k mn ==， 故选：D ．【题型】六、反比例函数与一次函数综合 例6、如图，函数(0)y kx b k =+≠与my (m 0)x=≠的图象相交于点(2,3),(1,6)A B --两点，则不等式mkx b x+>的解集为（ ）A ．2x >-B ．20x -<<或1x >C ．1x >D ．2x <-或01x << 【答案】D【提示】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：①函数()0y kx b k =+≠与()0my m x=≠的图象相交于点(2,3),(1,6)A B --两点， ①不等式mkx b x+>的解集为：2x <-或01x <<， 故选：D ．【题型】七、实际问题与反比例函数例7、南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y 天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x 千立方米．（1）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？ 【答案】（1）600y x=（0<x≤600）；（2）实际挖掘了500天才能完成首期工程 【提示】（1）根据“工作时间=总工作量÷每天工作量”，即可得出y 关于x 的函数关系式； （2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可． 【详解】解：（1）①共有土石方总量600千立方米， ①600y x=（0<x≤600）； （2）由题意得6006001000.2x x -=+， 解得x 1=1，x 2=65-（负值舍去），经检验x=1是原分式方程的解 1+0.2=1.2千立方米， 600÷1.2=500天．答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．反比例函数（达标训练）一、单选题1．学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10C ︒，加热到100C ︒时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温()C y ︒与通电时间()min x 成反比例关系．当水温降至20C ︒时，饮水机再自动加热，若水温在20C ︒时接通电源，水温y 与通电时间x 之间的关系如图所示，则水温要从20C ︒加热到100C ︒，所需要的时间为（ ）A ．6minB ．7minC ．8minD ．10min【答案】C【分析】由图像知加热时水温()C y ︒与通电时间()min x 成正比例关系，通电加热时水温每分钟上升10C ︒，所以关系式为1020y x =+，进而可求得水温要从20C ︒加热到100C ︒所需要的时间．【详解】解：由图可知水温要从20C ︒加热到100C ︒，水温()C y ︒与通电时间()min x 成正比例关系，关系式为1020y x =+ ， 当100y =时，8x =． 故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．如图是反比例函数3y x=-的图象，当1x >时，y 的取值范围是（ ）A ．1y >-B ．3y <-C ．03y <<D ．30y -<<【答案】D【分析】结合图形可知当1x >，反比例函数在x 轴下方，并随x 的增大而增大，即可作答． 【详解】由反比例函数3y x-=的图象可知： 当x =1时，y =-3，当1x >，反比例函数的图象在x 轴下方，并随x 的增大而增大， 则有-30y ＜＜， 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，注重数形结合是快速解答本题的关键． 3．已知反比例函数ky x=的图象经过点()12P --，，则这个函数的图象位于（ ） A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限【答案】B【分析】直接根据P 的位置和反比例函数关于原点成中心对称，即可得出答案． 【详解】解法一：①P （-1，-2）在第三象限， ①反比例函数过第三象限 ①反比例函数图形关于原点对称 ①反比例函数ky x=位于一、三象限 故选：B ．解法二：将P （-1，-2）代入ky x= 得2k =， ①20k =>， ①反比例函数ky x=位于一、三象限， 故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数图象，理解k 的符号与反比例函数图象的位置是解题的关键． 4．若点P （1，3）在反比例函数y =kx（k ≠0）的图象上，则k 的值是（ ）AB ．3C ．D ．-3【答案】B【分析】把点的坐标代入函数解析式，即可求出k ． 【详解】①点P (1,3)在反比例函数ky x=（k ≠0）的图象上， ①31k=，即k =3． 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，理解反比例函数的性质是解答本题的关键． 5．若点(2,3)A -在反比例函数ky x=的图象上，则k 的值是（ ） A ．1 B ．6 C ．6- D ．3【答案】C【分析】把点(2,3)A -代入反比例函数ky x=即可求出． 【详解】解：将点(2,3)A -代入反比例函数ky x=，得236k =-⨯=-，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键．二、填空题6．点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在函数4y x=-的图像上，若120x x <<，则1y __2y ．（填“>”、“<”或“=”）【答案】>【分析】根据反比例函数的性质即可求得答案． 【详解】解：由题意得，0k <，则当0x >时，0y <；当0x <时，0y >，120x x <<，12y y ∴>，故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握当0k <时反比例函数的性质是解题的关键 ． 7．当2x =时，函数21y x =-+的值是______． 【答案】-2【分析】把2x =代入函数的解析式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：2221y ==--+． 故答案为：2-．【点睛】本题主要考查了求反比例函数的函数值，正确理解自变量与函数值之间的关系成为解答本题的关键．三、解答题8．如图，在平面直角坐标系中，点()1,6A 在反比例函数6y x=的图象上，将点A 先向右平移2个单位长度，再向下平移a 个单位长度后得到点B ，点B 恰好落在反比例函数6y x=的图象上．(1)求点B 的坐标．(2)连接BO 并延长，交反比例函数的图象于点C ，求ABC 的面积． 【答案】(1)点B 的坐标为（3，2） (2)16【分析】（1）利用A 的坐标得到B 的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标； （2）过点B 作BD x ∥轴交AC 于点D ，根据反比例函数的中心对称性得到C 的坐标，从而求得直线AC 解析式，进而求得D 点坐标，然后根据ABDABC BCDS S S=+△求得即可．（1）①点A 的坐标为（1，6），①点B 是由点A 向右平移2个单位长度，向下平移a 个单位长度得到， ①点B 的横坐标为3， 将3x =代入6y x=中，得2y =， ①点B 的坐标为（3，2）； （2）过点B 作BD x ∥轴交AC 于点D ，如图所示，由题意，可知点C 与点B 关于原点对称， ①点C 的坐标为（－3，－2）， 设直线AC 解析式为y =kx +b ，将A 、C 代入得，623k bk b =+⎧⎨-=-+⎩，解得24k b =⎧⎨=⎩，①直线AC 的解析式为24y x =+， 由题意，易得点D 的纵坐标为2， 将2y =代入24y x =+中，得1x =-， ①点D 的坐标为（－1，2）， ①()()1162ABDABC BCDB D AC S SSx x y y =+=--=△． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．反比例函数（提升测评）一、单选题1．如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝1a x-（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ①y轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D【分析】设1a B m m -⎛⎫⎪⎝⎭，，由S △BCD =112a m m -⋅即可求解.【详解】解：设1a B m m -⎛⎫⎪⎝⎭，，①BD ①y 轴①S △BCD =112a m m-⋅=5，解得：11a = 故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键． 2．已知一次函数y x b =-+与反比例函数4y x=的图象有2个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．4b > B ．44b -<< C ．4b >或4b <- D ．4b <-【答案】C【分析】构建方程组，利用一元二次方程的根的判别式进行求解．【详解】解：由4y x y x b⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 得到：240x bx -+=， 一次函数y x b =-+与反比例函数4y x=的图象有2个公共点， ∴①0>，即2160b ->，4b ∴>或4b <-，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 3．关于函数2y x=-，下列说法中正确的是（ ）A ．图像位于第一、三象限B ．图像与坐标轴没有交点C ．图像是一条直线D ．y 的值随x 的值增大而减小【答案】B【分析】根据反比例函数的图像和性质即可判断．【详解】解：在y =-2x中，k =-2＜0，①图像位于第二、四象限，图像是双曲线，在每一象限内，y 随着x 增大而增大， 故A ，C ，D 选项不符合题意， ①x ≠0，y ≠0，①函数图像与坐标轴没有交点， 故B 选项符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的性质与系数的关系是解题的关键．4．已知函数aby x=，当0x >时，y 随x 增大而减小，则关于x 的方程230ax x b +-=的根的情况是( ) A ．有两个正根 B ．有一个正根一个负根 C ．有两个负根 D ．没有实根【答案】B【分析】先根据反比例函数的性质求出ab >0，再根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断即可．【详解】解：①当0x >时，y 随x 增大而减小， ①ab >0．①()234940a b ab ∆=--=+>，①方程有两个不相等的根． ①120bx x a=-<， ①方程有一个正根一个负根． 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是求出ab >0．5．如果A （2，y 1），B （3，y 2）两点都在反比例函数y =1x的图象上，那么y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．12y y ≥【答案】B【分析】根据反比例函数的增减性即可得到答案．【详解】解：①反比例函数y =1x 的图象在每一象限内y 随x 的增大而减小，而A （2，y 1），B （3，y 2）两点都在反比例函数y =1x第一象限的图象上，①12,y y > 故选B【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握“()0ky k x=≠的图象当0k >时，图象在每一象限内y 随x 的增大而减小”是解本题的关键．二、填空题6．如图，A 、B 是双曲线y ＝kx上的两个点，过点A 作AC ①x 轴，交OB 于点D ，垂足为点C ，连接OA ，若①ODC 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为________．【答案】8【分析】设(),B m n ．根据中点坐标公式和①ODC 的面积确定mn =16，再结合反比例函数比例系数k 的几何意义即可求解． 【详解】解：设(),B m n ． ①D 为OB 中点， ①11,22D m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭．①AC ①x 轴， ①12OC m =，12CD n =． ①①ODC 的面积为1， ①1111222m n =⋅⋅． ①mn =8．①点B 在反比例函数ky x=上， ①k n m=． ①k =mn ． ①k =8． 故答案为：8．【点睛】本题考查中点坐标公式，根据图形面积求反比例函数比例系数k ，熟练掌握这些知识点是解题关键．7．已知点()()()112233213P y P y P y -，，，，，在反比例函数2y x=-的图象上，则123y y y ，，的大小关系为________．（用“<”连接） 【答案】231<<y y y【分析】分别将点()()()112233213P y P y P y -，，，，，代入反比例函数解析式中，求出123y y y ，，的大小进行比较即可．【详解】解：将点()()()112233213P y P y P y -，，，，，代入反比例函数2=y x-中， 可得：12==12y --，22==21y --，32=3y -， ①231<<y y y ． 故答案为：231<<y y y【点睛】本题考查了反比例函数值的大小比较，解本题的关键在熟练掌握代入法和有理数比大小的方法．当然本题也可以利用反比例函数的性质来进行比较．三、解答题8．如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于点(4,1),(1,)A B n -两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式： (2)根据图象，直接写出满足1kk x bx+的x 的取值范围； (3)连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求ABC 的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为4y x= ，次函数解析式为3y x =- (2)x ≥4或-1≤x ＜0 (3)15ABC S =△【分析】（1）把A 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求反比例函数的解析式，把B 的坐标代入求出B 的坐标，把A 、B 的坐标代入一次函数1y k x b =+即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和A 、B 的坐标即可得出答案；（3）过C 点作CD ∥y 轴，交直线AB 于D ，求出D 的坐标，即可求得CD ，然后根据ABC ACD BCD S S S =+△△△即可求出答案． （1）解：①反比例函数y ＝kx的图象经过点A （4，1），①414k =⨯= ， ①反比例函数解析式为4y x=， 又点B （﹣1，n ）在反比例函数4y x=上， ①441==--n ， ①B 的坐标为（-1，-4），把A （4，1），B （﹣1，-4）代入1y k x b =+ ，得1141{4+=-+=-k b k b ， 解得11{3==-k b ， ①一次函数解析式为3y x =- ； （2）解：由图象及交点坐标可知： 当x ≥4或-1≤x ＜0时，k 1x +b ≥﹣kx；（3）解：过C 点作CD ∥y 轴，交直线AB 于D ， ①B （-1，-4），B 、C 关于原点对称， ①C （1，4），把x =1代入y =x -3，得y =-2， ①D （1，-2），CD =6， ①1163621522=+=⨯⨯+⨯⨯=ABCACDBCDSSS．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．。
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反比例函数知识归纳+真题解析【知识归纳】（一）反比例函数的概念k1.y = - （kHO）可以写成______ 的形式，注意自变量x的指数为zl，在解决有关自变量x指数问题时应特别注意系数_这一限制条件；2.y = -（kHO）也可以写成____ 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式屮的k,从而得到反比例函数的解析式；3.反比例函数y =-的自变量—,故函数图象与__________ 无交点.x（二）反比例函数的图象及性质k在用描点法画反比例函数y 的图象吋，应注意自变量x的取值不能为0,且x应对x称取点（关于原点对称）.1.函数解析式：_______ （kHO）2.自变量的取值范围：_____ •3.图彖：（1） _________________ 图象的形状：・|k|越大，图象的弯曲度 _____ ,曲线越平直.|k|越小，图彖的弯曲度________ .（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，当k>0时，图彖的两支分别位于_______ 象限；在每个象限内，y随x的增大而___ ；当k<0时，图象的两支分别位于—象限；在每个象限内，y随x的增大而—.（3）对称性：1.图象关于原点对称，即若（a, b）在双曲线的一支上，则______ 在双曲线的另一支上.2. ______________________________________________________________ 图象关于直线y=±x对称，即若（a, b）在双曲线的一支上，则_________________________ 在双曲线的另一支上.4.k的几何意义如图1,设点P （a, b）是双曲线y 上任意一点，作PA丄x轴于A点，PB丄y轴于B点,x则矩形PBOA的面积是____ (三角形PAO和三角形PBO的面积都是_____ •如图2,由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC丄PA的延长线于C,贝9有三角形PQC的面积为______ .图1 图2【知识归纳答案】(一)反比例函数的概念1._y = kx~x (kHO) 为T, kHO 这一2.xy二k3.xHO,故函数图象与x轴、y轴无交点.(二)反比例函数的图象及性质在用描点法画反比例函数y =-的图象时，应注意自变塑x的取值不能为0,且x应对称取x点(关于原点对称).1.函数解析式：y = — (kHO)2.自变量的収值范围：xHO.3.图象：(1)图象的形状：双曲线.|k|越大，图象的弯曲度越小,曲线越平直.|k|越小，图象的弯曲度越大.(2)图象的位置和性质：一、三象限;减小;二、四象限;增大.(3)对称性：1.图(一a, -b)2. 图（b, a ）和（-b, -a ）在双4. k 的几何意义则矩形PBOA 的面积是血（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是+ |k|）.；有三角形PQC 的 面积为2|k|.真题解析一. 选择题（共6小题）1.已知二次函数y=ax 2+bx+c （aHO ）的图象如图所示,则正比例函数y 二（b+c ）【分析】先根据二次函数的图象，确定a 、b 、c 的符号，再根据a 、b 、c 的符号 判断反比例函数y 二吐乞与一次函数y 二（b+c ） x 的图象经过的象限即可.【解答】解：由二次函数图象可知a>0, c>0,由对称轴x=・寻>0,可知b<0,当 x=l 吋，a+b+c<0,即 b+c<0,所以正比例函数y 二（b+c ） x 经过二四象限, 反比例函数y 二迸乞图象经过一三象限， 故选C.x 与反比例函数y 二O 讯& 在同一坐标系中的大致图象是 象.2.如图，若抛物线y= - X2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k,则反比例函数y二上（x>0）的图象是（）X【考点】G2：反比例函数的图象；HA：抛物线与x轴的交点.【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k二4,即可得出答案.【解答】解：抛物线y= - X2+3,当y二0时，x=±V3；当x=0 时,y=3,则抛物线y= - X2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（-1, 1）, （0, 1）, （0, 2）, （1, 1）；共有 4 个，/• k=4；故选：D.3.下列给岀的函数中，其图象是中心对称图形的是（）①函数y二x；②函数y=x2；③函数y二A.①②B.②③C.①③D.都不是【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象；R5：中心对称图形.【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点.【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形.故选C4.如图，在直角坐标系中，点A在函数y=- (x>0)的图象上，AB丄x轴于点B,XAB的垂直平分线与y轴交于点C,与函数y二亘(x>0)的图象交于点D,连结AC, CB, BD, DA,则四边形ACBD的面积等于( )VA. 2B. 2^3C・ 4 D. 4忑【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；KG：线段垂直平分线的性质.【分析】设A (a,—),可求出D (2a,—),由于对角线垂直，计算对角线乘积 a a的一半即可.【解答】解：设A (a,亘)，可求出D (2a,—),a aTAB 丄CD,114・・・S四边形ACBD二^AB・CD二青X2aX丄二4,z z a故选C.5.如图，已知点A、B分别在反比例函数y二丄(x>0), y= -- (x>0)的图象x x【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】过点A作AM±y轴于点M,过点B作BN丄y轴于点N,利用相似三角形的判定定理得出△AOMs^OBN,再由反比例函数系数k的几何意义得出S A AOM：S A B0N=1： 4, 进而可得出结论.【解答】解：过点A作AM丄y轴于点M,过点B作BN丄y轴于点N,A ZAMO=ZBNO=90°,ZAOM+ZOAM=90°,V OA±OB,A ZAOM+ZBON=90°,A ZOAM=ZBON,A AAOM^AOBN,・・•点A, B分别在反比例函数y二丄(x>0), y=-- (x>0)的图象上，X X•:S AAOM：S A BON=1： 4,A AO： BO=1： 2,「•OB： OA二2.6. 如图，A, B两点在反比例函数y二％的图象上，C, D两点在反比例函数y二巴的图象上,AC丄y轴于点E, BD丄y轴于点F, AC=2, BD=1, EF=3,则ki - k2的值是（）A. 6B. 4 C・ 3 D・ 2【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】由反比例函数的性质可知S^AOE二S^BOF二〒ki，S^C0E=S A D0F= - ~^2,结合S AAOC=S A AOE+S A COE和S A BOD=S A DOF+S A BOF可求得ki - 1<2 的值.【解答】解：连接OA、OC、OD、0B,如图：由反比例函数的性质口J知S^AOE=S ABOF=_^T kj =—ki，S^COE=S ADOF=_^" k? = -T S A AOC=S A AOE+S A COE，・••寺AC・OE二gx2OE二OE二+ (ki - k2) ...®,T S ABOD=S ADOF+S A BOF・••占BD・OF丄X (EF - OE)丄X (3 - OE)二£ - goE丄(ki - k2)…②，由①②两式解得OE二1,则灯-k2=2.故选D.二.填空题（共6小题）7. 已知反比例函数v=2 当x>3吋，V的取值范围是0<y<2・X【考点】G4：反比例函数的性质.【分析】根据反比例函数的性质可以得到反比例函数y=~,当x>3时，y的取值范围.【解答】解：Ty二2 6>0,x・••当x>0吋，y随x的增大而减小，当x二3吋，y二2,・••当x>3时，y的取值范围是0<yV2,故答案为：0<y<2.&函数y尸x与丫2二严的图象如图所示，下列关于函数y=yi+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x<2时，y随x的增大而减小；③当x>0时，函数的图象最低点的坐标是（2, 4）,其中所有正确结论的序号是①③・【考点】G4：反比例函数的性质；F6：正比例函数的性质；R7：坐标与图形变化-旋转.【分析】结合图形判断齐个选项是否正确即可.【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③结合图象的2个分支可以看出，当x=2时，y=-|=4,即在第一彖限内，最低点的坐标为（2, 4）,故正确；・••正确的有①③.故答案为：①③.9.请写出一个过点（1, 1）,且与x轴无交点的函数解析式：y二W （答案不唯 _）_. 【考点】G4：反比例函数的性质；F5：—次函数的性质；F6：正比例函数的性质；H3：二次函数的性质.【分析】反比例函数的图象与坐标轴无交点.【解答】解：反比例函数图象与坐标轴无交点，且反比例函数系数k=lXl=l, 所以反比例函数尸丄（答案不唯一）符合题意.X故答案可以是：y二丄（答案不唯一）.X10.如图，反比例函数y二2的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABCX【考点】G5：反比例函数系数k的儿何意义.【分析】可设D点坐标为（x, y）,则可表示出B点坐标，从而可表示出矩形OABC 的面积，利用xy二2可求得答案.【解答】解：设 D （x, y）,・・•反比例函数y二三的图象经过点D,xy=2,・・・D为AB的中点，/.B （x, 2y）,/• 0A二x, OC=2y,•: S 矩形OABC=OA・OC二x・2y二2xy二2 X 2=4, 故答案为：4.已知A, B两点分别在反比例函数y二上^ (mHO)和y= (mH*)的图x x 2象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为1・【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标.【分析】设A (a, b),则B (a, - b),将它们的坐标分别代入各自所在的函数解析式，通过方程来求m的值.【解答】解：设A (a, b),则B (a, - b),L 3mb ----依题意得：:厂，、2m—5-b= -------a所以沁IT匚5=0,即5m-5二0,a解得m=l.故答案是：1-12.如图，直线y= - ^y-x - V3与x, y轴分别交于点A, B,与反比例函数丫二号的图象在（- 3, 2眉）第二象限交于点C,过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D.若【考点】G&反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】过C作CE±x轴于E,求得A ( - 3, 0), B (0,-品),解直角三角形得到ZOAB=30°,求得ZCAE=30°,设。
2017年全国中考数学真题《反比例函数》分类汇编解析
2017年全国中考数学真题《反比例函数》分类汇编解析2017年全国中考数学真题《反比例函数》分类汇编解析;;反比例函数;;考点一、反比例函数（3~10分）; 1、反比例函数的概念一般地，函数xk y =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。
自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质反比例函数)0(≠=k xky k 的符号k >0k <0图像yO xOx性质①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k >0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内，y随x 的增大而减小。
①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k <0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。
在每个象限内，y随x 的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数xk y =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数)0(≠=k xk y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ?PN=xy x y =?。
k S k xy xky ==∴=,, 。
一、选择题1．（20172山东省菏泽市23分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（）A．36 B．12 C．6D．32．（20172山东省济宁市23分）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A．60 B．80 C．30 D．403.（20172福建龙岩24分）反比例函数y＝﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系是（）A．x1＞x2 B．x1＝x2 C．x1＜x2 D．不确定4．（2017贵州毕节3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2D．25．（2017海南3分）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷6．（2017河南）如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．57. （20172黑龙江龙东23分）已知反比例函数y＝，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（20172湖北荆州23分）如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B 的中点C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，则k的值为（）A．3 B．4 C．6 D．8二、填空题1. （20172江西23分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2＝．2. （20172辽宁丹东23分）反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则k ＝．3.（20172四川内江）如图10，点A 在双曲线y ＝5x上，点B 在双曲线y ＝8x上，且AB ∥x 轴，则△OAB 的面积等于______．3．（20172山东省滨州市24分）如图，已知点A 、C 在反比例函数y＝的图象上，点B ，D 在反比例函数y＝的图象上，a ＞b ＞0，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB＝，CD＝，AB 与CD 间的距离为6，则a ﹣b 的值是．4. （20172云南省昆明市23分）如图，反比例函数y ＝（k ≠0）的图象经过A ，B 两点，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，连接AO ，连接BO 交AC 于点E ，若OC ＝CD ，四边形BDCE 的面积为2，则k 的值为．5. （20172浙江省湖州市24分）已知点P 在一次函数y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ＜0，b ＞0）的图象上，将点P 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q ，点Q 也在该函数y ＝kx ＋b 的图象上．（1）k 的值是；图10（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y＝图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若＝，则b的值是．6. （20172浙江省绍兴市25分）如图，已知直线l：y＝﹣x，双曲线y＝，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C 作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为．7．（2017广西南宁3分）如图，在434正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2017?南宁）如图所示，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为．8.（20172黑龙江齐齐哈尔23分）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k＝．9．（20172湖北荆门23分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y＝图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是_______________ ．10．（20172湖北荆州23分）若12x m ﹣1y 2与3xy n ＋1是同类项，点P （m ，n ）在双曲线上，则a 的值为．三、解答题1. （20172湖北武汉28分）已知反比例函数xy 4=．(1) 若该反比例函数的图象与直线y ＝kx ＋4（k ≠0）只有一个公共点，求k 的值； (2) 如图，反比例函数xy 4=（1≤x ≤4）的图象记为曲线C 1，将C 1向左平移2个单位长度，得曲线C 2，请在图中画出C 2，并直接写出C 1平移至C 2处所扫过的面积．2. （20172吉林27分）如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上有一点A （m ，4），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位长度得到点C ，过点C 作y 轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD＝（1）点D的横坐标为（用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式．3.（20172四川泸州）如图，一次函数y＝kx＋b（k＜0）与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．4．（20172四川南充）如图，直线y＝x＋2与双曲线相交于点A （m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．5．（20172四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB ＝4，AD＝3，（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）求cos∠OAB的值；（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．6．（20172四川宜宾）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（2，﹣1），B（，n）两点，直线y＝2与y轴交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积．7.（20172湖北黄石212分）如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1）在双曲线C：y＝上，直线l1：y＝﹣x＋2，直线l2与l1关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B 的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点．（1）求双曲线C及直线l2的解析式；（2）求证：PF2﹣PF1＝MN＝4；（3）如图2所示，△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离公式为AB＝．）8.（20172青海西宁22分）如图，一次函数y＝x＋m的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x＋m≤的解集．（1）求过点B′的反比例函数解析式；（2）求线段CC′的长．10..（20172贵州安顺210分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y＝m（m≠0）x的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．11. （20172浙江省湖州市）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．（1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式；（2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米，鱼塘的长为多少米？12. （20172重庆市A卷210分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图形与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．13. （20172重庆市B卷210分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积．14．（20172山东省菏泽市23分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y＝与直线y＝﹣2x＋2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y＝﹣2x＋2另一个交点B的坐标．15．（20172山东省德州市24分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？16．（20172山东省东营市29分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝x m 的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4,OE ＝2．(1)求反比例函数的解析式；(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y轴，垂足为点F ，连接OD 、BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标.答案反比例函数一、选择题1．（20172山东省菏泽市23分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（）。
八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题
八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，也是学生在八年级学习数学的一部分。
本文将对八年级数学中的反比例函数知识点进行归纳和解析，并给出一些典型例题进行讲解。
一、反比例函数的定义和性质反比例函数，也称为倒数函数，是指在定义域内，变量的值和函数的值成反比关系，即一个变量的增大导致函数值的减小，而变量的减小导致函数值的增大。
反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x ，其中 k 是非零常数。
反比例函数的性质如下：1. 函数图像：反比例函数的图像通常是一个经过原点的开口向上的函数。
2. 定义域和值域：反比例函数的定义域是除去 x = 0 的所有实数，值域是除去 y = 0 的所有实数。
3. 单调性：反比例函数在其定义域内是单调递减的。
4. 零点：当x ≠ 0 且 y = 0 时，我们可以得到反比例函数的一个零点。
二、反比例函数的典型例题下面我们将通过一些典型例题来帮助理解反比例函数的性质和应用。
例题1：已知函数 y = 3/x ，求当 x = 2 时，函数的值 y 是多少？解析：根据反比例函数的定义，当 x = 2 时，y = 3/2。
所以函数在 x = 2 时的值为 3/2。
例题2：若反比例函数 y = k/x 的图线经过点 (2, 6)，求常数 k 的值。
解析：将点 (2, 6) 代入反比例函数的表达式，得到 6 = k/2。
解方程可以得到 k = 12，因此常数 k 的值为 12。
例题3：已知 y 和 x 成反比例关系，且 y = 15 当 x = 3，求 y = 2 时x 的值。
解析：由反比例函数的性质可知，在反比例关系中，y 和 x 是互相倒数的关系，即 y = 1/x。
根据已知条件可得 15 = 1/3，所以当 y = 2 时，x =1/2，即反比例函数的值。
例题4：若反比例函数 y = 4/x 经过点 (3, 2)，求函数的值域。
解析：将点 (3, 2) 代入反比例函数的表达式，得到 2 = 4/3x。
反比例函数知识点归纳和典型例题
反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中起着重要作用。
本文将对反比例函数的知识点进行归纳，并给出一些典型例题进行解析。
一、定义和性质反比例函数又称为倒数函数，其定义如下：设x和y是实数，且y ≠ 0，若存在一个实数k，使得y = k/x，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。
其一般形式为y = k/x，其中k为常数。
反比例函数具有以下重要性质：1. 定义域：定义除数x不能为0，所以反比例函数的定义域为x ≠ 0。
2. 值域：值域取决于常数k的正负，当k > 0时，值域为(0, +∞)，当k < 0时，值域为(-∞, 0)。
3. 对称性：反比例函数关于两个坐标轴都具有对称性。
二、图象和特殊情况反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。
当常数k > 0时，反比例函数的图象在第一象限和第三象限，当常数k< 0时，反比例函数的图象在第二象限和第四象限。
对于一些特殊情况，我们有以下例子：1. 当k > 0时，反比例函数的图象经过点(1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。
2. 当k < 0时，反比例函数的图象经过点(-1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。
三、典型例题解析下面通过几个典型例题来进一步理解反比例函数的应用。
例题1：已知y和x成反比例关系，且当x = 2时，y = 5，求当x =4时，y的值。
解析：根据反比例函数的定义，有y = k/x。
代入已知条件x = 2时，y = 5，得到5 = k/2，解得k = 10。
因此，当x = 4时，y = 10/4 = 2.5。
例题2：如果一根细木杆以每分钟1.5cm的速度缩短，那么多少分钟后长度为60cm？解析：设时间为t分钟，根据题意可以列出反比例函数y = k/x。
已知当t = 0时，y = 100，即杆子的初始长度是100cm。
考点05 反比例函数的图像和性质(解析版)
考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式ky x=（k 是常数，k ≠0）kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为-1典例引领变式拓展故答案为：2．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领根据图象可知，114x x>+的解集是-正确的有②③；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．2．如图，点(1,2)A 和点(,)B a b 是反比例函数右侧，则下列说法中，不正确的是（A ．该反比例函数解析式B ．矩形OCBD 的面积为C ．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且【详解】解：根据题意，10k ->，解得1k <，∴0k =满足题意，故选：D ．变式拓展二、填空题三、解答题把上表中的坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的(1)请在该平面直角坐标系中作出(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y与x之间的函数关系，并求②求2y关于x的函数表达式；（2）①观察表格可知，1y 是x 设1k y x=，把()30,10代入得：1030k =，∴300k =，∴612x ≤≤．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式k y x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例引领【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，题关键．利用平行四边形的面积公式得出得出k 的值．【详解】∵将该函数图像向上平移x 【答案】52【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y 轴平行，()1,B m ，D【答案】8 yx =【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点是解题的关键．先根据坐标与图形得到A【答案】5 yx =-【分析】本题考查反比例函数图像的性质，键．变式拓展【答案】28【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，即可得出答案．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴90DAB ABC ∠∠==【答案】24a <<【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx=中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领A ．4-B ．6【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，题的关键．利用APC 与PBD 相似即可解决问题．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD ⊥PDB PCA ∴∠=∠，PD x 轴，BPD PAC ∴∠=∠，APC PBD ∴ ∽，∴AC PC PD BD=．二、填空题【答案】-3【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，的面积是是解答此题的关键．作AD OB ⊥OA =12OB ，然后通过证得AOD BOA ∽何意义即可求得k 的值．∵Rt OAB 中，30ABO ∠=︒，∴OA =12OB ，∵90ADO OAB ∠∠==︒，AOD BOA ∠∠=∴AOD BOA ∽，∴214AOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，【答案】5-【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接AB y ∥轴，得ABC 和AB y ∥轴，ABC ∴ 和AOB ∆关于AB 边上的高相等，52ABC AOB S S ∆∆∴==，根据反比例函数比例系数的几何意义得：变式拓展（1）用含m 的代数式表示（2）若3OMN S =△，则【答案】24m k =90OAB ∠=︒，∴N 点的横坐标为m ，反比例函数()0k y x x=>的图象过点N ，∴N 点的纵坐标为4m ， OME OAN S S =△△，OMN OME OAN MEAN MEAN S S S S S=+-=△△△梯形梯形，3OMN S =△，三、解答题【答案】(2,4)C 或(8,1)C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形设点8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过点∵点A 、C 在反比例函数∴1842AOE COF S S ∆∆==⨯=，当04m <<时，则AOE S ∆∴6ACFE AOC S S ∆==梯形，k=【答案】6【分析】本题考查了反比例函数⊥轴，垂足为点E，连接等．作AE x到三角形AOB的面积，两个面积之和为⊥轴，垂足为点【详解】解：作AE x，AE x⊥轴，AB AC=∴=，BE CE，=5OC OB(1)求k和m的値；(2)当8x≥时，求函数值【答案】(1)10k=，m(2)5 04y<≤．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领（1）若2k =，4b =-，则（2）若CE DE =，则b 与【答案】12k +【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，系是解此题的关键．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点⊥轴于点E，过点CB作BE x()DE=---=，证明AD∥132联立43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1131x y =-⎧⎨=⎩，2113x y =-⎧⎨=⎩，∴()3,1A -，()1,3B -，二、解答题(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接OA OB ，，求OAB 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式m kx b x+<【答案】(1)6y x =，y ＝x ＋1(2)52AOB S =对于1y x =+，当0y =时，=1x -；当0x =∴()1,0C -，()0,1D ∴1,OC =1,OD =∴111112*********AOB S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ （3）解：由图象可知：不等式m kx b x+<的解集为：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点【答案】(1)反比例函数解析式为y =(2)点E 坐标为()2,3-．变式拓展(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式【答案】(1)y x =--(2)6(3)<4x -或02x <<【分析】（1）先把点A 代入反比例函数解析式，即可求出（2）先求出直线y =-（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：∵(A(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求【答案】(1)一次函数解析式1y x 4=-(2)32ABE S =△【分析】（1）利用点A 的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点待定系数法可求出一次函数的解析式；当点P在BC上运动时，则PB∵2sin ==2PH B PB ，即PH =∴(1132822y DB PH =⋅=⨯⋅()304;x x ⎧≤≤由图像可得，函数图像有最大值为（3）解：根据函数图像可得：当【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求a ，k 的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式1102k x x+-≥的解集(3)如图2，直线CD 过点A ，与反比例函数图像交于点C ，与x 轴交于点,OA OC ，求OAC 的面积．【答案】(1)4a =，12k =；(2)4x ≥(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在y轴上取一点N，当(3)将直线1y向下平移2围．根据函数图象可得：当11．如图，在平面直角坐标系例函数2myx=（m为常数，且(1)求反比例函数与一次函数的解析式．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，坐标．【答案】(1)8 yx =(2)()4,2 C90∠=∠=∠=ABO BOE AEO∴四边形ABOE是矩形，∴==，OB AE2OE AB==45，∠=︒ADO∴ 是等腰直角三角形，AED∴==，DE AE4。
部编数学九年级下册专项26反比例函数图像和性质(3大类型)(解析版)含答案
专项26 反比例函数图像和性质（3大类型）【考点1 反比例函数性质】1．若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则k＝ ．【答案】﹣6【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），∴﹣3＝，解得，k＝﹣6，故答案为：﹣6．2．若反比例函数的图象在第二、四象限，m的值为 ．【答案】-2【解答】解：∵是反比例函数，∴3﹣m2＝﹣1．解得：m＝±2．∵函数图象在第二、四象限，∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．3．已知反比例函数y＝图象位于一、三象限，则m的取值范围是 ．【答案】m＜6【解答】解：∵反比例函数y＝图象位于一、三象限，∴﹣（m﹣6）＞0，解得m＜6．故答案是：m＜6．4．在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．【答案】m＜2 【解答】解：依题意得：m﹣2＜0，解得m＜2故答案是：m＜2．5．已知点A（2，a）、B（b，﹣3）都在函数的图象y＝上，若将这个函数图象向左平行3个单位长度，则曲线AB所扫过的图形的面积是 ．【答案】9【解答】解：将A、B两点代入函数解析式，得：a＝﹣6，b＝4，∴A（2、﹣6）、B（4，﹣3），∴向左平行3个单位长度后A的对应点A'（﹣1，﹣6），B的对应点B'（1，﹣3）．∴平行四边形ABB'A'的底＝3，高＝﹣3﹣（﹣6）＝3，∴平行四边形ABB'A'的面积＝3×3＝9，∴曲线AB所扫过的图形的面积＝平行四边形ABB'A'的面积＝9．故答案为：9．【考点2 反比例大小比较】6．若点A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为 ．【答案】y2＜y1＜y3【解答】解：∵反比例函数y＝（k为常数），k2+1＞0，∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，∵点A（﹣1，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，﹣1＜﹣，点A、B在第三象限，点C在第一象限，∴y2＜y1＜y3，故答案为：y2＜y1＜y3．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y1＜y2时，x的取值范围是 ．【答案】﹣2＜x＜0或x＞4【解答】解：∵反比例函数y2＝的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），∴﹣1×n＝（﹣2）×2，∴n＝4．∴B（4，﹣1）．由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B右侧的部分满足y1＜y2，∴当y1＜y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞4．故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．8．如图，正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于A，B 两点，其中点A的横坐标为1．当k1x＜时，x的取值范围是 ．【答案】0＜x＜1或x＜﹣1【解答】解：由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B横坐标为﹣1，由图象可得当k1x＜时，x的取值范围是0＜x＜1或x＜﹣1．故答案为：0＜x＜1或x＜﹣1．【考点3 反比例函数与其他综合运用】9．在一个不透明的纸箱内装有形状、质地、大小、颜色完全相同的5张卡片，卡片上分别标有数字﹣3，﹣1，0，1，2，将它们洗匀后，背面朝上，从中随机抽取1张，把抽得的数字记作a，再从剩下的卡片中随机抽取1张，把抽得的数字记作b，则使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为 ．【答案】【解答】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴ab＞0，画树状图得：则共有20种等可能的结果，ab为正数的所有可能值为：3，3，2，2；∴使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为＝．故答案为：．10．反比例函数y＝（k为整数，且k≠0）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为（2，1），则k的值是 ．【答案】1【解答】解：假设点A（2，1）在反比例函数y＝（k为正整数）第一象限的图象上，则1＝，∴k＝2，但是点A在反比例函数y＝（k为正整数）第一象限的图象的上方，∴k＜2，∵k为整数，且k≠0，k＞0，∴k＝1，故答案为：1．11．当≤x≤2时，函数y＝的图象为曲线段CD，y＝﹣2x﹣b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若曲线段CD在△AOB的内部（且与三条边无交点），则b的取值范围为 ．【答案】b＜﹣ 【解答】解：反比例函数y＝，当≤x≤2时，≤y≤2，∵曲线段CD在△AOB的内部（且与三条边无交点），∴当x＝，﹣2×﹣b＞2 ①，当x＝2时，﹣2×2﹣b＞②，解①得b＜﹣3，解②得b＜﹣，因此，b的取值范围为b＜﹣．故答案为：b＜﹣．12．当1≤x≤2时，反比例函数y＝（k＞﹣3且k≠0）的最大值与最小值之差是1，则k 的值是 ．【答案】±2【解答】解：当k＞0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小．∴，解得k＝2，当﹣3＜k＜0时，在其每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．，解得k＝﹣2，综上所述，k＝±2．答案：±2．13．如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线y＝（k≠0）的一部分．曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P（2020，m），Q（x，n），在该“波浪线”上，则m的值为 ，n的最大值为 ．【答案】1，5【解答】解：∵y＝﹣4x2+8x+1＝﹣4（x﹣1）2+5，∴当x＝0时，y＝1，∴点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，5），∵点B（1，5）在y＝的图象上，∴k＝5，∵点C在y＝的图象上，点C的横坐标为5，∴点C的纵坐标是1，∴点C的坐标为（5，1），∵2020÷5＝404，∴P（2020，m）在抛物线y＝﹣4x2+8x+1的图象上，m＝﹣4×0+8×0+1＝1，∵点Q（x，n）在该“波浪线”上，∴n的最大值是5，故答案为：1，5．14．如图，在△ABO中，∠ABO＝90°，点A的坐标为（3，4）．写出一个反比例函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABO有两个不同的交点，这个函数的表达式为 ．【答案】y＝（答案不唯一）【解答】解：∵∠ABO＝90°，点A的坐标为（3，4），反比例函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABO有两个不同的交点，∴这个函数的表达式为：y＝（答案不唯一）．故答案为：y＝（答案不唯一）．15．如图，点P（4a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为17π，则反比例函数的解析式为 ．【答案】y＝【解答】解：∵图中阴影部分的面积为17π，∴圆的面积＝4×17π＝68π，∴圆的半径＝2，∵P（4a，a）在圆上，∴16a2+a2＝（2）2，解得a＝2或﹣2（舍去），∴P点坐标为（8，2），把P（8，2）代入y＝得k＝8×2＝16，∴反比例函数的解析式为y＝．故答案为y＝．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC，OA＝2，OC＝1，写出一个函数y＝，使它的图象与矩形OABC的边有两个公共点，这个函数的表达式可以为 （答案不唯一）．【答案】y＝，（答案不唯一，0＜k＜2的任何一个数）【解答】解：∵矩形OABC，OA＝2，OC＝1，∴B点坐标为（2，1），当函数y＝（k≠0）过B点时，k＝2×1＝2，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y＝．故答案为：y＝，（答案不唯一，0＜k＜2的任何一个数）；17．给定函数y＝，下列说法正确的有 ．①不等式y＞0的解为：x＜或x＞1；②无论t为何值，方程y＝t一定有解；③若点（x1、y1），（x2，y2）在该函数图象上而且x1＜x2，则y1＞y2；④经过原点的直线和该函数的图象一定有交点；⑤该函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．【答案】①④⑤ 【解答】解：函数y＝可化为：y＝＝3+①当y＞0时，或解得：x＞1或x＜故①正确；②∵y＝3+∴y≠3∴当t＝3时，y＝3，方程无解；故②错误；③若取x＝0，则y＝1；x＝3，y＝40＜3，1＜4，故③错误；④∵y＝3+可看作由y＝向右平移一个单位，再向上平移三个单位∴经过原点的直线和该函数的图象一定有交点故④正确；⑤∵y＝既是轴对称图形，也是中心对称图形，y＝3+是y＝平移之后的图形，故其既是轴对称图形，也是中心对称图形故⑤正确综上，正确的选项有：①④⑤故答案为：①④⑤．18．函数y1＝x与y2＝的图象如图所示，下列关于函数y＝y1+y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①③【解答】解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；③y＝x+＝（﹣）2+4≥4，当且仅当x＝2时取“＝”．即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；∴正确的有①③．故答案为：①③．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为 ．【答案】2【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H．∵直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，∴A（﹣1，0），B（0，1），∴OA＝OB＝1，∵OB∥CH，∴＝＝1，∴OA＝OH＝1，∴CH＝2OB＝2，∴C（1，2），∵点C在y＝的图象上，∴k＝2，故答案为：2．20．已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 ．【答案】5或2或【解答】解：当AO＝AB时，AB＝5；当AB＝BO时，AB＝5；当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0），∵OA＝5，∴＝5，解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB＝＝2或AB＝＝；综上所述，AB的长为5或2或．故答案为：5或2或．21．已知点A为直线y＝﹣2x上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y＝于点B．若点A 与点B关于y轴对称，则点A的坐标为 ．【答案】（，﹣2）或（﹣，2）【解答】解：因为点A为直线y＝﹣2x上，因此可设A（a，﹣2a），则点A关于y轴对称的点B（﹣a，﹣2a），由点B在反比例函数y＝的图象上可得2a2＝4，解得a＝±所以A（，﹣2）或（﹣，2），故答案为：（，﹣2）或（﹣，2）．22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A，直线y＝x﹣1与函数y＝（x＞0）的图象交于点B，与x轴交于点C．若点B的横坐标是点A的横坐标的2倍，则k的值为 ．【答案】【解答】解：直线y＝x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A，∴k＞0，设A（a，a），则B（2a，2a﹣1），代入y＝，，即a＝2a﹣1，解得，a＝，把a＝，代入a＝，得k＝，故答案为：．23．已知点A是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的一个动点，连接OA，若将线段OA 绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数关系式是 ．【答案】y＝（x＞0）【解答】解：如图，∵点A是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上∴S△OAM＝|k|＝，∵线段OB是由线段OA绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，又∵∠AOM+∠OAM＝90°，∠AOM+∠BON＝180°﹣90°＝90°，∵∠AMO＝∠ONB＝90°，∴△AOM≌△OBN（AAS），∴S△OBN ＝S△AOM＝＝|k|，又∵k＞0，∴k＝3，∴过点B的反比例函数关系式为y＝（x＞0），故答案为：y＝（x＞0）．24．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…是分别以A1，A2，A3…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1，C2，C3…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点A2021的坐标为 ．【答案】（2，0）【解答】解：设点C1的坐标为（x，），∵点C1是OB1的中点，∴点B1的坐标为（2x，），∴A1的坐标为（2x，0），∴OA1＝2x，A1B1＝，∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴OA1＝A1B1，即2x＝，解得：x＝1或x＝﹣1（舍），∴点A1的坐标为（2，0）；设点C2的坐标为（a，），∵点C2是A1B2的中点，∴点B2的坐标为（2a﹣2，），点A2的坐标为（2a﹣2，0），∴A1A2＝2a﹣4，A2B2＝，∵△A1B2A2是等腰直角三角形，∴A1A2＝A2B2，即2a﹣4＝，解得：a＝1+或a＝1﹣（舍），∴点A2的坐标为（2，0），设点C3的坐标为（m，），∵点C3是A2B3的中点，∴点B3的坐标为（2m﹣2，），点A3的坐标为（2m﹣2，0），∴A2A3＝2m﹣4，A3B3＝，∵△A2B3A3是等腰直角三角形，∴A2A3＝A3B3，即2m﹣4＝，解得：m＝+或m＝﹣（舍），∴点A3的坐标为（2，0），…，点A2021的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）．。
初中数学反比例函数分类汇编附答案解析
初中数学反比例函数分类汇编附答案解析一、选择题1．反比例函数k y x =的图象在第二、第四象限，点()()()1232,,4,,5,A y B y C y -是图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．312y y y >>D ．231y y y >> 【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图像在第二、四象限，反比例函数图像在第二、四象限，y 随x 的增大而增大，再根据三点横坐标的特点即可得出结论.【详解】解：∵反比例函数k y x=图象在第二、四象限， ∴反比例函数图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，∵-2<4<5，∴点B 、C 在第四象限，点A 在第二象限，∴23y y <<0，10y > ，∴132y y y ＞＞.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键.2．如图直线y ＝mx 与双曲线y=k x交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 此题可根据反比例函数图象的对称性得到A 、B 两点关于原点对称，再由S △ABM =2S △AOM 并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝12|k|＝1，则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．3．如图，A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=12×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=12（BD+AC）•CD=12×（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．【详解】∵A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x=2时，y=2，即A（2，2），当x=4时，y=1，即B（4，1），如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=12×4=2，∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB=S梯形ABDC，∵S 梯形ABDC =12（BD+AC ）•CD=12×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数()0k y k x=≠中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S=12|k|是解题的关键． 4．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l 与底面半径r 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr=270180l π⋅⋅，整理得l=43r （r ＞0），然后根据正比例函数图象求解．【详解】 解：根据题意得2πr=270180l π⋅⋅，所以l=43r （r ＞0）， 即l 与r 为正比例函数关系，其图象在第一象限．故选A ．【点睛】本题考查圆锥的计算；函数的图象．5．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1 yx=-、2yx=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OEOF AF=；设B为（a，1a-），A为（b，2b），得到OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，进而得到222a b=，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠2为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴BE OEOF AF=，设点B为（a，1a-），A为（b，2b），则OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，可代入比例式求得222a b=，即222ab=，根据勾股定理可得：22221OE EB aa+=+22224OF AF bb+=+∴tan∠OAB=2222222212244baOB a bOAb bb b++==++222214()24bbbb++2∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．6．使关于x的分式方程=2的解为非负数，且使反比例函数y=图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k的和为（）.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】试题分析：分别根据题意确定k的值，然后相加即可．∵关于x的分式方程=2的解为非负数，∴x=≥0，解得：k≥-1，∵反比例函数y=图象过第一、三象限，∴3﹣k＞0，解得：k＜3，∴-1≤k＜3，整数为-1,0,1，2，∵x≠0或1，∴和为-1+2=1，故选，B．考点：反比例函数的性质．7．若函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞﹣2 B．m＜﹣2C．m＞2 D．m＜2【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围．【详解】∵函数2m y x+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大， ∴m+2＜0，解得m ＜-2．故选B ．8．对于反比例函数2y x=-，下列说法不正确的是( ) A ．图象分布在第二、四象限B ．当0x >时，y 随x 的增大而增大C ．图象经过点（1,-2）D ．若点()11,A x y ，()22,B x y 都在图象上，且12x x <，则12y y <【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B. k=−2<0，当x>0时，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；C.∵221-=-,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确； D. 若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在图象上，,若x 1<0< x 2,则y 2<y 1，故本选项错误. 故选:D.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.9．已知点A （﹣2，y 1），B （a ，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数4y x =的图象上，且﹣2＜a ＜0，则（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3 【答案】D【解析】【分析】根据k ＞0，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可．【详解】∵反比例函数y=4x中的k=4＞0， ∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限，∵-2＜a ＜0，∴0＞y 1＞y 2，∵C （3，y 3）在第一象限，∴y 3＞0，∴213y y y <<，故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．10．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 【答案】B【解析】【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案．【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x =上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x=∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒∴90BOE AOF ∠+∠=︒∵BE x ⊥，AF x ⊥∴90BEO OFA ∠=∠=︒∴90OAF AOF ∠+∠=︒∴BOE OAF ∠=∠∴BOE OAF V V ∽∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∵点A 在反比例函数k y x=上 ∴12x k x=- ∴12k =-． 故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k y x x=>的图象上，若1AB =，则k 的值为（ ）A ．1B ．22C 2D ．2【答案】A【解析】【分析】 根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的 值，本题得以解决．【详解】Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=︒，CA ⊥x 轴，1AB =，45BAC BAO ︒∴∠=∠=，22OA OB ∴==，2AC =， ∴点C 的坐标为222⎛ ⎝，Q 点C 在函数()0k y x x=>的图象上， 2212k ∴==， 故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°3∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S △AOD =2是解题关键．13．直线y ＝ax (a ＞0)与双曲线y ＝3x 交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则代数式4x 1y 2－3x 2y 1的值是( )A ．－3aB ．－3C ．3aD ．3【答案】B【解析】【分析】先把1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 代入反比例函数3y x =得出11x y g 、22x y g 的值，再根据直线与双曲线均关于原点对称可知12x x =-，12y y =-，再把此关系式代入所求代数式进行计算即可．【详解】解：1(A x Q ，1)y 、2(B x ，2)y 在反比例函数3y x=的图象上， 11223x y x y ∴==g g ，Q 直线(0)y ax a =>与双曲线3y x=的图象均关于原点对称， 12x x ∴=-，12y y =-，∴原式111111433x y x y x y =+=-=--．故选：B ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象的对称性及反比例函数的性质，根据题意得出11223x y x y ==g g ，12x x =-，12y y =-是解答此题的关键．14．如图，点A ，B 是双曲线18y x=图象上的两点，连接AB ，线段AB 经过点O ，点C 为双曲线k y x=在第二象限的分支上一点，当ABC V 满足AC BC =且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出2()COFAOES OCS OA∆∆=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2()COFAOES OCS OA∆∆=＝25144，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC＝BC，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，∴∠COF＝∠OAE，∴△CFO∽△OEA，∴2()COFAOES OCS OA∆∆=，∵CA：AB＝13：24，AO＝OB，∴CA：OA＝13：12，∴CO：OA＝5：12，∴2()COF AOE SOC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0，∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．15．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k y k x=≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．25D ．6【答案】B【解析】【分析】 设E 的坐标是m n k mn =（，），， 则C 的坐标是2m n （，），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．【详解】设E 的坐标是m n k mn =（，），，， 则C 的坐标是（m ，2n ），在mn y x = 中，令2y n =，解得：2m x =， ∵1CDE S =V ，∴111,12222m m n m n -=⨯=g 即 ∴4mn =∴4k =故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．16．如图，点A 是反比例函数2(0)y x x=>的图象上任意一点，AB x P 轴交反比例函数3y x=-的图象于点B ，以AB 为边作ABCD Y ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCD S Y 为（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】 过点B 作BH ⊥x 轴于H ，根据坐标特征可得点A 和点B 的纵坐标相同，由题意可设点A 的坐标为（2a，a ），点B 的坐标为（3a -，a ），即可求出BH 和AB ，最后根据平行四边形的面积公式即可求出结论．【详解】解：过点B 作BH ⊥x 轴于H∵四边形ABCD 为平行四边形∴//AB x 轴，CD=AB∴点A 和点B 的纵坐标相同由题意可设点A 的坐标为（2a ，a ），点B 的坐标为（3a -，a ） ∴BH=a ，CD=AB=2a －（3a -）=5a∴ABCD S Y =BH·CD=5 故选D ．【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握利用反比例函数求几何图形的面积是解决此题的关键．17．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）A ．22B ．12C ．14D ．33【答案】A【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ，∴2()S OBD OB S AOC OA∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121＝12 ，∴22OBOA=，故选A．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解18．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数kyx=在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若4AB=，2CEBE=，34ADOA=，则线段BC的长度为（）A．1 B．32C．2 D．23【答案】B【解析】【分析】设OA为4a，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a，CE=2a，BE=a，从而得出点D和点E 的坐标(用a表示)，代入反比例函数可求得a的值，进而得出BC长.【详解】设OA=4a根据2CEBE=，34ADOA=得：AD=3a，CE=2a，BE=a∴D(4a，3a)，E(4a+4，a)将这两点代入解析得；3444kaakaa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得：a=1 2∴BC=AD=3 2故选：B【点睛】本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D、E的坐标，然后代入解析式求解.19．已知反比例函数y＝﹣2x的图象上有三个点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列关系是正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进行比较即可．【详解】解：∵反比例函数y＝﹣2x，∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，∵函数的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2）、（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，∴y2＜y1＜0，y3＞0∴. y2＜y1＜y3故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数ykx（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为k的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】【分析】 过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，根据A ，B 两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE ，BE 的长，根据菱形的面积为25，求得AE 的长，在Rt △AEB 中，即可得出k 的值．【详解】过点A 作x 轴的垂线，交CB 的延长线于点E ，∵A ，B 两点在反比例函数y k x =（x ＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2， ∴A （4k ，4），B （2k ，2）， ∴AE ＝2，BE 12=k 14-k 14=k ， ∵菱形ABCD 的面积为5∴BC×AE ＝5BC 5=∴AB ＝BC 5=在Rt △AEB 中，BE 22AB AE =-=1 ∴14k ＝1， ∴k ＝4．故选：C ．【点睛】 本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．。
中考数学压轴题之反比例函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案
则
，
解得
．
故直线 AP 的函数关系式为 y=x+3，
则点 C 的坐标（0，3），OC=3，
∴ S△ AOP=S△ AOC+S△ POC
= OC•AR+ OC•PS
又∵ 点 F 在反比例函数
（k＞0）的图象上，∴ k=12，
∴ 该函数的解析式为 y= （x＞0）
（2）解：由题意知 E，F 两点坐标分别为 E（ ，4），F（6，
∴ 当 k=12 时，S 有最大值．S 最大=3
【解析】【分析】）当 F 为 AB 的中点时，点 F 的坐标为（3，1），由此代入求得函数解
C 与 D 横纵坐标乘积相等，求出 b 的值确定出 B 坐标，进而求出 k 的值，确定出双曲线解 析式；（3）抓住两个关键点，将 A 坐标代入双曲线解析式求出 b 的值；将 C 坐标代入双 曲线解析式求出 b 的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时 b 的范围．
5．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A（3，3），把直线 OA 向下平移后， 与反比例函数的图象交于点 B（6，m），与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点．
（1）求 m 的值； （2）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式； （3）若点 E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积 S1
， 是四边
形 OACD 面积 S 的 ？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵ 反比例函数的图象都经过点 A（3，3），
中考数学综合题专题复习【反比例函数】专题解析附答案
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．2．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【答案】（1）解：设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，把B（10，40）代入得，k1=2，∴y1=2x+20．设C、D所在双曲线的解析式为y2= ，把C（25，40）代入得，k2=1000，∴当x1=5时，y1=2×5+20=30，当，∴y1＜y2∴第30分钟注意力更集中．（2）解：令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴，∴∵27.8﹣8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【解析】【分析】（1）根据一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求出线段AB所在的直线的解析式，和C、D所在双曲线的解析式；把x1=5时和进行比较得到y1＜y2，得出第30分钟注意力更集中；（2）当y1=36时，得到x1=8，当y2=36，得到，由27.8﹣8=19.8＞19，所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.3．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。
反比例函数全章题型分类
反比例函数知识点及分类应用一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kxy =1-2. 反比例函数解析式的特征：3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
4．反比例函数性质如下表：5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用题型一:反比例函数的定义式基础1、下列关系式中，哪个等式表示y 是x 的反比例函数（ ）A ：23y x =B ： 2x y =C ：12y x =+D ：1y x=-2、某奶粉生产厂要制造一种容积为2升(1升＝1立方分米)的圆柱形桶,桶的底面面积S 与桶高h 有怎样的函数关系式 .提高1、如果函数25(2)ky k x -=-是反比例函数，那么k=2、已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 ．题型二:反比例函数的解析式与图像面积的关系基础1、如图，过反比例函数xmy =（x ＞0）的图象上任意一点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接OA ，设△AOC 的面积为3，则m= 。
全国初中中考数学真题反比例函数分类汇编解析.docx
2017 年全国中考数学真题《反比例函数》分类汇编解析反比例函数考点一、反比例函数（ 3~10 分）1、反比例函数的概念 一般地，函数 yk（ k 是常数，k 0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成ykx 1 的x形式。
自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量 x 0，函数 y 0，所以，它的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质反比例yk(k 0)函数xk 的符号k>0k<0yy图像O x O x① x 的取值范围是 x 0，① x 的取值范围是 x0， y 的取值范围是 y 0；y 的取值范围是 y0；性质②当 k>0 时，函数图像的两个分支分别②当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内， y在第二、四象限。
在每个象限内，y随 x 的增大而减小。
随 x 的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数yk 中，只有一个待定系数，因此只需要一对x对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图， 过反比例函数 yk(k0) 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM ，PN ，则所得的矩形 PMONx的面积 S=PMPN= yx xy 。
yk , xyk, S k 。
x一、选择题1··3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO．（ 2017山东省菏泽市＝∠ ADB ＝ 90°，反比例函数 y＝在第一象限的图象经过点B，则△ OAC 与△ BAD 的面积之差 S△OAC﹣ S△BAD为（）A ． 36B ． 12C．6D． 32··3分）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x．（ 2017山东省济宁市轴的正半轴上， sin∠ AOB ＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC 交于点 F ，则△ AOF 的面积等于（）A ． 60B ．80C．30 D ．403 (4)分）反比例函数y的图象上有P1（ x1，﹣ 2）， P2（ x2，﹣（ 2017福建龙岩＝﹣3）两点，则 x1与 x2的大小关系是（）A ． x1＞ x2B ．x1＝ x2C． x1＜ x2 D ．不确定4．（ 2017 贵州毕节 3 分）如图，点 A 为反比例函数图象上一点，过 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 OA，则△ ABO 的面积为（）A ．﹣ 4B． 4C．﹣ 2 D ．25．（2017海南 3 分）某村耕地总面积为50 公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口 x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B．该村人均耕地面积y 与总人口x 成正比例C．若该村人均耕地面积为 2 公顷，则总人口有100 人D．当该村总人口为50 人时，人均耕地面积为 1 公顷6．（2017河南）如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A 作 AB⊥ x 轴于点 B，连接 AO，若 S△AOB＝ 2，则 k 的值为（）A ． 2B ．3C． 4D． 57. （2017·黑龙江龙东·3分）已知反比例函数y＝，当 1＜ x＜ 3 时， y 的最小整数值是（）A ． 3B．4C． 5D． 68．（2017·湖北荆州·3 分）如图，在Rt△ AOB 中，两直角边OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△ AOB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△ A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B 的中点 C，S△ABO＝ 4，tan∠ BAO ＝2，则 k 的值为（）A ． 3B． 4C． 6D． 8二、填空题1. （2017·江西·3 分）如图，直线l⊥ x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A， B，连接 OA ，OB，已知△ OAB 的面积为2，则 k1﹣ k2＝．2.（ 2017··3分）反比例函数y＝的图象经过点（2 3k＝．辽宁丹东，），则3.（2017·四川内江）如图 10，点 A 在双曲线5上，点 B 在双曲线 y＝8上，且 AB∥ x y y＝x x轴，则△ OAB 的面积等于 ______．A B8y＝xy＝5 xO图 10x 3．（2017·山东省滨州市·4 分）如图，已知点A、C 在反比例函数y＝的图象上，点B， D 在反比例函数 y＝的图象上，轴的两侧， AB＝， CD ＝，AB 与 CD a＞ b＞0， AB∥ CD ∥ x 轴， AB， CD 在 x 间的距离为6，则 a﹣ b 的值是．4. （2017·云南省昆明市·3分）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A，B 两点，过点 A 作 AC⊥ x 轴，垂足为C，过点 B 作 BD ⊥ x 轴，垂足为D，连接 AO，连接 BO 交AC 于点 E，若 OC＝ CD ，四边形BDCE 的面积为2，则 k 的值为．5.（ 2017·浙江省湖州市·4分）已知点P在一次函数y＝ kx＋b（k，b 为常数，且k＜0， b＞ 0）的图象上，将点P 向左平移1个单位，再向上平移 2 个单位得到点Q，点 Q 也在该函数 y＝kx＋ b 的图象上．（1）k 的值是；（2）如图，该一次函数的图象分别与x 轴、 y 轴交于 A，B 两点，且与反比例函数y＝图象交于 C，D 两点（点 C 在第二象限内），过点 C 作 CE⊥ x 轴于点 E，记 S1为四边形 CEOB 的面积， S2为△ OAB 的面积，若＝，则 b 的值是．6.（ 2017·浙江省绍兴市·5 分）如图，已知直线l ： y＝﹣ x，双曲线 y＝，在 l 上取一点 A（ a，﹣ a）（ a＞0），过 A 作 x 轴的垂线交双曲线于点B，过 B 作 y 轴的垂线交 l 于点 C，过 C 作 x 轴的垂线交双曲线于点D，过 D 作 y 轴的垂线交 l 于点 E，此时 E 与 A 重合，并得到一个正方形ABCD ，若原点 O 在正方形 ABCD 的对角线上且分这条对角线为1： 2 的两条线段，则 a 的值为．7．（2017广西南宁 3 分）如图，在 4×4 正方形网格中，有 3 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（2017?南宁）如图所示，反比例函数y＝（k≠0，x＞ 0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D．若矩形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为．8.（2017·黑龙江齐齐哈尔·3 分）如图，已知点P（6，3），过点 P 作 PM⊥ x 轴于点 M，PN⊥ y 轴于点 N，反比例函数 y＝的图象交 PM 于点 A，交 PN 于点 B．若四边形 OAPB 的面积为12，则 k＝．9．（2017·湖北荆门·3 分）如图，已知点A（ 1，2）是反比例函数 y＝图象上的一点，连接 AO 并延长交双曲线的另一分支于点B，点 P 是 x 轴上一动点；若△PAB 是等腰三角形，则点 P 的坐标是_______________．10．（2017·湖北荆州·3 分）若 12x m﹣1y2与 3xy n＋1是同类项，点 P（m，n）在双曲线上，则 a 的值为．三、解答题1.（ 2017·湖北武汉·8分）已知反比例函数 y 4 ．x(1)若该反比例函数的图象与直线y＝ kx＋4（ k≠0）只有一个公共点，求k 的值；(2)如图，反比例函数y 4（1≤x≤4）的图象记为曲线C1，将 C1向左平移 2 个单位长度，得曲线C2，请在x图中画出 C2，并直接写出C1平移至 C2处所扫过的面积．2. （2017·吉林·7 分）如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y＝（ x＞0）的图象上有一点A（ m， 4），过点 A 作 AB ⊥x 轴于点B，将点 B 向右平移 2 个单位长度得到点C，过点 C 作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点 D ，CD ＝（ 1）点D 的横坐标为（用含m 的式子表示）；（ 2）求反比例函数的解析式．3.（ 2017·四川泸州）如图，一次函数y＝kx＋b（k＜0）与反比例函数 y＝的图象相交于 A、 B 两点，一次函数的图象与 y 轴相交于点 C ，已知点 A （ 4 ， 1 ）（1 ）求反比例函数的解析式；（2 ）连接 OB （ O 是坐标原点），若△ BOC 的面积为 3 ，求该一次函数的解析式．4．（2017·四川南充）如图，直线y＝x＋ 2与双曲线相交于点A（m， 3），与x 轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点 P 在 x 轴上，如果△ ACP 的面积为 3，求点 P 的坐标．5．（2017·四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO的边AB 垂直与x 轴，垂足为点B，反比例函数y＝（ x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB 相交于点 D ，OB＝ 4， AD ＝ 3，（1）求反比例函数 y＝的解析式；（2）求 cos∠ OAB 的值；（3）求经过 C、 D 两点的一次函数解析式．6 ．（2017·四川宜宾）如图，一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与反比例函数 y ＝（x ＞ 0 ）的图象交于 A（ 2 ，﹣ 1 ）， B（，n）两点，直线y＝2与y轴交于点C．（1 ）求一次函数与反比例函数的解析式；（2 ）求△ ABC 的面积．7.（2017·湖北黄石·12 分）如图 1 所示，已知：点 A（﹣ 2，﹣ 1）在双曲线 C：y＝上，直线 l1：y＝﹣ x＋ 2，直线 l 2与 l 1关于原点成中心对称， F 1（ 2， 2）， F2（﹣ 2，﹣ 2）两点间的连线与曲线 C 在第一象限内的交点为 B， P 是曲线 C 上第一象限内异于 B 的一动点，过 P 作 x 轴平行线分别交l1， l2于 M， N 两点．（ 1）求双曲线 C 及直线 l 2的解析式；（ 2）求证： PF 2﹣ PF 1＝ MN ＝4；（ 3）如图 2 所示，△ PF1F2的内切圆与 F 1F 2， PF 1， PF 2三边分别相切于点Q， R， S，求证：点 Q 与点 B 重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（ x1，y1）， B（ x2， y2），则 A、B 两点间的距离公式为 AB＝．）8.（2017·青海西宁·2 分）如图，一次函数 y＝ x＋m 的图象与反比例函数y ＝的图象交于A， B 两点，且与x 轴交于点C，点 A 的坐标为（2， 1）．（ 1）求m 及k 的值；（ 2）求点 C 的坐标，并结合图象写出不等式组0＜ x＋ m≤的解集．9 (6)分）△ABC的顶点坐标为A23B31）、（ 2017 广西百色（﹣，）、（﹣，C（﹣ 1，2），以坐标原点O 为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△ A′B′C′，点B′、C′分别是点B、 C 的对应点．（1）求过点B′的反比例函数解析式；（ 2）求线段 CC′的长．10..（2017·贵州安顺·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ kx＋ b（k≠0）的图象与反比例函数y＝mx （m≠0）的图象交于A、 B 两点，与x 轴交于 C 点，点A的坐标为（ n，6），点 C 的坐标为（﹣ 2， 0），且 tan∠ ACO ＝2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点 B 的坐标．11. （2017·浙江省湖州市）湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000 平方米的长方形鱼塘．（ 1）求鱼塘的长y（米）关于宽x（米）的函数表达式；（ 2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20 米，当鱼塘的宽是20 米，鱼塘的长为多少米？12. （2017·重庆市 A 卷·10 分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝ ax＋ b （a≠0）的图形与反比例函数y＝（ k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作 AH ⊥ y 轴，垂足为 H ，OH ＝ 3，tan∠ AOH ＝，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△ AHO 的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．13.（ 2017·重庆市B卷·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的 A， B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，点 B 的坐标是（ m，﹣ 4），连接 AO， AO＝5，sin∠ AOC＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接 OB，求△ AOB 的面积．14．（2017·山东省菏泽市·3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y＝与直线y＝﹣2x＋2交于点A （﹣ 1， a）．（ 1）求 a，m 的值；（ 2）求该双曲线与直线y＝﹣ 2x＋2 另一个交点 B 的坐标．15．（2017··4分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销山东省德州市售工作，已知该运动鞋每双的进价为120 元，为寻求合适的销售价格进行了 4 天的试销，试销情况如表所示：第 1 天第 2 天第 3 天第 4 天售价x/150200250300（元双）销售量 y（双）40302420（ 1）观察表中数据，x，y 满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；（ 2）若商场计划每天的销售利润为3000 元，则其单价应定为多少元？16．（2017·山东省东营市·9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与 x 轴交于点B，与 y 轴交于点A，与反比例函数y＝m x的图象在第二象限交于点C，CE ⊥x 轴，垂足为点E， tan∠ ABO＝12， OB＝ 4,OE＝2．(1)求反比例函数的解析式；(2)若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥ y轴，垂足为点F，连接 OD、BF，如果 S△BAF ＝ 4S△DFO，求点 D 的坐标 .答案反比例函数一、选择题1．（ 2017··3分）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°山东省菏泽市，反比例函数 y＝在第一象限的图象经过点B，则△ OAC 与△ BAD 的面积之差 S△OAC﹣ S△BAD为（）A ． 36B ． 12C．6D． 3【考点】反比例函数系数k 的几何意义；等腰直角三角形．【分析】设△OAC 和△ BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点 B 的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k 的几何意义以及点 B 的坐标即可得出结论．【解答】解：设△OAC和△ BAD的直角边长分别为a、 b，则点 B 的坐标为（a＋ b， a﹣b）．∵点 B 在反比例函数y＝的第一象限图象上，∴（ a＋ b）×（ a﹣ b）＝ a2﹣ b2＝ 6．∴ S△OAC﹣ S△BAD＝a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝×6＝3．故选 D．【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．2．（2017·山东省济宁市·3分）如为坐标原点，四边形OACB是菱形， OB 在x 轴的正半轴上，sin∠ AOB 图，O＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A ． 60B ． 80C． 30 D ．40【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】过点 A 作 AM ⊥ x 轴于点 M，过点 F 作 FN⊥ x 轴于点 N，设 OA ＝a，BF ＝ b，通过解直角三角形分别找出点 A、F 的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b 的值，通过分割图形求面积，最终找出△ AOF 的面积等于梯形AMNF 的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点 A 作 AM ⊥ x 轴于点 M，过点 F 作 FN ⊥ x 轴于点 N，如图所示．设OA＝a， BF＝ b，在Rt△ OAM 中，∠ AMO ＝90°， OA＝ a， sin∠ AOB＝，∴ AM＝ OA?sin∠ AOB＝a， OM ＝＝a，∴点A 的坐标为（a，a）．∵点 A 在反比例函数y＝的图象上，∴a× a＝＝48，解得： a＝ 10，或 a＝﹣ 10（舍去）．∴AM＝ 8， OM＝ 6．∵四边形OACB 是菱形，∴OA＝OB＝ 10， BC∥OA，∴∠ FBN ＝∠ AOB．在 Rt△ BNF 中， BF ＝ b， sin∠ FBN ＝，∠ BNF＝90°，∴ FN ＝BF?sin ∠FBN ＝ b，BN＝＝b，∴点 F 的坐标为（ 10＋b，b）．∵点 B 在反比例函数y＝的图象上，∴（ 10＋b）× b＝ 48，解得： b＝，或b＝（舍去）．∴FN ＝，BN＝﹣5，MN＝OB＋BN﹣OM＝﹣1．S△AOF＝ S△AOM＋ S 梯形AMNF﹣ S△OFN＝ S 梯形AMNF＝（ AM ＋FN）?MN ＝（8＋）×（﹣1）＝×（＋ 1）×（﹣1）＝40．故选 D．3.（2017·福建龙岩·4 分）反比例函数y＝﹣的图象上有P1（x1，﹣ 2）， P2（ x2，﹣ 3）两点，则x1与 x2的大小关系是（）A ． x1＞ x2B ．x1＝ x2C． x1＜ x2 D ．不确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的图象上有P1（ x1，﹣ 2）， P2（ x2，﹣ 3）两点，∴每个分支上y 随 x 的增大而增大，∵﹣ 2＞﹣ 3，∴x1＞ x2，故选： A ．4．（ 2017贵州毕节3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B OA，，连接则△ ABO 的面积为（）A ．﹣ 4B． 4C．﹣ 2 D ．2【考点】反比例函数系数k 的几何意义．【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，可计算出答案．【解答】解：△ ABO 的面积为：×|﹣4|＝2，故选 D．5．（2017海南 3 分）某村耕地总面积为50 公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷 /人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B．该村人均耕地面积y 与总人口x 成正比例C．若该村人均耕地面积为 2 公顷，则总人口有D．当该村总人口为50 人时，人均耕地面积为100 人1 公顷【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．【分析】解：如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/ 人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，根据反比例函数的性质可推出A， B 错误，再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定C，D ．【解答】解：如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/ 人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，∴ y 随 x 的增大而减小，∴ A， B 错误，设 y＝（k＞0，x＞0），把x＝50时，y＝1代入得：k＝50，∴ y＝，把 y＝2 代入上式得：x＝25，∴ C 错误，把 x＝1 代入上式得：y＝，∴D 正确，故答案为： D．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，图象，求函数值与自变量的值，根据图象找出正确信息是解题的关键．6．（ 2017河南）如图，过反比例函数y＝x 0A作AB x轴于点B，连接AO，若S△AOB （＞）的图象上一点⊥＝ 2，则 k的值为（）A ． 2B ．3C． 4D． 5【考点】反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数的性质．【分析】根据点 A 在反比例函数图象上结合反比例函数系数k 的几何意义，即可得出关于k 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k 值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k 值．【解答】解：∵点 A 是反比例函数y＝图象上一点，且AB⊥ x 轴于点B，∴S△AOB＝ |k|＝ 2，解得： k＝±4．∵反比例函数在第一象限有图象，∴k＝4．故选 C．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是找出关于k 的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k 的几何意义找出关于k 的含绝对值符号的一元一次方程是关键．7. （2017·黑龙江龙东·3 分）已知反比例函数y＝，当1＜ x＜ 3 时， y 的最小整数值是（）A ． 3B．4C． 5D． 6【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数系数k＞ 0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x＞ 0 中单调递减，再结合 x 的取值范围，可得出y 的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．【解答】 解：在反比例函数 y ＝中 k ＝ 6＞ 0，∴该反比例函数在x ＞ 0 内， y 随 x 的增大而减小，当 x ＝3 时， y ＝＝2；当 x ＝1 时， y ＝ ＝6．∴当 1＜ x ＜ 3 时， 2＜ y ＜6．∴ y 的最小整数值是 3．故选 A ．8．（ 2017·湖北荆州 ·3 分）如图，在 Rt △ AOB 中，两直角边 OA 、OB 分别在 x轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将△ AOB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△ A ′O ′B．若反比例函数 的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ ABO＝ 4，tan ∠ BAO ＝2，则 k 的值为（）A ． 3B ． 4C ． 6D ． 8【分析】 先根据S △ABO ＝4，tan ∠ BAO ＝ 2 求出AO 、BO的长度，再根据点C 为斜边A ′B 的中点，求出点C 的坐标，点 C 的横纵坐标之积即为【解答】 解：设点 C 坐标为（k 值．x ， y ），作CD ⊥ BO ′交边BO ′于点 D ，∵ tan ∠BAO ＝ 2， ∴＝ 2，∵ S △ABO ＝ ?AO?BO ＝ 4，∴ AO ＝2， BO ＝ 4，∵△ ABO≌△A ′O ′B，∴ AO ＝A ′＝0′2， BO ＝ BO ′＝ 4，∵点 C 为斜边 A ′B 的中点， CD ⊥ BO ′，∴ CD ＝ A ′＝0′1， BD ＝ BO ′＝ 2， ∴ x ＝BO ﹣ CD ＝ 4﹣1＝ 3， y ＝BD ＝2，∴ k ＝x?y ＝ 3?2＝ 6．故选 C ．．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点 C 的坐标，然后根据点 C 的横纵坐标之积等于k 值求解即可．二、填空题1. （2017·江西·3 分）如图，直线l⊥ x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A， B，连接 OA ，OB，已知△ OAB 的面积为2，则 k1﹣ k2＝4．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k 的几何意义．【分析】由反比例函数的图象过第一象限可得出k1＞ 0，k2＞0，再由反比例函数系数k 的几何意义即可得出S△OAP＝k1， S△OBP＝k2，根据△ OAB 的面积为 2 结合三角形之间的关系即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象均在第一象限内，∴k1＞ 0， k2＞0．∵ AP⊥ x 轴，∴S△OAP＝ k1， S△OBP＝ k2．∴ S△OAB＝ S△OAP﹣ S△OBP＝（k1﹣k2）＝2，解得： k1﹣ k2＝ 4．故答案为： 4．2.（ 2017··3分）反比例函数y＝的图象经过点（2 3k＝7．辽宁丹东，），则【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2， 3），∴ k ﹣1＝ 2×3， 解得： k ＝ 7． 故答案为： 7．5上，点 B 在双曲线 y ＝ 8上，且 AB ∥ x 轴，则△ OAB 的面3.（ 2017·四川内江） 如图 10，点 A 在双曲线 y ＝ x x积等于 ______． [答案 ]32[考点 ]反比例函数，三角形的面积公式。
中考数学压轴题专题复习—反比例函数的综合含答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．（1）求双曲线的解析式；（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，所以双曲线的解析式为y= ；（2）2（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，即a的值为6± ；（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2；∵G1与G2有两个交点，∴3+ ≤a≤12﹣2 ，设直线DE的解析式为y=px+q，把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，∴M（a，﹣ a+5），N（a，），∵MN＜，∴﹣ a+5﹣＜，整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，∴a＜4或a＞9，∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），所以BE= =2 ．故答案为2 ；【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．2．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，∴AD= OA=4，∴OD= =3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴，解得，∴点的坐标为，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围 .【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．5．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。
(专题精选)初中数学反比例函数分类汇编附答案解析
（专题精选）初中数学反比例函数分类汇编附答案解析一、选择题1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，∴a ＜0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号，∴b ＜0，∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，反比例函数y=b x图象分布在第二、四象限， 故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．2．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝k x的图象在第一象限相交于点C．若AB＝BC，△AOB的面积为3，则k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】C【解析】【分析】设OB＝a，根据相似三角形性质即可表示出点C，把点C代入反比例函数即可求得k．【详解】作CD⊥x轴于D，设OB＝a，(a＞0)∵△AOB的面积为3，∴12OA•OB＝3，∴OA＝6a，∵CD∥OB，∴OD＝OA＝6a，CD＝2OB＝2a，∴C(6a，2a)，∵反比例函数y＝kx经过点C，∴k＝6a×2a＝12，故选C．【点睛】本题考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．3．如图，反比例函数y ＝2x的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】【分析】 由反比例函数的系数k 的几何意义可知：2OA AD =g ，然后可求得OA AB g 的值，从而可求得矩形OABC 的面积．【详解】解：Q 反比例函数2y x=， 2OA AD ∴=g ． D Q 是AB 的中点，2AB AD ∴=．∴矩形的面积2224OA AB AD OA ===⨯=g g ．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数系数k 的几何意义是解题的关键．4．ABC ∆的面积为2，边BC 的长为x ，边BC 上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据三角形面积公式得出y 与x 的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可．【详解】根据题意得 122xy = ∴4y x=∵00x y >>，∴y 与x 的变化规律用图象表示大致是故答案为：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．5．如图，点A 在双曲线4y x =上，点B 在双曲线(0)k y k x=≠上，AB x P 轴，交y 轴于点C ．若2AB AC =，则k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【解析】【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，得出四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE是矩形，得出ACOD S 矩形=4，BCOE S k =矩形，根据AB=2AC ，即BC=3AC ，即可求得矩形BCOE 的面积，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值．【详解】过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∵AB ∥x 轴，∴四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，∵AB=2AC ，∴BC=3AC ，∵点A 在双曲线4y x=上， ∴ACOD S 矩形=4，同理BCOE S k =矩形，∴矩形3BCOE ACOD S S =矩形矩形=12，∴k=12，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k 的几何意义，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．6．如图，点A 是反比例函数y ＝k x（x ＜0）的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【答案】B【解析】【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|k|．【详解】解：作AE⊥BC于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，∴四边形ADOE为矩形，∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，而S矩形ADOE=|k|，∴|k|=8，而k＜0∴k=-8．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(﹣1，1)，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝8x上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为( )A．85B．235C．3.5 D．5【答案】B 【解析】【分析】设点D(m，8m)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，根据AAS先证明△DHA≌△CGD、△ANB≌△DGC可得AN＝DG＝1＝AH，据此可得关于m的方程，求出m的值后，进一步即可求得答案.【详解】解：设点D(m，8m)，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，如图所示：∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，∴∠HDA＝∠GCD，又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，∴△DHA≌△CGD(AAS)，∴HA＝DG，DH＝CG，同理△ANB≌△DGC(AAS)，∴AN＝DG＝1＝AH，则点G(m，8m﹣1)，CG＝DH，AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，故点G(﹣2，﹣5)，D(﹣2，﹣4)，H(﹣2，1)，则点E(﹣85，﹣5)，GE＝25，CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣25＝235，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点和全等三角形的判定与性质，构造全等、充分运用正方形的性质是解题的关键.8．一次函数y=ax+b与反比例函数a byx-=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．【详解】A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a−b>0，∴反比例函数y=a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确；B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0，∴a−b<0，∴反比例函数y=a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确；C. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，满足ab<0，∴a −b>0，∴反比例函数y=a b x-的图象过一、三象限， 所以此选项正确； D. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y 轴负半轴，则b<0，满足ab>0，与已知相矛盾所以此选项不正确；故选C.【点睛】此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，解题关键在于确定a 、b 的大小9．如图，是反比例函数3y x =和7y x=-在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点,A B ，点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中，APB △的面积是（ ）A ．10B ．4C ．5D ．从小变大再变小【答案】C【解析】【分析】 连接AO 、BO ，由AB ∥x 轴，得ABP ABO S S =V V ，结合反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．【详解】连接AO 、BO ，设AB 与y 轴交于点C ．∵AB ∥x 轴，∴ABP ABO S S =V V ，AB ⊥y 轴，∵73522ABO BOC AOC S S S -=+=+=V V V ， ∴APB △的面积是：5．故选C ．【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数图象上的点与原点的连线，反比例函数图象上的点垂直于坐标轴的垂线段以及坐标轴所围成的三角形面积等于反比例函数比例系数绝对值的一半，是解题的关键．10．已知1122(,),,)A x y Bx y （均在反比例函数2y x =的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（ ）A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y << 【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断．【详解】 解：∵反比例函数2y x=中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵0＜x l ＜x 2，∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在第一象限，∴0＜y 2＜y l ．故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键．11．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1y x=-上，下列说法中错误的是（ ） A ．若12x x =，则12y y = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y < D ．若120x x <<，则12y y >【答案】D 【解析】 【分析】先把点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）代入双曲线1y x=-，用y 1、y 2表示出x 1，x 2，据此进行判断． 【详解】∵点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线1y x=-上， ∴111y x =-，221y x =-．A 、当x 1=x 2时，-11x =-21x ，即y 1=y 2，故本选项说法正确；B 、当x 1=-x 2时，-11x =21x ，即y 1=-y 2，故本选项说法正确； C 、因为双曲线1y x=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，故本选项说法正确；D 、因为双曲线1y x=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，故本选项说法错误； 故选：D ． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，函数 y = kx 与 y = -2x的图象交于 A 、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数4y x=的图象于点 C ，连接 BC ，则△ABC 的面积为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积.【详解】连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，如图，∵反比例函数y=-2x为对称图形，∴O为AB 的中点，∴S△AOC=S△COB，∵由题意得A点在y=-2x上，B点在y=4x上，∴S△AOD=12×OD×AD=12xy=1；S△COD=12×OC×OD=12xy=2；S△AOC= S△AOD+ S△COD=3，∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6.故答案选C.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.13．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14-【答案】B 【解析】 【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案． 【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x=上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x= ∵90AOB ∠=︒∴90AOD BOD ∠+∠=︒ ∴90BOE AOF ∠+∠=︒∵BE x ⊥，AF x ⊥ ∴90BEO OFA ∠=∠=︒ ∴90OAF AOF ∠+∠=︒ ∴BOE OAF ∠=∠ ∴BOE OAF V V ∽ ∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO ===∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭∵点A 在反比例函数k y x=上 ∴12x k x=- ∴12k =-． 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．14．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22ky (k 0x 0)x=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC V 的面积为4，则12k k -的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．4-【答案】A 【解析】【分析】设()A a,h ，()B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1ah k =，2bh k .=根据三角形的面积公式得到()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222=⋅=-=-=-=V ，即可求出12k k 8-=． 【详解】AB//x Q 轴，A ∴，B 两点纵坐标相同，设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222=⋅=-=-=-=V Q ， 12k k 8∴-=，故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.15．点（2，﹣4）在反比例函数y=kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A ．（2，4） B ．（﹣1，﹣8） C ．（﹣2，﹣4） D ．（4，﹣2）【答案】D 【解析】 【详解】∵点（2，-4）在反比例函数y=kx的图象上， ∴k =2×（-4）=-8．∵A 中2×4=8；B 中-1×（-8）=8；C 中-2×（-4）=8；D 中4×（-2）=-8， ∴点（4，-2）在反比例函数y=kx的图象上． 故选D ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k ，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值是关键．16．已知反比例函数2y x=-，下列结论不正确的是 A ．图象必经过点(-1,2) B ．y 随x 的增大而增大 C ．图象在第二、四象限内 D ．若x ＞1，则y ＞-2【答案】B 【解析】 【分析】此题可根据反比例函数的性质，即函数所在的象限和增减性对各选项作出判断．【详解】解： A、把（-1，2）代入函数解析式得：2=-21-成立，故点（-1，2）在函数图象上，故选项正确；B、由k=-2＜0，因此在每一个象限内，y随x的增大而增大，故选项不正确；C、由k=-2＜0，因此函数图象在二、四象限内，故选项正确；D、当x=1，则y=-2，又因为k=-2＜0，所以y随x的增大而增大，因此x＞1时，-2＜y＜0，故选项正确；故选B．【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质.17．如图，点A在反比例函数3(0)y xx=-<的图象上，点B在反比例函数3(0)y xx=>的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形ABCO的面积是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】【分析】因为四边形ABCO是平行四边形，所以点A、B纵坐标相等，即可求得A、B横坐标，则AB 的长度即可求得，然后利用平行四边形面积公式即可求解．【详解】解：∵四边形ABCO是平行四边形∴点A、B纵坐标相等设纵坐标为b，将y=b带入3(0)y xx=-<和3(0)y xx=>中，则A点横坐标为3b-，B点横坐标为3b∴AB=336()b b b --=∴66 ABCOS bb=⨯= Y故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数以及平行四边形面积公式，本题关键在于两点间距离的求法．18．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.【详解】∵y=的图象经过第一、三象限，∴kb＞0，∴k，b同号，选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；选项C图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴负半轴，则b＜0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；选项D图象过一、三象限，则k＞0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b同号，故此选项符合题意；故选D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．19．若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数1yx=-的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论.【详解】∵点A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数1yx=-的图象上，∴111 44y=-=-，21122y=-=-，312y=-，又∵﹣12＜14＜12，∴y3＜y1＜y2，故选C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟知反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的解析式是解题的关键.20．如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线kyx=过点F，交AB于点E，连接EF．若BF2OA3=，S△BEF＝4，则k的值为（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】A【解析】【分析】由于23BFOA=，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=4m，然后即可求出E（3m，n-4m），依据mn=3m（n-4m）可求mn=6，即求出k的值．【详解】如图，过F作FC⊥OA于C，∵23 BFOA，∴OA=3OC，BF=2OC ∴若设F（m，n）则OA=3m，BF=2m ∵S△BEF=4∴BE=4 m则E（3m，n-4m）∵E在双曲线y=kx上∴mn=3m（n-4m）∴mn=6即k=6．故选A．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键．。
反比例函数篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题反比例函数--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：反比例函数之定义、图像与性质1.反比例函数的定义：形如()0≠=k xky 的函数叫做反比例函数。
有时也用k xy =或1-=kx y 表示。
2.反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线。
3.反比例函数的性质与图像：反比例函数()0≠=k xky k 的符号＞k 0＜k 所在象限一、三象限二、四象限大致图像增减性在一个支上（每一个象限内），y 随x 的增大而减小。
在一个支上（每一个象限内），y随x 的增大而增大。
对称性图像关于原点对称1．（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝kx +2的图象经过的象限是（）A ．一、二、三B ．一、二、四C ．一、三、四D ．二、三、四【分析】先根据反比例函数的图象位于二，四象限，可得k ＜0，由一次函数y ＝kx +2中，k ＜0，2＞0，可知它的图象经过的象限．【解答】解：由图可知：k ＜0，∴一次函数y ＝kx +2的图象经过的象限是一、二、四．故选：B ．2．（2022•上海）已知反比例函数y ＝xk（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A ．（2，3）B ．（﹣2，3）C ．（3，0）D ．（﹣3，0）【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：因为反比例函数y ＝（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，所以k ＜0，A ．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；B ．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；C ．3×0＝0，故本选项不符合题意；D ．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；故选：B ．3．（2022•广东）点（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），（4，y 4）在反比例函数y ＝x4图象上，则y 1，y 2，y 3，y 4中最小的是（）A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4【分析】根据k ＞0可知增减性：在每一象限内，y 随x 的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．【解答】解：∵k ＝4＞0，∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，∵（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3），（4，y 4）在反比例函数y ＝图象上，且1＜2＜3＜4，∴y 4最小．故选：D ．4．（2022•云南）反比例函数y ＝x6的图象分别位于（）A ．第一、第三象限B ．第一、第四象限C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限【分析】根据反比例函数的性质，可以得到该函数图象位于哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：反比例函数y ＝，k ＝6＞0，∴该反比例函数图象位于第一、三象限，故选：A ．5．（2022•镇江）反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象经过A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，写出符合条件的k 的值（答案不唯一，写出一个即可）．【分析】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k 与函数图象的关系解答即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图像经过A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜0＜x 2时，y 1＞y 2，∴此反比例函数的图象在二、四象限，∴k ＜0，∴k 可为小于0的任意实数，例如，k ＝﹣1等．故答案为：﹣1．6．（2022•福建）已知反比例函数y ＝xk的图象分别位于第二、第四象限，则实数k 的值可以是．（只需写出一个符合条件的实数）【分析】根据图象位于第二、四象限，易知k ＜0，写一个负数即可．∴k ＜0，∴k 取值不唯一，可取﹣3，故答案为：﹣3（答案不唯一）．7．（2022•成都）在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数y ＝xk 2的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是．【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．【解答】解：∵反比例函数y ＝的图象位于第二、四象限，∴k ﹣2＜0，解得k ＜2，故答案为：k ＜2．8．（2022•襄阳）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx +c 和反比例函数y ＝xa在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数图象开口向下得到a ＜0，再根据对称轴确定出b ，根据与y 轴的交点确定出c ＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x ＝﹣＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的负半轴相交，∴c ＜0，∴y ＝bx +c 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y ＝图象在第二四象限，只有D 选项图象符合．故选：D ．9．（2022•菏泽）根据如图所示的二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，判断反比例函数y ＝xa与一次函数y ＝bx +c 的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y＝与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可．【解答】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，由对称轴x＝﹣＞0，可知b＜0，所以反比例函数y＝的图象在一、三象限，一次函数y＝bx+c图象经过二、三、四象限．故选：A．c 10．（2022•安顺）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝x（c≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，∴a＞0，∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，∴a、b异号，即b＜0．∵抛物线交y轴的负半轴，∴c ＜0，∴一次函数y ＝ax +b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y ＝（c ≠0）在二、四象限．故选：A ．11．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax +b 与y ＝axb（其中a ，b 是常数，ab ≠0）的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据a 、b 的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．【解答】解：若a ＞0，b ＞0，则y ＝ax +b 经过一、二、三象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于一、三象限，若a ＞0，b ＜0，则y ＝ax +b 经过一、三、四象限，反比例函数数y ＝（ab ≠0）位于二、四象限，若a ＜0，b ＞0，则y ＝ax +b 经过一、二、四象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于二、四象限，若a ＜0，b ＜0，则y ＝ax +b 经过二、三、四象限，反比例函数y ＝（ab ≠0）位于一、三象限，故选：A ．12．（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1（k ≠0）和y ＝xk（k ≠0）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】分k ＞0或k ＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【解答】解：当k ＞0时，一次函数y ＝kx +1经过第一、二、三象限，反比例函数y ＝位于第一、三象限；当k ＜0时，一次函数y ＝kx +1经过第一、二、四象限，反比例函数y ＝位于第二、四象限；故选：D ．13．（2022•绥化）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图象如图所示，则一次函数y ＝ax +b 2﹣4ac 与反比例函数y ＝xcb a ++24在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图象判断a ，b 2﹣4ac 及4a +2b +c 的符号，即可得到答案．【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图象开口向上，∴a ＞0，∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图象顶点在x 轴下方，开口向上，∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，b 2﹣4ac ＞0，∴一次函数y ＝ax +b 2﹣4ac 的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分函数图象可知，点（2，4a +2b +c ）在x 轴上方，∴4a +2b +c ＞0，∴y ＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B ，故选：B ．14．（2022•贺州）已知一次函数y ＝kx +b 的图象如图所示，则y ＝﹣kx +b 与y ＝xb的图象为（）A ．B ．C ．D ．【分析】本题形数结合，根据一次函数y ＝kx +b 的图象位置，可判断k 、b 的符号；再由一次函数y ＝﹣kx +b ，反比例函数y ＝中的系数符号，判断图象的位置．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．【解答】解：根据一次函数y ＝kx +b 的图象位置，可判断k ＞0、b ＞0．所以﹣k ＜0．再根据一次函数和反比例函数的图像和性质，故选：A ．15．（2022•广西）已知反比例函数y ＝xb（b ≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx ﹣a （c ≠0）和二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】本题形数结合，根据反比例函数y ＝（b ≠0）的图象位置，可判断b ＞0；再由二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象性质，排除A ，B ，再根据一次函数y ＝cx ﹣a （c ≠0）的图象和性质，排除C ．【解答】解：∵反比例函数y ＝（b ≠0）的图象位于一、三象限，∴b ＞0；∵A 、B 的抛物线都是开口向下，∴a ＜0，根据同左异右，对称轴应该在y 轴的右侧，故A 、B 都是错误的．∵C 、D 的抛物线都是开口向上，∴a ＞0，根据同左异右，对称轴应该在y 轴的左侧，∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0由a ＞0，c ＜0，排除C ．故选：D ．16．（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝kx +1与y ＝﹣xk（k 为常数且k ≠0）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．【解答】解：当k ＞0时，则﹣k ＜0，一次函数y ＝kx +1图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以A 选项正确，C 选项错误；当k ＜0时，一次函数y ＝kx +1图象经过第一、二，四象限，所以B 、D 选项错误．故选：A ．17．（2022•德阳）一次函数y ＝ax +1与反比例函数y ＝﹣xa在同一坐标系中的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a ＞0，和a ＜0，两方面分类讨论得出答案．【解答】解：分两种情况：（1）当a ＞0，时，一次函数y ＝ax +1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y ＝﹣图象在第二、四象限，无选项符合；（2）当a ＜0，时，一次函数y ＝ax +1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y ＝﹣图象在第一、三象限，故B 选项正确．故选：B ．18．（2022y ＝xk（k ≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（）A ．（4，2）B ．（1，8）C ．（﹣1，8）D ．（﹣1，﹣8）【分析】先把点（﹣2，4）代入反比例函数的解析式求出k 的值，再对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图象经过点（﹣2，4），∴k ＝﹣2×4＝﹣8，A 、∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B 、∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C 、﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；D 、（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：C ．19．（2022•襄阳）若点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）都在反比例函数y ＝x2的图象上，则y 1，y 2的大小关系是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．【解答】解：∵点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2）都在反比例函数y ＝的图象上，k ＝2＞0，∴在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵﹣2＜﹣1，∴y 1＞y 2，故选：C ．20．（2022•海南）若反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象经过点（2，﹣3），则它的图象也一定经过的点是（）A ．（﹣2，﹣3）B ．（﹣3，﹣2）C ．（1，﹣6）D ．（6，1）【分析】将（2，﹣3）代入y ＝（k ≠0）即可求出k 的值，再根据k ＝xy 解答即可．【解答】解：∵反比例函数y ＝（k ≠0）的图象经过点（2，﹣3），∴k ＝2×（﹣3）＝﹣6，A 、﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，故A 不正确，不符合题意；B 、（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，故B 不正确，不符合题意；C 、1×（﹣6）＝﹣6，故C 正确，符合题意，D 、6×1＝6≠﹣6，故D 不正确，不符合题意．故选：C ．21．（2022•武汉）已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝x6的图象上，且x 1＜0＜x 2，则下列结论一定正确的是（）A ．y 1+y 2＜0B ．y 1+y 2＞0C ．y 1＜y 2D ．y 1＞y 2【分析】先根据反比例函数y ＝判断此函数图象所在的象限，再根据x 1＜0＜x 2判断出A （x 1，y 1）、B（x 2，y 2）所在的象限即可得到答案．【解答】解：∵反比例函数y ＝中的6＞0，∴该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝的图象上，且x 1＜0＜x 2，∴点A 位于第三象限，点B 位于第一象限，∴y 1＜y 2．故选：C ．22．（2022•天津）若点A （x 1，2），B （x 2，﹣1），C （x 3，4）都在反比例函数y ＝x8的图象上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 3【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．【解答】解：点A （x 1，2），B （x 2，﹣1），C （x 3，4）都在反比例函数y ＝的图象上，∴x 1＝＝4，x 2＝＝﹣8，x 3＝＝2．∴x 2＜x 3＜x 1，故选：B ．23．（2022•淮安）在平面直角坐标系中，将点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B ，若点B 恰好在反比例函数y ＝xk的图象上，则k 的值是．【分析】点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B （2，﹣2），代入y ＝利用待定系数法即可求得k 的值．【解答】解：将点A （2，3）向下平移5个单位长度得到点B ，则B （2，﹣2），∵点B 恰好在反比例函数y ＝的图像上，∴k ＝2×（﹣2）＝﹣4，故答案为：﹣4．24．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点A （2，y 1），B （5，y 2）在反比例函数y ＝xk（k ＞0）的图象上，则y 1y 2（填“＞”“＝”或“＜”）．【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．【解答】解：∵k ＞0，∴反比例函数y ＝（k ＞0）的图象在一、三象限，∵5＞2＞0，知识回顾微专题∴点A （2，y 1），B （5，y 2）在第一象限，y 随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2，故答案为：＞．考点二：反比例函数之综合应用1.反比例函数k 的集合意义：①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴构成一个矩形，矩形的面积等于k 。
一文搞定反比例函数7个模型,13类题型
反比例函数是高中数学中的重要内容，也是考试中经常出现的题型之一。
掌握反比例函数的基本概念和解题方法对于提高数学成绩至关重要。
本文将通过七个模型和十三类题型，帮助读者全面了解并掌握反比例函数的相关知识。
一、反比例函数的基本概念1. 反比例函数的定义反比例函数是一种特殊的二元一次函数，其函数关系可以表示为y=k/x，其中k为比例系数。
当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
反比例函数的图像呈现出一条经过原点的曲线，并且不过原点，是一对对称的点。
2. 反比例函数的特点反比例函数的图像呈现出一种特殊的“反比例”关系，即x与y成反比。
在实际问题中，反比例函数常常用来描述一种随着某个变量的增大而导致另一个变量的减小，或者随着某个变量的减小而导致另一个变量的增大的情况。
二、反比例函数的模型分析1. 比例系数为正数的反比例函数模型当比例系数k大于0时，反比例函数的图像为一条经过第一象限和第三象限的曲线，随着x的增大，y的值减小；随着x的减小，y的值增大。
2. 比例系数为负数的反比例函数模型当比例系数k小于0时，反比例函数的图像为一条经过第二象限和第四象限的曲线，随着x的增大，y的值增大；随着x的减小，y的值减小。
3. 比例系数为零的反比例函数模型当比例系数k等于0时，函数变为y=0，即y始终为0，这时反比例函数的图像为一条水平直线。
4. 比例系数为整数的反比例函数模型当比例系数k为整数时，反比例函数的图像呈现出一种更为规律的变化规律，可以通过整数的变化来探究x和y之间的反比关系。
5. 比例系数为分数的反比例函数模型当比例系数k为分数时，反比例函数的图像表现出更为复杂的变化规律，需要通过分数的变化来揭示x和y之间的反比关系。
6. 反比例函数的图像变换反比例函数的图像可以通过平移、缩放、翻转等变换来形成新的图像，这些变换对于理解反比例函数的性质和特点非常重要。
7. 反比例函数的应用举例反比例函数在日常生活中有很多应用，比如收费问题、速度与时间问题、密度与体积问题等等。
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反比例函数分类汇编含解析一、选择题1．反比例函数k y x=的图象在第二、第四象限，点()()()1232,,4,,5,A y B y C y -是图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．312y y y >>D ．231y y y >> 【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图像在第二、四象限，反比例函数图像在第二、四象限，y 随x 的增大而增大，再根据三点横坐标的特点即可得出结论.【详解】 解：∵反比例函数k y x=图象在第二、四象限， ∴反比例函数图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，∵-2<4<5，∴点B 、C 在第四象限，点A 在第二象限，∴23y y <<0，10y > ，∴132y y y ＞＞.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键.2．已知反比例函数2y x-=，下列结论不正确的是（ ） A ．图象经过点（﹣2，1） B ．图象在第二、四象限C ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大D ．当x ＞﹣1时，y ＞2 【答案】D【解析】【分析】【详解】A 选项：把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项正确；B 选项：因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项正确；C 选项：当x ＜0，且k ＜0，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；D 选项：当x ＞0时，y ＜0，故本选项错误．故选D ．3．如图，点A 在双曲线4y x =上，点B 在双曲线(0)k y k x=≠上，AB x P 轴，交y 轴于点C ．若2AB AC =，则k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【解析】【分析】 过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，得出四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，得出ACOD S 矩形=4，BCOE S k =矩形，根据AB=2AC ，即BC=3AC ，即可求得矩形BCOE 的面积，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值．【详解】过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∵AB ∥x 轴，∴四边形ACOD 是矩形，四边形BCOE 是矩形，∵AB=2AC ，∴BC=3AC ，∵点A 在双曲线4y x=上， ∴ACOD S 矩形=4，同理BCOE S k =矩形，∴矩形3BCOE ACOD S S =矩形矩形=12，∴k=12，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．4．在同一平面直角坐标系中，反比例函数ybx=（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．【详解】A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即b<0．所以反比例函数ybx=的图象位于第二、四象限，故本选项错误；B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的左侧，则a，b同号，即b>0．所以反比例函数ybx=的图象位于第一、三象限，故本选项错误；C、抛物线y＝ax2+bx开口方向向下，则a<0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即b>0．所以反比例函数y b x =的图象位于第一、三象限，故本选项错误； D 、抛物线y ＝ax 2+bx 开口方向向下，则a<0，对称轴位于y 轴的右侧，则a ，b 异号，即b>0．所以反比例函数y b x=的图象位于第一、三象限，故本选项正确； 故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象，要熟练掌握二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系．5．如图，反比例函数11k y x=的图象与正比例函数22y k x =的图象交于点（2，1），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（ ）A ．0＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＞2或-2＜x ＜0D ．x ＜－2或0＜x ＜2【答案】D【解析】【分析】 先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点坐标，由函数图象即可得出结论.【详解】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称.∵A （2，1），∴B （－2，－1）.∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜－2时函数y 1的图象在y 2的上方，∴使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜－2或0＜x ＜2.故选D.6．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2k y x=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )A ．20x -<<或04x <<B ．2x <-或04x <<C ．2x <-或4x >D ．20x -<<或4x >【答案】B【解析】【分析】 根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可.【详解】观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键.7．在函数2y x=，3y x =+，2y x =的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【详解】 y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x 2图象不是中心对称图形；只有函数2y x=符合条件． 故选：B ．【点睛】 本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．8．已知1122(,),,)A x y Bx y （均在反比例函数2y x=的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（ ）A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<【解析】【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断．【详解】 解：∵反比例函数2y x=中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，∵0＜x l ＜x 2，∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在第一象限，∴0＜y 2＜y l ．故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键．9．如图，ABDC Y 的顶点,A B 的坐标分别是()(), 0,3 1, 0A B -，顶点,C D 在双曲线k y x=上，边BD 交y 轴于点E ,且四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，则k 的值为:（ ）A ．6-B ．4-C ．3-D ．12-【答案】A【解析】【分析】 过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，利用平行四边形的性质证明,DCF ABO ∆≅∆利用平移写好,C D 的坐标，由四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，得到2,DB BE =利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写D 的坐标，列方程求解k ．解：过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，则,CF DF ⊥ABDC QY ，,CDF BAO ∴∠∠的两边互相平行，,AB DC =CDF BAO ∴∠=∠，90,DFC BOA ∠=∠=︒Q,DCF ABO ∴∆≅∆,,CF BO DF AO ∴== 设(,),k C m m由()(), 0,3 1, 0A B -结合平移可得：(1,3)k D m m ++， Q 四边形ACDE 的面积是ABE ∆面积的3倍，11()322BD BE DE CA h h BE ∴+=⨯⨯， ,,BD BE h h AC BD ==Q3DE AC BE ∴+=，4,DE BD BE BE ∴++=2,DB BE ∴=(1,3),(1,0),0,E k D m B x m++=Q ∴ 由中点坐标公式知：110,2m ++= 2m ∴=- ，(1,)1k D m m ++Q ， 3212k k ∴=+-+-， 6.k ∴=-故选A ．【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，平行四边形的性质，平移性质，中点坐标公式，掌握以上知识点是解题关键．10．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ）A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k =>B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70<V<80C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 也变为原来的一半D ．当60100V 剟时，气压P 随着体积V 的增大而减小 【答案】D【解析】【分析】A ．气压P 与体积V 表达式为P=k V ,k ＞0，即可求解； B ．当P=70时，600070V =,即可求解； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，即可求解； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，即可求解．【详解】解：当V=60时，P=100，则PV=6000，A ．气压P 与体积V 表达式为P= k V ，k ＞0，故本选项不符合题意；B ．当P=70时，V=600070＞80，故本选项不符合题意； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，本选项不符合题意； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而根据字母代表的意思求解．11．函数y =1-k x 与y =2x 的图象没有交点,则k 的取值范围是( ) A ．k<0B ．k<1C ．k>0D ．k>1【答案】D【解析】【分析】由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解．由此可求出k 的取值范围．【详解】 令1-k x =2x ，化简得：x 2=1-2k ；由于两函数无交点，因此1-2k ＜0，即k ＞1． 故选D ．【点睛】 函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程（组）无解．12．如图所示，已知()121,,2,2A y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(),0P x 在x 轴正半轴上运动，当AP BP -的值最大时，连结OA ，AOP ∆的面积是 （ ）A ．12B ．1C ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先根据反比例函数解析式求出A ，B 的坐标，然后连接AB 并延长AB 交x 轴于点P '，当P 在P '位置时，PA PB AB -=,即此时AP BP -的值最大，利用待定系数法求出直线AB 的解析式，从而求出P '的坐标，进而利用面积公式求面积即可．【详解】当12x =时，2y = ，当2x =时，12y = ， ∴11(,2),(2,)22A B ．连接AB 并延长AB 交x 轴于点P '，当P 在P '位置时，PA PB AB -=,即此时AP BP -的值最大．设直线AB 的解析式为y kx b =+ ， 将11(,2),(2,)22A B 代入解析式中得 122122k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得152k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩ ， ∴直线AB 解析式为52y x =-+． 当0y =时，52x =，即5(,0)2P '， 115522222AOP A S OP y '∴=⋅=⨯⨯=V ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法以及找到AP BP -何时取最大值是解题的关键．13．如图，若直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()20y x x=-<交于点(),1A m ，则AOB V 的面积为（ ）A ．6B ．5C ．3D ．1.5【答案】C【解析】【分析】 先根据题意求出A 点坐标，再求出一次函数解析式，从而求出B 点坐标，则问题可解.【详解】解：由已知直线2y x n =-+与y 轴交于点B ，与双曲线()20y x x =-<交于点(),1A m ∴21m=-则m=-2 把A （-2,1）代入到2y x n =-+，得()122n =-⨯-+∴n=-3∴23y x =--则点B （0，-3）∴AOB V 的面积为132=32⨯⨯ 故应选：C【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合问题，解题关键是根据题意应用数形结合思想．14．点（2，﹣4）在反比例函数y=k x 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A ．（2，4）B ．（﹣1，﹣8）C ．（﹣2，﹣4）D ．（4，﹣2） 【答案】D【解析】【详解】∵点（2，-4）在反比例函数y=k x的图象上，∴k=2×（-4）=-8．∵A中2×4=8；B中-1×（-8）=8；C中-2×（-4）=8；D中4×（-2）=-8，∴点（4，-2）在反比例函数y=kx的图象上．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是关键．15．反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先由反比例函数的图象得到k，b同号，然后分析各选项一次函数的图象即可.【详解】∵y=的图象经过第一、三象限，∴kb＞0，∴k，b同号，选项A图象过二、四象限，则k＜0，图象经过y轴正半轴，则b＞0，此时，k，b异号，故此选项不合题意；选项B图象过二、四象限，则k＜0，图象经过原点，则b=0，此时，k，b不同号，故此选项不合题意；选项C 图象过一、三象限，则k ＞0，图象经过y 轴负半轴，则b ＜0，此时，k ，b 异号，故此选项不合题意；选项D 图象过一、三象限，则k ＞0，图象经过y 轴正半轴，则b ＞0，此时，k ，b 同号，故此选项符合题意； 故选D ．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．16．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)k y k x=≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．25D ．6【答案】B【解析】【分析】 设E 的坐标是m n k mn =（，），， 则C 的坐标是2m n （，），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．【详解】设E 的坐标是m n k mn =（，），，， 则C 的坐标是（m ，2n ），在mn y x = 中，令2y n =，解得：2m x =， ∵1CDE S =V ，∴111,12222m m n m n -=⨯=g 即 ∴4mn =∴4k =故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．17．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数k y x=在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若4AB =，2CE BE =，34AD OA =，则线段BC 的长度为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．23【答案】B【解析】【分析】 设OA 为4a ，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a ，CE=2a ，BE=a ，从而得出点D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC 长.【详解】设OA=4a根据2CE BE =，34AD OA =得：AD=3a ，CE=2a ，BE=a ∴D(4a ，3a)，E(4a+4，a)将这两点代入解析得； 3444k a a ka a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得：a=12∴BC=AD=32 故选：B【点睛】本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D 、E 的坐标，然后代入解析式求解.18．已知反比例函数y=﹣8x，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x ＞﹣1时，则y ＞8．其中错误的结论有（ ）个 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．【详解】①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；③k=﹣8＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，错误；④k=﹣8＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，若0＞x ＞﹣1，﹣y ＞8，故④错误， 故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．19．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1y x =-上，下列说法中错误的是（ ） A ．若12x x =，则12y y =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y <D ．若120x x <<，则12y y > 【答案】D【解析】【分析】先把点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）代入双曲线1y x =-，用y 1、y 2表示出x 1，x 2，据此进行判断．【详解】∵点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线1y x =-上， ∴111y x =-，221y x =-． A 、当x 1=x 2时，-11x =-21x ，即y 1=y 2，故本选项说法正确； B 、当x 1=-x 2时，-11x =21x ，即y 1=-y 2，故本选项说法正确； C 、因为双曲线1y x=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，故本选项说法正确； D 、因为双曲线1y x=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，故本选项说法错误；故选：D ．【点睛】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．20．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下，∴a ＜0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点，∴c=0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号，∴b ＜0，∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限，反比例函数y=b x图象分布在第二、四象限， 故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．。