2019届8月人大附中高三数学(文)开学考摸底试卷及答案

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北京市人大附中2019届高三8月摸底考试数学(理)试题word版含答案

中国人民大学附属中学2019届高三八月摸底统一练习数学(理)试题命题：高三数学组审题：梁丽平、杨良庆、于金华说明：本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟；考生务必按要求将答案答在答题纸上．在试卷上作答无效．一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上．）（1）已知集合2{20}A x x x =-≤，{1,0,1,2}B =-，则A B =I（A ）{-1,0,1}（B ）{1,0,2}- （C ）{0,1,2} （D ）{02}A x x =≤≤（2）下列函数中，与函数y ＝3x定义域相同的函数为（A ）y ＝1sin x （B ）y ＝ln x x （C ）y ＝x e x （D ）y ＝sin xx（3）已知a ÎR 且0a ¹，则“11<a”是 “a >1”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）4＋ 2 （B ）5＋ 2 （C ）7＋ 2 （D ）8＋ 2（5）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知,23,23A a b π===则c =（A ）4 （B ）3 （C ）3＋1 （D ） 3（6）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y轴的交点，则MN 的中点的极坐标为（A ）⎝⎛⎭⎫1，33 （B ）⎝⎛⎭⎫233，π6 （C ）233π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，（D ）232⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 2018.8（7）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋2b 在区间(0,1)，(1,2)内各有一个零点，则a 2＋(b －2)2的取值范围是（A ）(5，10) （B ）(5,10) （C ）(0,5) （D ）(0,10)（8）已知函数()21,0,log ,0,ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数的判断正确的是（A ）当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点（B ）当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点（C ）无论a 为何值，均有2个零点（D ）无论a 为何值，均有4个零点二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）（9）在复平面内，复数21i+对应的点与原点的距离是 . （10）曲线sin y x =在点（32π）处的切线方程为 .（11）设a ＝20.5，b ＝0.32，c ＝log 20.3，则a 、b 、c 的大小关系是 .（12）在等比数列}{n a 中，a n >0，a 3=4，a 7=64，则数列{n a 2log }的前9项之和为 .（13）过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆O ：x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若点E 恰为线段FP 的中点，则双曲线C 的离心率为 .（14）若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，则a= ；b = ；f (x )的最大值为________．三、解答题（共6小题，共80分。

2019年高三第一次模拟考试数学含答案

2019年高三第一次模拟考试数学含答案本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题纸指定位置上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合，，若，则（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 2、已知，则（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3、已知函数，则下列结论正确的是（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.4、设，则“”是“”的（）Ａ. 充分不必要条件Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充要条件Ｄ. 既不充分也不必要条件 5、若，，则（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.6、等差数列中，则310122log (2222)aaaa⋅⋅⋅⋅=…（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.7、在不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域中，若的最大值为，则的值为（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 8、若，则（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.9、小王从甲地到乙地往返的时速分别为，其全程的平均时速为，则（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.10、已知关于的方程的解集为，则中所有元素的和可能是（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.11、已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.12、已知定点，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（）Ａ. 椭圆Ｂ. 双曲线Ｃ. 抛物线Ｄ. 圆第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13、已知满足，则。

14、已知递增的等差数列满足，则。

15、设是线段的中点，点在直线外，，，则。

2019-2020学年北京市人大附中高三(上)开学数学试卷(8月份)

2019-2020学年北京市人大附中高三（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设i为虚数单位，则复数z＝1−i的模|z|＝（）A.1B.√2C.2D.2√2【答案】B【考点】复数的模【解析】若复数z＝a+bi，则|z|=√a2+b2，直接代入求出即可．【解答】|z|=√12+(−1)2=√2，2. 已知全集U＝R，若集合A＝{x|x2−x<0}，则∁U A＝（）A.{x|x≤0, 或x≥1}B.{x|x<0, 或x>1}C.{x|0<x<1}D.{x|x≥1}【答案】A【考点】补集及其运算【解析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U＝R，求出A的补集即可．【解答】由A中不等式变形得：x(x−1)<0，解得：0<x<1，即A＝{x|0<x<1}，∵U＝R，∴∁U A＝{x|x≤0, 或x≥1}，3. 命题p:∀x>0，e x>1，则￢p是（）A.∃x0≤0，e x0≤1B.∃x0>0，e x0≤1C.∀x>0，e x≤1D.∀x≤0，e x≤1【答案】B【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p:∀x>0，e x>1，则￢p是∃x0>0，e x0≤1．4. 若a →，b →是两个非零的平面向量，则“|a →|＝|b →|”是“(a →+b →)⋅(a →−b →)＝0”的（） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】若“(a →+b →)⋅(a →−b →)＝0，则a →2−b →2＝0，即a →2=b →2，则|a →|＝|b →|，反之亦然，充分性成立，故“|a →|＝|b →|”是“(a →+b →)⋅(a →−b →)＝0”的充要条件，5. 已知a =ln 12,b =sin 12,c =212，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a【答案】 A【考点】对数值大小的比较【解析】容易得出ln 12<0,0<sin 12<1,212>1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】∵ ln 12<ln 1=0,0<sin 12<1,212>20=1，∴ a <b <c ．6. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A.最长棱的棱长为√6B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面是一个直角梯形，其中BC // AD，AB⊥AD，BC＝AB＝1，AD＝（2）可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．【解答】由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面是一个直角梯形，其中BC // AD，AB⊥AD，BC＝AB＝1，AD＝（2）可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．取AD的中点O，连接OC，AC．可得四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝OD＝OA＝1，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PC，因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．7. 已知函数f(x)＝|ln x|−1，g(x)＝−x2+2x+3，用min{m, n}表示m，n中的最小值，设函数ℎ(x)＝min{f(x), g(x)}，则函数ℎ(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】根据min{m, n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f(x)和g(x)的图象如图，由g(x)＝−x2+2x+3＝0，得x＝−1，或x＝3，，由f(x)＝|ln x|−1＝0，得x＝e或x=1e∵g(e)>0，∴当x>0时，函数ℎ(x)的零点个数为3个，故选C.8. 已知抛物线C:y2＝4x，点P(m, 0)，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP ＝90∘，则实数m 的取值范围是（） A.(4, 8) B.(4, +∞) C.(0, 4)D.(8, +∞)【答案】 B【考点】抛物线的性质【解析】求出以OP 为直径的圆的方程，y 2＝4x 代入整理，利用在抛物线C 上存在一点Q ，使得∠OQP ＝90∘，即可求出实数m 的取值范围．【解答】以OP 为直径的圆的方程为(x−m 2)2+y 2=m 24，y 2＝4x 代入整理可得x 2+(4−m)x ＝0， ∴ x ＝0或x ＝m −4，∵ 在抛物线C 上存在一点Q ，使得∠OQP ＝90∘， ∴ m −4>0， ∴ m >4，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．双曲线C:x 24−y 2=1的离心率是________；渐近线方程是________．【答案】√52,y =±12x【考点】双曲线的特性【解析】求出双曲线的a ，b ，c ，运用渐近线方程和离心率公式即可得到．【解答】解：双曲线C:x 24−y 2=1的a =2，b =1，c =√4+1=√5，则e =ca =√52，渐近线方程为y =±12x ．故答案为：√52，y =±12x ．若等比数列{a n }满足a 1+a 3＝5，且公比q ＝2，则a 3+a 5＝________．【答案】 20【考点】等比数列的通项公式【解析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】a 3+a 5＝q 2(a 1+a 3)＝22×5＝20，在△ABC 中，a ＝3，b =√13，B ＝60∘，则c ＝________；△ABC 的面积为________．【答案】4,3√3 【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据已知和余弦定理可求c 的值，从而有三角形的面积公式解得所求．【解答】由余弦定理可得：cos B =a 2+c 2−b 22ac，代入已知可得：12=9+c 2−136c，解得c ＝4，c ＝−1（舍去）， ∴ S △ABC =12ac sin B ＝3√3，已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线y ＝2x +1上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程为________．【答案】(x +13)2+(y −13)2=19【考点】圆的标准方程【解析】由已知得x ＝y 或x ＝−y ，圆心在y ＝2x +1上，又圆心位于第二象限，从而得到圆心坐标为：(−13, 13)，再由半径就是圆心到切线距离，能求出圆的标准方程．【解答】∵ 与坐标轴相切，∴ 圆心到两个坐标轴距离相等，∴ x ＝y 或x ＝−y ，又圆心在y ＝2x +1上，若x ＝y ，则x ＝y ＝−1；若x ＝−y ，则x =−13，y =13，所以圆心是(−1, −1)或(−13, 13)， ∵ 圆心位于第二象限， ∴ 圆心坐标为：(−13, 13)，∵ 半径就是圆心到切线距离，即到坐标轴距离． ∴ r =13，∴ 所求圆的标准方程为：(x +13)2+(y −13)2=19．已知函数f(x)=a sin x −2√3cos x 的一条对称轴为x =−π6,f(x 1)+f(x 2)=0，且函数f(x)在(x 1, x 2)上具有单调性，则|x 1+x 2|的最小值为________2π3 ．【答案】2π3【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用辅助角公式化简，对称为x=−π6，f(x1)+f(x2)＝0，且函数f(x)在(x1, x2)上具有单调性，可得对称中心，即可求出最小值．【解答】函数f(x)＝a sin x−2√3cos x=√a2+12sin(x+θ),tanθ=−2√3a，函数f(x)的一条对称轴为x=−π6，可得f(−π6)=−12a−2√3×√32=±√a2+12，解得a＝2．∴θ=−π3；对称中心横坐标由x−π3=kπ(k∈z),x=kπ+π3(k∈z)；又f(x1)+f(x2)＝0，且函数f(x)在(x1, x2)上具有单调性，∴|x1+x2|=2|k+π3|，当k＝0时，可得|x1+x2|=2π3．函数f(x)＝ae x+be−x(a∈R+, b∈R+)，已知f(x)的最小值为4，则点(a, b)到直线2x+y−√2=0距离的最小值为________3√105．【答案】3√105【考点】基本不等式及其应用点到直线的距离公式【解析】利用基本不等式可得f(x)≥2√ab=4，然后用点到直线的距离公式求出点(a, b)到直线2x+y−√2=0距离，计算其最小值即可．【解答】∵a∈R+，b∈R+，∴f(x)＝ae x+be−x≥2√ae x be−x=2√ab，当且仅当ae x＝be−x，即ae2x＝b时取等号，∴f(x)min=2√ab=4，∴ab＝4，∴点(a, b)到直线2x+y−√2=0距离，d=√2|√22+12≥√2ab−√2|5=√25=3√105，∴d min=3√105．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．设函数f(x)=2sin(ωx)⋅cos(ωx)−2√3cos2(ωx)+√3(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为√π2+16．(Ⅰ)求函数f(x)的周期及ω的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间．【答案】（1）f(x)=2sin(ωx)⋅cos(ωx)−2√3cos2(ωx)+√3(ω>0)＝sin2ωx−√3cos2ωx＝2sin(2ωx−π3)，则函数的周期T=2π2ω=πω，振幅A＝2，∵图象上相邻最高点与最低点的距离为√π2+16．∴A2+(T4)2＝(√π2+162)2，即4+(T4)2=π2+164=π24+4，即(T4)2=π24，即T4=π2，得T＝2π=πω，得ω=12．故函数f(x)的周期为2π，ω=12．（2）由(Ⅰ)知f(x)＝2sin(x−π3)，由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6，k∈Z，即函数的单调递增区间为[2kπ−π6, 2kπ+5π6]，k∈Z．【考点】正弦函数的单调性【解析】(Ⅰ)利用辅助角公式进行化简，结合条件求出ω的值即可．(Ⅱ)利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】（1）f(x)=2sin(ωx)⋅cos(ωx)−2√3cos2(ωx)+√3(ω>0)＝sin2ωx−√3cos2ωx＝2sin(2ωx−π3)，则函数的周期T=2π2ω=πω，振幅A＝2，∵图象上相邻最高点与最低点的距离为√π2+16．∴A2+(T4)2＝(√π2+162)2，即4+(T4)2=π2+164=π24+4，即(T4)2=π24，即T4=π2，得T＝2π=πω，得ω=12．故函数f(x)的周期为2π，ω=12．（2）由(Ⅰ)知f(x)＝2sin(x−π3)，由2kπ−π2≤x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得2kπ−π6≤x≤2kπ+5π6，k∈Z，即函数的单调递增区间为[2kπ−π6, 2kπ+5π6]，k∈Z．某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生，理化历，史地政．其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人，调查他们每天完成作业的时间．(Ⅰ)应从这三个组合中分别抽取多少人？(Ⅱ)若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）某校高三1班共有48人，在“六选三”时，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人，调查他们每天完成作业的时间．应从选择理化生的组合中抽取：6×2448=3人，从选择理化历的组合中抽取：6×1648=2人，从选择史地政的组合中抽取：6×48−24−1648=1人．（2）抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数，则X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)=C41C22C63=15，P(X＝2)=C42C21C63=35，P(X＝3)=C43C63=15，∴随机变量X的分布列为：∴数学期望EX=1×15+2×35+3×15=(2)【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)利用分层抽样的性质直接求解．(Ⅱ)X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】（1）某校高三1班共有48人，在“六选三”时，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人，调查他们每天完成作业的时间．应从选择理化生的组合中抽取：6×2448=3人，从选择理化历的组合中抽取：6×1648=2人，从选择史地政的组合中抽取：6×48−24−1648=1人．（2）抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数，则X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)=C41C22C63=15，P(X＝2)=C42C21C63=35，P(X＝3)=C43C63=15，∴随机变量X的分布列为：∴数学期望EX=1×15+2×35+3×15=(2)在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB // CD，AD⊥PC，M为PD中点，过A，B，M的平面与PC交于N,DC=2√3,DA=PD=2,AB= 1,∠PDC=120，(Ⅰ)求证：N为PC中点；(Ⅱ)求证：AD⊥平面PCD；(Ⅲ)T为PB中点，求二面角T−AC−B的大小．【答案】（1）证明：∵ 底面ABCD 为梯形，AB // CD ， M 为PD 中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N ， ∴ 平面ABNM ∩平面PCD ＝MN ，∵ AB // CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴ AB // 平面PCD ，∵ MN ⊂平面PCD ，且MN ⊂平面ABNM ， ∴ MN // AB ，∴ MN // CD ， ∵ M 为PD 中点，∴ N 为PC 中点．（2）证明：在平面PCD 中过点D 作DH ⊥DC ，交PC 于H ，∵ 平面ABCD ⊥平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，平面ABCD ∩平面PCD ＝CD ， ∴ DH ⊥平面ABCD ，∵ AD ⊂平面ABCD ，∴ DH ⊥AD ，又AD ⊥PC ，且PC ∩DH ＝H ，∴ AD ⊥平面PCD ． (Ⅲ)∵ AD ⊥平面PCD ，∴ AD ⊥CD ，又DH ⊥CD ，DH ⊥AD ，以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， ∴ D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，C(0, 2√3, 0)，B(2, 1, 0)，P(0, −1, √3)， ∵ T 为PB 中点，∴ T(1, 0, √32)， AC →=(−2, 2√3, 0)，AT →=(−1, 0, √32)，设平面ACT 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=−2x +2√3y =0n →⋅AT →=−x +√32z =0 ，取x =√3，得n →=(√3, 1, 2)，平面ABC 的法向量m →=(0, 0, 1)，设二面角T −AC −B 的大小为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=2√8=√22．∴ θ＝45∘．∴ 二面角T −AC −B 的大小为45∘．【考点】二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)推导出AB // 平面PCD ，从而MN // AB ，MN // CD ，再由M 为PD 中点，能证明N 为PC 中点．(Ⅱ)在平面PCD 中过点D 作DH ⊥DC ，交PC 于H ，证明DH ⊥平面ABCD ，推出 DH ⊥AD ，然后证明AD ⊥平面PCD ．(Ⅲ)推导出AD ⊥CD ，DH ⊥CD ，DH ⊥AD ，以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角T −AC −B 的大小．【解答】（1）证明：∵ 底面ABCD 为梯形，AB // CD ， M 为PD 中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N ， ∴ 平面ABNM ∩平面PCD ＝MN ，∵ AB // CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴ AB // 平面PCD ，∵ MN ⊂平面PCD ，且MN ⊂平面ABNM ， ∴ MN // AB ，∴ MN // CD ， ∵ M 为PD 中点，∴ N 为PC 中点．（2）证明：在平面PCD 中过点D 作DH ⊥DC ，交PC 于H ，∵ 平面ABCD ⊥平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，平面ABCD ∩平面PCD ＝CD ， ∴ DH ⊥平面ABCD ，∵ AD ⊂平面ABCD ，∴ DH ⊥AD ，又AD ⊥PC ，且PC ∩DH ＝H ，∴ AD ⊥平面PCD ． (Ⅲ)∵ AD ⊥平面PCD ，∴ AD ⊥CD ，又DH ⊥CD ，DH ⊥AD ，以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， ∴ D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，C(0, 2√3, 0)，B(2, 1, 0)，P(0, −1, √3)， ∵ T 为PB 中点，∴ T(1, 0, √32)， AC →=(−2, 2√3, 0)，AT →=(−1, 0, √32)，设平面ACT 的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AC →=−2x +2√3y =0n →⋅AT →=−x +√32z =0 ，取x =√3，得n →=(√3, 1, 2)，平面ABC 的法向量m →=(0, 0, 1)，设二面角T −AC −B 的大小为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√8=√22．∴ θ＝45∘．∴ 二面角T −AC −B 的大小为45∘．已知函数f(x)=13x3−52x2+a|x|−1．(Ⅰ)当a＝6时，求函数f(x)在(0, +∞)上的单调区间；(Ⅱ)求证：当a<0时，函数f(x)既有极大值又有极小值．【答案】（1）当a＝6，且x>0时，f(x)=13x3−52x2+6x−1，所以f′(x)＝x2−5x+6＝(x−2)(x−3)，令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝3；当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0, +∞)上的单调递增区间是(0, 2)，(3, +∞)，单调递减区间是(2, 3)；（2）当a<0时，若x<0，则f(x)=13x3−52x2−ax−1，所以f′(x)＝x2−5x−a＝x(x−5)−a；因为x<0，a<0，所以f′(x)>0；若x>0，则f(x)=13x3−52x2+ax−1，所以f′(x)＝x2−5x+a；令f′(x)＝0，△＝25−4a>0，所以有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2<0；不妨设x2>0，所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因为函数f(x)图象是连续不断的，所以当a<0时，f(x)即存在极大值又有极小值．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求a＝6且x>0时f(x)的导数，利用导数判断f(x)的单调性，从而求得f(x)在(0, +∞)上的单调区间；(Ⅱ)由a<0时，讨论x<0和x>0时，利用导数研究函数f(x)的单调性，从而判断函数f(x)是否存在极大与极小值．【解答】（1）当a＝6，且x>0时，f(x)=13x3−52x2+6x−1，所以f′(x)＝x2−5x+6＝(x−2)(x−3)，令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝3；当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0, +∞)上的单调递增区间是(0, 2)，(3, +∞)，单调递减区间是(2, 3)；（2）当a <0时，若x <0，则f(x)=13x 3−52x 2−ax −1，所以f ′(x)＝x 2−5x −a ＝x(x −5)−a ；因为x <0，a <0，所以f ′(x)>0；若x >0，则f(x)=13x 3−52x 2+ax −1，所以f ′(x)＝x 2−5x +a ；令f ′(x)＝0，△＝25−4a >0，所以有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1x 2<0；不妨设x 2>0，所以当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：因为函数f(x)图象是连续不断的，所以当a <0时，f(x)即存在极大值又有极小值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C 上不同于A ，B 的任一点，若直线PA 与PB 的斜率之积为−34，且椭圆C 经过点(1,32)(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若P 点不在坐标轴上，直线PA ，PB 交y 轴与M ，N 两点；若直线OT 与过点MN 为直径的圆相切，切点为T ，问切线长|OT|是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）设P(x, y)，由题意得A(−a, 0)，B(a, 0)，∴ k AP ⋅k BP =yx+a ⋅yx−a =y 2x 2−a 2，∴y 2x 2−a2=−34而x 2a2+y 2b 2=1得：b 2=34a 2①，又过(1, 32)∴ 1a 2+94b 2=1②，所以由①②得：a 2＝4，b 2＝3；所以椭圆C 的方程：x 24+y 23=1；（2）由(Ⅰ)得：A(−2, 0)，B(2, 0)设P(m, n)，m 24+n 23=1，则直线的方程PA:y =nm+2(x +2)，令x ＝0，则y =2nm+2，所以M 的坐标(0, 2n2+m )，直线PB 的方程：y =nm−2(x −2)，令x ＝0，y =−nm−2，所以坐标N(0, −2nm−2)，∵ △OTN ∽△OMT ∴ OTOM =ONOT，∴ OT 2＝|ON|⋅|OM|＝|4n 2m 2−4|＝3 |所以切线长|OT|2=√3．【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】(Ⅰ)由斜率之积的a ，b 的关系，又过一点又得a ，b 的关系，解出a ，b 的值，求出椭圆的方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)得A ，B 的坐标，设P 的坐标，满足椭圆的方程，得直线AP ，BP ，求出M ，N 的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．【解答】（1）设P(x, y)，由题意得A(−a, 0)，B(a, 0)，∴ k AP ⋅k BP =y x+a⋅y x−a=y 2x 2−a 2，∴y 2x −a=−34而x 2a+y 2b =1得：b 2=34a 2①，又过(1, 32)∴1a 2+94b 2=1②，所以由①②得：a 2＝4，b 2＝3；所以椭圆C 的方程：x 24+y 23=1；（2）由(Ⅰ)得：A(−2, 0)，B(2, 0)设P(m, n)，m 24+n 23=1，则直线的方程PA:y =nm+2(x +2)，令x ＝0，则y =2nm+2，所以M 的坐标(0, 2n2+m )，直线PB 的方程：y =n m−2(x −2)，令x ＝0，y =−nm−2，所以坐标N(0, −2nm−2)，∵ △OTN ∽△OMT ∴ OTOM =ONOT，∴ OT 2＝|ON|⋅|OM|＝|4n 2m 2−4|＝3 |所以切线长|OT|2=√3．定义：给定整数i ，如果非空集合A 满足如下3个条件： ①A ⊆N ∗； ②A ≠{1}；③∀x ，y ∈N ∗，若x +y ∈A ，则xy −i ∈A ．则称集合A 为“减i 集”(Ⅰ)P ＝{1, 2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？ (Ⅱ)证明：不存在“减2集”；(Ⅲ)是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）∵ P ⊆N ∗，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1−0∈P ，∴ P 是“减0集”同理，∵ P ⊆N ∗，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1−1∉P ，∴ P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x +y ∈A ，那么xy −2∈A ，当x +y ＝xy −2时，有(x −1)(y −1)＝3，则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是3+3∈A ，3×3−2∉A ，与A 是“减2集”，矛盾；当x +y ≠xy −2时，则x +y ＝xy −1或者x +y ＝xy −m(m ≥2)，若x +y ＝xy −1，则有(x −1)(y −1)＝2，因此x，y一个为2，一个为3，(Ⅲ)存在“减1集”A．A≠{1}．①假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1−1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2−1∈A，因此3∈A．因此可以有A＝{1, 3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3−1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4−1∈A，2+3＝5，2×3−1∈A，因此5∈A．因此可以有A＝{1, 3, 5}．以此类推可得：A＝{1, 3, 5, ......, 2n−1, ......}，(n∈N∗)，以及A的满足以下条件的非空子集：{1, 3}，{1, 3, 5}，{1, 3, 5, 7}，……．【考点】元素与集合关系的判断【解析】(Ⅰ)P⊆N∗，P≠{1}，1+1＝2∈P，1×1−0∈P，即可得出P是“减0集”，同理可得P不是“减1集”．(Ⅱ)假设存在A是“减2集”，则若x+y∈A，那么xy−2∈A，当x+y＝xy−2时，有(x−1)(y−1)＝3，对x，y分类讨论即可得出．(Ⅲ)存在“减1集”A．A≠{1}．假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1−1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2−1∈A，因此3∈A．因此可以有A＝{1, 3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3−1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4−1∈A，2+3＝5，2×3−1∈A，因此5∈A．因此可以有A＝{1, 3, 5}．以此类推可得所有的A．【解答】（1）∵P⊆N∗，P≠{1}，1+1＝2∈P，1×1−0∈P，∴P是“减0集”同理，∵P⊆N∗，P≠{1}，1+1＝2∈P，1×1−1∉P，∴P不是“减1集”．（2）假设存在A是“减2集”，则若x+y∈A，那么xy−2∈A，当x+y＝xy−2时，有(x−1)(y−1)＝3，则x，y一个为2，一个为4，所以集合A中有元素6，但是3+3∈A，3×3−2∉A，与A是“减2集”，矛盾；当x+y≠xy−2时，则x+y＝xy−1或者x+y＝xy−m(m≥2)，若x+y＝xy−1，则有(x−1)(y−1)＝2，因此x，y一个为2，一个为3，(Ⅲ)存在“减1集”A．A≠{1}．①假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1−1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2−1∈A，因此3∈A．因此可以有A＝{1, 3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3−1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4−1∈A，2+3＝5，2×3−1∈A，因此5∈A．因此可以有A＝{1, 3, 5}．以此类推可得：A＝{1, 3, 5, ......, 2n−1, ......}，(n∈N∗)，以及A的满足以下条件的非空子集：{1, 3}，{1, 3, 5}，{1, 3, 5, 7}，……．。

北京市中国人民大学附属中学2019届高三下第三次调研考试文科数学试题

姓名准考号北京市中国人民大学附属中学2019届高三下第三次调研考试文科数学试题本试卷共5页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知i 为虚数单位，则201932ii i i ++++ 等于( )A .iB .1C .i -D .-12. 已知集合(){}N y x y x y x A ∈≤+=,,2|,，则A 中元素的个数为A ． 1B ． 5C ． 6D ．无数个第4题3.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（）81.A 41.B83.C 21.D 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为A.64B.73C.512D.5855.某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案;点),(y x D 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，向圆122=+y x 内均匀撒M 粒黄豆，已知落在不等式组所表示的区域内的黄豆数是N ，则圆周率π为（）A.M NB. M N 2C. N M 2D. N M 26.如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若平面 SAD 平面SBC l =．现有以下四个结论： ① AD ∥平面SBC ； ② AD l //；③ 若E 是底面圆周上的动点，则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积； ④ l 与平面SCD 所成的角为45°．其中正确结论的个数是( )A. 1B.2C. 3D.47．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞ B ． 4(,)3+∞ C ． 2(0,)3 D ． 24(,)338九章算术等，对等差级数(数列)])1([)3()2()(d n a d a d a d a a -++⋅⋅⋅+++++++和等比级数（数列）132-+⋅⋅⋅++++n aq aq aq aq a ，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若422=a ，则这9个数和的最小值为 A. 64C. 36D. 16第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市人民大学附属中学2019届高三年级上学期期中模拟练习数学试题(pdf版)

2

（ B ）
A．[2,3]
B．( 2,3 ]
C．[1,2)
D． ( , 2] [1, ) （ B）
2．设命题 p ： x 0, 2 x log 2 x ，则 p 为 A． x 0, 2 x log 2 x C． x 0, 2 x log 2 x 3．设 a log 3 0.7 ， b 2 ， c 0.8 A． b a c B． c a b
f ( x) 的最小正周期大于 2 ，则
5 )2， f( ) 0 ，且 8 8
( A B. D.
2 ， 3 12 1 ， 3 24
)
A.
2 ， 3 12 1 ， 3 24
C.
1
8 ．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作 [H ] ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作 [OH ] ）的乘积等于常数
D.
1 10
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上． 9．已知向量 a＝(3,－1)，b＝(－2,4)，则向量 a 与 b 的夹角为___ 10.方程 3sin x 1 cos 2 x 在区间 0,2 上的解为____ 11. 已知函数 f ( x ) 同时满足以下条件： ① 定义域为 R ； ② 值域为 [0,1] ； ③ f ( x) f ( x) 0 .
人大附中 2019 届高三年级第一学期期中模拟练习
数学（理）
符合题目要求的一项．
2018.10.29
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出

2019-2020学年北京市人大附中高三(上)开学数学试卷(8月份)

2019-2020学年北京市人大附中高三（上）开学数学试卷（8月份）试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设i为虚数单位.则复数z=1-i的模|z|=（）A.1B. $\sqrt{2}$C.2D. $2\sqrt{2}$2.（单选题.3分）已知全集U=R.若集合A={x|x2-x＜0}.则∁U A=（）A.{x|x≤0.或x≥1}B.{x|x＜0.或x＞1}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x≥1}3.（单选题.3分）命题p：∀x＞0.e x＞1.则￢p是（）A.∃x0≤0. ${e^{x_0}}≤1$B.∃x0＞0. ${e^{x_0}}≤1$C.∀x＞0.e x≤1D.∀x≤0.e x≤14.（单选题.3分）若 $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ 是两个非零的平面向量.则“| $\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |”是“（ $\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题.3分）已知a=ln $\frac{1}{2}$ .b=sin $\frac{1}{2}$ .c= ${2}^{-\frac{1}{2}}$ .则a.b.c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a6.（单选题.3分）一个四棱锥的三视图如图所示.那么对于这个四棱锥.下列说法中正确的是（）A.最长棱的棱长为 $\sqrt{6}$B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形7.（单选题.3分）已知函数f（x）=|lnx|-1.g（x）=-x2+2x+3.用min{m.n}表示m.n中的最小值.设函数h（x）=min{f（x）.g（x）}.则函数h（x）的零点个数为（）A.1B.2C.3D.48.（单选题.3分）已知抛物线C：y2=4x.点P（m.0）.O为坐标原点.若在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.则实数m的取值范围是（）A.（4.8）B.（4.+∞）C.（0.4）D.（8.+∞）9.（填空题.3分）双曲线C： $\frac{x^2}{4}$ -y2=1的离心率是___ ；渐近线方程是___ ．10.（填空题.3分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5.且公比q=2.则a3+a5=___ ．11.（填空题.3分）在△ABC中.a=3. $b=\sqrt{13}$ .B=60°.则c=___ ；△ABC的面积为___ ．12.（填空题.3分）已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上.若圆C与两个坐标轴都相切.则圆C的标准方程为___ ．13.（填空题.3分）已知函数 $f(x)=asinx-2\sqrt{3}cosx$ 的一条对称轴为 $x=-\frac{π}{6}.f({x_1})+f({x_2})=0$ .且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.则|x1+x2|的最小值为___ ．14.（填空题.3分）函数f（x）=ae x+be-x（a∈R+.b∈R+）.已知f（x）的最小值为4.则点（a.b）到直线 $2x+y-\sqrt{2}=0$ 距离的最小值为___ ．15.（问答题.0分）设函数$f(x)=2sin({ωx})\bullet cos({ωx})-2\sqrt{3}{cos^2}({ωx})+\sqrt{3}({ω＞0})$ 的图象上相邻最高点与最低点的距离为$\sqrt{{π^2}+16}$．（Ⅰ）求函数f（x）的周期及ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16.（问答题.0分）某校高三1班共有48人.在“六选三”时.该班共有三个课程组合：理化生.理化历.史地政．其中.选择理化生的共有24人.选择理化历的共有16人.其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人.调查他们每天完成作业的时间．（Ⅰ）应从这三个组合中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上.2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数.求随机变量X的分布列和数学期望．17.（问答题.0分）在四棱锥P-ABCD中.平面ABCD⊥平面PCD.底面ABCD为梯形.AB ||CD.AD⊥PC.M为PD中点.过A.B.M的平面与PC交于$N.DC=2\sqrt{3}.DA=PD=2.AB=1.∠PDC={120°}$ .（Ⅰ）求证：N为PC中点；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）T为PB中点.求二面角T-AC-B的大小．18.（问答题.0分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+a|x|-1$ ．（Ⅰ）当a=6时.求函数f（x）在（0.+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时.函数f（x）既有极大值又有极小值．19.（问答题.0分）已知椭圆C $：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a＞b＞0})$ 的左右顶点分别为A.B.左焦点为F.O为原点.点P为椭圆C上不同于A.B的任一点.若直线PA与PB的斜率之积为 $-\frac{3}{4}$ .且椭圆C经过点 $({1.\frac{3}{2}})$（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P点不在坐标轴上.直线PA.PB交y轴与M.N两点；若直线OT与过点MN为直径的圆相切.切点为T.问切线长|OT|是否为定值.若是.求出定值；若不是.请说明理由．20.（问答题.0分）定义：给定整数i.如果非空集合A满足如下3个条件：① A⊆N*；② A≠{1}；③ ∀x.y∈N*.若x+y∈A.则xy-i∈A．则称集合A为“减i集”（Ⅰ）P={1.2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在.求出所有的“减1集”；如果不存在.请说明理由．2019-2020学年北京市人大附中高三（上）开学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设i为虚数单位.则复数z=1-i的模|z|=（）A.1B. $\sqrt{2}$C.2D. $2\sqrt{2}$【正确答案】：B【解析】：若复数z=a+bi.则|z|= $\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$ .直接代入求出即可．【解答】：解：|z|= $\sqrt{{1}^{2}{+(-1)}^{2}}$ = $\sqrt{2}$ .故选：B．【点评】：本题考查了求复数的模问题.是一道基础题．2.（单选题.3分）已知全集U=R.若集合A={x|x2-x＜0}.则∁U A=（）A.{x|x≤0.或x≥1}B.{x|x＜0.或x＞1}C.{x|0＜x＜1}D.{x|x≥1}【正确答案】：A【解析】：求出A中不等式的解集确定出A.根据全集U=R.求出A的补集即可．【解答】：解：由A中不等式变形得：x（x-1）＜0.解得：0＜x＜1.即A={x|0＜x＜1}.∵U=R.∴∁U A={x|x≤0.或x≥1}.故选：A．【点评】：此题考查了补集及其运算.熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3.（单选题.3分）命题p：∀x＞0.e x＞1.则￢p是（）A.∃x0≤0. ${e^{x_0}}≤1$B.∃x0＞0. ${e^{x_0}}≤1$C.∀x＞0.e x≤1D.∀x≤0.e x≤1【正确答案】：B【解析】：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】：解：因为全称命题的否定是特称命题.所以命题p：∀x＞0.e x＞1.则￢p是∃x0＞0. ${e^{x_0}}≤1$．故选：B．【点评】：本题考查特称命题与全称命题的否定关系.基本知识的考查．4.（单选题.3分）若 $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ 是两个非零的平面向量.则“| $\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |”是“（ $\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：根据向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：若“（ $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0.则 $\overrightarrow{a}$2-$\overrightarrow{b}$2=0.即 $\overrightarrow{a}$2= $\overrightarrow{b}$2.则|$\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |.反之亦然.充分性成立.故“| $\overrightarrow{a}$ |=| $\overrightarrow{b}$ |”是“（ $\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{b}$ ）•（ $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）=0”的充要条件. 故选：C．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据向量数量积的公式是解决本题的关键．5.（单选题.3分）已知a=ln $\frac{1}{2}$ .b=sin $\frac{1}{2}$ .c= ${2}^{-\frac{1}{2}}$ .则a.b.c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a【正确答案】：A【解析】：判断a.b.c的值的范围.即可判断三个数的大小．【解答】：解：因为a=ln $\frac{1}{2}$ ＜0.b=sin $\frac{1}{2}$ $∈(0.\frac{1}{2})$ .c= ${2}^{-\frac{1}{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ＞ $\frac{1}{2}$ .所以a＜b＜c.故选：A．【点评】：本题考查大小比较.估计表达式的值的范围是解题的关键．6.（单选题.3分）一个四棱锥的三视图如图所示.那么对于这个四棱锥.下列说法中正确的是（）A.最长棱的棱长为 $\sqrt{6}$B.最长棱的棱长为3C.侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D.侧面四个三角形都是直角三角形【正确答案】：D【解析】：由三视图可知：该几何体如图所示.PA⊥底面ABCD.PA=2.底面是一个直角梯形.其中BC || AD.AB⊥AD.BC=AB=1.AD=2．可得△PAD.△PAB.△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．【解答】：解：由三视图可知：该几何体如图所示.PA⊥底面ABCD.PA=2.底面是一个直角梯形.其中BC || AD.AB⊥AD.BC=AB=1.AD=2．可得△PAD.△PAB.△PBC是直角三角形．取AD的中点O.连接OC.AC．可得四边形ABCO是平行四边形.∴OC=OD=OA=1.∴CD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD.∴CD⊥PC.因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．故选：D．【点评】：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理的应用.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．7.（单选题.3分）已知函数f（x）=|lnx|-1.g（x）=-x2+2x+3.用min{m.n}表示m.n中的最小值.设函数h（x）=min{f（x）.g（x）}.则函数h（x）的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：根据min{m.n}的定义.作出两个函数的图象.利用数形结合进行求解即可．【解答】：解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图.两个图象的下面部分图象.由g（x）=-x2+2x+3=0.得x=-1.或x=3.由f（x）=|lnx|-1=0.得x=e或x= $\frac{1}{e}$ .∵g（e）＞0.∴当x＞0时.函数h（x）的零点个数为3个.故选：C．【点评】：本题主要考查函数零点个数的判断.利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用．8.（单选题.3分）已知抛物线C：y2=4x.点P（m.0）.O为坐标原点.若在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.则实数m的取值范围是（）A.（4.8）B.（4.+∞）C.（0.4）D.（8.+∞）【正确答案】：B【解析】：求出以OP为直径的圆的方程.y2=4x代入整理.利用在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：以OP为直径的圆的方程为（x- $\frac{m}{2}$ ）2+y2= $\frac{{m}^{2}}{4}$ . y2=4x代入整理可得x2+（4-m）x=0.∴x=0或x=m-4.∵在抛物线C上存在一点Q.使得∠OQP=90°.∴m-4＞0.∴m＞4.故选：B．【点评】：本题考查抛物线、圆的方程.考查学生的计算能力.比较基础．9.（填空题.3分）双曲线C： $\frac{x^2}{4}$ -y2=1的离心率是___ ；渐近线方程是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ; [2]y= $±\frac{1}{2}$ x【解析】：求出双曲线的a.b.c.运用渐近线方程和离心率公式即可得到．【解答】：解：双曲线C： $\frac{x^2}{4}$ -y2=1的a=2.b=1.c= $\sqrt{4+1}$ = $\sqrt{5}$ .则e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .渐近线方程为y= $±\frac{1}{2}$ x．故答案为： $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .y= $±\frac{1}{2}$ x．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质.考查渐近线方程和离心率的求法.考查运算能力.属于基础题．10.（填空题.3分）若等比数列{a n}满足a1+a3=5.且公比q=2.则a3+a5=___ ．【正确答案】：[1]20【解析】：利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】：解：a3+a5=q2（a1+a3）=22×5=20.故答案为：20．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．11.（填空题.3分）在△ABC中.a=3. $b=\sqrt{13}$ .B=60°.则c=___ ；△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1]4; [2]3 $\sqrt{3}$【解析】：根据已知和余弦定理可求c的值.从而有三角形的面积公式解得所求．【解答】：解：由余弦定理可得：cosB= $\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$ .代入已知可得： $\frac{1}{2}$ = $\frac{9{+c}^{2}-13}{6c}$ .解得c=4.c=-1（舍去）.∴S△ABC= $\frac{1}{2}$ acsinB=3 $\sqrt{3}$ .故答案为：4.3 $\sqrt{3}$ ．【点评】：本题主要考查了余弦定理.三角形面积公式的应用.属于基本知识的考查．12.（填空题.3分）已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上.若圆C与两个坐标轴都相切.则圆C的标准方程为___ ．【正确答案】：[1] ${(x+\frac{1}{3})^2}+{(y-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}$【解析】：由已知得x=y或x=-y.圆心在y=2x+1上.又圆心位于第二象限.从而得到圆心坐标为：（- $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ ）.再由半径就是圆心到切线距离.能求出圆的标准方程．【解答】：解：∵与坐标轴相切.∴圆心到两个坐标轴距离相等.∴x=y或x=-y.又圆心在y=2x+1上.若x=y.则x=y=-1；若x=-y.则x=- $\frac{1}{3}$ .y= $\frac{1}{3}$ .所以圆心是（-1.-1）或（- $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ ）.∵圆心位于第二象限.∴圆心坐标为：（- $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{3}$ ）.∵半径就是圆心到切线距离.即到坐标轴距离．∴r= $\frac{1}{3}$ .∴所求圆的标准方程为： ${(x+\frac{1}{3})^2}+{(y-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}$ ．故答案为： ${(x+\frac{1}{3})^2}+{(y-\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}$ ．【点评】：本题考查圆的标准方程的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用．13.（填空题.3分）已知函数 $f(x)=asinx-2\sqrt{3}cosx$ 的一条对称轴为 $x=-\frac{π}{6}.f({x_1})+f({x_2})=0$ .且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.则|x1+x2|的最小值为___ ．【正确答案】：[1] $\frac{2π}{3}$【解析】：利用辅助角公式化简.对称为x=- $\frac{π}{6}$ .f（x1）+f（x2）=0.且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.可得对称中心.即可求出最小值．【解答】：解：函数f（x）=asinx-2 $\sqrt{3}$ cosx= $\sqrt{{a}^{2}+12}sin(x+θ).\;\;\;其中tanθ=-\frac{2\sqrt{3}}{a}$ .函数f（x）的一条对称轴为x=- $\frac{π}{6}$ .可得 $f(-\frac{π}{6})=-\frac{1}{2}\;a-2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=±\sqrt{{a}^{2}+12}$ .解得a=2．∴ $θ=-\frac{π}{3}$；对称中心横坐标由x- $\frac{π}{3}=kπ(k∈z).\;可得x=kπ+\frac{π}{3}(k∈z)$；又f（x1）+f（x2）=0.且函数f（x）在（x1.x2）上具有单调性.∴ $|\;{x}_{1}+{x}_{2}|=2|k+\frac{π}{3}|$ .当k=0时.可得 $|{x}_{1}+{x}_{2}|=\frac{2π}{3}$．故答案为： $\frac{2π}{3}$．【点评】：本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用.属于中档题．14.（填空题.3分）函数f（x）=ae x+be-x（a∈R+.b∈R+）.已知f（x）的最小值为4.则点（a.b）到直线 $2x+y-\sqrt{2}=0$ 距离的最小值为___ ．【正确答案】：[1] $\frac{3\sqrt{10}}{5}$【解析】：利用基本不等式可得f（x）≥ $2\sqrt{ab}$ =4.然后用点到直线的距离公式求出点（a.b）到直线2x+y- $\sqrt{2}$ =0距离.计算其最小值即可．【解答】：解：∵a∈R+.b∈R+.∴f（x）=ae x+be-x≥ $2\sqrt{ae^x\bulletbe^{-x}}$ = $2\sqrt{ab}$ . 当且仅当ae x=be-x.即ae2x=b时取等号.∴ $f(x)_{min}=2\sqrt{ab}=4$ .∴ab=4.∴点（a.b）到直线 $2x+y-\sqrt{2}=0$ 距离.d= $\frac{|2a+b-\sqrt{2}|}{\sqrt{2^2+1^2}}$ ≥ $\frac{|2\sqrt{2ab}-\sqrt{2}|}{\sqrt{5}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ = $\frac{3\sqrt{10}}{5}$ .∴ $d_{min}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$ ．故答案为： $\frac{3\sqrt{10}}{5}$ ．【点评】：本题考查了基本不等式的应用和点到直线的距离公式.考查了转化思想.属中档题．15.（问答题.0分）设函数$f(x)=2sin({ωx})\bullet cos({ωx})-2\sqrt{3}{cos^2}({ωx})+\sqrt{3}({ω＞0})$ 的图象上相邻最高点与最低点的距离为$\sqrt{{π^2}+16}$．（Ⅰ）求函数f（x）的周期及ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简.结合条件求出ω的值即可．（Ⅱ）利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）$f(x)=2sin({ωx})\bullet cos({ωx})-2\sqrt{3}{cos^2}({ωx})+\sqrt{3}({ω＞0})$=sin2ωx- $\sqrt{3}$ cos2ωx=2sin（2ωx- $\frac{π}{3}$）.则函数的周期T= $\frac{2π}{2ω}$ = $\frac{π}{ω}$ .振幅A=2.∵图象上相邻最高点与最低点的距离为 $\sqrt{{π^2}+16}$．∴A2+（ $\frac{T}{4}$ ）2=（ $\frac{\sqrt{{π}^{2}+16}}{2}$）2.即4+（ $\frac{T}{4}$ ）2= $\frac{{π}^{2}+16}{4}$ = $\frac{{π}^{2}}{4}$ +4.即（ $\frac{T}{4}$ ）2= $\frac{{π}^{2}}{4}$ .即 $\frac{T}{4}$ = $\frac{π}{2}$ .得T=2π= $\frac{π}{ω}$ .得ω= $\frac{1}{2}$ ．故函数f（x）的周期为2π.ω= $\frac{1}{2}$ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（x- $\frac{π}{3}$）.由2kπ- $\frac{π}{2}$≤x- $\frac{π}{3}$≤2kπ+ $\frac{π}{2}$ .k∈Z.得2kπ- $\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+ $\frac{5π}{6}$ .k∈Z.即函数的单调递增区间为[2kπ- $\frac{π}{6}$ .2kπ+ $\frac{5π}{6}$ ].k∈Z．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.结合辅助角公式进行化简求出ω的值是解决本题的关键．16.（问答题.0分）某校高三1班共有48人.在“六选三”时.该班共有三个课程组合：理化生.理化历.史地政．其中.选择理化生的共有24人.选择理化历的共有16人.其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人.调查他们每天完成作业的时间．（Ⅰ）应从这三个组合中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上.2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数.求随机变量X的分布列和数学期望．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用分层抽样的性质直接求解．（Ⅱ）X的可能取值为1.2.3.分别求出相应的概率.由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】：解：（Ⅰ）某校高三1班共有48人.在“六选三”时.选择理化生的共有24人.选择理化历的共有16人.其余人选择了史地政．现采用分层抽样的方法从中抽取6人.调查他们每天完成作业的时间．应从选择理化生的组合中抽取：6× $\frac{24}{48}$ =3人.从选择理化历的组合中抽取：6× $\frac{16}{48}$ =2人.从选择史地政的组合中抽取：6× $\frac{48-24-16}{48}$ =1人．（Ⅱ）抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上.2人在3小时以内．先从这6人中随机抽取3人进行座谈．用X表示抽取的3人中每天完成作业的时间超过3小时的人数.则X的可能取值为1.2.3.P（X=1）= $\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$ = $\frac{1}{5}$ .P（X=2）= $\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$ = $\frac{3}{5}$ .P（X=3）= $\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$ = $\frac{1}{5}$ .∴随机变量X的分布列为：【点评】：本题考查分层抽样的求法.考查离散型随机变量的分布列的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．17.（问答题.0分）在四棱锥P-ABCD中.平面ABCD⊥平面PCD.底面ABCD为梯形.AB ||CD.AD⊥PC.M为PD中点.过A.B.M的平面与PC交于$N.DC=2\sqrt{3}.DA=PD=2.AB=1.∠PDC={120°}$ .（Ⅰ）求证：N为PC中点；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅲ）T为PB中点.求二面角T-AC-B的大小．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）推导出AB || 平面PCD.从而MN || AB.MN || CD.再由M为PD中点.能证明N 为PC中点．（Ⅱ）在平面PCD中过点D作DH⊥DC.交PC于H.证明DH⊥平面ABCD.推出DH⊥AD.然后证明AD⊥平面PCD．（Ⅲ）推导出AD⊥CD.DH⊥CD.DH⊥AD.以D为原点.DA.DC.DH所在直线分别为x.y.z轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出二面角T-AC-B的大小．【解答】：解：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为梯形.AB || CD.M为PD中点.过A.B.M的平面与PC交于N.∴平面ABNM∩平面PCD=MN.∵AB || CD.AB⊄平面PCD.CD⊂平面PCD.∴AB || 平面PCD.∵MN⊂平面PCD.且MN⊂平面ABNM.∴MN || AB.∴MN || CD.∵M为PD中点.∴N为PC中点．（Ⅱ）证明：在平面PCD中过点D作DH⊥DC.交PC于H.∵平面ABCD⊥平面PCD.DH⊂平面PCD.平面ABCD∩平面PCD=CD.∴DH⊥平面ABCD.∵AD⊂平面ABCD.∴DH⊥AD.又AD⊥PC.且PC∩DH=H.∴AD⊥平面PCD．（Ⅲ）解：∵AD⊥平面PCD.∴AD⊥CD.又DH⊥CD.DH⊥AD.以D为原点.DA.DC.DH所在直线分别为x.y.z轴.建立空间直角坐标系.∴D（0.0.0）.A（2.0.0）.C（0.2 $\sqrt{3}$ .0）.B（2.1.0）.P（0.-1. $\sqrt{3}$ ）.∵T为PB中点.∴T（1.0. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）.$\overrightarrow{AC}$ =（-2.2 $\sqrt{3}$ .0）. $\overrightarrow{AT}$ =（-1.0.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）.设平面ACT的法向量 $\overrightarrow{n}$ =（x.y.z）.则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\bullet \overrightarrow{AC}=-2x+2\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}\bullet \overrightarrow{AT}=-x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$ .取x= $\sqrt{3}$ .得 $\overrightarrow{n}$ =（ $\sqrt{3}$ .1.2）.平面ABC的法向量 $\overrightarrow{m}$ =（0.0.1）.设二面角T-AC-B的大小为θ.则cosθ= $\frac{|\overrightarrow{m}\bullet\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|\bullet |\overrightarrow{n}|}$ =$\frac{2}{\sqrt{8}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．∴θ=45°．∴二面角T-AC-B的大小为45°．【点评】：本题考查点是线段中点的证明.考查线面垂直的证明.考查二面角的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+a|x|-1$ ．（Ⅰ）当a=6时.求函数f（x）在（0.+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时.函数f（x）既有极大值又有极小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求a=6且x＞0时f（x）的导数.利用导数判断f（x）的单调性.从而求得f （x）在（0.+∞）上的单调区间；（Ⅱ）由a＜0时.讨论x＜0和x＞0时.利用导数研究函数f（x）的单调性.从而判断函数f（x）是否存在极大与极小值．【解答】：解：（Ⅰ）当a=6.且x＞0时. $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+6x-1$ .所以f'（x）=x2-5x+6=（x-2）（x-3）.令f'（x）=0.得x=2.或x=3；当x变化时.f'（x）.f（x）的变化情况如下表：（Ⅱ）当a＜0时.若x＜0.则 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}-ax-1$ .所以f'（x）=x2-5x-a=x（x-5）-a；因为x＜0.a＜0.所以f'（x）＞0；若x＞0.则 $f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{5}{2}{x^2}+ax-1$ .所以f'（x）=x2-5x+a；令f'（x）=0.△=25-4a＞0.所以有两个不相等的实根x1.x2.且x1x2＜0；不妨设x2＞0.所以当x变化时.f'（x）.f（x）的变化情况如下表：所以当a＜0时.f（x）即存在极大值又有极小值．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题.也考查了分类讨论思想与方程根的应用问题.是中档题．19.（问答题.0分）已知椭圆C $：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a＞b＞0})$ 的左右顶点分别为A.B.左焦点为F.O为原点.点P为椭圆C上不同于A.B的任一点.若直线PA与PB的斜率之积为 $-\frac{3}{4}$ .且椭圆C经过点 $({1.\frac{3}{2}})$（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P点不在坐标轴上.直线PA.PB交y轴与M.N两点；若直线OT与过点MN为直径的圆相切.切点为T.问切线长|OT|是否为定值.若是.求出定值；若不是.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由斜率之积的a.b的关系.又过一点又得a.b的关系.解出a.b的值.求出椭圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）得A.B的坐标.设P的坐标.满足椭圆的方程.得直线AP.BP.求出M.N的坐标.再用圆中切割线定理得切线长的值．【解答】：解：（Ⅰ）设P（x.y）.由题意得A（-a.0）.B（a.0）.∴k AP•k BP=$\frac{y}{x+a}$ $\bullet \frac{y}{x-a}$ = $\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$ .∴$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$ =- $\frac{3}{4}$ 而$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ $+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1得：b2= $\frac{3}{4}$ a2① .又过（1. $\frac{3}{2}$ ）∴ $\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$ =1 ② .所以由① ② 得：a2=4.b2=3；所以椭圆C的方程： $\frac{{x}^{2}}{4}$ + $\frac{{y}^{2}}{3}$ =1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：A（-2.0）.B（2.0）设P（m.n）.$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$ .则直线的方程PA：y= $\frac{n}{m+2}$ （x+2）.令x=0.则y= $\frac{2n}{m+2}$ .所以M的坐标（0. $\frac{2n}{2+m}$ ）.直线PB的方程：y= $\frac{n}{m-2}$ （x-2）.令x=0.y= $\frac{-n}{m-2}$ .所以坐标N（0. $\frac{-2n}{m-2}$ ）.∵△OTN∽△OMT∴ $\frac{OT}{OM}=\frac{ON}{OT}$ .∴OT2=|ON|•|OM|=|$\frac{4{n}^{2}}{{m}^{2}-4}$ |=3|所以切线长|OT|2= $\sqrt{3}$ ．【点评】：考查直线与椭圆的综合.属于中难题．20.（问答题.0分）定义：给定整数i.如果非空集合A满足如下3个条件：① A⊆N*；② A≠{1}；③ ∀x.y∈N*.若x+y∈A.则xy-i∈A．则称集合A为“减i集”（Ⅰ）P={1.2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在.求出所有的“减1集”；如果不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）P⊆N*.P≠{1}.1+1=2∈P.1×1-0∈P.即可得出P是“减0集”.同理可得P不是“减1集”．（Ⅱ）假设存在A是“减2集”.则若x+y∈A.那么xy-2∈A.当x+y=xy-2时.有（x-1）（y-1）=3.对x.y分类讨论即可得出矛盾．当x+y≠xy-2时.则x+y=xy-1或者x+y=xy-m（m＞2）.同样得出矛盾．（Ⅲ）存在“减1集”A．A≠{1}．假设1∈A.则A中除了元素1以外.必然还含有其它元素．假设2∈A.1+1∈A.而1×1-1∉A.因此2∉A．假设3∈A.1+2∈A.而1×2-1∈A.因此3∈A．因此可以有A={1.3}．假设4∈A.1+3∈A.而1×3-1∉A.因此4∉A．假设5∈A.1+4∈A.1×4-1∈A.2+3=5.2×3-1∈A.因此5∈A．因此可以有A={1.3.5}．以此类推可得所有的A．【解答】：解：（Ⅰ）∵P⊆N*.P≠{1}.1+1=2∈P.1×1-0∈P.∴P是“减0集”同理.∵P⊆N*.P≠{1}.1+1=2∈P.1×1-1∉P.∴P不是“减1集”．（Ⅱ）假设存在A是“减2集”.则若x+y∈A.那么xy-2∈A. ① 当x+y=xy-2时.有（x-1）（y-1）=3.则x.y一个为2.一个为4.所以集合A中有元素6.但是3+3∈A.3×3-2∉A.与A是“减2集”.矛盾；② 当x+y≠xy-2时.则x+y=xy-1或者x+y=xy-m（m＞2）.若x+y=xy-1.m=1时M为除1以外的最小元素.则x=M-1.y=1时.xy-2=M-3小于M.如果要符合题意必须M=4.此时取x=2.y=2.xy-2=2不属于A.故不符合题意．m＞2时.（x-1）（y-1）=m+1.同样得出矛盾．综上可得：不存在A是“减2集”．（Ⅲ）存在“减1集”A．A≠{1}．① 假设1∈A.则A中除了元素1以外.必然还含有其它元素．假设2∈A.1+1∈A.而1×1-1∉A.因此2∉A．假设3∈A.1+2∈A.而1×2-1∈A.因此3∈A．因此可以有A={1.3}．假设4∈A.1+3∈A.而1×3-1∉A.因此4∉A．假设5∈A.1+4∈A.1×4-1∈A.2+3=5.2×3-1∈A.因此5∈A．因此可以有A={1.3.5}．以此类推可得：A={1.3.5.…….2n-1.……}.（n∈N*）.以及A的满足以下条件的非空子集：{1.3}.{1.3.5}.{1.3.5.7}.……．【点评】：本题考查了新定义、元素与集合之间的关系、逻辑推理.考查了推理能力与计算能力.属于难题．。

2019年中国人民大学附属中学高三下实验班模拟训练卷文科数学试题

2019年北京市中国人民大学附属中学高三下实验班模拟训练卷文科数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解：，，，．故选：B．求出集合A，再求解不等式化简集合B，然后由交集运算性质得答案．本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2.已知数列为等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：数列为等差数列，，，即．则．故选：A．由，利用等差数列的性质可得：，再利用三角函数求值即可得出．本题考查了等差数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于较易题．3.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意，直角三角形两直角边长分别为5步和12步，面积为30，设内接正方形边长为x，则，解得，所以正方形的面积为，向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是，故选：C．利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出内接正方形边长，然后分别求出三角形和正方形的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求本题考查直角三角形内切圆的有关知识，以及几何概型的概率公式，属于中档题．4.设x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 4B.C.D.【答案】C【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最小，此时z最小；由，解得，此时，的最小值为．故选：C．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最小值．本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．5.为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度单位长度：，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是A. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：甲乙甲乙故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐．茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，10高考应该会有有关内容数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．6.在正方体中，O是正方的中心，则异面直线与BO所成角为A. B. C.D.【答案】D【解析】解：在正方体中，O是正方的中心，，是异面直线与BO所成角或所成角的补角，设正方体中棱长为2，则，，，．异面直线与BO所成角为．故选：D．推导出，从而是异面直线与BO所成角或所成角的补角，由此能求出异面直线与BO所成角．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】解：如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，，解得，．所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为：故选：A．依题意可求得c，根据和渐线方程，联立求得a和b，进而根据通径求得答案．本题主要考查了双曲线的简单性质双曲线的性质和公式较多，且复杂平时应加强记忆和训练．8.若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】解：几何体为不规则放置的四棱锥，是正方体的一部分，如图：也可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，几何体的体积：．故选：A．作出几何体的直观图，将四棱锥分解成棱柱与两个小三棱锥计算体积．本题考查了棱锥的结构特征，三视图与体积计算，属于中档题．9.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法干支是天干和地支的总称，把千支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉戌、亥等十二个符号叫地支如：公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年则公元2047年农历为A. 乙丑年B. 丙寅年C. 丁卯年D. 戊辰年【答案】C【解析】解：从1986开始算起，公元2047年为第61个数，天干表10个为一个周期，地支表12个数为一个周期，则公元2047年对应的天干为卯，地支为卯，故应为丁卯年，故选：C．由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1986年的天干和地支分别为首项，到公元2047年经过了61年，即可求出答案本题考查了等差数列在实际生活中的应用，及推理与证明，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.函数的值域为______．【答案】【解析】解：；；；的值域为．故答案为：．根据即可得出，从而可求出，即得出的值域．考查函数值域的概念及求法，指数函数的值域，对数函数的单调性．11.设实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】18示的平面区域，让如图：作直线，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大由可得，此时．故答案为：18．先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最大值．本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意义．12.写出下列命题中所有真命题的序号______．两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；回归直线一定经过样本点的中心；线性回归方程，则当样本数据中时，必有相应的；回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小．【答案】【解析】解：对于，两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近1，错误；对于，回归直线一定经过样本点的中心，正确；对于，线性回归方程，当样本数据中时，则，样本数据时，预测，错误；对于，回归分析中，相关指数的值越大，说明残差平方和越小，正确．综上，正确的命题是．故答案为：．根据题意，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．本题考查了统计知识的应用问题，是基础题．13.数列中，，，设数列的前n项和为，则______．【答案】【解析】解：，，，数列是等差数列，首项为2，公差为1．，，，数列的前n项和为．，，可得：，利用等差数列的通项公式可得，可得，利用裂项求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.当前的计算机系统多数使用的是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示则将十进制下的数168转成二进制的数是______．【答案】10101000【解析】解：；．故答案为：．用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，再将依次所得的余数倒序排列即可．本题考查了十进制与二进制的转化问题，熟练掌握“除k取余法”是解题的关键，属于基础题．15.已知函数为定义域为R的偶函数，且满足，当时若函数在区间上的所有零点之和为______．【答案】5【解析】解：是偶函数，，的周期为，作出的函数图象如图所示：由图象可知的图象关于点对称．令可得，令，显然的函数图象关于点对称．作出在上的函数图象如图所示：由图象可知与在上有5个交点，根据对称性可知在上也有5个交点，在上的所有零点之和为．故答案为：5．作出与的函数图象，根据图象的对称性得出结论．本题考查了函数图象变换与函数零点个数判断，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）16.在，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．Ⅰ求角B的大小；Ⅱ若，，求a，c的值其中【答案】解：Ⅰ已知等式，利用正弦定理化简得：，整理得：，即，，，则；由，得：，又由知，，由余弦定理得：，将及代入得：，，，由知a、c是一元二次方程的两个根，解此方程，并由得：，．【解析】Ⅰ已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的值，即可确定出B的度数；根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式，记作，把B的度数代入求出ac的值，记作，然后利用余弦定理表示出，把b，ac及的值代入求出的值，利用完全平方公式表示出，把相应的值代入，开方求出的值，由可知a与c为一个一元二次方程的两个解，求出方程的解，根据c大于a，可得出a与c的值．此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键同时注意完全平方公式的灵活运用．17.数列的前n项和为，且，Ⅰ证明：数列为等比数列，并求；Ⅱ若，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ证明：，，，即为，可得数列为首项为2，公比为2的等比数列，则；Ⅱ，即，，，则前n项和．【解析】Ⅰ运用数列的递推式：，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；Ⅱ由对数的运算性质和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式和等差数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.矩形ABCD中，，P为线段DC中点，将沿AP折起，使得平面平面ABCP．Ⅰ求证：；Ⅱ求点P到平面ADB的距离．【答案】证明：Ⅰ，则有，，满足，，平面平面ABCP，平面平面．平面ADP，平面ADP，．解：Ⅱ以P为原点，PA、PB为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，0，，0，，，0，，则0，，，0，，设平面ABD的法向量y，，则，取，得1，，点P到平面ADB的距离．【解析】Ⅰ推导出，从而平面ADP，由此能证明．Ⅱ以P为原点，PA、PB为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面ADB的距离．本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图1．求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量；若将用电量在区间内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图如图2：从B类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“满意度与用电量高低有关”？附表及公式：，．【答案】解：，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以平均用电量为．类用户共9人，打分超过分的有6人，所以打分超过分的概率为．，所以没有的把握认为“满意度与用电量高低有关”．【解析】根据各组矩形面积和即累积频率和为1，可得x值，进而利用加权平均数公式，可估计这50户用户的平均用电量；计算B类用户数，及打分超过分的户数，进而可得其打分超过85分的概率；根据已知得到列联表，由独立性检验计算公式计算的值，结合独立性检验的意义可得答案；独立性检验，就是要把采集样本的数据，利用公式计算的值，比较与临界值的大小关系，来判定事件A与B是否无关的问题具体步骤：采集样本数据由计算的值统计推断，当时，有的把握说事件A与B有关；当时，有的把握说事件A与B有关；当时，认为事件A与B是无关的．20.已知椭圆C：的焦距为2，且过点Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ依题意，有，解得，，椭圆方程，Ⅱ由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，由得，，得，设，，，，，由得，代入椭圆方程得，由得，，令，则，，令，其对称轴为，在单调递增，，故的取值范围为【解析】Ⅰ依题意，有，解得即可，由此可求椭圆C的方程；Ⅱ设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式以及向量的坐标运算，即可求得结论．本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，求圆的标准方程得方法，直线和椭圆的位置关系，两个向量的数量积的运算，属于难题．21.设函数为常数，是自然对数的底数．Ⅰ当时，求函数的单调区间；Ⅱ若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围．【答案】解：Ⅰ的定义域为，，当时，，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，的单调递减区间为，单调递增区间为．Ⅱ由Ⅰ知，时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点；当时，设函数，．，当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点；当时，得时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，函数的最小值为函数在内存在两个极值点当且仅当解得：综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为【解析】Ⅰ求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；Ⅱ函数在内存在两个极值点，等价于它的导函数在内有两个不同的零点．本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想是一道导数的综合应用题属于中档题．。

北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一+Word版含解析

北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一数学试题（文）一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解.【详解】因为，，所以.故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2.设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以复数对应的点为，故选A.3.若向量，，则（）A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐标，再求模长即可.【详解】则=故选：D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5.若函数与的对称轴完全相同，则函数在哪个区间上单调递增（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数g（x）的对称轴，然后求出ω的值，利用三角函数的单调性进行求解即可．【详解】由2x kπ得x，即函数f（x）的对称轴为x，由ωx kπ得x，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x），由2kπ2x2kπ，k∈Z，得kπx≤kπ，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，x，即0≤x，则函数f（x）在[0，π]上的递增区间是[0，]，故选：A．【点睛】本题主要考查三角函数单调区间的求解，根据函数的对称性求、求出对称轴和ω是解决本题的关键．6.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）A. 或；B. 或；C. 或；D. 或；【答案】D【解析】【分析】先确定单调递减，则转化为在的最小值大于等于f(2)即可.【详解】由题函数单调递减，所以在;则在的最小值大于等于f(2)=1；令t= ，则t≥2在恒成立，即-2≥0恒成立，令g(x)=-2,其对称轴x=,∴或综上解得或故选:D.【点睛】本题考查函数的单调性，二次函数根的分布问题，熟练运用函数单调性，灵活转化为函数-2≥0恒成立是本题关键，是难题.7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为1．故选：C．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．8.已知直线y=2b与双曲线的斜率为正的渐近线交于点A，曲线的左、右焦点分别为,若则双曲线的离心率为（）A. 4或B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意表示出点的坐标，又得到关于离心率的方程即可求出结果【详解】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心率的方程，继而求出结果，本题属于中档题二、填空题共6小题。

北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期月考(二)文科数学试题(解析版)

北京市中国人民大学附属中学2019届高三上学期文科月考（二）数学试题一、选择题（本大题共8小题）1.已知集合，=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵，∴，又，∴.考点：1.对数函数的性质；2.集合之间的运算.2. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【详解】解：A．f（﹣x）＝（﹣x）2+sin（﹣x）＝x2﹣sin x，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），则函数f （x）为非奇非偶函数；B．f（﹣x）＝（﹣x）2﹣cos（﹣x）＝x2﹣cos x＝f（x），则函数f（x）是偶函数；C．f（﹣x）2x f（x），则函数f（x）是偶函数；D．f（﹣x）＝﹣x+sin2（﹣x）＝﹣x﹣sin2x＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，故选：A．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断，是解决本题的关键．3.已知函数，则的值是A. B. C. 24 D. 12【答案】B【解析】,选B.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.4.已知平面向量，，则A. B. 3 C. D. 5【答案】A【解析】因为平面向量，所以，所以，故选A.5.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选B．考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．6.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，且，则A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】运用余弦定理：，解关于b的方程，结合，即可得到．【详解】，，且，由余弦定理可得，，即有，解得或4，由，可得．故选：B．【点睛】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．7.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为偶函数，所以在上的解集为：.故选B.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.8.如图，长方形ABCD的边，，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数，则的图象大致为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【详解】由已知得，当点P在BC边上运动时，即时，；当点P在CD边上运动时，即时，，当时，；当点P在AD边上运动时，即时，，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知等差数列前9项的和为27，，则______．【答案】98【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】等差数列前9项的和为27，，，解得，，．故答案为：98．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．10.已知函数的图像在点的处的切线过点，则.【答案】1【解析】试题分析：.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得.11.用b，表示a，b，c三个数中的最小值设，则的最大值为______．【答案】6【解析】【分析】在同一坐标系内画出三个函数，，的图象，以此作出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．【详解】是减函数，是增函数，是增函数，令，，此时，，如图：与交点是A、B，与的交点为C（4，6），由上图可知的图象如下：C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6．故答案为6.【点睛】本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．解答本题的关键是通过题意得出的简图．12.在中，，，，则__________．【答案】【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形13.“定义在R上的函数，若对任意的，，当都有，则为单调函数”能够说明上述命题是错误的一个函数是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义，结合分段函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，定义在R上的函数，若对任意的，，当都有，即函数值与自变量是一一对应的关系，且表示单调函数，可以考虑分段函数，则，故答案为：【点睛】本题考查函数的单调性的判定以及性质，注意掌握函数的单调性的定义，属于基础题．14.已知中，，，，P为线段AC上任意一点，则的范围是______．【答案】【解析】【分析】先设，，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解．【详解】中，，，，设，，则，，由二次函数的性质可知，当时，有最小值；当时，有最大值4，所求的范围是．故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档试题．三、解答题（本大题共3小题，共30.0分）15.已知等差数列满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)128.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，将转化成和，解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（Ⅱ）先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以.又因为，所以，故.所以.（Ⅱ）设等比数列的公比为.因为，，所以，.所以.由，得.所以与数列的第项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.16.（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得由（Ⅰ）知,所以（Ⅰ）由正弦定理得因为AD平分BAC,BD=2DC,所以. 试题解析：（Ⅱ）因为所以由（I）知,所以考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.17.已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】（1）a=1；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立．试题解析：（1）的定义域为设，则等价于因为若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故综上，a=1（2）由（1）知设当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点由由得因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得所以点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．。

北京市人大附中2019届高考数学(文)模拟预测卷二

6 10.已知向量 a,b 满足： | a | 1,b (1,2), a b ，则 | 2a b |＝ 3。
11.
3 tan10。 sin10 。
1 ＝-4。（用数字作答）
12.已知数列 { an} 中，对 n N ，有 an an 1 an 2 C ，其中 C 为常数，若 a5＝2， a7＝－3，a9 4 ，
∵ sin A 0 ，∴ B 60 ．
（2）∵ S ABC
1 ac sin B
3，
2
∴ ac 4 ，
0—9 之间整数值的随
机数，并用 0，1，2，3，4，5，6 表示没有强浓雾，用 7，8，9 表示有强浓雾，再以每 3 个随
机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下 20 组随机数：
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
（1）求角 B 的大小；
（2）若 ABC 的面积为 3 ， b 2 ，求 ABC 的周长．
解：（ 1）∵ (2a c)(a2 b2 c2) 2abc cosC ，
∴ (2a c) a2 c2 b2 b cosC ， 2ac
∴ (2 a c)cos B b cosC ，
由正弦定理，得 2sin Acos B sin C cos B sin B cosC ， ∴ 2sin A cos B sin( B C ) sin A ，
A． 1,2
B． 0,1,2
C． 0,1,2,3
D． 1,2,3
2. 若 sin cos A．第一象限角
0 ， tan sin
0 ，则角
B．第二象限角

北京市人大附中2019届高三8月数学(文)摸底答案

” …………6 分
从 20，40 内的 5 名学生中随机选取 2 人包含（a,b）,(a,c),(a,d),(a,e),(b,c), (b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共 10 个基本事件，而事件 A 包含 (a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)共 6 个基本事件所以 P A …………7 分 …………9 分 …………10 分 …………13 分
中国人民大学附属中学 2019 届高三八月摸底统一练习
数学(文)参考答案
一、选择题二、填空题 9．
4 3
CDDB 10． 3
CABD 11． 4 12．
x2 y 2 1 2 2
13． 24 2
1 14． [ 2, ) 2
三、解答题 15．（本题满分 13 分）（Ⅰ）解：依题意，得 f ( ) 0 ，即 sin
由 x 0, 当 2x …………5 分 …………6 分 …………7 分 …………8 分 …………9 分 …………11 分 …………13 分
π 7π π 得 2x 6 6 2 6
π π 即 x 时， g ( x ) 取得最大值 2， 6 2 6 π 7 π 当 2x 即 x 时， g ( x ) 取得最小值-1. 6 6 2
16．（本题满分 13 分）解：（Ⅰ）因为数列 {bn } 满足 bn bn 1 an (n 2, n N *) ，
所以 b2 b1 a2 1 ，-------------------------------------------------------------------1 分又因为 b1 1 ，所以 b2 0 ，------------------------------------------------------------2 分所以 a3 b3 b2 1 0 1 ，------------------------------------------------------------4 分又因为数列 {an } 是等差数列，所以 d a3 a2 1 (1) 2 ，-----------------5 分

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题(解析版)

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x-4≤0}，则∁U（A∩B）=（）A. 或B. 或C. D.2.若a=log3，b=log39.1，c=20.8，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.3.设x，y∈R，则“|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.5.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴，则a的值为（）A. 1B.C. 2D.6.执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，BC=1，点P在侧面A1ABB1上．满足到直线AA1和CD的距离相等的点P（）A. 不存在B. 恰有1个C. 恰有2个D. 有无数个二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin（ωx+φ）的图象，则ω=______，φ=______．10.已知点A（2，0），B（0，1），若点P（x，y）在线段AB上，则xy的最大值为______．11.某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______．13.已知函数，，＞，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a的取值范围是______．14.设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：∈∈①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1-n）=______；②若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知等差数列{a n}满足a1=1，a2+a4=10．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和．16.已知函数．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的定义域；（Ⅲ）求函数f（x）在，上的取值范围．17.（Ⅱ）甲从B市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从C市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；（Ⅲ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A、B、C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．18.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；（Ⅱ）求证：BD⊥A1C；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．19.已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．20.已知点B（0，-2）和椭圆M：．直线l：y=kx+1与椭圆M交于不同两点P，Q．（Ⅰ）求椭圆M的离心率；（Ⅱ）若，求△PBQ的面积；（Ⅲ）设直线PB与椭圆M的另一个交点为C，当C为PB中点时，求k的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|x＜-1}，B={x|x≤4}；∴A∩B={x|x＜-1}；∴∁U（A∩B）={x|x≥-1}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2.【答案】C【解析】解：∵a=log3＜log31=0，b=log39.1＞log39=2，1=20＜c=20.8＜21=2，∴a，b，c的大小关系为a＜c＜b．故选：C．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】A【解析】解：“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=．∴“|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的充分不必要条件．故选：A．“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=．即可判断出结论．本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，则直线ax-y=0的斜率a∈[k OB，k OA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴，．∴a，故选：B．由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a的范围．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．5.【答案】B【解析】解：圆x2+y2-2y=0化为x2+（y-1）2=1，圆心坐标为（0，1），∵直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴，∴0+1+a=0，即a=-1．故选：B．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程求解．本题考查直线与圆的位置关系的应用，理解题意是关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得执行循环体，k=2，S=10不满足条件S≤0，执行循环体，k=4，S=6不满足条件S≤0，执行循环体，k=6，S=0满足条件S≤0，退出循环，输出k的值为6．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S，k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】D【解析】解：（1）若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；（2）若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符；（3）若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；（4）若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意．故选：D．分别假设获得一等奖的团队是甲、乙、丙、丁，分析四位同学的预测结果，能求出正确结果．本题考查学生的逻辑推理能力，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】D【解析】解：以AB，AA1为轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），设P到AB的距离为y，到AA1的距离为x，∴x=，即x2-y2=1（x≥1），∴P点轨迹为双曲线的右支的一部分，故选：D．设P到AB的距离为x，到AA1的距离为y，求出P到直线CD的距离，列方程得出P点轨迹，得出答案．本题考查了空间距离的计算，属于中档题．9.【答案】【解析】解：将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin（x+）的图象，故答案为：，直接利用正弦函数的图象的伸缩变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦型函数的图象的伸缩变换．10.【答案】【解析】解：A（2，0），B（0，1），可得AB的方程为+y=1，（0≤x≤2），由+y≥2，可得xy≤2•（+y）2=，当且仅当x=，y=时，取得最大值，故答案为：．求得线段AB的方程，由基本不等式，计算可得所求最大值．本题考查直线方程的求法和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】16【解析】解：某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400，通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是：40×=16．故答案为：16．利用分层抽样性质直接求解．本题考查高三中抽取的学生人数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查推运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.【答案】【解析】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的三棱锥，其直观图如图所示：在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中：该几何体为图中的四面体D1-A1BD，体积：V==；故答案为：．由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出各个面的面积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．13.【答案】，【解析】解：x≤1时，y=a+2x∈（a，2+a]，x＞1时，y=+a∈（，+∞），两个函数都是增函数，函数f（x）恰有两个零点，可得：，解得a∈[-2，）．故答案为：[-2，）．通过分段函数，利用指数函数以及一次函数，利用函数的值域，转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的值域，分段函数的应用，考查计算能力．14.【答案】0 A=∁R B【解析】解：①∵A⊆B．则x A时，m=0，m（1-n）=0．x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0．综上可得：m（1-n）=0．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x B，或x∈B时，必有x A，∴A，B的关系为A=∁R B．故答案为：0，A=∁R B．①由A⊆B．由x A时，m=0，可得m（1-n）．x∈A时，必有x∈B，可得m=n=1．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x B，或x∈B时，必有x A，即可得出A，B的关系．本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】（共13分）解：（I）设{a n}的公差为d，因为a2+a4=2a3=10，所以a3=5．所以a3-a1=2d=5-1=4．解得d=2．所以a n=a1+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．……………………………..（7分）（Ⅱ）由（I）知，，所以{b n}的前n项和为==．……………………..（13分）【解析】（Ⅰ）利用等差数列，求出数列的公差，然后求解{a n}的通项公式；（Ⅱ）通过，利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列{b n}的前n项和．本题考查等差数列以及等比数列的求和，考查计算能力．16.【答案】解：（Ⅰ）∵ ，∴ ；（Ⅱ）由cos x≠0，得，∈，∴函数的定义域是，∈；（Ⅲ）==sin x+cos x=，∵∈，，即＜＜，∴＜＜，则＜sin（x+）≤1，∴＜．∴函数f（x）在，上的取值范围为，．【解析】（Ⅰ）在函数解析式中直接取x=0求解；（Ⅱ）由分母不为0求解三角不等式得答案；（Ⅲ）把f（x）化简，再由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）在上的取值范围可求．本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的恒等变换应用，是中档题．17.【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）B市一共有5个销售点，价格分别为：2500，2500，2500，2450，2460按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500B市5个销售点小麦价格的中位数为2500．…………………（3分）（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为AB市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500C市一共有4个销售点，价格分别为：2580，2470，2540，2400按照价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2450，2470），（2460，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2450，2540），（2460，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2450，2580），（2460，2580），（2500，2580），（2500，2580），（2500，2580），一共有20组．其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）一共有8组．所以，甲的费用比乙高的概率为：．………………（10分）（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．………………（13分）【解析】（Ⅰ）B市一共有5个销售点，价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500，由此能求出B市5个销售点小麦价格的中位数．（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为A，B市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500，C市一共有4个销售点，价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有20组．其中满足甲的费用高于乙的有8组．由此利用列举法能求出甲的费用比乙高的概率．（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．本题考查中位数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，在△ACA1中，∵O，E分别为AC，AA1的中点，∴OE∥A1C，∵A1C⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴A1C∥平面BDE；（Ⅱ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴AA1⊥BD，∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C；（Ⅲ）解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD于A，E为棱DD1的中点，且AA1=3，∴AE=，即三棱锥E-ABD的高为．由底面正方形的边长为2，得△ ．∴△ ．【解析】（Ⅰ）设AC∩BD=O，连接OE，由三角形中位线定理可得OE∥A1C，再由线面平行的判定可得A1C∥平面BDE；（Ⅱ）由侧棱AA1⊥底面ABCD，得AA1⊥BD，再由底面ABCD为正方形，得AC⊥BD，结合线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1A1，从而得到BD⊥A1C；（Ⅲ）由侧棱AA1⊥底面ABCD于A，E为棱DD1的中点，且AA1=3，可得三棱锥E-ABD的高为，求出三角形ABD的面积，再由等积法求三棱锥A-BDE 的体积．本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f′（x）=ae x（x+1）-x-1=（x+1）（ae x-1）．当a=1时，f′（0）=0，f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=0．………………………..（5分）（Ⅱ）f′（x）=ae x（x+1）-x-1=（x+1）（ae x-1）．（1）当a≤0时，ae x-1＜0，所以当x＞-1时，f′（x）＜0；当x＜-1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）．（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-ln a．①当-ln a=-1，即a=e时，f′（x）≥0，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；②当-ln a＜-1，即a＞e时，当-ln a＜x＜-1时，f′（x）＜0；当x＜-ln a或x＞-1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（-ln a，-1），单调递增区间为（-∞，-ln a），（-1，+∞）；③当-ln a＞-1，即0＜a＜e时，当-1＜x＜-ln a时，f′（x）＜0；当x＜-1或x＞-ln a时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（-1，-ln a），单调递增区间为（-∞，-1），（-ln a，∞）．………………………………（12分）【解析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna．分三种情况①-lna=-1，②当-lna＜-1，③当-lna＞-1，讨论f（x）的单调区间．本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．20.【答案】解：（Ⅰ）因为a2=4，b2=2，所以，，，所以离心率．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），若，则直线l的方程为，由，得3x2+4x-4=0，解得，，设A（0，1），则△ ．（Ⅲ）法一：设点C（x3，y3），因为P（x1，y1），B（0，-2），所以，又点P（x1，y1），C（x3，y3）都在椭圆上，所以，解得或，所以或．法二：设C（x3，y3），显然直线PB有斜率，设直线PB的方程为y=k1x-2，由，得，所以△ ＞，又，解得或，所以或，所以或．【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出a，c，然后求解椭圆的离心率即可．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为，与椭圆联立，求出坐标，然后求解三角形的面积．（Ⅲ）法一：设点C（x3，y3），P（x1，y1），B（0，-2），结合椭圆方程求出P（x1，y1），然后求解斜率．法二：设C（x3，y3），显然直线PB有斜率，设直线PB的方程为y=k1x-2，与椭圆联立，利用韦达定理求出P的坐标，求解斜率即可．本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。

人大附中届高三数学摸底考试数学试卷及答案

人大附中届摸底考试数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页.第II 卷3至9页.共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题共40分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么事件A 在n 次重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k .一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,},3|||{},02|{2R B A a x x B x x x A =⋃<-=>--=若集合，则实数a 的取值范围是（A ）[1，2] （B ）（－1，2）（C ）[－1，2] （D ）（－2，1） 2. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l其中正确的两个命题的序号是（A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③3. 下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数x y 2log =的图象重合的函数是（A ）x y 2= （B ）x y 21log =（C ）xy 421⋅=（D ）21log 1y x =+4. 如右图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为5. 函数sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图象是（）(A ) (B ) (C ) (D ) 6. 设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是（A ）4)11)((≥++ba b a （B ）2332ab b a ≥+（C ）b a b a 22222+≥++ （D ）b a b a -≥-||7. 设a 、b 是方程0cos cot 2=-+θθx x 的两个不相等的实数根，那么过点A（a ,a 2）和B （b ，b 2）的直线与圆122=+y x 的位置关系是（A ）相交（B ）相切（C ）相离（D ）随θ的值变化而变化8. 函数()()()sin 0f x M x ωϕω=+>，在区间[],a b 上是增函数，且()(),f a M f b M =-=，则函数()()cos g x M x ωϕ=+在区间[],a b 上（A ）是增函数（B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－MxyOxyOxyOxyO人大附中高三数学月考试卷班级____________姓名____________学号_____________第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上.9. 若实数x 、y 满足y x z y x y x y x 2,009382+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+则的最大值为 . 10. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0,若存在自然数3≥m ，使得a m =S m ,当n >m 时，S n 与a n 的大小关系为：n S _______n a ．（填“>”；“<”或“＝”）11. 年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里） .（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可） 12. 某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数为______________．13. 设,,a b c 是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：（1）=a b a b ；（2）()()b c a c a b -不与向量c 垂直．；（3）a b a b -<-；（4）若0a b =，则0a =，或者0b =；（5）()()a b c b c a =；（6）()()22323294a b a b a b +-=-其中真命题的序号为_____________________________.14. 某纺织厂的一个车间有n （n>7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n ．现定义记号ij a 如下：如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定ij a =1，否则ij a =0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则=+++++747372717n a a a a a ；若2334333231=+++++n a a a a a ，说明： ______ .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A .（1）求A CB 2cos 2sin 2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—E F—A的大小（结果用反三角函数值表示）.17．（本小题满分14分）某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4：00～5：00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？18．（本小题满分14分）某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A→C→D 算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为1 5，路段CD发生堵车事件的概率为18．（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望.ξE北西19．（本小题满分12分）已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当.81)(,]21,41[≥∈x f x 时（1）求a 的值；（2）设.11.),(,21011+<∈=<<++n a N n a f a a n n n 证明20．（本小题满分13分）已知抛物线x y 42 的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ，（1）求证：直线MN 必过定点，并求出定点坐标．（2）分别以AB 和CD 为直径作圆，求两圆相交弦中点H 的轨迹方程．人大附中届摸底考试数学试卷答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一(含答案)

北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一数学试题（文）考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（） A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．若向量()1,1,2=-a ，()2,1,3=-b ，则）AB ．C ．3D4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A ．152π； B ．203π； C ．1521π-； D ．2031π-5.若函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>与()2cos(2)4g x x π=-的对称轴完全相同，则函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>在哪个区间上单调递增 A ．[0,]8π B ．[0,]4π C ．[,]8ππ D ．[,]4ππ6.若函数|2|2222,2()log (),23x x f x a x ax x -⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的最小值为(2)f ，则实数a 的取值范围为A．3a ≤+a ≥； B．3a ≤-a ≥； C．3a ≤+a ≥ D．3a ≤-a ≥ 7．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A ．43 B ．23C ．232-D ．434-8．已知直线b y 2=与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的斜率为正的渐近线交于点A ，曲线的左、右焦点分别为21F F 、，若15tan 12=∠F AF ，则双曲线的离心率为（） A ． 4或1116 B ．1116C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市人大附中2019届高考数学(文)模拟预测卷三(解析版)

2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷（文科）（三）（4月份）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2，1}C．{1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b3．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则a＝（）A．B．C．D．4．（5分）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n颗，其中，落在阴影区域内的豆子共m颗，则阴影区域的面积约为（）A．B．C．D．5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A．4 B．C．2 D．6．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1] C．[1，+∞）D．7．（5分）某游戏开始时，有红色精灵m个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（）A．只与m的奇偶性有关B．只与n的奇偶性有关C．与m，n的奇偶性都有关D．与m，n的奇偶性都无关8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，现给出如下命题：①当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）≥0；②f（x）在区间（0，1）上单调递增；③f（x）在区间（1，3）上有极大值；④存在M＞0，使得对任意x∈R，都有|f（x）|≤M．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）已知x＞0，y＞0，且满足x+y＝4，则lgx+lgy的最大值为．10．（5分）阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为40，则①处应填的数字为．11．（5分）在△ABC中，已知BC＝6，AC＝4，，则∠B＝．12．（5分）为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a，则a＝．13．（5分）若不等式log a x+x﹣4＞0（a＞0且a≠1）在区间（0，2）内有解，则实数a的取值范围是．14．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求sin C；（Ⅱ）当c＝2a，且时，求a．16．（13分）在等比数列{a n}中，a1＝，a4＝4，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝a n+n﹣6，数列{b n}的前n项和为S n，若S n＞0，求n的最小值．17．（13分）国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数．（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出两个家庭，求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18．（13分）已知为椭圆上两点，过点P且斜率为k，﹣k（k＞0）的两条直线与椭圆M的交点分别为B，C．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC为平行四边形，求k的值．19．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为DC的中点．以AE为折痕把△ADE 折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．（Ⅰ）求证：EC∥平面PAB；（Ⅱ）求证：BE⊥PA；（Ⅲ）对于线段PB上任意一点M，是否都有PA⊥EM成立？请证明你的结论．20．（14分）已知函数f（x）＝2x3+3ax2+1（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）求f（x）在区间[0，2]上的最小值．2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷（文科）（三）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2+3x+2＝0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2，1}C．{1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】先解出集合A＝{﹣1，﹣2}，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{﹣1，﹣2}；∴A∩B＝{﹣2，﹣1}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算．2．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b【分析】把a，c化为同底数，再由指数函数与对数函数的单调性比较大小．【解答】解：∵，且2﹣0.2＜20＝1，而b＝log23＞log22＝1．∴b＞a＞c．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，是基础题．3．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则a＝（）A．B．C．D．【分析】由题意可得＝tan＝，解得即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程y＝x，由题意可得＝tan ＝，∴a ＝，故选：C ．【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题4．（5分）如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗，其中，落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据面积比近似等于豆子个数比得出阴影面积．【解答】解：豆子落入阴影区域的概率p ＝＝，∴S 阴影＝•π．故选：C ．【点评】本题考查了模拟法计算概率，属于基础题．5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A ．4B ．C ．2D ．【分析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB＝2，AD＝1，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB＝90°，PA＝2，＝2×1＝2，，，则S四边形ABCD，．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积计算，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题．6．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1] C．[1，+∞）D．【分析】先画出可行域，利用目标函数几何意义转化求解即可．【解答】解：实数x，y满足表示的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与坐标原点的距离，可知P到原点的距离最小，即＝．则的取值范围是：[，+∞）．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．7．（5分）某游戏开始时，有红色精灵m个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色（）A．只与m的奇偶性有关B．只与n的奇偶性有关C．与m，n的奇偶性都有关D．与m，n的奇偶性都无关【分析】推导出每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，从而每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．开始时，蓝色精灵有n个，当n是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；当n是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．【解答】解：每碰一次，就少一个精灵，所以当最后只剩一个精灵时，碰了m+n﹣1次，任意两个精灵相碰，有三种情况：第一种情况：红色+红色→红色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；第二种情况：蓝色+蓝色→红色，此时红色精灵增加1个，蓝色精灵减少2个；第三种情况：红色+蓝色→蓝色，此时红色精灵减少1个，蓝色精灵数量不变；根据以上分析可知，每碰一次，蓝色精灵的数量要么不变，要么减少2，也就是说，每碰一次蓝色精灵数量的奇偶性不变．开始时，蓝色精灵有n个，当n是奇数时，最后剩下的只能是一个蓝色精灵；当n是偶数时，最后剩下的只能是一个红色精灵．∴游戏结束时，剩下的精灵的颜色只与n的奇偶性有关．故选：B．【点评】本题考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）已知函数f（x）＝x sin x，现给出如下命题：①当x∈（﹣4，﹣3）时，f（x）≥0；②f（x）在区间（0，1）上单调递增；③f（x）在区间（1，3）上有极大值；④存在M＞0，使得对任意x∈R，都有|f（x）|≤M．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】分析函数f（x）＝x sin x的图象和性质，进而逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：当x∈（﹣4，﹣π）时，sin x＞0，f（x）＜0，故①为假命题；f′（x）＝sin x+x cos x，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在区间（0，1）上单调递增，故②为真命题；∵f′（1）＝sin1+cos1＞0，f′（3）＝sin3+3cos3＜0，且f′（x）在在区间（1，3）上连续，故存在x0∈（1，3），使x∈（1，x0）时，f′（x）＞0，x∈（x0，3）时，f′（x）＜0，故当x＝x0时，f（x）取极大值，故③为真命题；由函数f（x）＝x sin x不存在最大值和最小值，故不存在M＞0，使得对任意x∈R，都有|f（x）|≤M．故④为假命题，故选：B．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，难度中档．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9．（5分）已知x＞0，y＞0，且满足x+y＝4，则lgx+lgy的最大值为lg4．【分析】根据题意，由对数的运算性质可得lgx+lgy＝lgxy，结合基本不等式的性质可得xy≤（）2＝4，进而结合对数的运算性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，lgx+lgy＝lgxy，又由x＞0，y＞0，且x+y＝4，则xy≤（）2＝4；则有lgx+lgy＝lgxy≤lg4，即lgx+lgy的最大值为lg4．故答案为：lg4．【点评】本题考查基本不等式的应用，关键是掌握基本不等式的变形．10．（5分）阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为40，则①处应填的数字为3．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当S＝1时，应不满足输出的条件，故S＝4，n＝2；当S＝4时，应不满足输出的条件，故S＝13，n＝3；当S＝13时，应不满足输出的条件，故S＝40，n＝4；当S＝40时，应满足输出的条件，故进行循环的条件应为n≤3，故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）在△ABC中，已知BC＝6，AC＝4，，则∠B＝．【分析】由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值．【解答】解：∵BC＝6，AC＝4，，∴由正弦定理，可得：sin B＝＝＝，∵AC ＜BC ，∴可得：B 为锐角，可得：B ＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，属于基础题．12．（5分）为绿化生活环境，某市开展植树活动．今年全年植树6.4万棵，计划3年后全年植树12.5万棵．若植树的棵数每年的增长率均为a ，则a ＝ 25% ．【分析】列方程求出a 即可．【解答】解：由题意可知6.4（1+a ）3＝12.5，∴（1+a ）3＝，∴1+a ＝，故a ＝＝25%．故答案为：25%．【点评】本题考查了指数函数模型的应用，属于基础题．13．（5分）若不等式log a x +x ﹣4＞0（a ＞0且a ≠1）在区间（0，2）内有解，则实数a 的取值范围是（0，1）∪（1，）．【分析】通过a ＞1与0＜a ＜1，转化求解不等式log a x +x ﹣4＞0（a ＞0且a ≠1）在区间（0，2）内有解，列出不等式组，即可求解实数a 的取值范围．【解答】解：当a ＞1时，函数y ＝log a x +x ﹣4是增函数，可得f （2）＝log a 2+2﹣4＞0．解得1＜a．当a ∈（0，1）时，x →0时，f （x ）＞0，x →2时，f （2）＝log a 2+2﹣4＜0，满足题意，所以实数a 的取值范围是（0，1）∪（1，）．故答案为：（0，1）∪（1，）【点评】本题考查分段函数的应用，函数与不等式的关系，考查转化思想以及计算能力． 14．（5分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，．动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 6 ．【分析】本题应对方法是数形结合，将正方形ABCD 画出来，依据题意作出EF ，再借助对称依次作出反射的情形，最后可得到第一次回到点E 反弹的次数．【解答】解：如图所示，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为6次．故答案为：6．【点评】本题主要考查平面解析几何，直线与直线的对称问题，精确作图，即可得出答案．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（Ⅰ）求sin C；（Ⅱ）当c＝2a，且时，求a．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式cos2C＝1﹣2sin2C求解即可，注意隐含条件sin C＞0；（Ⅱ）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sin A，cos A，cos C 的值，又由sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C求出sin B的值，最后由正弦定理求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得1﹣2sin2C＝﹣．所以sin2C＝．因为在△ABC中，sin C＞0，所以sin C＝．（6分）（Ⅱ）因为c＝2a，所以sin A＝sin C＝．因为△ABC是锐角三角形，所以cos C＝，cos A＝．所以sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝+＝．由正弦定理可得：，所以a＝．（13分）说明：用余弦定理也同样给分．【点评】此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数及三角恒等变换等知识点，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变形的技能．16．（13分）在等比数列{a n}中，a1＝，a4＝4，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝a n+n﹣6，数列{b n}的前n项和为S n，若S n＞0，求n的最小值．【分析】本题第（Ⅰ）题可根据等比数列的定义求出数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先求出数列{b n}的一般项，通过对一般项的观察发现数列{b n}是一个等差数列加上一个等比数列，在求数列{b n}的前n项和为S n可将等差数列和等比数列分别求和再相加，然后再判断S n＞0时n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由数列{a n}为等比数列，且a1＝，a4＝4，得，∴，即：q3＝8．解得q＝2．∴数列{a n}的通项公式\（Ⅱ）由题意，可知：，∴S n＝b1+b2+…+b n＝（﹣5+2﹣1）+（﹣4+20）+…+（n﹣6+2n﹣2）∴+…+2n﹣2）＝．当n≥5时，，，∴S n＞0；当n＝4时，；当n＝3时，；当n＝2时，；当n＝1时，．∴n的最小值为5．【点评】本题第（Ⅰ）题主要考查等比数列的基本概念；第（Ⅱ）题求数列{b n}的前n 项S n，时采用的是裂项法分别求和．本题属中档题．17．（13分）国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数．（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出两个家庭，求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．【分析】（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n＝5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m＝1，由此能求出在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率．（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭，利用列举法能求出这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．【解答】解：（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n＝5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m＝1，∴在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率p＝．故答案为：．（4分）（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的有9种．记至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件M，则这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（11分）（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．则得到：生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．（13分）【点评】本题考查概率、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（13分）已知为椭圆上两点，过点P且斜率为k，﹣k（k＞0）的两条直线与椭圆M的交点分别为B，C．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC为平行四边形，求k的值．【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求解a，b，即可求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出C、D坐标，通过四边形PABC 为平行四边形，转化求k的值．【解答】（共13分）解：（I）由题意得解得所以椭圆M的方程为．又，所以离心率．………………………..（5分）（II）设直线PB的方程为y＝kx+m（k＞0），由消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0．当△＞0时，设B（x1，y1），C（x2，y2），则，即．将代入y＝kx+m，整理得，所以．所以．所以．同理．所以直线BC 的斜率．又直线PA 的斜率，所以PA ∥BC ．因为四边形PABC 为平行四边形，所以|PA |＝|BC |．所以，解得或.时，B （﹣2，0）与A 重合，不符合题意，舍去．所以四边形PABC 为平行四边形时，．………………………………（13分）【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为DC 的中点．以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面PAE ⊥平面ABCE （如图2）．（Ⅰ）求证：EC ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：BE ⊥PA ；（Ⅲ）对于线段PB 上任意一点M ，是否都有PA ⊥EM 成立？请证明你的结论．【分析】（Ⅰ）推导出CE ∥AB ，由此能证明EC ∥平面PAB ．（Ⅱ）推导出BE ⊥AE ，从而BE ⊥平面PAE ，由此能证明BE ⊥PA ．（Ⅲ）推导出DA ⊥DE ，即PA ⊥PE ，BE ⊥PA ．，从而PA ⊥平面PEB ，由此得到对于线段PB 上任意一点M ，都有PA ⊥EM 成立．【解答】（本小题14分）证明：（Ⅰ）在矩形ABCD中，E是CD中点，所以CE∥AB……………………………（2分）AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB所以EC∥平面PAB……………………………（4分）（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB＝2CD，E是CD中点，可得AB2＝AE2+BE2所以BE⊥AE……………………………..（6分）又平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE所以BE⊥平面PAE………………………..（8分）PA⊂平面PAE所以BE⊥PA……………………………（9分）解：（Ⅲ）对于线段PB上任意一点M，都有PA⊥EM成立．证明如下………………..（10分）因为矩形ABCD，所以DA⊥DE，即PA⊥PE………………………..（11分）由（Ⅱ）得BE⊥PA而BE⊂平面PEB，PE⊂平面PEB，PE∩BE＝E所以PA⊥平面PEB………………………………（13分）对于线段PB上任意一点M，EM⊂平面PEB所以PA⊥EM…………………………………（14分）【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（14分）已知函数f（x）＝2x3+3ax2+1（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）求f（x）在区间[0，2]上的最小值．【分析】（Ⅰ）根据题意，当a＝0时，f（x）＝2x3+1，求出其导数，利用导数的几何意义分析可得切线的斜率，结合直线的点斜式方程分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出函数的导数f′（x）＝6x2+6ax＝6x（x+a），分3种情况讨论﹣a与0的大小，结合函数的单调性与导数的关系，分析可得答案；（Ⅲ）根据题意，结合（Ⅱ）的结论，分3种情况讨论函数在区间[0，2]上的单调性，据此分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝2x3+3ax2+1，其定义域为R，当a＝0时，f（x）＝2x3+1，其导数f′（x）＝6x2，又由f′（1）＝6，f（1）＝3，则f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y﹣3＝6（x﹣1），即6x﹣y﹣3＝0；（Ⅱ）根据题意，函数f（x）＝2x3+3ax2+1，其导数f′（x）＝6x2+6ax＝6x（x+a），分3种情况讨论：①，当a＝0时，f′（x）＝6x2≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；②，当a＞0时，若f′（x）＝6x（x+a）＞0，解可得x＜﹣a或x＞0，则f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣a）和（0，+∞），递减区间为（﹣a，0）；③，当a＜0时，若f′（x）＝6x（x+a）＞0，解可得x＜0或x＞﹣a，则f（x）的递增区间为（﹣∞，0）和（﹣a，+∞），递减区间为（0，﹣a）；综上可得：当a＝0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；当a＞0时，f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣a）和（0，+∞），递减区间为（﹣a，0）；当a＜0时，f（x）的递增区间为（﹣∞，0）和（﹣a，+∞），递减区间为（0，﹣a）；（Ⅲ）根据题意，分3种情况讨论：①，当﹣a≤0时，有a≥0，f（x）在[0，2]上递增，此时f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（0）＝1，②，当0＜﹣a＜2时，即﹣2＜a＜0时，f（x）在[0，﹣a]上递减，在（﹣a，2）上递增，此时f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（﹣a）＝a3+1，③，当﹣a≥2时，即a≤﹣2时，f（x）在[0，2]上递减，此时f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（2）＝17+12a，综合可得：当a≥0时，f（x）的最小值为f（0）＝1，当﹣2＜a＜0时，f（x）的最小值为f（﹣a）＝a3+1，当a≤﹣2时，f（x）的最小值为f（2）＝17+12a．【点评】本题考查函数的单调性以及最值，涉及利用导数分析曲线的切线方程，关键是掌握导数的定义以及几何意义．。