天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)(2014河北区一模)文科数学 (清晰扫描,含答
2014年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则M N = ( ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.若tan 0α>，则( )A . sin 0α>B .cos 0α>C . sin20α>D .cos20α> 3.设1i 1iz =++，则|z |=( )A .12B .22 C .32D .24.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a = ( )A .2B .62C .52D .1 5.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()|f x ()g x 是奇函数C .()f x |()|g x 是奇函数D .|()()|f x g x 是奇函数6.设D ，E ，F 分别为ABC △的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += ( )A .ADB .12AD C .BCD .12BC 7.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos(2)6y x =+，④πtan(2)4y x =-中，最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 9.执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3.则输出的M =( )A .203B .72C .165D .15810.已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x = ( )A .1B .2C .4D .811.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( )A .(2,)+∞B .(1,)+∞C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数113e ,1,(),1,x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜≥则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是 .16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC = m ，则山高MN = m .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2nn a 的前n 项和.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（Ⅰ）证明：1B C AB ⊥；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20.（本小题满分12分）已知点(2,2)P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.21.（本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0a >，0b >，且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得236a b +=？并说明理由.3 / 132014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{|11}MN x x =-<<，即选B ．【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。
天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)文科数学试卷(带解析)
天津市河北区2014届高三总复习质量检测（一）文科数学试卷（带解析）1．己知集合{}{}|23|lg(2)0M x x N x x =-<<=+≥，则M N =I （ ）. (A)(2,)-+∞ (B)[)1,3- (C)(]2,1-- (D)(2,3)- 【答案】B 【解析】 试题分析：由已知集合{}1N x x =-…，所以{}{}[)2311,3M N x x x x x =-<<-=-I I …，故正解答案选B.考点：1.集合运算；2.对数不等式.2．已知变量x ，y 满足约束条件110,1x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x +y 的最大值是（ ）.(A)-4 (B)0 (C)2 (D)4 【答案】C 【解析】试题分析：首先作出可行域110,1x y x+≤⎧⎪+≥≤区域，目标函数可化为2y x z =-+，所以作出直线y ()1,0时，所z 的最大值为max 2102z =⨯+=，故正解答案为C.考点：简单线性规划.3．)执行右边的程序框图，输出m 的值是（ ）.(A)3 (B)4 (C)5 (D)6【答案】A 【解析】试题分析：第一次执行循环体时：1m =，23a =，0ba=，选择“否”；第二次：2m =，228239a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，293384b a =⨯=，选择“否”；第三次：3m =，328339a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，89198b a =⨯=，选择“是”，故此输出m 的值为3.正解答案选A. 考点：1.程序框图；2.幂运算.4．“a>l ”是“函数()2f x ax =-(a >0且1a ≠)在区间(0,)+∞上存在零点”的（ ）. (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：令20ax -=，得2x a =，若1a >，则20a >，所以充分性成立；若函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点时，则有20a >，显然存在2021a a<<⇒>，所以必要性成立.故正确答案为C.考点：1.充要条件；2.函数零点.5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）. (A)56 (B)103 (C)53(D)2【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此几何体是由一个长为222的长方体过三个顶点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为1110222222323V =⨯⨯=.故正确答案选B.2222考点：1.三视图；2.简单组合体体积. 6．在ABC ∆中，3,13,3BC AC B π===，则ABC ∆的面积是（ ）.(A)333 (C)332 (D)334【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，即2340AB AB --=，解得4AB =，所以113sin 433322ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=故正确答案为A. 考点：1.余弦定理；2.三角形面积.7．已知函数3log ,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为（ ）.(A) {}|30x x -≤≤ (B){}|30x x x ≤-≥或 (C){}|0x x ≤≤ (D){}|03x x x ≤≥或 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得，①当0x >时，有3log 13x x ⇒厖；②当0x „时，有1103xx ⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭厔，综①②得不等式的解集为{}|03x x x ≤≥或.故正确答案选D. 考点：1.对数、指数不等式；2.分类讨论思想.8．已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为（）. (A)14 (B)45(C)2 (D)4 【答案】B 【解析】试题分析：因为12()()1f x f x +=，所以1212414114141x x xx --+=++，整理得()1212444430x x x x ⋅-+-=，又1244x x +…124430x x ⋅-…，解得3，即12124449x x x x +⋅=?，因此()1212121241224114141915x x x x x x f x x +++-+==--=+++….故正确答案为B.考点：1.指数函数；2.基本不等式.9．复数11iz i-=+，则z =______________. 【答案】1 【解析】试题分析：因为()()()211111i i z i i i i --===-++-，所以1z ==.故正确答案为1. 考点：复数分母有理化、模.10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个三棱柱的体积是_____________.【答案】483 【解析】试题分析：由题意可得，球的半径为2R =，则正三棱柱的高为24h R ==，底面正三角形中心到各边的距离为2R =，所以底面边长为43，从而所求三棱柱的体积为()234344834V Sh ==⋅⋅=.故正确答案为483. 考点：1.球、三棱柱的体积；2.简单组合体.11．设F 是抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点，点A 是抛物线1C 与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为_______. 【答案】5 【解析】试题分析：由抛物线方程22y px =，可得焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，不妨设点A 在第一象限，则有,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线渐近线方程b y x a =，得2b a =，则225c a b a =+=，所以双曲线离率为55ae ==.故正确答案为5. 考点：1.抛物线；2.双曲线.12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD.若PC=4， PB=2，则CD=____________.【答案】125【解析】试题分析：连接OC ，则得直角三角形OPC ，设半圆的半径为r ，则有()22224r r +=+，解得3r =，又由CD CP AO OP =，得4123325CD =⋅=+.故正确答案为125.考点：1.圆的切线；2.平行线分线段成比例.13．己知0,0x y >>，若2287y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【答案】81m -<< 【解析】试题分析：因为288y x x y +=…，所以287m m >+恒成立，即2780m m +-<恒成立，解得所求实数m 的范围为81m -<<.考点：1.基本不等式.14．已知a 、b 为非零向量，()m a tb t R =+∈，若1,2a b ==，当且仅当14t =时，m 取得最小值，则向量a 、b 的夹角为___________. 【答案】23π 【解析】 试题分析：设向量,a br r 的夹角为θ，则2222222cos 44cos 1m a tb a t a b t b t t θθ=+=++=++u r r r r r r r ，构造函数()2221144cos 14cos cos 124f t t t t θθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭，因为当且仅当14t =时，m 取得最小值，所以当14t =时，函数()f t 有最小值，即111cos 0cos 422θθ+=⇒=-时，函数()f t 有最小值，又[]0,θπ∈，所以解得23πθ=.考点：1.向量；2.二次函数.15．已知实数{},2,1,1,2a b ∈--．（1）求直线y=ax+b 不经过第四象限的概率： （2）求直线y=ax+b 与圆221x y +=有公共点的概率. 【答案】（1）14；（2）34. 【解析】试题分析：（1）因为实数{},2,1,1,2a b ∈--，所以由,a b 构成的实数对总共有16种，又直线y ax b =+不过第四象限，即必须满足0a …且0b …，此时由,a b 构成的实数对总共有4种，故所求概率为41164=；（2）由圆方程221x y +=知圆心坐标为()0,0，半径为1，又直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离d 不大于半径1，根据点到直线距离公式得1d =，整理得221b a +„，经检验满足此式的,a b 实数对共有12种，故所求概率为123164=. （1）由于实数(),a b 的所有取值为：()2,2--，()2,1--，()2,1-，()2,2-，()1,2--，()1,1--，()1,1-，()1,2-，()1,2-，()1,1-，()1,1，()1,2，()2,2-，()2,1-，()2,1，()2,2共16种. 2分设“直线y ax b =+不经过第四象限”为事件A ，若直线y ax b =+不经过第四象限，则必须满足0a …，0b ….则事件A 包含4个基本事件：()1,1，()1,2，()2,1，()2,2. 4分()41164P A ∴==，直线y ax b =+不经过第四象限的概率为14. 6分 （2）设“直线y ax b =+与圆221x y +=有公共点”为事件B ，1，即221b a +„. 9分所以事件B 包含12个基本事件：()2,2--，()2,1--，()2,1-，()2,2-，()1,1--，()1,1-，()1,1-，()1,1，()2,2-，()2,1-，()2,1，()2,2. 11分()123164P B ∴==，所以直线y ax b =+与圆221x y +=有公共点的概率为34. 13分 考点：1.古典概型；2.直线与圆.16．己知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量(sin ,sin ),m A B =(cos ,cos )n B A =，且sin2m n C ⋅=.（1）求角C 的大小：（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且18CA CB ⋅=u u u r u u u r，求边c 的长．【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得()sin m n A B ⋅=+u r r，又,,A B C 三角形的三个内角，所以有()sin sin A B C +=，因此sin 2sin C C =，整理得1cos 2C =，所以所求角C 的大小为3π；（2）由等差中项公式得2sin sin sin C A B =+，根据正弦定理得2c a b =+，又18CA CB ⋅=u u u r u u u r，得cos 18ab C =，由（1）可得36ab =，根据余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即224336c c =-⨯，从而可解得6c ∴=.（1）()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=+=+u r r2分 在ABC !中，由于()sin sin A B C +=，所以sin m n C ⋅=u r r.又sin m n C ⋅=u r r Q ，sin 2sin C C ∴=，sin 2sin C C ∴=，又sin 0C ≠，1cos 2C ∴=. 5分而0C π<<，3C π∴=. 7分（2）sin ,sin ,sin A C B Q 成等差数列，2sin sin sin C A B ∴=+，由正弦定理得2c a b =+. 9分18CA CB ⋅=u u u r u u u r Q ，cos 18ab C ∴=.由（1）知1cos 2C =，所以36ab =. 11分由余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，224336c c ∴=-⨯，236c ∴=.6c ∴=. 13分考点：1.正弦、余弦定理；2.向量数量积.17．如图,在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==，底面ABCD 为直角梯形，其中BC//AD ，AB ⊥AD ，AD=2，AB=BC=l ，E 为AD 中点． （1）求证：PE ⊥平面ABCD ：（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值： （3）求点A 到平面PCD 的距离.【答案】（1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ⊥.PE ∴⊥平面ABCD ；（2）63（3）233. 【解析】试题分析：（1）由题意可根据面面垂直的性质定理来证，已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，并且相交于AD ，而PAD ∆为等腰直角三角形，E 为AD 中点，所以PE AD ⊥，即PE 垂直于两个垂直平面的交线，且PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ；（2）连结BE ，由题意可知PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角，并且三角形PBE 是直角三角形，EB ==，112PE AE AD ===，PB =，由余弦定理得cos3EB PBE PB ∠===；（3）利用体积相等法可得解，设点A 到平面PCD 的距离h ，即由P ACD A PCD V V --=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅， 而在Rt PEC ∆中，PC =，所以PC CD DP ==，因此242PCD S ∆=⨯=，又112ACD S AD AB ∆=⋅=，1EP =，从而可得解. （1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥. 2分 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD . PE ∴⊥平面ABCD . 4分（2）解：连结BE ，在直角梯形ABCD 中，BC AD P ，22AD AB BC ==，有ED BC P 且ED BC =.所以四边形EBCD 平行四边形，EB DC ∴P .由（1）知PE EB ⊥，PBE ∠为锐角，所以PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角. 7分2,1AD AB BC ===Q ，在Rt AEB ∆中，1,1AB AE ==.EB ∴=.在Rt PEA ∆中，1,AP AE ==1EP ∴=.在Rt PBE ∆中，PB ==cos3EB PBE PB ∴∠===.所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为3. 9分（3）解：由（2）得CD EB ==在Rt PEC ∆中，PC =PC CD DP ∴==， 242PCD S ∆==. 设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅. 11分又112ACD S AD AB ∆=⋅=，解得h =分 考点：1.线面垂直；2.异面直线角；3.点到面距离.18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为B(0，4)，离心率5e =， 直线l 交椭圆于M,N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x-4，求弦MN 的长：（2）如果∆BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程.【答案】（1；（2）65280x y --=. 【解析】试题分析：（1）由椭圆顶点()0,4B 知4b =，又离心率5c e a ==，且222a b c =+，所以220a =，从而求得椭圆方程为2212016x y +=，联立椭圆方程与直线4y x =-消去y 得29400x x -=，12400,9x x ==，再根据弦长公式12MN x =-，可求得弦MN的长；（2）由题意可设线段MN 的中点为()00,Q x y ，则根据三角形重心的性质知2BF FQ =u u u r u u u r，可求得Q 的坐标为()3,2-，又设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，根据中点公式得12126,4x x y y +=+=-，又由点,M N 是椭圆上的点所以222211221,120162016x y x y +=+=，两式相减整理得1212121244665545y y x x k x x y y -+∴==-⋅=-⋅=-+-，从而可求出直线MN 的方程.（1）由已知4b =，且c a =，220a ∴=.所以椭圆方程为2212016x y +=. 4分 由2212016x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，12400,9x x ∴==. 6分129MN x ∴=-=. 7分 （2）椭圆右焦点F 的坐标为()2,0，设线段MN 的中点为()00,Q x y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =u u u r u u u r，又()0,4B ，()()002,422,x y ∴-=-，故得003,2x y ==-.所以得Q的坐标为()3,2-. 9分设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=，两式相减得()()()()1212121202016x x x x y y y y +-+-+=. 11分1212121244665545y y x x k x x y y -+∴==-⋅=-⋅=-+-，故直线MN 的方程为65280x y --=.13分考点：1.椭圆方程；2.直线方程.19．已知函数1()()3x f x =，等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -，数列{}(0)n n b b >的前n 项为n S ，且前n 项和n S满足12)n n S S n --=+≥．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式： （2）若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，问使10052014nT >的最小正整数n 是多少？ 【答案】（1）()213n n a n =-…，()211n b n n =-…；（2）252. 【解析】试题分析：（1）由已知得当2n …时，()()()12113n n n a f n c f n c a a -=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则等比数列{}n a 的公比13q =，又()2121193a a q f c ∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a ==-，由等比数列通项公式11n n a a q -=可得所求数列{}n a的通项公式；由已知可先求出数列的通项公式，再求{}n b 的通项公式，因为11n n S S --=⇒==，1==，所以是首项为1，公差为1的等差数列，n =，即2n S n =，从而()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-，故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…；（2）由数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式1111111212322121n b b b n n n n -⎛⎫=⋅=- ⎪---+⎝⎭可采用裂项求和法先求出前n 项和111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ，从而可得1005100510051251201421201444n n T n n >⇒>⇒>=+，故满足条件的最小正整数n 是252. （1）因为等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c =，则当2n …时，()()()12113n n n a f n c f n c a a -=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 因为是等比数列，所以{}n a 的公比13q =. 2分 ()2121193a a q f c ∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a ==-.()213n na n ∴=-…. 4分 由题设知{}()0n n b b >的首项11b c ==，其前n 项和n S 满足)12n n S S n --=…，由11n n S S --==1==.所以是首项为1，公差为1的等差数列. 6分n =，2n S n =.()1212n n n b S S n n -=-=-Q …，又11211b ==⨯-. 故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…. 8分 （2）因为()211n b n n =-…，所以1111122121n b b b n n -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭. 10分 111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 12分 要使10052014n T >，则1005212014n n >+.所以1005125144n >=. 故满足条件的最小正整数n 是252. 14分 考点：1.数列通项公式；2.数列列前n 项和公式.20．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0，5)，且()f x 在区间[-1，4]上的最大值是12．（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在正整数m,使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()()()225210f x x x x x x R =-=-∈；（2）方程()32370210370f x x x x+=⇔-+=， 设()3221037h x x x =-+，则()()26202310h x x x x x '=-=-. 当100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 是减函数；当10,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 是增函数.因为()()101310,0,450327h h h ⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭.所以方程()0h x =在区间103,3⎛⎫⎪⎝⎭，10,43⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，而区间()0,3，()4,+∞内没有实数根.所以存在唯一的正数3m =，使得方程()370f x x+=在区间(),1m m +内有且只有两个不等的实数根. 【解析】试题分析：（1）由已知得0，5是二次函数()f x 的两个零点值，所以可设()()()50f x ax x a =->，开口方向向上，对称轴为52x =，因此()f x 在区间[]1,4-上的最大值是()16f a -=，则612a =，即2a =，因此可求出函数()f x 的解析式；（2）由（1）得()32370210370f x x x x+=⇔-+=，构造函数()3221037h x x x =-+，则方程()370f x x+=的实数根转化为函数()3221037h x x x =-+的零点，利用导数法得到函数()h x 减区间为100,3⎛⎫ ⎪⎝⎭、增区间为10,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，又有()310h =>，1010327h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()450h =>，发现函数()h x 在区间103,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,43⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一零点，而在区间()0,3，()4,+∞内没有零点，所以存在唯一的正数3m =，使得方程()370f x x+=在区间(),1m m +内有且只有两个不等的实数根.（1）因为()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是()0,5， 所以可设()()()50f x ax x a =-> 2分所以()f x 在区间[]1,4-上的最大值是()16f a -=. 4分由已知，得612a =，2a ∴=.()()()225210f x x x x x x R ∴=-=-∈. 6分（2）方程()32370210370f x x x x+=⇔-+=， 设()3221037h x x x =-+，则()()26202310h x x x x x '=-=-. 10分 当100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 是减函数； 当10,3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 是增函数. 10分 因为()()101310,0,450327h h h ⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭. 所以方程()0h x =在区间103,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,43⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，而区间()0,3，()4,+∞内没有实数根. 12分所以存在唯一的正数3m =，使得方程()370f x x+=在区间(),1m m +内有且只有两个不等的实数根. 14分考点：1.函数解析式；2.函数零点.。
天津市河北区2014届高三总复习质量检测(三)文数 Word版含答案
天津市河北区2014届高三总复习质量检测（三）文数 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷1至2页，第II 卷3至8页，第I 卷（选择题共40分）注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)复数(6)z i i =+在复平面内对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限(2)已知集合{}{}|06,|23A x x B x x =<<=-< ，则 AB =(A) {}|16x x -<< (B) {}|15x x -<<(C) {}|03x x << (D) {}|05x x <<(3)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为(A)9 (B) 19(C) 20 (D) 35(4)若 p q ⌝∨是假命题，则(A) p q ∧是假命题 (B) pVq 是假命题(C)p 是假命题 (D) q ⌝是假命题(5)已知一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是(A)3 (B) (C)6 (D)8(6)若双曲线 22:2(0)C x y m m -=>与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点且AB =，则m 的值是(A) 20 (B) 52(C) 80 (D) 116(7)函数 1()ln()f x x x=-的图象大致是(8)已知函数 2sin ()1x f x x =+．下列命题： ①函数 ()f x 的图象关于原点对称：②函数 ()f x 是周期函数；③当 2x π=时，函数f (x)取最大值：④函数()f x 的图象与函数 1y x= 的图象没有公共点． 其中正确命题的序号是(A)①③ (B)①②④(C)①④ (D)①③④第II 卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2014年高考文科数学试题(天津卷)及参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数734ii+=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i + D.172577i -+ 2.设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5 3.已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1xx e +>，则p ⌝为 A.00x ∃≤，使得00(1)1x x e +≤ B.00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤ C.0x ∀>，总有00(1)1x x e+≤ D.0x ∀≤，总有00(1)1x x e +≤4.设2log a π=，12log b π=，2c π-=，则A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c b a >>5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S 、2S 、4S 成等比数列，则1a =A.2B.-2C.21 D.21 6.已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -= 7.如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是A.①②B.③④C.①②③D.①②④ 8.已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，x R ∈.在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为 A.2πB.23πC.πD.2π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12.函数2()lg f x x =的单调递减区间是______________.13.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为________.14.已知函数2|54|(0)()2|2|(0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩.若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学A 、B 、C 和3名女同学X 、Y 、Z ，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）. ⑴用表中字母列举出所有可能的结果； ⑵设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知66a cb -=，sin 6sin B C =. ⑴求cos A 的值；⑵求cos(2)6A π-的值.17.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，2BA BD ==，2AD =，5PA PD ==，E 、F 分别是棱AD 、PC 的中点. ⑴证明：//EF 平面PAB ；⑵若二面角P AD B --为60︒， ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ； ②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知123||||2AB F F =. ⑴求椭圆的离心率；⑵设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M ，2||22MF =.求椭圆的方程.19.（本小题满分14分） 已知函数232()(0)3f x x ax a =->，x R ∈. ⑴求()f x 的单调区间和极值；⑵若对于任意的1(2x ∈，)+∞，都存在2(1x ∈，)+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，...，1}q -，集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+，i x M ∈，1i =，2，...，}n . ⑴当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；⑵设s 、t A ∈，12s a a q =++...1n n a q -+，12t b b q =++...1n n b q -+，其中i a 、i b M ∈，1i =，2，...，n .证明：若n n a b <，则t s <.参考答案一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.B4.C5.D6.A7.D8.C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.60 10.320π11.-4 12.)0,(-∞ 13.2 14.(1,2)三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）16.（本小题满分13分）17.（本小题满分13分）(2)18.（本小题满分13分）19.（本小题满分14分）20.（本小题满分14分）。
2014届天津市河北区高三总复习质量检测(一)英语试题及答案
河北区2013-2014学年度高三年级总复习质量检测（一）英语本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共130分，考试用时100分钟。
第I卷本卷共55小题，共95分。
第一部分：英语知识运用（共两节，满分45分）第一节：单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
1. -We could invite John and Barbara to the Friday night party.-Yes,_______? I'II give them a call right now.A. why notB. what forC. whyD. what2. As the 'story_______, the truth about the strange figure is slowly discovered.A. beginsB. happensC. endsD. develops3. The professor could tell by the_______ look in Maria's eyes thatshe didn't understand a single word of his lecture.A. coldB. blankC. innocentD. fresh .4. My schedule is very ________ right now, but I'II try to fit youin.A. tightB. shortC. regularD. flexible5. As is reported, it is 100 years_______ Qinghua University was founded.A. whenB. beforeC. afterD. since6. The old town has narrow streets and small houses _______are builtclose to each other.A'. they B. where C. whatD. that7. -Are you going to take part in the speech contest?-_______It's too good an opportunity to miss.A. No problem!B. That's for sure.C. Why me?D. Why bother?8. I can ________ the house being untidy, but I hate it if it'snot clean.e up withB. put up with C .turn toD .stick to9. If you_______smoke, please go outside.A.canB. shouldC. mustD. may10. Simon made a big bamboo box ______the little sick bird till itcould fly.A.keepB. keptC. keepingD. to keep11. Twenty students want, to attend the class that aims to teach______to read fast.A.whatB.whoC.howD.why12. In the near future, more advances in the robot technology _______by scientists.A.are makingB.are madeC.will makeD.will be made13. We arrived at work in the morning and found that somebody_______into theoffice during the night.A.brokeB.had brokenC.has brokenD.has breaking14. ______ Barbara Jones offers to her fans is honesty and happiness.A.WhichB.WhatC.ThatD.Whom15. -Where are the children? The dinner's going to be completely ruined.-I wish they _______ always late.A.weren'tB.hadn't beenC.wouldn't beD.wouldn't have been第二节:完形填空 (共 20小题;每小题 i.s分,满分 30分)阅读下面短文,掌握其大意,然后从 16-35各题所给的 A. B. C. DAlthough I love my life, it hasn't been a lot of fun as I'vebeen ill for 28 years.Music has always been a great love of mine and, in my 20s,whenmy _16 was more manageable, I 17 ten years as a professional singer in restaurants, playing and singing folk songs. 18 thatwas years ago and times have changed. 19 I live with my motheron a country farm.Two years ago, I decided that I would need to have some kindof extra work to 20 my disability pension(贱疾抚恤金). 21 needed to sleep in the afternoons, I was limited in my 22 . Idecided that I would consider 23 to singing in restaurants.My family are all musicians, so I was 24 when I went into our local music store. I explained that I wanted to sing again but using recorded karaoke music. I knew that discs were very expensive and I really didn't have a lot of 25 to get started. And 26 you find only three to four songs out of ten on a disc that you can 27 use.When I told the owner of the shop about my 28 , he gave me a long; thoughtful 29 . "This means a lot to you. doesn't it'? "he said." Come with me."He led me 30 the crowded shop and to a bench with a large professional karaoke box on it. He placed his large hand _ 31 _ on his treasure and said ;'I have 800 karaoke songs in here. You can take your 32 and I'll record them for you. That should get you started."I 33 Thanking him, I made a time with him to listen to all. the songsand choose 34 that I could sing. I have come full circle with his help.His 35 still warms my heart and makes me do just that bit extra, which I have the chance.16. A. loneliness B. sadness C. tiredness D. sickness17.A.set B. enjoyed C. kept D. shared18. A Gladly B. Eventually C. Unfortunately D. Surprisingly19.A.Now B. Then C. Sometime D. Meanwhile20. A .add up to B. make up for C. get rid of D.take advantage of2l.A.lf B .As C .ThoughD .Before22. A. movement B. condition C. choices D. positions23. A. reaching out B. living up C. getting on D.going back24. A. recognized B. interviewed C. found D. invited25.A.money B. time C. energyD .knowledge26. A. thus B. once C. seldom D.often27. A. actually B. hardly C. nearly D. formerly28.A.job B .family C. idea D.offer29.A. face B .view C. look D: sight30.A. over B. along C. towardsD. through31. A. unhappily B. lovingly C. pitifullyD. gratefully32.A.pick B .turn C .roleD .step33. A. had to cry B. ought to cry C. should havecried D. could have cried34.A. more B. the ones C. fewD. the rest35.A. courage B. devotion C. kindnessD. trust第二部分：阅读理解（共20小题；每小题2.5分，满分50分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。
数学_2014年天津市河北区高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2014年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项市符合题目要求的．1. 已知集合M ={x|−2<x <3}，N ={x|lg(x +2)≥0}，则M ∩N =( ) A (−2, +∞) B (−2, 3) C (−2, −1] D [−1, 3)2. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤1x +1≥0x −y ≤1，则目标函数z =2x +y 的最大值是（ ）A −4B 0C 2D 43. 执行如图的程序框图，输出k 的值是（ ）A 3B 4C 5D 64. “a >1”是“函数f(x)=a x −2，(a >0且a ≠1)在区间(0, +∞)上存在零点”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（ ）A 56 B 103 C 53 D 26. 在△ABC 中，BC =3，AC =√13，B =π3，则△ABC 的面积是（ ）A 3√3B 6√13C 3√32D 3√347. 已知函数f(x)={log 3x ，x >0(13)x ，x ≤0，那么不等式f(x)≥1的解集为（ ）A {x|−3≤x ≤0}B {x|x ≤−3或x ≥0}C {x|0≤x ≤3}D {x|x ≤0或x ≥3} 8. 已知函数f(x)=4x −14x +1，若x 1>0，x 2>0，且f(x 1)+f(x 2)=1，则f(x 1+x 2)的最小值为（ ）A 14B 45C 2D 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 若复数z =1−i1+i ，则|z|=________．10. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个球的半径是________，三棱柱的体积是________．11. 设F 是抛物线C 1:y 2=2pr(p >0)的焦点，点A 是抛物线C 1与双曲线C 2:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．12. 如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD ．若PC =4，PB =2，则CD =________． 13. 已知x >0，y >0，若2yx +8x y >m 2+7m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．14. 已知a →、b →为非零向量，m →=a →+tb →(t ∈R)，若|a →|=1，|b →|=2，当且仅当t =14时，|m →|取得最小值，则向量a →、b →的夹角为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m →=(sinA,sinB)，n →=(cosB,cosA)，且m →⋅n →=sin2C ． （1）求角C 的大小；（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且CA →⋅CB →=18，求边c 的长． 16. 已知实数a ，b ∈{−2, −1, 1, 2}(I)求直线y =ax +b 不经过第四象限的概率；(II)求直线y =ax +b 与圆x 2+y 2=1有公共点的概率．17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA =PD =√2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC // AD ，AB ⊥AD ，AC =√2，AB =BC=1，E为AD中点．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求平面PAB与平面PCD所成的二面角．18. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为B(0, 4)，离心率e=√55，直线l交椭圆于M、N两点．（1）若直线l的方程为y＝x−4，求弦MN的长；（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．19. 已知函数f(x)=(13)x，等比数列{a n}的前n项和为f(n)−c，数列{b n}{b n>0}的首项为c，且前n项和S n满足S n−S n−1=√S n+√S n−1(n≥2)．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{1b n b n+1}前n项和为T n，问使T n>10052014的最小正整数n是多少？20. 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0, 5)，且f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是12．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在自然数m，使得方程f(x)+37x=0在区间(m, m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2014年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）答案1. D2. C3. A4. C5. B6. A7. D8. B9. 110. 2,48√311. √512. 12513. (−8, 1)14. 2π315. 解：（1）∵ m→=(sinA, sinB)，n→=(cosB, cosA)，∴ m→⋅n→=sin2C，即sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=sin2C=2sinCcosC，∵ sinC ≠0， ∴ cosC =12，∵ C 为三角形内角， ∴ C =π3；（2）∵ sinA ，sinC ，sinB 成等差数列， ∴ 2sinC =sinA +sinB ，利用正弦定理化简得：2c =a +b ， ∵ CA →⋅CB →=18，∴ abcosC =12ab =18，即ab =36，由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab ， 将a +b =2c ，ab =36代入得：c 2=4c 2−108，即c 2=36， 解得：c =6．16. 直线y =ax +b 不经过第四象限概率为14；y =ax +b 与圆x 2+y 2=1有公共点的概率为34．17. （1）证明：在△PAD 中PA =PD ，E 为AD 中点， ∴ PE ⊥AD又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ．（2）解：连结BE ，在直角梯形ABCD 中，BC // AD ，AD =2AB =2BC ，有ED // BC 且ED =BC ，∴ 四边形EBCD 是平行四边形， ∴ EB // DC由（1）知PE ⊥EB ，∠PBE 为锐角， ∴ ∠PBE 是异面直线PB 与CD 所成的角 ∵ AC =2，AB =BC =1，在Rt △AEB 中，AB =1，AE =1，∴ EB =√2，在Rt △PEA 中，AP =√2，AE =1，∴ EP =1，在Rt △PBE 中，PB =√EP 2+EB 2=√3， cos∠PBE =EB PB=√2√3=√63， ∴ 异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为√63．（3）解：以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EP 为z 轴， 建立空直角坐标系，A(0, −1, 0)，B(1, −1, 0)，P(0, 0, 1)， C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)， PA →=(0,1,1)，PB →=(−1,1,1)， PC →=(−1,0,1)，PD →=(0,−1,1)， 设平面PAB 的法向量n →=(x,y,z)，则{n →⋅PB →=−x +y +z =0˙，取y =1，得n →=(0,1,−1)， 设平面PCD 的法向量m →=(a,b,c)，则{m →⋅PD →=−b +c =0˙，取a =1，得m →=(1,1,1)， ∵ n →⋅m →=0，∴ 平面PAB 与平面PCD 所成的二面角为90∘．18. 由已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为B(0, 4)， ∴ b ＝4， 又∵ 离心率e =ca =√55， 即c 2a 2=15，∴a 2−b 2a 2=15，解得a 2＝20，∴ 椭圆方程为x 220+y 216=1；由4x 2+5y 2＝80与y ＝x −4联立， 消去y 得9x 2−40x ＝0， ∴ x 1＝0，x 2=409，∴ 所求弦长|MN|=√1+12|x 2−x 1|=40√29； 椭圆右焦点F 的坐标为(2, 0)，设线段MN 的中点为Q(x 0, y 0)，由三角形重心的性质知BF →=2FQ →，又B(0, 4)， ∴ (2．−4)＝2(x 0−2, y 0)， 故得x 0＝3，y 0＝−2， 求得Q 的坐标为(3, −2)；设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝6，y 1+y 2＝−4，且x 1220+y 1216=1,x 2220+y 2216=1，以上两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)20+(y 1+y 2)(y 1−y 2)16=0，∴ k MN =y 1−y2x 1−x 2=−45⋅x 1+x2y 1+y 2=−45⋅6−4=65，故直线MN 的方程为y +2=65(x −3)，即6x −5y −28＝0．19. 解：（1）∵ 函数f(x)=(13)x ，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)−c ，∴ n ≥2时，a n =[f(n)−c]−[f(n −1)−c]=−23n ， ∴ 等比数列{a n }的公比为q =13，∴ c =1，a 1=−23，∴ a n =−23n ；∵ 数列{b n }{b n >0}的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n −S n−1=√S n +√S n−1(n ≥2)． ∴ b 1=1，√S n −√S n−1=1，∴ {√S n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴ √S n =n ，∴ S n =n 2，∴ n ≥2时，b n =S n −S n−1=2n −1， ∵ b 1=1，∴ b n =2n −1； （2）1b n b n+1=12(12n−1−12n+1)，∴ T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1，由T n >10052014，得n2n+1>10052014，解得n >251.25 ∴ T n >10052014的最小正整数n 是252．20. 解：(1)∵ f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0, 5)， ∴ 可设f(x)=ax(x −5)(a >0)．∴ f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是f(−1)=6a ． 由已知得6a =12，∴ a =2，∴ f(x)=2x(x −5)=2x 2−10x(x ∈R)． (2)方程f(x)+37x=0等价于方程2x 3−10x 2+37=0．设ℎ(x)=2x 3−10x 2+37，则ℎ′(x)=6x 2−20x =2x(3x −10)． 在区间x ∈(0,103)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)是减函数；在区间(−∞, 0)，(103，+∞)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)是增函数， 故ℎ(0)是极大值，ℎ(103)是极小值．∵ ℎ(3)=1>0，ℎ(103)=−127<0，ℎ(4)=5>0，∴ 方程ℎ(x)=0在区间(3,103)，(103,4)内分别有唯一实数根， 故函数ℎ(x)在(3, 4)内有2个零点．而在区间(0, 3)，(4, +∞)内没有零点，在(−∞, 0)上有唯一的零点． 画出函数ℎ(x)的单调性和零点情况的简图，如图所示,∴ 存在惟一的自然数m =3，使得方程f(x)+37x=0在区间(m, m +1)内有且只有两个不同的实数根．。
天津市河北区-高三年级总复习质量检测(一).docx
天津市河北区2015-2016学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共40分）3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合={01234}U ，，，，，={123}A ，，，={24}B ，，则()U C A B =I（A ）{2} （B ）{24}， （C ）{04}， （D ）{4} （2）i 是虚数单位，复数34i12i+=- （A ）12i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）12i --（3）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （A ）2016 （B ）2 （C ）12（D ）1-（4）若1311321=()=log 2=log 32a b c ，，，则a b c ，，（A ） b c a >> （B ）c a b >>（C ） a b c >> （D ）a >（5）设x y ∈R ，，则“1x ≥且2y ≥”是“+3x y ≥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221(00)x y =a >b >a b，-的一条渐近线平行于直线l ：+2+5=0x y ，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（A ）22=1205x y - （B ）22=1520x y -（C ）2233=125100x y - （D ）2233=110025x y -（7）若函数()=sin +f x x x 的图象关于直线x =a 对称，则最小正实数a 的值为 （A ）π6（B ）π4（C ）π3 （D ）π2（8）已知函数2ln 0()410x x >f x =x +x +x ⎧⎪⎨⎪⎩，，，≤，若关于x 的方程2()()0f x bf x +c =-(b c ∈R ，)有8个不同的实数根，则b+c的取值范围是（A）(3)-，（B）(03]∞，（C）[03]，（D）(03)，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.______________．（10）如图，已知切线PA切圆于点A，割线PBC分别交圆于点B C，，点D在线段BC上，且24，，，则线段AB的长为=∠=∠==DC BD BAD PAB PA PB_______________．（第9题图） （第10题图） （11）已知正数x y ，满足=x+y xy ，那么x+y 的最小值为 ．（12）在区间[44]-，上随机地取一个实数x ，则事件“2230x x --≤”发生的概率是．（13）函数()e x f x =x 在点(1(1))f -，-处的切线方程为 ．（14）已知ΔABC 中，AB =AC ，=4BC ，90BAC =∠︒，3BE EC =u u u r u u u r，若P 是BC 边上的动点，则AP AE ⋅u u u r u u u r的取值范围是______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得 分 评卷人 （15）（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若7a 3b =， 7sin +sin =23B A（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求πsin(2)6B +的值．得 分 评卷人 （16）（本小题满分13分）1桶甲产品需耗A 原料3千克，B 原料1千克，生产1桶乙产品需耗A 原料1千克，B 原料3千克．每生产一桶甲产品的 利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中， 每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．设公司计划每天生产x 桶甲产品和y 桶乙产品． （Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应 的平面区域；（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，22AB=AD=AP=CD=． （Ⅰ）若M 是棱PB 上一点，且2BM =PM ，求证：PD ∥平面MAC ；（Ⅱ） 若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD ； PC 与平面ABCD 所成角的正切值．（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1028a =，8=92S ，数列{}n b 对任意*n ∈N ，总有1231=3+1n n b b b b b n ⋅⋅⋅L -成立． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记2n n n na b c =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y +=a >b >ab的短轴长为2，离心率=2e ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y =kx +m 与椭圆交于不同的两点A B ，，与圆2223x +y =相切 于点M ．（i ）证明：OA OB ⊥（O 为坐标原点）； （ii ）设AM λ=BM，求实数λ的取值范围．（20）（本小题满分14分）已知函数32()=f x ax x ax +-，其中a ∈R 且0a ≠． （Ⅰ）当1a=时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）求函数()3()ln f x g x =x x a-的单调区间； （Ⅲ）若存在(1]a ∈∞，--，使函数()()()[1](>1)h x =f x f x x b b '+∈，-，-在1x=-处 取得最小值，试求b 的最大值．河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学 答 案（文）（9）16+π； （10） （11）4； （12）12； （13）1=ey -； （14）[26]，．三、解答题：本大题共6小题，共80分． （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵sinsin a b =A B ，∴sin sin b A B =a． …………2分 又a =3b =+sin =B A∴sin =A …………4分 又02A π<<，∴π=3A ． …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知， sin ==B A …………7分 又02B π<<，∴cos ==B …………9分 ∵sin2=2sin cos B B B 213cos2=12sin =14B B --， …………11分 ∴πππ1sin(2)=sin 2cos cos2sin =6667B B B ++- …………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设每天生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，则x ，y 满足条件的数学关系式为3+12+31200x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，≥，≥，≤≤ …… 3分 该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如下…………7分 （Ⅱ）设利润总额为z 元，则目标函数为：400300z =x+y ． ………8分 如图，作直线l ：400300=0x+y ，即43=0x+y ．当直线4=+3300zy x -经过可行域上的点A 时，截距300z 最大，即z 最大．解方程组3+=12+3=12x y x y ⎧⎨⎩，，得33x y ⎧⎨⎩==，即(33)A ，，………11分代入目标函数得max =2100z ． ………12分答：该公司每天需生产甲产品3桶，乙产品3桶才使所得利润最大，最大利润为 2100元．…………13分 （17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）连结BD ，交AC 于点N ，连结MN ．∵AB ∥CD ，2AB CD =， ∴2BN AB DN CD==． ∵2BM PM =， ∴2BM BN PM DN==． ∴MN ∥PD ． ……2分又MN ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ， ∴PD ∥平面MAC ． …… 4分（Ⅱ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD=AB ，AB AD ⊥，∴AD ⊥平面PAB ． ∴AD PA ⊥． …… 6分同理可证AB PA ⊥． …… 7分又AB AD A =I ，∴PA ⊥平面ABCD ． ……8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD∴PC 与平面ABCD 所成的角为PCA ∠． ……10分 在Rt PAC ∆中，∵2225PA AC AD +CD =，， ∴25tan 5PA PCA AC ∠===……12分 ∴PC 与平面ABCD 25． ……13分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则10181=+9=2887=8+=922a a d S a d ⎧⎪⎨⨯⎪⎩．解得113a d ==，． ……2分∴32n a n =-． ……3分∵12313+1n n b b b b b =n ⋅⋅⋅L -， ① ∴1231=32(2n b b b b n n ⋅⋅L --≥）． ② ①②两式相除得3132n n b n +=- (2)n ≥． ……5分 ∵当1n =时，14b =适合上式，∴3132n n b n +=-()n *∈N ． ……6分 （Ⅱ）∵(31)221n n n nna b c ==n ⋅+， ……7分∴2311114710(31)2222n n T n =⨯+⨯+⨯+++L ． ……8分2311111147(32)(31)22222n n n T n n +=⨯+⨯++-++L ． ……9分两式相减得，2311333312()22222n n n n T ++=++++-L ……10分 1111[1()]3142231212n n n -+-+=+⨯-- ……11分173722n n ++=-． ……12分∴3772n nn T +=-． ……13分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵22b =，∴1b =．…… 1分又c e a =，222a b c =+，∴ 22a =． ……3分∴ 椭圆C 的方程为 2212x y +=． …… 4分（Ⅱ）（i ）∵直线l ：y =kx +m 与圆2223x +y =相切，∴d ==222(1)3m k =+． ……5分 由2212y =kx +m x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 并整理得，222(12)4220k x kmx m +++-=． 设11()A x y ，，22()B x y ，， 则12221224122212km x +x =+k m x x =+k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩--． …… 7分 ∵12121212()()OA OB =x x +y y =x x +kx +m kx +m ⋅u u u r u u u r．221212(1)()=+k x x +km x +x +m22222224(1)()1212m km=+k +km +m +k +k-- 2222223222(1)2201212m k +k k ===+k +k ----，∴OA OB ⊥． …… 9分（ii ）∵直线l ：y =kx+m 与椭圆交于不同的两点A B ，，∴222212121122x x +y =+y =，．∴AMλ==BM…… 11分由（Ⅱ）（i）知1212+=0x x y y，∴1212=x x y y-，222222121212==(1)(1)22x xx x y y--，即22122142=2+3xxx-．∴212+3==4xλ．…… 13分∵1x∴λ的取值范围是122λ≤≤．…… 14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a=时，32()+f x x x x=-，∴2()3+21(1)(31)f x x x x x'=-=+-．…… 2分令()0f x'=，得1x=-或13x=．列表讨论'()f x和()f x的变化情况：∴当1x=-时，()f x取得极大值(1)1f=-，当13x=时，()f x取得极15()327f=-． (4)小值分（Ⅱ）∵2()33()ln lnf xg x=x=ax x a xx a a+---，∴()g x的定义域为(0)+∞，，22323()21a x axg x=axax ax+'+=--2132()()2(0)a x xa a aax+=≠-．……5分（1）当0a>时，由()0g x'>，解得1xa>，由()0g x'<，解得10xa<<，∴()g x在1(0)a，上单调递减，在1()a+∞，上单调递增；……7分（2）当0a<时，由()0g x'>，解得32xa<<-，由()0g x'<，解得32xa>-，∴()g x在3(0)2a-，上单调递增，在3()2a-+∞，上单调递减．…9分（Ⅲ）∵2()=3+2f x ax x a'-，∴32()=+(3+1)+(2)h x ax a x a x a--．由题意知，()(1)h x h≥-在区间[1]b-，上恒成立．即2(+1)[(21)(13)]0x ax a x a+++-≥．①……10分当1x=-时，不等式①成立；当1x b-<≤时，不等式①可化为2(21)(13)0ax a x a+++-≥．②……11分令2()(21)(13)F x=ax+a+x+a-∵1a≤-，(1)40F a-=->，∴2()(21)(13)0F b ab a b a=+++-≥，……12分即2+231+1b bb a-≤-．由题意，只需2max+231()=1b bb a-≤-．b……13分又1b>-，∴1b-<∴maxb=．……14分。
天津市河北区2014届高三数学总复习质量检测 文(河北一模)
河北区2013 -2014学年度高三年级总复习质量检测（一）数学（文史类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I卷1至2页，第II卷3至8页，第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)己知集合{}{}|23|lg(2)0M x x N x x=-<<=+≥，则M N =(A) (2,)-+∞ (B)[)1,3-(C) (]2,1--(D)(2,3)-(2)已知变量x，y满足约束条件110,1x yxx y+≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x +y的最大值是(A) -4 (B) 0(C)2 (D)4(3)执行右边的程序框图，输出m的值是(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(4)“a>l”是“函数()2f x ax=-(a >0且1a≠)在区间(0,)+∞上存在零点”的。
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(5) 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A)56 (B) 103 (C)53 (D)2 (6)在ABC ∆中，3,13,3BC AC B π===，则ABC ∆的面积是(A)33 (B)63(C)332 (D)334(7)已知函数log3,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为(A){}|30x x -≤≤ (B) {}|30x x x ≤-≥或 (C){}|0x x ≤≤ (D {}|03x x x ≤≥或(8)已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=， 则12()f x x +的最小值为(A)14 (B)45(C)2 (D)4第II 卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)理科数学试卷(带解析)
天津市河北区2014届高三总复习质量检测（一）理科数学试卷（带解析）1．己知集合{}{}|23|lg(2)0M x x N x x =-<<=+≥，则MN =（ ）.(A)(2,)-+∞ (B)[)1,3- (C)(]2,1-- (D)(2,3)- 【答案】B 【解析】 试题分析：由已知集合{}1N x x =-…，所以{}{}[)2311,3MN x x x x x =-<<-=-…，故正解答案选B. 考点：1.集合运算；2.对数不等式.2．已知变量x ，y 满足约束条件110,1x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x +y 的最大值是（ ）.(A) -4 (B) 0 (C)2 (D)4 【答案】C 【解析】试题分析：首先作出可行域110,1x y x+≤⎧⎪+≥≤区域，目标函数可化为2y x z =-+，所以作出直线y ()1,0时，所z 的最大值为max 2102z =⨯+=，故正解答案为C.3．执行下边的程序框图，输出m 的值是（ ）.(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】A 【解析】试题分析：第一次执行循环体时：1m =，23a =，0ba=，选择“否”；第二次：2m =，228239a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，293384b a =⨯=，选择“否”；第三次：3m =，328339a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，89198b a =⨯=，选择“是”，故此输出m 的值为3.正解答案选A. 考点：1.程序框图；2.幂运算.4．直线:10l mx y -+=与圆22:(1)5C x y +-=的位置关系是（ ）. (A)相切 (B)相离 (C)相交 (D)不确定 【答案】C 【解析】试题分析：由直线:10l mx y -+=，得()10y m x -=-，因此直线l 恒过点()0,1，又点()0,1是圆C 的圆心，所以直线l 与圆C 的位置关系是相交.故正确答案为C.考点：直线与圆5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）. (A)56 (B) 103 (C)53(D)2 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此几何体是由一个长为2点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为111022323V =⨯⨯=.故正确答案选B.2222考点：1.三视图；2.简单组合体体积. 6．在ABC ∆中，3,3BC AC B π===，则ABC ∆的面积是（ ）.(A)【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，即2340AB AB --=，解得4AB =，所以11sin 4322ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=故正确答案为A. 考点：1.余弦定理；2.三角形面积.7．已知函数log3,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为（ ）.(A){}|30x x -≤≤ (B){}|30x x x ≤-≥或 (C){}|0x x ≤≤ (D){}|03x x x ≤≥或 【答案】D【解析】试题分析：由已知得，①当0x >时，有3log 13x x ⇒厖；②当0x …时，有1103xx ⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭厔，综①②得不等式的解集为{}|03x x x ≤≥或.故正确答案选D. 考点：1.对数、指数不等式；2.分类讨论思想.8．已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为（ ）. (A)14 (B)45(C)2 (D)4 【答案】B 【解析】试题分析：因为12()()1f x f x +=，所以1212414114141x x xx --+=++，整理得()1212444430x x x x ⋅-+-=，又1244x x +…124430x x ⋅-…，解得3，即124449x x x x+⋅=?，因此()1212121241224114141915x x x x x x f x x +++-+==--=+++….故正确答案为B.考点：1.指数函数；2.基本不等式.9．复数11iz i-=+，则z =______________. 【答案】1 【解析】试题分析：因为()()()211111i i z i i i i --===-++-，所以1z ==.故正确答案为1.考点：复数分母有理化、模.10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是____________（用数字作答）. 【答案】80 【解析】试题分析：由题意得()()()55551552112rrrrr rr r T C x C x ----+=-=-⋅，令53r -=，解得2r =，代入上式得()23351280C -=.故正确答案为80.考点：二项式定理.11．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是____________.【答案】2sin ρθ= 【解析】试题分析：设圆上任一点P 的坐标为(),ρθ，连接圆心C 与极点O ，延长OC 交圆另一点A ，连接AP 得Rt OPA ∆，所以cos 22ρπθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得所求圆的方程2sin ρθ=. 考点：圆的极坐标方程.12．如图，AB 是半圆D 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD.若PC=4，PB=2，则CD=____________.【答案】125【解析】试题分析：连接OC ，则得直角三角形OPC ，设半圆的半径为r ，则有()22224r r +=+，解得3r =，又由CD CP AO OP =，得4123325CD =⋅=+.故正确答案为125. 考点：1.圆的切线；2.平行线分线段成比例. 13．己知0,0x y >>，若2287y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【答案】81m -<<【解析】试题分析：因为288y x x y +=…，所以287m m >+恒成立，即2780m m +-<恒成立，解得所求实数m 的范围为81m -<<. 考点：1.基本不等式.14．已知a 、b 为非零向量，()m a tb t R =+∈，若1,2a b ==，当且仅当14t =时，m 取得最小值，则向量a 、b 的夹角为___________. 【答案】23π 【解析】 试题分析：设向量,a b的夹角为θ，则2222222cos 44cos 1m a tb a t a b t b t t θθ=+=++=++，构造函数()2221144cos 14cos cos 124f t t t t θθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭，因为当且仅当14t =时，m 取得最小值，所以当14t =时，函数()f t 有最小值，即111cos 0cos 422θθ+=⇒=-时，函数()f t 有最小值，又[]0,θπ∈，所以解得23πθ=.考点：1.向量；2.二次函数.15．己知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量(sin ,sin ),m A B =(cos ,cos )n B A =，且sin 2m n C ⋅=.（1）求角C 的大小：（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求边c 的长． 【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得()sin m n A B ⋅=+，又,,A B C 三角形的三个内角，所以有()sin sin A B C +=，因此sin 2sin C C =，整理得1cos 2C =，所以所求角C 的大小为3π；（2）由等差中项公式得2sin sin sin C A B =+，根据正弦定理得2c a b =+，又18CA CB ⋅=，得c o s 18a b C=，由（1）可得36ab =，根据余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即224336c c =-⨯，从而可解得6c ∴=.（1）()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=+=+ 2分 在ABC !中，由于()sin sin A B C +=，所以sin m n C ⋅=.又sin m n C ⋅=，sin 2sin C C ∴=，sin 2sin C C ∴=，又s i n 0C ≠，1cos 2C ∴=. 5分而0C π<<，3C π∴=. 7分（2）sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，2sin sin sin C A B ∴=+，由正弦定理得2c a b =+.9分18CA CB ⋅=，cos 18ab C ∴=.由（1）知1cos 2C =，所以36ab =. 11分 由余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，224336c c ∴=-⨯，236c ∴=.6c ∴=. 13分考点：1.正弦、余弦定理；2.向量数量积.16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红色球，1个黄色球，1个蓝色球和1个黑色球．顾客不放回的每次摸出1个球，直至摸到黑色球停止摸奖．规定摸到红色球奖励10元，摸到黄色球或蓝色球奖励5元，摸到黑色球无奖励． （1）求一名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X 为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）14； （2）所以随机变量X 的分布列为：，10EX =.【解析】 试题分析：（1）由题意知，事件“一名顾客摸球3次停止摸球”的基本事件为前两次摸到的球可能为红、黄、蓝球中的两种、第三次必是黑球，所以该事件个数为23A ，而事件总数是从四个球中不放回地选三个的总数为34A ，由古典概型的概率计算公式可求出所事件的概率；（2）由题意得，一名顾客摸球次数的可能性分别为1、2、3、4，由（1）的做法可得随机变量X 的所有取值为0、5、10、15、20，并分别求出相应的概率，从而可得到随机变量X 的分布列，并求出其数学期望.（1）设“一名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则()233414A P A A ==.故一名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14. 4分（2）随机变量X 的所有取值为0、5、10、15、20. 6分()104P X ==，()2224156A P X A ===，()22234411106A P X A A ==+=，()1222341156C A P X A ⋅===，()33441204A P X A ===. 所以随机变量X 的分布列为：11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 13分考点：1.古典概型；2.随机变量布列、数学期望.17．如图,在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD，侧棱PA PD ==ABCD 为直角梯形，其中BC//AD ，AB ⊥AD ，AD=2，AB=BC=l ，E 为AD 中点．（1）求证：PE ⊥平面ABCD ：（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值： （3）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角.【答案】（1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ⊥.PE ∴⊥平面ABCD ；（2（3【解析】试题分析：（1）由题意可根据面面垂直的性质定理来证，已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，并且相交于AD ，而PAD ∆为等腰直角三角形，E 为AD 中点，所以PE AD ⊥，即PE 垂直于两个垂直平面的交线，且PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ；（2）连结BE ，由题意可知PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角，并且三角形PBE是直角三角形，EB ==112PE AE AD ===，PB ，由余弦定理得cos EB PBE PB ∠===；（3）利用体积相等法可得解，设点A 到平面PCD 的距离h ，即由P A C D AP C D V V--=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅， 而在R t P E C ∆中，PC ，所以P C C D D P ==，因此2PCD S ∆==，又112A C D S A D AB ∆=⋅=，1EP =，从而可得解. （1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥. 2分 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD . PE ∴⊥平面ABCD . 4分（2）解：连结BE ，在直角梯形ABCD 中，BCAD ，22AD AB BC ==，有E D B C且ED BC =.所以四边形EBCD 平行四边形，EBDC ∴.由（1）知P E E B ⊥，PBE∠为锐角，所以PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角. 7分2,1AD AB BC ===，在Rt AEB ∆中，1,1AB AE ==.EB ∴=.在Rt PEA ∆中，1,AP AE ==1EP ∴=.在Rt PBE ∆中，PB =cosEB PBE PB ∴∠===.所以异面直线PB 与CD 分（3）解：由（2）得CD EB ==在Rt PEC ∆中，PCPC CD DP ∴==， 2PCD S ∆==. 设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅. 11分又112ACD S AD AB ∆=⋅=，解得h =分 考点：：1.线面垂直；2.异面直线角；3.点到面距离.18．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为B(0，4)，离心率5e =， 直线l 交椭圆于M,N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x-4，求弦MN 的长：（2）如果∆BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程.【答案】（1）9；（2）65280x y --=. 【解析】试题分析：（1）由椭圆顶点()0,4B 知4b =，又离心率c e a ==，且222a b c =+，所以220a =，从而求得椭圆方程为2212016x y +=，联立椭圆方程与直线4y x =-消去y 得29400x x -=，12400,9x x ==，再根据弦长公式12MN x =-，可求得弦MN 的长；（2）由题意可设线段MN 的中点为()00,Q x y ，则根据三角形重心的性质知2BF FQ =，可求得Q 的坐标为()3,2-，又设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，根据中点公式得12126,4x x y y +=+=-，又由点,M N 是椭圆上的点所以222211221,120162016x y x y +=+=，两式相减整理得1212121244665545y y x x k x x y y -+∴==-⋅=-⋅=-+-，从而可求出直线MN 的方程.（1）由已知4b =，且c a =，220a ∴=.所以椭圆方程为2212016x y +=. 4分 由2212016x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，12400,9x x ∴==. 6分129MN x∴=-=. 7分（2）椭圆右焦点F的坐标为()2,0，设线段MN的中点为()00,Q x y，由三角形重心的性质知2BF FQ=，又()0,4B，()()002,422,x y∴-=-，故得003,2x y==-.所以得Q的坐标为()3,2-. 9分设直线MN的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y+=-，则12126,4x x y y+=+=-，且222211221,120162016x y x y+=+=，两式相减得()()()()1212121202016x x x x y y y y+-+-+=. 11分1212121244665545y y x xkx x y y-+∴==-⋅=-⋅=-+-，故直线MN的方程为65280x y--=. 13分考点：1.椭圆方程；2.直线方程.19．已知函数1()()3xf x=，等比数列{}n a的前n项和为()f n c-，数列{}(0)n nb b>的前n项为nS，且前n项和nS满足12)n nS S n--=+≥．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式：（2）若数列11n nb b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n项和为nT，问使10052014nT>的最小正整数n是多少？【答案】（1）()213n na n=-…，()211nb n n=-…；（2）252.【解析】试题分析：（1）由已知得当2n…时，()()()12113nn na f n c f n c a a-=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则等比数列{}n a的公比13q=，又()2121193a a q f c∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a==-，由等比数列通项公式11nna a q-=可得所求数列{}n a的通项公式；由已知可先求出数列的通项公式，再求{}n b 的通项公式，因为11n n S S --=⇒==，1==，所以是首项为1，公差为1的等差数列，n =，即2n S n =，从而()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-，故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…；（2）由数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式1111111212322121n b b b n n n n -⎛⎫=⋅=- ⎪---+⎝⎭可采用裂项求和法先求出前n 项和111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1005100510051251201421201444n n T n n >⇒>⇒>=+，故满足条件的最小正整数n 是252. （1）因为等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c =，则当2n …时，()()()12113n n n a f n c f n c a a -=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 因为是等比数列，所以{}n a 的公比13q =. 2分 ()2121193a a q f c ∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a ==-.()213n nan ∴=-…. 4分 由题设知{}()0n n b b >的首项11b c ==，其前n项和n S满足)12n n S S n --=…，由11n n S S --=⇒=1==.所以是首项为1，公差为1的等差数列. 6分n =，2n S n =.()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-. 故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…. 8分 （2）因为()211n b n n =-…，所以1111122121n b b b n n -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭. 10分 111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 12分要使10052014n T >，则1005212014n n >+.所以1005125144n >=. 故满足条件的最小正整数n 是252. 14分考点：1.数列通项公式；2.数列列前n 项和公式. 20．已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈. （1）当a=l 时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈(e 是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）72a -…；（3）存在实数2a e =. 【解析】试题分析：（1）把1a =代入函数解析式得()2ln f x x x x =+-，且定义域为()0,+∞，利用导数法可求出函数的单调区间，由()()1211221x x f x x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=，分别解不等式()0f x '…，()0f x '…，注意函数定义域，从而可求出函数()f x 的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数()f x 在[]1,2上是减函数，则其导函数()212120x ax f x x a x x+-'=+-=…在()1,2上恒成立，又因为()0,x ∈+∞，所以函数()221h x x ax =+-，必有()()1020h h ⎧⎪⎨⎪⎩……，从而解得实数a 的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈，则()11ax g x a x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x a =，通过对1a 是否在区间(]0,e 上进行分类讨论，可求得当10ea<<时，有()min 13g x g a ⎛⎫==⎪⎝⎭，满足条件，从而可求出实数a 的值.（1）当1a =时，()()2121121221x x x x f x x x x x⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭'=+-==. 2分因为函数()2ln f x x x x =+-的定义域为()0,+∞，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '…，当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '….所以函数()f x 的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 4分（2）()212120x ax f x x a x x+-'=+-=…在()1,2上恒成立. 令()221h x x ax =+-，有()()1020h h ⎧⎪⎨⎪⎩……， 6分得172a a -⎧⎪⎨-⎪⎩……，72a ∴-…. 8分（3）假设存在实数a ，使()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈有最小值3，()11ax g x a x x-'=-=. 9分 当0a …时，()g x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去）； 10分 ②当10e a <<时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. ()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =，满足条件； 12分③当1e a…时，()g x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去）. 13分综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时，()f x 有最小值3. 14分考点：1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.。
2014年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．解答：解：复数==，故选A．点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）（2014•天津）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．解答：解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．点评：本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．4．（5分）（2014•天津）设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．解答：解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）（2014•天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）（2014•天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④考点：与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．专题：直线与圆．分析：本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．解答：解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D点评：本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．8．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据f（x）=2sin（ωx+），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，求得函数f（x）的周期T的值．解答：解：∵已知函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f （x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则=，∴T=π，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到正好等于f（x）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解答：解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）（2014•天津）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为﹣4．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．解答：解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查循环结构，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力．12．（5分）（2014•天津）函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．解答：解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．点评：本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx2=2lg|x|中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg|x|的图象，得到函数的递减区间．13．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2014•天津）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．解答：解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=．点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．16．（13分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）（2014•天津）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可；（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．解答：解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，∴BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），∴=（0，，），∴===﹣，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．点评：本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）分别用a，b，c表示出|AB|和|F1F2|，根据已知建立等式求得a和c的关系，进而求得离心率e．（Ⅱ）根据（1）中a和c的关系，用c表示出椭圆的方程，设出P点的坐标，根据PB为直径，推断出BF1⊥PF1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sinθ和cosθ，表示出P点坐标，利用P，B求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|，|OF2|，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得．解答：解：（Ⅰ）依题意可知=•2c，∵b2=a2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣c，0）设P点坐标（csinθ，ccosθ），以线段PB为直径的圆的圆心为O，∵PB为直径，∴BF1⊥PF1，∴k BF1•k PF1=•=﹣1，求得sinθ=﹣或0（舍去），由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，cosθ==，∴P坐标为（﹣c，c），∴圆心O的坐标为（﹣c，c），∴r=|OB|==c，|OF2|==c，∵r2+|MF2|2=|OF2|2，∴+8=c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a和c 的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P点坐标是关键．19．（14分）（2014•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a 的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，0）0（0，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）递减0 递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅下面分三种情况讨论：①当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；②当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；③当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]．点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．20．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t．点评：本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
2014年高考天津文科数学试题及答案(精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么•圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P AB P A P B =+ 其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高.一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位，复数=++ii437（ ） A. i -1 B. i +-1 C.i 25312517+ D. i 725717+- 2. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知命题为则总有p e x x p x ⌝>+>∀,1)1(,0:（ ）A. 00≤∃x ，使得1)1(00≤+x e xB. 00>∃x ，使得1)1(00≤+x e xC. 0>∀x ，总有 1)1(≤+x e xD. 0≤∀x ，总有1)1(≤+x e x 4. 设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A. c b a >>B. c a b >>C. b c a >>D. a b c >>5. 设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比 数列，则1a =（ ）A. 2B. －2C.21 D . 21 6. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B. 152022=-y x C. 1100325322=-y x D. 1253100322=-y x 7. 如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：① BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ③④C.①②③ D. ①②④8. 已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2πB. 23πC. πD. 2π二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 _________名学生. 10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .11. 阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________. 12. 函数()3lg f x x =的单调递减区间是________.13. 已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，俯视图侧视图正视图PFECBA3BC BE =，DC DF λ=.若1=⋅AF AE ，则λ的值为________.14. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a的取值范围为_______三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6 (1) 用表中字母列举出所有可能的结果(2) 设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin =(1) 求A cos 的值；(2) 求)62cos(π-A 的值.17.（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，2==BD BA ，AD=2，5==PD PA , E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点.(1) 证明: //EF 平面PAB ； (2) 若二面角P-AD-B 为60，① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221x y b +=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12AB F =.（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F的直线l 与该圆相切于点M ，2MF =，求椭圆的方程.19.（本小题满分14分） 已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ (1) 求()f x 的单调区间和极值；(2) 若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围20（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-，(1) 当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；(2) 设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.2014年天津高考数学（文科）试卷参考答案一、选择题A B B C D A D C 1. 解：()()()()73472525134343425i i i i i i i i +-+-===-++-，选A . 2. 解：作出可行域，如图，结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，选B . 3. 解：依题意知p ⌝为：00>∃x ，使得1)1(00≤+x ex ，选B .4. 解：因为1a >，0b <，01c <<，所以a c b >>，选 C .5. 解：依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-，选D . 6. 解：依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+===22252b a c c a b ，所以25a =，220b =，选A .7. 解： 由弦切角定理得EAC BAE FBD ∠=∠=∠，又A F B B F D ∠=∠，所以BFD ∆∽AFB ∆，所以BF BDAF AB=，即BF AB BD AF ⋅=⋅，故④正确，排除A 、C . 又DBC EAC FBD ∠=∠=∠，故①正确，排除B ，选D .8. 解：因为)6sin(2)(πω+=x x f ，所以()1f x =得21)6sin(=+πωx ，所以626πππω+=+k x 或6526πππω+=+k x ，Z k ∈.因为相邻交点距离的最小值为3π，所以332πωπ=，2w =，π=T ，选C . 二、填空题9. 60 10.320π11.－4 12. )0,(-∞ 13. 2 14. )2,1( 9. 解: 应从一年级抽取6065544300=+++⨯名. 10.解: 该几何体的体积为32041223122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V 3m . 11. 解：3n =时，8S =-；2n =时，4S =-，所以输出的S 的值为-4. 12. 解：由复合函数的单调性知，)(x f 的单调递减区间是)0,(-∞.13. 解：因为120BAD ∠=︒，菱形的边长为2，所以2-=⋅. 因为1)1()31(=+⋅+=⋅AB AD AD AB AF AE λ，所以1323442=-++-λλ，解得2=λ. [解2] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由BC →＝3BE →，得(1，3)＝3(x 1，y 1＋3)，可得E ⎝⎛⎭⎫13，－233；由DC →＝λDF →，得(1，－3)＝λ(x 2，y 2－3)，可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，3－3λ. ∵AE ·AF ＝⎝⎛⎭⎫43，－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋1，3－3＝103λ－23＝1，∴λ＝2.14.解: 在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x |的图像，如图所示，当y ＝a |x |与y ＝f (x )的图像相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＝－x 2－5x －4，a >0，整理得x 2＋(5－a )x ＋4＝0，则Δ＝(5－a )2－414＝0，解得a ＝1或a ＝9(舍去)，∴当y ＝a |x |与y ＝f (x )的图像有四个交点时，有1<a <2.三、解答题15．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2) 选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2) 在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.17．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2) (i) 证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(ii) 连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112.又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.18．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2) 由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2，故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c .由已知，有|TF 2|2＝|MF 2|2＋r 2.又|MF 2|＝22，故有⎝⎛⎭⎫c ＋23c 2＋⎝⎛⎭⎫0－23c 2＝8＋59c 2，解得c 2＝3，所以所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.19．解：(1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 递减 递增 递减所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎭⎫0，1a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭1a ，＋∞. 当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝13a 2. (2)由f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32a 时，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫32a ，＋∞时，f (x )<0. 设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （x ）x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B ，显然0∉B .下面分三种情况讨论：(i)当32a >2，即0<a <34时，由f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集． (ii)当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)．由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B ，所以A ⊆B .(iii)当32a <1，即a >32时，有f (1)<0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集． 综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，32.20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2) 证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.。
【2014河北一模】天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)历史Word版含答案
河北区2013-2014学年度高三年级总复习质量检测（一）文科综合历史部分．文科综合共300分，考试用时150分钟，历史试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II 卷4至6页，共100分，答卷前，考生请将自己的姓名、准考号填写在答题（卡）纸上．答卷时，考生请将答案涂写在答题（卡）纸上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题（卡）纸一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共11题，每题4分，共44分。
在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1．著名学者钱穆认为，唐代“在三省体制下，决策不再是单纯的皇帝个人行为，皇帝的最后决定权包含在政务运行的程式中”。
唐代三省的“运行程式”是A．中书省→门下省尚书省B．尚书省→门下省→中书省C．尚书省→中书省→门下省D．中书省门下省→尚书省2．春秋战国是中国古代社会发展的重要转型时期。
下列对该时期经济发展特点的正确叙述包括①小农经济逐步形成②土地所有制发生根本变化③民营手工业超过官营④官府垄断商业的局面被打破A．①②④B．①②③C．①⑨④D．②③④3．清代学者陶煦说：“金宝庐舍，转瞬灰烬，惟有田者，岿然而独无恙。
故上至绅富，下至委巷工贾胥吏之俦，赢十百金，即莫不志在良田。
”材料表明A.农本思想受到冲击B．“以末致富，以本守之”成为社会风气C．自然经济开始解体 D ．农业发展为工商业提供了资金保证4．明末李贽说：“夫天生一人，自有一人之用，不待取给孔子而后足电。
若必待取足于孔子，则千古以前无孔子，终不得为人乎？”材料表明李贽A．主张学以致用B．维护封建礼教C．反对迷信崇拜D．倡导自由平等5．下列科学成就中，其影响远远超越其学科范围，扩展到社会和经济思想领域，并对中国近代民主思想产生了重要影响的是A．牛顿的经典力学B．爱因斯坦的相对论C．普朗克的量子论D．达尔文的进化论6．重现中国远征军为打通滇缅公路十战松山、用鲜血和生命铸就全歼日军辉煌胜利的电影《血战松山》，引起了广泛的社会反响。
【thancy3】天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)理科数学 Word版含答案
河北区2013 -2014学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷1至2页，第II 卷3至8页，第I 卷（选择题共40分）注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)己知集合{}{}|23|lg(2)0M x x N x x =-<<=+≥，则MN =(A) (2,)-+∞ (B)[)1,3-(C) (]2,1-- (D)(2,3)- (2)已知变量x ，y 满足约束条件110,1x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x+y 的最大值是(A) -4 (B) 0(C)2 (D)4(3)执行右边的程序框图，输出m 的值是(A)3 (B)4(C)5 (D)6(4)直线:10l mx y -+=与圆22:(1)5C x y +-=的位置关系是(A)相切 (B)相离(C)相交 (D)不确定(5) 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A)56(B) 103(C)53 (D)2(6)在ABC ∆中，3,3BC AC B π===，则ABC ∆的面积是(A)(B)(7)已知函数log3,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为 (A) {}|30x x -≤≤ (B) {}|30x x x ≤-≥或(C){}|0x x ≤≤ (D {}|03x x x ≤≥或 (8)已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=， 则12()f x x +的最小值为(A)14 (B)45(C)2 (D)4第II 卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
天津市河北区高三总复习质量检测(一)数学(文)试卷 Wor
天津市河北区2015-2016学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合={01234}U ，，，，，={123}A ，，，={24}B ，，则()U C A B =（A ）{2} （B ）{24}， （C ）{04}， （D ）{4} （2）i 是虚数单位，复数34i12i+=-（A ）12i + （B ）12i -（C ）12i -+ （D ）12i --（3）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （A ）2016 （B ）2 （C ）12（D ）1-（4）若1311321=()=log 2=log 32a b c ，，，则a b c ，，三者的大小关系是（A ） b c a >>（B ）c a b >>（C ） a b c >>（D ）a c b >>（5）设x y ∈R ，，则“1x ≥且2y ≥”是“+3x y ≥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221(00)x y =a >b >a b，-的一条渐近线平行于直线l ：+2+5=0x y ，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（A ）22=1205x y - （B ）22=1520x y -（C ）2233=125100x y - （D ）2233=110025x y -（7）若函数()=sin f x x x 的图象关于直线x =a 对称，则最小正实数a 的值为 （A ）π6（B ）π4（C ）π3 （D ）π2（8）已知函数2ln 0()410x x >f x =x +x +x ⎧⎪⎨⎪⎩，，，≤，若关于x 的方程2()()0f x bf x +c =-(b c ∈R ，)有8个不同的实数根，则b+c 的取值范围是（A ）(3)∞-， （B ）(03]，（C ）[03]， （D ）(03)，河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
天津市河北区高三数学总复习质量检测(一)试题 文
河北区2014－2015学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么 P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ） · 如果事件A ，B 相互独立，那么 P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ） · 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，复数1i2i+=-（A ）13i 55- （B ）31i 55+（C ）12i 33+ （D ）13i 55+（2）下列命题中，真命题的是（A ）20x x ∀∈>R ，（B ）1sin 1x x ∀∈-<<R ，（C ）0020x x ∃∈<R ，（D ）00tan 2x x ∃∈=R ，（3）某程序框图如图所示，则输出的p 的值是（A ）22 （B ）27 （C ）31 （D ）56（4）设213=a ，21log 31=b ，31log 2=c ，则（A ）c b a >>（B ）a c b >> （C ）a b c >>（D ）c a b >>（5）设{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若425S S =，则此数列的 公比q 的值为（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3（D ） 4（6）已知实数x ，y 满足条件101020x +x y +x +y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，，， 则4z y x =-的最大值是（A ）-4 （B ）12-（C ） 4（D ） 7（7）已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，(12)P ，是双曲线C 上的点，且y =是C 的一条渐近线，则C 的方程为 （A ）22212y x -=（B ）2212y x -= （C ）2212y x -=或22212y x -= （D ）2212y x -=或2212y x -= （8）函数()3cos f x x x =+，若120x x >，且12()()0f x f x +=，则12x x + 的最小值为 （A ）π6 （B ）π3 （C ）π2（D ）2π3河北区2014－2015学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
天津市河北区2014届高三总复习质量检测(一)英语及答案
河北区2013-2014学年度高三年级总复习质量检测（一）英语本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共130分，考试用时100分钟。
第I卷本卷共55小题，共95分。
第一部分：英语知识运用（共两节，满分45分）第一节：单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分）从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
1. -We could invite John and Barbara to the Friday night party.-Yes,_______? I'II give them a call right now.A. why notB. what forC. whyD. what2. As the 'story_______, the truth about the strange figure is slowly discovered.A. beginsB. happensC. endsD. develops3. The professor could tell by the_______ look in Maria's eyes that she didn't understand a single word of his lecture.A. coldB. blankC. innocentD. fresh .4. My schedule is very ________ right now, but I'II try to fit you in.A. tightB. shortC. regularD. flexible5. As is reported, it is 100 years_______ Qinghua University was founded.A. whenB. beforeC. afterD. since6. The old town has narrow streets and small houses _______are built close to each other.A'. they B. where C. what D. that7. -Are you going to take part in the speech contest?-_______It's too good an opportunity to miss.A. No problem!B. That's for sure.C. Why me?D. Why bother?8. I can ________ the house being untidy, but I hate it if it's not clean.e up withB. put up with C .turn to D .stick to9. If you_______smoke, please go outside.A.canB. shouldC. mustD. may10. Simon made a big bamboo box ______the little sick bird till it could fly.A.keepB. keptC. keepingD. to keep11. Twenty students want, to attend the class that aims to teach______ to read fast.A.whatB.whoC.howD.why12. In the near future, more advances in the robot technology _______ by scientists.A.are makingB.are madeC.will makeD.will be made13. We arrived at work in the morning and found that somebody _______into theoffice during the night.A.brokeB.had brokenC.has brokenD.has breaking14. ______ Barbara Jones offers to her fans is honesty and happiness.A.WhichB.WhatC.ThatD.Whom15. -Where are the children? The dinner's going to be completely ruined.-I wish they _______ always late.A.weren'tB.hadn't beenC.wouldn't beD.wouldn't have been第二节:完形填空(共20小题;每小题i.s分,满分30分)阅读下面短文,掌握其大意,然后从16-35各题所给的A. B. C. DAlthough I love my life, it hasn't been a lot of fun as I've been ill for 28 years.Music has always been a great love of mine and, in my 20s,when my _16 was more manageable, I 17 ten years as a professional singer in restaurants, playing and singing folk songs. 18 that was years ago and times have changed. 19 I live with my mother on a country farm.Two years ago, I decided that I would need to have some kind of extra work to 20 my disability pension(贱疾抚恤金). 21 needed to sleep in the afternoons, I was limited in my 22 . I decided that I would consider 23 to singing in restaurants.My family are all musicians, so I was 24 when I went into our local music store. I explained that I wanted to sing again but using recorded karaoke music. I knew that discs were very expensive and I really didn't have a lot of 25 to get started. And 26 you find only three to four songs out of ten on a disc that you can 27 use.When I told the owner of the shop about my 28 , he gave me a long; thoughtful 29 . "This means a lot to you. doesn't it'? "he said." Come with me."He led me 30 the crowded shop and to a bench with a large professional karaoke box on it. He placed his large hand _ 31 _ on his treasure and said ;'I have 800 karaoke songs in here. You can take your32 and I'll record them for you. That should get you started."I 33 Thanking him, I made a time with him to listen to all. the songsand choose 34 that I could sing. I have come full circle with his help.His 35 still warms my heart and makes me do just that bit extra, which I have the chance.16. A. loneliness B. sadness C. tiredness D. sickness17.A.set B. enjoyed C. kept D. shared18. A Gladly B. Eventually C. Unfortunately D. Surprisingly19.A.Now B. Then C. Sometime D. Meanwhile20. A .add up to B. make up for C. get rid of D. take advantage of2l.A.lf B .As C .Though D .Before22. A. movement B. condition C. choices D. positions23. A. reaching out B. living up C. getting on D. going back24. A. recognized B. interviewed C. found D. invited25.A.money B. time C. energy D .knowledge26. A. thus B. once C. seldom D. often27. A. actually B. hardly C. nearly D. formerly28.A.job B .family C. idea D. offer29.A. face B .view C. look D: sight30.A. over B. along C. towards D. through31. A. unhappily B. lovingly C. pitifully D. gratefully32.A.pick B .turn C .role D .step33. A. had to cry B. ought to cry C. should have cried D. could have cried34.A. more B. the ones C. few D. the rest35.A. courage B. devotion C. kindness D. trust第二部分：阅读理解（共20小题；每小题2.5分，满分50分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。