沪科版-数学-七年级上册-解一元一次方程的基本步骤有哪些？

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2024年沪科版七年级数学上册 3.3 一元一次方程的应用课时3(课件)

2个边空宽+4个字宽+3个字距=宣纸长
课堂小结
在比例问题中，合理设未知数是解题的关键，常利用参数法间接设未知数. 如：若甲、乙的配比为m∶n，常常设“每一份”为x，即设甲为mx，则乙可表示为nx，然后根据等量关系建立方程模型.
随堂练习
4.今年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为108cm，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为 3∶6∶2，则这张长方形宣纸的面积为 ___3__8_8_8__cm2.
新知探究知识点一元一次方程的应用（三）
解：设需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是x kg， 2x kg，4x kg. 根据题意，得x+2x+4x=210. 解得x=30. 所以2x=60，4x=120. 答：需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是30kg， 60kg，120kg.
随堂练习
1.为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划购买一批篮球和排球. 已知篮球和排球的单价之比为4∶3，单价之和为84元，则篮球的单价为__4_8__元，排球的单价为__3_6__元.
4x=80，5x=100，6x=120.
答：三支服务队分别收割小麦80 hm2，100 hm2，120 hm2.
新知探究知识点一元一次方程的应用（三）
练一练某种中成药需要用到甘草、党参、苏叶三种材料，其中
甘草、党参、苏叶三种材料的质量之比为1∶2∶4. 求生产 210kg这种中成药，需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是多少千克?
例5 三支农机服务队共同为某镇抢收小麦300 hm2. 如果三支

方程及其解法利用去括号解一元一次方程+课件++-+2024-2025学年沪科版七年级数学上册

解．这种解一元一次方程的方法叫作整体求解法．
请你利用整体求解法解方程：
14 − 4(2x + 3) − 3(x − 2) = 8(x − 2) − 2(2x + 3)．
新知预习导学
重点直击导析
素养达标导练
19
解：移项，得−4(2x + 3) − 3(x − 2) − 8(x − 2) + 2(2x + 3) = −14.
素养达标导练
2
课前自测
1.解方程1 − (2x + 3) = 6，去括号的结果是( D ) .
A.1 + 2x + 3 = 6 B.1 − 2x + 3 = 6 C.1 + 2x − 3 = 6 D.1 − 2x − 3 = 6
2.解方程3x + 2(2x − 1) = 1，去括号的结果是( C ) .
9
知识点二利用去括号解一元一次方程的应用
例2 一个两位数，个位数字比十位数字大4，且这个两位数比它个位与
26
十位上的数字之和的3倍大2，则这个两位数是____.
分析只要设其中一位数字为x，就可根据等量关系，用x表示出这个两位
数，然后根据“这个两位数= 3（十位数字+个位数字）+2”，列方程求解.
合并同类项，得−4x = −8．
两边都除以−4，得x = 2．
（2）−3(x − 2) = 2(2 − x)．
解：去括号，得−3x + 6 = 4 − 2x.
移项，得−3x + 2x = 4 − 6.
合并同类项，得−x = −2.
两边都除以−1，得x = 2.
新知预习导学

【沪科版】七年级数学上册教案3.1一元一次方程及其解法教案

第3章一次方程与方程组3．1 一元一次方程及其解法第1课时一元一次方程1．理解一元一次方程的概念．2．掌握等式的基本性质，并会灵活运用等式的性质解一元一次方程．3．体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系．重点对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程．难点对等式基本性质的理解与运用．一、创设情境，导入新知问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地，A，B两地间的路程是多少？1．若用算术方法解决应怎样列算式？2．如果设A，B两地相距x km，那么客车从A地到B地的行驶时间为______，货车从A 地到B地的行驶时间为______．3．客车与货车行驶时间的关系是________．4．根据上述关系，可列方程为________．5．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？二、自主合作，感受新知阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．三、师生互动，理解新知问题1：在参加2008年北京奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人．参加奥运会的跳水运动员有多少人？解析：此题可能有学生在小学的基础上列出算式得出，如(19＋1)÷2.当然上述学生比较少，因为这个算式的建立是不容易的．这样大部分学生的方法是用在小学学过的简易方程，他们也会设出x，建立方程．解：设跳水运动员有x人，则依据题意，得2x －1＝19.注意：此处为了不分散主题，暂不分析这个方程得来的思路．问题2：王玲今年12岁，王玲的爸爸今年36岁，问再过几年，她爸爸的年龄是她年龄的2倍？解析：一般情况下，我们是问什么设什么，我们这儿设过x 年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍．这样用这儿的两倍关系建立等式，即x 年后她爸爸的年龄＝x 年后王玲的年龄×2. 解：设过x 年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍，则依题意，得36＋x ＝2(12＋x)．此处可引导学生将父女两人x 年后的年龄表示出来，以加强互动．探究点一：一元一次方程的有关概念观察以上两个方程，找出其特点：(1)有几个未知数？(2)未知数的次数是几？教师在学生回答的基础上，归纳一元一次方程的概念：只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．回顾一元一次方程的解：使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可叫做方程的根．探究点二：等式的基本性质为了能对方程进行求解，我们必须有依据，什么是依据呢？这就是等式的性质．(方程是一个等式)等式的性质：(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．即如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c.(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．即如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝b c(c≠0)． (3)(对称性)如果a ＝b ，那么b ＝a.(4)(传递性)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c.四、应用迁移，运用新知1．一元一次方程的辨别例1 下列方程中是一元一次方程的是( )A ．x ＋3＝y ＋2B ．1－3(1－2x)＝－2(5－3x)C ．x －1＝1xD .y 3－2＝2y －7解析：A .含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B .化简后含有未知数的项可以消去，不是方程，错误；C .分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D .符合一元一次方程的定义，正确．方法总结：判断一元一次方程需满足三个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)是整式方程．2．利用一元一次方程的概念求字母次数的值例2 方程(m ＋1)x |m|＋1＝0是关于x 的一元一次方程，则( )A ．m ＝±1B ．m ＝1C ．m ＝－1D ．m ≠－1解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧|m|＝1，m ＋1≠0，解得m ＝1. 方法总结：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．3．一元一次方程的解例3 检验下列各数是不是方程5x －2＝7＋2x 的解，并写出检验过程．(1)x ＝2; (2)x ＝3.解析：将未知数的值代入方程，看左边是否等于右边，即可判断是不是方程5x －2＝7＋2x 的解．解：(1)将x ＝2代入方程，左边＝8，右边＝11，左边≠右边，故x ＝2不是方程5x －2＝7＋2x 的解；(2)将x ＝3代入方程，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，故x ＝3是方程5x －2＝7＋2x 的解．方法总结：检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等．4．等式的基本性质例4 已知mx ＝my ，下列结论错误的是( )A ．x ＝yB ．a ＋mx ＝a ＋myC ．mx －y ＝my －yD ．amx ＝amy解析：A .等式的两边都除以m ，依据是等式的基本性质2，而A 选项没有说明m≠0，故A 错误；B .符合等式的基本性质1，正确；C .符合等式的基本性质1，正确；D .符合等式的基本性质2，正确．方法总结：在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，这里的数或字母没有条件限制，但是在等式的两边同时除以同一个数或字母时，这里的数或字母必须不为0.5．利用等式的基本性质解方程例5 见课本P 86例1.方法总结：解方程时，一般先将方程变形为ax ＝b 的形式，然后再变形为x ＝c 的形式．五、尝试练习，掌握新知课本P 87练习第1、2题．《·》“随堂演练”部分．六、课堂小结，梳理新知引导学生回答如下问题：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学思想方法？应注意什么问题？本节课我们学习了一元一次方程的概念，知道了什么是一元一次方程，它需要两个基本条件：一是只含一个未知数，二是未知数的次数只能是一次．同时我们学习了解方程的依据，即等式性质，这个性质中，我们要特别注意第二条，同除的数不可以是0，三是我们学会了利用等式性质对方程进行求解．七、深化练习，巩固新知课本P 90习题3.1第1、2题．《·》“课时作业”部分．第2课时移项解一元一次方程1．理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则．2．会利用移项解一元一次方程．重点理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．难点理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．一、复习旧知，导入新知上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：一边是含有未知数的项，一边是常数项．这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答．问题引入：(1)解方程：2x －52x ＝6－8. (2)观察下列一元一次方程，与上题的类型有什么区别？2x ＋7＝32－2x怎样才能使它向x ＝a(a 为常数)的形式转化呢？二、自主合作，感受新知回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．三、师生互动，理解新知探究点：移项解一元一次方程观察P 86例1解答过程中的第1步：2x －1＝19 ①2x ＝19＋1 ②由方程①到方程②，这个变形相当于把①中的“－1”这一项从方程的左边移到了方程的右边．“－1”这项移动后，发生了什么变化？(改变了符号)总结：根据等式性质1的变形，其实就是把方程的一项改变符号，从一边移到另一边，这种变形我们把它叫做移项．一般地，把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“x ＝a”的形式．移项，一般都习惯把含未知数的项移到等式左边．四、应用迁移，运用新知1．移项例1 通过移项将下列方程变形，正确的是( )A．由5x－7＝2，得5x＝2－7B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋xC．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9解析：A.由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故错误；B.由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故错误；C.正确；D.由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故错误．方法总结：(1)所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置；(2)移项时要变号，不变号不能移项．2．用移项解一元一次方程例2 见课本P87例2.例3 解下列方程：(1)－x－4＝3x；(2)5x－1＝9；(3)－4x－8＝4；(4)0.5x－0.7＝6.5－1.3x.解析：通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可．解：(1)移项得－x－3x＝4，合并同类项得－4x＝4，系数化成1得x＝－1；(2)移项得5x＝9＋1，合并同类项得5x＝10，系数化成1得x＝2；(3)移项得－4x＝4＋8，合并同类项得－4x＝12，系数化成1得x＝－3；(4)移项得1.3x＋0.5x＝0.7＋6.5，合并同类项得1.8x＝7.2，系数化成1得x＝4.方法总结：将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1.特别注意移项要变号．五、尝试练习，掌握新知课本P88练习第1、2题．《·》“随堂演练”部分．六、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？本节课学习掌握了移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程．七、深化练习，巩固新知课本P91习题3.1第3、4(1)(2)、8题．《·》“课时作业”部分．第3课时去括号解一元一次方程1．会用分配律去括号解含括号的一元一次方程．2．经历探索用去括号的方法解方程的过程，进一步熟悉方程的变形，弄清楚每步变形的依据．重点运用去括号法则解带有括号的方程．难点解一元一次方程的步骤，去括号注意事项．一、创设情境，导入新知一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5小时，水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度．(1)题目中的等量关系是__________．(2)根据题意可列方程为__________．你能解这个方程吗？二、自主合作，感受新知回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．三、师生互动，理解新知探究点：去括号解一元一次方程问题：小明家来客人了，爸爸给了小明10元钱，让他买1听果奶饮料和4听可乐．从商店回来后，小明交给爸爸3元钱．如果我们知道1听可乐比1听果奶饮料多0.5元，能不能求出1听果奶饮料是多少钱呢？设置问题串：(1)小明买东西共用去多少元？(2)如何用未知数x表示1听果奶饮料或者1听可乐的价钱？(3)这个问题中有怎样的等量关系？小组充分讨论交流后回答：(1)买东西用去10－3＝7(元)．(2)若设1听果奶饮料为x元时，则1听可乐为(x＋0.5)元；若设1听可乐为x元时，则1听果奶饮料为(x－0.5)元．(3)如：买可乐的钱＋买果奶饮料的钱＝用去的钱．(学生的思路很广泛，也可列成其他形式，只要合理即可)教师在学生回答的基础上，确定出一个方程：设1听果奶饮料x元，则方程为4(x＋0.5)＋x＝10－3.问题串：(1)这个方程与上节课解过的方程在形式上有什么不同？它们有什么联系？(2)它的主要特点是什么？怎样解这个方程？学生可以讨论出以下结论：方程中含有括号，如果去掉括号，就可以利用移项法则进行解方程了，关键步骤就是去括号．回顾去括号法则：⑴括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号．⑵括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．学生自主学习课本P88例3，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过程的认识．注意：(1)方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简．(2)去括号时不要漏乘括号内的任何一项．(3)若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号．(4)－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解方程的过程．四、应用迁移，运用新知1．用去括号的方法解方程例1 解下列方程：(1)4x －3(5－x)＝6；(2)5(x ＋8)－5＝6(2x －7)．解析：先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求得答案．解：(1)4x －3(5－x)＝6，去括号得4x －15＋3x ＝6，移项合并同类项得7x ＝21，系数化为1得x ＝3；(2)去括号得5x ＋40－5＝12x －42，移项、合并同类项得－7x ＝－77，系数化为1得x ＝11.方法总结：解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1.2．根据已知方程的解求字母系数的值例2 已知关于x 的方程3(a －x 3)＝x 2＋3的解为2，求代数式(－a)2－2a ＋1的值．解析：此题可将x ＝2代入方程，得出关于a 的一元一次方程，解方程即可求出a 的值，再把a 的值代入所求代数式计算即可．解：因为x ＝2是方程3(a －x 3)＝x 2＋3的解，所以3(a －23)＝1＋3，解得a ＝2，所以原式＝a 2－2a ＋1＝22－2×2＋1＝1.方法总结：此题考查方程解的意义及代数式的求值．将未知数x 的值代入方程，求出a 的值，然后将a 的值代入整式即可解决此类问题．3．应用方程思想求值例3 当x 为何值时，代数式2(x 2－1)－x 2的值比代数式x 2＋3x －2的值大6?解析：先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．解：依题意得2(x 2－1)－x 2－(x 2＋3x －2)＝6，去括号得2x 2－2－x 2－x 2－3x ＋2＝6，移项、合并同类项得－3x ＝6，系数化为1得x ＝－2.方法总结：先按要求列出方程，然后去括号，移项(把含未知数的项移到方程左边，不含未知数的项移到方程右边)，合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到原方程的解．五、尝试练习，掌握新知课本P 89练习第1、2题．《·》“随堂演练”部分．六、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？本节课学习了解了去括号解一元一次方程的步骤：(1)去括号；(2)移项；(3)合并同类项；(4)系数化为1.七、深化练习，巩固新知课本P 91习题3.1第4(3)(4)、6、9、10题．《·》“课时作业”部分．第4课时去分母解一元一次方程1．掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法．2．加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的一般步骤．重点用去分母的方法解方程．难点去分母时，不漏乘不含分母的项(即整数项)；正确理解分数线的作用，去分母后注意给分子添加括号．一、复习旧知，导入新知1．等式的基本性质2是怎样叙述的呢？2．求下列几组数的最小公倍数：(1)2，3；(2)2，4，5.3．通过上几节课的探讨，总结一下解一元一次方程的一般步骤是什么？4．如果未知数的系数是分数时，怎样来解这种类型的方程呢？那么这一节课我们来共同解决这样的问题．二、自主合作，感受新知回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《·》“预习导学”部分．三、师生互动，理解新知探究点：去分母解一元一次方程1．探索去分母解方程的方法问题：刺绣一件作品，甲单独绣需要15天完成，乙单独绣需要12天完成，现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣，问再合绣多少天可以完成这件作品？学生活动：观察问题情境，弄清题意，分析问题中的等量关系．教师活动：(1)指定一名学生说出问题中的等量关系；(2)引导学生分析，建立方程模型．师生共同分析：(1)题中的等量关系是：甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝工作总量．(2)设工作总量为1，剩下的工作两人合做需x天完成，则115(x＋1)＋112(x＋4)＝1.提出问题：如何解方程115(x＋1)＋112(x＋4)＝1?(1)鼓励学生尝试解这个方程，指定两名学生到黑板演示．(2)巡视学生，对不同的解法，只要合理，都给予肯定．(3)给出两种不同的解法．解法一：去括号，得115x ＋115＋112x ＋412＝1. 移项，得：115x ＋112x ＝1－115－412. 化简，得：320x ＝35. 两边同除以320，得x ＝4. 教师：该方程与前面解过的方程有什么不同？学生：以前学过的方程的系数都为整数，而这一题出现了分数．教师：能否把分数系数化为整数？学生：我们可以根据等式性质2，在方程两边同时乘上一个既是15又是12的倍数60，就可以去掉分母，把分数化为整数．这样使解方程避免计算“分数”的复杂性，使解方程过程简单．解法二：去分母，得4(x ＋1)＋5(x ＋4)＝60.去括号，得4x ＋4＋5x ＋20＝60.移项，得标准形式：9x ＝36.方程两边同除以9，得x ＝4.教师：去分母，方程两边同乘以一个什么数合适呢？学生分组讨论，合作交流得出结论：方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母．于是，解方程的基本程序又多了一步“去分母”．(4)引导学生比较两种解法，得出解法二更简便．2．探索解一元一次方程的具体步骤学生自主学习课本P 89例4，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过程的认识．问题：你能总结一下解一元一次方程都有哪些步骤吗？(学生回顾总结，小组可以讨论交流．)归纳：(1)去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数．注意不可漏乘某一项，特别是不含分母的项，分子是代数式要加括号．(2)去括号——应用分配律、去括号法则，注意不漏乘括号内各项，括号前“－”号，括号内各项要变号．(3)移项——一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，注意移项要变号．(4)化简——一类代数式的加减，要注意只是系数相加减，字母及其指数不变．(5)标准形式的化简——同除以未知数前面的系数，即ax ＝b ⇒x ＝b a. 四、应用迁移，运用新知利用去分母解一元一次方程例1 解方程：(1)x －x －25＝2x －53－3； (2)x －32－x ＋13＝16. 解析：(1)首先方程两边同时乘以分母的最小公倍数15去分母，方程变为15x －3(x －2)＝5(2x －5)－45，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程；(2)先方程两边同时乘以分母的最小公倍数6去分母，方程变为3(x －3)－2(x ＋1)＝6，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程．解：(1)去分母得15x －3(x －2)＝5(2x －5)－45，去括号得15x －3x ＋6＝10x －25－45，移项得15x －3x －10x ＝－25－45－6，合并同类项得2x ＝－76，把x 的系数化为1得x ＝－38；(2)去分母得3(x －3)－2(x ＋1)＝1，去括号得3x －9－2x －2＝1，移项得3x －2x ＝1＋9＋2，合并同类项得x ＝12.方法总结：解方程应注意以下两点：①去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个整体加上括号．②去括号，移项时要注意符号的变化．例2 (1)当k 取何值时，代数式k ＋13的值比3k ＋12的值小1? (2)当k 取何值时，代数式k ＋13与3k ＋12的值互为相反数？解析：根据题意列出方程，然后解方程即可．解：(1)根据题意可得3k ＋12－k ＋13＝1，去分母得3(3k ＋1)－2(k ＋1)＝6，去括号得9k ＋3－2k －2＝6，移项得9k －2k ＝6＋2－3，合并得7k ＝5，系数化为1得k ＝57； (2)根据题意可得k ＋13＋3k ＋12＝0，去分母得2(k ＋1)＋3(3k ＋1)＝0，去括号得2k ＋2＋9k ＋3＝0，移项得2k ＋9k ＝－3－2，合并得11k ＝－5，系数化为1得k ＝－511. 方法总结：先按要求列出方程，然后按照去分母解一元一次方程的步骤解题．五、尝试练习，掌握新知课本P 90练习第1～3题．《·》“随堂演练”部分．六、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？本节课学习了解含有分母的一元一次方程的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项，合并同类项；(4)系数化为1.注意去分母时，不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时，去掉分母要加括号．百度文库教学设计七、深化练习，巩固新知课本P91习题3.1第5、7题．《·》“课时作业”部分．教学资料应有尽有。

2024年沪科版七年级上册数学期末复习极速提分法第7招特殊一元一次方程的十二种解题技巧

移项，得
(

− ) + ＝8－7.

两边同时乘6，得 ( x －1)＋5＝6.

移项，得 ( x －1)＝6－5.
两边同时乘4，得 x －1＝4.
移项，合并同类项，得 x ＝5.
返回
分类训练
分子、分母含小数的一元一次方程
技巧1
1.
巧化分母为1
−.
−.
.−
解方程：
沪科版七年级上
第7招
特殊一元一次方程的十二
种解题技巧
CONTENTS
目
录
01
教你一招
02
典例剖析
03
分类训练
教你一招
解一元一次方程有许多技巧，只要在解题过程中注重研
究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则
就可以达到事半功倍的效果.
返回
典例剖析
解方程：

{ ［ ( x －1)＋5］＋7}＋8＝9.
技巧5
巧用拆分法
5. 解方程：
−
−
−
－
＝
.

【解】拆项，得－－＋＝2－ .

移项、合并同类项，得＝2.
系数化为1，得 x ＝4.
返回
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分类训练

6. 解方程：＋＋

＋＝1.

【解】拆项，得 −

七年级数学上册3.1一元一次方程及其解法(2)教案沪科版

3.1一元一次方程及其解法七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列四个图形中，通过旋转和平移能够全等图形的是()A．③和④B．②和③C．②和④D．①②④【答案】D【解析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案【详解】、②和④都可通过平移或旋转完全重合．故选D．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．2．若点P（m，1-2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】m＋(1－2m)＝0，解得m＝1，所以点P的坐标为(1，－1)．故选D．3．用加减法解方程组87208516x yx y+=-⎧⎨-=⎩①②解题步骤如下：（1）①﹣②，得12y＝﹣36，y＝﹣3；（2）①×5+②×7，得96x＝12，x＝18，下列说法正确的是（）A．步骤（1），（2）都不对B．步骤（1），（2）都对C．此题不适宜用加减法D．加减法不能用两次【答案】B【解析】先观察方程组中两方程的特点，结合加减法可用排除法求出答案．【详解】解：因为在解方程组时并不限制加减消元法使用的次数，所以D显然错误；由于两方程中x的系数相等，故适合用加减法，故C错误；①﹣②，得12y＝﹣36，y＝﹣3，步骤（1）正确，故A错误；故选：B．【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，用加法消元的条件：未知数的绝对值相等，符号相反．用减法消元的条件：未知数的绝对值相等，符号相同．4．下列长度的木棒可以组成三角形的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，6 D．2，2，4【答案】B【解析】根据三角形任意两边的和大于第三边进行判断．+=，不能组成三角形，不符合题意；【详解】A、123+>，能构成三角形，符合题意；B、345+<，不能组成三角形，不符合题意；C、236+=，不能组成三角形，不符合题意；D、224故选B．【点睛】本题考查三角形的三边关系，一般用两条较短的线段相加，如果大于最长那条线段就能够组成三角形．5．某商品的进价是1000元，售价为1500元，为促销商店决定降价出售，在保证利润率不低于5%的前提下，商店最多可降( )A．400元B．450元C．550元D．600元【答案】B【解析】分析：根据题意列出不等式进行解答即可.详解：设商店最多可降价x元，根据题意可得：--≥⨯，x1500100010005%x≤，解得：450∴该商店最多降价450元.故选B.点睛：读懂题意，知道：“利润=售价-进价-降价的金额，利润=进价×利润率”是解答本题的关键.6．若m3，则估计m值的所在的范围是（）A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5【答案】C【解析】根据被开方数越大算术平方根越大以及不等式的性质，可得答案．【详解】解：∵36＜42＜49∴67∴3＜42﹣3＜4即3＜m ＜4故选：C ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出6＜42＜7是解题关键． 7．据5月23日“人民日报”微信公众号文章介绍，中国兵器工业集团豫西集团中南钻石公司推出大颗粒“首饰用钻石”，打破了国外垄断，使我国在钻石饰品主流领域领跑全球，钻石、珠宝等宝石的质量单位是克拉（ct ），1克拉为100分，已知1克拉0.2=克，则“1分”用科学计数法表示正确的是（）A ．20.210-⨯克B ．2210-⨯克C ．3210-⨯ 克D ．4210-⨯克【答案】C 【解析】利用科学计数法即可解答.【详解】解：已知1克拉为100分，已知1克拉＝0.2克，则一分=0.01克拉=0.002克= 2×10－3克，故选C.【点睛】本题考查科学计数法，掌握计算方法是解题关键.8．下列说法正确的是（）A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ．等腰三角形的两个底角相等C ．顶角相等的两个等腰三角形全等D ．等腰三角形一边不可以是另一边的2倍【答案】B【解析】根据等腰三角形的性质和判定以及全等三角形的判定方法即可一一判断．【详解】解：A 、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；故本选项错误； B 、等腰三角形的两个底角相等，故本选项正确；C 、腰不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误；D、腰可以是底的两倍，故本选项错误。

沪科版数学七年级上册：用移项法解一元一次方程教学课件

知2－练
2 方程3x－4＝3－2x的解答过程的正确顺序是( C )
①合并同类项，得5x＝7；
②移项，得3x＋2x＝3＋4；
③系数化为1，得x＝ 7
5
A．①②③
. B．③②①
C．②①③
D．③①②
知2－练
3 若关于x的方程 1 (x＋1)＝a＋7与方程3x－2
2
＝2x＋1的解相同，则a的值为( D )
知2－讲
例4 已知整式5x－7与4x＋9的值互为相反数，求
x的值．解：由题意得5x－7＋4x＋9＝0.移项，得5x＋
4x＝7－9.合并同类项，得9x＝－2.系数化
为1，得x＝－
2. 9
知2－讲
例5 已知|3x－6|＋(2y－8)2＝0，求2x－y的值．
解：由题意，得|3x－6|＝0，(2y－8)2＝0. 所以3x－6＝0，2y－8＝0.解得x＝2，y＝4. 所以2x－y＝2×2－4＝0.
(3)系数化为1：方程的两边都除以未知数的系数 a(a≠0)，得到方程的解x＝ab .
例2 解方程：3x +5 =5x －7. 解：移项，得3x － 5x = － 7 － 5.
合并同类项，得－ 2x = － 12. 两边都除以－ 2,得x = 6.
知2－讲
例3
解方程：
1 x－1＝3＋
5
6 5
kg，李丽平均每小时采摘 7 kg.采摘结束后王芳从她
采摘的樱桃中取出0.25 kg给了李丽，这时两人的樱桃一样多. 设采摘了xh. 她们采摘用了多少时间？ 8x－0.25＝7x＋0.25，
x＝0.5. 答：她们采摘用了0.5h.
方程中移项与多项式项的移动的区分： (1)移项是把方程中的某些项改变符号后从方程的一边

沪科版七年级数学上册教案《一元一次方程及其解法》

《3.1 一元一次方程及其解法》◆教材分析方程是解决问题的一种重要数学模型，应用非常广泛.本节的教学内容是由实际问题抽象出一元一次方程的模型，探究解一元一次方程的一般步骤，为下一节学习一元一次方程的应用做铺垫.本节将使学生的探究能力、计算能力等得到进一步提升，也为学生进一步解决实际问题和二元一次方程组、三元一次方程组、不等式、分式方程等知识打下坚实基础.◆教学目标【知识与能力目标】1. 理解一元一次方程的概念；2. 掌握等式的基本性质，并会灵活运用等式的性质解一元一次方程；3.理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程；4.会用去括号法则解含括号的一元一次方程；5. 掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法；6. 加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的一般步骤.【过程与方法目标】1.经历具体实例的抽象概括过程，形成一元一次方程的模型，进一步培养学生观察、分析、概括和转化的能力；2. 通过探究、交流、反思等活动，进一步体会解一元一次方程的基本步骤，培养学生的化归思想，提升学生的计算能力.【情感态度价值观目标】通过由具体实例抽象概括的思考与学习的过程，培养学生实事求是的态度和独立思考的良好学习习惯.◆教学重难点◆【教学重点】1. 对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程；2. 理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程；3. 运用去括号法则解带有括号的一元一次方程；4. 运用去分母的方法解一元一次方程.【教学难点】1. 对等式基本性质的理解与运用；2. 理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程；3. 运用去括号法则解带有括号的一元一次方程；4. 掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法.◆课前准备◆多媒体课件.◆教学过程一、情境引入问题①在参加2008年北京奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人.参加奥运会的跳水运动员有多少人？(1)如果设参加奥运会的跳水运动员有x人，则用含有x的代数式表示羽毛球运动员为______人；(2)根据上述关系，可列方程为________．问题②王玲今年12岁，她爸爸36岁，问再过几年，她爸爸年龄是她年龄的2倍？(1)如果设再过x年，则用含有x的代数式表示王玲的年龄为______岁，她爸爸的年龄为______岁；(2)根据上述关系，可列方程为________．【设计意图】通过对实际问题的解决，引出一元一次方程的概念，为进一步探究一元一次方程的解法做铺垫.二、探究新知1.一元一次方程的有关概念.问题：观察以上两个方程，找出其特点：2x－1＝19 ①36－x＝2(12＋x) ②(1)有几个未知数？(2)未知数的次数是几？一元一次方程的概念：只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．一元一次方程的解：使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可叫做方程的根．【设计意图】经历探究一元一次方程的概念的过程，使学生掌握一元一次方程的定义以及方程的解的定义.2.等式的基本性质.方程是等式(含未知数的等式)，解方程就是根据等式的性质求方程的解的过程.等式的基本性质：性质1等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．即如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.性质2等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．即如果a＝b，那么ac＝bc，ac =bc(c≠0)．性质3如果a＝b，那么b＝a. (对称性)性质4如果a＝b，b＝a，那么a＝c. (传递性) 例1 解方程：2x－1＝19.解：两边都加上1，得2x＝19＋1，(等式基本性质1)即2x＝20.两边都除以2，得x＝10.(等式基本性质2)检验：把x＝10分别代入原方程的两边，得左边＝2×10－1＝19，右边＝19，即左边＝右边.所以x＝10是原方程的解.【设计意图】经历探究等式的基本性质的过程，使学生掌握等式的性质，从而可以利用等式的性质解一元一次方程.3. 利用移项解一元一次方程.仔细观察例1解答过程中的第1步：2x－1＝19，①2x＝19＋1. ②问题：你发现了什么？由方程①到方程②，这个变形相当于把①中的“－1”这一项从方程的左边移到了方程的右边．问题：“－1”这项移动后，发生了什么变化？改变了符号.总结：根据等式的基本性质1对方程进行变形，相当于把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项．一般地，把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得一元一次方程更接近“x＝a”的形式．移项，一般都习惯把含未知数的项移到等式左边．例2 解方程：3x＋5＝5x－7.解：移项，得3x－5x＝－7－5.合并同类项，得－2x＝－12.两边都除以－2，得x＝6.【设计意图】让学生体验利用移项解一元一次方程的过程与方法，深化对解一元一次方程过程的认识.4. 去括号解一元一次方程.例3解方程：2(x－2)－3(4 x－1)＝9(1－x).解：去括号，得2x－4－12x＋3＝9－9x.移项，得2x－12x＋9x＝9＋4－3.合并同类项，得－x＝10.两边都除以－1，得x＝－10.问题：通过解答上面的方程，你能得出什么结论？方程中含有括号，如果去掉括号，就可以利用移项法则进行解方程了，关键步骤就是去括号．问题：你还记得去括号法则吗？(1)括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号．(2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号．注意：(1)方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简；(2)去括号时，不要漏乘括号内的任何一项；(3)若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号；(4)－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解方程的过程．【设计意图】让学生体验去括号解一元一次方程的过程与方法，深化对解一元一次方程过程的认识．5. 去分母解一元一次方程.例4 解方程：x−10x+16=2x+14−1.解：去分母，得12x－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12.去括号，得12x－20x－2＝6x＋3－12.移项，得12x－20x－6x＝3－12＋2.合并同类项，得－14x＝－7.两边都除以－14，得x＝12.问题：通过解答上面的方程，你能得出什么结论？方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉分母．于是，解方程的基本程序又多了一步“去分母”．问题：你能总结一下解一元一次方程都有哪些步骤吗？(1)去分母：方程两边同乘以各分母的最小公倍数．注意不可漏乘某一项，特别是不含分母的项，分子是代数式要加括号；(2)去括号：应用分配律、去括号法则，注意不漏乘括号内各项，括号前“－”号，括号内各项要变号；(3)移项：一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，注意移项要变号；(4)合并同类项：要注意只是系数相加减，字母及其指数不变；(5)系数化为1：同除以未知数前面的系数，即ax＝b⇒x＝ba.【设计意图】让学生体验去分母解一元一次方程的过程与方法，并总结出解一元一次方程的步骤，深化对解一元一次方程过程的认识.三、巩固练习1. 解方程：2(x＋3)－5(1－x)＝3(x－1).2. 解方程：34[43(12x−14)−8]=32x+1.四、课堂总结问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？1. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．2. 等式的基本性质：性质1如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c.性质2如果a＝b，那么ac＝bc，ac =bc(c≠0)．性质3如果a＝b，那么b＝a.性质4如果a＝b，b＝a，那么a＝c.3.解一元一次方程的步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 略.◆教学反思。

沪科版数学七年级上册《一元一次方程及其解法》教学设计

沪科版数学七年级上册《一元一次方程及其解法》教学设计一. 教材分析《一元一次方程及其解法》是沪科版数学七年级上册的一章内容。

本章主要介绍一元一次方程的概念、性质和解法。

通过本章的学习，学生能够理解一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的解法，并能够运用一元一次方程解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了整数、实数和代数的基础知识。

他们对代数的概念和运算有一定的了解，但可能对一元一次方程的概念和解法较为陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解一元一次方程的定义，并通过例题和练习题让学生熟悉一元一次方程的解法。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的解法，并能够运用一元一次方程解决实际问题。

2.过程与方法：学生能够通过观察、分析和归纳，探索一元一次方程的解法，并能够运用解法解决实际问题。

3.情感态度与价值观：学生能够培养对数学的兴趣和自信心，培养合作和思考的能力。

四. 教学重难点1.重点：一元一次方程的概念和解法。

2.难点：一元一次方程的解法应用。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解一元一次方程的概念和解法，引导学生理解和掌握相关知识。

2.案例分析法：通过例题和练习题，让学生熟悉一元一次方程的解法，并能够运用到实际问题中。

3.小组讨论法：引导学生进行小组讨论，共同探索一元一次方程的解法，培养学生的合作和思考能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示一元一次方程的概念和解法的讲解和例题。

2.练习题：准备一些一元一次方程的练习题，用于巩固学生的学习成果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过引入实际问题，引发学生对一元一次方程的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）讲解一元一次方程的概念和解法，引导学生理解和掌握相关知识。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元一次方程的练习题，巩固学生的学习成果。

4.巩固（10分钟）通过小组讨论和分享，让学生进一步理解和掌握一元一次方程的解法。

沪科版-数学-七年级上册-怎样解带括号的一元一次方程？

初中-数学-打印版
怎样解带括号的一元一次方程？
怎样解带括号的一元一次方程？
难易度：★★★
关键词：方程
答案：
在解答带括号的一元一次方程时，
要按去括号的法则，关于去括号，括号前是加、乘号的，去完括号后，
括号内符号不用变，括号前是减、除号的，去完括号后，括号内符号要变号。

【举一反三】
典例：解方程
思路导引：一般来讲，解决本题的关键在于准确利用去括号法则，即先去小括号再去中括号的顺序进行，括号前是负号的，注意改变符号，一定要细心计算。

去括号,得,
移项,得
合并同类项,得
化系数为1,得x=.
标准答案：x=.
初中-数学-打印版。

沪科版初一数学知识点

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解一元一次方程的五步步骤

解一元一次方程的五步步骤
解一元一次方程的五步骤如下：
步骤一：将方程化为标准形式
将方程整理成形如ax + b = 0的形式，其中a和b分别是常数。

步骤二：合并同类项
将方程中的同类项合并，得到ax = -b的形式。

步骤三：消去系数
将方程两边同时除以系数a，消去x的系数，得到x = -b/a的
形式。

步骤四：验证解是否正确
将x = -b/a代入原方程，验证方程的两边是否相等。

若相等，
则解为正确；若不相等，则解为错误。

步骤五：表示解的特征
根据方程的解的特征，可以判断解的形式：
- 若a = 0且b = 0，方程有无数解。

- 若a = 0且b ≠ 0，方程无解。

- 若a ≠ 0，方程有唯一解x = -b/a。

沪科版七年级上册数学知识点6篇

沪科版七年级上册数学知识点6篇单项式与多项式1、没有加减运算的整式叫做单项式。

（数字与字母的积---包括单独的一个数或字母）2、几个单项式的和，叫做多项式。

其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

说明：①依据除式中有否字母，将整式和分式区分开；依据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进展代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从形状来看。

单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中全部字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

多项式1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数的项的次数，叫做这个多项式的次数。

整式1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不肯定是单项式。

4、整式不肯定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

整式的加减一、代数式1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

2、用数值代替代数式里的字母，根据代数式里的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。

二、整式1、单项式：（1）由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式。

第09讲方程与一元一次方程的解七年级数学上册同步精品课堂(沪科版2024)[含答案]

第09讲方程与一元一次方程的解（8个知识点+4种题型+过关检测）知识点1．方程的定义（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．（2）列方程的步骤：①设出字母所表示的未知数；②找出问题中的相等关系；③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程．在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立．知识点2．方程的解（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．（2）规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．知识点3．等式的性质（1）等式的性质性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．（2）利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．（1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．知识点5．一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．知识点6．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax +bx ＝c ”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a +b ）x ＝c ．使方程逐渐转化为ax ＝b 的最简形式体现化归思想．将ax ＝b 系数化为1时，要准确计算，一弄清求x 时，方程两边除以的是a 还是b ，尤其a 为分数时；二要准确判断符号，a 、b 同号x 为正，a 、b 异号x 为负．知识点7．含绝对值符号的一元一次方程解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．例如：解方程|x |＝2解：去掉绝对值符号 x ＝2或﹣x ＝2方程的解为x 1＝2或x 2＝﹣2．知识点8．同解方程定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）题型一、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项（24-25七年级上·安徽合肥·期中）1．已知方程17ax -=与方程2610x +=的解相同，则a 的值为．（23-24七年级上·安徽六安·期末）2．下列变形正确的是（）A ．由523x x =-，移项得523x x -=B ．由213132x x --=+，去分母得()()221133x x -=+-C ．由()()221331x x ---=，去括号得42391x x ---=D ．把0.170.210.70.03x x --=中的分母化为整数得101720173x x --=（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）3．甲、乙两名学生根据算式“231234P æö´--=ç÷èøW”在“□”内填一个数字，做填数的游戏．(1)若甲填的数字是13，求甲所得的算式P 的值．(2)若乙填入数字后，使得算式P 的值的相反数等于它本身的值，求出乙填入的数字．题型二、解一元一次方程（二）——去括号（23-24七年级上·安徽宿州·期末）4．方程213x +=+▲，▲处被墨水盖住了，已知方程的解2x =，那么▲处的数字是（）A ．2B ．4C ．7D ．9（22-23七年级上·安徽合肥·期末）5．若()21x -的值与2互为相反数，则x 的值为．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）6．解方程：()()375415y y ---=；题型三、解一元一次方程（三）——去分母（23-24七年级上·安徽宣城·期末）7．解方程：1221263x x x++-=+去分母正确的是（）A ．3(1)214x x x +-+=+B ．31264x x x +--=+C ．3(1)(2)64x x x +-+=+D ．3(1)(2)14x x x+-+=+（23-24七年级上·安徽池州·期末）8．我们知道，含有未知数的等式叫做方程，若规定符号“Ä”的运算意义为22a ba b +Ä=，则方程32x x Ä=Ä的解是．（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）9．解方程：2121136x x -++=题型四、解一元一次方程——拓展（23-24七年级上·安徽六安·期末）10．如果2m =，那么关于x 的方程()()1311m x x -=-+的解是（）A ．0x =B ．1x =-C ．1x =D ．2x =（21-22七年级上·安徽淮南·期末）11．若方程213x +－2=x －1与方程x +m =3的解的绝对值相等，则m = ．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“最美方程”，例如：方程48x =和10x +=为“最美方程”．(1)若关于x 的方程30x m +=中与方程4210x x -=+是“最美方程”，求m 的值；(2)若“最美方程”的两个解的差为7，其中一个解为n ，求n 的值；(3)若关于x 的一元一次方程1322023x x k +=+和1102023x +=是“最美方程”，求关于y 的一元一次方程()113222023y y k ++=++的解．一、单选题13．代数式32a -与2a +的值相等，则a 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．314．下列各式中，一元一次方程的个数是（）①325+=；②324x -=；③()321x x =+；④23x +．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．方程21552234x x---=-去分母得（）A ．()()42152352x x --=--B ．()()32158452x x --=--C ．()()32156452x x --=--D ．()()421524352x x --=--16．在解方程123123x x -+-=时，去分母正确的是（）A ．()()312231x x --+=B ．()()312231x x -++=C ．()()312236x x -++=D ．()()312236x x --+=17．下列等式变形不一定成立的是（）A ．若a b =，则22a b +=+B ．若a b =，则22a b -=-C ．若ac bc =，则a b=D ．若a bc c=，则a b =18．关于x 的一元一次方程()22312x x -=-和82(1)k x -=+的解相同，则k 的值为（）A ．133B ．11C ．113D ．1319．解方程2134134x x ---=时，去分母正确的是（）A ．()4219121x x ---=B ．()()42133412x x ---=C ．()4219121x x --+=D ．()()42133412x x -+-=20．下列解方程步骤正确的是（）A ．由2431x x +=+，得2314x x -=+B ．由()()7133x x -=+，得7133x x -=+C ．由0.20.32 1.3x x -=-，得23213x x -=-D ．由12236x x -+-=，得22212x x ---=21．下列方程的变形正确的是（）A ．由 3526x x -=+，得 3265x x +=+B ．由 83137x x -+=--，得 13837x x -=--C ．由 7334x x +=+，得 7343x x -=+D ．由 57211x x --=-，得 11725x x -=-22．下列各题中的变形属于移项的是（）A ．由572x y -=，得27+5y x -=B ．由634x x -=+得634x x -=+C ．由85x x -=-得58x x --=--D ．由931x x +=-得319x x -=+二、填空题23．已知二元一次方程24x y -=，用含x 的代数式表示y 为．24．关于x 的方程(2)8 (2)a x a +=¹-的解是．25．已知关于y 的方程213y m -+=与3y m -=的解相同，则m = ．26．明明在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了13x x -=-●，他翻阅了答案知道这个方程的解为2x =，于是他判断●应该是．三、解答题27．解方程：2151136x x --+=．28．补全解方程5832x x -=--的过程：解：移项，得5x +___2=-______．合并同类项，得________________=____________．系数化为1，得x =________________．29．若方程5421x x -=-的解与关于x 的方程2(2)35x k x -=+的解互为相反数，求k 的值．30．如图，将一块长方形铁皮的4个角各剪去一个边长为1m 的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为315m 的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多2m ．设该长方体箱子底面的宽为m x ．(1)用含x 的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积；(2)请根据题意列出关于x 的方程．31．已知关于x 的方程()1280m m x n -++=是一元一次方程．(1)求m 的值；(2)若该方程的解与关于x 的方程21125x n x +++=的解相同，求n 的值．32．解方程(1)()8122x x =-；(2)2151136x x +--=．33．如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m ）(1)其中客厅的面积为220m ，求y 的值为______；用含x 的式子表示这所住宅的总面积S =______；(2)若铺1平方米地砖平均费用100元，当5x =米时，这套住宅铺地砖总费用为多少元．(3)当面积为()2241m x +时，求x 的值．34．定义一种新运算“*”：*a b ab a b =-+．例如3*131311=´-+=，()()2*2222222a a a a =´-+=+．(1)计算：()5*1-的值；(2)已知()2*32*m m =，求m 的值．35．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格；多面体顶点数（V ）面数（F ）棱数（E ）四面体44①________长方体8612正八面体②________812正十二面体2012③________你发现顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是________．(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x y +的值．1．4【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得2610x +=的解，把解代入方程17ax -=，解方程可得答案．【详解】解：2610x +=解得：2x =，∵方程17ax -=与方程2610x +=的解相同，∴把2x =代入17ax -=得：21=7a -，解得：4a =．故答案为：42．D【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，常用步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1．根据解一元一次方程的步骤计算，并判断．【详解】解：A 、由523x x =-，移项得：523x x -=-，不符合题意；B 、由213132x x --=+，去分母得：()()221633x x -=+-，不符合题意；C 、由()()221331x x ---=，去括号得：42391x x --+=，不符合题意；D 、把0.170.210.70.03x x --=中的分母化为整数得101720173x x --=，符合题意，故选：D ．3．(1)4-(2)乙填入的数字为0．【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解一元一次方程．（1）原式先计算乘法和乘方，再进行加减运算即可得到答案；（2）根据“相反数等于它本身的数只能是0”，列出方程，解方程求解即可．【详解】（1）解：当□填13时，23112343P æö=´--ç÷èø311212943=´-´-949=--4=-；（2）解：设□填的数为x ，Q 相反数等于它本身的数只能是0，\2312304x æö´--=ç÷èø，解得0x =，\乙填入的数字为0．4．C【分析】本题考查整式方程的解求参数．根据题意将2x =代入213x +=+▲中即可求得本题答案．【详解】解：∵方程的解2x =，∴将2x =代入213x +=+▲中得：2213+=+▲，整理得：29+=▲，∴▲=7，故选：C ．5．0【分析】此题考查了相反数的定义和解一元一次方程，直接利用相反数的定义得出()2120x -+=，进而得出答案．【详解】解：∵()21x -的值与2互为相反数，∴()2120x -+=，解得：0x =．故答案为：06．7y =【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．【详解】解：()()375415y y ---=去括号得，32120515y y --+=，移项得，35152120y y +=++，合并同类项得，856y =系数化为1得，7y =．7．C【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据去分母的法则，等式的性质即可得出答案，注意不要漏乘常数项．熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．【详解】解：1221263x x x ++-=+，去分母得：3(1)(2)64x x x +-+=+，故选：C ．8．1x =【分析】本题考查对题干中新运算的理解，根据22a b a b +Ä=，表示出32x x Ä=Ä，再结合一元一次方程的解题方法即可解题．【详解】解：由题知，32x x Ä=Ä可化为32422x x ++=，整理得324x x +=+，解得1x =．故答案为：1x =．9．32x =-【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤进行计算即可．本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．【详解】解： 2121136x x -++=去分母，得()221621x x -+=+去括号，得42621x x -+=+移项，得42126x x -=+-合并同类项，得23x =-化系数为1，得32x =-．10．A【分析】本题考查了解一元一次方程，将2m =代入方程()()1311m x x -=-+求解即可．【详解】解：当2m =时，方程()()1311m x x -=-+为()()21311x x -=-+，解得0x =，故选：A ．11．5或1＃＃1或5【分析】根据题意解出两方程的解，得到等式并分情况讨论得到m 的值．【详解】解：21633x x +-=-，32163x x -=-+，2x =-，解：3x m +=，3x m =-，所以，32m -=-，当321m m -==，解得：，当325m m -==，解得：．故m 的值为：1或5．【点睛】本题主要考查一元一次方程的求解，绝对值的性质；正确解出一元一次方程的解，以及掌握绝对值的性质是解题的关键．12．(1)9m =(2)3n =-或4n =；(3)2023y =【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“最美方程”的定义是解题关键．（1）先求出两个方程的解，再根据“最美方程”的定义，即可求出m 的值；（2）根据“最美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据两个解的差为7，即可求出n 的值；（3）先求出方程1102023x +=的解，进而得出1322023x x k +=+的解，再将方程()113222023y y k ++=++可化为()()113212023y y k ++=++，即可求出y 的值．【详解】（1）解：30x m +=Q ，3m x \=-，4210x x -=+Q ，4x \=，Q 方程30x m +=中与方程4210x x -=+是“最美方程”，413m \-+=，解得：9m =（2）解：Q “最美方程”的两个解中，一个解为n ，\方程的另一个解为1n -，Q 这两个解的差为7，17n n \--=或()17n n --=，解得：3n =-或4n =；（3）解：1102023x +=Q ，2023x \=-，Q 方程1322023x x k +=+和1102023x +=是“最美方程”，\方程1322023x x k +=+的解为()120232024--=，Q 关于y 的一元一次方程()113222023y y k ++=++可化为()()113212023y y k ++=++，12024y \+=，2023y \=．13．C【分析】根据题意列等式方程，解一元一次方程即可．【详解】解：由题意可得：322a a -=+，解得：2a =，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程，做题关键是掌握解一元一次方程．14．B【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程判断即可．【详解】解：①325+=，不含未知数，不是一元一次方程；②324x -=，符合条件，是一元一次方程；③()321x x =+，符合条件，是一元一次方程；④23x +不是等式，故不是一元一次方程，∴共有2个一元一次方程，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．15．D【分析】根据等式的性质2，方程两边都乘12即可．【详解】解：21552234x x ---=-，去分母，得4（2x −15）-24＝-3（5-2x ），故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确运用等式的性质进行变形是解此题的关键．16．D【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法-去分母，解题关键是确定分母的最小公倍数；方程两边同乘以最小公倍数6即可，解题时注意符号的变化和不要漏乘；【详解】解：去分母，得：()()312236x x --+=，故选：D ．17．C【分析】根据等式的性质：等式两边同时加（减）同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘（除）同一个不为0的数或整式，等式仍然成立；逐一判定即可．【详解】解：A 、若a b =，则22a b +=+，选项正确，不符合题意；B 、若a b =，则22a b -=-，选项正确，不符合题意；C 、若ac bc =，且0c ¹时，则a b =，选项不正确，符合题意；D 、若a b c c=，则a b =，选项正确，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了等式的性质；熟练掌握等式的性质是解题的关键．18．C【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，一元一次方程的解等知识点，能得出关于k 的方程是解此题的关键．先求出第一个方程的解，把求出的76x =代入第二个方程，再求出k 即可．【详解】解：解方程2(23)12x x -=-得：76x =，∵关于x 的方程2(23)12x x -=-和82(-=+k x 1)的解相同，∴把76x =代入方程82(1)k x -=+得：82-=´k 716æö+ç÷èø，解得：113k =，∴当113k =时，关于x 的方程2(23)12x x -=-和82(1)k x -=+的解相同．故选：C ．19．B【分析】方程两边同时乘以12，计算即可得到答案．【详解】解：2134134x x ---=去分母得：()()42133412x x ---=，故选B ．【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握去分母的方法是解题的关键．20．D【分析】根据一元一次方程的解题步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤一一判断即可．【详解】解：A 、由2431x x +=+，得2314x x -=-，移项错误，不符合题意；B 、由()()7133x x -=+，得7739x x -=+，去括号错误，不符合题意；C 、由0.20.32 1.3x x -=-，得232013x x -=-，等式性质运用错误，不符合题意；D 、由12236x x -+-=，去分母得；()()21212x x --+=，去括号得：22212x x ---=，去分母，去括号正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．21．B【分析】本题考查解一元一次方程，移项问题．根据移项法则是移项变号，清楚移项是指把方程中的某一项或某些项，改变符号后，从方程的一边移到另一边，规则是不移动的项放在最前边，移动的项放在后边，便于检查．【详解】解：A 、由 3526x x -=+，得 3265x x -=+，故原式变形错误，不符合题意；B 、由 83137x x -+=--，得 13837x x -=--，故原式变形正确，符合题意；C 、由 7334x x +=+，得 7343x x -=-，故原式变形错误，不符合题意；D 、由 57211x x --=-，得 11725x x -=+，故原式变形错误，不符合题意；故选：B ．22．C【分析】本题考查了等式的性质和应用，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键；根据等式的性质中移项的法则，逐项判断即可．【详解】A ．由572x y -=，得275y x -=+，将方程右边2移到左边变为2-，将方程左边57x y -移到右边变为7+5y x 错误，不属于移项，故选项不符合题意；B ．由634x x -=+，得634x x -=+，等号右边运用了加法的交换律，不属于移项，故选项不符合题意；C ．由85x x -=-得58x x --=--，将方程右边x 移到左边变为x -，将方程左边8移到右边变为8-，故属于移项，符合题意；D ．由931x x +=-，得319x x -=+，运用了等式的对称性，不属于移项，故选项不符合题意．故选：C ．23．122y x =-【分析】先移项，再把y 的系数化为1即可．【详解】解：移项得，24y x -=-，将y 的系数化为1得，122y x =-．故答案为 122y x =-．【点睛】本题主要考查二元一次方程的变形，熟知等式的基本性质是解答此题的关键．24．82x a =+【分析】本题考查了解一元一次方程，注意等式两边同时乘或除以一个不为0的数，所得结果仍然是等式．根据2a ¹-，得到20a +¹，方程两边都除以(2)a +即可求得方程的解．【详解】解：∵2a ¹-，∴20a +¹，方程两边都除以(2)a +得：82x a =+，故答案为：82x a =+．25．12##0.5【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m 的方程，从而可以求出m 的值．【详解】解：由213y m -+=，得()312y m =-+，由3y m -=，得3=+y m ，由关于y 的方程213y m -+=与3y m -=的解相同，得()3123m m -+=+，解得12m =．故答案为：12．【点睛】本题考查了同解方程，解决的关键是能够求解关于y 的方程，根据同解的定义建立方程．26．5【分析】直接把2x =代入到方程13x x -=-●中进行求解即可．【详解】解：设●用a 表示，把2x =代入方程得2213a -=-，解得：5a =．故答案是：5．【点睛】本题主要考查了一元一次方程解的定义，解一元一次方程，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．27．1x =【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．【详解】2151136x x --+=去分母得，()()221516x x -+-=，去括号得，42516x x -+-=，移项得，45612x x +=++，合并同类项得，99x =，化系数为1，1x =．28．3x ；8+；8x ；6；34【分析】按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．【详解】解：移项，得5328x x +=-+，合并同类项，得86x =，系数化为1，得34x =．故答案为：3x ；8+；8x ；6；34．【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．29．1k =-【分析】本题考查了解一元一次方程，以及方程的解的定义．先解方程5421x x -=-得1x =，根据题意得到关于x 的方程2(2)35x k x -=+的解为1x =-，再根据方程解的定义代入即可求得1k =-．【详解】解：解方程5421x x -=-得1x =，因为方程5421x x -=-的解与关于x 的方程2(2)35x k x -=+的解互为相反数，所以关于x 的方程2(2)35x k x -=+的解为1x =-，所以2(2)35k --=-，解得1k =-．30．(1)()2x x +(2)()215x x +=【分析】本题考查了列方程，列代数式；（1）长方体盒子底面的宽为m x ，则长为()2m x +；容积=长×宽×高；（2）令(1)代数式表示出的容积=15即可．【详解】（1）长方体盒子底面的宽为m x ，则长为()2m x +．容积为()()212x x x x +´=+；（2）根据题意，得()215x x +=31．(1)2(2)83-【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及同解方程：（1）利用一元一次方程的定义即可求出m 的值；（2）把m 的值代入方程求出方程的解，根据方程同解的条件列式可得n 的值．【详解】（1）∵关于x 的方程()1280m m xn -++=是一元一次方程，∴11m -=，20m +¹，解得：2m =；（2）当2m =时，方程为：480x n +=，解得：2x n =-，21125x n x +++=，()()510221x n x ++=+，542105x x n -=--，58x n =--,∴582n n --=-，∴83n =-．32．(1)6x =；(2)3x =-；【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算．（1）本题考查解一元一次方程，去括号，移项合并同类型，系数化为1即可得到答案；（2）本题考查解一元一次方程，去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；【详解】（1）解：去括号得，81224x x =-，移项得，81224x x -=-，合并同类项得，424x -=-，系数化为1得，6x =；（2）解：去分母得，2(21)(51)6x x +--=，去括号得，42516x x +-+=，移项得，45621x x -=--，合并同类项得，3x -=，系数化为1得，3x =-．33．(1)5，()22229mx x ++(2)这套住宅铺地砖总费用为6400元；(3)6x =．【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值．（1）根据长方形面积公式即可求出y 的值；根据这所住宅的总面积等于各部分图形面积之和即可得出答案；（2）把5x =代入（1）中的代数式求值即可，然后乘以100即可得出这套住宅铺地砖总费用；（3）根据题意列出式子2222941x x x ++=+，即可求出x 的值．【详解】（1）解：由题意得，420y =，解得5y =，∴这所住宅的总面积()22220332229m S x x x x =++´+=++，故答案为：5，()22229m x x ++；（2）解：当5x =时，222295252925102964x x ++=+´+=++=，100646400´=（元），答：这套住宅铺地砖总费用为6400元；（3）解：由题意得，2222941x x x ++=+，∴212x =，解得6x =．34．(1)11-(2)5m =-【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握新运算的法则，是解题的关键．（1）根据新运算，列出算式进行计算即可；（2）根据新运算，列出方程进行计算即可．【详解】（1）解：()()()5*1515155111-=´--+-=---=-；（2）∵()2*3232343,2*2232m m m m m m m m =×-+=+=-+=-，∴4332m m +=-，∴5m =-．35．(1)6，6，30，2V F E +-=(2)20(3)26【分析】（1）观察图形，即可得出各个几何体的顶点数，面数和棱数，观察其变化，总结出一般规律即可；（2）设该几何体的顶点数为V ，则面数为8V -，列出方程求解即可；（3）先根据顶点数，求出棱数，再根据（1）中的顶点，面和棱的关系式，即可求解．【详解】（1）解：由图可知：四面体棱数为6，正八面体顶点数为6，正十二面体棱数为30；顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是：2V F E +-=；故答案为：6，6，30，2V F E +-=；（2）设该几何体的顶点数为V ，则面数为8V -，()8302V V +--=，解得：20V =，故答案为：20；（3）∵该多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，∴该多面体有483722´=条棱，设该多面体表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，则该多面体一共有x y +个面，∴()48722x y ++-=，解得：26x y +=．【点睛】本题主要考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，解题的关键是仔细观察图形，得出欧拉公式：顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式是：2V F E +-=．。

沪科版七年级数学上册第三章：3.1 一元一次方程及其解法教案设计

第3章一次方程与方程组3.1 一元一次方程及其解法第1课时一元一次方程【教学目标】【知识与技能】1.经历对实际问题中数量关系的分析，建立一元一次方程的过程，体会学习方程的意义在于解决实际问题.2.通过观察，归纳一元一次方程的概念.3.理解等式的基本性质，并利用等式的基本性质解一元一次方程.4.初步认识方程模型，体会数学模型思想，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力.【过程与方法】从一个学生熟悉的实例引入一元一次方程，并通过各种师生活动加深学生对“一元一次方程”的概念和等式的基本性质的理解；并使学生会利用等式的基本性质解方程，逐步提高学生解决问题的能力.【情感态度】从学生的生活实际中提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，培养学生思维严谨的良好素养.【教学重点】重点是对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程.【教学难点】难点是对等式基本性质的理解与运用.【教学过程】一、情境导入,初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：判断下列各式是不是方程？（1）m＝0；（2）-2+5=3；（3）x>3；（4）x＋y＝8；（5）2a+b; (6)2x2-4x＋1=0.你能说出什么是方程吗？【情境2】实物投影，并呈现问题：（1）情境漫画：好马和劣马沿同一条路径旅行，好马每天走240里，劣马每天走150里，劣马先走12天，好马若干天可以追上劣马.你能列出相应的方程吗？（2）学生问老师多少岁，老师说我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就41岁了.请你算算老师、学生各多少岁？你能列出方程吗？你能说出以上两个方程的共同点吗？【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确地列出方程，从而得出一元一次方程的概念.情境1中（1）（4）（6）是方程，含有未知数的等式叫做方程.情境2中（1）设好马x天追上劣马，列方程240x=150×12+150x；（2）学生15岁，老师28岁.设学生x岁，则老师（2x-2）岁，列出方程2x-2+x-2=41.两个方程都含有一个未知数，未知数的次数是1，且方程的两边都是整式.【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会到数学模型的意义，发展学生的应用意识.通过前面的情景引入，激发学生的探究欲望，并使学生获得大量的感性材料，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1.一元一次方程问题1什么是一元一次方程？问题2什么是一元一次方程的解？【教学说明】学生通过阅读教材和观察生活，在经过观察、分析后能得出结论.【归纳结论】只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.一元一次方程的解也叫一元一次方程的根.2.等式的基本性质问题1等式的基本性质的内容是什么？问题2什么是等量代换？【教学说明】一方面让学生经历用字母表示数，在用字母表示数和数量关系的过程中体会用字母表示数的意义，另外发展学生运用符号的意识.【归纳结论】等式的基本性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.用式子形式表示为：如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a-c＝b-c.性质2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式.用式子形式表示为：如果a＝b，那么ac＝bc，a bc c=(c≠0).性质3：如果a＝b，那么b＝a.(对称性).性质4：如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(传递性).在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换.三、运用新知，深化理解1.下列各式哪些是一元一次方程( ).A.S＝12ab B.x-y＝0 C.x＝0D.123x+＝1 E.3-1＝2 F.4y-5＝1G.2x2＋2x＋1＝0 H.x＋2.2.说明下列变形是根据等式的哪一条基本性质得到的？（1）如果5x+3=7，那么5x=4（2）如果-8x=16，那么x=-2（3）如果3x=2x+1，那么x=1（4）如果-8＝y，那么y＝-8.3.检验下列各数是不是方程4x+1=9的解.（1）x=2 （2）x=3.4.利用等式的性质解方程：（1）2x-4=18 （2）2y+8=5y【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有更加明确的认识.【答案】 1.C F2.（1）等式的基本性质1 （2）等式的基本性质2（3）等式的基本性质1 （4）等式的基本性质33.（1）把x=2分别代入方程的左边和右边，得左边=4×2+1=9，右边=9，因为左边=右边，所以x=2是方程4x+1=9的解.（2）把x=3分别代入方程的左边和右边，得左边＝4×3+1=13，右边=9，因为左边≠右边，所以x=3不是方程4x+1=9的解.4.（1）x=11（2）y=8 3四、师生互动，课堂小结1.什么叫一元一次方程？等式的基本性质是什么？2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.【课后作业】1.布置作业：从教材第87页“练习”和教材第90页“习题3.1”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.【教学反思】本节课精心预设教学的各个环节，给学生提供了较大的思考空间，创设了多个贴近学生认知规律且适合学生学习的教学情境，使学生在现实情境中了解一元一次方程的概念和等式的基本性质.列出方程表示问题中的“等量关系”，体会建立数学模型的思想.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.第2课时解一元一次方程—移项与合并同类项【教学目标】【知识与技能】1.理解移项的概念.2.能够运用移项、合并同类项解一元一次方程.3.进一步让学生体会转化的思想，培养学生独立思考问题的能力.【过程与方法】在学生掌握等式的基本性质的基础上，引入移项法解一元一次方程，并通过各种师生活动加深学生对“移项”的概念方法运用的理解；并使学生会用移项解一元一次方程，在解决问题的过程中体会转化的思想.【情感态度】从学生已有的知识中提出问题，既体现知识的连贯性，又体现知识的应用性，通过对移项法解方程的学习，培养学生的应用能力.同时还有利于激发学生的学习兴趣.【教学重点】重点是合并同类项、移项法解方程.【教学难点】难点是灵活运用合并同类项、移项法解方程.【教学过程】一、情境导入,初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：（1）合并同类项的法则是怎样的？（2）某校三年共买了新桌椅270套，去年买的数量是前年的2倍，今年又是去年的3倍，前年这个学校买了多少套桌椅？请你帮忙解决一下，你准备怎么做，谁能说一说自己的想法.请说出你的理由？【情境2】实物投影，并呈现问题：把若干本书发给学生，如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本，问这个班有多少名学生？思考对于所列出的方程如何把它向x＝a的形式转化？在解方程的过程中，你们能发现什么？【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生设出未知数并列出方程.在学生解决问题的过程中，让学生自己在解决问题的过程中发现解决问题的方法，从而总结出移项时，要改变符号.情境1（1）合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变.（2）中设前年购买新桌椅x 套，可以表示出：去年购买了2x 套，今年购买了6x 套.列出方程x ＋2x ＋6x ＝270.方程的左边直接合并同类项，可得9x=270，利用等式的基本性质2求出方程的解x=30.情境2中设有x 名学生，列出方程4x ＋2＝5x-5.利用等式的基本性质，方程两边都减（4x ＋2）再两边同时加7得出x=7.在利用等式的基本性质时，可以看做把方程的一边的某项变号后移到另一边.【教学说明】通过知识的回顾，让学生体会到数学知识的连贯性，同时让学生体验用已有知识解决新问题的成功感受.激发学生学习的兴趣，培养学生学习数学的自信心.二、思考探究，获取新知移项问题1 什么是移项？移项的依据是什么？问题2 移项的目的是什么？移项的过程是怎样的？【教学说明】学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.移项的依据是等式的基本性质 1.移项的目的是把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边.移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程.即对移动的项进行变号的过程，没有移动的项则不变号.三、运用新知，深化理解1.下列变形中属于移项的是（）.A.由15x =1得x=15 B.由3x=1得x=13C.由3x-2=0得3x=2D.由-3+2x=7得2x-3=72.通过移项将方程变形，错误的是( )A.由3x-4＝-2x＋1，得3x-2x＝1＋4B.由y＋3＝2y-4，得y-2y＝-4-3C.由3x-2＝-8，得3x＝-8＋2D.由y＋2＝3-3y，得y＋3y＝3-23.关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为（）A.2B.3C.4D.54.在方程3x-12=1，13x+1=12，6x-5=2x-3，x+12=2x中与方程2x=1的解相同的方程有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.方程4x＋3＝-3x-1的解x＝_______.6.解方程：（1）0.6x＝50＋0.4x（2）4x-2＝3-x（3）-10x+2=-9x+87.（1）当y是什么值时，5y-10与18-3y的值相等？（2）当y是什么值时，5y-10与18-3y的值互为相反数？【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】 1.C 2.A 3.D 4.D5.4 76.解：（1）移项，得0.6x—0.4x=50 合并同类项，得0.2x=50系数化1，得x=250（2）移项，得4x+x=3+2合并同类项，得5x=5系数化为1，得x=1（3）移项，得-10x+9x=8-2合并同类项，得-x=6系数化为1，得x=-67.（1）5y-10=18-3y解得y=7 2（2）5y-10+18-3y=0解得y=-4四、师生互动，课堂小结1.什么是移项？移项的过程是怎样的？2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.【课后作业】1.布置作业：从教材第88页“练习”和教材第91页“习题3.1”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.【教学反思】本节是用“移项”、“合并同类项法”来解一元一次方程.通过本节教学，使学生认识到方程是更方便、更有力的数学工具，体会解法中蕴涵的化归思想，这将为后面几节进一步讨论一元一次方程中的“去括号”和“去分母”的解法准备理论依据.因此这节课是一节承上启下的课.在解决问题的过程中使学生了解到数学的价值，发展“用数学”的信心，提高了学生的数学素养.第3课时解一元一次方程—去括号与去分母【教学目标】【知识与技能】1.掌握方程变形中的去括号和去分母.2.掌握解一元一次方程的一般步骤.3.通过一元一次方程解法及步骤的探究，体会化归思想，发展学生解决问题和分析问题的能力，培养学习具体问题具体分析的科学态度.【过程与方法】从学生熟悉的移项、合并同类项解方程的基础上，引出通过去括号和去分母解一元一次方程，并通过各种师生活动加深学生对解一元一次方程步骤的理解；使学生在经历学习解方程的过程中，体会转化的思想.【情感态度】从学生已掌握的知识的基础上提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，培养学生思维严谨的良好素养.【教学重点】重点是灵活掌握和运用解一元一次方程的基本程序【教学难点】难点是解方程时如何去分母.（①不漏乘不含分母的项②注意给分子添加括号.）【教学过程】一、情境导入,初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：同学们，目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引入了未知数，建立方程，对未知数加以运算.而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家——“代数学之父”丢番图.丢番图的墓志铭：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一又过十二分之一，两颊长胡.再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？思考所列方程与已学方程有什么区别？你能否把它转化为已学方程的形式？【情境2】实物投影，并呈现问题：解方程（1）4(2-x)-60＝3(x-1)（2）2157146y y ---= 【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确列出方程，发现所得方程与已学方程的不同，从而引导学生发现解决问题的方法.得出解一元一次方程的一般步骤.情境1中设丢番图去世时的年龄为x 岁，得出方程11115461272x x x x x +++++=方程中有分数，可以利用等式的性质2把方程中的分数转化为整数.情境2中（1）x=-7；（2）y=14- 【教学说明】通过现实情景再现，让学生通过列方程，发现所列方程与已学方程的区别，将未知问题转化为已学的知识，培养学生分析和解决问题的能力.同时，在已有的知识中获得解决问题的方法，也激发了学生学习数学的信心.二、思考探究，获取新知解一元一次方程的一般步骤问题1解一元一次方程的一般步骤是什么？问题2每一步中的依据及应注意的问题是什么？【教学说明】学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.具体见下表：1.数学小诊所：小马虎的解法对吗？如果不对，应怎么改正？解方程2141136 x x--=-解：去分母2（2x-1）=1-4x-1去括号4x-1=1-4x-1移项4x+4x=1-1+1合并8x=1系数化为1 x=8【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对单项式与多项式的概念，单项式的系数和次数、多项式的次数、常数项有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.不对，应为：去分母：2（2x-1）=6-（4x-1）去括号：4x-2=6-4x+1移项：4x+4x=6+1+2合并：8x=9系数化为1：x=9 82.解：去括号，得12x-14-3＝32x＋1.移项，合并同类项，得-x＝17 4.两边同除以-1，得x＝-17 4.3.解：(1)去分母：3(x+1)-(x+1)=6. 去括号：3x+3-x-1=6移项：3x-x=6-3+1合并同类项：2x=4系数化1：x=2.(2)分母小数化整：490532 523 x x x--+-=去分母，得6(4x-90)-15(x-5)＝10(3+2x).去括号，得24x-540-15x+75=30+20x.移项，合并同类项，得-11x＝495.系数化为1，得x＝-45.四、师生互动，课堂小结1.解一元一次方程的一般步骤是什么？2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.【课后作业】1.布置作业：从教材第89、90页“练习”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.【教学反思】本课从情境故事和回顾知识入手，让学生自主发现解决问题的方法.在引导学生进行观察分析、归纳总结、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，能激发学生的好奇心与求知欲，提高课堂效率.。

沪科版数学七年级上册一元一次方程解法课件

左
右
a= b
ac
bc
左
右
a b =
你还能发现类
a+c = b+c 似的规律吗？
天平保持平衡
天平两边同时扩大到本来相同的倍数，天平依然平衡。
天平两边同时缩小到本来的几分之几，天平依然平衡。
aaa
bbb
总结提升等式的基本性质
【等式性质1】如果a=b,那么a±c=b±c.
【等式性质2】如果a=b,那么ac=bc.
总结提升
今天你学了什么？说说看！
一，了解一元一次方程的概念二，利用等式的性质解简单的一元一次方程
布置作业
课堂作业： (1) P90习题第1、2题； (2) 预习下一节内容.
猜猜你的年龄
把你的年龄乘以2减去5的得数告知我，我就能猜出你的年龄。
设你的年龄为X，得：
2X-5=某个数
根据题意，得：
2x+10=40
解方程，得 x =15
(2)小明今年12岁，他爸爸 36岁，问再过几年，他爸爸年龄是他年龄的2倍？
解：设再过x年，小明的年龄是(12+x)岁，他爸爸的年龄为(36+x)岁，是他年龄的2倍，得：
36 x 2(12 x)
x=12
合作探究
这些方程之间有什么共同的特点
两边都除以2，得 x=15
等式基本性质1 等式基本性质2
检验：
把 x=15 分别代入原方程的两边，得
左边=2 15+10=40，
右边=40 即左边=右边.
所以 x=15 是原方程的解.
当堂训练
根据等式的基本性质解下列方程.
(1)4x － 15 = 9

数学沪科版七年级(上册)3.1.2-利用移项解一元一次方程-

移项得
3x－4x＝－25－20，
合并同类项得－x＝－45，
系数化成1得x＝45.
答：这个班有45人.
拓展提升
解下列方程 4 | x | 3 6
解：移项，得： 4 | x | 6 3
化简，得： 4 | x | 9
方程两边同时除以4，
得：| x | 9 4
x9 4
课堂小结
利用移项解一元一次方程
七年级数学上（HK）教学课件
第3章一次方程与方程组
3.1 一元一次方程及其解法
第2课时利用移项解一元一次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则. （难点） 2.会利用移项解一元一次方程.(重点）
导入新课
问题引入
1.解方程：2x－ 5 x＝6－8
由方程① 到方程 ② , 这个变形相当于把①中的 “– 15”这一项从方程的左边移到了方程的右边.
“– 15”这项移动后，发生了什么变化?
改变了符号
2x = 5x －21 2x = 5x －21
③
2x－5x= －21 2x －5x = －21
④
由方程③ 到方程 ④ , 这个变形相当于把③中的 “ 5x ” 这一项从方程的右边移到了方程的左边.
“ 5x ” 这项移动后，发生了什么变化?
改变了符号
➢移项定义一般地,把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.
注：移项要变号
4x –15 = 9
2x = 5x – 21
4x = 9 +15
2x –5x = – 21
➢移项目的

沪科版七年级数学上册教学设计：3

-小组需要在下次课前提交解题报告，报告中应包括问题分析、解题步骤、答案以及小组成员的分工和贡献。
4.反思日志：
-要求学生撰写一篇反思日志，回顾本次课程学习一元一次方程解法的过程，包括自己的学习体验、遇到的困难和解决方法，以及未来学习计划。
-反思日志应体现学生的自我评价和目标设定，有助于学生形成自我驱动的学习习惯。
沪科版七年级数学上册教学设计：3.1.3一元一次方程的解法
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元一次方程的概念，掌握一元一次方程的标准形式及解的定义。
-学生能够识别并写出形如ax+b=0（a≠0）的一元一次方程。
-学生能够理解并运用解的概念，即找到一个数，使得将其代入方程后等式成立。
2.学会并熟练使用三种基本的一元一次方程解法：移项法、消元法和代入法。
-鼓励学生运用所学知识参与社会实践活动，如社区问题解决等，培养学生的社会责任感。
二、学情分析
七年级的学生在数学学习上已具备一定的算术基础和初步的代数知识。他们对等式的性质有初步的了解，但在将等式性质应用到一元一次方程的解法上，可能会存在一定的困难。此外，学生在解决实际问题时，往往难以将问题抽象成一元一次方程，这是他们在知识转换和问题解决能力上的一个挑战。
2.培养学生面对数学问题时的耐心和毅力，形成良好的学习态度。
-在解决问题的过程中，鼓励学生面对困难不放弃，通过努力克服问题。
-引导学生从错误中学习，认识到错误是学习过程中的正常现象，形成积极向上的学习态度。
3.强调数学在现实生活中的应用价值，提升学生的社会责任感和实践意识。
-通过实际问题引入，让学生了解数学知识在实际生活中的应用，体会数学的价值。
-通过实例和练习，使学生掌握移项法，即通过改变方程中项的位置，将未知数移到等号的一边，常数项移到另一边。

2024年秋沪科版七年级数学上册 3-2 一元一次方程及其解法(课件)

3.2 一元一次方程及其解法
第1课时一元一次方程、移项
1.知道一元一次方程的概念.
2.能利用移项解一元一次方程，知道移项的依据是等式的基
本性质.
3.明确解方程中去括号与整式中的法则相同.
◎重点:用移项解一元一次方程.
◎难点:方程与整式的异同.
一元一次方程的概念
揭示概念:(1)只含有一
个未知数，未知数的次数都是
移项
2.解方程10x＋8＝－x＋1的过程中，移项，得 10x＋x＝1
－8 .
方法归纳交流移项是指某一项从等号的一边改变符号后
移到等号的另一边，目的是为了使含有
未知数的项和常数项
分开，在等号的同一边交换位置的情况
不属于
或“不属于”)移项，因此不能改变
符号 .
(填“属于”
去括号
3.在解方程3(x－1)－2(2x＋3)＝6时，去括号正确的是
于每人得到的一样多，可知遗产有8100元，老大分得900元，共
有9个儿子.
去分母解方程
【归纳总结】去分母的实质是利用等式的基本性质2，在等
式两边都乘以各分母的最小公倍数
.
解方程将系数化为整数
.+. −1
依据下列解方程
＝
的过程，请在前面的括号内填
.

写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据.
(2)
合并同类项
；(3)系数化为 1 .
移项；
移项解方程（含括号）
揭示概念:去括号的目的是将含有
括号
的方程转化为形
如ax＋b＝cx＋d的方程.
【归纳总结】解含有括号的方程步骤:(1)
(2) 移项
；(3) 合并同类项
去括号