江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(5) Word版含答案

（第9题）F EDCBA(第4题)2017年高考模拟试卷（5）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 设集合{1,2,3},{2,3,6}A B ==，则AB 2． 若复数z 满足i 1i z =+，则z 3. 用系统抽样方法从400名学生随机地编号为400~1若第1抽取的号码为 ▲ ．4. 如图是一个算法流程图，若输入n是 ▲ ．5． 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ． 6． 设x ∈R ，则“2log 1x <”是“220x x --<”的 ▲ 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）． 7． 已知圆22(1)4x y ++=与抛物线22y px =（0p >）的准线交于A 、B 两点，且AB =则p 的值为 ▲ ．8． 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，7193()S a a =+，则54a a 的值为 ▲ ． 9． 如图，三棱锥BCD A -中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEF A -的体积是2，则四棱锥ECDF B -的体积 为 ▲ ．10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），则=+βα ▲ ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0．若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且2AB AC AO +=，||||AB AO =，则CA CB ⋅=▲ ．13．设a b c ，，是三个正实数，且()a a b c bc ++=，则a b c +的最大值为 ▲ ．14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长．若a cos B ＝1，b sin A ＝2，且A －B ＝π4．（1）求a 的值； （2）求tan A 的值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．(本小题满分14分)某市2016年新建住房面积为500万m 2，其中安置房面积为200万m 2.计划以后每年新建住房面积比上一年增长10% ，且安置房面积比上一年增加50万m 2. 记2016年为第1年.（第16题）（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由.18．(本小题满分16分)已知椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，点A ，B 分别为其左、右顶点，点12,F F 分别为其左、右焦点，以点A 为圆心1AF 为半径作圆A ，以点B 为圆心OB 为半径作圆B ．若直线l：y x =被圆A 和圆B．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知a =7，问在x 轴上是否存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34，若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数()(1)e x f x x k =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）． （1）当0x >时，求()f x 的单调区间和极值；（2）①若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求k 的取值范围；②若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x k +<．20．(本小题满分16分)给定数列{}n a ，记该数列前i 项12i a a a ，，，中的最大项为i A ，该数列后n i -项 12i i n a a a ++，，，中的最小项为i B ，i i i d A B =-（1231i n =-，，，，）．（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的123d d d ，，；（第21—A 题）（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意*n ∈N ，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，其中0λ>且1λ≠． ① 设2n n b a λ=+，判定数列{}nb 是否为等比数列；② 若数列{}n a 对应的i d 满足：1i i d d +>对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立，求λ的取值范围．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．B ．选修4—2：矩阵与变换求曲线||||1x y +=在矩阵10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.C ．选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），且曲线C上的点M 对应的参数π3ϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若12π(,)(,)2A B ρθρθ+，是曲线C 上的两点，求221211ρρ+的值．D ．选修4－5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求12a ＋1＋2b ＋1 的最小值．22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ，B n＝(a ＋b 2)n ．（1）证明：A 2＞B 2；（2）比较A n 与B n （n ∈N*）的大小，并给出证明．题图BCD A 1 B 1C 1第22题图2017年高考模拟试卷(5)参考答案一、填空题1．{1,2,3,6}． 2．1i +． 3. 391． 4. 18． 5．29． 6．充分不必要． 7．4． 8．76． 9．10．10．已知函数()sin(2)f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），则=+βα▲ ．10．7π．由0x <π≤，知2x ππ7π+≤≤，因为1()()3f f αβ==<，所以()()3π222332αβππ+++=⨯， 所以76αβπ+=．11．(1，2]． f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点． 12．12．由2AB AC A O +=可得OB OC +=0，即BO OC =，所以圆心在BC 上，且AB AC ⊥．注意到||||=2AB AO =，所以ππ,,4,B C BC AC ====，所以12CA CB ⋅=．13．由()a a b c bc ++=，得1b c b c a a a a ++=⋅，设,b c x y a a ==，则1x y xy ++=， 1ab c x y=++，因为21()2x y x y xy +++=≤，所以2x y ++≥a b c +的最大值．14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ▲ ．14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．由任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，也即x ∈[12，1]时，曲线()y f x =上任意两点连线的斜率都小于1，所以()1f x '≤在x ∈[12，1]上恒成立．由2()31f x a a x '=-≤，即2310ax a -+≥，设()31g t at a =-+，1,1t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需1()04g ≥，且(1)0g ≥，所以14a -≤≤．二、解答题15．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3， 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1， 所以a ＝3（负值已舍）；（2）由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B＝2，即tan B ＝2，因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4 ＝1＋21－2＝－3－22．（14分）16．证：（1）方法1：取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .方法2：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA . 所以CE ＝NE .又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP . 又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .方法3：取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形， 所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ， 所以EQ ∥平面P AD .(2分)因为Q 、F 分别为CD 、CP 的中点， 所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，所以FQ ∥平面P AD .又FQ 、EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面P AD .(5分) 因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面P AD . (2) 设AC 、DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点，所以DA AE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ， 所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ⊥平面ABCD . 因为DE ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥DE . 因为PO ∩AC ＝O ，PO 、AC ⊂平面P AC ， 所以DE ⊥平面P AC ，又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE .17．解：（1）设n *()n ∈N 年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2， 依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)20050n n n -⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦m 2， 则(1)200502n n n -+⨯≥3 000，整理得，271200n n +-≥， 解得8 (15)n n -≤≥舍去.答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2.（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1.1为公比的等比数列，设第m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为()p m ， 则1120050(1)3()500(10.1)10 1.1m m m m p m --+-+==⋅+⨯， 由()(1)p m p m =+得，13410 1.110 1.1m mm m -++=⨯⨯，解得7m =.答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变. ·····14分 18．解：（1）分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足为11,B A ，由题意得11BB AA =，由点到直线距离公式得112a AA BB ==，因为圆A 以1AF 为半径，所以半径为c ，被直线l截得的弦长为 圆B 以OB 为半径，∴半径为a ，被直线l截得的弦长为因为直线l：y =被圆A 和圆B，==，解得a c 34=（a ＞c ＞0）. 因为c e a=，所以所求的离心率为34,（2）存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34，设点0(,0)P x ，由题意可得直线方程为0()y k x x =-, 直线截圆A 所得的弦长为直线截圆B 所得的弦长为,34==,化简得22222220016(7)9(7)(1)(169)k x k x k c a +--=+-（*），由（1）离心率为34，得22169c a =，即方程（*）为0)1)(49(002=++x x k ,解得10-=x 或490-=x ， 即存在2个点)0,1(-和)0,49(-；当10-=x 时，||6||8k k ⎧<⎪⎨<⎪⎩k <<，当490-=x 时，||42||56k k ⎧<⎪⎨<⎪⎩k <,即有无数条直线；故存在2个点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34．19．解：（1）∵()()e ,0x f x x k x '=->．（i ）当0k ≤时，()0恒成立'>f x ，∴()f x 的递增区间是0+（，）∞，无递减区间；无极值．（ii ）当0>k 时，由()0'>f x 得，>x k ；由()0'<f x 得，0<<x k ；∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,+)∞k ，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值．（2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<， 因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41e xxk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记4()1ex xg x x =--，则4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增，故2max228e 8()(2)1e e g x g -==-=．所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞．②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知， 0k >,()f x 在(,)-∞k 上单调递减，在(,+)∞k 上单调递增，又(1)0+=f k ，1<+x k 时，()0<f x ．不妨设121<<<+x k x k ，此时2x k >，12->k x k ，故要证122+<x x k ，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->， 因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设()(2)()h x f k x f x =--2(1)(1)()kx xx k x k x k -+-=---<e e e ， 2()e ()()e e k xxx k h x x k -'=--22()()k x x x k --=e e e ， ∴当<x k 时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞k 上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()0k k h x h k >=-+=e e ，故当<x k 时，(2)（）->f k x f x ，即11(2)（）->f k x f x 成立，∴122+<x x k ．20．解：（1）111312A B d ===，，；222413A B d ===，，；333716A B d ===，，． …………………………………………………………………3分（2）① 当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，所以11a =；当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，则1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+，两式相减得12(1)3n n n a a a λλλ--=-++，即123n n a a λ-=+，所以11122233(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---⎡⎤=++=+==⎢⎥--⎣⎦．……………………………6分 因为112313(1)3(1)b a λλλ-=+=--， 所以当13λ≠时，数列{}n b 满足1n n bb λ-=（2n ≥），即数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项，λ为公比的等比数列；当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列． …………………………………………………8分② 由①知，当13λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=⋅---；当13λ=时，23(1)n a λ=--． (10)分又{}{}1212max min i i i i n d a a a a a a ++=-，，，，，，， {}{}112123max min i i i i n d a a a a a a ++++=-，，，，，，．由于{}{}1223min min i i n i i n a a a a a a ++++，，，≤，，，，所以由1i i d d +>可得，{}{}12121max max i i a a a a a a +<，，，，，，．所以{}1211max i i a a a a ++=，，，对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立， 即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠． (12)分因为1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=-，所以1212i i i i i d d a a a +++-=+-1231(12)3(1)i λλλλλ--=⋅+--1231(1)3(1)i λλλλ--=⋅--．当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>， 此时10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去；当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得11λ<<，此时10i i d d +-<，符合1i i d d +>．综上所述，λ的取值范围是()11，． (16)分第II 卷（附加题，共40分）21A ．证：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ． …………………… 10分21B ．解：设点(x 0，y 0)为曲线|x |+|y |=1上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则0010103xx y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以003x x y y ='⎧⎨='⎩ ……5分 所以曲线|x |+|y |=1在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为|x |+3|y |=1， 所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯= .……10分21C ．解：（1）将M 及对应的参数3πϕ=代入cos ,(0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），得2cos 3sin3a b ππ⎧=⎪⎪=，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的普通方程为221164x y +=. ……4分（2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B πρθρθ+代入 得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222sin cos 1164ρθρθ+=，所以221211516ρρ+=. ……10分21D ．解：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以(2a ＋1)＋(2b ＋2)＝5，从而(12a ＋1＋2b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋2)]＝1＋4＋2b ＋22a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋2≥5＋22b ＋22a ＋1×4(2a ＋1)2b ＋2＝9． …………………… 6分所以12a ＋1＋2b ＋1≥95．当且仅当2b ＋22a ＋1＝4(2a ＋1)2b ＋2，且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23 时，12a ＋1＋2b ＋1取得最小值95． …………………… 10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ，……………………………………………………2分（1）因为111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =， 则1111100n AC n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 所以1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅ 所以直线1DB 与平面11A C D ；…………………………………5分（2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =， 则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅， 二面角111B A D C --．……………………………………………10分23．（1）证明：0)(121)2()(31222222>-=+-++=-b a b a b ab a B A （2）证明：11,1B A n ==；,)2(,11,311nn n n n b a B b a b a n A n +=--+=≥++令,,y b a x b a =-=+且0,>y x ， 于是,)2(],)()[()1(21)2()2(1111111n n n n n n n n x B y x y x y n y y x y x n A =--++=--++=+++++ 因为y x C y x C y x C y x y x n n n n n n n n 11323111112)22(])()[(+-++++≥++=--+ ，所以n n n n n n n n B x x y x C y n A ===⋅+≥++)2(22)1(21111．。