1.3.1函数的单调性与导数-用

求参数的取值范围
例1：求参数的范围 若函数f(x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增， 求a的取值范围
a1 3
已知函数 f（X） x2 a（x 0）， x
在2， )为增函数，求 a的范围。
- ，16
证明问题：当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.
思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数f (x) 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。
几何意义： y f (x2 ) f (x1)表示过函数y f (x) 图象上两点A(xx1, f (x1x)2)、 xB1(x2, f (x2))的直线斜率。
关系： 当区间(x1, x2 )的长度很小时，平均变化率可以
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x cos x x(cos x) cos x x sin x ∵ x sin x 0, x sin x 0
∵ x (p , 2p ), x 0,sin x 0, x sin x 0
2. 已 知 函 数 f ( x) 4x ax2 2 x3 ( x R) 在 区 间1,1
o
x
f (x) sin x x
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体 积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请 分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函 数关系图象.
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上 或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必是定义域内的某个区间。
课本思考
思考1：如果在某个区间内恒有 f '( x) 0，那么函数f ( x)
有什么特性？ f ( x)是常数函数。
在区间（2，+∞） 上单增,切线斜率大
x 于0,即其导数为正.
而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性 发生改变.
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函
数正负的关系.
y
y = x y y = x2
y = x3 y
y
y1 x
O
x
O
O
x
O
x
x
在某个区间(a, b)内,
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递 增，则 f (x)≥0 ；若函数单调递减，则 f (x) ≤ 0 ”来求 解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
课外训练:
1.设 f (x) 、 g(x) 在a,b上可导，且 f (x) g(x) ，
单调性的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时， (1)都有f(x1)<f(x2)，那么说f(x)在区间D上是增函数． (2) 都 有 f ( x 1 ) ˃ f ( x 2 ) ， 那 么 说 f ( x ) 在 区 间 D 上 是 减 函 数．
练习1 已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0, 若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取 值范围。
[
3 2
,)
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数 的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值 为0.
练习: 已知 x 1，求证： x ln( x 1)
提示:运用导数判断单调性, 根据函数的单调性比较函数值大小
3.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范 围，并求其单调区间。
A
B
C
D
导函数f’(x)的正--负----与原函数f(x)的增减性有
理解训练：
1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解： Q y ' 9x2 6x 3x(3x 2)
令y ' 0得x 2 或x 0
令y '
0得0
3
x

2
y
3x3 3x2
3
的单调递增区间为
(,0),( 2 , )
3
利用导数确定函数的单调性的步骤：
（1）确定函数 f(x)的定义域； （2）求出函数的导数； （3）解不等式 f (x)＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式 f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
例2、判断下列函数的单调性，并求出
单调区间：
y
(1) f(x)=x3+3x ;
例1、已知导函数 f '(x) 的下列信息：
当1<x<4时，f '(x) >0;
当x>4,或x<1时，f '(x) <0;
当x=4,或x=1时，f '(x) =0.则函数f(x)图象的大致
形状是( D ）。
y
y f (x)
y
y
y f (x) y f (x)
y
y f (x)
o1 4 x o 1 4 x o1 4 x o 1 4 x
2
综合训练
1.函数y x cos x sin x在下面哪个区间内是增函数(B )
p 3p
( A)( , )
(B)(p , 2p )
3p 5p
(C )( , )
(D)(2p , 3p )
22
22
解 : y ( x cos x sin x) ( x cos x) cos x
定义的变形：（x1-x2）【f(x1)-f(x2)】˃0. 增 （x1-x2）【f(x1)-f(x2)】<0. 减
表现在图像上： 增升，减降
定义法 判断函数单调性有哪些方法？ 图象法
基本初等函数法
y
函数在 (, 0上) 为__减__函数，
在(0, )上为__增__函数。 o
y x2
x
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（f x)=0 方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0.
2ax

1 x2
，
(0,1],
若（f x）在x (0,1]上是增函数，
求a的取值范围.
解：由已知得 f '(x) 2a

2 x3
因为函数在（0，1]上单调递增
而gf('(x)x)>0,1即在a（0-，1x1]3上在单x 调（递0，1增]， 上恒成立 x3
g(x)max g(1)=-1
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
内的图象平缓.
设 f '(是x)函数 f的( x导) 函数， y的 图f '象( x)如
右图所示,则 y f的( x图) 象最有可能的是( ) C
y
y f (x)
y
y f (x)
解： f (x)=3x2+3=3(x2+1)>0
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p) 解： f (x)=cosx-1<0
从而函数f(x)=sinx-x
在x∈(0,p)单调递减， y
见右图。
∴ f (x) g(x)在a,b上单调递增,
∴ f (x) g(x) f (a) g(a) , ∴ f (x) g(a) g(x) f (a)
练习 2.函数 y f (x) 的图象如图所示, 试画出导函
数 f (x图) 象 的大致形状
例2：
已知函数（f x）
解: f x) 3ax2 1,
若a 0,则f x)在(-,)恒正,
f x)只有一个单调区间,与题意不符.
若a<0,则f

x
)

3a

x2

1 3a


3a

x

1 3a