福建省福州市八县一中高三上学期期中联考数学(文)试题(有答案)

第一学期八县（市）一中期中联考高三年数学（文科）试卷完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．. 1.已知M ={|02}x x <<，N =}1|{-=x y x ，则M N =( )A ．{|02}x x <<B. {|12}x x ≤< C ．{|0}x x >D. {|1}x x ≥2.复数z 与复数(12)i i -互为共轭复数，则z ＝（ ） A ．2i -+B ．2i --C ． 2i -D ． 2i +3.已知命题:,sin cos p x R x x ∃∈+≥，命题2:,0q x R x ∀∈>，则( )A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是假命题D ．命题()p q ∧⌝是真命题4.已知等差数列{}n a 中，若241,5a a =-=-，则5S =（ ）A ．-7B ．-13C ．-15D ．-175.若0.52a =，ln2b =，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6.函数4sin()(0,)y x ωϕωϕπ=+>< 部分图象如图，其中点A （23π，0），B （83π，0），则（ ） A ．1,3πωϕ==-B ．1,23πωϕ==-C. 21,3πωϕ==D ．12,23πωϕ==7.已知函数213log (2),2(),2x x f x xx -<⎧⎪=⎨⎪≥⎩ ,则不等式()2f x <的解集为( )A ．{28}x x <<B ．{22}x x -≤<C ．{28}x x -<<D ．{8}xx <8.M 是ABC ∆所在平面内一点，0MA MB MC ++=，D 为BC 中点，则ABCMBCS S ∆∆的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3 9.已知21(2),2+3()2p a a q b b b R a =+>=--∈-，则,p q 的大小关系为( ) A ．p q ≥B ．p q ≤C ．p q >D ．p q <10.为了得到函数cos(2)3y x π=+的图象，可将函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平移56π个单位长度B ．向右平移56π个单位长度 C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 11.已知函数()21,x f x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >> ，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．222ac +<B ．22ac -<C．0,0,0a b c <≥>D ． 00,0a b c <<<，12.设()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意x ，都有()()0f x f x -+=恒成立，如果实数,x y 满足不等式22(6)(412)0f x x f y y -+-+≤，那么2y x-的最大值是( ) A. 1 B. 2C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．. 13.已知向量(1,1),(4,2),m n λ=+=-若//m n ，则=λ ．14.已知,x y 满足约束条件2024010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则4z x y =-的最小值为 .15.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，52S =，1514S =,则10S =________.16.给出下列命题：①已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； ②若a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=；③命题:p “,1xx R e x ∃∈>+”的否定是“,1xx R e x ∀∈<+”；④方程sin x x =有且只有一个实数解； ⑤函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭. 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 请在答题卡各自题目的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．. 17．（本小题满分10分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且S n 、n a 、1成等差数列． （1）证明数列{}n a 是等比数列； （2）若2log 2n n b a =+，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和为n T ．18.（本小题满分12分）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(cos ,cos )b x x =-，()f x a b = ， （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若75(,)126x ππ∈，54a b =-，求cos2x 的值. 19.（本小题满分12分）围建一个面积为300 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙足够长，利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为75元/m ，新墙的造价为150元/m ，设利用的旧墙的长度为x m(x ＞0).(1)将总费用y 元表示为x m 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用． 20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且满足cos (2)cos b A c a B =-． （1）求角B 的大小；（2）若4,4b BA BC ==，求c a +的值．21．（本小题满分12分）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且253,81a a ==, 等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，23922n T n n =-.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;(2)若对任意的n N *∈，1()2n n S k b +≥恒成立,求实数k 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为常数) .(1)当2a =-时，求()f x 的单调区间;(2)当(1,]x e ∈时,讨论方程()0=x f 根的个数； (3)若0>a ,且对任意的121211,,2x x x x e ⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦且,都有()()121211f x f x x x -<-,求实数a 的取值范围. 2016---2017学年度第一学期八县（市）一中期中联考高三年数学（文科）卷参考答案一、选择题（每题5分，共60分） 1-12 BCDCA BCDAC AD 二、填空题（每题5分，共20分） 13. -3 14.1215. 6 16. ②④二、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17．（本小题满分10分）（1）证明：由题意n S 、n a 、1成等差数列，∴ 21n n a S =+………………………1分 当1n =时，1121a S =+ 1a ∴= 1 ……………………………………………………2分 当2n ≥时，1121,21,n n n n S a S a --=-=-两式相减得111222(2)02(2)nn n n n n n n a a a a a a n a n a ---=-∴=≥≠∴=≥……………4分 因此数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列…………………………………5分（2）解：由（1）知11122n n n a a --=⋅=122log 2log 221n n n b a n -∴=+=+=+…7分()()111111212n n b b n n n n +==-++++ ………………………………………………8分12111111...()()...()23341211.......................................................................................10222(2)n n T b b b n n n n n =+++=-+-++-++=-=++则分18.（本小题满分12分）2cos 21(1)()3sin cos cos sin 222x f x x x x x a b +=-=-=解：1sin(2) (36)2x π=--分 ()f x ∴的最小正周期是π ……………………………………………………………4分222()()26263()]() (66)3k x k k Z k x k k Z f x k k k Z πππππππππππππ-≤-≤+∈-≤≤+∈∴-+∈单调递增区间为[令得的，分1sin(2)sin(2)626cos(2)63)]53(2) (744)753(,),2(,)......8.. (66) (9126624)cos 2cos[(28a b x x x x x x x ππππππππππ=-∴-∴----=-=∈∴∈∴-==+-=分分分....12分 19（本小题满分12分）解：(1)设矩形的另一边长为a m ，则75150(2)1502225300300y x x ax a =+-+⋅=+- ………………2分 由已知xa ＝300，得300a x= ……………………………………………4分 ∴90000225300(0)y x x x=+-> ………………………………6分 (2)∵0x >，∴900002259000x x+≥= ……………8分 ∴900002253008700y x x =+-≥………………………………………10分 当且仅当90000225x x=即20x =时，等号成立．………………………11分 答：当20x m =时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是8700元.…12分 20（本小题满分12分） 解：（1）cos (2)cos b A c a B=-由正弦定理得sin cos 2sin cos sin cos ...............................1sin()2sin cos sin . (31)sin 0cos (52)(0,)B A C B A B A B C B C C B B π=-+==≠∴=∈∴分分分 (63)B π=分（2）4cos 48....................................................8BA BC ca B ac =∴=∴=分由余弦定理得22222222cos ()3=()2416b a c ac B a c ac a c ac a c =+-=+-=+-+-= ………………………………………………………………………………………………….………………………………11分a c ∴+=…………………………………………………………………….……………………………….12分 21（本小题满分12分） 解(1)设数列{}n a 的公比为q . 由题意352812733a q q a ===∴= ∴2212333n n n n a a q ---==⋅=……………3分 2n ≥时，2213939(1)(1)362222n n nb T T n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦…………4分1n =时，1139322b T ==-=- 也适合上式 ………………………………………5分 综上，*36()n b n n N =-∈ …………………………………………………………6分(2)解法一：11(1)13311,1132n n n n a q a S q ---====-- …………………………7分∴311()3622n k n -+≥-对n N *∈恒成立,∴6123nn k -≥对n N *∀∈恒成立 ……8分 令max 362()3n n nn c k c -=≥⋅则 由111136332.5333639 3.533n n n n n n nn n n c c n c c n n n ++----⎧≥⎪≥≥⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≥--≤⎩⎩⎪≥⎪⎩2.53.5,3n n ∴≤≤∴= …………………………………………………………10分∴max 31()9n c c ==,即max 22()9n k c ≥= ……………………………………………11分 ∴实数的取值范围是2[,)9+∞. ……………………………………………………12分解法二：11(1)13311,1132n n n n a q a S q ---====-- ………………………………7分∴311()3622n k n -+≥-对n N *∈恒成立,∴6123nn k -≥对n N *∈恒成立………8分 令max 362()3n n n n c k c -=≥⋅则， 111363927333n n n n n n n n c c ------+-=-= 当3n ≤时,1n n c c ->,当4n ≥时, 1n n c c -< ………………………………………10分 ∴max 31()9n c c ==,即max 22()9n k c ≥= …………………………………………11分 ∴实数的取值范围是2[,)9+∞. ……………………………………………………12分 22. （本小题满分12分）解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-+ 定义域为(0,)+∞ …………………………1分22222(1)(1)'()2..........................................................2'()001,')(+(01)x x x f x x x x xf x x f x x f x -+-=-+==<<<>>∴∞的单调递减区间为（0，1），单调递增区间（1，）............分得得..4分(2)方程()0=x f 根的个数等价于方程xx a ln 2=-根的个数.设()x g =xxln 2, xx x xx x x x x g 222ln )1ln 2(ln 1ln 2)(-=-=' ……………………………5分当()e x ,1∈时,0)(<'x g ,函数)(x g 递减,当]e e x ,(∈时,0)(>'x g ,函数)(x g 递增. 又2)(e e g =,e e g 2)(=,作出)(x g y =与直线a y -=的图象 ……………………6分 由图象知当22e a e ≤-<时,即e a e 22-<≤-时,方程()0=x f 有2个相异的根;当2e a -< 或e a 2-=时,方程()0=xf 有1个根;当e a 2->时,方程()0=x f 有0个根. ………………………………8分(3)当0>a 时,'()20a f x x x =+>，)(x f 在11,2x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时是增函数,不妨设12112x x e ≤≤<,则()()121211f x f x x x -<-等价于211211()()f x f x x x -<-即212111()()f x f x x x +<+,故原题等价于函数()x x f x h 1)(+=在11,2x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时是减函数…9分 012)(2≤-+='∴x x x a x h 恒成立,即221x x a -≤在11,2x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立………………10分21()2x x x ϕ=-在11,2x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时是减函数 13()22a ϕ∴≤= …………………………11分 3002a a >∴的取值范围是（，] ………………………………………………………12分。