知识点248 垂线段最短(选择题)

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垂线段最短求最值专题

垂线段最短求最值专题【专题说明】初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决【方法技巧】类型一：一动一定型如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值。

通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．类型二：两动一定型如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP+PN的值最小．解题思路：一找：第一步：作点M关于AC的对称点M；第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；二证：证明MP+PN的最小值为M′N．类型三：一定两动型（胡不归问题）“胡不归”问题即点P 在直线l 上运动时的“PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ”型最值问题.问题：如图①，已知sin∠MBN＝k，点P 为∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点 A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP，则当“PA＋k·PB ”的值最小时，点P 的位置如何确定？解题思路：过点P 作PQ⊥BN 于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可将求“PA＋k·PB ”的最小值转化为求“PA＋PQ ”的最小值( 如图②)，∴当A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小( 如图③)，此时AQ⊥BN .【典例分析】【典例1】模型分析问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小．解题思路：一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P；二证：证明AP是点A到直线l的最短距离．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【解答】解：如图所示：∵AP⊥l于点P，∴AP是点A到直线l的最短距离．【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP．（1）线段BP的最小值为；（2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为．【答案】（1）2（2）【解答】（1）当BP⊥AC时，BP取最小值，∵AC＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AC•cos30°＝4，∴BP最小＝AB•sin30°＝2；故答案为：2；（2）根据题意，作图如下：∵四边形APBQ是平行四边形，∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP，∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OP⊥AC时，OP取最小值，∴OP＝AO•sin30°＝，∴PQ的最小值为．故答案为：．【变式1-2】如图，Rt△ABC斜边AC的长为4，⊙C的半径为1，Rt△ABC与⊙C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．【答案】【解答】解：设∠C＝n°，∵Rt△ABC与⊙C重合的面积为，∴＝，解得n＝60，即∠C＝60°，∵Rt△ABC斜边AC的长为4，∠C＝60°，∴BC＝AC＝2，连接CQ，CP，如图，∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP＝90°，∴PQ＝＝，∴当CP最小时，PQ最小，∵当CP⊥AB时，CP最短，此时CP＝CB＝2，∴PQ的最小值为＝．故答案为：．【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为．【答案】【解答】解：取PQ的中点O，过O点作OD⊥AC于D，过B点作BH⊥AC于H，连接OB，如图，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵BH•AC＝AB•CB，∴BH＝＝，∵∠PBQ＝90°，∴PQ为⊙O的直径，∵⊙O与AC相切，OD⊥AC，∴OD为⊙O的半径，∵OB+OD≥BH（当且仅当D点与重合时取等号），∴OB+OD的最小值为BH的长，即⊙O的直径的最小值为，∴线段PQ的最小值为．故答案为：．【典例2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．【答案】4【解答】解：如图，∵CA＝CB，D是AB的中点，∴CD是∠ACB的平分线，∴点N关于CD的对称N′在AC上，过点B作BH⊥AC于点H．∵AC＝6，S△ABC＝12，∴×6•BH＝12，解得BH＝4，∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4，∴BM+MN的最小值为4．故答案为：4．【变式2-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC 于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为．【答案】【解答】解：如图，在AD上取一点P，使得PD＝PB，连接BP，PC，EC，过点C作CJ⊥BP于点J，过点E作EK⊥BP于点K．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°，设PD＝PB＝x，则x2＝（6﹣x）2+42，∴x＝，∵S△PBC＝•PB•CJ＝×6×4，∴CJ＝，∵AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵PD＝PB，∴∠PDB＝∠PBD，∴∠PBD＝∠PBC，∵EK⊥BC，EK⊥BP，∴EF＝EK，∵EG⊥CD，∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°，∴四边形EFCG是矩形，∴FG＝EC，∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝，∴EF+FH的最小值为．故答案为：．【变式2-2】如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E 是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为．【答案】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴CD＝＝＝5，在CD上取一点N′，使得CN＝CN′，连接MN′，过点A作AH⊥CD于点H．∵菱形ABCD的面积＝•AC•BD＝CD•AH，∴AH＝＝＝，∵CN＝CN′，∠MCN＝∠MCN′，CM＝CM，∴△MCN≌△MCN′（SAS），∴MN＝MN′，∴EM+MN＝EM+MN′≥AH＝，∴ME+MN的最小值为．故答案为：．【变式2-3】如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．【答案】4【解答】解：将x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，∴点C坐标为2，令0＝﹣x2+x+2，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），∴AC＝＝，BC＝＝2，AB＝5，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，∴点A关于直线BC的对称点A'坐标为（1，4），∵BC是AA'的垂直平分线，∴A'M＝AM，即AM+MN＝A'M+MN，∴当A'N⊥x轴时，AM+MN的最小值为A'N的长度，故答案为：4．【典例3】模型分析问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．解题思路：一找：找带有系数k的线段AP；二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形；①在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；②过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，构造Rt△APE；三转化：化折为直，将kAP转化为PE；四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长．请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程．【解答】解：如图，在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作∠NAP′，使sin∠NAP'＝k，过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，点P即为所求的位置，理由如下：∵BE⊥AN，∴∠AEP＝90°，∴sin∠NAP′＝＝k，∴PE＝kAP，∵BE⊥AN，∴点B到AN的最短线段为BE，∵BE＝PE+BP，即BE＝kAP+BP，∴此时，kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．【变式3-1】如图，四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，AB＝4，点E为AD上的定点，且AE＜ED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为．【答案】3【解答】解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，过点A作AM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，AM＝AB•sin60°＝3，∠ACB＝60°，∴FH＝CF•sin60°＝CF，∴EF+FC＝EF+FH≥EH，当E、F、H三点依次在同一直线上，且EH⊥BC时，EF+FC＝EF+FH＝EH＝AM＝3的值最小，故答案为：3．【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，点D是BC边上的动点，则2AD+CD 的最小值为．【答案】10【解答】解：延长AB到点E，使得BE＝AB，连接CE，过点D作DF⊥CE，连接AF，∵∠ABC＝∠CBE＝90°，BC＝BC，∴△ABC≌△EBC（SAS），∴∠ACB＝∠ECB＝30°，AC＝BC，∴△AEC为等边三角形，DF＝CD，∴AD+CD＝AD+DF≥AF，当A、D、F三点依次在同一直线上，且AF⊥BC时，AD+CD＝AD+DF＝AF＝AC•sin60°＝5的值最小，∴2AD+CD＝2（AD+CD）的最小值为5＝10．故答案为：10．【变式3-3】如图，在正方形ABCD中，AB＝10，对角线AC，BD相交于点O，点E是AO 的中点，点F为对角线BD上的动点，则EF+BF的最小值为．【答案】【解答】解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，AB＝10∴AC＝AB＝10，∠ACB＝∠CBD＝45°，∴OA＝OC＝5，∵E是OA的中点，∴AE＝OE＝，∴CE＝，∵FH＝BF•sin45°＝BF，∴EF+BF＝EF+FH≥EH，当E、F、H三点依次在同一直线上，且EH⊥BC时，EF+BF＝EH＝CE•sin45°＝的值最小，故答案为：．。

初中数学同步训练必刷题(人教版七年级下册5

初中数学同步训练必刷题（人教版七年级下册5.1.2 垂线）一、单选题（每题3分，共30分）1．（2022七下·宜春期末）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点P到直线l的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm【答案】D【知识点】垂线段最短【解析】【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点P到直线l的距离≤PC，即点P到直线l的距离不大于3cm．故答案为：D．【分析】利用垂线段最短的性质可得答案。

2．（2022七下·江源期末）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是（）A．B．C．D．【答案】B【知识点】点到直线的距离【解析】【解答】解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；B．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．故答案为：B．【分析】根据点到直线的距离，对每个图形一一判断即可。

3．（2022七下·辛集期末）如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（）A．B．C．D．【答案】D【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短【解析】【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故答案为：D．【分析】利用垂线段最短，以及两点之间线段最短求解即可。

4．（2022七下·崇川期末）已知三条射线OA，OB，OC，OA⊥OC，⊥AOB＝60°，则⊥BOC等于（）A．150°B．30°C．40°或140°D．30°或150°【答案】D【知识点】角的运算；垂线【解析】【解答】解：分两种情况讨论，如图1所示，∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵⊥AOB＝60°，∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=90°−60°=30°；如图2所示，∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵⊥AOB＝60°，∴∠BOC=∠AOC+∠AOB=90°+60°=150°．综上所述，⊥BOC等于30°或150°．故答案为：D．【分析】分OB在⊥AOC内部和外部两种情况讨论，结合已知的角度，根据角的和差关系求⊥BOC的度数即可.5．（2022七下·迁安期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线，则需要测量的线段是（）A．AB B．AC C．DC D．BC【答案】C【知识点】垂线段最短【解析】【解答】解：根据垂线段最短可得，需要测量的线段是DC；故答案为：C．【分析】根据垂线段最短可得答案。

知识点248垂线段最短

1．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．考点：垂线段最短。

专题：应用题。

分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．点评：本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．2．如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是垂线段最短．考点：垂线段最短。

专题：应用题。

分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．3．如图，AB⊥BC，则AB ＜AC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是垂线段最短．考点：垂线段最短。

分析：把BC看作直线，点A为直线BC外一点，根据垂线段定理进行判断．解答：解：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知AB＜AC，其理由是垂线段最短．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．4．如图，计划把河AB中的水引到水池C中，可以先作CD⊥AB，垂足为D，然后沿CD开渠，则能使所打开的水渠最短，这种方案的设计根据是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．考点：垂线段最短。

专题：应用题。

分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．解答：解：这种方案的设计根据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．点评：本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用．5．如图，现有一条高压线路沿公路l旁边建立，某村庄A需进行农网改造，必须要从这条高压线上架接一条线路去村庄A，为了节省费用，请你帮他们规划一下，并说明理由．理由是从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．考点：垂线段最短。

最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型—2024学年八年级数学上册(解析版)

最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型模型一垂线段最短模型典例1（2023春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【思路引领】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答．【解答】解：如图：当PQ⊥OA时，PQ有最小值，∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，∴PH＝PQ＝3，∴PQ长的最小值为3，故选：C．【总结提升】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对练习1．（2023秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F 分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（）A．6B．3√2C．3√3D．3【思路引领】作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，根据直角三角形的性质得到BD=12CD，根据已知条件得到BB′＝BC，推出△CDB≌△BB′F，于是得到B′F＝CD=√32BC＝3√3．【解答】解：作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，∵∠ABC＝60°，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∴BD=12CD，∵BD=12BB′，∴BB′＝BC，在△CDB与△B′FB中，{∠CDB=∠B′FB ∠B′BF=∠CBD CD=BB′，∴△CDB≌△BB′F，∴B′F＝CD=√32BC＝3√3．故选：C．【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明BE+EF的最小值为B′F的长度．2．（2022春•临湘市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD ＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（）A．1B．2C．2.5D．√5【思路引领】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝2，∵Q为AB上一动点，∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．故选：B．【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．3．（2023•龙岩模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB 上，则BE+EF的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．5.4【思路引领】作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出BE+EF＝BM，根据垂线段最短得出BE+EF≥4.8，即可得出答案．【解答】解：作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，∴M在AC上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=√52−32=4，∴S△ABC=12×BC×AD=12×AC×BN，∴BN=BC×ADAC =6×45=4.8，∵F关于AD的对称点M，∴EF＝EM，∴BE+EF＝BE+EM＝BM，根据垂线段最短得出：BM≥BN，即BE+EF≥4.8，即BF+EF的最小值是4.8，故选：B．【总结提升】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出BE+EF＝BM的长是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．4．（2023春•鄄城县期中）已知∠ABC＝60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP＝20°，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝．【思路引领】分两种情况讨论，当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．【解答】解：当点P 在∠ABC 内部时，∵BP 为定长，∴当BP +PQ 的值最小时，PQ 最小，此时PQ ⊥BC ，∴∠PQB ＝90°，∵∠ABC ＝60°，∠ABP ＝20°，∴∠PBQ ＝40°，∴∠BPQ ＝90°﹣40°＝50°，当点P 在∠ABC 外部时，同理可求∠BPQ ＝10°，故答案为：50°或10°．【总结提升】本题考查了直角三角形的性质，正确理解点到直线上所有连线中垂线段最短是解题的关键．5．（2022秋•东港区校级期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝15°，点P 为AC 边上的动点，点D 为AB 边上的动点，若AB ＝6cm ，则PB +PD 的最小值为 cm ．【思路引领】如图所示，延长BC 到E 使得CE ＝BC ，连接EP ，AE ，证明△ACB ≌△ACE ，得到AE ＝AB ＝6cm ，∠CAE ＝∠BAC ＝15°，则∠BAE ＝30°，再证明△BCP ≌△ECP ，得BP ＝EP ，推出当D 、P 、E 三点共线且ED ⊥AD 时PD+PE 有最小值即PB+PD 有最小值(PB +PD)最小值=DE 最小值=12AE =3cm ．【解答】解：如图所示，延长BC 到E 使得CE ＝BC ，连接EP ，AE ，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB＝90°，又∵AC＝AC，BC＝EC，∴△ACB≌△ACE（SAS），∴AE＝AB＝6cm，∠CAE＝∠BAC＝15°，∴∠BAE＝30°，同理可证△BCP≌△ECP（SAS），∴BP＝EP，∴PB+PD＝PD+PE，∴当D、P、E三点共线且ED⊥AD时，PD+PE有最小值，即PB+PD有最小值，∴(PB+PD)最小值=DE最小值=12AE=3cm，故答案为：3．【总结提升】本本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．模型二将军饮马模型类型一一直线同侧两定点典例2 （2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（）A ．7B ．3.5C ．5D ．2.5【思路引领】利用将军饮马模型找出使BP+EP 取得最小值时的点P 的位置即可求得结论．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴AD 为BC 的垂直平分线，∴B ，C 关于AD 对称，∴连接EC 与AD 的交点即为使BP+EP 取得最小值时的点P ，∴BP+EP 的最小值＝EC ＝5，故选：C ．【总结提升】本题主要考查了轴对称的性质，最短线路问题，等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一的性质和将军饮马模型找出使BP+EP 取得最小值时的点P 的位置是解题的关键．类型二两射线一顶点两动点典例3（2021秋•颍东区期末）如图，∠AOB ＝30°，点P 是∠AOB 内的定点且OP ＝3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（）A ．3B ．23C ．43D ．6【思路引领】作点P 关于OB 的对称点P'，点P 关于OA 的对称点P''，连接P'P''与OA ，OB 分别交于点M 与N ，则P'P''的长即为△PMN 周长的最小值；连接OP'，OP''，利用已知条件可以证明∠P ′OP ″＝60°即可求出P'P''；【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N，则P'P''的长即为△PMN周长的最小值，连接OP'，OP''，∵OP＝3，∠AOB＝30°，由对称性可知OP＝OP'＝OP''，∠P′OP″＝60°，∴∠OP'P″＝∠OP''P′＝60°，∴OP′＝OP''＝P'P''，∴P'P''＝3；故选：A．【总结提升】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为P'P''的长是解题的关键．针对练习1．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7B．6C．9D．10【思路引领】连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值．【解答】解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM，当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，故选：D．【总结提升】本题考查了轴对称—最短路线问题以及线段垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．2．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【思路引领】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠MAN＝80°，即可求∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°．【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠FAN＝50°，∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，故选：C．【总结提升】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键．3．（2020秋•西城区校级期中）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE P点的位置在（）A．△ABC三条中线的交点处B．AD的中点处C．A点处D．D点处【思路引领】由点D是等边三角形ABC的中点得到AD所在的直线是△ABC的中垂线，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，即可得到△PCE的最小周长．【解答】解：∵点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC的中点，∴CE长度不变，AD所在的直线是△ABC的对称轴，∴当△PCE的周长最小时，PE+PC最小，如图，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，∴点F是AB的中点，∴CF⊥AB，此时，CF即为PE+PC的最小值，点P是△ABC的三条中线交点，∴当△PCE的周长最小时，P点是△ABC的三条中线的交点．故选：A．【总结提升】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质与垂线段最短找到△PCE周长最小的点P位置．模型三造桥选址模型类型一异侧两定点一定长典例1（2021春•奉化区校级期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（）A．B．【思路引领】虽然P，Q两点在河两侧，但连接P，Q的线段不垂直于河岸．关键在于使PM+NQ最短，但PM与QN未连起来，要用线段公理就要想办法使M与N重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．【解答】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．故选：C．【总结提升】考查了轴对称﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．类型二同侧两定点一定长典例2（2019•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为（）A．10B．12C．14D．16【思路引领】因为PQ和AB是定长，所以要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；在AB【解答】解：四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB，∴AB＝5，BC＝4，PQ＝2，∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ，要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；在AB上截取AM＝PQ，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值；∴BQ＝CQ，∴MB＝3，BC＝4，∴MC＝5，∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ＝12；故选：B．【总结提升】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将四边形的周长转化为AP+BQ的最小值是解题的关键；针对练习1．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（）A．B．C．D．【思路引领】根据轴对称确定最短路线问题，过村庄B作河岸的垂线并且等于河的宽度，然后与村庄A连接与河岸a相交于一点M，过点M作MN⊥a与b相交于点N，连接AM、BN，则AM+MN+BN即为最短距离．【总结提升】本题考查了轴对称确定最短路线问题，是此类题目的第二种类型，难度较大，利用的原理为平行四边形的对边相等．2．（2023•浠水县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，当BP＝（）时，四边形APQE的周长最小．A．3B．4C．5D．2√2【思路引领】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG 与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度．【解答】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，故选：B．【总结提升】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．3．（2022秋•离石区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC＝p（m），BD＝q（m），且CD＝（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）【思路引领】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短．【解答】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交直线b于点P，∴BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最小，过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，∴B'M＝CD，∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p+q）m，∴AM＝（p+q）m，∴∠CAP＝45°，【总结提升】此题主要考查了最短路线问题，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键．4．如图，某条护城河在CC'处直角转弯，河宽不变，从A处到达B处，须经两座桥，如何恰当地架桥才能使从A地到B地的路程最短？【思路引领】由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D′F、E′B'，即可得到桥所在位置．【解答】解：如图，作AF⊥CM，作BB'⊥CN，截取AF＝BB'，连接B'F交两河岸为D'，E'，作D'D⊥CM于D，作E'E⊥CN于E，连接AD，BE，则折线ADD′E′EB的长度等于折线AFD′E′B′B的长度，等于折线FD′E′B′的长度+AF+BB′．而折线FD′E′B′以线段FB′最短，∴确定两座桥的位置是线段DD'和BB'．【总结提升】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，。

2023年中考数学一轮复习《垂线段最短》练习题 (1)

2023年中考数学一轮复习《垂线段最短》练习题
1．运动会上，一位跳远运动员跳落沙坑时的痕迹如图所示，测量该运动员跳远成绩的依据是（）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
2．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）
A．两点之间，线段最短
B．过两点有且只有一条直线
C．垂线段最短
D．过一点可以作无数条直线
3．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（）
A．2B．3C．4D．5
4．如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的小路，过点A作AH⊥PQ于点H，则这样做的理由是（）
A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短
D．过一点可以作无数条直线。

模型08 垂线段最短模型(解析版)

模型介绍☑【结论一】如图直线外一点A到直线上所有点的距离中，垂线段AM最小.☑【结论二】如图，在三角形ABC中，M、N分别是DE、BC上的动点，连接AM，MN，求AM+MN 的最小值。

则有以下结论成立：过A作BC的垂线，垂足为Q，于DE相交于P，当M、N分别与P、Q重合时，AM+MN 有最小值，即为AQ的长度.☑方法点拨1.题型特征：①一定点②动点的运动轨迹为直线☑2.模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短.例题精讲【例1】.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是≤AM＜6．解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，当AP⊥BC时，AP值最小，＝×5×12＝×13×AP，此时S△BAC∴AP＝，即AP的范围是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范围是AM≥，∵AP＜AC，即AP＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6．故答案为：≤AM＜6．变式训练【变式1】．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是．解：作CP⊥AB于P，由垂线段最短可知，此时PC最小，由勾股定理得，AB＝＝＝5，S△ABC＝×AC×BC＝×AB×PC，即×3×4＝×5×PC，解得，PC＝，故答案为：．【变式2】.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是2．解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2，即DQ+PQ的最小值为2，故答案为：2．【变式3】.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BC•cos45°＝4×＝4．故CM+MN的最小值为4．【变式4】.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是．解：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PE ＝PB，∴MP+PB＝PM+PE，∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，∵AM＝3，∴MC＝7，∵sin∠ACB ＝＝，∴ME＝，∴MP+PB 的最小值为，故答案为．实战演练1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（）A．2.5B．4C．5D．10解：当DE⊥AB时，DE的值最小，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，CD＝5，∴DE的最小值＝CD＝5，故选：C．2．如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）A．2B．4C．5D．6解：作C点关于BD的对称点G，过G点作GF⊥BC交BC于F，交BD于E，∴EG＝EC，∴EC+EF＝EG+EF＝GF，此时EC+EF最小，∵BD平分∠ABC，∴G点在AB上，∴BC＝BG，∵AC＝BC＝10，∴BG＝10，∠ACB＝4∠A，∴∠A＝∠B＝30°，∴GF＝BG＝5，∴EC+EF的最小值是5，故选：C．3．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB 上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A．6B．3C．2D．4.5解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M使PE+PM取得最小值，PE+PM＝PE′+PM＝E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵AC＝6，BD＝6，∴AB＝＝3，＝AC•BD＝AB•E′M得×6×6＝3•E′M，由S菱形ABCD解得：E′M＝2，即PE+PM的最小值是2，故选：C．4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，∴∠DP2P1＝90°，∴∠DP1P2＝45°，∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2，∴PB的最小值是2．故选：D．5．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B 两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（）A．1B．C．D．解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，而∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，∴DH＝，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF，∴∠2＝∠1，DE＝DF∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，∴△DEF为等边三角形，∴EF＝DE，而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值为．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ 的最小值是（）A．B．1C．D．解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，∴∠CDP＝∠QDT，在△CDP和△TDQ中，，∴△CDP≌△TDQ（SAS），∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，∵∠CTD＝60°，∴∠CTQ＝30°，∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，∵DP＝DQ，DM＝DC，∴△DPM≌△DQC（SAS），∴PM＝CQ，∴PM的值最小时，CQ的值最小，当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝CD＝1，∴CQ的最小值为1．故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，点M是∠ABC平分线BD上一动点，点N是BC上一动点，则CM+MN的最小值是．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵点M是∠ABC平分线BD上一动点，ME⊥AB，MN⊥BC，∴MN＝ME，∴MN+CM＝ME+CM＝CE，∵CE⊥AB，∴CE是点C到AB最短的线段，即CM+MN的最小值就是线段CE的长度，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，又∵•AB•CE＝S△ABC，∴×6×CE＝10，∴CE＝故答案为．8．如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分别为线段AD、AB上的动点，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，则BE+EF的最小值为．解：过点D作DB'⊥AC交于点B'，过B'作B'F⊥AB交AD于点E，交AB于点F，∵∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，∴BD＝B'D，∴Rt△ADB'≌Rt△ADB（HL），∴B与B'关于AD对称，∴BE＝B'E，∴要求BE+EF的最小求B'F的最小即可，∵AB＝8，AC＝10，BD＝，∴B'D＝，BC＝6，∵AB＝AB'，∴AB'＝8，∵sin∠CAB＝＝＝，∴B'F＝，∴BE+EF的最小值为，故答案为．9．如图，正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F，G是对角线AC上的两个动点，且FG＝，连接EF，BG，则EF+BG的最小值为．解：如图，取BC的中点E'，连接EE'，GE'，∵E为AB的中点，∴EE'为△ABC的中位线，即EE'∥AC，且EE'＝AC，∵正方形ABCD的边长为2，∴AC＝＝2，∴EE'＝AC＝，∵FG＝，∴EE'＝FG，且EE'＝FG，即四边形EE'GF为平行四边形，∴EF＝E'G，连接DG，DE'，根据正方形的对称性可知，BG＝DG，∴EF+BG＝E'G+DG，根据两点间线段最短可得，当点E'，G，D在同一直线上时，E'G+DG取得最小值，即此时EF+BG的最小值为线段E'D的长度，连接E'G，则在Rt△E'CD中，∵E'C＝1，CD＝2，∴E'D＝＝，故EF+BG的最小值为，故答案为：．10．如图，在菱形ABCD中，A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M 处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为6﹣3．解：连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AF的中点R，连接OR，如图：∵AD∥CG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，∴四边形AGTK是矩形，∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3，∵折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，∴OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT＝，∵OK⊥AD，∴OR≥OK＝，∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥3，∴AF的最小值为3，∴DF的最大值为6﹣3．故答案为：6﹣3．11．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是．解：如图，连接BF，由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAE，∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，∴∠CAE＝30°，BD＝4，∴∠CBF＝30°，即点F的运动轨迹为直线BF，∴当DF⊥BF时，DF最短，此时，DF＝BD＝×4＝2，∴DF的最小值是2故答案为2．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过C、E、P三点⊙O交AC于F点，连接EF，则EF的最小值为．解：∵经过P、E、F三点确定⊙O，由圆周角定理可知：⊙O的直径为EF，连接PC，PF，PE，∵AC＝BC＝8，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点P是AB的中点，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP＝45°，∴∠ACP＝∠PEF＝45°，∴△EFP是等腰直角三角形，∴FE＝PE，当PE⊥BC时，PE最小，即EF最小，此时PE＝AC＝4，∴EF的最小值＝4，故答案为：4．13．如图，在平面直角坐标系中，点P，A的坐标分别为（1，0），（2，4），点B是y轴上一动点，过点A作AC⊥AB交x轴于点C，点M为线段BC的中点，则PM的最小值为．解：如图，过点A作AF⊥y轴于点F，连接AM，OM，∵∠BAC＝∠BOC＝90°，M为BC中点，∴AM＝OM，∴点M在线段AO的垂直平分线上，作线段AO的垂直平分线交y轴，x轴于点D，E，当PM⊥DE，PM最小，连接AD，则AD＝OD，∵A（2，4），∴AF＝2，OF＝4，设OD＝AD＝t，则FD＝4﹣t，∵FD2+AF2＝AD2，∴（4﹣t）2+22＝t2，∴t＝，∴OD＝，∵∠FOA+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OED＝90°，∴∠FOA＝∠OED，∵∠AFO＝∠DOE＝90°，∴△FAO∽△ODE，∴，即AF•OE＝OD•OF，∴OE＝5，∵P（1，0），∴PE＝4，在Rt△AFO中，OA＝＝2，当PM⊥DE时，PM最小，∴∠PME＝∠AFO＝90°，∴△PME∽△AFO，∴，∴，∴PM＝，故答案为：．14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E为AB上一点，连接DE，以DE为斜边作等腰直角三角形EDF，∠EFD＝90°，则BF的取值范围是．解：如图1，以AD为斜边在AD下方作等腰直角△AGD，∴∠ADG＝∠EDF＝45°，∴∠ADE＝∠GDF，∴△ADE∽△GDF，∴∠DGF＝∠DAE＝60°，∴点F的运动轨迹是GF，∴BF的最短距离为×2＝；如图2，当点E移动到点B时，BF最大，在等腰直角三角形BDF中，BF＝BD＝2，所以BF的取值范围为2﹣2≤BF≤2，故答案为：≤BF≤2．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，动点M、N在斜边AB上，∠MCN ＝45°，求MN的最小值．解：如图①，∵∠MCN＝45°，在AB上方以MN为斜边作等腰Rt△MON，以OM为半径作△CMN的外接⊙O，连接OC、OM、ON，取MN的中点为P，AB的中点为Q，连接OP、CP、CQ，设⊙的半径为r，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，在Rt△MON中，OM＝ON＝r，∴CQ＝，OP＝r，MN＝r．∵OC+OP≥CP≥CQ，∴r+r≥CP≥．如图②，当且仅当点C、Q、P共线，且CP与CQ重合时，r+r＝，此时r最小，解得r＝﹣1，MN＝r＝2﹣，即MN的最小值为2﹣．16．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点．（1）求AM+BM+CM的最小值；（2）求AM+BM的最小值．解：（1）连接AC，MC，将△BCM绕点B逆时针旋转60°得△BAM′，再将△BAM绕点B逆时针旋转60°得△BA′M′，连接CA′，与AB交于点E，如图，则A′M′＝AM，BM′＝BM，A′B＝AB＝BC＝4，∠ABA′＝∠ABC＝60°，∠ABM′＝∠CBM＝∠ABM＝30°，∴△BMM′是等边三角形，BE⊥A′C，∴BM＝MM′，∴AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM≥A′C，当A′、M′、M、C四点共线时，AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM＝A′C的值最小，此时A′C＝2CE＝2．故AM+BM+CM的最小值为4；（2）如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝2，∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥2，∴AM+BM≥2，∴AM+BM的最小值为2，故答案为：2．17．如图，二次函数的图象与x轴交于O、A两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求点A、点C的坐标；（2）求证：△OCD∽△A′BD；（3）求的最小值．（1）解：在中，令y＝0得x＝0或x＝4，∴A（4，0），∵＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴A的坐标为（4，0），C的坐标为（2，﹣2）；（2）证明：如图1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由对称得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；（3）解：∵△OCD∽△A′BD，∴，∵AB＝A'B，∴＝，∴的最小值就是的最小值，∵C（2，﹣2），∴OC＝2，∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，此时CD＝2，的最小值为＝．18．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点A（1，0），C（﹣3，0）．与y轴交点B（0，3），如图1所示，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1若R为y轴上的一个动点，连接AR，则RB+AR的最小值为2（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线、CD、CB于点Q、F、E，如图2所示，求证：EF＝EP．（4）设此抛物线的对称轴为直线MN，在直线MN上取一点T，使∠BTN＝∠CTN．直接写出点T的坐标．解：（1）根据题意得：，解得：，则抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1中，作RH⊥BC于H．∵OB＝OC＝3，∠COB＝90°，∴BC＝3，∠HBR＝45°，在Rt△BHR中，RH＝BR，∴AR+BR＝AR+RH，∴当H、R、A共线时，AR+BR＝AR+RH的值最小，此时•BC•AH＝•AC•OB，∴AH＝2，∴AR+BR的最小值为2．故答案为2（3）如图2中，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，则D的坐标是（﹣1，4）．设直线BC的解析式是y＝kx+b，则，解得：，则直线BC的解析式是y＝x+3．同理，直线CD的解析式是y＝2x+6．∵动点P（m，0）在x轴上，﹣3＜m＜﹣1，且PF⊥x轴．∴点E（m，m+3），点F（m，2m+6），即PE＝m+3，PF＝2m+6．EF＝PF﹣PE＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3．∴EF＝EP；（4）如图3中，延长AB交MN于T，连接TC．∵MN垂直平分线段AC，∴TC＝TA，∴∠CTN＝∠ATN，即∠CTN＝∠BTN．∵直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，∴x＝﹣1时，y＝6，∴T的坐标（﹣1，6）．。

垂线段最短问题专项训练

垂线段最短问题专项训练1．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：四个方案中，管道长度最短的是B．故选：B．2．如图，点A为直线BC外一点，且AC⊥BC于点C，AC＝4，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：∵AC⊥BC，∴AP≥AC，即AP≥4．故选：A．3．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线【答案】C【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C．4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【答案】C【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，∴PT≥PQ，故选：C．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ 的最小值是（）A．B．1C．D．【答案】B【解答】解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，∴∠CDP＝∠QDT，在△CDP和△TDQ中，，∴△CDP≌△TDQ（SAS），∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，∵∠CTD＝60°，∴∠CTQ＝30°，∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，∵DP＝DQ，DM＝DC，∴△DPM≌△DQC（SAS），∴PM＝CQ，∴PM的值最小时，CQ的值最小，当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝CD＝1，∴CQ的最小值为1．故选：B．6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A．4B．4.5C．4.8D．5【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：AB•PC＝AC•BC，∴PC＝．故选：C．7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B 重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（）A．B．C．4D．【答案】D【解答】解：如图，连接OP，∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，∴∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝2，∴EF的最小值为2，故选：D．8．如图，在矩形ABCD中，为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝3，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，∴CM＝＝＝，∴PQ的最小值为，故选：B．9．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是．【答案】2.4【解答】解：连接CP，如图所示：∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×CP，∴CP＝2.4，即EF＝2.4，故答案为：2.4．10．如图，E，F是菱形ABCD的边AB，AD的中点，P是菱形的对角线BD上的动点，若BD＝8，AC＝10，则PE+PF的最小值是．【答案】【解答】解：作E点关于BD的对称点G，连接FG交BD于点P，连接EP，∴EP＝GP，∴EP+FP＝PG+PF≥FG，当F、P、G三点共线时，EP+FP有最小值，最小值为GF，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是菱形的一条对称轴，∵E是AB的中点，∴G点是BC的中点，∴EG＝AC，∵AC＝10，∴EG＝5，连接EF，∵F是AD的中点，BD＝8，∴EF＝BD＝4，在Rt△EFG中，GF＝，∴PF+PE的最小值为，故答案为：．11．如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则AP+BP的最小值为．【答案】【解答】解：作B点关于EC的对称点F，连接AF交EC于点P，连接BP，过F点作FG⊥BC交BC的延长线于点G，BF交EC于点H，∴BP＝FP，∴AP+BP＝AP+PF≥AF，当A、F、P三点共线时，AP+BP有最小值，最小值为AF，∵E点是AD的中点，∴ED＝AD，∵正方形ABCD的边长为5，∴ED＝，∴tan∠ECD＝，∵BH⊥EC，∴∠BHC＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠HBC＝∠ECD，∴tan∠HBC＝，∴2HC＝BH，在Rt△BCH中，BC＝5，∴BH＝2，∴BF＝2BH＝4，在Rt△BGF中，BG＝2FG，∴GF＝4，BG＝8，过点F作FM⊥AB交于M，∴MF＝8，AM＝1，在Rt△AFM中，AF＝，∴AP+BP的最小值为，故答案为：．12．如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为．【答案】6【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E＝＝＝6，∴PE+PB的最小值为6，故答案为：6．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为．【答案】12【解答】解：∵AB＝5，PQ＝2，∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM＝PQ，∵点F是BC的中点，∴点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM＝＝5，∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．故答案为：12．14．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，CF＝BE，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则PM+PN的最小值为．【答案】3【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝∠ABC，AB＝BC，∵CF＝BE，∴△ABE≌△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，由等腰三角形三线合一的性质，可得BG＝MG，∴点M关于AE的对称点为点B．过点B作BN'⊥AM，交AE于点P'，则PM+PN的最小值即为BN'的长．∵正方形ABCD的对角线相互垂直且平分，∴BN'＝AC，∵AB＝BC＝6，∴AC＝6，∴BN'＝3．故答案为：3．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为矩形内一点，满足∠ABP＝∠BCP．（1）若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为；（2）若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为．4【答案】，【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠ABP＝∠BCP，∴∠BCP+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P是在以BC为直径为圆上．∵点B，P，E在同一条直线上，∴△ABE∽△PCB，∴，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD的中点，∴AE＝4，BE＝．∴，∴．（2）作点B关于AD的对称点B'，连接B'E，则BE+PE＝B'E+PE．∴当B'，E，P三点在同一条直线上时，BE+PE取得最小值，即为B'P的长．设BC的中点为O，连接B'O，交以BC为直径的圆于点P，此时即为B'P的最小值．∴B'P＝B'0﹣OP．在Rt△OBB'中，B'O＝＝．∴B'P＝4．∴BE+PE的最小值为4．16．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△P AD，则P A+PD的最小值为．【答案】4【解答】解：如图所示，过P作直线l∥AD，作点A关于l的对称点A'，连接AA'，交l 于E，交BC于F，连接A'P，则A'P＝AP，AE＝A'E，AA'⊥BC，∴AP+PD＝A'P+PD，当A'，P，D在同一直线上时，AP+PD的最小值等于A'D的长，∵AB＝6，∠ABC＝60°，∴BF＝AB•cos60°＝3，AF＝3，又∵S△PBC＝S△P AD，∴AE＝AF＝2，∴AA'＝2AE＝4，∵BC＝8，∴AD＝8，Rt△AA'D中，A'D＝＝＝4，∴P A+PD的最小值为4，故答案为：4．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB所在直线的一个动点，点F是对角线AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为．【答案】【解答】解：如图所示，延长CD到点G，使CG＝AC，连接FG，∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCG，又∵AE＝CF，∴△ACE≌△CGF（SAS），∴CE＝GF．如图，当G，F，B三点共线时，BF+GF的长最小，此时BF+CE的值也最小，最小值等于BG的长．∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝BC＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝，∴CG＝，Rt△BCG中，BG＝＝＝，∴BF+CE的最小值等于，故答案为：．18．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）．①若连结AP、PE，则PE+AP的最小值为；②连结QE，若PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：（1）延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，∴AP＝PM，连接EM，交BC于点P，此时AP+PE的值最小，∴AP+PE＝PM+EP＝EM，过点M作MN⊥DC，交DC的延长线于点N，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠MBC＝∠BCN＝90°，∵∠MND＝90°，∴四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，∵E为CD的中点，∴EC＝CD＝2，∴EN＝EC+CN＝6，∴ME＝＝＝10，∴PE+AP的最小值为10，故答案为：10；（2）点A向右平移3个单位到点G，点E关于BC的对称点为点F，连接GF，交BC于点Q，∴EQ＝FQ，∴GQ+EQ＝GQ+FQ＝FG，此时GQ+QE的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∵AG＝PQ＝3，∴四边形APQG是平行四边形，∴AP＝GQ，∴GQ+EQ＝AP+EQ＝FG，∵AE，PQ的值是定值，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ的值最小即可，设CQ＝x，∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，∴△FCQ∽△FDG，∴＝，∴＝，∴x＝，∴当CQ＝时，四边形APQE的周长最小，故答案为：．。

【期末专项】苏科版七年级数学上册期末复习专题两点之间线段最短和垂线段最短综合

两点之间线段最短和垂线段最短综合1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释2．自习课上，老师出示这样一道题目：如图，AB是一条河流．要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过点C、D画AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短C．方案一节省材料，理由是垂线段最短D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线3．下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是_____ （填序号）．4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：画法：如图，（1）连接AB；（2）过点A画线段AC 直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．请回答：工人师傅的画图依据是______．5．在数学课上，王老师提出如下问题：如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小李同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．王老师说：小李同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是．（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是．7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索【回顾】（1）如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄.现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由【探索】（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B 两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．（1）画线段AB；（2）画图并说理：①画出点C到线段AB的最短线路CE，理由是；②画出一点P，使AP DP CP EP+++最短，理由是．10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．【探索】（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．11．如图，A、B、C是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连结线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间+的最小值为_______，依据是_______.的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP PQ12．如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，()1不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．()2另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是.方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是.设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置．（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．答案与解析1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（）A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释【答案】C【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．【详解】解：现象1：测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直，可用“垂线段最短”来解释；现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，故选：C．【点睛】此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．2．自习课上，老师出示这样一道题目：如图，AB是一条河流．要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过点C、D画AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短C．方案一节省材料，理由是垂线段最短D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线【答案】C【分析】垂线段的性质：垂线段最短，根据垂线段的性质解答即可．【详解】解：∵CE⊥AB，根据垂线段的性质可知，CE＜CP，同理，DF＜DP，∴方案一更节省材料．故选：C．【点睛】本题考查了垂线段的性质，垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．3．下列三个日常现象：其中，可以用“垂线段最短”来解释的是_____ （填序号）．【答案】①【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①，可以“两点之间线段最短” 来解释②，可以用“两点确定一条直线” 来解释③，故答案为：①．【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：画法：如图，（1）连接AB；（2）过点A画线段AC 直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．请回答：工人师傅的画图依据是______．【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短【分析】根据两点之间线段最短以及垂线段最短即可判断．【详解】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是正确两点之间线段最短以及垂线段最短，本题属于基础题型．5．在数学课上，王老师提出如下问题：如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．小李同学的作法如下：①连接AB；②过点A作AC⊥直线l于点C；则折线段B﹣A﹣C为所求．王老师说：小李同学的方案是正确的．请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．【答案】两点之间线段最短【分析】根据两点之间线段最短即可得到答案．【详解】解：由题意得可知：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和两点之间线段最短，熟知二者的定义是解题的关键．三、解答题6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是．（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是．【答案】（1）连接AB，两点之间，线段最短；（2）过B作BC⊥a，垂线段最短．【分析】（1）连接AB，根据两点之间，线段最短；（2）过B作BC⊥a，根据垂线段最短．【详解】解：如图所示：（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BC走，垂线段最短．【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握线段的性质和垂线段的性质．7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用两点之间距离线段最短，进而得出答案；（2）利用点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．【详解】解答：解：（1）如图所示：由两点之间，线段最短，连接AC、BD交点即为P点，（2）如图所示：由垂线段最短，过P作PQ⊥河道l，垂足即为Q点．【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握点与点以及点到直线的距离定义是解题关键．8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索【回顾】（1）如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄.现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由【探索】（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B 两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）连接AB交直线l于点C，点C即为所求作．（2）根据两点之间线段最短解决问题．（3）作AA′//CD，且AA′＝1，连接BA′得到点C，作线段CD⊥河岸即可．【详解】（1）如图，点C即为所求作．理由：两点之间，线段最短.（2）如图，点C即为所求作．（3）如图，线段CD可即为所求作．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．（1）画线段AB；（2）画图并说理：①画出点C到线段AB的最短线路CE，理由是；②画出一点P，使AP DP CP EP+++最短，理由是．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，点到直线的距离垂线段最短；（3）图见解析，两点之间线段最短．【分析】（1）根据题意画图即可；（2）①借助网格作CE⊥AB，根据点到直线距离垂线段最短可得符合条件的E点；+++=+．②连接AD和CE交于P点，根据两点之间线段最短可得AP DP CP EP AD CE【详解】（1）连接AB如下图所示；（2）①如图所示CE为最短路径，理由是点到直线的距离垂线段最短，故答案为：点到直线的距离垂线段最短；②如图所示P点为AP DP CP EP+++最短，理由是：两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短．【点睛】本题考查两点之间的距离，垂线段最短和根据要求画线段．理解点到直线的距离垂线段最短和两点之间线段最短是解题关键．10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．【探索】（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接AB，交l于点C即可；（2）根据BO＋CO=BC为定长，故需保证AO最小即可，根据垂线段最短，过点A作AO⊥BC于O 即可；（3）根据两点之间线段最短，故连接AC、BD交于点O即可．【详解】解：（1）连接AB，交l于点C，此时AC＋BC=AB，根据两点之间线段最短，AB即为AC＋BC的最小值，如下图所示：点C即为所求；（2）∵点O在BC上∴BO＋CO=BC∴AO+BO+CO=AO＋BC，而BC为定长，∴当AO+BO+CO最小时，AO也最小过点A作AO⊥BC于O，根据垂线段最短，此时AO最小，AO+BO+CO也最小，如下图所示：点O 即为所求；（3）根据两点之间线段最短，若使AO＋CO最小，连接AC，点O应在线段AC上；若使BO＋DO 最小，连接BD，点O应在线段BD上，∴点O应为AC和BD的交点如下图所示：点O即为所求．【点睛】此题考查的是两点之间线段最短和垂线段最短的应用，掌握根据两点之间线段最短和垂线段最短，找出最值所需点是解决此题的关键．11．如图，A、B、C是平面内三点.（1）按要求作图：①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁；②点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连结线段AP、PQ；（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到直线BC的距离为5，点A、B之间+的最小值为_______，依据是_______.的距离为8，点A、C之间的距离为6，则AP PQ【答案】（1）见解析；（2）5；两点之间，线段最短；垂线段最短.【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点按要求作图即可；（2）根据两点之间，线段最短和点到直线的距离垂线段最短回答即可．【详解】（1）如图所示.+的最小值为点A到直线BC的距离，所以是5.（2）AP PQ依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短.【点睛】本题考查直线、射线、线段以及两点之间，线段最短，点到直线的距离，解题关键是掌握直线、射线、线段的特点，牢记两点之间，线段最短，垂线段最短．12．如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，()1不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小．()2另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；（2）垂线段最短．【分析】（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置．（2）过点H作直线EF的垂线段即可．【详解】解：()1连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置．()2理由是：垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和垂线段最短在生活中的应用，解题时要注意它们的综合应用．13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．【答案】垂线段最短两点之间，线段最短【分析】(1)过A作AC⊥MN，AC最短；(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．【详解】(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短，故答案为垂线段最短；(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，故答案为两点之间线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是.方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是.设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m n（填“＞”、“=”或“＜”）.【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短；＞【分析】根据题目要求直接连接AB，以及分别过A，B向直线l作垂线即可，利用直角三角形中斜边大于直角边进而得出答案即可．【详解】解：方案一、连接AB交直线l于点P，依据是两点之间，线段最短；方案二、分别过A，B向直线l作垂线即可，如图，AM、BN即为所求，依据是垂线段最短；方案一中m=AP+PB，方案二中n=AM+BN，在Rt∆AMP与Rt∆BNP中，AM<AP，BN<BP，∴AM+BN<AP+BP，即m>n，故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短；>．【点睛】题目主要考查两点之间线段最短及垂线段最短，直角三角形斜边大于直角边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．【答案】见解析；两点之间线段最短；垂线段最短【分析】由两点之间线段最短；垂线段最短即可作出图形：连接AB；过点B作l的垂线段．【详解】解：如图所示：AB、BC为所求．作图理由：两点之间线段最短；垂线段最短．【点睛】此题考查了作图能力，掌握：两点之间线段最短、垂线段最短是解题的关键．16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB 上分别画出P，Q两点的位置．（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点；（2）连接MN交直线AB于点R，点R就是所求．【详解】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点．如图所示：（2）连接MN交AB于点R，点R就是所求的点．如图所示：．【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短，记住这两个性质是解题的关键．17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．【答案】见解析【分析】根据两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短即可得到答案.【详解】解；如图所示：连接AB，是两点之间线段最短；作BC垂直于河岸，是垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．【答案】（1）沿线段AB走，见解析，两点之间，线段最短；（2）沿垂线段BD走，见解析，垂线段最短【分析】（1）根据两点之间线段最短解决问题即可．（2）根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：（1）如图，沿线段AB走，理由：两点之间，线段最短．（2）如图，沿垂线段BD走，理由：垂线段最短．【点睛】本题考查了“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个知识，熟知两个知识点并正确作图是解题关键．。

垂线段最短100题

垂线段100题含解析一、选择题（本大题共39小题，共117.0分）1.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A. 垂直的定义B. 两点之间线段最短C. 垂线段最短D. 两点确定一条直线【答案】C【解析】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C．利用点到直线的距离中垂线段最短判断即可．此题考查了垂线段最短，在点与直线的所有连线中垂线段最短．2.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是（）A. PAB. PBC. PCD. PD【答案】B【解析】【分析】本题考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题关键．根据垂线段的性质，可得到答案．【解答】解：由题意得，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，故选B．3.下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【解答】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的长度叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C．4.下列说法中正确的个数有（）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③A、B、C三点在同一直线上且AB=BC，则B是线段AC的中点；④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查线的性质，直线的位置关系，线段的中点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据垂线的性质，直线的位置关系，线段的中点的定义一一判断即可.【解答】解：①在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；③A、B、C三点在同一直线上且AB=BC，则B是线段AC的中点，正确；④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交．正确；故选C．5.已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，当CD⊥AB时CD取得最小值，此时CD===，当点D与点A重合时CD取得最大值，最大值为4，则≤x≤4，故选：C．由CD⊥AB时CD取得最小值、点D与点A重合时CD取得最大值求解可得．本题主要考查垂线段最短，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．6.如图是小亮跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线l于点B处成直角，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A. 垂线段最短B. 过两点有且只有一条直线C. 两点之间线段最短D. 过一点可以做无数条直线【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【解答】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选A．7.如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（）A. 两点确定一条直线B. 两点之间直线最短C. 两点之间线段最短D. 垂线段最短【答案】D【解析】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短；故选：D．利用垂线段最短求解．本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．8.如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理正确的是（）A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短C. 两点之间线段最短D. 三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，故选：B．根据垂线段的性质解答即可．此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点之间段最短．9.下列四种说法：①线段AB是点A与点B之间的距离；②相等的角是对顶角；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，其中正确的是（） .A. ④B. ①④C. ③④D. ①③④【答案】A【解析】解：①线段AB的长是点A与点B之间的距离，错误；②相等的角不一定是对顶角，错误；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；故选：A．根据平行公理及推论，垂线段最短以及平行线的判定与性质解答．本题考查了平行公理及推论，垂线段最短以及平行线的判定与性质，熟记公理、推论是解题关键．10.如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（）A. 两点确定一条直线B. 两点之间线段最短C. 过一点有无数条直线D. 直线比曲线和折线短【答案】B【解析】解：如图，最短路径是②的理由是两点之间线段最短，故B正确，故选：B．根据线段的性质，可得答案．本题考查了线段的性质，两点之间线段最短．11.如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是（）A. 垂线最短B. 过一点确定一条直线与已知直线垂直C. 垂线段最短D. 以上说法都不对【答案】C【解析】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．故选：C．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．12.如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A. 两点之间，线段最短B. 过两点有且只有一条直线C. 垂线段最短D. 过一点可以作无数条直线【答案】C【解析】解：这样做的理由是垂线段最短．故选：C．垂线段的性质：垂线段最短．考查了垂线段最短．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．13.如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：B．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．14.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A. 5B. 6C. 4D. 4.8【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选D．15.如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连结AC，使AC=2AB，P在线段BC上连结AP．若AB=3，则线段AP的长不可能是（）A. 3.5B. 4C. 5.5D. 6.5【答案】D【解析】解：∵过点A作AB⊥l于点B，AC=2AB，P在线段BC上连结AP，AB=3，∴AC=6，∴3≤AP≤6，故AP不可能是6.5，故选：D．直接利用垂线段最短以及结合已知得出AP的取值范围进而得出答案．此题主要考查了垂线段最短，正确得出AP的取值范围是解题关键．16.如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的小路，过点A作AH⊥PQ于点H，则这样做的理由是（）A. 两点之间线段最短B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短D. 过一点可以作无数条直线【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．【解答】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，∴过点A作AH⊥PQ于点H，这样做的理由是垂线段最短．故选：C．17.给出下列说法：①棱柱的上、下底面的形状相同；②相等的角是对顶角；③若AB=BC，则点B为线段AC的中点；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确说法的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：棱柱的上、下底面的形状相同，故①正确；相等的角不一定是对顶角，如图：∠1=∠2，但是两角不是对顶角，故②错误；如图：AB=BC，但是点B为线段AC的中点，故③错误；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故④正确；即正确的个数是2个，故选：B．根据棱柱、对顶角、线段的中点的定义、垂线的性质逐个判断即可．本题考查了棱柱、对顶角、线段的中点的定义、垂线的性质等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．18.下列说法中，正确的有（）①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，垂线最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：①过两点有且只有一条直线，正确；②连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故本小题错误；③两点之间，线段最短，故本小题错误；④若AB=BC，点A、B、C不一定在同一直线上，所以点B不一定是线段AC的中点，故本小题错误，综上所述，正确的是①共1个．故选A．根据直线的性质，两点间的距离的定义，垂线段最短对各小题分析判断后即可得解．本题考查了垂线段最短，直线的性质，两点间的距离，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．19.马龙同学沿直线将一三角形纸板剪掉一个角，发现啊下纸板的周长比原纸板的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A. 经过一点有无数条直线B. 两点之间，线段最短C. 经过两点，有且仅有一条直线D. 垂线段最短【答案】B【解析】解：某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．故选：B．根据两点之间，线段最短进行解答．此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．20.平面直角坐标系中，点A（-3，2），B（1，4），经过点A的直线L∥x轴，点C直线L上的一个动点，则线段BC的长度最小时点C的坐标为（）A. （-1，4）B. （1，0）C. （1，2）D. （4，2）【答案】C【解析】解：如图，根据垂线段最短可知，BC⊥AC时BC最短．∵A（-3，2），B（1，4），AC∥x轴，∴BC=2，∴C（1，2），故选：C．如图，根据垂线段最短可知，BC⊥AC时BC最短；本题考查坐标与图形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A. 4B. 1C. 3D. 2【答案】D【解析】解：作PH⊥OM于M，如图，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PH=PA=2，∴点P到OM的距离为2，∴Q点运动到H点时，PQ最小，即PQ的最小值为2．故选：D．作PH⊥OM于M，如图，根据角平分线定理得到PH=PA=2，根据垂线段最短，则Q点运动到H点时，PQ最小，于是得到PQ的最小值为2．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．22.如图，在三角形ABC和三角形ABD中，∠ABC=∠ADB=90°，则边AC，AB，CB，AD中最长的是（）A. ACB. ABC. BCD. AD【答案】A【解析】解：∵∠ABC=∠ADB=90°，∴AB⊥BC，AD⊥BD，∴AC＞AB＞AD，AC＞BC，∴边AC，AB，CB，AD中最长的是AC，故选：A．根据垂直的定义得到AB⊥BC，AD⊥BD，根据垂线段最短即可得到结论．本题考查了垂直的定义，垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是解题的关键．23.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A. 1.5B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=3，∴PQ≥PA=3．故选：C．根据角平分线的性质结合点到直线垂线段最短，即可得出PQ≥PA，此题得解．本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，根据角平分线的性质结合垂线段最短，求出PQ的最小值是解题的关键．24.下列说法错误的是（）A. 如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等B. 在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】A【解析】解：A、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等，错误，符合题意；B、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确，不合题意；C、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不合题意；D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不合题意；故选：A．分别利用平行线的性质以及垂线的性质分别判断得出答案．此题主要考查了平行公理及推论和垂线的性质，正确把握相关定义是解题关键．25.如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC=3，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】解：∵AC⊥BC，∴AP≥AC，即AP≥3．故选：A．利用垂线段最短得到AP≥AC，然后对各选项进行判断．本题考查了垂线段最短：垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．26.如图，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是BC边上一动点，则线段AP的长不可能是（）A. 2.5cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴3≤AP≤5，故选：A．利用勾股定理列式求出AB，然后根据AC≤AP≤AB求出AP的范围，再选择答案即可．本题考查了勾股定理，垂线段最短的性质，求出AP的取值范围是解题的关键27.如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC=6，BC=8，AB=10，则点C到点D的最短距离是（）A. 6B. 8C.D.【答案】D【解析】解：当CD⊥AB时，点C到点D的距离最短，∵AC=6，BC=8，AB=10，∴•AC•CB=•CD•AB，=10×CD，解得：CD=4.8，故选：D．当CD⊥AB时，点C到点D的距离最短，再根据直角三角形的面积公式可得=10×CD，再解出CD的值即可．此题主要考查了垂线段最短，以及三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积的两种算法．28.若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA=3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（）A. 0＜d＜3B. 0≤d＜3C. 0＜d≤3D. 0≤d≤3【答案】C【解析】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3，当d=3时此时PA⊥l故选：C．根据垂线段最短即可求出答案．本题考查点的直线的距离，解题的关键是熟练运用垂线段最短，本题属于基础题型．29.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．点P在边BC上运动，则线段AP的长不可能是（）A. 2.5B. 3.5C. 4D. 5【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，点P在边BC上运动，∴AB≥AP≥AC，又∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AP的长不可能是2.5，故选：A．从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案．本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键．30.在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】解：根据垂线段最短可知：PC≤3，∴CP长的最大值为3，故选：C．根据垂线段最短得出结论．本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．31.如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）A. 4.5B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：∵在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，∴AC⊥BC，∴根据垂线段最短，可知AP的长不可小于5，故选：A．利用垂线段最短分析AP最小不能小于5，由此判断即可．本题主要考查了垂线段最短，解答此题的关键是熟练掌握垂线段最短．32.点A为直线l外的一点，点B在直线l上，若AB=5cm，则点A到直线l的距离A. 大于5cmB. 大于等于5cmC. 小于5cmD. 小于等于5cm 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是点到直线的距离.根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短进行作答即可.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，垂线段最短.根据概念，答案可得．【解答】解：根据同一平面内垂线段最短的性质可知：点A到直线l的距离最多为5cm．故选D．33.下列说法中，正确的个数有：（）①同旁内角互补；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④平行线间的距离处处相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：①两直线平行时，同旁内角互补，故说法①错误；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故说法②正确；③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法③正确；④平行线间的距离处处相等，故说法④正确．故选：C．依据平行线的判定，垂线段的性质，点到直线的距离的概念进行判断即可．本题主要考查了平行线的判定，垂线段的性质，点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．34.如图，点P在直线l外．点A，B在直线l上，PA＝3，PB＝6，点P到直线l的距离可能是A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】A【解析】【分析】本题考查了点到直线的距离和垂线段最短的应用，此题属于基础题，掌握好点到直线的距离和垂线段最短的应用是解题关键.【解答】解：当时，点P到直线l的距离是PA=3，当PA不垂直于AB时，点P到直线l的距离小于PA.故选A.35.如图是测量嘉琪跳远成绩的示意图，直线l是起跳线，以下线段的长度能作为嘉琪跳远成绩的是（）A. BPB. CPC. APD. AO【答案】D【解析】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短，符合题意的垂线段是AO；故选：D．利用垂线段最短求解．本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．36.如图点P是直线a外一点，PB⊥a，A、B、C、D都在直线a上，下列线段中最短的是（）A. PAB. PBC. PCD. PD【答案】B【解析】解：如图，PB是点P到a的垂线段，∴下列线段中最短的是PB．故选：B．根据垂线段最短进行解答．本题主要考查了垂线段最短的性质，需要熟记．37.下列说法正确的是（）A. 经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 两个相等的角是对顶角C. 互补的两个角一定是邻补角D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【答案】D【解析】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；B、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；C、邻补角互补，但互补的两个角不一定是邻补角，故本选项错误；D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确．故选：D．根据平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，以及垂线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，垂线段最短，是基础概念题．38.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm则PD的长可以是（）．A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6 cm【答案】D【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键. 过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，再根据垂线段最短解答即可.【解答】解：作PD⊥OA于D，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，∴PD=PC=6cm，则PD的最小值是6cm，故选D.39.运动会上,一位跳远运动员跳落沙坑时的痕迹如图所示,测量该运动员跳远成绩的依据是( )A. 两点之间,线段最短B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短D. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用垂线段最短求解.本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短.【解答】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短,故ABD错误，C正确.故选C.二、填空题（本大题共28小题，共84.0分）40.如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．41.如图，OC平分，点P是OC上一点，于点M，点N是射线OA上的一个动点，若，则PN的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解．【解答】解：当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵PM=5，∴PN的最小值为5．故答案为5．42.如图所示，想在河堤两岸塔建一座桥，搭建方式最短的是______，理由______．【答案】PN垂线段最短【解析】解：因为PN⊥MQ，垂足为N，则PN为垂线段，根据垂线段最短，故填空为：PN，垂线段最短．根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知搭建方式最短的是PN，理由垂线段最短．从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．43.在直角坐标系中，点A（-1，2），点P（0，y）为y轴上的一个动点，当y= ______ 时，线段PA的长得到最小值．【答案】2【解析】【分析】本题考查了垂线段最短的性质，坐标与图形性质，作出图形更形象直观．属于基础题. 作出图形，根据垂线段最短可得PA⊥y轴时，PA最短，然后解答即可．【解答】解：如图，PA⊥y轴时，PA的值最小，所以，y=2．故答案为：2．44.如图，计划把水从河中引到水池A中，先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．【答案】垂线段最短【解析】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；故答案为：垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案．本题考查了垂线段，利用垂线段的性质是解题关键．45.如图，拟从点A修建一条小径到边BC，若要使修建小径使用的材料最少，则过点A作AD⊥BC于点D，线段AD即为所求小径的位置，这样画的理由是______ ．【答案】垂线段最短【解析】【分析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．【解答】解：拟从点A修建一条小径到边BC，若要使修建小径使用的材料最少，则过点A作AD⊥BC于点D，线段AD即为所求小径的位置，这样画的理由是垂线段最短.故答案为：垂线段最短．46.如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB=6，AC=8，BC=10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为____________．。

5.1.2垂线段最短专题训练卷(教师版)

5.1.2垂线段最短专题训练卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2010•台州）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A．2.5 B．3C．4D．5考点：垂线段最短．分析：利用垂线段最短分析．解答：解：已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选A．点评：本题主要考查了垂线段最短的性质．2．如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是（）A．两点确定一条直线B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C．垂线段最短D．过一点只能作一条垂线考点：垂线；直线的性质：两点确定一条直线；垂线段最短．分析：利用平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，逐一分析，排除错误答案．解答：解：A、点M、N可以确定一条直线，但不可以确定三点O、M、N都在直线l的垂线上；故本选项错误；B、直线OM、ON都经过一个点O，且都垂直于a；故本选项正确；C、此题没涉及到线段的长度；故本选项错误；D、垂直的定义是判断两直线垂直关系的，本题已经已知ON⊥a，OM⊥a；故本选项错误；故选B．点评：本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短．正确理解它们的含义是解题的关键．3．如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是（）A．大于3cm B．小于5cmC．大于3cm或小于5cm D．大于3cm且小于5cm考点：垂线段最短．专题：计算题．分析：根据垂线段最短进行分析．解答：解：∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，∴BC＜BD＜AB，即BD的长度的取值范围是大于3cm且小于5cm．故选D．点评：此题要熟练掌握垂线段的性质．4．下列说法中，正确的有（）①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，垂线最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线；两点间的距离．分析：根据直线的性质，两点间的距离的定义，垂线段最短对各小题分析判断后即可得解．解答：解：①过两点有且只有一条直线，正确；②连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故本小题错误；③两点之间，线段最短，故本小题错误；④若AB=BC，点A、B、C不一定在同一直线上，所以点B不一定是线段AC的中点，故本小题错误，综上所述，正确的是①共1个．故选A．点评：本题考查了垂线段最短，直线的性质，两点间的距离，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．5．如图点P是直线a外一点，PB⊥a，A、B、C、D都在直线a上，下列线段中最短的是（）A．P A B．P B C．P C D．P D考点：垂线段最短．专题：常规题型．分析：根据垂线段最短进行解答．解答：解：如图，PB是点P到a的垂线段，∴下列线段中最短的是PB．故选B．点评：本题主要考查了垂线段最短的性质，需要熟记．6．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线上三点，PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离为（）A．等于2cm B．小于2cm C．大于2cm D．不大于2cm考点：垂线段最短．分析：根据直线外一点到直线的距离即为垂线段的长度和垂线段最短的性质进行求解．解答：解：因为垂线段最短，所以点P到直线l的距离为不大于2cm．故答案为D．点评：此题考查了垂线段最短的性质，此题所给的线段长度中，PA可能是垂线段，也可能不是．7．三角形两边长分别为3和9，第三边上的高h的取值范围是（）A．0＜h＜3 B．0＜h≤3 C．3＜h＜9 D．3≤h＜9考点：垂线段最短．专题：几何图形问题．分析：过三角形第三边对应顶点作第三边的高，是对应顶点与第三边所在直线的垂线段，根据垂线段最短作答．解答：解：三角形两边长分别为3和9，根据垂线段最短，可知第三边上的高h应不大于较短边，故第三边上的高h的取值范围是0＜h≤3．故选B．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的应用．二．填空题（共2小题）8．如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是垂线段最短．考点：垂线段最短．专题：应用题．分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．9．如图所示，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路旁选一点来建火车站（位置已选好），说明理由：垂线段最短．考点：垂线段最短．专题：应用题．分析：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知，要选垂线段．解答：解：为了使李庄人乘火车最方便（即距离最近），过李庄向铁路画垂线段，根据是垂线段最短．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．三．解答题（共7小题）10．说出日常生活现象中的数学原理：日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼，你笔直向他走过去两点之间直线段最短要用两个钉子把毛巾架安装在墙上桥建造的方向通常是垂直于河两岸人去河边打水总是垂直于河边方向走考点：垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线．专题：应用题．分析：根据两点确定一条直线和垂线段最短解答．解答：解：这几种实际问题用数学原理解释分别是：两点确定一条直线；夹在两平行线间的线段中，垂线段最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．点评：此题主要考查数学原理在实际生活中的应用．11．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．考点：垂线段最短；线段的性质：两点之间线段最短．专题：应用题；作图题．分析：（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．解答：解：（1）∵两点之间线段最短，∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．点评：本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用．12．如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示河流与铁路．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．考点：垂线段最短；线段的性质：两点之间线段最短．专题：应用题；作图题．分析：（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．解答：解：如图所示（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BD走，垂线段最短；（3）沿AC走，垂线段最短．点评：根据具体的问题正确判断出是点到点的距离还是点到线的距离是解答问题的关键．13．如图，P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，且PB与l垂直，在从点P到点A、从点P到直线l的多条道路中，点P到点A的最短路线是（3），点P到直线l的最短路线是（4）（只填写序号即可）．考点：垂线段最短；线段的性质：两点之间线段最短．分析：根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．填空．解答：解：①因为两点之间线段最短，所以在连接PA的所有路线中，点P到点A的最短路线是（3），（1分）②线段BP是点P到直线L的垂线段，根据垂线段最短可知，（1）～（5）中，PB最短，所以点P到直线l的最短路线是（4）．（2分）故答案是：（3）、（4）．点评：本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．14．如图，AC⊥BC，AC=9，BC=12，AB=15．（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；（2）点C到直线AB的距离是多少？你是怎样求得的？考点：点到直线的距离．专题：计算题．分析：（1）点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．（2）利用三角形的面积公式求出点C到直线AB的距离．解答：解：（1）∵AC⊥BC，AC=9，BC=12，∴点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离分别是：9，12．（2）设点C到直线AB的距离为h，△ABC的面积=BC•AC=AB•h，∴15h=12×9，∴h=．∴点C到直线AB的距离为．点评：掌握好点到直线距离的定义以及灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键．15．如图，某人在路的左侧A处，要到路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到路对面的B处，怎样走最近？说明理由．考点：垂线段最短；线段的性质：两点之间线段最短．分析：利用垂线段最短和两点之间线段最短进行解答．解答：解：某人在路的左侧A处，要到路的右侧，如图，沿垂线AC的方向走最近，根据垂线段最短．若他要到路对面的B处，如图，连接AB，沿线段AB走最近，根据两点之间线段最短．点评：理解垂线段最短和两点之间线段最短这两个性质是解题的关键．16．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．考点：垂线段最短．专题：应用题；作图题．分析：利用两点之间线段最短和垂线段最短即可解决问题．解答：解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB+BC最短．点评：本题考查数学原理在生活中的应用，利用线段及垂线段的性质即可解决问题．。

垂线段最短专项试题

垂线段最短专项试题
1．如图，是一条河，C是河边AB外一点：
（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．
（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）
2．如图，某人在路的左侧A处，要到路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到路对面的B处，怎样走最近？说明理由。

工
3．如图所示，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短？画图表示，并说明设计的理由．
4．如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
5．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
6．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．。

初中数学上册利用【垂线段最短】解决线段最值问题

初中数学上册利用【垂线段最短】解决线段最值问题所谓“动点问题”是指图形中有一个或多个动点，在线段、射线或者弧线上运动的一类开放性题目，而解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活地运用相关数学知识解决问题。

在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题的基本思路数学压轴题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向，加强了对几何图形运动变化的考核，从变化的角度来研究三角形、四边形、函数图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究手段和方法来探究图形性质及变化。

让学生经历探索的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，把运动观点、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想有机地结合起来。

一、定理:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.证明如下：作点P关于直线AB的对称点P'，连接CP'，DP'.易知CP=CP'，DP=DP'根据连点之间线段最短可得，PP'≤CP+CP',即2PD≤2PC.所以PD≤PC.二、定理的应用（一）求线段最值问题中的应用1、如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点E是对称轴AD上一点，将点E绕点C逆时针旋转60°得到点F.求线段DF的最小值.解：作AC的中点G，连接EG.易证△CDF≌△CGE.所以DF=GE.要使DF有最小值，只需GE取最小值.根据垂线段最短可得，当GE⊥AD时，GE最小.此时GE=1/2AG=1/4AC=3/2.所以DF的最小值为3/2.反思：本题实质上就是结合题中给出的等边三角形，构造了一对手拉手等边三角形。

当然也可以从捆绑旋转的角度出发，先找到点F的运动轨迹，再构造全等三角形或直接建立坐标系求出轨迹的方程，运用垂线段最短加以解决.2、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3.点P是BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AB上的动点.连接EP、EF，求EP+EF的最小值.解：将△ABC沿AC折叠，点B落在点N处，AN交CD于点G, 点P落在CN上的点Q处.连接EQ，则EP=EQ.连接FQ，过点Q作QM⊥AB于点M.则EP+EF=EQ+EF≥QF≥QM.易证△ADG≌△CNG.设DG=x,则AG=4-x.在Rt△ADG中，根据勾股定理可得,AG²=DG²+AD²，即(4-x)²=x²+3²解得，x=7/8即DG=7/8，AG=4-7/8=25/8.所以sin∠GCN=sin∠DAG=7/25.QM=CQ*sin∠GCN+CB=3/2*7/25+3=171/50.所以EP+EF的最小值为171/50.3、如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D是BC的中点，点E为AB上一动点．点P沿DE--EA折线运动，在DE、EA上速度分别是每秒1和5/3个单位．设运动时间为t秒，试求t的最小值.分析：由题可知t=DE+EA/(5/3)=DE+3/5EA.这是一个典型的胡不归问题.以A为顶点在AE的上方构造∠EAF，使得sin∠EAF=3/5.利用垂线段最短即可解决.解：过点A作BC的平行线AG，则sin∠EAG=sin∠B=3/5.分别过点E、D作EM⊥AG，DN⊥AG垂足分别是点M、N.易知t=DE+3/5EA=DE+EM>=DM>=DN=DP+3/5PA当点E和点P重合时取等号.此时DN=6所以t的最小值为6.（二）求线段取值范围中的应用4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，点D是BC边上一个动点，连接AD，过点D作DE⊥AD交AB于点E.求线段AE的最小值.分析：作AE的中点F，连接FD.过点F作FG⊥BC于点G.设AE=x,用含x的代数式表示出GF和DF，由垂线段最短可得，GF≤DF.解不等式即可得出结果. 解：如图，作AE的中点F，连接FD.过点F作FG⊥BC于点G.。

考查知识点----两点之间线段最短,垂线段最短,点关

小结
E? F!
09济南24
已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点△PBC的周长.
第一步寻找、构造几何模型要求△PBC的周长最小？只要PB+PC最小就好了！
经典模型：牛喝水！
第二步计算——勾股定理
把PB+PC转化为PA+PC ！
当P运动到H时，PA+PC最小
第一步寻找、构造几何模型
要求四边形MNFE 的周长最小？
08福州22
把三条线段转移到同一条直线上就好了！
第二步计算——勾股定理
E' F' 32 42 5 EF 12 22 5
因此四边形 MNFE的周长的最小值为 5 5.
小结
经典模型：台球两次碰壁问题经验储存：没有经验，难有思路
1、（点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则 △PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
2、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中， AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在 BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为____________________.
两条线段和的最小值两条线段差的最大值
两点之间，线段最短
三角形两边之差小于第三边
当P运动到E时，PA＋PB最小当Q运动到F时，QD－QC最大
当P运动到E时，PA＋PB最小当Q运动到F时，QD－QC最大
第一步，寻找、构造几何模型第二步，计算
09内江27 对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值 .
考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”， “点关于线对称”，“线段的平移”。

利用垂线段最短解决最值问题

利用垂线段最短解决最值问题模型一垂线段最短如图，已知直线l 外一定点A 和直线l 上一动点B，求A、B 之间距离的最小值 .通常过点A 作直线l 的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．【典型例题】1.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是AB 上任意一点．若AD＝5，AC＝4，则DE 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A .当DE⊥AB 时，DE 最小，此时DE = CD，在Rt△ACD 中，根据勾股定理易得CD = 3 .2. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC 边上高AD＝4，若点P 在边AC 上( 不含端点) 移动，则BP 长的最小值为________．答案：24/5 .如图，延长CA，过点B 作BP'⊥CA 于点P'，此时BP' 的长最小 .在等腰△ABC 中根据“三线合一”的性质可知BD = CD = 3 ,S△ABC = 1/2 ×BP' ×AC = 1/2 ×AD ×BC，可得BP' = 24/5 . （等积求距）3. 如图，点A 坐标为(－2，0)，点B 在直线y＝x－4 上运动，当线段AB 最短时，点B 坐标为________．答案：（1，-3）.如图，当AB'⊥直线y＝x－4 时，此时线段AB 最短 .设直线AB' 的解析式为y = kx + b （k ≠0）,∵AB'⊥BB'，K BB' = 1，（KBB' 为直线y＝x－4 的斜率）∴K AB' ×K BB' = - 1 ，（两条直线垂直斜率乘积为-1）∴K AB' = - 1 ，即k = -1 ,∴直线AB' 的解析式为y = -x + b ,∵点A（-2,0）在直线AB' 上，∴0 = 2 + b , 解得b = -2 ,∴直线AB' 的解析式为y = -x - 2 .联立直线y = x - 4 , 解方程可得B'（1，-3）.模型二胡不归问题“胡不归”问题即点P 在直线l 上运动时的“PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ”型最值问题 .问题：如图①，已知sin∠MBN＝k，点P 为∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP，则当“PA＋k·PB ”的值最小时，点P 的位置如何确定？解题思路：本题的关键在于如何确定“k·PB ”的大小 .过点P 作PQ⊥BN 于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可将求“PA＋k·PB ”的最小值转化为求“PA＋PQ ”的最小值( 如图②)，∴当A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小( 如图③)，此时AQ⊥BN .【典型例题】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB＝6，且∠ABC＝60°，M 为对角线BD ( 不与点B 重合) 上任意一点，则AM＋1/2 BM 的最小值为________．答案：3√3 .如图，过A 点作AE⊥BC 于点E，交AB 于点M' ，则AM＋1/2 BM 的最小值为AE .在Rt△AEB 中，AB = 6，∠ABC = 60°，∴AE = AB ▪sin∠ABC = 6 ×√3 / 2 = 3√3 .拓展应用：对于求“m·PA＋k·PB”的最值，若m > k ≥1，可转化为“m ( PA + k/m ·PB ) ”的最值, 此时0< k/m < 1.(1) 本题若要求“2AM＋BM ”的最小值，你会吗？请求解．答案：6√3 .(2) 本题若要求“AM＋BM＋CM”的最小值，你会吗？请求解．答案：6√3 .AM＋BM＋CM 最小时，此时点M 为△ABC 的“费马点”，所以AM＋BM＋CM = BD = 2 ×√3 / 2 ×6 = 6√3 .2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2 + bx＋c 的图象经过点A(－1，0)、B(0，－√3 )、C(2，0)，其对称轴与x 轴交于点D .若P 为y 轴上的一个动点，连接PD，则1/2 PB＋PD 的最小值为_______．答案：3√3 / 4 .如图1/2 PB＋PD = PD + 1/2 PB 的最小值为DE，则∠PBE = 30°，可解得DE = 3√3 / 4 .。

垂线段最短的逆命题

垂线段最短的逆命题垂线段最短的逆命题引起了我浓厚的兴趣。

让我们深入探讨这个主题，并从简单的概念开始逐步展开，以全面、深刻和灵活地理解这个逆命题。

1.什么是垂线段最短？垂线段最短是指，当一条线段与一条直线相交时，从线段上一点垂直地落在直线上的线段最短。

这意味着，在所有与直线相交的线段中，垂线段最短。

这个概念还可以扩展到平面和空间中的几何图形。

2.逆命题是什么？在数学中，逆命题是通过对一个命题的否定来形成的新命题。

原命题是“垂线段最短”，其逆命题是“如果一条线段与一条直线相交，并且从线段上一点垂直地落在直线上的线段最短，则这条线段与这条直线垂直”。

3.为什么逆命题有价值？逆命题的价值在于它可以帮助我们更好地理解和推导出与原命题相关的陈述。

通过逆命题，我们可以得到更多有关垂线段和垂直关系的信息。

4.垂线段最短的逆命题的证明我们可以通过数学推导来证明垂线段最短的逆命题。

假设有一条线段AB与一条直线CD相交，且从点A到直线CD的垂线段AE最短。

我们需要证明的是，线段AB与线段CD垂直。

我们可以使用反证法来证明这个逆命题。

假设线段AB与线段CD不垂直，即它们之间存在一个夹角。

那么我们可以从线段CD上找到一点F，并且线段EF与线段CD平行。

由于线段EF与线段AB平行，所以线段EF与线段AE也平行。

根据平行线性质，我们可以得到线段EF比线段AE长，这与垂线段AE最短的前提相矛盾。

我们可以推断，线段AB与线段CD垂直。

5.个人观点和理解垂线段最短的逆命题是一个有趣的逆推问题，它要求我们在给定垂线段最短的前提下，推导出线段与直线的垂直关系。

通过推导证明，我们可以更好地理解垂线段和垂直关系之间的内在联系。

垂线段最短的逆命题在几何学中起着重要的作用，并且在解决几何问题时经常被应用。

总结与回顾在这篇文章中，我们从简到繁地探讨了垂线段最短的逆命题。

我们首先介绍了垂线段最短的概念，然后讨论了逆命题的定义和价值。

我们给出了垂线段最短的逆命题的证明，并分享了个人观点和理解。

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