高中数学1-1-3四种命题间的相互关系课件
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第一章 1.1 1.1.2 1.1.3 四种命题间的相互关系(优秀经典公开课比赛课件)
人教A版数学·选修1 -1
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名称
阐释
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题 互为逆
的 结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如 否命题 果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的 逆否命题.
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知识点二 四种命题的相互关系 预习教材 P6－7，思考并完成以下问题 设：命题(1)“若 p，则 q”是原命题，那么： 命题(2)“若 q，则 p”是原命题的逆命题， 命题(3)“若p，则綈 q”是原命题的否命题， 命题(4)“若綈 q，则綈 p”是原命题的逆否命题． 你能发现它们之间有什么关系吗？
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判断以上四个命题的真假．
提示：原命题(1)是真命题，它的逆命题(2)是假命题，它的否命题(3)也是假命题，而它 的逆否命题(4)是真命题．
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知识梳理 四种命题间的真假关系
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
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2．命题“若 a>b，则 2a>2b－1”的否命题是____________________． 答案：若 a≤b，则 2a≤2b－1
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探究一 四种命题及其关系 [教材 P6 练习(3)]写出命题“奇函数的图象关于原点对称”的逆命题、否命题、逆否命 题．
知识梳理 四种命题的定义如下表所示
名称
《1.1.3 四种命题间的相互关系》PPT课件(山西省县级优课)
互逆
互
为 逆
否命题：若非p则非q
否
逆否命题：若非q则非p
互 否
互 否 互逆
一种方法——反证法.
作业: 课本P8 习题1.1 1、2
此处是命题的否定，要区别于否命题.
反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论 的反面成立;
（2）从这个假设出发 , 经过推理论证, 得出矛盾;（3）由矛盾判定假设源自正确 , 从而肯定 命题的结论正确.
反设 归谬
结论
【变式练习】
求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条 边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根 据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角 形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说 两条边相等.
这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆 否命题是真命题，所以原命题也是真命题.
小结 四种命题的一般形式：
原命题：若p则q
互 为 逆 否
逆命题：若q则p
【提升总结】因为原命题和它的逆否命题有相同的
真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难 时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证 明原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种 方法——反证法.
反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾 来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种 数学证明方法.
逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
四种命题的真假关系 原命题为真，它的逆命题不一定为真； 原命题为真，它的否命题不一定为真； 原命题为真，它的逆否命题一定为真； 原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真．
命题方向 互为逆否命题同真同假的应用
《1.1.3 四种命题间的相互关系》PPT课件(河北省市级优课)
选修2-1
课堂达标：
4.证明：若a2 b2 2a 4b 3 0,则a b 1.
证明：若 a b 1 则
a2 b2 2a 4b 3 (a b)(a b) 2a 4b 3 a b 2a 4b 3 3(a b) 3 0
所以原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题 即原命题得证.
请你用逻辑学原理解释这两人离去的原因。
解：张三走的原因是：“该来的没有来”， 逆否命题是--“来了的是不该来的！” 李四走的原因是“不该走的又走了”， 其逆否命题是“没有走的是应该走的”.
选修2-1
课堂小结：
1）掌握四种命题的相互关系及真假关系； 2）能够利用逆否命题的等价性解决具体问题.
选修2-1
逆否命题 断下列说法是否正确:
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；√
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 √
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 ×
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。
×
2.原命题为：若ab=0,则a=0或b=0.判断其逆命题、
(1)原命题：若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称（. 真）
逆命题： 若一个函数的图像关于原点对称，则它是奇函数. （真）
(2)原命题：若ac2 bc2,则a b. 逆命题： 若a b,则ac2 bc2.
真假无关
（真） （假）
(3)原命题：若x2 3x 2 0,则x 2.
（假）
否命题、逆否命题为真命题的个数___3_____．
选修2-1
课堂达标：
3.有下列四个命题： ①“同位角相等”的逆命题; ②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题； ③“若x＋y ≠ 0，则x，y 不互为相反数”； ④“若x<－2，则x2－x－6>0”的否命题； 其中真命题的个数是___1_____．
课堂达标：
4.证明：若a2 b2 2a 4b 3 0,则a b 1.
证明：若 a b 1 则
a2 b2 2a 4b 3 (a b)(a b) 2a 4b 3 a b 2a 4b 3 3(a b) 3 0
所以原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题 即原命题得证.
请你用逻辑学原理解释这两人离去的原因。
解：张三走的原因是：“该来的没有来”， 逆否命题是--“来了的是不该来的！” 李四走的原因是“不该走的又走了”， 其逆否命题是“没有走的是应该走的”.
选修2-1
课堂小结：
1）掌握四种命题的相互关系及真假关系； 2）能够利用逆否命题的等价性解决具体问题.
选修2-1
逆否命题 断下列说法是否正确:
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；√
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 √
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 ×
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。
×
2.原命题为：若ab=0,则a=0或b=0.判断其逆命题、
(1)原命题：若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称（. 真）
逆命题： 若一个函数的图像关于原点对称，则它是奇函数. （真）
(2)原命题：若ac2 bc2,则a b. 逆命题： 若a b,则ac2 bc2.
真假无关
（真） （假）
(3)原命题：若x2 3x 2 0,则x 2.
（假）
否命题、逆否命题为真命题的个数___3_____．
选修2-1
课堂达标：
3.有下列四个命题： ①“同位角相等”的逆命题; ②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题； ③“若x＋y ≠ 0，则x，y 不互为相反数”； ④“若x<－2，则x2－x－6>0”的否命题； 其中真命题的个数是___1_____．
人教版2017高中数学(选修1-1)1.1.3 四种命题间的相互关系 探究导学课型PPT课件
【解析】选D.与逆命题等价的是否命题，否命题是若p正确，则q正确.
2.已知命题p：“若|a|=|b|，则a=b”，则命题p及其逆命题、否命 题、逆否命题中，正确命题的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 ( D.4个 )
【解析】选B.因为a=-b时，|a|=|b|，则命题p为假命题，命题p的逆 命题为：若a=b，则|a|=|b|，为真命题； 又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题，原命题与其逆否命题互
【解题指南】解答本题先要分清涉及两个命题的条件和结论，再比较 两 .
【解析】(1)已知两命题的条件和结论分别互否，故它们是互否关系 .
(2)已知两命题的条件和结论正好互换，故它们是互逆关系 .
(3)已知两命题的条件和结论分别互否且正好交换，故它们是互为逆
为逆否命题，故真命题的个数是2个.
【归纳总结】 1.对四种命题间关系的说明 对于两个命题的条件和结论之间的关系，若“只换位不换质”，则两 者之间就是“互逆命题”；若“只换质不换位”，则两者之间就是 “互否命题”；若“既换位又换质”，则两者之间就是“互为逆否命 题”.
2.等价命题的两个关注点 (1)当两个命题互为逆否命题时，这两个命题是等价命题. (2)由于原命题与其逆否命题，原命题的逆命题与原命题的否命题是 互为逆否关系，所以原命题与其逆否命题是等价命题，原命题的逆命 题与原命题的否命题是等价命题.
否命题是互为逆否命题，故逆命题与否命题是等价的 .
3.在四种命题中，原命题是固定的吗？ 提示：不固定，是相对而言的.
【过关小练】 1.命题p：“若m>0，则x2+x-m=0有实根”，与命题q：“若x2+x-m=0 没有实根，则m≤0”的关系是 A.互逆 B.互否 C.互为逆否 ( )
1.1.3四种命题间的相互关系ppt课件
【思路点拨】
【解】 法一：原命题的逆否命题： 已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式 x2 ＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ 2≤0 的解集为空集．判断 其真假如下： 抛物线 y ＝ x2 ＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ 2 的图象开口向 上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴 无交点．
温故夯基
1．四种命题
栏目 内容 名称 定义 表示形式
对于两个命题，如果一个命 题的条件和结论分别是另一 结论 原命题为“若 p ， 个命题的______和_______， 条件 则 q”，逆命题为 互逆命题 那么这样的两个命题叫做 若q，则p “ ___________” ______________，其中一个 互逆命题 ． 命题叫做原命题，另一个叫 做原命题的____________. 逆命题
B．①③④ D．①④
A．①②③④ C．②③④
互动探究 2
判断本例②中“正三角形都相似”
的否命题和逆否命题的真假． 解：否命题：若两个三角形不是正三角形， 则它们不相似，假命题； 逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不 都是正三角形，真命题．
4.等价命题的应用 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性， 即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们 在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可 以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地 证明原命题为真命题． 例3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x 的不等式 x2 ＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ 2≤0 的解集非空， 则a≥1”的逆否命题的真假．
1.必修5P104:5、6 2.做完《师说》P4—P5
高中数学选修1-1精品课件1：1.1.3 四种命题间的相互关系
解法二：原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数 根”的逆否命题为“若方程 x2＋2x－3m＝0 无实数根，则 m≤0”．
方程 x2＋2x－3m＝0 无实数根， ∴Δ＝4＋12m<0.∴m<－13≤0. ∴“若方程 x2＋2x－3m＝0 无实数根，则 m≤0”为真．
[点评] 本题中解法一利用了原命题与它的逆否命题同真 同假的方法解决；解法二是先写出原命题的逆否命题，再判断 其真假．
逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个 四边形不是菱形．是真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．是 真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全 等．是真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等 高．是假命题．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦 的垂直平分线．是假命题．
命题方向 互为逆否命题同真同假的应用
[例 2] 判断命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数 根”的逆否命题的真假．
[分析] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆 否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价 命题的同真同假判断．
[解析] 解法一：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程 x2＋2x－3＝0 的判别式 Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”为 真． 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”的逆否命题也为真．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不 平分弦所对的弧．是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不 是弦的垂直平分线．是真命题．
课件1：1.1.3 四种命题的相互关系
跟踪训练
3．求证：在一个三角形中，如果两个角不等， 那么它们所对的边也不等．
证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边 相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角 也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立， 所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它 们所对的边也不等．
典例精析
例4 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的 真假． (1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数； (2)若xy＝0，则x＝0或y＝0； (3)若一个数是质数，则这个数是奇数．
典例精析
例1 写出命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”的逆命题、否命题、 逆否命题，并判断真假． 分析：要判断一个命题的其他三种命题的真假，可以分别 写出其逆命题、否命题、逆否命题，再判断其真假；也可 以利用它们之间的等价关系，由一个命题的真假推断出另 一个命题的真假． 解析：逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0，假命题． 否命题：若ab>0，则a>0且b>0，假命题． 逆否命题：若a>0且b>0，则ab>0，真命题．Fra bibliotek跟踪训练
1．判断下列命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假． (1)当c>0时，若a>b，则ac>bc； (2)若ab≤0，则a≤0或b≤0.
解析：(1)由于原命题与其逆命题“当c>0时，若ac>bc， 则a>b”均为真命题，因此它的否命题与逆否命题也为真命题． (2)其逆命题“若a≤0或b≤0，则ab≤0”为假命题，其否命题与逆命 题等价；其逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”为真命题．所以 其逆命题与否命题为假，而逆否命题为真．
例：命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的等价命题是： “___若__s_i_n_x_＝__s_in__y_，__则__x_＝__y__”，这是一个假命题， 故原命题也是一个假命题．
课件4:1.1.3 四种命题间的相互关系
解析：确定原命题的条件和结论后，同时进行否定，即 可写出否命题．
原命题的条件是：f(x)是奇函数，结论是：f(－x)是奇函 数，同时否定条件与结论，即得否命题：若 f(x)不是奇函数， 则 f(－x)不是奇函数．
答案：B
4．命题“若 a>b，则 2a>2b－1”的否命题为： _若___a_≤__b_，__则__2_a_≤__2_b_－__1_．
解析：如果原命题为“若 p，则 q”，则它的否命题为 “若┐p，则┐q”．
5．写出命题“若 x，y 都是奇数，则 x＋y 是偶数”的逆 命题，否命题，逆否命题．
解：逆命题：若 x＋y 是偶数，则 x，y 都是奇数． 否命题：若 x，y 不都是奇数，则 x＋y 不是偶数． 逆否命题：若 x＋y 不是偶数，则 x，y 不都是奇数．
(4)原命题是假命题． 逆命题：若方程 x2＋2x＋q＝0 有实根，则 q>1，假命题． 否命题：若 q≤1，则方程 x2＋2x＋q＝0 无实根， 假命题． 逆否命题：若方程 x2＋2x＋q＝0 无实根， 则 q≤1，假命题．
[点拨] (1)四种命题转化，必须分清命题的条件和结论， 将命题写成“若 p，则 q”的形式．
[解] (1)原命题：“若 a 是正数， 则 a 的平方根不等于 0”． 逆命题：“若 a 的平方根不等于 0，则 a 是正数”． 否命题：“若 a 不是正数，则 a 的平方根等于 0”． 逆否命题：“若 a 的平方根等于 0，则 a 不是正数”．
(2)原命题：“若 x＝2，则 x2＋x－6＝0”． 逆命题：“若 x2＋x－6＝0，则 x＝2”． 否命题：“若 x≠2，则 x2＋x－6≠0”． 逆否命题：“若 x2＋x－6≠0，则 x≠2”． (3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”． 逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”． 否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
四种命题间的相互关系课件PPT
2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为 互否命题的是( ) (A)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l (B)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l (C)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一 (D)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一
【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？ 提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支 进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进 行排除.
互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】
命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分 类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆 否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种 策略.
互 否
逆否命题 若﹁ q,则﹁p
2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是: _没__有__关__系__. (2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假 性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_真__假__性__.
1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q” 是互否命题吗？ 提示：不是，如命题“若q，则p”和“若q，则 p”也是互 否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗？ 提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一 条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.认识四种命题间的相互关系及真假关系. 2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.
1.1.2四种命题-1.1.3四种命题间的相互关系课件
假 ____
真1
假 1 假1 假 假 (4)当判断一个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题的等价性 来证明.
答案 返回
题型探究
类型一 原命题的其他三种命题
例1 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题. 解
重点难点 个个击破
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；
逆否命题.
答案
知识点二 四种命题的关系
思考1
为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如
果原命题是 “ 若 p ，则 q” ，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如
何表示？ 答案
则綈p.
逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，
答案
思考2
原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的
知识点一 四种命题的概念 思考 给出以下四个命题：
新知探究 点点落实
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
答案 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与 结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4) 结论的否定和条件的否定.
解析答案
1
2
3
4
5
假 命题(填“真”或“假”). 2.命题“若x2≠1，则x≠1”的否命题是____
解析 命题 “ 若 x2≠1 ，则 x≠1” 的否命题是 “ 若 x2 ＝ 1 ，则 x ＝ 1” ，是
高中数学《四种命题 四种命题间的相互关系》课件
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(2)若 a＝0，则 ab＝0 的逆命题是__________________________________． (3)若命题 r 的否命题为“若綈 p，则 q”，那么原命题 r 为________．
(4)若 a＝b，则|a|＝|b|的逆否命题是_______________________________．
互为逆 题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题 叫做互为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
否命题 逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个
叫做原命题的 □06 逆否命题
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2．四种命题的结构形式和关系
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3．四种命题的真假性之间的关系
逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．
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探究 2 四种命题的真假判断
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例 2 命题：已知 a，b 为实数，若 x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则 a2－4b≥0， 写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
答案 (1)× (2)√ (3)√
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2．做一做 (1)(教材改编 P6T(3))命题“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题 是( ) A．若 f(x)是偶函数，则 f(－x)是偶函数 B．若 f(x)不是奇函数，则 f(－x)不是奇函数 C．若 f(－x)是奇函数，则 f(x)是奇函数 D．若 f(－x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数
《1.1.3 四种命题间的相互关系》PPT课件(河北省市级优课)
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而 原命题也为真命题.
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
人教A版 选修1--1
1.1.3 四种命题间的相互关系
一课前准备
复习四种命题形式：
原命题： 若p，则q. 逆命题： 若q，则p. 否命题： 若¬p，则¬q. 逆否命题： 若¬q，则¬p.
学习目标
1．掌握四种命题之间的关系及四种 命题的真假之间的关系；
2. 能利用四种命题真假性之间的内在 联系进行推理论证；
(2)若m≤0或n≤0则m+n≤0的否命题。 ▪ (3) 若a≠1或b≠2则a+b≠3。
（真） （假）
▪ 例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题并判断真假
▪ ▪ （1）若x2+y2=0则 x=y=0 ▪ （2）若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)
的图像不过第四象限
▪ （3）已知 a,b是实数，若 x2+ax+b=0有非空 解集，则 a2-4b≥0
3.提升简单推理的思维能力.
二、新课导学
探究一 四种命题之间的关系
问题1 观察下面四个命题： (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数; 我们已经知道命题（1）与命题（2）（3）（4）之 间的关系。你能说出其中任意两个命题之间的相互关 系吗？
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
人教A版 选修1--1
1.1.3 四种命题间的相互关系
一课前准备
复习四种命题形式：
原命题： 若p，则q. 逆命题： 若q，则p. 否命题： 若¬p，则¬q. 逆否命题： 若¬q，则¬p.
学习目标
1．掌握四种命题之间的关系及四种 命题的真假之间的关系；
2. 能利用四种命题真假性之间的内在 联系进行推理论证；
(2)若m≤0或n≤0则m+n≤0的否命题。 ▪ (3) 若a≠1或b≠2则a+b≠3。
（真） （假）
▪ 例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题并判断真假
▪ ▪ （1）若x2+y2=0则 x=y=0 ▪ （2）若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)
的图像不过第四象限
▪ （3）已知 a,b是实数，若 x2+ax+b=0有非空 解集，则 a2-4b≥0
3.提升简单推理的思维能力.
二、新课导学
探究一 四种命题之间的关系
问题1 观察下面四个命题： (1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数; 我们已经知道命题（1）与命题（2）（3）（4）之 间的关系。你能说出其中任意两个命题之间的相互关 系吗？
课件8：1.1.3 四种命题间的相互关系
预习自测 [解析] 一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、 结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D．
2．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价 命题是( D ) A．若q不正确，则p不正确 B．若q不正确，则p正确 C．若p正确，则q不正确 D．若p正确，则q正确 [解析] 其等价命题为原命题的否命题，“若p正确， 则q正确．”故选D．
知识点2 原命题与逆否命题的等价应用
典例2 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a<2”的逆否 命题的真假．
[解] 解法一：原命题的逆否命题为：“已知a，x为实数，若a≥2， 则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”． 判断真假如下： 抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7， ∵a≥2，∴4a－7>0，即抛物线与x轴有交点． ∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集， 故原命题的逆否命题为真．
规律总结 常见的一些词语和它的否定词语对照：
等于 大于 小于
原词
是
(＝) (>) (<)
否定 不等于 不大 不小 不是
词语 (≠) 于(≤) 于(≥)
至多有 至多有n 都是
一个 个 不都 至少有 至少有n 是 两个 ＋1个
至少有一 个
一个也没 有
本课结束
1.1.3 四种命题间的相互关系
情景引入
在商品大战中，广告成了一道美丽的风景线．几乎所有的广告 商都熟悉这样的命题变换艺术：“拥有的人们都幸福，幸福的 人们都拥有”．初听起来，是几句赞美语，然而它的实际效果 可大哩！原来这句话，变成等价命题就是“不拥有的人们不幸 福”．哪个家庭不希望幸福呢？掏钱买就是了．瞧！商家就通 过这样巧妙的命题变换达到了目的．本节我们将学习命题的四 种形式及其相互之间的关系．
《1.1.3 四种命题间的相互关系》PPT课件(吉林省县级优课)
原命题
若p则q
互逆 逆命题
若q则p
互
互
否
否
否命题
逆否命题
若﹁p则﹁q
互逆 若﹁q则﹁p
2.四种命题的真假
写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，
并1）判原断命这题四：种若命x题=2的或真x=假3,．
则x2-5x+6=0。 (真)
逆命题：若x2-5x+6=0,
则x=2或x=3。 (真)
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 (真)
复习:
1)可以判断真假的陈述句称为命题．
2)其中判断为真的语句称为真命题，
判断为假的语句称为假命题．
命题都是由条件和结论两部分构成 可写成 “若 p, 则 q” 的形式
或 “如果p,那么q” 的形式 或 “只要p,就有q” 的形式
原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若 p 则 q 逆否命题：若 q 则 p
（对）
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题
一定为假。
（错）
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命
题为假。
（错）
2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。（假） 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。（假） 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 （假）
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？
即(1)原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
(两个命题为互逆命题或互否命题,它 们的真假性没有关系).
练一练
1.判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命
题不一定为真；
高中数学新课标人教A版选修1-1《1.1.3四种命题间的相互关系》课件
题型一 四种命题间的相互关系 【例1】 命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的 逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？ [思路探索] 设命题a为“若p，则q”，再根据已知各命题的关 系写出各命题．
课前探究学习
课堂讲练互第动八页，编辑于星期活一：页点规十二范分。训练
解 设命题a：若p，则q， 则命题b：若綈p，则綈q，
课前探究学习
课堂讲练互第动十四页，编辑【例3】 (12分)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命 题的真假． 审题指导 本题的命题意图是考查逆否命题的应用．由于原命 题与它的逆否命题同真同假，所以，可写出原命题的逆否命 题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的 真假．
【变式2】 判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数 根”的逆否命题的真假． 解 ∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为 真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
命题c：若q，则p， 命题d：若p，则q， ∴命题a与命题d是同一命题． 规律方法 判断两个命题的关系，从其结构上分析条件和结论 是最本质的方法，解题关键是熟练掌握四种命题的概念．
课前探究学习
课堂讲练互第动九页，编辑于星期活一：页点规十二范分。训练
【变式1】 若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p
课前探究学习
课堂讲练互第动十一页，编辑于星活期一页：规点 十范二分训。练
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复习引入
• 交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题。 ________
• 同时否定原命题的条件和结论，所得的命 否命题。 题是________ • 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 逆否命题。 所得的命题是__________
复习引入
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: • 原命题: 若 p, • 逆命题: 若 q, • 否命题: 若┐p, • 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p
. 逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等.
否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不 相等. 逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们 不全等. 原命题 (真) 否命题 (假) 逆命题 (假) 逆否命题 (真)
(3)相等的角是对顶角
逆命题: 对顶角相等. 否命题: 不相等的角不是对顶角. 逆否命题: 不是对顶角就不相等.
A逆命题 B否命题 C逆否命题 D本身
2写出下列命题的逆，否，逆否命题，并判断 它们的真假。 （1）若m>0,则x2+x-m=0有实数根。 （2）若x2>4,则x<-2.
四种命题及真假的关系
原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆命题:在平面内角的平分线上的点,到这个 角的两边距离相等. 否命题:在平面内到一个角的两边距离不相等 的点,都不在这个角的平分线上. 逆否命题:在平面内不在这个角的平分线上的 点,到这个角的两边距离不相等. 原命题 (真) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (真)
(2)两个三角形全等,则它们的面积相等.
原命题 (假) 否命题 (真) 逆命题 (真) 逆否命题 (假)
(4)凡质数都是奇数.
逆命题: 凡奇数都是质数. 否命题: 不是质数就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数就不是质数.
原命题 (假) 否命题 (假) 逆命题 (假) 逆否命题 (假)
1若命题p的逆命q则﹁p
例2 证明：若x2＋y2＝0，则x=y=0
分析：将“若x2＋y2＝0，则x=y=0”看成原 命题。由于原命题和它的逆否命题具有相 同的真假性，要证原命题为真命题，可以 证明它的逆否命题为真命题。
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析：将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成 原命题。由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性，要证原命题为真命题，可 以证明它的逆否命题为真命题。
四种命题之间的相互关系
原命题 若p 则 q 互 互 逆 逆命题 若q 则 p 互 否 逆否命题 若 q 则 p
否 否命题 若 p 则 q
互
逆
思考引入
• 原命题的真假与其它三 种命题的真假有什么关 系？
例1写出下列命题的逆，否，逆否命题，并判断它们的真假
(1)在平面内，到一个角的两边距离相等的点,都 在这个角的平分线上.
奎屯
新疆
课堂小结
这节课主要是学习了四种命题间的相 互关系，以及利用原命题与逆否命题同真 同假的关系，要证明原命题成立只须证逆 否命题成立即可。
作业 P8.练习3，4，B组
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋
wxckt@
新疆奎屯
· 2007·
王新敞
• 交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题。 ________
• 同时否定原命题的条件和结论，所得的命 否命题。 题是________ • 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 逆否命题。 所得的命题是__________
复习引入
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: • 原命题: 若 p, • 逆命题: 若 q, • 否命题: 若┐p, • 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p
. 逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等.
否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不 相等. 逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们 不全等. 原命题 (真) 否命题 (假) 逆命题 (假) 逆否命题 (真)
(3)相等的角是对顶角
逆命题: 对顶角相等. 否命题: 不相等的角不是对顶角. 逆否命题: 不是对顶角就不相等.
A逆命题 B否命题 C逆否命题 D本身
2写出下列命题的逆，否，逆否命题，并判断 它们的真假。 （1）若m>0,则x2+x-m=0有实数根。 （2）若x2>4,则x<-2.
四种命题及真假的关系
原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆命题:在平面内角的平分线上的点,到这个 角的两边距离相等. 否命题:在平面内到一个角的两边距离不相等 的点,都不在这个角的平分线上. 逆否命题:在平面内不在这个角的平分线上的 点,到这个角的两边距离不相等. 原命题 (真) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (真)
(2)两个三角形全等,则它们的面积相等.
原命题 (假) 否命题 (真) 逆命题 (真) 逆否命题 (假)
(4)凡质数都是奇数.
逆命题: 凡奇数都是质数. 否命题: 不是质数就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数就不是质数.
原命题 (假) 否命题 (假) 逆命题 (假) 逆否命题 (假)
1若命题p的逆命q则﹁p
例2 证明：若x2＋y2＝0，则x=y=0
分析：将“若x2＋y2＝0，则x=y=0”看成原 命题。由于原命题和它的逆否命题具有相 同的真假性，要证原命题为真命题，可以 证明它的逆否命题为真命题。
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析：将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成 原命题。由于原命题和它的逆否命题具有 相同的真假性，要证原命题为真命题，可 以证明它的逆否命题为真命题。
四种命题之间的相互关系
原命题 若p 则 q 互 互 逆 逆命题 若q 则 p 互 否 逆否命题 若 q 则 p
否 否命题 若 p 则 q
互
逆
思考引入
• 原命题的真假与其它三 种命题的真假有什么关 系？
例1写出下列命题的逆，否，逆否命题，并判断它们的真假
(1)在平面内，到一个角的两边距离相等的点,都 在这个角的平分线上.
奎屯
新疆
课堂小结
这节课主要是学习了四种命题间的相 互关系，以及利用原命题与逆否命题同真 同假的关系，要证明原命题成立只须证逆 否命题成立即可。
作业 P8.练习3，4，B组
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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新疆奎屯
· 2007·
王新敞