湖北省荆州中学2013届高三第一次质量检测(数学理)

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湖北省荆州中学2013届高三第三次质量检查(数学理)

荆州中学2012届高三第三次质量检查数学试卷 (理科)年级：高三科目：数学（理）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1.已知集合2{|30}A x R x x a =∈-+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．[2,)-+∞2. 已知向量a 与b 的夹角为23π，且||1,||2a b == ，若(3)a b a λ+⊥ ，则实数λ=（）A ．3B ．-3C ．32D ．32-3. 设0,0a b >>，则“221a b +≤”是“1a b ab +≤+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4. 在A B C ∆中，已知024,30AB BC A ==∠=，则A B C ∆的面积为（）A ．1B．C ．2D．5. 设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（）A ．31y x =+B ．33y x =-C ．3y x =-D ．31y x =-+6. 已知4x π=是()sin cos f x a x b x =+一条对称轴，且最大值为，则函数()s i n g x a x b=+（）A ．最大值是4，最小值为0B ．最大值是2，最小值为2-C ．最大值可能是0D ．最小值不可能是4-7.在等差数列{}n a 中前n 项和为n S ，且201110072011,1S a =-=，则2012a 的值为（） A ．1007 B ．2012 C ．1006 D ．20118. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．2B ．12111C ．32D．12+9. 正方形的两个顶点是一双曲线的焦点，另两个顶点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为（）A．12B．3C1+ D110. 已知函数3()2x e f x ax -⎧-=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>（a 为常数且0a >），对于下列结论①函数()f x 的最小值为2-，②函数()f x 在R 上是单调函数，③若()0f x >在[1,)+∞上恒成立，则a 的取值范围为(2,)+∞，④当0x ≠时，()0xf x '>（这里()f x '是()f x 的导函数），其中正确的是（）A ．①③④B ．①②③C ．①④D ．③④ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，第15题二选一，两题都做按第1题计分，共计25分。

2013年湖北省高考数学试卷(理科)及解析

2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、（5分）已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A、{x|x≤0}B、{x|2≤x≤4}C、{x|0≤x＜2或x＞4}D、{x|0＜x≤2或x≥4}3、（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A、（￢p）∨（￢q）B、p∨（￢q）C、（￢p）∧（￢q）D、p∨q4、（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A、B、C、D、5、（5分）已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A、实轴长相等B、虚轴长相等C、焦距相等D、离心率相等6、（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A、B、C、D、7、（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A、1+25ln5B、8+25lnC、4+25ln5D、4+50ln28、（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A、V1＜V2＜V4＜V3B、V1＜V3＜V2＜V4C、V2＜V1＜V3＜V4D、V2＜V3＜V1＜V49、（5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A、 B、C、 D、10、（5分）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A、 B、C、 D、二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分、请将答案填在答题卡对应题号的位置上、答错位置，书写不清，模棱两可均不得分、（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑、如果全选，则按第15题作答结果计分、）11、（5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）直方图中x的值为；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为、12、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=、13、（5分）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=、14、（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为、记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=、15、（5分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E、若AB=3AD，则的值为、16、（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）、在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b、若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1、（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值、18、（12分）已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由、19、（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC ⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点、（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足、记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E ﹣l﹣C的大小为β、求证：sinθ=sinαsinβ、20、（12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量、记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0、（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974、）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆、公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆、若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B型车各多少辆？21、（13分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2、（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由、22、（14分）设n是正整数，r为正有理数、（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如、令的值、（参考数据：、2013年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案、解答：解：∵z====1+i，∴=1﹣i、∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选：D、点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题、2、（5分）已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A、{x|x≤0}B、{x|2≤x≤4}C、{x|0≤x＜2或x＞4}D、{x|0＜x≤2或x≥4}分析：利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B、解答：解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4、∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选：C、点评：本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题、3、（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A、（￢p）∨（￢q）B、p∨（￢q）C、（￢p）∧（￢q）D、p∨q分析：由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示、解答：解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况、所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）、故选：A、点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题、4、（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A、B、C、D、分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值、解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为、故选：B、点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键、5、（5分）已知0＜θ＜，则双曲线与C2：﹣=1的（）A、实轴长相等B、虚轴长相等C、焦距相等D、离心率相等分析：根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案、解答：解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同、故选：D、点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题、6、（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A、B、C、D、分析：先求出向量、，根据投影定义即可求得答案、解答：解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选：A、点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键、7、（5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A、1+25ln5B、8+25lnC、4+25ln5D、4+50ln2分析：令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可、解答：解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t2﹣4t﹣32=0，又t＞0，解得t=4、∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5、故选：C、点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键、8、（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A、V1＜V2＜V4＜V3B、V1＜V3＜V2＜V4C、V2＜V1＜V3＜V4D、V2＜V3＜V1＜V4分析：利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项、解答：解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记为V1==、V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选：C、点评：本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键、9、（5分）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A、 B、C、 D、分析：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3、①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X 的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出、解答：解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3、①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=、④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=、故X的分布列为X0123P因此E（X）==、故选：B、点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键、10、（5分）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A、 B、C、 D、分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0、利用导数与函数极值的关系即可得出、解答：解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax 有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0、、①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去、②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减、∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即、故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a ＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减、∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣、故选：D、点评：本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题、二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分、请将答案填在答题卡对应题号的位置上、答错位置，书写不清，模棱两可均不得分、（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑、如果全选，则按第15题作答结果计分、）11、（5分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）直方图中x的值为0.0044；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为70、分析：（I）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案、（II）由已知中的频率分布直方图，利用[100，250）之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到[100，250）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数、解答：解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044、（II）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3、样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70、故答案为：0.0044；70、点评：根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点、对于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图、12、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=5、分析：框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径，再执行i=i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i的值、解答：解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1、判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5、故答案是5、点评：本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环、是基础题、13、（5分）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=、分析：根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z 恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=，由此即可得到x+y+z的值、解答：解：根据柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时，上式的等号成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为：点评：本题给出x、y、z的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值的情况下求x+y+z的值、着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题、抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键、14、（5分）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为、记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=1000、分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案、解答：解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：1000点评：本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题、15、（5分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E、若AB=3AD，则的值为8、分析：设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，进而得到的值、解答：解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，∵AB=3AD，∴AD=2x，BD=4x，OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D，在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，故==8故答案为：8点评：本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围…“双垂直”、16、（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）、在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b、若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为、分析：先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c=b，又b2=a2﹣c2，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率、解答：解：直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程为x+y﹣m=0，它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，又直线l与圆O：ρ=b相切，∴，从而c=b，又b2=a2﹣c2，∴c2=2（a2﹣c2），∴3c2=2a2，∴=、则椭圆C的离心率为、故答案为：、点评：本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生分析问题的能力、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1、（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值、分析：（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20、又b=5，解得c=4、由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a、又由正弦定理得即可得到即可得出、解答：解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）、因为0＜A＜π，所以、（Ⅱ）由S===，得到bc=20、又b=5，解得c=4、由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故、又由正弦定理得、点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键、18、（12分）已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由、分析：（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则由已知可得解得故、（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而、若，则是首项为，公比为﹣1的等比数列，从而故、综上，对任何正整数m，总有、故不存在正整数m，使得成立、点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力19、（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC ⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点、（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足、记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E ﹣l﹣C的大小为β、求证：sinθ=sinαsinβ、分析：（I）直线l∥平面PAC、连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC、由线面平行的性质定理可得EF∥l、再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC、（II）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC、连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC、故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β、已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ 与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ、由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角、解答：解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC、而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l、因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC、（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC、因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC、已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l、而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC、连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF、故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β、由，作DQ∥CP，且、连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD、连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ、又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，从而、（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且、连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD、以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有、于是，∴=，从而，又取平面ABC的一个法向量为，可得，设平面BEF的一个法向量为，所以由可得取=（0，c，b），于是，从而、故，即sinθ=sinαsinβ、点评：本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力、20、（12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量、记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0、（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974、）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆、公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆、若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B型车各多少辆？分析：（I）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0、（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解、解答：解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544、由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y、依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0、由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900、于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y、作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R （15，6）、由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值、故应配备A型车5辆，B型车12辆、点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划、本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解、21、（13分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN 的面积分别为S1和S2、（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由、分析：（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN 的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围、解答：解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，、其中a＞m＞n＞0，＞1、（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以、在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n，y D=﹣m，于是、若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得、故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则、（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k＞0），点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2、又，所以，即|BD|=λ|AB|、由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是、将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C=﹣x B，x D=﹣x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得、因为k≠0，所以k2＞0、于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2、点评：本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法、22、（14分）设n是正整数，r为正有理数、（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）证明：；。

2013年湖北省高考数学试卷(理科)答案及解析

2013年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•湖北）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2013•湖北）已知全集为R，集合，则A∩∁R B=（）A ．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}3．（5分）（2013•湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A ．（¬p）∨（¬q）B．p∨（¬q）C．（¬p ）∧（¬q）D．p∨q4．（5分）（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A ．B．C．D．5．（5分）（2013•湖北）已知，则双曲线的（）A ．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等6．（5分）（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D （3，4），则向量在方向上的投影为（）A B C D7．（5分）（2013•湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A ．1+25ln5B．8+25ln C．4+25ln5D．4+50ln28．（5分）（2013•湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A ．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V49．（5分）（2013•湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X的均值E（X）=（）A ．B．C．D．10．（5分）（2013•湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx ﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A B C D二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）11．（5分）（2013•湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）直方图中x的值为_________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为_________．12．（5分）（2013•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=_________．13．（5分）（2013•湖北）设x，y，z∈R，且满足：，则x+y+z=_________．14．（5分）（2013•湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数，正方形数N（n，4）=n2，五边形数，六边形数N（n，6）=2n2﹣n，…可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=_________．15．（5分）（2013•湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为_________．16．（2013•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积，求sinBsinC的值．18．（12分）（2013•湖北）已知等比数列{a n}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）（2013•湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F 分别是PA，PC的中点．（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．20．（12分）（2013•湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21．（13分）（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．22．（14分）（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如．令的值．（参考数据：．2013年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．解答：解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）考点：其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．解答：解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．点评：本题考查指数函数的性质与元二次不等式，考查交、并、补集的混合运算，属于中档题．3．（5分）考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．解答：解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．点评：本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．（5分）考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专三角函数的图像与性质．分析：函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．解答：解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin （x+），∴图象向左平移m（m ＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．5．（5分）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案．解答：解：双曲线的实轴长为2cosθ，虚轴长2sinθ，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sinθ，虚轴长2sinθtanθ，焦距2tanθ，离心率，故它们的离心率相同．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等，属于基础题．6．（5分）考平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．解答：解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．7．（5分）考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：令v（t）=0，解得t=4，则所求的距离S=，解出即可．解答：解：令v（t）=7﹣3t+，化为3t2﹣4t ﹣32=0，又t＞0，解得t=4．∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s===4+25ln5．故选C．点评：熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．8．（5分）考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图与已知条件判断组合体的形状，分别求出几何体的体积，即可判断出正确选项．解答：解：由题意以及三视图可知，该几何体从上到下由：圆台、圆柱、正四棱柱、正四棱台组成，体积分别记λ为V1==．V2=12×π×2=2π，V3=2×2×2=8V4==；∵，∴V2＜V1＜V3＜V4故选C．点评：本题考查简单组合体的三视图与几何体的体积的求法，正确判断几何体的形状与准确利用公式求解体积是解题的关键．9．（5分）考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：压轴题；概率与统计．分析：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8=36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P （X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．X0123P故X的分布列为因此E（X）==．故选B．点评：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．10．（5分）考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解：∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x ）单调递增；时，g′（x ）＜0，函数g（x ）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．∵，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax 1）=x 1（ax1﹣1）=﹣＜0，f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax 2﹣1）＞=﹣．（）．故选D．点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）11．（5分）考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：（I）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．（II）由已知中的频率分布直方图，利用[100，250）之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到[100，250）的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数．解答：解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得x=0.0044．（II）样本数据落在[100，150）内的频率为0.0036×50=0.18，样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3．样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22，故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70．故答案为：0.0044；70．点根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣频率分布直方图是新高考的重要考点．对评：于“频率分布直方图学习的关键是学会画图、看图和用图．12．（5分）考点：程序框图．分析：框图首先给变量a和变量i赋值，然后对a是否等于4进行判断，不等于4，继续判断a是否为奇数，是执行路径a=3a+1，否执行路径，再执行i=i+1，依次循环执行，当a等于4时跳出循环，输出i 的值．解答：解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1．判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5．故答案是5．点评：本题考查了程序框图，循环结构中含有条件结构，外面的循环结构为直到型，即不满足条件执行循环，直到条件满足跳出循环．是基础题．13．（5分）考点：一般形式的柯西不等式；进行简单的合情推理．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，算出（x+2y+3z）2≤14（x2+y2+z2）=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值，由不等式的等号成立的条件解出x=、y=且z=，由此即可得到x+y+z的值．解答：解：根据柯西不等式，得（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y 2+z 2）=14（x2+y2+z 2）当且仅当时，上式的等号成立∵x2+y2+z2=1，∴（x+2y+3z）2≤14，结合，可得x+2y+3z恰好取到最大值∴=，可得x=，y=，z=因此，x+y+z=++=故答案为：点评：本题给出x、y、z 的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值的情况下求x+y+z的值．着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键．14．（5分）考点：归纳推理．专题：计算题．分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案．解答：解：原已知式子可化为：，，，，由归纳推理可得，故=1100﹣100=1000故答案为：1000点评：本题考查归纳推理，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键，属基础题．15．（5分）考点：与圆有关的比例线段；直角三角形的射影定理．专题：压轴题；选作题．分析：设圆O的半径为3x，根据射影定理，可以求出OD2=OE•OC=x2，CD 2=CE•OC=8x2，进而得到的值．解解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，答：∵AB=3AD，∴AD=2x，BD=4x，OD=x又∵点C在直径AB上的射影为D，在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，故==8故答案为：8点评：本题考查的知识点是直角三角形射影定理，射影定理在使用时一定要注意其使用范围…“双垂直”．16．（2013•湖北）考点：参数方程化成普通方程；椭圆的简单性质；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c=b，又b2=a2﹣c2，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率．解答：解：直线l的极坐标方程分别为为非零常数）化成直角坐标方程为x+y﹣m=0，它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m ，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，又直线l与圆O：ρ=b相切，∴，从而c=b，又b2=a2﹣c2，∴c2=2（a2﹣c2），∴3c2=2a2，∴=．则椭圆C的离心率为．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查提高学生分析问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a 2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a ．又由正弦定理得即可得到即可得出．解答：解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．18．（12分）考点：数列的求和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）设等比数列{a n}的公比为q，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求a1，q，进而可求通项公式（Ⅱ）结合（I）可知是等比数列，结合等比数列的求和公式可求，即可判断解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q ，则由已知可得解得故．（Ⅱ）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．若，则是首项为，公比为﹣1的等比数列，从而故．综上，对任何正整数m，总有．故不存在正整数m，使得成立．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力19．（12分）考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到EF∥平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC．（II）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论；向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC．（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．已知PC⊥平面ABC，而l⊂平面ABC，所以PC⊥l ．而PC∩BC=C，所以l ⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF⊂平面PBC，所以l⊥BF．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．由，作DQ∥CP，且．连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC 内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．又BD⊥平面PBC ，有BD⊥BF，知∠BDF=α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，从而．（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD．以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，CB=b，CP=2c，则有．于是，∴=，从而，又取平面ABC的一个法向量为，可得，设平面BEF 的一个法向量为，所以由可得．于是，从而．故，即sinθ=sinαsinβ．点评：本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力．20．（12分）考点：简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（I）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．解答：解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤360x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆，B型车12辆．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．21．（13分）考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；点到直线的距离公式．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面析：积比=λ列式求λ的值；（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M 和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．解答：解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为，．其中a ＞m＞n ＞0，．（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则，，所以．在C1和C2的方程中分别令x=0，可得y A=m，y B=n ，y D=﹣m，于是．若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l：y=kx（k ＞0），点M（﹣a ，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，所以d1=d2．又，所以，即|BD|=λ|AB|．由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得根据对称性可知x C =﹣x B，x D=﹣x A，于是②从而由①和②可得③令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．因为k≠0，所以k 2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，等价于，由λ＞1，解得，即，由λ＞1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．点评：本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法．22．（14分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数列的求和；不等式的证明．专题：压轴题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）先求出函数f （x）的导函数f′（x），令f'（x）=0，解得x=0，再求出函数的单调区间，进而求出最小值为f（0）=0；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，令代入并化简得，再令得，，即结论得到证明；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，令，n分别取值81，82，83，…，125，分别列出不等式，再将各式相加得，，再由参考数据和条件进行求解．解答：解；（Ⅰ）由题意得f'（x）=（r+1）（1+x）r﹣（r+1）=（r+1）[（1+x）r﹣1]，令f'（x）=0，解得x=0．当﹣1＜x＜0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内是减函数；当x＞0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）内是增函数．故函数f（x）在x=0处，取得最小值为f （0）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ），当x∈（﹣1，+∞）时，有f （x）≥f（0）=0，即（1+x）r+1≥1+（r+1）x，且等号当且仅当x=0时成立，故当x＞﹣1且x≠0，有（1+x）r+1＞1+（r+1）x，①在①中，令（这时x＞﹣1且x≠0），得．上式两边同乘n r+1，得（n+1）r+1＞n r+1+n r（r+1），即，②当n＞1时，在①中令（这时x＞﹣1且x≠0），类似可得，③且当n=1时，③也成立．综合②，③得，④（Ⅲ）在④中，令，n 分别取值81，82，83， (125)得，，，…，将以上各式相加，并整理得．代入数据计算，可得由[S]的定义，得[S]=211．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和求最值，以及学生的创新精神，是否会观察，会抽象概括，会用类比的方法得出其它结论，难度较大，注意利用上一问的结论．。

湖北省荆州中学高三数学第一次质检试题理

荆州中学高三年级第一次质检数学理科卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.已知集合，则( ) A ．B ．C ．D ．2.下列函数是奇函数的是（）．A. x x x f =)(B.x x f lg )(=C. x x x f -+=22)(D.1)(3-=x x f3．“1m >”是“函数2()log (1)xf x m x =+≥不存在零点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若方程111()()042x x a -+-=有正数解，则实数a 的取值范围是（）A ．01a <<B ．30a -<<C ．03a <<D ．10a -<<5．已知点A 为抛物线:C 24x y =上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF Ð( )A ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能 6. 下列说法正确的是( )A. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤p ⌝是真命题D. 命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 7．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是( )A ．π4 B ．14 C ．π16 D ．1168．已知函数212()log 2(21)8,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦，若()f x 在[),a +∞上为减函数，则a 的取值范围为（）A ．(],2-∞B ．4(,2]3-C ．(],1-∞D ．4(,1]3-9. 已知函数()22lg 12(1)3y a x a x ⎡⎤=---+⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A. [2,1]-B. [2,1]--C. (2,1)-D. (,2)[1,)-∞-+∞10.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点1F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于点P ，若线段1PF 的中点在y 轴上，则此双曲线的离心率为（）C.311.定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()1),()1g x x x ϕ==-3,()ln(1),()1x h x x x x ϕ=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（） A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．γαβ>>D ．βγα>>12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x=，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为（）A ．（22，－4） B ．2）C ．（2，＋4）D ．6)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.)13．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为14．若方程()1222log log 1x xm --=+有两个解，则实数m 的取值范围是．15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，则当0x <时，()f x = .16. 已知函数2()2(),(0)f x ax a b x b a =-++≠满足(0)(1)0f f ⋅>，设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．(本小题满分 12分)设命题p ：函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R ；命题q ：对任意[]1,1m ∈-，不等式253a a -- “p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18. (本小题满分 12分)已知函数2*()2,(,)f x ax x c a c N =++∈满足①(1)5f =；②6(2)11f <<.(1)求函数()f x 的解析表达式；（2）若对任意[]1,2x ∈，都有()20f x mx -≥恒成立，求实数m 的取值范围. 19．（本小题满分12分）已知22(log )21f x ax x a =-+-，a R ∈.（1）求()f x 的解析式；（2）解关于x 的方程()(1)4xf x a =-⋅20．(本小题满分 12分)已知椭圆C ：22221x y a b+=()a ＞b ＞0的右焦点(1,)F 0，右顶点A ，且1AF =.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线4x =交于点Q ，问：是否存在一个定点(,0)M t ，使得0MP MQ =.若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由.21．(本小题满分 12分)已知函数()1ln f x mx x =--．（1）若()0f x ≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；（2）求证：对n N e ∀∈<均成立（其中e 为自然对数的底数，e ≈2.71828）．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC ．（1）求证：FB=FC ；（2）若FA=2，AD=6，求FB 的长．选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若点 P 是曲线C 上的动点，求 P 到直线l 的距离的最小值，并求出 P 点的坐标．选修4-5：不等式选讲24．已知()12,()1()f x x x g x x x a a a R =++-=+--+∈。

湖北省荆州市2013届高中毕业班质量检查数学理科

湖北省荆州市2013届高中毕业班质量检查（Ⅰ）数学（理工农医类）本试卷共三大题22道小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1·答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填在试题答题卡上。

2·第1至10小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第11至22题用钢笔或者圆珠笔在答题卡上作答，答在试题卷上无效。

3·考试结束，只交答题卡。

本科目考试时间：2012年12月1日下午3:00—5:00一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项正确，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，多涂、不涂或涂错均得0分.1 设集合21,1A xx R x ⎧⎫=>∈⎨⎬-⎩⎭，{B x y ==，则（R A ð）B =A {}11x x -≤≤B {}11x x -<<C {}1,1-D {}1 A B C D2 设函数()f x 在R 上可导，其导函数是()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图像可能是3 已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<，则sin cos θθ-的值为A3 B3- C 13 D 13-4 ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a,b,c,若a,b,c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A34 B3 C4D 14 5 已知函数()12x f x =-，2()43g x x x =-+，若有()()f a g b =，则b 的取值范围是A2⎡⎣ B(22+ C []1,3 D ()1,3 6 公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，且1060S =，则20S =A 80B 160C 320D 6407 在ABC ∆中，2,4AB AC ==，若点P 为ABC ∆的外心，则AP BC的值为A 2B 4C 6D 88 设定义域为R 的函数1251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =A 2B 6C 2或6D 4或69函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],m n D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[],m n 上是单调函数，②()f x 在[],m n 上的值域为[]2,2m n ，则称区间[],m n 为()y f x =的“倍值区间”，以下函数：①2(),(0)f x x x =≥；②()()xf x e xR =∈；③24()(0)1xf x x x =≥+；④1()log ()(0,1)8x a f x a a a =->≠。

高三数学考试湖北省荆州中学2013届高三第一次质量检测(理)

高三数学考试湖北省荆州中学2013届高三第一次质量检测(理)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：荆州中学2010级高三第一次质量检测卷科目：数学（理科）时间：120分钟命题人：王俊一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出正确选项填在相应位置）1．已知集合{|2},{|lg(1)},xS y y T x y x S T ====-I 则=（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．方程log 3x ＋x －3＝0的实数解所在的区间是（）A ．(0，1)B ． (1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)3．集合{,},{1,0,1}A a b B ==-，从A 到B 的映射f 满足()()0f a f b +=，那么这样的映射f 的个数有（） A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个4．设函数f(x)是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f(1)＞1且23(2)1a f a -=+，则（） A ．23a < B ．213a a <≠-且 C ．213a a ><-或 D ．213a -<<5．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y 关于x 的函数关系与下列最接近的函数(其中a 、b 、c 为待定系数)是( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．b y a x =+6．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，且点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则12m n+的最小值等于（） A ．16 B ．12 C ．9 D ．87．设曲线*()ny x n N =∈与x 轴及直线x=1围成的封闭图形的面积为n a ，设1122012,n n n b a a b b +=+++L 则b =（）A ．5031007B ．20112012C ．20122013D ．201320148．已知定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，若124x x +<，且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +与0的大小关系是（）A ．12()()0f x f x +>B ．12()()0f x f x +=C ．12()()0f x f x +<D ．12()()0f x f x +≤9．已知函数13()ln 144f x x x x=-+-，g(x)＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f(x 1)≥g(x 2)，则实数b 的取值范围是( )A ．17(2,]8 B ．[1，＋∞） C ．17[,)8+∞ D ．[2，＋∞） 10．已知f (x )是定义在R 上的函数，f (1)＝10，且对于任意x ∈R 都有f (x ＋20)≥f (x )＋20，f (x ＋1)≤f (x )＋1，若g (x )＝f (x )＋1－x ，则g (10)＝（）A ．20B ．10C ．1D ．0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，15题与16题为选做题，任选其中一题作答，若都做，按第一个给分，共25分）11．设集合22{5,log (36)}A a a =-+，集合{1,,},B a b =若{2},A B =I 则集合A B U 的真子集的个数是 . 12．先作与函数1ln3y x=-的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移3个单位得到图象C 1．又y ＝f(x)的图象C 2与C 1关于y ＝x 对称，则y ＝f(x)的解析式是． 13．设函数()||(,)f x x x bx c b c =++∈R ，给出如下四个命题：①若c =0，则()f x 为奇函数；②若b =0,则函数()f x 在R 上是增函数；③函数()y f x =的图象关于点()0,c 成中心对称图形；④关于x 的方程()0f x =最多有两个实根.其中正确的命题 .14．已知定义域为R 的函数ab x f x x +-=+122)(是奇函数, 则a+b= .若函数()(21)()g x f x f k x =++-有两个零点，则k 的取值范围是 .15．(坐标系与参数方程)在极坐标系中，定点A (2，π)，动点B 在直线2sin()42πρθ+=上运动，则线段AB 的最短长度为．16．(几何证明选讲)如图，在半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 17. (本题满分12分)(1)求函数1log log a a y x x=-(a >0,且a ≠1)的定义域;(2)已知函数log (2)x a y a a =-+(a >0,且a ≠1)的值域是R ，求a 的取值范围.18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2．（1）若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；（2）当AD 的长等于多少时？二面角B 1－DC －C 1的大小为60°． 19．（本小题满分12分）三个城市襄阳、荆州、武汉分别位于A ，B ，C 三点处（如右图），且202AB AC ==km ，40BC =km.今计划合建一个货运中转站，为同时方便三个城市，准备建在与B 、C 等距离的O 点处，并修建道路,,OA OB OC .记修建的道路的总长度为y km.（Ⅰ）设OB x =(km)，将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）由（Ⅰ）中建立的函数关系，确定货运中转站的位置，使修建的道路的总长度最短.20．(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（1）求椭圆的方程；（2）在线段OF 上是否存在点M (m ，0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分14分) 已知f (x )＝ln x －ax 2－bx ．（1）若a ＝－1，函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（2）当a ＝1，b ＝－1时，证明函数f (x )只有一个零点；（3）f (x )的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)( x 1＜x 2)两点，AB 中点为C (x 0，0)，求证：f ′(x 0)＜0．22．（本小题满分13分）已知：函数3211()62f x x x x =-++，x R ∈. （Ⅰ）求证：函数()f x 的图象关于点4(1,)3A 中心对称，并求(2007)(2006)(0)(1)(2009)f f f f f -+-+++++L L 的值.（Ⅱ）设()()g x f x '=，1()n n a g a +=，n N +∈，且112a <<，求证：（ⅰ）请用数学归纳法证明：当2n ≥时，312n a <<；（ⅱ）12|2||2||2|2n a a a -+-++-<L荆州中学2010级高三第一次质量检测数学卷参考答案（理科）一、选择题（50分）序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C BDBDACCB二、填空题（25分）11. 15 12. xe y = 13. ①②③14. 3 ]21,1(-- 15.223 16.553三、解答题（75分） 17.解(1) 1log log a a x x -≥0. 令log a t x =,则1t t-≥0,解得1-≤t <0,或t ≥1,即1-≤log a x <0,或log a x ≥1. ∴当01a <<时,函数的定义域是(0,]a ∪1(1,]a;当1a >时,函数的定义域是1[,1)a∪[,)a +∞.………………………………（6分） (2)令()2xf x a a =-+(x ∈R ),则()f x 的值域包含(0,)+∞. 又()f x 的值域为(2,)a -+∞,所以2a -≤0,∴a ≥2. ……………………………（12分） 18.解：（1）如图所示，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B 1(0，2，2)，C 1(0，0，2)，D (1，0，1)，即111(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=u u u u r u u u u r u u u r．由11(1,0,1)(0,2,0)0000CD C B ⋅=⋅=++=u u u r u u u u r，得CD ⊥C 1B 1．由1(1,0,1)(1,0,1)1010CD DC ⋅=⋅-=-++=u u u r u u u u r，得CD ⊥DC 1．又DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D ，平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ．……6分（2）设AD ＝a ，则D 点坐标为(1，0，a )，1(1,0,),(0,2,2)CD a CB ==u u u r u u u r．设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由1002200CB x az y z CD ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩u u u r u u u rm m ．令z ＝－1，得m ＝(a ，1，－1)．又平面C 1DC 的法向量为n ＝(0，1，0)，则由211cos 6022a ⋅=⇒=+om n m n，即2a =，故2AD =． …………12分19．解：（Ⅰ）设OB x =(km)，延长AO 交于BC 于点D .由题意可知1202BD DC BC ===，OB OC =， 2220OA AD OD AC DC OD OD =-=--=-，在Rt ODB ∆中，222220OD OB DB x =-=-，所以2222020y OA OB OC x x =++=+--. 又易知20202x ≤≤，故y 用x 表示的函数为2222020(20202)y x x x =+--≤≤……………………………………（6分）（Ⅱ）由(Ⅰ)中建立的函数关系2222020(20202)y x x x =+--≤≤，来确定符合要求的货运中转站的位置.因为2222020y x x =+--，所以22220x y x '=--，令0y '=得4033x =，4033x =-（舍去）当403[20,)3x ∈时，0y '<；当403(,202]3x ∈时，0y '>，所以函数y 在4033x =时，取得极小值，这个极小值就是函数y 在[20,202]上的最小值.……（11分）因此，当货运中转站建在三角形区内且到B 、C 两点的距离均为4033km 时，修建的道路的总长度最短.…………………………………………………………………………（12分）20.解（1）b ＝c ＝1，2a =，所求椭圆的方程为2212x y +=．…………4分（2）假设在线段OF 上存在点M (m ，0)(0＜m ＜1)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由2222(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0． ∴22121222422,1212k k x x x x k k -+==++． ………………6分11222121(,),(,),(,)MP x m y MP x m y PQ x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r，其中x 2－x 1≠0．以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形()()0MP MQ PQ MP MQ PQ ⇔+⊥⇔+⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r12122121(2,)(,)0x x m y y x x y y ⇔+-+--=122112211212222222222(2)()()()0(2)()044(2)(2)012122(24)0(0)12x x m x x y y y y x x m k y y k k m k k kk k k m m k k ⇔+--++-=⇔+-++=⇔-+-=++⇔-+=⇔=≠+∴102m <<． …………12分21．解：（1）依题意：f (x )＝ln x ＋x 2－bx ．∵f (x )在(0，＋∞)上递增，∴1()20f x x b x'=+-≥对x ∈(0，＋∞)恒成立，即12b x x ≤+对x ∈(0，＋∞)恒成立，只需min 1(2)b x x≤+． …………2分∵x ＞0，∴1222x x+≥，当且仅当22x =时取“＝”， ∴22b ≤，∴b 的取值范围为(,22]-∞． ………………4分（2）当a ＝1，b ＝－1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域是(0，＋∞)，∴2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x---+'=-+=-=-．∵x ＞0，∴当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0．∴函数f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………6分 ∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，其值为f (1)＝ln1－12＋1＝0；当x ≠1时，f (x )＜f (1)，即f (x )＜0，∴函数f (x )只有一个零点．…………8分（3）由已知得221111111222222111()ln 0ln ()ln 0ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--==+⎪⎪⇒⎨⎨=--==+⎪⎪⎩⎩，两式相减，得11212122ln()()()x a x x x x b x x x =+-+- 112122ln()[()]x x x a x x b x ⇒=-++．…………10分由1()2f x ax b x'=--及2x 0＝x 1＋x 2，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=+-=-++=-++- 11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+ 令1222,()ln (01)1x t t t t t x t ϕ-==-<<+． ∵22(1)()0(1)t t t t ϕ-'=-<+，∴φ(t )在(0，1)上递减，∴φ(t )＞φ(1)＝0． ∵x 1＜x 2，∴f ′(x 0)＜0． …………14分22．解：（Ⅰ）设11(1,)P x y -是函数()f x 的图象上的任一点，则11(1)y f x =-，又11(1,)P x y -关于4(1,)3A 的对称点是118(1,)3Q x y +-，（1分）而11(1)(1)f x f x ++-32321111111111(1)(1)(1)[(1)(1)(1)]6262x x x x x x =-++++++--+-+-3322111111[(1)(1)][(1)(1)]262x x x x =-++-+++-+2211181233x x =--+++=，即11188(1)(1)33f x f x y +=--=-，（3分）点118(1,)3Q x y +-也在函数()f x 的图象上，故()f x 的图象关于点4(1,)3中心对称.（4分）由于118(1)(1)3f x f x ++-=， 1x ∈R .(2007)(2009)(2006)(2008)f f f f ∴-+=-+=……8(0)(2)3f f =+=，又4(1)3f =. (2007)(2006)S f f =-+-+……(0)(1)f f +++……(2009)f +，824017535623S ∴=⨯=⨯，5356S ∴=. 故(2007)(2006)(2009)5356f f f -+-++=L . （6分）（Ⅱ）21()12g x x x =-++. （ⅰ）下面用数学归纳法证明：1︒ 当2n =时，2221111131(1)222a a a a =-++=--+ 112a <<Q 2312a ∴<<. 2︒ 假设(2)n k k =≥时，312k a <<则2113()(1)22k k k a g a a +==--+，又()g x 在[1,)+∞上单调递减，1331(2)()(1)22k g g a g +∴-<<<=，这说明1n k =+时，命题也成立. 由1︒ 2︒可知*31(N ,2)2n a n n <<∈≥. （10分）（ⅱ）2111|2||12||2||22|22n n n n n a a a a a +-=-++-=-⋅-+，由于312n a <<，|22|1n a ∴-+<，11|2||2|2n n a a +∴-<-，于是11|2||2|2n n a a --<-<……22211111|2|(2,N*)2222n n n a n n ---<-<⋅=≥∈. （12分）所以，121211|2||2||2|122n a a a -+-++-<+++……11112()222n n --+=-<. （13分）。

湖北省襄阳市2013届高三元月第一次调研考试数学理(附答案)(word版)

湖北省襄阳市2013届高三第一次调研考试数学（理）试题本试卷全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。

非网评考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡密封线内，将考号最后两位填在登分栏的座位号内。

网评考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好条形码或将考号对应数字涂黑。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择答题用0．5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的清洁。

考试结束后，监考人员将答题卡和机读卡一并收回，按小号在上，大号在下的顺序分别封装。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．复数3322i ii i +---+的虚部为A ．2iB ．—2iC ．2D ．-22．若集合2{|||1,},{|,},A x x x B y y x x A B =≤∈==∈⋂=R R 则 A ．{|11}x x -≤≤B ．{|0}x x ≥C ．{|01}x ≤≤D ．φ3．函数2()(1)mf x m m x =--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上为增函数，则实数m 的值是 A ．-1B ．2C ．3D ．-1或24．在AABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，点P 在AM 上，且满足2,()AP PM PA PB PC =⋅+则的值为 A ．-4B ．-2C ．2D ．45．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料l 千克、B 原料2千克；生产乙产品l 桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元6．如图，大正方形的面积是13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形．直角三角形的较短边长为2．向大正方形内投一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为A ．113B ．213C ．313D ．4137．若函数()f x 在（1，2）内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间（1，2）至少二等分 A ．6次 B ．7次C ．8次D ．9次8．已知*2211,1,x y x y x y∈+=+R 满足则的最小值为A ．7B C D ．9．已知函数()f x 是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，31350,()()()a f a f a f a >++则的值A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可以为正数也可以为负数10．如右图，函数()y f x =的图象为折线ABC ，设*11()(),()[()],n n f x f x f x f f x n N +==∈，则函数4()y f x =的图象为二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。

湖北省荆州市高三数学上学期第一次质量检测试题文

数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，多涂，不涂或涂错均得0分）1、集合12{|2},{|}x M y y N y y x ====，全集U R =，则()U C M N =IA ．φB ．(,0)-∞C ．[)0,+∞D ．{}02、等差数列{}n a 中，前5项和2020S =，则135a a a ++=A ．8B ．9C ．12D ．163、下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递增的函数是A ．21y x= B ．ln y x = C ．x x y e e -=- D ．ln y x = 4、命题2000:0,210p x x x ∃>-->，则命题p ⌝为（）A ．20,210x x x ∀>--≤B ．20,210x x x ∀≤-->C ．若0x ≤，则2210x x --≤D ．若0x >，则2210x x --<5、设sin134,cos(46),tan 226a b c ==-=o o o ，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<6、已知正实数,m n 满足log log (01)a a m n a <<<，则以下不等式成立的是（）A ．22m n <B ．11m n m n <++C ．11ln ln m n< D ．33m m n n +>+ 7、已知实数,x y 满足条件2210100y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．1-B ．12- C ．0 D ．1 8若函数()2cos()(0)f x wx m w ϕ=++>对任意实数t 都有()()4f x f t π+=-，且()18f π=-，则实数m 的取值为（） A ．-3或1 B ．-1或3 C ．3± D ．1±9、设()f x 是定义在R 上的函数，且导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，且(0)2015f =，则不等式()2014(x xe f x e e >+为自然对数的底数）的解集为（）A ．[)2014,+∞B ．(),0(2014,)-∞+∞UC ．(),0(0,)-∞+∞UD ．()0,+∞10、对于函数()1()x f x e kx k R =--∈的零点，以下判断中正确的个数为（） ①对于k R ∀∈，函数()f x 总有零点；②对于1k ∀>，函数()f x 总有两个零点；③(0,1)k ∃∈，使得函数()f x 有且仅有一个零点；④“(,0)k ∈-∞”是“函数()f x 有且仅有一个零点”的充分不必要条件。

湖北省荆州中学高三数学上学期第一次质检试卷文(含解析)

2015-2016学年湖北省荆州中学高三（上）第一次质检数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|y=}，则( )A．A∩B=∅B．A⊆BC．B⊆AD．A=B2．下列函数是奇函数的是( )A．f（x）=x|x|B．f（x）=lgxC．f（x）=2x+2﹣xD．f（x）=x3﹣13．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=( )A．﹣1+2iB．1+2iC．1﹣2iD．1+i4．下列说法正确的是( )A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”5．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是( )A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )A．0B．﹣1C．﹣D．﹣7．函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为( )A．3B．2C．D．8．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a ﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanxD．f（x）=cos（x+1）9．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的( )A．倍B．10倍C．10倍D．ln倍10．已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF( )A．一定是直角B．一定是锐角C．一定是钝角D．上述三种情况都可能11．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=( )A．﹣2B．﹣1C．2D．112．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（2﹣4，4﹣6）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.）13．若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是，则f（x）的最大值为__________．14．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为__________，三棱锥D﹣BCE的体积为__________．15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=__________．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是上的平均值函数， 0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设命题p：函数f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为R；命题q：∀m∈，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立．如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．19．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）；当x∈时，图象是线段BC，其中C（40，50）．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（1）试求y=f（x）的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．20．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M（t，0），使得．若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在A．0B．﹣1C．﹣D．﹣考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=7时n大于5退出循环，输出S的值为0．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1S=，n=3，n不大于5S=﹣，n=5，n不大于5S=0，n=7，n大于5退出循环，输出S的值为0，故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．7．函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为( )A．3B．2C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A（﹣1，﹣2），可得m+2n=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A（﹣1，﹣2），∵点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，∴﹣m﹣2n=﹣2，即m+2n=2．则+===．故选：C．点评：本题考查了指数函数的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=tanxD．f（x）=cos（x+1）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可．解答：解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．故选：D．点评：本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查．9．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB的声音强度I1是60dB的声音强度I2的( )A．倍B．10倍C．10倍D．ln倍考点：对数函数图象与性质的综合应用；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题设中的定义，将音量值代入η=10lg，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数解答：解：由题意，令70=lg，解得，I1=I0×1070，令60=lg，解得，I2=I0×1060，所以=10故选：C．点评：本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用，熟练掌握对数运算性质是解答的关键10．已知点A为抛物线C：x2=4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则△ABF( )A．一定是直角B．一定是锐角C．一定是钝角D．上述三种情况都可能考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求导数，确定过A的切线方程，可得B的坐标，求出=（x0，），=（﹣x0，1），可得•=0，即可得出结论．解答：解：由x2=4y可得y=x2，∴y′=x，设A（x0，），则过A的切线方程为y﹣=x0（x﹣x0），令y=0，可得x=x0，∴B（x0，0），∵F（0，1），∴=（x0，），=（﹣x0，1），∴•=0，∴∠ABF=90°，故选：A．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=( )A．﹣2B．﹣1C．2D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=•=x﹣alnx+1，x∈（0，+∞）再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．解答：解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），则•=f（x）=x﹣alnx+1，由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．f′（x）=1﹣=，a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；故选D．点评：本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a．12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（2﹣4，4﹣6）考点：函数奇偶性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，得到k的取值范围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+1=f（x﹣2）+2=…=f（x﹣n）+n=（x﹣n）2+n，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．x∈，由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2﹣4．x∈，由得：x2﹣（k+6）x+12=0，令△=0，得：k=4﹣6．∴k的取值范围为（2﹣4，4﹣6）故选：D．点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的对称性、周期性、奇偶性的综合应用，考查转化思想与作图能力，属于难题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.）13．若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是，则f（x）的最大值为．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：据偶函数中不含奇次项，偶函数的定义域关于原点对称，列出方程组，求出f（x）的解析式，即可求得求出二次函数的最大值．解答：解：∵f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，∴b=0，1﹣a=2a，解得b=0，a=，∴f（x）=x2+1，定义域为，∴当x=时，有最大值．故答案为：．点评：解决函数的奇偶性时，一定要注意定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．14．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥D﹣BCE的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B﹣ACDE的体积、三棱锥E﹣ACB的体积，即可求出三棱锥D﹣BCE的体积．解答：解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为=4；四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，∴AB⊥平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，则四棱锥B﹣ACDE的体积V==4，又三棱锥E﹣ACB的体积为=，∴三棱锥D﹣BCE的体积为4﹣=．故答案为：4；．点评：本题考查正视图的面积，考查考查几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率e2，则=4．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），==c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．可得m+n=2a1，n﹣m=2a2，由于∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，化简整理即可得出．解答：解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），==c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=，∴4c2=+﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为+，化为=4．故答案为：4．点评：本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤．考点：函数与方程的综合运用；函数的值．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．解答：解：函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1∉（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．⇒＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．点评：本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设命题p：函数f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为R；命题q：∀m∈，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立．如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：根据对数函数的定义域分析求解命题P为真命题时的条件；通过求，（m∈）的最大值，求出命题q为真命题时的条件，再根据复合命题真值表求解即可．解答：解：命题P：△=16﹣4a2＜0⇒a＞2或a＜﹣2，命题q：∵m∈，∴∈，∵对m∈，不等式恒成立，只须满足 a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1．故命题q为真命题时，a≥6或a≤﹣1，∵命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，根据复合命题真值表，命题P与q一真一假（1）若P真q假，则⇒2＜a＜6．（2）若P假q真，则⇒﹣2≤a≤﹣1，综合（1）（2）得实数a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1或2＜a＜6．点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查不等式的恒成立问题与对数函数的性质．18．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，从而得到不等式f（x）≤5的解集．（Ⅱ）由题意可得|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立，而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，故有|a﹣2|≥a，由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立．而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化数学思想，属于中档题．19．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）；当x∈时，图象是线段BC，其中C（40，50）．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（1）试求y=f（x）的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当x∈（0，12]时，设f（x）=a（x﹣10）2+80，把点（12，78）代入能求出解析式；当x∈时，设y=kx+b，把点B（12，78）、C（40，50）代入能求出解析式．（2）由（1）的解析式，结合题设条件，列出不等式组，能求出老师就在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳解答：解：（1）当x∈（0，12]时，设f（x）=a（x﹣10）2+80…过点（12，78）代入得，则…当x∈时，设y=kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）得，即y=﹣x+90…则的函数关系式为…（2）由题意得，或…得4＜x≤12或12＜x＜28，4＜x＜28…则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．…点评：本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．20．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）由面面垂直的性质定理证明线面垂直，证得线线垂直，再证明面面垂直．（2）过F作FN⊥CE交CE于N，则FN⊥平面CBE，连接EF，则∠NEF就是直线EF与平面CBE 所成的角，找到角再利用线面关系求得，或者利用直角坐标系求解．解答：（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中点M，连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．所以BM⊥平面CDE．又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（2）法一：过F作FN⊥CE交CE于N，则FN⊥平面CBE，连接EF，则∠NEF就是直线EF与平面CBE所成的角…设AB=1，则，在Rt△EFN中，．故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．…法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．F（0，0，0），E（1，0，2），，C（﹣1，0，0），平面CBE的一个法向量为…则=故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．…点评：本题主要考查了面面垂直的性质定理和线面教的求法，属于中档题型，高考常考．21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x=4交于点Q，问：是否存在一个定点M（t，0），使得．若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的右焦点F（1，0），右顶点A，且|AF|=1，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的标准方程；（2）直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，求出P的坐标，求出向量的坐标，利用，即可得出结论．解答：解：（1）由c=1，a﹣c=1，∴a=2，∴，∴椭圆C的标准方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=0，即m2=3+4k2．∴，，即P．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵M（t，0）．又Q（4，4k+m），，，∴=（4﹣t）+=恒成立，故，即t=1．∴存在点M（1，0）适合题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在∪（，]．点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题。

2013年高考理科数学联考试题(湖北省七市附答案)

2013年高考理科数学联考试题（湖北省七市附答案）秘密★启用前2013年湖北荆州、黄冈、襄阳、十堰、宜昌、孝感、恩施七市（州）高三联合考试数学（理工类）本科目考试时间：2013年4月18日下午15：00-17：00★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为A．-iB．iC．-1D．12．已知向量a=(2，1)，b=(x，-2)，若a∥b，则a+b=A．(-2，-1)B．(2，1)C．(3，-1)D．(-3，1)3．下列说法中不正确的个数是①命题“x∈R，≤0”的否定是“∈R，>0”；②若“pq”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件A．OB．1C．2D．34．函数f(x)=2x-sinx的零点个数为A．1B．2C．3D．45．一个几何体的三视图如下左图所示，则此几何体的体积是A.112B．80C．72D．646．已知全集U=Z，Z为整数集，如上右图程序框图所示，集合A={x|框图中输出的x值}，B={y|框图中输出的y值}；当x=-1时，(CuA)B= A．{-3，-1，5}B．{-3，-1，5，7}C．{-3，-1，7}D．{-3，-1，7，9} 7．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有A．12种B．18种C．24种D．48种8．如右图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0，))及直线x=a(a∈(0，))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为A．B．C．D．9．如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8．8，则正方体的个数至少是A．68．7C．8D．1010．已知直线l：y=ax+1-a(a∈R)．若存在实数a使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2|x-1|；②y=；③(x-1)2+(y-1)2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有A．①④B．②③C．②④D．②③④二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清．模棱两可均不得分．(一)必考题：(11-14题)11．若tan=，∈(0，)，则sin(2+)=．12．点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y=kx-1(k>0)的最大距离为2，则k=．13．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．则：(I)y1y2=；(Ⅱ)三角形ABF面积的最小值是．14．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn则其中：(I)L3=；(Ⅱ)Ln=．(二)选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分.15．(几何证明选讲)如右图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC=2，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=．16．(坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以坐标原点0为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为(4，)，曲线C的参数方程为(为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量=(sin2x+2，cosx)，=(1，2cosx)，设函数f(x)=•．(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=，f(A)=4，求b+c的最大值．18．(本小题满分12分)数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n•bn+1(为常数，且≠1)．(I)求数列{an}的通项公式及的值；(Ⅱ)比较+++…+与了Sn的大小．19．(本小题满分12分)如图，矩形A1A2A′2A′1，满足B、C在A1A2上，B1、C1在A′1A′2上，且BB1∥CC1∥A1A′1，A1B=CA2=2，BC=2，A1A′1=，沿BB1、CC1将矩形A1A2A′2A′1折起成为一个直三棱柱，使A1与A2、A′1与A′2重合后分别记为D、D1，在直三棱柱DBC-D1B1C1中，点M、N分别为D1B和B1C1的中点．(I)证明：MN∥平面DD1C1C；(Ⅱ)若二面角D1-MN-C为直二面角，求的值．20．(本小题满分12分)2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”)．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表)：月收入(百元)赞成人数15,25)825,35)735,45)1045,55)655,65)265,75)1(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；(Ⅱ)若从月收入(单位：百元)在15，25)，25，35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．21．(本小题满分13分)在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且==.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点；并求△GMN面积的最大值．22．(本小题满分14分)已知函数f(x)=lnx，g(x)=k•.(I)求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间；(Ⅱ)当x>1时，函数f(x)>g(x)恒成立，求实数k的取值范围；(Ⅲ)设正实数a1，a2，a3，…，an满足a1+a2+a3+…+an=1，求证：ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)>．2013年七市联考数学试题(理工类)（B卷）参考答案一、选择题：CABABDCBAD二、填空题：11.12.13.（Ⅰ）（Ⅱ）14.（Ⅰ）（Ⅱ）15.16.（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）三、解答题17.解：（Ⅰ）……………3分∴的最小正周期……………4分由得∴的单调递增区间为……………6分（Ⅱ）由得，∵∴∴,……………8分法一：又，∴当时，最大为……………12分法二：即；当且仅当时等号成立。

湖北省荆州市2013届高三毕业班质量检查(Ⅰ)化学试题

荆州市2013届高中毕业班质量检查(I)化学注意事项;1.本试卷分试题卷[含第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)1至6页〕和答题卡[含第I卷填涂卡和第Ⅱ卷答题框7至10页]两大部分。

考生只能在答题卡指定的区域内做答。

满分100分，考试时间100分钟。

2.考生在答卷前，请先将自己的胜名、班级、学校及考号填在答题卡密封线内的矩形框内。

3.第I卷的答案选出后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

若需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案，不能直接答在试题后。

非选择题请在答题卡指定区域做答，本试题卷上不得做答，否则无效。

.4.考试结束，监考老师只将答题卡收回。

本科目考试时间:2012年12月2日上午10: 00一11: 40可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 N-14 0-16 Na-23 5-32 Cu-64第I卷(选择题，共16题，每题3分.共48分)在下列各题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1.下列物质仅能在水溶液中导电的是A. HC1 B: NaHSO3 C. NaOH D. CH3CH2OH2.下列关于化学反应的描述中正确的是A.需要加热才能发生的反应一定是吸热反应B.已知NaOH(aq) +HCI(aq) =NaCI(aq)+H2O(1) △H=一57.3 kJ·mol-1，则含40.0 g NaOH的稀溶液与稀醋酸完全中和，放出57.3 kJ的热量C. CO(g)的燃烧热是283.0 kJ·mol-1，则表示CO(g)的燃烧热的热化学方程式为2C0(g)+02(g)=2CO2(g) △H=一283.0 kJ·mol-1D.已知2C(s) +202(g)=2CO2(g) △H=a, 2C(s) +O2(g)=2C0(g) △H=b，则b>a3.化学在生产和日常生活中有着重要的应用。

下列说法不正确是A.常温下浓硫酸能使铝发生钝化，可在常温下用铝制容器贮运浓硫酸B.高纯度的硅单质广泛用于制作光导纤维C.二氧化氯具有氧化性，可用于白来水的杀菌消毒D.在海轮外壳上镶人锌块，可减缓船体的腐蚀速率4.下列实验过程中，始终无明显现象的是A. NO2通人FeS04溶液中B. CO2通人CaCl2溶液中C. NH3通人AICI3溶液中D. SO2通人已酸化的Ba( N03 )2溶液中5.下列各组气体在常温下能共存且能用向上排空气法收集的是A. NO和O2B. H2和COC. HCl和NH3D. SO2和CO26.右图是某学校实验室从化学试剂商店买回的硫酸试剂标签上的部分内容。

2013届高三第一次联考

2013届高三第一次联考数学试题（理）考试时间：2012年12月21日下午15:00——17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的. 1.集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，则=⋂B C A R ( ) A .[]32， B .(]21， C .[]83， D.(]83，2.若命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是（）A []012,3,3-0200>++∈∀x x xB ()()012,,33-,-0200>+++∞∞∈∀x x xC . ()()012,,33-,-0200≤+++∞∞∈∃x x x D. []012,3,3-0200<++∈∃x x x3.某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（）A .π236+B .π436+C .π836+D .π1036+4.等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，则36S S =（） A .2 B .87 C .89 D .45 5.如图MN 是半圆O 的直径，MN=2，等边三角形OAB 的顶点A 、B 在半圆弧上，且AB//MN ，点P 半圆弧上的动点，则⋅的取值范围是（）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32323，B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡233-23，C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+3233-23， D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-3，6.若双曲线1222=+m y x 的一条渐近线的倾斜角⎪⎭⎫⎝⎛∈30πα，，则m 的取值范围是（）A .()0,3-B .()0,3- C .()3,0 D .）（0,33-7.在ABC ∆中，,3,23sin )(sin AC BC C B A ==+-则=∠B （） A .3π B .6π C .36ππ或 D.2π8.已知R c b a ∈,,，则1632222=++c b a 是[]1,1-∈++c b a 的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件9.若实数y x ,满足：⎩⎨⎧-≤≥-2502x y x y ，则y x 2+的最大值是（） A .3 B .52 C .5 D 5510.已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是（） A .若)(,41x g t =有一个零点 B .若)(,412-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （一）必做题（11-14题）11.已知复数i i i z ),43()21(-÷+=为虚数单位，则z 的共轭复数是 .12.函数x x x f ln )(=，)41(),31(),2(f c f b f a ===，则c b a ,,从小到大的排列是 . 13.阅读如图所示程序框图，运行相应程序，输出结果n = .14.如图把函数,6)(,)(321x x x f x x f -==,50401206)(,1206)(7534533x x x x x f x x x x f -+-=+-=36288050401206)(97535x x x x x x f +-+-=，依次称为x x f sin )(=在[]π，0上的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数.以此类推，请将x x f sin )(=的n 项多项式逼近函数)(x f n 在横线上补充完整：∑-==121)(n k n x f ( ) ）（+∈N k n ,.（二）选做题（请考生在15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图过点A 作圆O 的一条切线AB ，切点为B ，OA 交圆O 于点C .若1,==BC CA OC ,则=AB . 16.(选修4-4：坐标系与参数方程）曲线C 的极坐标方程为：θθρsin cos -=，化成普通方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．（本小题满分12分）函数1)sin()(-+=ϕwx A x f ,00>>w A ，（ϕ)2π<的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π，且经过点)121,12-π（. (1)求函数)(x f 的单调递增区间；(2)若57)(=αf ，且∈α⎥⎦⎤⎢⎣⎡412ππ，，求)62(πα+f 的值.18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：，32-1=a 4332-1+-=+n n n a a a ）（+∈N n . （1）证明数列}11{+n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；第一次八校联考数学（理）试题第3页（共5页）（2）数列}{n b 满足：13+=n nn a b ）（+∈N n ，求}{n b 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图I ，平面四边形ABCD 中，，，，42150600====∠=∠BC AD AB ABC A 把ABD ∆沿直线BD 折起，使得平面⊥ABD平面BCD ，连接AC 得到如图II 所示四面体BCD A -.设点F E O ,,分别是,,AB BDAC 的中点.连接BF CE ,交于点G ,连接 OG .（1）证明：AC OG ⊥；（2）求二面角C AD B --的大小.20.（本小题满分12分）在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，51≤<x ）满足：当31≤<x 时，1)3(2-+-=x b x a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，49070-+=x y .已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.18. 求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；19. 若该特产的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大（x 精确但0.01元/千克）.21.（本小题满分13分）如图所示，过点)1,(m M 作直线AB 交抛物线y x =2于B A ,两点，且MB AM =,过M 作x 轴的垂线交抛物线于点C .连接,,BC AC 记三角形ABC 的面积为∆S ,记直线AB 与抛物线所围成的阴影区域的面积为弓S .（1）求m 的取值范围；（2）当∆S 最大时，求m 的值；（3）是否存在常数λ，使得λ=∆弓S S ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.第一次八校联考数学（理）试题第4页（共5页）22.（本小题满分14分）已知函数1)1()(-+=tx x f 的定义域为()+∞,1-，其中实数t 满足10≠≠t t 且.直线:l )(x g y =是)(x f 的图像在0=x 处的切线.（1）求l 的方程：)(x g y =；（2）若)()(x g x f ≥恒成立，试确定t 的取值范围；（3）若()1,0,21∈a a ，求证：12212121aaaaa a a a +≥+.注：当α为实数时，有求导公式1-='αααx x ）（.湖北省八校2013届高三第一次联考数学（理科）参考答案一选择题：1．D 2．A 3．A4．C5．B 6．A7．B8． A 9．C10．D二填空题11． 1255i -- 12. b c a <<13. 314． sin()2!k k x k π[供参考：(1)cos()2!k k x k π-，11(())2!k k ki i x k --+-（i 为虚数单位）]15.16. 220x x y y -++=三解答题： 17．解：（１）由已知：3,2,,()3sin(2)133A f x x ππωϕ====+- ……….3’令222232k x k πππππ-≤+≤+ 得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 单调递增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈； ……….6’（2）由7()5f α=，得4sin(2)35πα+=，[,]124ππα∈ 所以3cos(2)35πα+=-2()3sin()13cos()12636f απππαα+=+-=+-=11-． ………12’18．解：（1）因为134111323111134n n n n n n a a a a a a ++===+--+++++所以111311n n a a +-=++所以{11n a +}是首项为3，公差为3的等差数列。

湖北省荆州市2013届高三质量检测一(数学理)

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平面区域的面积等于１３１．Ｃ．Ｄ．１Ａ．Ｂ５５２
数学试题（理）第２页（共４页）
二、填空题：本大题共５小题，每小题５分，共２５分，把答案填在答题卡中相应的横线上．３ π １１．函数ｙ＝ｓｉｎ（ｘ＋）（０，０＜）的周期为 π ，且函数图象关于点（－，０）对称，则 ω φ ω＞ φ＜ π ８函数解析式为．１２．设Ｓａ｝的前ｎ项和，Ｓ，Ｓ，Ｓ且ａａ２ａ则ｍ＝ｎ是等比数列｛ｎ３９６成等差数列，２＋５＝ｍ，
（１）请写出ｆ（ｘ）的达式（不需要证明）；ｎ２）求ｆ（ｘ）的极小值；（ｎ
２（３）设ｇ（ｘ）＝－ｘ－２（ｎ＋１）ｘ－８ｎ＋８，ｇ（ｘ）的最大值为ａ，ｆ（ｘ）的最小值为ｂ，证明：ｎｎｎ－４ａ－ｂ ≥ｅ．
荆州市２０１３届高中毕业班质量检查（ Ⅰ）
数学（理工农医类）
本试卷共三大题２１道小题，满分１５０分，考试用时１２０分钟。注意事项：１答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填在试卷答题卡上。２第１至１０小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第１１至２１题用钢笔或圆珠笔在答题卡上作答，答在试题卷上的无效。３．考试结束，只交答题卡。本科目考试时间：２０１２年１２月１日下午３ ∶００ — — —５ ∶００一、选择题：本大题共１０小题，每小题５分，共５０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项正确，每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，多涂、不涂或涂错均得０分．２２１．设集合Ａ＝｛ｘ＞１，ｘ｝，Ｂ＝｛ｘ＝槡１－ｘ｝，则（ＣＡ） │ ∈Ｒ │ｙ ∩Ｂ＝Ｒｘ１－｛ｘ１｝Ｂ．｛ｘ１＜ｘ＜１｝Ａ． │－ ≤ｘ ≤１ │－Ｃ．｛－１，１｝Ｄ．｛１｝

湖北省荆州中学高三数学第一次质量检测试题理(含解析

湖北省荆州中学2014届高三数学第一次质量检测试题理（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（）A. 2a b ab +≥B.112a b ab+> C. 2b a a b +≥ D. 222a b ab +>2.若随机变量(1,4)x N :，(0)P x m ≤=，则(02)P x <<=（）A . 12m - B.12m - C. 122m- D. 1m -3.直线415315 x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t为参数）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长为（）A .710B.145C.75D.574.若当方程22220x y kx y k++++=所表示的圆取得最大面积时，则直线(1)2y k x=-+的倾斜角α=（）．A .34πB.4πC.32πD.54π考点：1.圆的方程；2.斜率和倾斜角的关系.5.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x (cm) 160 165 170 175 180 体重y (kg)6366707274根据上表可得回归直线方程^^0.56y x a =+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为 ( )A ．70.09kgB ．70.12kgC ．70.55kgD ．71.05kg6.在区间[,]ππ-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数22()2f x x ax b π=+-+ 有零点的概率为（） A .78 B. 34 C. 12 D. 14【答案】B 【解析】试题分析：由题意知本题是一个几何概型，∵,a b 使得函数22()2f x x ax b π=+-+有零点，∴0∆≥ ∴22a b π+≥，试验发生时包含的所有事件是{(,)|}a b a ππΩ=-≤≤∴22(2)4S ππ==，而满足条件的事件是22{(,)|}a b a b π+≥，∴22243S πππ=-=，由几何概型公式得到34P =，故选B ．考点：1.函数零点问题；2.几何概型.7.设,,a b c 都是正数，bc ca abM a b c=++，N a b c =++，则,M N 的大小关系是 ( )． A ．M N ≥ B ．M N < C ．M N = D ．M N ≤8.设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（）A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =C. 3(ln 2)2(ln3)f f <D. 3(ln 2)f 与2(ln3)f 的大小不确定考点：求导判断函数的单调性.9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有（）A . 240种 B. 300种 C. 360种 D. 420种10.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD 且2AB =，1AD =，2DC x =（(0,1)x ∈）．以,A B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以,C D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e +的取值范围为（）A . [2,)+∞ B. 5,)+∞ C. 331[,)2+∞ D. 51,)+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：由已知易求得 1141e x =+-，2141e x =++ ， 121e e ⨯= ，但12122e e e e +≥中，不能取“=”，∴12141141141141x e e x x x +-+≥=+-+++-，令141t x =+ 则 1214()2e e t t+=+， 51)t ∈，∴12(5,)e e +∈+∞，故选 B .考点：1.基本不等式；2.双曲线的离心率.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.如图，ABC ∆的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ，BAC ∠的平分线与BC 相交于点D ，若8EB =，2EC =，则ED =______．12.甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：品种第1年第2年第3年第4年甲 9.8 9.9 10.2 10.1 乙9.7101010.3其中产量比较稳定的水稻品种是 . 【答案】甲【解析】13.把一枚硬币任意抛掷三次，事件A = “至少一次出现反面”，事件B = “恰有一次出现正面”求(|)P B A = .14.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212|()()|||f x f x k x x -≤- 成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.若函数()1)f x x x =≥满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为 .【答案】12【解析】试题分析：由已知中利普希茨条件的定义，若函数(),(1)f x x x =≥满足利普希茨条件，所以存在常数k ，使得对定义域[1,)+∞内的任意两个1212,()x x x x ≠，均有1212|()()|||f x f x k x x -≤-成立，不妨设12x x >，则121212x x k x x -≥=+.而12102x x <<+，所以k 的最小值为12.故选C.考点：1. 利普希茨条件；2.利用函数的单调性求值域；恒成立问题.15.已知函数()f x 及其导数'()f x ，若存在0x ，使得'00()()f x f x =，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”下列函数中，有“巧值点”的是 .(填上正确的序号)①2()f x x =，②()xf x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =，⑤1()f x x x=+三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分12分）已知函数()-|x-2|f x m =，m R ∈，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-． (1)求m 的值； (2)若,,a b c R +∈，且11123m a b c++=，求 23z a b c =++ 的最小值. 【答案】（1）1m =；（2）9.17.（本题满分12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000,1500)，（单位：元）．（Ⅰ）估计居民月收入在[1500,2000)的概率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500,2000)的居民数X的分布列和数学期望．故随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.027X 的数学期望为30.30.9⨯=． ………12分考点：1.频率分步直方图；2.中位数；3.分布列；4.数学期望；5.二项分布.18.（本小题满分12分）已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y θθ=⎧⎨=⎩（t 为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()224πρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t ，使得直线l 与曲线C 有两个不同的公共点,A B ，且10OA OB •=u u u r u u u r （其中O 为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.分②当1t ≠±时，曲线C 为中心在原点的椭圆. ……………………6分（Ⅱ）直线l 的普通方程为：40x y -+=. ……………………8分19.（本题满分12分）设函数()ln f x a x =，21()2g x x =．（1）记'()g x 为()g x 的导函数，若不等式'()2()(3)()f x g x a x g x +<+-在[1,]x e ∈上有解，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，对任意的120x x >>，不等式121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立．求m （m Z ∈，1m ≤）的值．由[1,]x e ∈知ln 0x x ->，因而212ln x x a x x-≥-，设212ln x xy x x -=-，20.（本题满分13分）已知椭圆：22221x y a b+=（0a b >>）上任意一点到两焦点距离之和为23离心率为33，左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是右准线上任意一点，过2F 作直线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）点P 的纵坐标为3，过P 作动直线l 与椭圆交于两个不同点,M N ，在线段MN 上取点H ，满足MP MH PN HN =，试证明点H 恒在一定直线上．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为23a x c==，设011(3,),(,)P y Q x y ，21.（本题满分14分）设函数()(1)ln(1)f x x x x =-++ (1x >-)．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）试通过研究函数ln(1)()x g x x+=（0x >）的单调性证明：当0n m >>时，(1)(1)m n n m +<+；（Ⅲ）证明：当2013n >,且123,,,,n x x x x L 均为正实数, 1231n x x x x ++++=L 时，11222231*********()()11112014n n n x x x x x x x x ++++>++++L ．2222312123()(1)1111n n x x x x n x x x x +++++++++L 22222312123123(1111)1111n n nx x x x x x x x x x x x ≥+++++++++L2123()1n x x x x =++++=L ，。