高中数学2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法自我小测新人教B版必修
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法课件新人教B版必修4
题型一
题型二
题型三
题型一
向量的减法运算
【例 1】 化简:(������������ − ������������)-(������������ − ������������).
分析本题主要有三种思路:一是把向量的减法转化为向量的加法 进行化简;二是利用向量的减法法则进行化简;三是设一个辅助点O, 利用 ������������ = ������������ − ������������ 的关系进行化简.事实上,平面内任一向量都 可以写成两个向量的和;同样,任一向量都可以写成两个向量的差. 要学会通过这种转化来简化运算.
2.以非零向量������������=a 与������������=b 为邻边作▱ABCD,则两条对角线对 应的向量为������������=a+b,������������=b-a,������������=a-b,这一结论在以后的应用中非 常重要.
2.教材中的“探索与研究” 在坐标纸上或用作图软件画两个向量,然后作它们的和,研究当 两个向量的方向变化时,它们的和向量变化的情况.你从中能得到 哪些结论?写出小论文谈谈你对向量和的认识,并与老师和同学交 流. 剖析设向量a和b,当向量a和b的方向发生变化时,其和向量a+b会 发生变化,当a与b共线且同向时,a+b的模最大,|a+b|=|a|+|b|;当a与 b共线且方向相反时,不妨设|a|>|b|,此时a+b的模最小,|a+b|=|a|-|b|. 类比向量的加法,对于向量的减法,有如下结论: ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 当a,b同向时,|a-b|=||a|-|b||; 当a,b反向时,|a-b|=|a|+|b|.
【2019最新】高中数学2-1向量的线性运算2-1-3向量的减法课后导练新人教B版必修4
【2019最新】高中数学2-1向量的线性运算2-1-3向量的减法课后导练新人教B 版必修4 向量的减法课后导练基础达标 1.AC 可以写成①OC AO +；②OC AO -；③OC OA -；④OA OC -.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④解析:由三角形法则知①④正确.而=--=-+=-,22.答案:D2.化简下列各式,结果为零向量的个数是( ) ①++ ②-+- ③AD OD OA +- ④MP MN QP NQ -++A.1B.2C.3D.4解析:①++=+=0. ②-+-=(+)-(+)=-=0. ③+-=-=0. ④-+++=++==0.答案:D3.若||=8,||=5,则||的取值范围是( )A.［3,8］B.(3,8)C.［3,13］D.(3,13)解析:∵=-,当、同向时,||=8-5=3； 当,反向时,||=8+5=13； 当,AC 不共线或有零向量时3＜|BC |＜13.综上,知3≤|BC |≤13.答案:C4.△ABC 中,D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点,-等于( )A. B. C. D.解析:==-=-.答案:D5.下列四式中,不能化简为的是( ) A.(+)+ B.(+)+(+CM ) C.+-BM D.+-解析:(+)+(AC +CM )=++=+.答案:B6.已知=a ,=b ,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a -b |=__________. 解析:|a -b |=|OA -OB |=||=1351222=+.答案:137.在边长为1的正方形ABCD 中,设=a ,=b ,=c ,则|a +b +c |=________,|a +c -b |=________,|c -a -b |=______.解析:|a +b +c |=2|c |=22,|a +c -b |=|(c -b )+a |=2|a |=2,|c -a-b |=0.答案:22 2 08.在平行四边形ABCD 中,若|+|=|-|,则ABCD 是__________(填正方形或矩形或菱形).解析:由|+|=|-|,即|AC |=||,可得ABCD 的对角线相等且为平行四边形,因此可得ABCD 为矩形.答案:矩形综合运用9.(2004全国高考,文5) 已知向量a ,b 满足:|a |=1,|b |=2,|a -b |=2,则|a +b |等于( ) A.1 B.2 C.5 D.6解析:由|a +b |2+|a -b |2=2(|a |2+|b |2),知|a +b |2+4=2(1+4),故|a +b |=6.答案:D10.平面上有三点A,B,C,设m= +,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C三点必在同一直线上B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC必为等腰直角三角形解析:如图,作ABCD,则+=,-BC=-=,∵|m|=|n|,∴||=||.∴ABCD为矩形.∴△ABC为直角三角形,∠B=90°.答案:C11.已知等腰直角△ABC,∠C=90°,M为斜边的中点,设=a,=b,试用向量a,b表示AM、,CB,.解:AM=CM-CA=a-b,=AM=a-b,=+=+AM+=b+a-b+a-b=2a-b,=-=-(+)=-2(a-b )=2(b -a ).拓展探究12.一艘船以35 km/h 的速度向垂直于岸的方向行驶,而船的实际速度是10 km/h,求水流的速度和船行驶的方向(用与水流方向间的夹角表示).解:如图所示,设表示船垂直于对岸行驶的速度,表示水流的速度,以,为边作ABCD,则AC 表示的就是船实际航行的速度.在Rt△ABC 中, |AC |=10 km/h, ||=||=35 km/h,∴|75100-= (km/h). ∵tan∠CAB=3,∴∠CAB=60°.答:水流速度为5 km/h,船行驶方向与水流方向夹角为60°.。
2021年高中数学 第二章 平面向量 .1 向量的线性运算 .1.3 向量的减法示范教案 新人教B版
2021年高中数学第二章平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法示范教案新人教B版必修4教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念；理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．3．能熟练地通过作图，求作两个向量的差．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比联想导入)上节课，我们学习了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们进一步学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．推进新课新知探究提出问题 1向量是否有减法？ 2怎样定义向量的减法运算？ 3如何理解向量的减法？ 4向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量．于是－(－a )＝a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.(1)平行四边形法则如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .由此，我们得到a －b 的作图方法．(2)三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2讨论结果：(1)向量也有减法运算．(2)定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫作a 的相反向量，记作－a .(3)向量减法的定义．我们定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．(4)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．应用示例思路1例1如图3，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图3活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .图4图5例2如图6，已知向量a，b，c，求作向量a－b＋c.活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．解：在平面上任取一点O ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则B A →＝a －b .再作B C →＝c ，并以BA 、BC 为邻边作BADC ，则B D →＝B A →＋B C →＝a －b ＋c (如图7)．图6 图7 变式训练1．在ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋BC →＝0 解析：A 显然正确，由平行四边形法则，可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →＋BC→＝AD →＋DA →＝0正确．答案：C2．已知向量a ，b ，c 与d ，求a －b ，c －d (图8)．图8解：作OA →＝a ，OB ＝b ，作BA →，则a －b ＝OA →－OB →＝BA →；作OC →＝c ，OD →＝d ，作DC →，则 c －d ＝OC →－OD →＝DC →.例1判断题：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点．(4)|a ＋b|≥|a －b |.解：(1)若a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论．(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定；当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |； 当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |.综上所述，只有(2)正确．例2若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)解析：BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；(2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；(3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上，可知3≤|BC →|≤13.答案：C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解.3已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解：如图9，设AB →＝a ， AD →＝b ，以AB 、AD 为邻边作ABCD ，则AC →＝a ＋b ， DB →＝a －b .图9因为|a ＋b |＝|a －b |，所以| AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形．故AD⊥AB.在Rt△DAB 中，|AB →|＝6，|AD →|＝8，由勾股定理，得|DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2 ＝62＋82＝10.所以|a ＋b |＝|a －b |＝10.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论． 作业课本本节练习A 组 1,2.设计感想1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a ，如果指向b 则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．3．关于向量减法，在向量代数中常有两种定义方法，第一种方法是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果b ＋x ＝a ，则x 叫作a 与b 的差，记作a －b .这样作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，再作OA →＝a ， OB →＝b ，则BA →就是a －b .这种定义向量减法，学生较难理解定义本身，但很容易作a －b .第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量加法定义，即定义a －b ＝a ＋(－b )．用这种方法定义，通过类比数的减法，学生容易接受a －b ＝a ＋(－b )，但作图较繁．实际上这两种定义方法没有本质的区别．备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是：若两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．只要学生理解法则内容，那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：例1化简：AB →－AC →＋BD →－CD →.解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.例2化简：OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →.二、备用习题1．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ②a －b ＝b －a ③0－a ＝－a ④－(－a )＝a ⑤a ＋(－a )＝0A ．5B ．4C ．3D ．22．如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF →－DB →等于( )图10A.FD →B.FC →C.FE →D.BE →3．下列式子中不能化简为AD →的是( )A ．(AB →＋CD →)＋BC → B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)C.MB →＋AD →－BM →D.OC →－OA →＋CD →4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心5．若非零向量AB →与AC →满足|AB →＋AC →|＝|BC →|，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．已知两向量a 和b ，求证：|a ＋b|＝|a －b |的充要条件是a 的方向与b 的方向垂直． 参考答案：1．B 2.D 3.C 4.A 5.C6．证明：(1)充分性：设OA →＝a ，OB →＝b ，使OA →⊥OB →，以OA 、OB 为邻边作矩形OBCA ，则|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|.∵四边形OBCA 为矩形，∴|OC →|＝|BA →|，故|a ＋b|＝|a －b |.(2)必要性：设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形，则|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|.∵|a ＋b|＝|a －b |，∴|OC →|＝|BA →|.∴OBCA 为矩形．∴a 的方向与b 的方向垂直．。
【高中教育】最新高中数学2-1向量的线性运算2-1-3向量的减法课后导练新人教B版必修4
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学2-1向量的线性运算2-1-3向量的减法课后导练新人教B版必修4______年______月______日____________________部门课后导练基础达标1.可以写成①；②；③；④.其中正确的是( )AC OC AO +OCAO -OC OA -OA OC -A.①②B.②③C.③④D.①④ 解析:由三角形法则知①④正确.而.CA OC OA OC AC OC OC AO OC AO =--=-+=-,22 答案:D2.化简下列各式,结果为零向量的个数是( ) ① ②-+-CA BC AB ++AB AC BD CD ③ ④AD OD OA +-MP MN QP NQ -++A.1B.2C.3D.4 解析:①==0.CA BC AB ++CA AC +②-+-=(+)-(+)=-=0.AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD ③==0.AD OD OA +-OD OD -④=0.MP MN QP NQ -++MN NM MN PM NP +=++= 答案:D3.若||=8,||=5,则||的取值范围是( )AB AC BCA.［3,8］B.(3,8)C.［3,13］D.(3,13)解析:∵=-,当、同向时,||=8-5=3；BC AC AB AB AC BC 当,反向时,||=8+5=13；AB AC BC当,不共线或有零向量时3＜||＜13.AB AC BC 综上,知3≤||≤13.BC 答案:C4.△ABC 中,D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点,等于( )DB AF - A. B. C. D.FD FC FE BE 解析:.BE DF AD AF DB AF ==-=- 答案:D5.下列四式中,不能化简为的是( )ADA.()+B.(+)+(+)CD AB +BC AD MB AC CMC.+-D.MB AD BM CD OA OC +- 解析:(+)+(+)=++=+.AD MB AC CM AD MB AM AD AB 答案:B6.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=__________.OAOB OA OB解析:|a-b|=|-|=||=.OA OB BA 1351222=+ 答案:137.在边长为1的正方形ABCD 中,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=________,|a+c-b|=________,|c-a-b|=______.AB BC AC 解析:|a+b+c|=2|c|=,|a+c-b|=|(c-b)+a|=2|a|=2,|c-a-b|=0.22 答案: 2 0228.在平行四边形ABCD 中,若|+|=|-|,则ABCD 是__________(填正方形或矩形或菱形).AB AD AB AD 解析:由|+|=|-|,AB AD AB AD即||=||,可得ABCD的对角线相等且为平行四边形,AC DB因此可得ABCD为矩形.答案:矩形综合运用9.(20xx全国高考,文5) 已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于( )A.1B.C.D.256解析:由|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),知|a+b|2+4=2(1+4),故|a+b|=.6答案:D10.平面上有三点A,B,C,设m=+,n=-,若m,n的长度恰好相等,则有( )AB BC AC AB BCA.A,B,C三点必在同一直线上B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC必为等腰直角三角形解析:如图,作ABCD,则+=,AB BC ACAB-=-=,BC AB AD DB∵|m|=|n|,∴||=||.AC BD∴ABCD为矩形.∴△ABC 为直角三角形,∠B=90°. 答案:C11.已知等腰直角△ABC,∠C=90°,M 为斜边的中点,设=a,=b,试用向量a,b 表示、,,.CM CA AM MB CB BA 解:=-=a-b,AM CM CAMB ==a-b,AMCB =+=++=b+a-b+a-b=2a-b,CA AB CA AM MBBA ==-(+)=-2(a-b)=2(b-a).AB -AM MB拓展探究12.一艘船以 km/h 的速度向垂直于岸的方向行驶,而船的实际速度是10 km/h,求水流的速度和船行驶的方向(用与水流方向间的夹角表示).35解:如图所示,设表示船垂直于对岸行驶的速度,表示水流的速度,以,为边作ABCD,则表示的就是船实际航行的速度.AD AB AD AB AC在Rt△ABC 中, ||=10 km/h,AC||=||= km/h,BC AD 35∴||= (km/h).AB 75100||||22-=-BC AC ∵tan∠CAB=,∴∠CAB=60°.3答:水流速度为5 km/h,船行驶方向与水流方向夹角为60°.。
人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法》_0
第五章平面向量
5.2.2 向量的减法
【教学目标】
1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．
2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．
【教学重点】
向量减法的三角形法则．
【教学难点】
理解向量减法的定义．
【教学方法】
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．
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第五章平面向量
58。
高中数学2.1向量的线性运算2.1.2向量的加法自我小测新人教B版必修4(2021学年)
高中数学２.1 向量的线性运算2．1.２向量的加法自我小测新人教Ｂ版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学 2.1 向量的线性运算２.1.2 向量的加法自我小测新人教B版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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２.1。
2 向量的加法自我小测1.在四边形ABCD中,CB＋AD＋BA等于( )Ａ.DB B.CA C．CDＤ．DC２．如图在△ABC中,D,Ｅ,F分别为AB,BC，CA的中点,则AF+BD等于( ) A．FDＢ.FC C．FE D．BE３．设a，b为非零向量,下列说法不正确的是（)A．ａ与ｂ反向，且｜a｜〉|ｂ|，则向量ａ+b与a的方向相同B．a与b反向,且|a|〈｜b|，则向量a＋b与ａ的方向相同C.a与b同向,则向量a＋b与a的方向相同D．a与b同向,则向量ａ＋b与b的方向相同４．在平行四边形ABCD中，Ｏ是对角线的交点.下列结论正确的是（）A.AB＝CD，BC=AD B．AD＋OD＝DAC．AO＋OD=AC+CDＤ.AB＋BC+CD=DA5．已知下列各式:(1）AB+BC+CA; (2)(AB+MB)＋BO+OM;（3)OA+＋BO＋CO; (４）AB+CA＋BD+DC．其中结果为0的个数为（）A．1 B．2 C.3 D．46.如图所示,菱形ＡBCD的边长为1,它的一个内角∠AＢC=60°,AB=a,AD＝ｂ,则｜a+b｜=___＿_＿__．7.若Ｐ为△ABC的外心,且P A＋P B＝P C，则△ＡBC的内角∠ACＢ＝__＿__＿____．8．如图所示，已知梯形ABCＤ，AD∥BＣ,则O A＋A B+B C+C D=＿______＿__．９.如图,已知在△ABＣ中，AC的中点为Ｅ，AＢ的中点为F，延长BE至点P,使BE＝EP，延长CF至点Q,使ＣF=FQ.试用向量方法证明P，A，Q三点共线.ﻬ参考答案1．答案:Ｃ2.答案:Ｄ3．答案:Ｂ4．答案:C５．答案：B6.答案：１7．解析：因为P A＋P B＝P C,所以四边形APＢC是平行四边形.又Ｐ为△ABC的外心,所以｜P A|＝｜ＰB|＝|P C|.所以∠ACB=１20°.答案：１２0°8.答案：O D９.证明:因为E是ＡＣ的中点，F是AB的中点,所以AE=EC，AF=FB.又因为BE＝ＥP,ＣF＝ＦQ，所以BE＝EP,CF=FQ.所以AP=AE＋EP=EC＋BE＝BC.所以AP=BC．而QA＝FA+QF=BF+FC=BC,所以QA=BC．所以AP=QA．又因为向量AP与QA有共同的字母A,所以P,Ａ,Q三点共线.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
【高中教育】最新高中数学2-1向量的线性运算2-1-4数乘向量自我小测新人教B版必修4
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学2-1向量的线性运算2-1-4数乘向量自我小测新人教B版必修4______年______月______日____________________部门自我小测1．已知实数m ，n 和向量a ，b ，给出下列命题：①m(a－b)＝ma －mb ；②(m－n)a ＝ma －na ；③若ma ＝mb ，则a ＝b ；④若ma ＝na(a≠0)，则m ＝n ．其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2＋＋＝0，那么( )OA OB OCA ．＝B ．＝2C ．＝3D ．2＝AO OD AO OD AO OD AO OD 3．平面上有一个△ABC 和一点O ，设＝a ，＝b ，＝c ，又OA ，BC 的中点分别为D ，E ，则向量等于( )OA OB OC DEA ． (a ＋b ＋c)B ． (－a ＋b ＋c)C ． (a －b ＋c)D ． (a ＋b －c)121212124．已知四边形ABCD 为菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C)，则A 等于( )PA ．λ(＋)，λ∈(0,1)B ．λ(＋)，λ∈AB AD AB BC20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．λ(－)，λ∈(0,1)D ．λ(－)，λ∈AB AD AB BC20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若＝a ，＝b ，则等于( )AC BD AFA ． a ＋bB ． a ＋bC ． a ＋bD ． a ＋b141213*********36．点C 在线段AB 上，且＝，则＝________，＝________．AC CB 32AC AB BC AB7．若2－ (b －3x ＋c)＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝__________．13X a ⎛⎫- ⎪⎝⎭128．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若＝λ ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．AC AE AF 9．如图所示，L ，M ，N 是△ABC 三边的中点，O 是△ABC 所在平面内的任意一点，求证：＋＋＝＋＋．OA OB OC OL OM ON10．如图所示，四边形OADB 是以向量＝a ，＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝BC ，CN ＝CD ，试用a ，b 表示，，．OA OB1313OM ON MN参考答案1．答案：B2．解析：由2＋＋＝0，可知O是底边BC上的中线AD的中点，故＝．OA OB OC AO OD答案：A3．解析：＝＋＝－＋ (＋)＝－a＋b＋c．DE DO OE12OA12OB OC121212答案：B4．答案：A5．解析：如图， =+，由题意知，DE∶BE=1∶3=DF∶AB，所以=．AFAD DF DF 13 AB又=-AD OD OA=+=a+b，12BD12AC1212AB=-=-b+a，OB OA 1 2 1 2所以=a+b+=a+b．AF1212131122a b⎛⎫-⎪⎝⎭2313答案：D6．答案：－352 57．解析：2x＋x＝a＋b－b＋c，32231 212所以x＝a－b＋c．4211 7 1 7答案： a－b＋c4211 7 1 78．解析：设＝a，＝b，AB AD那么＝a＋b，＝a＋b．AE AF12又因为＝a＋b，AC所以＝(＋)，AC AE AF即λ＝μ＝，23所以λ＋μ＝．43答案：439．证明：＋＋＝＋＋＋＋＋OA OB OC OL LA OM MB ON NC ＝(＋＋)＋(＋＋)OL OM ON LA MB NC＝(＋＋)＋(＋＋)OL OM ON CA AB BC＝(＋＋)＋0OL OM ON＝＋＋．OL OM ON所以原式成立．10．解：因为＝＝＝ (－)BM13BC16BA16OA OB＝ (a－b)，16所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b．OM OB BM16161 656因为＝＝，CN13CD16OD所以＝＋＝＋＝ON OC CN12OD16OD23OD＝ (＋)＝ (a＋b)，23OA OB23所以＝－＝ (a＋b)－a－b MN ON OM231 6 5 6＝a－b．121 6。
数学人教B版必修4自我小测：2.1.3向量的减法 含解析
自我小测1．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则FC －DB等于( )A ．FDB ．AFC ．FED ．BE2．在△ABC 中，|AB |＝|AC |＝|AC －AB|，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．以上都不正确3．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面外任意一点，OA ＝a ，OB＝b ，OC ＝c ，则向量OD等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c4．在边长为1的正方形ABCD 中，若AB＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，则|a －b ＋c |等于( )A ．0B ．1C ．2D ．5．下列说法中错误的有( )A ．若OD ＋OE ＝OE ，则OE －OE ＝ODB ．若OD ＋OE ＝OE ，则OE ＋DO ＝OEC ．若OD ＋OE ＝OE ，则OD －EO ＝OED ．若OD ＋OE ＝OE ，则DO ＋EO ＝OE6．已知|a |＝7，|b |＝2，且a ∥b ，则|a －b |＝__________．7．长度相等的三个非零向量OA ，OB ，OC 满足OA ＋OB ＋OC＝0，则由A ，B ，C 三点构成的△ABC 是________三角形．8．如图，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d ．9．已知平面上不共线三点A ，B ，C ，O 是△ABC 内一点，若OA ＋OB ＋OC＝0，求证：O 是△ABC 的重心．参考答案1．解析：由图可知FC ＝AF ，DB ＝AD ，则FC －DB ＝AF －AD ＝DF．又由三角形中位线定理，知DF ＝BE，故选D ．答案：D2．解析：因为AC －AB ＝BC，所以|AB|＝|AC |＝|BC |．所以△ABC 是等边三角形． 答案：C3．解析：如图，有OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋BC ＝OA ＋OC －OB＝a ＋c －b ．答案：B4．解析：因为c ＝a ＋b ，所以|a －b ＋c |＝|a ＋a |＝|a |＋|a |＝2． 答案：C 5．答案：D 6．答案：5或97．解析：如图，作OA ，OB 的和向量OD．因为OA +OB +OC=0，所以OA ＋OB ＝－OC ．所以OD ＝－OC ．又因为|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |，所以△AOD 是等边三角形，四边形AOBD 是菱形． 所以∠OAB ＝12∠OAD ＝30°．同理：∠OAC ＝∠OCA ＝∠OCB ＝∠OBC ＝∠OBA ＝30°． 所以∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， 即△ABC 为等边三角形． 答案：等边8．解：如图，在平面内任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD＝d ，则BA＝a －b ，DC ＝c －d ．9．证明：如图，因为OA +OB +OC =0，所以OA ＝－(OB ＋OC )，即OB ＋OC 是OA的相反向量．以OB ，OC 为邻边作▱OBPC ，则OP ＝OB ＋OC ，所以OP ＝－OA，所以A ，O ，P 共线． 又设OP 与BC 交BC 于点D ， 则D 是BC 的中点， 所以AD 是BC 边上中线， 且AD 过O 点；同理可证BE ，CF 分别是边AC ，AB 边上中线， 且都过O 点．所以O 是△ABC 的重心．。
高中数学 2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法自我小测 新人教B版必修4
2.1.3 向量的减法自我小测1．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则FC uuu r －DB u u u r等于( )A ．FD u u u rB ．AF u u u rC ．FE u u u rD ．BE u u u r2．在△ABC 中，|AB u u u r |＝|AC u u u r |＝|AC u u u r －AB u u u r|，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．以上都不正确3．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面外任意一点，OA u u u r ＝a ，OB uuu r＝b ，OC u u u r ＝c ，则向量OD u u u r等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c4．在边长为1的正方形ABCD 中，若AB u u u r＝a ，BC uuu r ＝b ，AC u u u r ＝c ，则|a －b ＋c |等于( )A ．0B ．1C ．2D ． 5．下列说法中错误的有( )A ．若OD u u u r ＋OE uuu r ＝OE uuu r ，则OE uuu r －OE uuu r ＝OD u u u rB ．若OD u u u r ＋OE uuu r ＝OE uuu r ，则OE uuu r ＋DO u u u r ＝OE uuu rC ．若OD u u u r ＋OE uuu r ＝OE uuu r ，则OD u u u r －EO uuu r ＝OE uuu rD ．若OD u u u r ＋OE uuu r ＝OE uuu r ，则DO u u u r ＋EO uuu r ＝OE uuu r6．已知|a |＝7，|b |＝2，且a ∥b ，则|a －b |＝__________．7．长度相等的三个非零向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 满足OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC u u u r＝0，则由A ，B ，C 三点构成的△ABC 是________三角形．8．如图，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d ．9．已知平面上不共线三点A ，B ，C ，O 是△ABC 内一点，若OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC u u u r＝0，求证：O是△ABC 的重心．参考答案1．解析：由图可知FC uuu r ＝AF u u u r ，DB u u u r ＝AD u u u r ，则FC uuu r －DB u u u r ＝AF u u u r －AD u u u r ＝DF u u u r．又由三角形中位线定理，知DF u u u r ＝BE u u u r，故选D ．答案：D2．解析：因为AC u u u r －AB u u u r ＝BC uuur ，所以|AB u u u r|＝|AC |＝|BC uuu r |．所以△ABC 是等边三角形． 答案：C3．解析：如图，有OD u u u r ＝OA u u u r ＋AD u u u r ＝OA u u ur ＋BC uuu r ＝OA u u u r ＋OC u u u r －OB uuu r ＝a ＋c －b ．答案：B4．解析：因为c ＝a ＋b ，所以|a －b ＋c |＝|a ＋a |＝|a |＋|a |＝2． 答案：C 5．答案：D 6．答案：5或97．解析：如图，作OA u u u r ，OB uuu r 的和向量OD u u u r．因为OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r=0，所以OA u u u r ＋OB uuu r ＝－OC u u u r ．所以OD u u u r ＝－OC u u u r ．又因为|OA u u u r |＝|OB uuu r |＝|OC u u u r |＝|OD u u u r|，所以△AOD 是等边三角形，四边形AOBD 是菱形．所以∠OAB ＝12∠OAD ＝30°． 同理：∠OAC ＝∠OCA ＝∠OCB ＝∠OBC ＝∠OBA ＝30°． 所以∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， 即△ABC 为等边三角形． 答案：等边8．解：如图，在平面内任取一点O ，作OA u u u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，OC u u u r ＝c ，OD u u u r＝d ，则BA u u u r＝a －b ，DC u u u r ＝c －d ．9．证明：如图，因为OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r =0，所以OA u u u r ＝－(OB uuu r ＋OC u u u r )，即OB uuu r ＋OC u u u r 是OAu u u r的相反向量．以OB ，OC 为邻边作▱OBPC ，则OP ＝OB uuu r ＋OC u u u r，所以OP ＝－OA u u u r，所以A ，O ，P 共线． 又设OP 与BC 交BC 于点D ， 则D 是BC 的中点， 所以AD 是BC 边上中线， 且AD 过O 点；同理可证BE ，CF 分别是边AC ，AB 边上中线， 且都过O 点．所以O 是△ABC 的重心．。
2019高中数学2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法自我小测新人教B版必修65
2.1.3 向量的减法自我小测1．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则FC－DB等于( )A．FD B．AF C．FE D．BE2．在△ABC中，|AB|＝|AC|＝|AC－AB|，则△ABC是( )A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．以上都不正确3．已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则向量OD等于( )A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．a－b－c4．在边长为1的正方形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a－b＋c|等于( )A．0 B．1 C．2 D．5．下列说法中错误的有( )A．若OD＋OE＝OE，则OE－OE＝ODB．若OD＋OE＝OE，则OE＋DO＝OEC．若OD＋OE＝OE，则OD－EO＝OED．若OD＋OE＝OE，则DO＋EO＝OE6．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝__________．7．长度相等的三个非零向量OA，OB，OC满足OA＋OB＋OC＝0，则由A，B，C三点构成的△ABC是________三角形．8．如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．9．已知平面上不共线三点A，B，C，O是△ABC内一点，若OA＋OB＋OC＝0，求证：O 是△ABC的重心．参考答案1．解析：由图可知FC＝AF，DB＝AD，则FC－DB＝AF－AD＝DF．又由三角形中位线定理，知DF＝BE，故选D．答案：D2．解析：因为AC－AB＝BC，所以|AB|＝|AC|＝|BC|．所以△ABC是等边三角形．答案：C3．解析：如图，有OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a＋c－b．答案：B4．解析：因为c＝a＋b，所以|a－b＋c|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2．答案：C5．答案：D6．答案：5或97．解析：如图，作OA，OB的和向量OD．因为OA+OB+OC=0，所以OA＋OB＝－OC．所以OD＝－OC．又因为|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，所以△AOD是等边三角形，四边形AOBD是菱形．所以∠OAB＝12∠OAD＝30°．同理：∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC＝∠OBA＝30°．所以∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，即△ABC为等边三角形．答案：等边8．解：如图，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，则BA＝a－b，DC＝c－d．9．证明：如图，因为OA+OB+OC=0，所以OA＝－(OB＋OC)，即OB＋OC是OA 的相反向量．以OB，OC为邻边作▱OBPC，则OP＝OB＋OC，所以OP＝－OA，所以A，O，P共线．又设OP与BC交BC于点D，则D是BC的中点，所以AD是BC边上中线，且AD过O点；同理可证BE，CF分别是边AC，AB边上中线，且都过O点．所以O是△ABC的重心．。
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法课件新人教B版必修4
题型一
题型二
题型三
题型一
向量的减法运算
【例 1】 化简:(������������ − ������������)-(������������ − ������������).
分析本题主要有三种思路:一是把向量的减法转化为向量的加法 进行化简;二是利用向量的减法法则进行化简;三是设一个辅助点O, 利用 ������������ = ������������ − ������������ 的关系进行化简.事实上,平面内任一向量都 可以写成两个向量的和;同样,任一向量都可以写成两个向量的差. 要学会通过这种转化来简化运算.
1
2
【做一做1】 如图,在▱ABCD中, ������������=a,������������=b,则用 a,b 表示向量������������ 和������������分别 是( ) A.a+b和a-b B.a+b和b-a C.a-b和b-a D.b-a和b+a 答案:B
1
2
2.相反向量 (1)定义. 与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量,记作-a(如图所 示). (2)性质. ①a+(-a)=(-a)+a=0; ②-(-a)=a; ③零向量的相反向量仍是0,即0=-0. (3)向量减法的再理解. 从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量,因此, 关于向量减法的作图,一是利用向量减法的定义直接作图,二是利 用相反向量作图.
2.1.3
向量的减法
1.掌握向量减法的运算,并理解其几何意义. 2.明确相反向量的意义,能用相反向量解释向量相减的意义. 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.
1
2
1.向量减法的定义
(部编版)2020高中数学2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法自我小测新人教B版必修65
2.1.3 向量的减法自我小测1．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则FC－DB等于( )A．FD B．AF C．FE D．BE2．在△ABC中，|AB|＝|AC|＝|AC－AB|，则△ABC是( )A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．以上都不正确3．已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则向量OD等于( )A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．a－b－c4．在边长为1的正方形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a－b＋c|等于( )A．0 B．1 C．2 D．5．下列说法中错误的有( )A．若OD＋OE＝OE，则OE－OE＝ODB．若OD＋OE＝OE，则OE＋DO＝OEC．若OD＋OE＝OE，则OD－EO＝OED．若OD＋OE＝OE，则DO＋EO＝OE6．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝__________．7．长度相等的三个非零向量OA，OB，OC满足OA＋OB＋OC＝0，则由A，B，C三点构成的△ABC是________三角形．8．如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．9．已知平面上不共线三点A，B，C，O是△ABC内一点，若OA＋OB＋OC＝0，求证：O是△ABC的重心．参考答案1．解析：由图可知FC＝AF，DB＝AD，则FC－DB＝AF－AD＝DF．又由三角形中位线定理，知DF ＝BE，故选D．答案：D2．解析：因为AC－AB＝BC，所以|AB|＝|AC|＝|BC|．所以△ABC是等边三角形．答案：C3．解析：如图，有OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a＋c－b．答案：B4．解析：因为c＝a＋b，所以|a－b＋c|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2．答案：C5．答案：D6．答案：5或97．解析：如图，作OA，OB的和向量OD．因为OA+OB+OC=0，所以OA＋OB＝－OC．所以OD＝－OC．又因为|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，所以△AOD是等边三角形，四边形AOBD是菱形．所以∠OAB＝12∠OAD＝30°．同理：∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC＝∠OBA＝30°．所以∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，即△ABC为等边三角形．答案：等边8．解：如图，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，则BA＝a－b，DC＝c－d．9．证明：如图，因为OA+OB+OC=0，所以OA＝－(OB＋OC)，即OB＋OC是OA的相反向量．以OB，OC为邻边作▱OBPC，则OP＝OB＋OC，所以OP＝－OA，所以A，O，P共线．又设OP与BC交BC于点D，则D是BC的中点，所以AD是BC边上中线，且AD过O点；同理可证BE，CF分别是边AC，AB边上中线，且都过O点．所以O是△ABC的重心．。
人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.3 向量的减法》_1
《向量的减法运算及几何意义》教学设计一、教材分析1、教材所处的地位和作用本节课是平面向量线性运算的一种。
在学完向量的加法运算及几何意义后，本节课是对上节课内容的一个转化，通过本节课的学习不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解，也为后面学习向量的数乘运算及几何意义做了铺垫。
它具有承上启下的作用。
2、教学目标知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.过程与方法：通过向量减法的学习，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 使学生充分体会转化、类比、数形结合的数学思想的运用。
进一步培养和提高学生的数学核心素养。
情感态度价值观：在本节内容的学习过程中，通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识。
体会成功的愉悦，提高学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.3、教学重点和难点教学重点：向量减法的概念和差向量的作图法教学难点：向量减法的几何意义二、教法与学法1教学方法及教学手段教学方法：引导，探究，小组合作教学手段：采用多媒体与学案导学相结合，提高课堂的利用率。
四、教学过程（一）回顾旧知通过学案设置的问题，复习上节课所学内容（三角形法则：首尾相接连端点。
四边形法则：起点相同连对角及向量加法法则）引出疑问——加与减是对立统一的两个方面，既然向量可以相加，那么，两个向量可以相减呢设计意图：通过对上节课所学知识的复习，为本节课的学习打下基础。
并自然引出本节课所研究的内容。
（二）引入新课问题:你每天上学从家到学校，从学校到家，你的位移是多少?怎样用向量来表示呢?引出相反向量的定义：（这个概念的理解以及相应性质在学案上有所体现）由学生自行完成。
设计意图：与实际生活相联系，让学生体会数学在实际生活中的重要地位。
也能使学生更容易理解相反向量的定义及相关性质。
（1）新课讲解通过学案上给出的问题串，如何定义向量的减法、用怎样的符号表示、如何理解向量的减法及几何意义。
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法课件新人教B版必修4
提示:可根据三角形法则或平行四边形法则作图.(图略)
一
二
2.填空: 向量减法的定义
(1)已知向量 a,b(如图),作������������=a,������������=b,则 b+������������=a,向量������������叫做 向量 a 与 b 的差,记作 a-b,即������������=a-b=������������ − ������������. (2)向量的减法是向量加法的逆运算,如果把两个向量的始点放 在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的 终点为终点的向量. (3)一个向量������������等于它的终点相对于点 O 的位置向量������������减去它 的始点相对于点 O 的位置向量������������,或简记为“终点向量减始点向量”.
一
二
二、相反向量 【问题思考】 1.某人由点A按直线运动到点B产生的位移,与由点B按直线运动 到点A产生的位移相同吗?有什么关系? 提示:不同.大小相等但方向相反.
一
二
2.填空: (1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量,记作-a(如 图所示). (2)性质. ①a+(-a)=(-a)+a=0; ②-(-a)=a; ③零向量的相反向量仍是0,即0=-0. (3)向量减法的再理解. 从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量,因此 关于向量减法的作图一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用 相反向量作图.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
化简向量表达式
【例 2】 化简:(������������ − ������������)-(������������ − ������������)=
高中数学2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法自我小测
2.1.3 向量的减法自我小测1．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则FC－DB等于( )A．FD B．AF C．FE D．BE2．在△ABC中，|AB|＝|AC|＝|AC－AB|，则△ABC是( )A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．以上都不正确3．已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则向量OD等于( )A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．a－b－c4．在边长为1的正方形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a－b＋c|等于( )A．0 B．1 C．2 D．5．下列说法中错误的有( )A．若OD＋OE＝OE，则OE－OE＝ODB．若OD＋OE＝OE，则OE＋DO＝OEC．若OD＋OE＝OE，则OD－EO＝OED．若OD＋OE＝OE，则DO＋EO＝OE6．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝__________．7．长度相等的三个非零向量OA，OB，OC满足OA＋OB＋OC＝0，则由A，B，C三点构成的△ABC是________三角形．8．如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．9．已知平面上不共线三点A，B，C，O是△ABC内一点，若OA＋OB＋OC＝0，求证：O 是△ABC的重心．参考答案1．解析：由图可知FC＝AF，DB＝AD，则FC－DB＝AF－AD＝DF．又由三角形中位线定理，知DF＝BE，故选D．答案：D2．解析：因为AC－AB＝BC，所以|AB|＝|AC|＝|BC|．所以△ABC是等边三角形．答案：C3．解析：如图，有OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a＋c－b．答案：B4．解析：因为c＝a＋b，所以|a－b＋c|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2．答案：C5．答案：D6．答案：5或97．解析：如图，作OA，OB的和向量OD．因为OA+OB+OC=0，所以OA＋OB＝－OC．所以OD＝－OC．又因为|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，所以△AOD是等边三角形，四边形AOBD是菱形．所以∠OAB＝12∠OAD＝30°．同理：∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC＝∠OBA＝30°．所以∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，即△ABC为等边三角形．答案：等边8．解：如图，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，则BA＝a－b，DC＝c－d．9．证明：如图，因为OA+OB+OC=0，所以OA＝－(OB＋OC)，即OB＋OC是OA 的相反向量．以OB，OC为邻边作▱OBPC，则OP＝OB＋OC，所以OP＝－OA，所以A，O，P共线．又设OP与BC交BC于点D，则D是BC的中点，所以AD是BC边上中线，且AD过O点；同理可证BE，CF分别是边AC，AB边上中线，且都过O点．所以O是△ABC的重心．。
人教B版高中数学必修四《2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法》2
向量的减法运算及其几何意义教课目的：认识相反向量的观点；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；经过论述向量的减法运算能够转变成向量的加法运算，使学生理解事物间能够相互转变的辩证思想.教课要点：向量减法的观点和向量减法的作图法.教课难点：减法运算时方向确实定.教课思路：一、复习：向量加法的法例：三角形法例与平行四边形法例，向量加法的运算定律：例：在四边形中，CBBAAD.解：CBBAADCAADCD二、提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a（2）规定：零向量的相反向量还是零向量.(a)=a.任一直量与它的相反向量的和是零向量.a+ (a)=0假如a、b互为相反向量，则a=b，b=a，a+b=0（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作a b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a b∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=aa O a 作法：在平面内取一点O，b作OA=a，AB=b则BA=ab bab B即ab能够表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1AB表示a b.重申：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(b)B’a b a+(b)O abAb bB4．研究：１）假如从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a.２）若a∥b，怎样作出 a b？a ab abbO B A B’O BAa ab a bb O A b B B O A三、例题：例一、（P86例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.解：在平面上取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，作BA，DC，则BA=ab，DC=cdA BD D CdbacA BCO例二、平行四边形ABCD中，AB a，AD b，用a、b表示向量AC、DB.解：由平行四边形法例得：AC=a+b，DB=AB AD=ab变式一：当a，b知足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a|=|b|）变式二：当a，b知足什么条件时，|a+b|=|a b|？（a，b相互垂直）变式三：a+b与ab可能是相等向量吗？（不行能，∵对角线方向不一样）例3.如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个极点A、B、C的向量分别为a、b、c，试用向量a、b、c表示OD.练习：1。
高中数学2.1向量的线性运算2.1.2向量的加法自我小测新人教B版必修60
2.1.2 向量的加法自我小测1．在四边形ABCD中，CB＋AD＋BA等于( )A．DB B．CA C．CD D．DC2．如图在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则AF＋BD等于( ) A．FD B．FC C．FE D．BE3．设a，b为非零向量，下列说法不正确的是( )A．a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同B．a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同C．a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同D．a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同4．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是( ) A．AB＝CD，BC＝AD B．AD＋OD＝DAC．AO＋OD＝AC＋CD D．AB＋BC＋CD＝DA5．已知下列各式：(1)AB＋BC＋CA；(2)(AB＋MB)＋BO＋OM；(3)OA＋＋BO＋CO；(4)AB＋CA＋BD＋DC．其中结果为0的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．46．如图所示，菱形ABCD的边长为1，它的一个内角∠ABC＝60°，AB＝a，AD＝b，则|a＋b|＝________．7．若P为△ABC的外心，且P A＋P B＝P C，则△ABC的内角∠ACB＝__________．8．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则O A＋A B＋B C＋C D＝__________．9．如图，已知在△ABC中，AC的中点为E，AB的中点为F，延长BE至点P，使BE＝EP，延长CF至点Q，使CF＝FQ．试用向量方法证明P，A，Q三点共线．参考答案1．答案：C2．答案：D3．答案：B4．答案：C5．答案：B6．答案：17．解析：因为P A＋P B＝P C，所以四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，所以|P A|＝|P B|＝|P C|．所以∠ACB＝120°．答案：120°8．答案：O D9．证明：因为E是AC的中点，F是AB的中点，所以AE＝EC，AF＝FB．又因为BE＝EP，CF＝FQ，所以BE＝EP，CF＝FQ．所以AP＝AE＋EP＝EC＋BE＝BC．所以AP＝BC．而QA＝FA＋QF＝BF＋FC＝BC，所以QA＝BC．所以AP＝QA．又因为向量AP与QA有共同的字母A，所以P，A，Q三点共线．。
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2.1.3 向量的减法
自我小测
1．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则FC－DB等于( )
A．FD B．AF C．FE D．BE
2．在△ABC中，|AB|＝|AC|＝|AC－AB|，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．以上都不正确
3．已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则向量OD等于( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．a－b－c
4．在边长为1的正方形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a－b＋c|等于( )
A．0 B．1 C．2 D．
5．下列说法中错误的有( )
A．若OD＋OE＝OE，则OE－OE＝OD
B．若OD＋OE＝OE，则OE＋DO＝OE
C．若OD＋OE＝OE，则OD－EO＝OE
D．若OD＋OE＝OE，则DO＋EO＝OE
6．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝__________．
7．长度相等的三个非零向量OA，OB，OC满足OA＋OB＋OC＝0，则由A，B，C三点构成的△ABC是________三角形．
8．如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
9．已知平面上不共线三点A，B，C，O是△ABC内一点，若OA＋OB＋OC＝0，求证：O 是△ABC的重心．
参考答案
1．解析：由图可知FC＝AF，DB＝AD，则FC－DB＝AF－AD＝DF．又由三角形中位线定理，知DF＝BE，故选D．
答案：D
2．解析：因为AC－AB＝BC，
所以|AB|＝|AC|＝|BC|．
所以△ABC是等边三角形．
答案：C
3．解析：如图，有OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a＋c－b．
答案：B
4．解析：因为c＝a＋b，所以|a－b＋c|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2．
答案：C
5．答案：D
6．答案：5或9
7．解析：如图，作OA，OB的和向量OD．
因为OA+OB+OC=0，
所以OA＋OB＝－OC．
所以OD＝－OC．
又因为|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
所以△AOD是等边三角形，四边形AOBD是菱形．
所以∠OAB＝1
2
∠OAD＝30°．
同理：∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC＝∠OBA＝30°．
所以∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
即△ABC为等边三角形．
答案：等边
8．解：如图，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，
则BA＝a－b，DC＝c－d．
9．证明：如图，因为OA+OB+OC=0，所以OA＝－(OB＋OC)，即OB＋OC是OA 的相反向量．
以OB，OC为邻边作▱OBPC，则OP＝OB＋OC，
所以OP＝－OA，
所以A，O，P共线．
又设OP与BC交BC于点D，
则D是BC的中点，
所以AD是BC边上中线，
且AD过O点；
同理可证BE，CF分别是边AC，AB边上中线，
且都过O点．
所以O是△ABC的重心．。