部编版初中数学教程勾股定理与折叠问题

勾股定理中的折叠问题(分类整理版)

勾股定理中的折叠问题
1、如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求
线段BN的长．
2、在一张直角三角形纸片中,两条直角边BC等于6,AC等于8,将三角形ABC按如图所示的方式折叠,使点A 和点B重合,折痕为DE,求CD的长
3、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分（阴影部分）
的面积．
变式：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在
斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。

4、如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10CM,求DE的长
5、在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后,点D恰好在对角线AC上的点F处、求EF的长。

6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落
在CD边上的点G处，求BE的长.
7、如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．。

8.C专题勾股定理与折叠问题

专题勾股定理与折叠问题【方法归纳】扣住折叠前后的对应线段、对应角相等，将有关线段转化到直角三角形中用勾股定理来解决.一、折叠直角三角形1.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 为AB 上一点，沿CD 折叠△ABC ，点A 恰好落在边BC 上的A ′处，AB ＝4，AC ＝3，求BD 的长.A BCD A'【解答】由题意得AD ＝A ′D 、AC ＝A ′C ，设AD ＝x ，则BD ＝4－x ,在Rt △A ′BD 中，22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.BD ＝52.二、折叠长方形2.如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，F 为CD 上一点，将长方形沿折痕AF 折叠，点D 恰好落在BC 上的点E 处，求CF 的长.【解答】BE ＝3.设CF ＝x ，DF ＝EF ＝4－x ,CE ＝2, 22＋x 2＝(4－x )2,x ＝32.3. 如图，长方形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，使点C 与点C′重合.(1)求DE 的长; (2)求折痕EF 的长.【解答】(1)由题意得DE ＝EB ，设DE ＝EB ＝x ,则AE ＝8－x .在Rt △AEB 中， x 2＝42＋(8－x )2,x ＝5.(2)作EM ⊥BC 于M ，证∠DEF ＝∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF ＝5，MF ＝2.∴EF ＝EM 2＋MF 2＝2 5.4. 如图，长方形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，沿BD 折叠使点A 到A ′处，DA ′交BC 于点F .(1)求证：FB ＝FD ；(2) 求证：CA ′∥BD ；(3) 求△DBF 的面积.【解答】(1)∠DBF ＝∠ADB ＝∠DBF ，∴FB ＝FD .(2)A ′D ＝AD ＝BC ，FA ′＝FC ，∠DBF ＝∠BDF ＝∠FCA ′＝∠FA ′C ，(3)设FB ＝FD ＝x ,x 2＝(8－x )2＋62,x ＝254,∴S △BFD ＝12×254×6＝754.三、折叠正方形5.如图，长方形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，G 为BC 的中点，连接AG 、CF .(1)求证：AG ∥CF ；(2)求DE CE 的值.【解答】(1)连接BF ，∴BG ＝FG ＝CG .∴CF ⊥BF .∵BG ＝FG ，AB ＝AF ，∴AG 垂直平分BF .∴AG ∥CF .(2)设DE ＝EF ＝x ，BG ＝FG ＝y ,则CE ＝2y －x ，CG ＝y ,在△CEG 中，（x ＋y ）2＝（2y －x ）2＋y 2,3x＝2y ,∴DE CE ＝12。

勾股定理的折叠问题

勾股定理的折叠问题
众所周知，勾股定理是数学中的一条重要定理，描述了直角三角形中，直角边
的平方和等于斜边的平方。

而关于勾股定理的折叠问题则考察了一个有趣而实用的几何学思考。

勾股定理的折叠问题是指，如果我们将一个正方形纸张的一角折叠到对边上，
能否构造出一条长度为整数的直角边，并利用这条直角边实现勾股定理。

答案是肯定的。

通过将正方形纸张的一角折叠到对边上，我们可以得到一个直角三角形。

根据
勾股定理，该直角三角形的直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。

因此，我们只需要找到两个整数的平方和等于第三个整数的平方即可。

以3、4和5为例，我们可以将正方形纸张的一个角折叠到对边上，构造出一
个边长为3、4和5的直角三角形。

这是因为3的平方加上4的平方等于5的平方。

同样，使用其他整数组合，我们也可以得到满足勾股定理的直角三角形。

勾股定理的折叠问题不仅仅是一道有趣的数学问题，它在实际生活中也具有应
用价值。

例如，当我们需要制作直角三角形的时候，可以利用这个折叠方法，通过简单的实验就能得到所需的尺寸。

然而，需要注意的是，勾股定理的折叠问题是一个抽象的概念，对于任意给定
的正方形纸张，我们并不能保证总能构造出满足勾股定理的直角三角形。

所以，在实践中还是要注意具体问题具体分析。

总的来说，勾股定理的折叠问题是一个有趣而实用的数学探索。

通过将一个正
方形纸张的一角折叠到对边上，我们可以得到满足勾股定理的直角三角形。

这个问题不仅启发我们对数学的思考，还可以在实际生活中找到应用。

利用勾股定理解决折叠问题及答案

利用勾股定理解决折叠问题及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（利用勾股定理解决折叠问题及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为利用勾股定理解决折叠问题及答案的全部内容。

小专题（二）利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（)A.252cm B。

错误! cmC。

错误! cm D。

错误! cm2．如图所示，有一块直角三角形纸片,∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．1 cm B．1.5 cmC．2 cm D．3 cm3．（青岛中考)如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为(）A．4 B．32C．4.5 D．54．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处，折痕为AE,且EF＝3，则AB的长为()A．3 B．4 C．5 D．65．（铜仁中考）如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3,将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处,BC′交AD于点E,则线段DE的长为（)A．3 B.错误! C．5 D.错误!6．如图,在长方形ABCD中，AB＝4,AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是(）A．210－2B．6C．2错误!－2D．47．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5,将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝6，BC＝8,将它的锐角A翻折，使得点A落在BC 边的中点D处，折痕交AC边于点E,交AB边于点F，则DE的值为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动,八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是:①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD,②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（）A．6 cm B．12 cmC．13 cm D．16 cm2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm,底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm。

勾股定理中的折叠问题

勾股定理中的折叠问题姓名：例1：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E BCA D 对应练习：1、如图,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C ／处,BC ／交AD 于E,AD=8,求BC ＇的长2、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长． AB C DE C ／3、如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ，若AB=1，BC=2，（1）请找出图中的等腰三角形（2）求△ABE 和△BC ′F 的周长之和BAC D E4、如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）5、如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．（3）请找出图中的等腰三角形6、如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD 交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）求证：点E在线段AC的垂直平分线上；（3）若AB=8，AD=3，求图中阴影部分的周长．7、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，BM=，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：。

勾股定理折叠问题的实际应用

勾股定理折叠问题的实际应用勾股定理是数学中最基础的定理之一，也是最具有实用性的几何定理之一。

通过勾股定理，我们可以求解直角三角形中的各种问题，比如求三角形的边长、角度等。

除了在数学领域有着广泛的应用外，勾股定理还可以应用在一些实际生活中的问题中，比如在建筑、工程、设计等领域中。

本文将主要围绕勾股定理在折叠问题中的应用展开讨论。

1. 折纸问题折纸作为一种传统的手工艺品，一直受到人们的喜爱。

在折纸的过程中，勾股定理往往能够帮助我们准确的计算出纸张的折叠位置和角度，从而使得折出的作品更加美丽和精致。

比如，我们想要折一个正方形纸张成一个等腰直角三角形，勾股定理就可以派上用场。

根据勾股定理，我们知道直角三角形的两直角边和斜边的关系是：a^2 + b^2 = c^2。

假设正方形的边长为a，我们要将其折叠成一个等腰直角三角形，那么直角边的长度就可以使用a和a的关系来计算。

将正方形对角线对折，便可以得到一个等腰直角三角形，其中直角边的长度为a，斜边的长度为√2a。

这就是勾股定理在折纸问题中的应用之一。

另外，在实际折纸中，有时我们需要折叠出一个特定形状的纸片，比如心形、星形等。

在这种情况下，勾股定理也可以派上用场。

通过勾股定理，我们可以计算出每个折叠角度的大小，从而准确地完成所需要的折纸形状。

2. 纸箱设计在工程领域，设计纸箱是一个常见的问题。

设计者需要考虑到纸箱的结构稳定性、承重能力以及空间利用等因素。

勾股定理在这个过程中也发挥着重要的作用。

以设计一个正方体纸箱为例。

假设我们需要设计一个边长为a的正方体纸箱，勾股定理可以帮助我们计算出纸箱的对角线长度。

正方体的对角线的长度就是正方体的空间对角线的长度，即√(a^2 + a^2 + a^2) = √3a。

这个对角线长度可以帮助我们确定纸箱的尺寸以及结构设计。

另外，有些设计需要将纸箱折叠成非常规的形状，比如六面体或者其他多面体。

在这种情况下，设计者需要考虑到每个面的尺寸和角度，勾股定理就可以帮助解决这个问题。

勾股定理折叠问题

勾股定理折叠问题勾股定理折叠问题是目前数学界解决的一个难题，也是21世纪优秀数学解决方案的典范。

来自英国伯明翰大学的研究者把该问题解释为：当两个正整数的平方和为另一个正整数时，那么存在一组正整数x，y，z，使得x2+y2=z2。

目前，越来越多的人开始从数学角度探索如何使用勾股定理折叠来解决该类问题。

首先，研究者们必须先完成一个前期的准备，也就是要理解勾股定理。

要想解决这个问题，必须熟悉勾股定理的基本概念：直角三角形的两条直角边的长度称为x和y，直角边上的角称为θ，而x2+y2=z2，则称为勾股定理。

其次，研究者要利用这一理论来解决实际中的问题。

折叠问题是指：现有一个直角三角形，要求折叠后能使其变成一个正方形。

在折叠前，根据勾股定理可知，其中有两条边长相等，若将其中一条边长折叠，使其长度变为两条边之和，则两条边的长度均等，就可以折叠出一个正方形。

另外，在解决勾股定理折叠问题的过程中，求解是确定正方形的关键。

这是一个复杂的过程，一般使用多项式求解法解决，即利用多项式构造一组解，以及其他数学技术和方法来求。

最后，研究者们对勾股定理折叠问题的解决方案做了有效的运用。

如果用多项式求解法，将可以得出精确的解，而且可以用较少的时间完成；如果用其他数学技术，如李宁积分、拉格朗日投影法等也可以实现精确的解决方案。

总而言之，勾股定理折叠问题是数学界一个难解的问题。

英国伯明翰大学的研究者首先将该问题解释为当两个正整数的平方和为另一个正整数时，存在一组正整数x，y，z，使得x2+y2=z2，并提出了一系列求解方案来解决该类问题，而这一求解方案的有效性和精确性也受到了广泛的认可。

因此，勾股定理折叠问题为我们拓展了数学思维，给了我们一种更全面和精确的解决方案，能够更有效地应用于实际问题，为21世纪优秀数学解决方案提供了一个重要的参考示范。

勾股定理与折叠问题

勾股定理与折叠问题之间的关系是密切而深远的。

勾股定理，这一几何学中的基本定理，在解决与折叠有关的几何问题时发挥了关键作用。

勾股定理，简单来说，揭示了直角三角形三边之间的神秘关系：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

这个看似简单的公式，实则蕴含了无尽的智慧和奥秘。

在解决折叠问题时，这个定理成为了一把利器。

当我们面对一个折叠问题时，首先需要识别出隐藏在折叠图形中的直角三角形。

一旦找到，我们就可以利用勾股定理来建立数学方程，从而找到解决问题的方法。

例如，如果一个三角形经过折叠后变为一个正方形或矩形，我们可以通过勾股定理来推导出原来三角形的角度、边长等属性。

然而，解决折叠问题并不总是那么简单。

有时候，我们还需要借助其他的几何定理和性质，如全等三角形、相似三角形、平行线性质等，来帮助我们找到隐藏在折叠图形中的几何关系。

这些定理和性质与勾股定理相互补充，共同构建了一个完整的几何体系，使得我们可以更好地理解和解决各种复杂的折叠问题。

总的来说，勾股定理在解决折叠问题中起到了核心的作用。

它不仅帮助我们找到隐藏在折叠图形中的几何关系，还为我们提供了建立数学方程的工具，使我们能更有效地解决这类问题。

因此，对于任何对几何学感兴趣的人来说，理解和掌握勾股定理都是至关重要的。

勾股定理折叠问题

勾股定理折叠问题勾股定理是数学中最基础的定理之一，又被称为“经典的三角形定理”。

它的核心概念是当两条边的平方相加等于第三条边的平方，那么这个三角形便是直角三角形，这时这条等式就可以写成a2 + b2 = c2。

勾股定理也可以用来解决各种折叠问题。

折叠问题是一种要求将若干张尺寸不同的纸条组合成特定形状的搭建问题。

例如有一张尺寸为的纸条，要求将其折叠成三角形的形状，那么就可以使用勾股定理来解决这样的折叠问题。

已知三角形的两条边a和b，要求折叠纸条拼凑成直角三角形，可以使用勾股定理来解决。

首先，将纸条折叠成两个小三角形，其中一个三角形的边长为a，另一个三角形的边长为b，根据勾股定理，就可以求出两小三角形的高度，即c，将两个小三角形拼接成一个直角三角形，假设将其拼接的角度为γ，则γ的大小可以根据勾股定理求出，即γ = arccos（）。

可以看出，使用勾股定理可以很方便地解决折叠问题，有助于提高工作效率。

然而，由于折叠问题的复杂性，有些折叠问题可能是无法通过勾股定理来解决的。

比如，当纸条尺寸比较大时，很难将其精确地折叠成要求的形状，或者特定形状需要纸条折叠多次，在折叠过程中精确度可能会有所损失，从而使用勾股定理解决折叠问题变得更加困难。

另外，在折叠问题中，也有一些特殊情况需要考虑。

比如，在折叠一个尺寸为的纸条时，有可能出现三角形不能顺利折叠的情况，或者当纸条数量有限时，也有可能出现无法精确折叠的情况。

此时，就需要考虑其他对解决折叠问题的办法。

总之，在折叠问题中，勾股定理可以作为一种参考，有助于计算纸条折叠后形状的精确度、大小等，但是当出现特殊情况时，就需要采取其他更有效的方法来解决折叠问题了。

专题勾股定理与折叠问题

专题：勾股定理在折叠问题中应用.知识要点一. 1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等（）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算.（2.典例解析二（一）三角形的折叠落CADAC沿折叠，使点，AB=10，D为BC上一点，将Rt1.如图，⊿ABC中，∠C=90°，AC=6的长AB上，求CD在AC′C B DB重合，与点A沿为中，∠如图，2.Rt⊿ABCC=90°， DAB上一点，将⊿ABCDE折叠，使点的长，求①若AC=4，BC=8CE ADB C E②若，求折痕DE的长BC=32AC=24，DB C E（二）矩形的折叠BD上，1.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线AGAB = 2得折痕DG，若，BC = 1，求CD′A?BA G的求 ECAB=8cm，BC=10cm，边的点2.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BCF 处，已知DA长.EB FC在的边OAx轴上，变式：如图．在直角坐标系中，矩形ABC0AC，轴上，点边0C在yB的坐标为（13），将矩形沿对角线翻折，B的．那么点轴于点交点的位置，且ADyED点落在D坐标为ABC=8cmAB=4cm如图，矩形纸片ABCD，，，现将、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF3.的长；①求DF′Ｄ②求重叠部分△AEF的面积；ＦＤＡEF的长.③求折痕ＣＢＥ（三）正方形的折叠MN落在F处，折痕为落在BC边的中点E处，点A的正方形1.将边长为8cmABCD折叠，使D的长；①求线段CN A D M′AN②求AM；C B E③求折痕MN的长CDABCDMN折叠，使点落在边上的正方形纸片，将其沿变式：如图，四边形是边长为9B???3?BC，且对应点为，则处，点的的长是___________.AAMBA。

勾股定理折叠问题

勾股定理折叠问题勾股定理是一个经典的几何定理，它指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于其他两条边的平方和。

它是古希腊数学家苏格拉底提出的，也是至今最有名的几何定理之一。

在现代数学教育中，勾股定理得到了广泛的应用。

它可以用来计算直角三角形的边长，也可以用来解决各种定理和问题。

在过去的几十年中，勾股定理也被用来解决各种类型的学科和活动，如建筑、航海、发动机设计等。

然而，有一个关于勾股定理的问题，仍然困扰着数学爱好者和老师。

这就是“折叠”问题，它指的是，一个直角三角形可以折叠成两个相邻的矩形，而不改变任何一条边的长度。

这个问题似乎很有趣，但是很少有人能给出有效的回答。

据说，在古希腊时期，勾股定理的发现就与折叠问题有关。

但是，直到19世纪，这个问题才得到了正式的解答。

此后，有关折叠问题的研究进入了热潮。

折叠问题可以通过解方程来求解，其中一个重要的方程就是勾股定理。

具体来说，如果一个直角三角形的两个短边长度分别是a和b，那么它的斜边长度就是c，且有 c2 = a2 + b2。

这就是勾股定理的基础内容。

此外，折叠问题还可以用等比数列来解决。

等比数列的定义是，若不等式 an+1 = ran (n≥0)立，则称 a0, a1, a2, ...数列称为等比数列。

这里， r 为公比，an 为等比数列中的元素，n 为正整数。

如果用等比数列的思想来解决折叠问题，就可以得到折叠后斜边长度 c表达式：c = a0 + (r-1)Σ (a1, a2, ... , an)。

这是一个有趣的结果，也验证了苏格拉底在古希腊时期对勾股定理的猜想。

以上就是关于勾股定理折叠问题的研究内容。

通过苏格拉底的几何定理，以及等比数列的定义，我们可以看出，勾股定理在折叠问题中起着重要的作用，可以用来求解折叠后斜边长度的表达式。

总之，勾股定理是一个经典的几何定理，它对于许多学科和活动都有着广泛的应用。

同时，它也为我们提供了一个有趣的折叠问题，可以通过正确的数学方法解决这一问题，以便给出有效的解答。

利用勾股定理解决折叠问题

利用勾股定理解决折叠问题一、引言折叠问题是指将一张纸片沿着某条线折叠后，能否在某种条件下使得所有的线段重合。

这个问题看似简单，但实际上涉及到了许多数学知识和技巧。

本文将介绍如何利用勾股定理解决折叠问题。

二、勾股定理的基本概念勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于直角边两边平方和的定理。

即：设直角三角形ABC，其中∠C为直角，则有AB²+AC²=BC²。

三、折叠问题的基本原理折叠问题可以看作是一个几何变换问题，在几何变换中，保持长度不变是非常重要的条件。

在折叠纸片时，我们需要保证每个线段长度不变。

四、利用勾股定理解决折叠问题的方法1. 假设我们要将一张正方形纸片对折成一个等腰直角三角形。

2. 将正方形沿着对角线对折成两个等腰直角三角形。

3. 将其中一个等腰直角三角形沿着斜边对折，使得斜边与底边重合。

4. 将纸片展开，我们可以发现，原来的正方形纸片已经被折叠成了一个等腰直角三角形。

5. 根据勾股定理，我们可以计算出这个等腰直角三角形的底边和高的长度。

具体而言，设等腰直角三角形的斜边长为c，底边长为a，则有a²＝c²÷2。

6. 利用上述结论，我们可以将任何正方形纸片折叠成一个等腰直角三角形。

五、拓展应用1. 利用类似的方法，我们可以将任何矩形折叠成一个等腰直角三角形。

2. 利用勾股定理和相似三角形的性质，我们还可以将任何平行四边形折叠成一个正方形或矩形。

六、总结利用勾股定理解决折叠问题是一种简单而有效的方法。

通过对几何变换和勾股定理的深入理解和应用，我们可以解决更加复杂和有趣的折叠问题。

勾股定理解析折叠问题含详细的答案

利用勾股定理解决折叠问题
解题步骤
1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x； 2、利用折叠，找全等。 3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
三角形中的折叠
例1：一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合。若 ∠B=30°，AC= ，3 求DC的长。 B
C′
求能角重得平叠到分等部线腰分与三△平角B行形E线D的组面合积时,。 A E
D
B
C
在矩形的折叠问题中，求线段长时，常设未知数，找
到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方
程思想解决问题。
探究三如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,
把矩形ABCD折叠，使点C恰好落在AB边的中点F处，折痕为DE，则AD的长为多少？
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
谢谢大家！
课后作业
1、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在
BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么
∠DAE等于
y
AD
B
E
O
C
x
2、如图，将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上的D点，求E点的坐标。
动手折一折
折叠过程就是轴对称变
成用面一积张减直半角的三矩角形形吗形换? 痕,状说折两的痕明边纸就理的片是图由对,形。你称全能轴等，折。折叠
若用一张任意三角形形状的纸片,你还能折叠成面积减半的矩形吗?

勾股定理翻折问题12种类型例题

勾股定理翻折问题12种类型例题勾股定理翻折问题12种类型例题引言在数学领域中，勾股定理是一个非常基础但又十分重要的定理。

它主要描述了直角三角形中三条边之间的关系，这一定理在几何学中应用广泛。

而勾股定理的翻折问题则是对勾股定理的一种延伸和拓展，涉及到更多的变数和复杂的计算。

今天，我将以深度和广度兼具的方式来探讨这一问题，并给出12种类型的例题，希望能够给大家带来一些启发和帮助。

1. 直角三角形的性质我们来回顾一下直角三角形的性质。

在一个直角三角形ABC中，有一个直角，记作∠C=90°。

根据勾股定理，我们知道a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别代表三角形中的两条短边，c代表斜边。

这是我们解决翻折问题的基础。

2. 翻折问题的定义接下来，我们需要了解翻折问题的定义。

翻折问题是指在平面直角坐标系上，已知一个单一的点A(x,y)，通过某种方法，将该点按照直角三角形的勾股定理进行“翻折”，得到一个点B，使得点B满足勾股定理的条件。

3. 常见类型的例题现在，让我们来看一下翻折问题中的一些常见类型的例题，以便更好地理解这一概念。

第一种类型：已知直角三角形的斜边长度c，求翻折后的点B的坐标。

在这种类型的例题中，我们已知直角三角形的斜边长度c，需要求出点B的坐标。

这需要我们运用勾股定理来解决问题，具体的计算过程可能会涉及到一些代数运算和方程求解。

第二种类型：已知直角三角形的两条短边a和b，求翻折后的点B的坐标。

这种类型的例题相较于第一种类型来说更为简单，因为我们已知直角三角形的两条短边a和b，可以直接套用勾股定理来求解点B的坐标。

第三种类型：已知点A的坐标(x,y)，求其翻折后的点B的坐标。

在这种类型的例题中，我们已知点A的坐标(x,y)，需要根据这一坐标来求解点B的坐标。

这个过程需要我们巧妙地运用勾股定理和坐标的计算方式，是一个比较灵活和有趣的问题。

第四种类型：已知点A的坐标(x,y)和直角三角形的斜边长度c，求翻折后的点B的坐标。

勾股定理和折叠课件

04
折叠与勾股定理
折叠图形与勾股定理的关系
01
02
03
勾股定理
直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
折叠图形
通过折叠纸片或其他平面材料形成的立体图形。
关系
折叠图形在展开前后的面积和周长等几何量满足勾股定理。
通过折叠证明勾股定理
方法：利用折叠前后的图形关系，通过几何推导证明勾
股定理。
勾股定理和折叠课件
目录
• 勾股定理的起源和历史 • 勾股定理的证明方法 • 勾股定理的应用 • 折叠与勾股定理 • 勾股定理的扩展与深化
01
勾股定理的起源和历史
古代文明中的勾股定理
勾股定理在古代文明中早有应用，古埃及人利用直角三角形来计算方形的面积，古巴比伦人在天文学和建筑中也应用了勾股定理。
03
勾股定理的应用
日常生活中的应用
折叠纸盒
在日常生活中，我们经常需要折叠纸盒来包装物品。利用勾股定理，可以计算出纸盒的展开尺寸，确保其能够正确地包裹物品并保持稳定性。
测量距离
勾股定理在测量距离方面也有应用。例如，当需要测量一个障碍物或建筑物的高度时，可以通过勾股定理计算出所需的数据，从而得到准确的结果。
毕达哥拉斯定理，也称为勾股定理，是几何学中一个基本的定理，它表明直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
毕达哥拉斯通过观察和思考，发现这个定理可以用数学方法证明。他利用了三角形的面积与边长的关系，通过一系列的逻辑推理，最终得出了勾股定理的结论。
欧几里得证明法
欧几里得是古希腊著名的数学家，他提出了欧几里得证明法，这个证明方法基于几何学的公理和定义，通过严密的逻辑推理，证明了勾股定理。

八年级勾股定理折叠问题

八年级勾股定理折叠问题在一个阳光明媚的下午，大家聚在一起，准备探讨一个看似简单却又充满乐趣的主题——勾股定理。

想象一下，咱们坐在公园的长椅上，四周的花儿争相斗艳，孩子们在旁边欢声笑语。

嘿，今天咱们就来聊聊这个古老而神奇的数学法则！先别急，听我慢慢说。

勾股定理，说白了就是在直角三角形中，直角两边的平方和等于斜边的平方。

这听上去有点复杂，但其实生活中处处都能碰到它的影子。

你有没有注意过，那个三角形的形状就像个小房子，房子里面有你最爱的甜点，嘿嘿，谁不想一探究竟呢？说到这里，不禁让人想起了小时候的那些小故事。

记得有一次，和小伙伴们一起在院子里玩飞盘，我们决定用勾股定理来测量飞盘落地的位置。

一个个围成一圈，开始比拼，飞盘在空中划出一道优美的弧线，简直是完美得不像话。

然后，我们就开始琢磨怎么用这道理来计算飞盘落点的距离。

想想当时的样子，大家的脸上都写满了“数学探险家”的光辉，真是好玩极了！不知不觉，我们就把这道理运用到了实际，心里那个高兴呀，感觉自己简直成了小小科学家。

勾股定理的魅力不止于此，它在生活中随处可见。

比如，你在搭帐篷的时候，得确保帐篷的每个角都是直角，才能撑得稳。

此时，你心里是不是默念着“勾股定理”呢？而当你用绳子把两根杆子绑在一起时，不妨一试，用三角形的方法，看看能不能搭出个完美的帐篷。

哦，对了，听说过“好马配好鞍”吧，做事情也得讲究技巧，勾股定理就是你在生活中的好搭档，绝对让你事半功倍。

再说说学校的课堂，老师们总是用各种方法来解释这个定理。

有的老师甚至用小动物来举例，像小猫、小狗，真是萌到不行。

想象一下，小狗在追小猫，跑成了一个直角三角形。

大家都笑得前仰后合，而那个小猫就是斜边，追得可真不容易。

每次上课，我都觉得这个定理比吃冰淇淋还要甜。

老师的幽默让这些枯燥的数字变得生动有趣，感觉数学真是个神奇的世界。

勾股定理也不是所有人都能一上来就搞懂的。

有人可能一头雾水，心想：“这和我有什么关系？”别急，慢慢来。

《勾股定理》典型例题折叠问题

《勾股定理》典型例题折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边A Ｃ＝６,ＢＣ＝8，将△AB Ｃ折叠，使点B 与点A 重合,折痕为DE,则CD 等于( ）A. 425B. 322C. 47D ． 352、如图所示,已知△A ＢＣ中,∠C=9０°,ＡB 的垂直平分线交ＢC •于Ｍ,交AB 于N,若AC ＝4，MB=2M Ｃ,求ＡB 的长．3、折叠矩形AB ＣD 的一边ＡＤ,点D 落在BC 边上的点F 处,已知A Ｂ=8ＣＭ,BC=1０C Ｍ,求C Ｆ和EC 。

4、如图，在长方形ＡBCD 中，DC=5,在DC 边上存在一点E,沿直线A Ｅ把△ＡBC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30,求折叠的△AE Ｄ的面积B CEDDCBAF E5、如图,矩形纸片ABCD 的长AD ＝9㎝，宽ＡＢ＝3㎝,将其折叠，使点Ｄ与点Ｂ重合，那么折叠后DE 的长是多少?6、如图,在长方形ＡB ＣＤ中,将∆ABC 沿AC 对折至∆ＡEC 位置，C Ｅ与AD 交于点F 。

（1）试说明：AF=FC ；（2)如果ＡＢ=3,B Ｃ=４,求A Ｆ的长7、如图2所示,将长方形ABCD 沿直线A Ｅ折叠,顶点Ｄ正好落在B Ｃ边上Ｆ点处,已知CE=3cm ，AB ＝8ｃｍ,则图中阴影部分面积为_______．8、如图２-3，把矩形ABＣD沿直线BD向上折叠,使点Ｃ落在C′的位置上,已知ＡB=•3,BC=7,重合部分△EＢＤ的面积为___＿＿_＿_.9、如图５,将正方形AＢCD折叠,使顶点A与ＣD边上的点M重合，折痕交ＡD于Ｅ,交BC于Ｆ，边AＢ折叠后与BC边交于点Ｇ。

如果Ｍ为CD边的中点,求证:DE：DM：EM=3:４:５。

１0、如图2-5,长方形ＡBＣＤ中，ＡB=3,BC＝4,若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹ＥＦ的长为（ )A．3．74 B．３.75 C．3.7６ D．３.7７2-511、如图1-３-11，有一块塑料矩形模板ABCＤ，长为10cｍ,宽为4cｍ，将你手中足够大的直角三角板ＰHＦ的直角顶点Ｐ落在AD边上(不与A、D重合）,在AD上适当移动三角板顶点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点Ｃ？若能，请你求出这时ＡP 的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AＤ上移动,直角边ＰH 始终通过点B,另一直角边PＦ与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E，能否使CE＝２cm?若能，请你求出这时AP 的长;若不能,请你说明理由．１2、如图所示，△ABC是等腰直角三角形,AB＝AC，D是斜边ＢC的中点，E、Ｆ分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF，若BE=12，CF=５．求线段ＥＦ的长。

勾股定理中的折叠问题

D C A E F B
8.如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落EC的长。
A D E B F C
4.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm， AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积.
A E D
B
F 第4题图
C
5.如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8, 求BF的长。 D A
E B C
F
6.如图1所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
A E C D
图1
B
7.如图所示，在矩形ABCD中， AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于点F，那么AF= 。
勾股定理中的折叠问题
1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点 B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为多少？
2.已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F• 处，如果AB=8cm， BC=10cm，求EC的长．
3.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？•

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