中考数学基础知识专项训练从面积到乘法公式(1)(基础训练+要点梳理+问题探讨)

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中考数学复习从面积到乘法公式共30页文档

第一轮复习教学案从面积到乘法公式
第一轮复习教学案二元一次方程组
总第课时
第一轮复习教学案图形的全等(1)
下列三个论断：⑴AB =AD；⑵∠BAC=∠
将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：
边的中点，E是AD上一点，
通过哪种基
都是正方形，连接AE、CG．
第一轮复习教学案图形的全等(2)
，∠B的平分线交上，AD⊥CP，BE
，
D处，
第一轮复习教学案数据在我们周围
3．（2019年重庆市）观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民人均收入每年比上一年增长率的统计图，下列说法正确的是（）
年长沙市）某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样
其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，
（如图1，图2），请你根据
在这次研究中，一共调查了多少名学生？
3）补全频数分布折线图．
南省部分年度教育经费总支出条形统计图”（图1）与“海南省2005年教育
）提供的信息，回答下列问题：
图2
年中学教育经费支出的金额是亿元（精确到0.01）；
第一轮复习教学案感受概率
【点评】只有摸出BC两种图案才是中心对称图形
会用列表格方法求某一事件的概率
年成都市）小明、小芳做一个“配色”的游戏．•
【点评】列表格时要注意横栏与纵栏表示的对象是否与题意相符．
学过程。

2022中考数学复习讲义第5课时从面积到乘法公式(2)

2022中考数学复习讲义第5课时从面积到乘法公式（2）七（下）第九章9.5～9.6班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、明白得因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形2、能用提公因式法、公式法（直截了当利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.3、会用因式分解法解决相关问题［基础练习］1、因式分解：22-＝ .a a2、分解因式：2--+-=＿＿＿＿＿.168()()x y x y3、分解因式：a2－4b2＝ .4、分解因式=ab.6-a ab9+25、填上适当的数，使等式成立：24x x-+＿＿＿＿＝(x-＿＿＿＿2)6、分解因式2x x x+++-＝＿＿＿＿＿＿(2)(4)47、下列各式从左向右的变形，属于因式分解的有（）A、(x+2)(x－2)＝x2－4B、x2－4+3x＝(x+2)(x－2)+3xC、a2－4＝(a+2)(a－2)D、全不对8、下列因式分解错误的是（）A、x2－y2＝（x＋y）（x－y）B、x2＋6x＋9＝（x＋3）2C、x2＋xy＝x（x＋y）D、x2＋y2＝（x＋y）29、下列各式中，不能运用平方差公式的是（）A、－a2+b2B、－x2－y2C、49x2y2－z2 D－16m4＋25n2p210、把下列各式分解因式：（1）4x4－25y2（2）3223-+a b a b ab2（3）81(a－b)2－16(a+b)2 （4）16(b－c)2－a2［要点梳理］1、因式分解的概念：2、因式分解的方法：①提公因式法：；②公式法：3、因式分解与整式乘法的关系如何样？4、因式分解法（一种重要的数学思想方法）在解题中的应用.［问题研讨］例1：（1）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）A 、a （x ＋y ）＝ax ＋ayB 、x 2－4x ＋4＝x （x －4）＋4C 、10x 2－5x ＝5x （2x －1）D 、x 2－16＋3x ＝（x ＋4）（x －4）＋3x（2）下列因式分解中，结果正确的是（）A 、x 2－4＝（x ＋2）（x －2）B 、1－（x ＋2）2＝（x ＋1）（x+3）C 、2m 2n －8n 3＝2n(m 2－4n 2)D 、x 2－x ＋41＝x 2（1－2411x x +）（3）因式分解：－m 2＋n 2＝___________.（4）分解因式32232a b a b ab -+= ．分析：考察的是因式分解的概念，注意与整式乘法的区别与联系.例2、把下列各式分解因式：（1）;1682++x x （2）;1102524++a a（3）()4)(42++-+n m n m （4）4224167281y y x x +-例3、已知：0136422=++-+b a b a ,求ab 的值.说明：此例运用0)(2222≥±=+±b a b ab a 及几个非负数都为零.★例4、（1）两个边长分别为a,b,c 的直角三角形和一个两条直角边差不多上c 的直角三角形拼成一个新的图形.试用不同的方法运算那个图形的面积，你能发觉什么？（2）由四个边长分别为a,b,c 的直角三角形拼成一个新的图形.试用两种不同的方法运算那个图形的面积，并说说你发觉了什么.［规律总结］因式分解的一样步骤：（1）多项式的各项有公因式时，先提公因式；（2）各项没有公因式时，要看能不能用公式法来分解；（3）分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解.［强化训练］1、观看：32－12＝8;52－32＝16;72－52＝24;92－72＝32.……依照上述规律，填空：132－112＝，192－172＝ .你能用含n 的等式表示这一规律吗？你能说明它的正确性吗？2、（1）观看下面各式规律：2222)121(2)21(1+⨯=+⨯+；2222)132(3)32(2+⨯=+⨯+；2222)143(4)43(3+⨯=+⨯+；a b c c ab aa b b c c c c……写出第n行的式子，并证明你的结论.(2)运算下列各式，你发觉了什么规律？①2011×2020－20202；②210001100009999-⨯.99-100101⨯；③2★3、已知P＝3xy－8x+1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，求y的值.。

初中数学七年级下册第九章从面积到乘法公式提高题

单乘单 1、计算(－3x 2y)3·(－2xy 3z)2[2(a －b)3][－3(a －b)2][－32(a －b)]3423332435⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅c ab b a ab·c b a c ab 532243—=2、计算(－4x n ＋1y n )3[(－xy)n ]2的结果是( )A .64x 5n+3y 5n B. －64x 5n+3y 5n C .12x 5n+1y 5n D.－12x 5n+1y 5n 3、若992213y x yxyx n nm m =⋅++-,则n m 43-的值为（）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6多乘多1、(x+5)(x-7)=2、计算()()514+-y y(3x 2－2x －5)(－2x ＋3)(x －1)(2x －3)(3x ＋1)()()()()4321----x x x x3、若()()1532-+=++kx x m x x ，则m k +的值为（）（A ）3- （B ）5 （C ）2- （D ）2完全平方公式 1、(2x-4y)2 = 2、(-3a-5b)2= 3、(m －n －3)24、(2x ＋3y －z)25、下列式子中一定相等的是（）A 、（a- b ）2 = a 2 － b 2B 、(a+ b)2 =a 2 + b 2C 、(a - b)2 = b 2 －2ab + a 2D 、(-a - b)2 = b 2 －2ab + a26、已知2249x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m = ；7、若二项式4m 2+1加上一个单项式后是一含m 的完全平方式，则单项式为 8、有个多项式，它的中间项是12xy ，它的前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，你有几种方法？（要求至少写出两种不同的方法）. 多项式：+12xy+=（）2多项式：+12xy+=（）2完全平方公式的关系1、x 2＋y 2=（x+y ）2－＝（x －y ）2＋ .2、已知若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ；已知（a+b ）2=144 (a-b)2=36, 求ab 与a 2+ b 2的值3、已知x+y=0，xy=－6，则x 3y+xy 3的值是（）A ．72B ．－72C ．0D ．6 4、若a ＋351=a ，则221aa +＝______若,41=+x x 求 441xx + = *5、已知a 2－3a ＋1＝0．求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；平方差公式1、(2x-3y)（3x-2y ）= ______________2、(—a+2b)(a+2b)= ______________．3、(6x-7y)(-6x-7y) = ______________4、（2a+b+3）（2a+b －3）5、(a －2b ＋3)(a ＋2b －3)6、下列计算是否正确？为什么(5x ＋2y)(5x －2y)＝(5x)2－(2y)2＝25x 2－4y 2(－1＋3a)(－1－3a)＝(－1)2＋(3a)2＝1＋9a 2(－2x －3y)(3y －2x)＝(3y)2－(2x)2＝9y 2－4x 27、下列算式能用平方差公式计算的是（）A.（2a ＋b ）（2b －a ）B.)121)(121(--+x x C.（3x －y ）（－3x ＋y ） D.（－m －n ）（－m ＋n ）妙用公式化简22222)()()(b a b a b a ++-(x ＋y) ( x 2＋y 2) ( x －y))(44y x +2)5241(y x -2)5241(y x +[(x －y)2＋(x ＋y)2](x 2－y 2)（２a ＋１）2－（１－２a ）220092)1()1()1(1x x x x x x --•••------十字相乘公式1、计算：（1） (x ＋2)(x ＋1) （2） (x ＋2)(x －1) （3）(x －2)(x ＋1) （4） (x －2)(x －1) （5）(x ＋2)(x ＋3) (6） (x ＋2)(x －3) （7） (x －2)(x ＋3) （8） (x －2)(x －3) （9）(x ＋a )(x ＋b )你通过计算发现了什么规律 2、若)3)((62++=++x m x px x ，则___________==p m3、若(x+4)(x-2)= q px x ++2,则p 、q 的值是（）A 、2，8B 、-2，-8C 、-2，8D 、2，-84、两式相乘结果为1832--a a 的是（）（A ）()()92-+a a （B ）()()92+-a a （C ）()()36-+a a （D ）()()36+-a a 整式混合运算1、（2a ＋1）2－(2a ＋1)(－1＋2a)2、(1－y)2－(1＋y)(－1－y)3、(1－2x)(1－3x)－4(3x －1)24、下面是小明和小红的一段对话：小明说：“我发现，对于代数式()()()x x x x x 1033231++-+-，当2008=x 和2009=x 时，值居然是相等的.”小红说：“不可能，对于不同的值，应该有不同的结果.”在此问题中，你认为谁说的对呢？说明你的理由.5、试说明331122(24)(42)44m n m n n n ⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值与n 无关．面积公式1、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是：（）A ．()2222——b ab a b a +=B ．()2222b ab a b a ++=+C ．()ab a b a a 2222+=+D ．()()22——b a b a b a =+2、按图中所示的几种方法分割正方形，你有何发现？请将你发现的结论分别用等式表示出来.3、（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方的差的形式）；（2）如图2，若将图1的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）．4、如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片张．5、例如，由两个边长分别a 、b 、c 为的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个新的图形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？简便计算1982 10.5×9.52.39×91+156×2.39－2.39×4722234.0766.3468.0766.3+⨯+个个个m m m 9991999999•••+•••⨯•••()117)17)(17)(17(6842+++++()()()()12121212)12(2842+•••++++n2006200420052⨯-999910199⨯⨯222)119899(100++200220022001200120012000⨯-⨯222222100994321-+•••+-+-)1011()411)(311)(211(2222-•••---数学内应用1、解方程：()()()21212322--+=-a a a2、已知a 、b 、c 、d 为四个连续的奇数，设其中最小的奇数为d=2n-1(n 为正整数),当ac-bd=88时，求出这四个奇数。

从面积到乘法公式总复习

从面积到乘法公式一、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式。

例题：计算：（1）)6(312ab a -⋅- （2）23)3(2xy x -⋅ （3）2222)2()(xy x ⋅- 2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例题：计算：（1）(-2a)· (2a 2-3a+1) （2）(-4x)· (2x 2+3x-1)；3、多项式乘多项式：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项；再把所得的结果相加。

例题：计算：（1）(2x －5y )(3x －y ) （2）)67)(23(n m n m -+4、乘法公式：⑴ 完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+；2222)(b ab a b a +-=-★首平方，尾平方，积的2倍在中央；⑵ 平方差公式：22))((b a b a b a -=-+★注意公式变形： ()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab+-=+-+=+++-=++--=例题：计算：（1）2)4(b a - （2）(b+2a) (2a-b)5、因式分解：⑴ 因式分解的方法：①提公因式法；②公式法（完全平方公式和平方差公式）；③分组分解法；④十字相乘法；⑵ 因式分解注意点：①有公因式要先提公因式，然后再用公式②因式分解要分解到不能再分为止；★公因式的确定：①公因式的系数是各项系数的最大公约数；②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的；③只在某个或某些项中含有而其他项中没有的字母，不能成为公因式的一部分；④公因式可以是单项式，也可以是多项式，要善于发现隐蔽的公因式。

从面积到乘法公式《因式分解》期中复习讲学稿

第九章从面积到乘法公式(因式分解)班级___________________姓名______________一、基础训练1.把多项式–24a3+32a2c分解因式，应提取公因式是：______.2.若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是______；x2–8x+______=( )2．3.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是( )A．m(a+b)=ma+mb B．ma+mb+1=m(a+b)+1 C．(a+3)(a–2)=a2+a–6 D．x2–1=(x+1)(x–1)4.下列多项式中，能用公式法分解因式的是( )A．x2–xy B．x2＋2xy+4y2C．–y2+x2D．x2+y25.下列分解因式正确的是( )A．2x3–6x2+2x=2x(x2–3x) B．4x2-4x+1=(2x+1)2C．x4-x2=(x2+1)(x2-1) D．x4-2x2+1=(x+1)2(x-1)26.因式分解：①6mn2–4m3n ②x2–25 ③–4x2+25 ④xy2–4x⑤2x2–12x+18⑥a2+b2–2a b ⑦–2a2+4ab–2b2⑧a2(x–y)+b2(y–x)7.利用因式分解计算：20222–2×2022×9+81二、知识梳理1. ____________________________________叫做把多项式因式分解。

2. _____________________________________称多项式的公因式。

3. 公因式的确定：(1)定_________(2)定________(3)定__________。

4. 因式分解的方法：(1)_____________(2)_______________。

5. 因式分解的一般步骤：把一个多项式因式分解，一般先____________，再__________。

进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到__________________。

九年级中考《一元二次方程与实际问题》(面积问题动点问题)经典题型专题提升练习

《一元二次方程与实际问题》（面积问题+动点问题）经典题型专题提升练习题型一：面积问题1. 直角三角形的面积为24，两直角边长的和为14，则斜边长为( )A.2√37B.10C.2√38D.142.如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为( )A.2-√3B.2+√3C.2+√5D.√5-23.如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为( )A.1米B.2米C.3米D.4米4. 如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，那么矩形ABCD的面积是。

5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为xm，若要求出未知数x，则应列出方程________________.(列出方程，不要求解方程).6.如图所示，使用墙的一边(墙长7m)，再用13m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20m2的矩形，设与墙相对的边长为xm，可得长、宽分别为。

7. 如图，已知点A是一次函数y=x-4的图象上的一动点，且矩形ABOC面积等于3，则点A的坐标为____________.8.如图,有一块矩形硬纸板,长30 cm,宽20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为200 cm2?9. 在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点P从A点开始沿着AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发：(1)经过多长时间，S△PQB =12S△ABC？(2)经过多长时间，P，Q间的距离等于4√2cm？题型二：动点问题1.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于( )A.0.5 cmB.1 cmC.1.5 cmD.2 cm2. 如图，过点A(2，4)分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是点M，N.若点P 从点O出发，沿OM做匀速运动，1min可到达M点.同时点Q从M点出发，沿MA 做匀速运动，1min可到达点A.若线段PQ的长度为2，则经过的时间为( )A.0minB.0.4minC.0.4min或0minD.以上都不对3. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm.动点P，Q分别从点A，B 同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动.下列瞬时间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是( )A.2 sB.3 sC.4 sD.5 s4. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则出发________s时，四边形DFCE的面积为20cm2.5. 如图，已知点A是一次函数y=x-4的图象上的一动点，且矩形ABOC面积等于3，则点A的坐标为____________.6. 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=√2cm，点P从点A出发以1cm/s的速度移动到点B；点P出发秒后，点P，A的距离是点P，C距离的√3倍？7. 如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处.若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置.8. 小岛A在码头B的正西方向，A，B相距40n mi l e.上午9点，一渔船和一游艇同时出发，渔船以20n mi l e/h的速度从B码头向正北出海作业，游艇以25n mi l e/h的速度从A岛返回B码头.一段时间后，渔船因故障停航在C处并发出信号.游艇在D处收到信号后直接向渔船驶去，上午11点到达C处.游艇在上午几点收到信号？9. 如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q 分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，一直到点D为止.(1)P，Q两点从出发开始，经过几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2？(2)P，Q两点从出发开始，经过几秒时，点P，点Q间的距离是10cm？10. 如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°，动点P，Q分别从A，B 两点同时出发.分别沿AB，BC方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).求t 为多少时，△PBQ为直角三角形.。

九年级面积问题知识点归纳总结

九年级面积问题知识点归纳总结面积是数学中一个重要的概念，它在日常生活中的应用广泛。

九年级学生需要掌握与面积有关的几何图形的计算方法，理解面积的性质和应用。

本文将对九年级面积问题的知识点进行归纳总结。

一、矩形的面积计算方法矩形是最基础的几何图形之一，其面积可以通过长度和宽度相乘得到。

设矩形的长度为l，宽度为w，则矩形的面积S为S = l * w。

二、平行四边形的面积计算方法平行四边形是另一个常见的几何图形，它的面积可以通过底边和高的乘积得到。

设平行四边形的底边为b，高为h，则平行四边形的面积S为S = b * h。

三、三角形的面积计算方法三角形也是常见的几何图形，它的面积计算稍微复杂一些。

九年级学生需要掌握两种计算三角形面积的方法：通过底边和高的乘积，以及通过三边的长度计算。

1. 通过底边和高的乘积：设三角形的底边为b，高为h，则三角形的面积S为S = 0.5 * b * h。

2. 通过三边的长度计算：设三角形的三边分别为a、b、c，则可以使用海伦公式计算三角形的面积。

海伦公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s = (a + b + c) / 2。

利用海伦公式，可以根据三边的长度计算出三角形的面积。

四、圆的面积计算方法圆是一个特殊的几何图形，九年级学生需要掌握圆的面积计算方法。

圆的面积可以通过半径的平方乘以圆周率π来计算。

设圆的半径为r，则圆的面积S为S = π * r^2。

五、复合图形的面积计算方法复合图形是由两个或多个基本图形组成的图形。

计算复合图形的面积需要将其分解为基本图形的面积之和。

九年级学生需要学会计算常见的复合图形，如矩形与三角形的组合、矩形与圆的组合等。

六、面积性质和应用九年级学生还需要了解面积的性质和应用。

以下是一些常见的性质和应用：1. 对于相似的图形，其面积与边长的比例为平方关系。

即如果两个图形的边长之比为a：b，那么它们的面积之比为a^2：b^2。

2. 面积可以应用于解决实际问题，如计算土地面积、涂料要求以及物体的表面积等。

中考数学总复习《乘法公式》专项提升练习题-带答案

中考数学总复习《乘法公式》专项提升练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、平方差公式1．计算：(1)(3x+5)(3x−5)；(2)(12x+13)(12x−13)；(3)(2x+y)(2x−y)．2．利用乘法公式计算：（1）5002﹣499×501．（2）5023×49133．已知m=√5+1，n=√5−1．求值：(1)m2+n2；(2)nm +mn．4．（1）先化简，再求值：(2x+1)(2x−1)−5x(x−1)+(x−1)2，其中x=−13；（2）计算：20222−2021×2023−992．5．如图，有一个边长为2a(a>10)米的正方形池塘，为了创建文明农村，需在南北方向上扩大3米，东西方向上减少3米，从而得到一个长方形池塘．(1)求改造后的长方形池塘的面积；(2)改造后的长方形池塘的面积比原正方形池塘的面积变大还是变小了，请通过计算说明．6．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．（1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示）（2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．二、完全平方公式 10．运用完全平方公式计算：（1）(4m +n)2；（2）(y −12)2．11．解方程：（3x −1）2=（2−5x ）2．12．(a −2b +c )213．计算：(7+4√3)(7−4√3)−(√3−1)2．14．放学时，王老师布置了一道因式分解题：(x ＋y )2＋4(x －y )2－4(x 2－y 2)，小明思考了半天，没有得出答案．请你帮小明解决这个问题．15．回答下列问题(1)若x 2+1x 2=4，则(x +1x )2=________，(x −1x )2=________．(2)若a +1a =5，则a 2+1a 2=________；(3)若a 2−6a +1=0，求2a 2+2a 2的值．16．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也是正方形，它的边长为b （a ＞b ）连结AF 、CF 、AC ,若a +b =10，ab =20，求阴影部分的面积．17．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；(2)解决问题：如果a+b=10，ab=12求a2+b2的值；(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为(8−x)和(x−2)，且(8−x)2+(x−2)2=20，求这个长方形的面积．18．为了纪念革命英雄夏明翰，衡阳市政府计划将一块长为(2a+b)米，宽为(a+b)米的长方形（如图所示）地块用于宣传革命英雄事迹，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座夏明翰雕像．(1)试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？(2)若a+b=5，ab=6请求出绿化面积．19．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示．(1)请直接写出(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系________．(2)若xy=−3，x−y=4求x+y的值．(3)如图3，线段AB=10，C点是AB上的一点，分别以AC、BC为边长在AB的异侧做正方形ACDE和正方形CBGF，连接AF；若两个正方形的面积S1+S2=32，求阴影部分△ACF面积．20．如图①，正方形ABCD是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b 的正方形拼成的．(1)利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出(a+b)2、a2+b2、ab之间的关系式，这个关系式是；(2)若m满足(2024−m)2+(m−2023)2=4047，请利用（1）中的数量关系，求(2024−m)(m−2023)的值；(3)若将正方形EFGH的边FG、GH分别与图①中的PG、MG重叠，如图②所示，已知PF= 8，NH=32求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．参考答案1．解：（1）原式=5002−(500−1)×(500+1)=5002−(5002−1)=5002−5002+1=1；（2）原式=(50+23)×(50−23)=2500−49=249959．2．解：（1）(3x +5)(3x −5)=(3x)2−52=9x 2−25；（2）(12x +13)(12x −13) =(12x)2−(13)2 =14x 2−19；（3）(2x +y )(2x −y )=(2x)2−y 2=4x 2−y 2．3．（1）解：∵m =√5+1 n =√5−1∵m 2+n 2=(√5+1)2+(√5−1)2=5+2√5+1+5−2√5+1=6+6=12；（2）解：由题意知=12（√5+1）(√5−1)=124=3．4．解：（1）原式=4x 2−1−5x 2+5x +x 2−2x +1=3x ．当x =−13时，原式=3×(−13)=−1．（2）原式=20222−(2022−1)×(2022+1)−(100−1)2=20222−20222+1−10000+200−1=−98005．解：（1）由题可得，改造后池塘的长为（2a +3）m ，宽为（2a -3）m∵改造后的面积为：(2a−3)(2a+3)=(4a2−9)m2．（2）原来的面积为：2a×2a=4a2（m2）∵4a2−(4a2−9)=9＞0∵改造后的长方形池塘的面积与原来相比变小了．6．解：（1）2a•a﹣2b2＝2（a2﹣b2）；（2）当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b）＝2（15.7+4.3）（15.7﹣4.3）＝456．7．（1）解：1√14−√13＝√14+√13(√14+√13)(√14−√13)＝√14+√13(√14)2−(√13)2＝√14+√1314−13＝√14+√13（2）解：(1√2+1+1√3+√2+1√4+√3+⋯+1√2021+√2020)×(√2021+1)＝（√2-1+√3-√2+√4-√3+……+√2021-√2020）×（√2021+1）＝（√2021-1）×（√2021+1）＝2021-1＝2020（3）解：34−√13−6√13−√7−23+√7＝（4+√13）-（√13+√7）-（3-√7）＝4+√13-√13-√7-3+√7＝18．（1）解：S阴影=S边长为a的正方形−S边长为b的正方形，即S阴影=a2−b2．故答案为：a2−b2．（2）观察图形可知，阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是a−b，长是a+b，面积是(a+b)(a−b)．故答案为：a−b a+b(a+b)(a−b)．（3）图1和图2表示的面积相等，可得a2−b2=(a+b)(a−b)．故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)．（4）①20222−2021×2023=20222−(2022−1)(2022+1)=20222−(20222−1)=1②(2m+n+p)(2m+n−p)=[(2m+n)+p][(2m+n)−p]=(2m+n)2−p2=4m2+4mn+n2−p29．（1）解：图1中阴影部分的面积为a2−b2，图2中的阴影部分的面积为(a+b)(a−b)∵图1和图2中两阴影部分的面积相等∵上述操作能验证的等式是a2−b2=(a+b)(a−b)故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)；（2）解：①∵9a2−b2=36∵(3a+b)(3a−b)=36∵3a+b=9∵3a−b=4故答案为：4；②(1−122)⋅(1−132)⋅(1−142)⋅(1−152)⋅⋅⋅(1−120222)=(1+12)×(1−12)×(1+13)×(1−13)×(1+14)×(1−14)×⋯×(1+12022)(1−12022)=32×12×43×23×54×34×⋯×20232022×20212022=12×(32×23)×(43×34)×⋯×(20212022×20222021)×20232022=12×1×20232022=20234044．10．解：（1）(4m+n)2=(4m)2+2⋅(4m)⋅n+n2=16m 2+8mn +n 2；（2）(y −12)2=y 2−2⋅y ⋅12+(12)2=y 2−y +14． 11．解：∵（3x −1）2=（2−5x ）2∵3x −1=±（2−5x ）解得x =12或x =38．12．解：原式=(a −2b)2+2c(a −2b)+c 2=a 2−4ab +4b 2+2ac −4bc +c 2=a 2+4b 2+c 2−4ab +2ac −4bc ．13．解：原式=49−48−(3−2√3+1)=2√3−314．解：把(x ＋y )，(x －y )看作完全平方公式里的a ，b .解：设x ＋y ＝a ，x －y ＝b则原式＝a 2＋4b 2－4ab ＝(a －2b )2＝[(x ＋y )－2(x －y )]2＝(3y －x )2.故答案为(3y －x )2.15．（1）解：∵x 2+1x 2=4∵(x +1x )2=x 2+2x ⋅1x +1x 2=x 2+2+1x 2=6，(x −1x )2=x 2−2x ⋅1x +1x 2=x 2−2+1x 2=2故答案为：6；2；（2）解：∵a +1a =5 ∵(a +1a )2=a 2+2+1a 2=25∵a 2+1a 2=(a +1a )2−2=23 故答案为：23；（3）解∵a 2−6a +1=0∵a ≠0∵a −6+1a =0∵a +1a =6∵(a+1a )2=a2+2+1a2=36∵a2+1a2=(a+1a)2−2=34∵2a2+2a2=2(a2+1a2)=68．16．解：∵两个正方形的面积=a2+b2=(a+b)2−2ab=100−40=60 ，SΔADC=12a2SΔFGC=12(a+b)⋅b∵阴影部分的面积为：60−12a2−12(a+b)⋅b=60−12a2−12ab−12b2=60−12(a2+b2)−12ab=60−12×60−12×20=20.17．（1）解：（1）用大正方形面积公式求得图形的面积为：（a+b）2；用两个小正方形面积加两个长方形面积和求出图形的面积为：a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）解：（2）∵a+b＝10ab＝12∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；（3）解：（3）设8﹣x＝a x﹣2＝b∵长方形的两邻边分别是8﹣x x﹣2∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20∴ab＝8∴这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．18．解：（1）根据题意可得绿化的面积为：(2a+b)(a+b)−a2=2a2+2ab+ab+b2−a2=a2+3ab+b2；（2）∵a+b=5∵a2+3ab+b2=a2+2ab+b2+ab=(a+b)2+ab=52+6=31(平方米)．19．（1）解：由图2各部分的面积关系得：(a+b)2−(a−b)2=4ab故答案为：(a+b)2−(a−b)2=4ab；（2）由（1）题结果可得(x+y)2=(x−y)2+4xy=16−12=4∵x+y=±√4=±2∵x+y的值为±2；（3）设AC=x,BC=y则x2+y2=32 x+y=10∵2xy=(x+y)2−(x2+y2)=102−32=68∵xy=682=34∵S△ACF=12AC×CF=12×34=17∵阴影部分△ACF面积为17．20．解：（1）（a+b）2=a2+b2+2ab（2）设2024−m=a m−2023=b则(2024−m)(m−2023)=ab a+b=1由已知得：a2+b2=4047(a+b)2＝a2+b2+2ab∵12=4047+2ab∵ab=−2023∵(2024−m)(m−2023)=−2023（3）设正方形EFGH的边长为x，则PG=x−8NG=32−x∵S阴=S正方形APGM+2S长方形PBNG+S正方形CQGN∵S阴=(x−8)2+2(x−8)(32−x)+(32−x)2∵(a+b)2＝a2+b2+2ab=[(x−8)+(32−x)]2=242=576∵S阴。

【教育资料】备战中考数学(苏科版)巩固复习第九章从面积到乘法公式(含解析)学习精品

2019备战中考数学（苏科版）巩固复习-第九章从面积到乘法公式（含解析）一、单选题1.若x3+x2+x+1=0，则x27+x26+…+x+1+x+…x26+x27的值是（）A. 1B. 0C. -1D. 22.若关于x的代数是完全平方式，则m=（）A. 3或-1B. 5C. -3D. 5或-33.若c＜0，则（1﹣a）c+|c|等于（）A. ﹣acB. acC. 2c﹣acD. 2c+ac4.下列各式，不能用平方差公式计算的是( )A. （a+b）(a-b)B. (a+b)(-a+b)C. (-a+b)(a-b)D. (-a+b)(b-a)5.因式分解a2b﹣b的正确结果是（）A. b（a+1）（a﹣1）B. a（b+1）（b﹣1）C. b（a2﹣1）D. b（a﹣1）26.下列运算正确的是（）A. 3x5﹣4x3=﹣x2B. 2C. （﹣x）4•（﹣x2）=﹣x8D. （3a5x3﹣9ax5）÷（﹣3ax3）=3x2﹣a47.计算2x2•x3的结果是（）A. 2x5B. 2xC. 2x6D. x58.把a2b﹣2ab2+b3分解因式正确的是（）A. b（a2﹣2ab+b2）B. a2b﹣b2（2a﹣y）C. b（a﹣b）2D. b（a+b）29.下列各式，分解因式正确的是（）A. a2﹣b2=（a﹣b）2B. a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2C. D. xy+xz+x=x（y+z）二、填空题10.分解因式：x3﹣2x=________11.已知实数x，y满足xy=5，x+y=7，则代数式x2y+xy2的值是________ ．12.因式分解：________．13.若关于x的代数式（x+m）与（x﹣4）的乘积中一次项是5x，则常数项为________14.分解因式：a3﹣4a2+4a=________．15.已知（x+5）（x+n）=x2+mx﹣5，则m+n=________．16.分解因式：ax2﹣4a=________．三、计算题17.先化简，再求值（a+b）2﹣（b﹣a）2﹣2（b﹣a）（b+a），其中a=1，b=2．四、解答题18.若多项式x2+ax+8和多项式x2﹣3x+b相乘的积中不含x2、x3项，求（a﹣b）3﹣（a3﹣b3）的值．19.现定义运算“△”，对于任意有理数a、b，都有a△b=a2﹣ab+b，例如：3△5=32﹣3×5+5=11，请根据上述知识解决问题：（1）（x﹣1）△（2+x）；（2）若（1）的代数式值大于6而小于9，求x的取值范围．五、综合题20.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．如：8=32﹣12，16=52﹣32，24=72﹣52，…因此8，16，24这三个数都是奇特数．（1）56这个数是奇特数吗？为什么？（2）设两个连续奇数的2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】因式分解-运用公式法，因式分解的应用【解析】解：由x3+x2+x+1=0，得x2（x+1）+（x+1）=0，∴（x+1）（x2+1）=0，而x2+1≠0，∴x+1=0，解得x=﹣1，所以x27+x26+…+x+1+x+x26+x27=﹣1+1﹣1+1﹣…+1﹣1=﹣1．故选C．【分析】对所给的条件x3+x2+x+1=0进行化简，可得x=﹣1，把求得的x=﹣1代入所求式子计算即可得到答案．2.【答案】D【考点】完全平方公式及运用【解析】【解答】∵x2+2(m−1)+16=x2+2(m−1)+42，∴2(m−1)x=±2x⋅4，∴2(m−1)=8或2(m−1)=−8，解得m=5或m=−3.故答案为：D.【分析】由完全平方公式a22ab+b2=（a b）2，得到2(m−1)=8或−8，求出m的值. 3.【答案】A【考点】整式的混合运算【解析】解：∵c＜0，∴（1﹣a）c+|c|=c﹣ac﹣c=﹣ac．故选A．【分析】由于c＜0，所以|c|=﹣c，然后化简即可．4.【答案】C【考点】平方差公式【解析】【解答】A. (a＋b)(a－b)=a ²-b ², 可以；B. (－a＋b)(－a－b)=(-a) ²-b ²=a ²-b ², 可以；C. (－a+b)(a－b)=-(a-b)(a-b)=-(a-b) ², 不可以；D. (a＋b)( －a + b)=-(a+b)(a-b)=-(a ²-b ²),可以.故答案为：C.【分析】根据平方差公式的特点：（a+b）（a-b）=a ²-b ²，对各选项逐一判断即可得出答案。

初中七年级数学第九章从面积到乘法公式--小结与思考习题课1

第九章从面积到乘法公式--小结与思考班级姓名【课前准备】： 1．知识体系：1)单项式乘单项式:① ； ② ；③ .2)单项式乘多项式： .3)多项式乘多项式: . 4)乘法公式：①(a+b)(a-b)= ②(a+b)2= ③(a-b)2= ④(x+m)(x+n)=5)因式分解方法：① ；② ；．【知识巩固】1、下列分解因式中，错误的是( )A.15a2+5a=5a(3a+1)B.-x2-y2=-(x+y)(x-y)C.m(x+y)+x+y=(m+1)(x+y)D.x2-6xy+9y2=(x-3y)2 2、要使x2+2ax+16是一个完全平方式,则a 的值为( )A.4B.8C.4或－4D.8或－8 3、（－5）2000＋（－5）2001的结果( )A.52000B.-4×52000C.-5D.(-5)4001 4、当x=1时，代数式ax2+bx+1的值为3，则(a+b-1)(1-a-b)的值等于（） A.1 B.－1 C.2 D.－25、有4个代数式①m2n;②3m-n;③3m+2n;④m3n. 可作为代数式9m4n-6m3n2+m2n3的因式是（）A.①和②B.①和③C.③和④D.②和④6、已知1km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108kg 煤所产生的能量，在我国9.6×106km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤 _______________kg （用科学记数法表示）整式乘法单项式乘单项式单项式乘多项式多项式乘多项式乘法公式反过来用因式分解7、若x-y=5,xy=6，则x 2y-xy 2=_____ ___,x 2y+xy 2=___ __8、已知(3x+ay)2=9x2-48xy+by2，那么a,b 的值分别为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

例题讲解：1、单项式乘以多项式： (-3xy+ 23y 2-x 2)×6x 2y2、多项式乘以多项式: (x ＋2)(2x －3)3、乘法公式： ⑴、 (2m-n)2 ⑵、(x-21)(x 2+41)(x+ 21)【当堂反馈】：（1）(2x-y)(____)=4x 2-y 2 （2）(b-a)(____)=a 2-b 2 (3)4x 2-12xy+(___)=(_____)2(4)小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是9x 2+ +16y 2，但中间一项不慎被污染了,这一项应是 ( )A 12xyB 24xyC ±12xyD ±24xy4、计算题：(1)(x-3y)(y+3x)-(x-3y)(3y-x) (2)(p+2q)2-2(p+2q)(p+3q)+(p+3q)2(3)(2m-3n)25、化简后求值：22)32()32)(32(2)32(b a b a b a b a ++-+--，其中2-=a ，31=b ．6、己知x+5y=6 , 求 x 2+5xy+30y 的值7、把下列各式分解因式：（1）2n a -502+n a ；（2）2)(4y x y x --．23222(4).3x (x y -2x)-4x(-x y)2(5).(1)(5)t t t -+-(6).(23)(45)(23)(54)x y x y x y y x ++--3423332435⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅c ab b a ab12a =-8、把下列各式分解因式： 1）、16x 4-72x 2y 2+81y 4 2）、(x2+y2)2-4x 2y 23）、-ab(a-b)2+a(b-a)2 4）、(x 2+4x)2+8(x 2+4x)+16【拓展延伸】一、试试你的身手！2. 当13==y ,x 时，代数式()()2y y x y x +-+的值是．3. 已知32-=ab ，则()=---b ab b a ab 352 .4. 若212=++a a ，则()()=+-a a 65 .5. 观察下列等式：()1212112⨯+=+⨯，()2222222⨯+=+⨯，()3232332⨯+=+⨯，…… ，则第n 个等式可以表示为．6. 一个多项式除以122-x ，商式为2-x ，余式为1-x 则这个多项式是 .7. 已知1km 2的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108 km 2煤所产生的能量,那么我国9.6×106km 2的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤 kg.8. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对()b a ,进入其中时，会得到一个新的数：()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中得到数n ，再将数对()m n ,放入其中后，如果最后得到的数是 .（结果要化简）二、挑战你的技能！1. 计算：(1) （2）()()()131312-++-+-x x x x x x（3）先化简下面的代数式，再求值： (4)(6)(2)a a a a --+-，其中2.一个正方形的一边增加3cm ，另一边减少3cm ，所得长方形的面积与这个正方形每一边都减少1cm 所得的正方形面积相等，求原正方形的面积。

初中数学乘法公式基础训练1含答案

乘法公式基础训练1一．选择题（共30小题）1．下列各式中，可以用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（﹣1﹣x）B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（x+y）（y﹣x）D．（x+y2）（x2﹣y）2．下列运算中，正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2 C．2a+3b＝5ab D．﹣a（2﹣a）＝a2﹣2a 3．已知a2﹣b2＝6，a+b＝2，则a﹣b的值为（）A．1B．2C．3D．4 4．下列运算错误的是（）A．（2a）2＝4a2B．C．D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 5．用简便方法计算，将98×102变形正确的是（）A．98×102＝1002+22B．98×102＝（100﹣2）2C．98×102＝1002﹣22D．98×102＝（100+2）2 6．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a5+a5＝a10C．（﹣2a3）3＝﹣6a9D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 7．下列算式不能用平方差公式计算的是（）A．（2x+y）（2y﹣x）B．（3x﹣y）（3x+y）C．（x+1）（﹣x+1）D．（x﹣y）（y+x）8．若a+b＝3，a2﹣b2＝15，则a﹣b的值为（）A．12B．8C．5D．3 9．下列各式不能用平方差公式计算的是（）A．（3a+2b）（3a﹣2b）B．（3a+2b）（2b﹣3a）C．（3a﹣2b）（2b﹣3a）D．（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）10．下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A．（x+a）（x﹣a）B．（x+a）（a﹣x）C．（a﹣x）（x﹣a）D．（﹣x﹣a）（x﹣a）11．下列计算中，能用平方差公式计算的是（）A．（x+3）（x﹣2）B．（﹣1﹣3x）（1+3x）C．（b+a2）（a2﹣b）D．（3x+2）（2x﹣3）12．下列不能运用平方差公式运算的是（）A．（a+b）（﹣b+a）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+b）（﹣a﹣b）D．（a﹣b）（﹣a﹣b）13．若（2x+3y）（mx﹣ny）＝9y2﹣4x2，则m、n的值为（）A．m＝2，n＝3B．m＝2，n＝﹣3C．m＝﹣2，n＝﹣3D．m＝﹣2，n＝3 14．计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（）A．a2﹣1B．1﹣a2C．a2﹣2a+1D．﹣a2+2a﹣1 15．若x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值等于（）A．6．B．﹣6C．6或﹣6D．12或﹣12 16．若x2﹣kx+64是完全平方式，则k的值是（）A．±8B．±16C．+16D．﹣1617．若y2+16y+m是完全平方式，则m的值为（）A．16B．25C．36D．6418．下列等式成立的是（）A．﹣a﹣b＝﹣（a﹣b）B．（a﹣b）2＝（a+b）2C．（﹣a﹣b）3＝﹣（a+b）3D．（﹣a﹣b）4＝﹣（a+b）419．在括号内填上适当的单项式，使a2﹣（）+36成为完全平方式，应填（）A．12a B．24a C．24D．1220．若x2﹣mx+4是完全平方式，则m的值为（）A．2B．4C．±2D．±421．下列等式能够成立的是（）A．（2x﹣y）2＝4x2﹣2xy+y2B．（x+y）2＝x2+y2C．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2D．（+x）2＝+x222．下列式子中一定成立的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 23．不论x、y取何值时，下列等式均成立的是（）A．x2+y2＝（x+y）2B．（2x﹣3y）3＝（3y﹣2x）3C．（x+y）2＝（﹣x﹣y）2D．（a+b）（a﹣b）＝（﹣a﹣b）（a﹣b）24．下列各式一定成立的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（3a3）2＝9a6D．a6÷a2＝a325．下列各式中，相等关系一定成立的是（）A．（x﹣y）2＝（y﹣x）2B．（x+6）（x﹣6）＝x2﹣6C．（x+y）＝x2+y2D．（3x﹣y）（﹣3x+y）＝9x2﹣y2 26．下列等式不成立的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a5÷a2＝a3C．（a﹣b）2＝（b﹣a）2D．（a+b）2＝（﹣a+b）2 27．下列式子能成立的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2B．（a+3b）2＝a2+9b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣x﹣9 28．下列式子成立的是（）A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1B．（a+3b）2＝a2+9b2C．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2 29．下列各式一定成立的是（）A．（2x﹣y）2＝4x2﹣2xy+y2B．（a﹣b）2＝（b﹣a）2C．（a﹣b）2＝a2+ab+b2D．（x+2y）2＝x2+4y230．下列等式恒成立的是（）A．（a+b）2＝a2+b2B．（ab）2＝a2b2C．a4+a2＝a6D．a2+a2＝a4乘法公式基础训练1参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．解：A、不能用平方差公式计算，故此选项错误；B、不能用平方差公式计算，故此选项错误；C、能用平方差公式计算，故此选项正确；D、不能用平方差公式计算，故此选项错误；故选：C．2．解：A、a6÷a3＝a3，故本选项错误；B、（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项错误；C、2a+3a＝5a，故本选项错误；D、﹣a（2﹣a）＝a2﹣2a，正确．故选：D．3．解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6，a+b＝2，∴a﹣b＝3，故选：C．4．解：A、原式＝4a2，不符合题意；B、原式＝|﹣3|＝3，不符合题意；C、原式不能合并，符合题意；D、原式＝a2﹣b2，不符合题意，故选：C．5．解：98×102＝（100﹣2）（100+2）＝1002﹣22，故选：C．6．解：A．a3•a2＝a5，故A选项错误；B．a5+a5＝2a5，故B选项错误；C．（﹣2a3）3＝﹣8a9，故C选项错误；D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，故D选项正确；故选：D．7．解：不能用平方差公式计算的是（2x+y）（2y﹣x）故选：A．8．解：∵a2﹣b2＝15，∴（a+b）（a﹣b）＝15，∵a+b＝3，∴a﹣b＝15÷3＝5．故选：C．9．解：（3a+2b）（3a﹣2b）能用平方差公式计算；（3a+2b）（2b﹣3a）能用平方差公式计算；（3a﹣2b）（2b﹣3a）不能用平方差公式计算；（3a﹣2b）（﹣3a﹣2b）能用平方差公式计算．故选：C．10．解：A、B、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；C选项中两项都互为相反数相同，故不能运用平方差公式进行运算．故选：C．11．解：能用平方差公式计算的是（b+a2）（a2﹣b）故选：C．12．解：A、B、D、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；C，两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选：C．13．解：∵（2x+3y）（mx﹣ny）＝2mx2﹣2nxy+3mxy﹣3ny2＝9y2﹣4x2，∴2m＝﹣4，﹣3n＝9，﹣2n+3m＝0，解得m＝﹣2，n＝﹣3，故选：C．14．解：原式＝（﹣a）2﹣12＝a2﹣1，故选：A．15．解：∵x2﹣mx+9是一个完全平方式，∴m＝±6．故选：C．16．解：∵关于x的多项式x2﹣kx+64是一个完全平方式，故选：B．17．解：∵y2+16y+m是完全平方式，∴y2+16y+m＝（y+8）2＝y2+16y+64，故m＝64．故选：D．18．解：A、﹣a﹣b＝﹣（a+b），故A不成立；B、（a﹣b）2≠（a+b）2，故B不成立；C、（﹣a﹣b）3＝﹣（a+b）3，故C成立；D、（﹣a﹣b）4＝（a+b）4，故D不成立；故选：C．19．解：在括号内填上适当的单项式，使a2﹣（）+36成为完全平方式，应填12a，故选：A．20．解：∵x2﹣mx+4是完全平方式∴﹣mx＝±2×x×2∴﹣m＝±4即m＝±4故选：D．21．解：A、（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，错误；B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，错误；C、（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2，正确；D、（+x）2＝+2+x2，错误；故选：C．22．解：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选：C．23．解：A、x2+2xy+y2＝（x+y）2，本选项错误；B、（2x﹣3y）3＝﹣（3y﹣2x）3，本选项错误；C、（x+y）2＝（﹣x﹣y）2，本选项正确；D、（a+b）（a﹣b）＝（﹣a﹣b）（b﹣a），本选项错误，24．解：A、2a和3b不能合并，故本选项错误；B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误；C、（3a3）2＝9a6，故本选项正确；D、a6÷a2＝a4，故本选项错误；故选：C．25．解：A、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2，正确；B、（x+6）（x﹣6）＝x2﹣36，故错误；C、x+y≠x2+y2，故错误；D、（3x﹣y）（﹣3x+y）＝﹣（3x﹣y）（3x﹣y）＝﹣（3x﹣y）2＝﹣9x2+6xy﹣y2，故错误；故选：A．26．解：A、（ab）2＝a2b2，故本选项错误；B、a5÷a2＝a3，故本选项错误；C、（a﹣b）2＝（b﹣a）2，故本选项错误；D、（a+b）2＝a2+b2+2ab≠（﹣a+b）2＝a2+b2﹣2ab故本选项正确．故选：D．27．解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；B、（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，错误；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，正确；D、（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，错误，故选：C．28．解：A、应为（2a﹣1）2＝4a2﹣2a+1，故本选项错误；B、应为（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，故本选项错误；C、应为（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故本选项错误；D、（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2，正确．故选：D．29．解：A、（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，错误；B、（a﹣b）2＝（b﹣a）2，正确；C、（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2，错误；D、（x+2y）2＝x2+4xy+4y2，错误；故选：B．30．解：A、原式＝a2+b2+2ab，错误；B、原式＝a2b2，正确；C、原式不能合并，错误；D、原式＝2a2，错误，故选：B．。

从面积到乘法公式复习教案-苏科版

第九章从面积到乘法公式单元总结提升单元总结归纳一、本章的知识框图二、重点、难点突破重点：(一)单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（二）单项式乘以多项式1.单项式与多项式的相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad.2.其几何意义为：3.单项式与多项式相乘的步骤：（1）按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；（2）进行单项式的乘法运算.（三）多项式乘以多项式1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2.其几何意义为：3.多项式与多项式相乘的步骤：（1）用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；（2）把所得的积相加.（四）乘法公式1.完全平方式公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.（1）特征：完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”.（2）语言叙述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差（3）几何意义：（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b22.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.（1）特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.（2）语言叙述：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.；当（3）几何意义：5.因式分解（1）因式分解与整式乘法的区别与联系：把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解 . 它与整式乘法是两种互逆的恒等变形.（2）提公式法分解因式：提公因式的依据是乘法分配律，其实质是分配律的“逆用”提公因式分解因式的步骤是：a.找出多项式各项的公因式；b.提出多项式的公因式；提公因式分解因式的关键是正确找出各项的公因式，一个多项式的公因式正确找出后，需要提取公因式，此时可以直接观察出提出公因式后剩下的另一个公因式；也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后，剩下的另一个因式.（3）公式法分解因式：平方差公式分解因式：a 2－b 2=(a+b)(a －b)，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.完全平方公式分解因式：a 2±2ab＋b 2＝(a±b)2，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方.难点：1. 单项式与单项式相乘，应注意：；，（1）先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值；（2）相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”（3）对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，注意不能漏掉这部分因式；（4）单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行；（5）单项式与单项式相乘的积仍是单项式，对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算；（6）对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用.2. 单项式与多项式相乘应注意：（1）单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，为了避免发生符号上的错误，计算时可以分为两步：先把“-”号放在括号外，把单项式与多项式相乘，然后去括号；（3）在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要进行合并.3. 多项式乘以多项式应注意：（1）运算时要按一定的顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项之前，应是两个多项式项数的积；（2）多项式是几个单项式的和，每项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号；（3）运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列.4.乘法公式（1）运用完全平方公式时应注意：明确使用和的完全平方公式还是差的完全平方公式；分清公式中的 a 、b 分别代表什么；结果是三项式，首尾两项分别是左边二项式的每一项的平方，中间项是左边两项的积的二倍，尤其是中间项的二倍不能忘记.（2）运用平方差公式时应注意：首先明确能否利用平方差公式计算（能利用平方差的标准是一个二项式是两数的和，另一个二项式是这两数的差，我们把符号相同的数看作是 a ，把符号相反的项看作是 b ）；结果是平方差，且两个数(项)的位置不能弄错；必须注意系数、指数的变化（3）灵活应用乘法公式首先必须做到心中牢记公式的“模样” 在此前提下再认真地，对题目进行细致观察，想法设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模样”，然后就可以应用公式进行计算了，这里关键是要善“变”.5.因式分解（1）对因式分解结果的约定：a.与原多项式相等；b.为积的形式，即从整体上看，最后结果应是一些因式的乘积；c.每个因式都是整式；d.在指定数集里，每个多项式不能再分解.e.形式最简.（2）用提公因式法分解因式应注意：a.公因式要提尽；b.小心漏项，提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数应该相同；c.提取公因式后的多项式首项一般取正号；d.分解因式与整式的乘法是互逆的过程，所以可以用整式的乘法来验证因式分解的正确性；e.把含有相同字母的式子作为公因式提出来时，要特别注意统一式子中字母的顺序；f.提公因式要干净彻底，也就是说当把多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该再不能提出公因式了.(3)使用公式法分解因式：如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式；如果多项式是三项，其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的 2 倍，可以运用完全平方公式分解.有时多项式不能直接使用公式时，还可以适当将它们变形.(4)综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意:1.如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解;2.分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止;3.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”.特别强调“三查” 检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.整合拓展创新类型之一、基本概念型例 1 下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？(1)8a 2b 3c=2a 2b·2b 3·2c (2)3a 2+6a=3a(a+2)(3)x2－111=(x+)(x－) y2y y(4)x2－4+3x=(x+2)(x－2)+3x(5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)(6)(2a+5b)(2a－5b)=4a2－25b2【思路分析】因式分解必须是左边是多项式，右边整体是积，且每个因式都是整式，它与整式乘法是互逆的恒等变形.解：（2）是因式分解，（6）是整式乘法.【点评】本题旨在复习学生对因式分解与整式乘法的认识.变式题下列变形中，因式分解对不对？为什么？(1)x2y－xy2=xy(x－y)(2)a3－2ab+ab2=a(a－b)2=a(a2－2ab+b2)(3)62ab－4ab2+2ab=2ab(3a－2b)(4)4a2－100=(2a+10)(2a－10)(5)a2－b2=(a－b)2提示：第（2）题提取公因式a后，括号里是a2-2b+b2，不是完全平方式；第（3）出现了漏项；第（4）题没有分解彻底，应先提取公因式4，再用平方差公式；第（5）题混淆了两个乘法公式.解：只有（1）是正确的.【说明】此题旨在提醒学生常出现的错误，1、剩下的1漏写；2、没有先提公因式分解不完全；3、平方差与差平方相混，尤其是(2)中是学生常见错误类型，原因是学生对整式乘法先入为主，而对因式分解的本质没有完全理解，形成心理学上的“倒摄抑制”效应，应提醒学生注意.类型之二、基本运算型8 88 81.整式乘法的运算例2 先规定一种运算：a ＊b=ab+a-b ，其中 a 、b 为有理数，则 a ＊b+（b-a ）＊b 等于（）A.a 2-b ；B.b 2-b ；C.b 2；D.b 2-a. 【思路分析】在（b-a ）＊b 中，把（b-a ）看作是规定运算中的 a ，展成一般形式后用整式的乘法进行运算.解： a ＊b+（b-a ）＊ b= ab+a-b+[ （b-a ）b+（b-a ）-b]= ab+a-b+[b 2-ab+b-a-b]=ab+a-b+b 2-ab-a= b 2-b.选 B.【点评】解决这类问题，理清题目意思是解题关键.变式题已知：A=2x 2+3xy-y 2，B=- 1 1 1xy ，C= x 3y 3- x 2y 4.求：2AB 2-C. 2 4提示：直接代入计算，在复杂的式子计算中，先算乘方，再算多项式乘法，最后合并同类项.解：2AB 2-C=2（2x 2+3xy-y 2）（-1 1 1 xy ）2-（ x 3y 3- x 2y 4）2 4=（4x 2+6xy-2y 2）（ 1 1 1x 2y 2）- x 3y 3+ x 2y 4 4 4=x 4y 2+ 3 1 1 1= x 4y 2+ 11 1 x 3y 3- x 2y 4. 8 4例3 计算：（1）3（m+1）2-5（m+1）（m-1）+2（m-1）2；（2）[（4x n+1- 1 2 y y ）2+4y （x n - ）]÷8x 2. 16【思路分析】利用乘法公式展开后计算.解：（1）原式=3（m2+2m+1）-5（m2-1）+2（m2-2m+1）=3m2+6m+3-5m2+5+2m2-4m+2=2m+10；（2）原式=（16x2n+2-4x n+1y+11y2+4x n y-44y2）÷8x2=（16x2n+2-4x n+1y+4x n y）÷8x2=2x2n-11x n-1y+x n-2y. 22【点评】在整式的运算中，为了运算简捷，要尽量利用乘法公式计算，混合运算要注意运算顺序.尽管（2）中出现了多项式除以单项式运算，但应用倒数可将除法转化为乘法运算，即（m+n）÷a=（m+n）×111=m×+n×=m÷a+n÷a.可见掌握转化思想，可以探索新知识，解a a a决新问题.变式题计算：（1）（a+b+c-d）（a-b+c+d）；（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）.提示：（1）建立平方差公式的模型后求解；（2）将（x+1）与（x+4），（x+2）与（x+3）先分别相乘.解：（1）观察运算符号，两多项式中a、c符号相同，b、d符号相反，因此可以把a、c结合在一起，看成一项，把b、d结合在一起，看成另一项，应用平方差公式计算.原式=[（a+c）+（b-d）][（a+c）-（b-d）]=（a+c）2-（b-d）2=a2+2ac+c2-b2+2bd-d2；（2）经过观察1+4=2+3，因此将（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）先分别相乘，出现相同部分x2+5x，再视其为整体进行运算.原式=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]=[x2+5x+4][x2+5x+6]=[（x2+5x）+4][（x2+5x）+6]=（x2+5x）2+10（x2+5x）+24=x4+10x3+25x2+10x2+50x+24=x4+10x3+35x2+50x+24.2.因式分解例4（1）分解因式:2x2-18=;(2)分解因式:a3-2a2b+ab2=;(3)分解因式:x2-y2+ax+ay=.【思路分析】(1)、(2)先提公因式，再用公式法；（3）要利用分组分解法.解：（1）原式=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）；（2）原式=a（a2-2ab+b2）+a（a-b）2；（3）原式=（x2-y2）+（ax+ay）=（x+y）（x-y）+a（x+y）=（x+y）（x-y+a）.【点评】中考对因式分解的要求不太高，都以基本题为主.但有不少学生在解答第（1）、（2）题时常常在提公因式后就结束答题，从而失分.因此，在做因式分解时，最后一定要检验，使每个因式不能再分解才能结束.变式题先阅读，再分解因式：x4+4=（x4+4x2+4）-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2x+2）（x2-2x-2）.仿照这种方法把多项式x4＋64分解因式.提示仿照例题，运用添项、减项（配方），使其可以用平方差公式分解.解：x4＋64=（x4+16x2+64）-16x2=（x2+8）2-（4x）2=（x2+4x+8）（x2-4x+8）类型之三、基本应用型例5若x2－4x＋y2－10y＋29=0，求x2y2＋2x3y2＋x4y2的值.【思路分析】一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性求出x、y，再化简所求代数式后代入求值.解：因为x2－4x＋y2－10y＋29=0，所以（x2－4x+4）＋（y2－10y＋25）=0，（x-2）2+（y-5）2=0，所以x=2，y=5.x2y2＋2x3y2＋x4y2=x2y2（1+2x+x2）=（xy）2（1+x）2=（2×5）2×（1+2）2=900.【点评】利用因式分解，根据完全平方式的非负性是由一个方程解两个未知数的常用方法之一.变式题矩形的周长是28cm，两边长为x，y，若x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．提示把已知等式分解因式，利用矩形边长的非负性寻求解题途径.解：因为x3＋x2y－xy2－y3＝0，所以（x3＋x2y）－（xy2+y3）＝0，x2（x+y）－y2（x+y）=0，（x2－y2）（x+y）=0，（x+y）（x-y）（x+y）=0，（x+y）2（x-y）=0，又因为矩形的边长总是非负数，即（x+y）2＞0，所以有x-y=0，即x=y.而由矩形的周长是28cm得到x+y=14，所以x=y=7.矩形的面积为49C㎡.答：矩形的面积为49C㎡.例6若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.【思路分析】令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+a cy2+(b+d)x+(a d+bc)y+bd.对比多项式的系数得由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦∴m=-18.【点评】本题实质考查了学生对待定系数法的理解与运用能力.变式题已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.解答：由已知条件可以设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+a x+b),则2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b.对比多项式系数可得类型之四、思想方法型２e+2×1+ 2 ×2=2+2=4.0 1.整体转化思想３a ＋3b１例7 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e 的绝对值是 2，并且 x=+2cd+ e 2，ｅ求 9x 2+[x （4x-3）-2x （x-3）]的值.【思路分析】整体确定 a+b 、cd 的值，进而得到 x 的值，将求值式化简后再代入.解：根据题意，a+b=0，cd=1，|e|=2，3a ＋3b１ 3(a ＋b ）１所以 x=+2cd+e 2= +2cd+e 2=ｅ２ｅ２3× 12原式=9x 2+（4x 2-3x-2x 2+6x ）=11x 2+3x=11×42+4×3=6+12=188.【点评】本题综合性强，涉及到以前学过的互为相反数的和为0，互为倒数的积为 1，绝对值的意义，题目较复杂，但还是应依据先化简，再求值的原则.变式题（1）已知（a+b ）2=144 ， (a-b)2=36, 求 ab 与 a 2 + b 2 的值.（2）设 m 2+m-1=0，求 m 3+2m 2+2004 的值.提示：本题在解题时要运用整体思想.解：（1）已知（a+b ）2=144，(a-b)2=36,a 2 +2ab+b 2=144，a 2 -2ab+ b 2=36，把 ab 与 a 2 + b 2 分别看作是整体，两式相加得到 2（a 2 + b 2）=180，即 a 2 + b 2=90，两式相减，得到 4ab=108，即 ab=27.答：ab=27，a 2 + b 2=90.（2）∵m 2+m-1=0，∴m 2+m=1.∴m 3+2m 2+2004=m(m 2+m)+m 2+2004=m·1+m 2+2004=m 2+m+2004=1+2004=2005.答：m 3+2m 2+2004=2005.2.数形结合思想例8 在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a>b ）（如图 1），把余下的部分拼成一个矩形（如图 2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A.（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；B.（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；C.（a-b ）2=a 2-2ab+b 2；D.（a+2b ）（a-b ）=a 2+ab-2b 2.ba a babb图1图2【思路分析】先写出图中面积的不同表达形式，再比较作出判断.解：原阴影部分的面积为a2-b2，移动后阴影部分的面积为（a+b）（a-b），因此有（a+b）（a-b）=（a-b）2，选A.【点评】从面积到乘法公式，从乘法公式到面积表达式，充分展示了数学里的“数”与“形”的和谐美.由“数”到“形”，有“形”到“数”，这样反复观察思考、操作运算，对提高我们对数学的认识，锻炼我们的数学思维是大有益处的.变式题（苏科版课课练P636）如图，利用图形因式分解：a2+7ab+12b2.提示：结合图形寻求答案.解：a2+7ab+12b2=（a+3b）（a+4b）.五、实践型1.思维实践型例9多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是.（填上一个你认为正确的即可）【思路分析】许多学生在解答此题时，由于受思维定势的影响，习惯于依据课本上的完全平方公式得9x2+1+6x=（3x+1）2，或9x2+1-6x=（3x-1）2，只要再动动脑筋，还可以得出：9x2+1+819x4=（x2+1）2，9x2+1-1=（3x）2，9x2+1-9x2=12. 42解：所加的单项式可以是±6x或814x4或-1或-9x2.【点评】这是一个适度的开放题，对思维要求能力比较高.变式题观察一组式子：32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，…猜想一下，第n个式子是.提示：通过观察几个具体的等式，而抽象出一般规律，本题可以通过变形产生平方差，再反复用平方差公式得解.解：观察已知式子，可知每个等式左边第二项的底数与右边的结果的底数为相邻的两个连续整数，变形可得52-42=32，132-122=52，252-242=72，412-402=92，…且有关系5=2×1×（1+1）+1，13=2×2×（2+1）+1，25=2×3×（3+1）+1，41=2×4×（4+1）+1，…从而第n个式子中右边的底数为2n（n+1）+1，因此有：[2n·（n+1）+1]2-[2n（n+1）]2={[2n·（n+1）+1]+[2n（n+1）]}{[2n（n+1）+1]-[2n （n+1）]}=4n2+4n+1=（2n+1）2.故第n个式子为（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2.2.动手实践型例10现有足够的2×2，3×3的正方形和2×3的矩形图片A、B、C（如图），先从中各选取若干个图片拼成不同的图形，请你在下面给出的方格纸（每个小正方形的边长均为1）中，按下列要求画出一种拼法的示意图（要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，画图时必须保留作图痕迹）.（1）选取A型、B型两种图片各1块，C型图片2块，拼成一个正方形；（2）选取A型图片4块、B型图片1块，C型图片4块，拼成一个正方形；（3）选取A型图片3块、B型图片1块，再选取若干块C型图片，拼成一个矩形.【思路分析】按常规思路是用画图（或实物图片）尝试去拼接，这样费时费力，效率低.若设A形纸片的边长是a，B型纸片的边长为b（b＞a），则C型纸片的长为b、宽为a，抓住“拼接前后面积不变”这一条件，运用因式分解，可使解题目标的实施更明确，过程更简明.如（1）因拼接前后的总面积不变是a2+b2+2ab，分解因式得（a+b）2，则所拼接正方形边长为a+b.可拼接如图1所示的草图（注：没在提供的方格图中画）.（2）由拼接前后的面积是4a2+b2+4ab，分解因式得（2a+b）2，则所拼接正方形边长为2a+b.可拼接如图2所示的草图.（3）拼接图形面积为3a2+b2+（）ab，（）为整数，能够拼接为某一图，则其必能分解，结合因式分解，知b2+4ab+3a2=（b+a）（b+3a），即选4张C型纸片即可拼接成一矩形，由分解因式的特点，可拼出如图3的草图.变式题（苏科版课课练P636）已知3种形状的长方形和正方形纸片（如图1）：用它们拼成一个长为（3a+2b）、宽为（a+b）的长方形，各需多少块？并画出图形.提示：根据拼接前后面积不变知道长方形的面积为（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2，显然需要A正方形纸片3张、B正方形纸片2张、C长方形纸片5张，共10张纸片.解：需要A正方形纸片3张、B正方形纸片2张、C长方形纸片5张，共10张纸片.画图如图2所示.方法2：原式=1中考名题欣赏1.计算：（-1-2a）（2a-1）=；化简：（12m+n）（m-2n）=.解：（1）方法1：（-1-2a）（2a-1）=-2a+1-4a2+2a=1-4a2；方法2：（-1-2a）（2a-1）=-（2a+1）（2a-1）=-（4a2-1）=1-4a2；方法3：（-1-2a）（2a-1）=（-1-2a）（-1+2a）=（-1）2-（2a）2=1-4a2.（2）方法1：原式=11m2-mn+mn-2n2=22m2-2n2；11（m+2n）（m-2n）=（m2-4n2）=m2-2n2；222方法3：原式=2（1111m+n）（m-n）=2（m2-n2）=m2-2n2. 2242【点评】该题考查乘法的基本运算和灵活运用乘法公式的能力，可以按多项式乘多项式的法则进行，也可以通过适当变形巧用乘法公式来简化计算.【方法技巧】对多项式进行适当变形，可达到运用乘法公式来简捷解题的目的.中考中对整式乘法知识的考查难度不大，但很灵活，在解题时我们一定要透过现象看本质，抓住特点，创造性地解题.2.（1）把代数式xy2-9x分解因式，结果正确的是（）A.x（y2-9）B.x（y+3）2C.x（y+3）（y-3）D.x（y+9）（y-9）（2）把代数式a3+ab2-2a2b分解因式的结果是.解：（1）xy2-9x=x（y2-9）=x（y+3）（y-3），故选C；（2）原式=a（a2+b2-2ab）=a（a2-2ab+b2）=a（a-b）2.【点评】该题既考查因式分解的概念，又考查因式分解的方法，先提公因式，再根据项数确定应用什么公式.２在中考中，对因式分解的考查一般以填空题、选择题的形式出现，比较容易，但失分率却比较高，主要是对因式分解的概念模糊，分解不彻底所致.如第（1）题，不少考生可能选A，第（2）题误填a（a2+b2-2ab）.3.（1）如图1是一个正方形与一个直角三角形所组成的图形，则该图形的面积为（）1mn－ｍ２mn＋ｍ２A.m2+mnB. c. D.2２２ｍ２＋ｎ２（2）三种不同类型的矩形地砖长宽如图2所示若先有A类4块，B类4块，C类2块，要拼成一个正方形，则应多余出一块型地砖；这样的地砖拼法表示了一个两数和的平方的几何意义，这个两数和的平方是.解：（1）S=m2+12·m·（n-m）11=m2+mn-m222=mn＋ｍ２２，选C；（2）通过动手操作可得如图3（答案不唯一），易知多了一块C型地砖，其面积为（2m+n）2或4m2+4mn+n2.因此，依次填入C，（2m+n）2=4m2+4mn+n2.【点评】第（1）题可分别求出正方形和直角三角形的面积，再求和；第（2）题可通“（过动手操作，摆出图形来寻求答案. 该题考查学生数形结合的能力以及对单项式乘以多项式和乘法公式——完全平方公式的理解和掌握.利用几何的面积法与代数的计算法相结合，考查了学生的数形结合的能力，提升了难度，更体现了新课标的基本理念.4.老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华又接着写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，……（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性.解：（1）写出两个正确的算式，如：32-12=8×1，72-32=8×5 等等；（2）规律：任意两个奇数的平方差等于 8 的倍数；（3）证明：设 m 、n 为两个整数，两个奇数可表示为 2m+1 和 2n+1，则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n ）（m+n+1）.当 m 、n 同是奇数或偶数时，m-n 一定为偶数，所以 4（m-n ）一定是 8 的倍数；当 m 、n 一奇一偶时，则 m+n+1 一定是偶数，所以 4（m+n-1）一定是 8 的倍数.所以，任意两奇数的平方差是 8 的倍数.（说明：规律说成是：两奇数的平方差是 4 的倍数”且证明正确也可得满分，如果证明中加设 m ＞n 的条件，不扣分）.【点评】这是一则探索规律题，等式左边是两个奇数的平方差，大数减小数），右边是 8 的倍数.【方法技巧】解决探索规律题，要认真观察已给的等式和自己写出的等式，充分联想已有的知识，大胆猜想相应的结论，再进行严密推理说明，即认真观察，广泛联想，大胆猜测，小心论证.5.化简：（2x-1）2-（3x-1）（3x-1）+5x （x-1），再选一个你喜欢的数代替 x 求值.解：分别用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式的法则进行计算，再去括号，合并同类项.原式=4x 2-4x+1-（9x 2-1）+5x 2-5x=4x 2-4x+1-9x 2+1+5x 2-5x=-9x+2.取一个x值，代入求值即可.取x=0，则原式=2.【点评】这是一道自编自解题，先化简，后取一个x值代入求值，但取x值既要使原代数式有意义，又要使计算简捷方便.6.物资调运是国民经济的重要问题，安排得当可以为国家节省大量资金和物力，下面是一个车床调运的实例.北京与上海分别制造同种型号的车床10台和6台，这些车床计划分配到武汉和西安两地，运送一台车床的费用（单位：元）如下图1所示，如果北京发往武汉x台，上海发往西安y台，求总运费.终点武西始点北京汉安500400上海700950图1解：作出如图2的网络图，并标上相关的数据，由图易知总运费W=500x+400（10-x）+950y+700（6-y）=100x+250y+8200（元）（答略）.【点评】这是一道实际应用题，先从题目中（特别是表格中）提取相关信息，借助于整式运算的知识来解答.这里运用“词、数、图、式”一体化的解题思路，架起“示意图”这座桥梁，达到解决数学问题的目的.这种方法将数化形，其优越性在于直观、形象，是将具体问题抽象为数学模型的一种普遍使用的方法.章内专题阅读如何用乘法公式？乘法公式是初一代数的重要内容，对今后学习数学影响很大.也是中考考查的重要知识点.本文介绍如何使用乘法公式.1.直接用例1计算（3x2+y）（3x2-y）分析本题符合平方差公式的结构特征，其中3x2相当于公式中的a、y相当于公式中的b，故可直接使用平方差公式.解原式=（3x2）2-y2=9x4-y2.2.连续用例2计算（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）（x-1）.分析按顺序直接计算量很大，把最后一个因式放到前面，则可连续使用平方差公式.解原式=（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）=（x2-1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）=（x4-1）（x4+1）（x8+1）=（x8-1）（x8+1）=x16-1.3.整体用例3计算(x-3y-2z)2（新教案9.4（3）例4变式题）分析将x-3y看成一个整体，原式可用完全平方公式计算.解原式=[（x-3y）-2z]2=（x-3y）2-4（3x-y）z+4z2=x2-6xy+9y2-12x+4y+4z2.4.逆向用例4求证：无论x为何值，代数式4x2-12x+2都不小于-7.分析乘法公式是恒等式，必要时可逆向使用.本题配方后用完全平方式的非负性判断原式的取值范围.解原式=（4x2-12x+9）-7=（2x-3）2-7，因为（2x-3）2≥0，所以原式=（2x-3）2-7≥-7.5.变序用例5计算(2x+3)2(2x-3)2分析先用积的乘方化为[（2x+3）（2x-3）]2，对用平方差公式，再用平方公式计算，改变运算顺序，要比先用完全平方公式将（2x+3）2、（2x-3）2展开后再计算要简便得多.解原式=[（2x+3）（2x-3）]2=（4x2-9）2=16x4-72x2+81.6.凑项用例6计算（5+4）（52+42）（54+44）（58+48）…（5256+4256）分析直接计算显然太麻烦.注意到从第二个因式开始每个因式的前项（或后项）都是前一个因式的前项（或后项）的平方，如果式子的开头能使用平方差公式，则后面就能反复循环使用.而式子的开头没有（5-4）这一因式，因此必然要拼凑因式（5-4）.解原式=（5-4）（5+4）（52+42）（54+44）（58+48）…（5256+4256）=（52-42）（52+42）（54+44）（58+48）…（5256+4256）=…=5512-4512.7.裂项用例7已知a2-2a+b2+4b+5=0，求(a+b)2005的值.（新教案9.6（2）例3）分析一个方程两个未知数一般是不能确定其解的.但本题中的条件可通过裂项、分组、配方后求出a、b的值.解（a2-2a+1）+（b2+4b+4）=0，所以（a-1）2+（b+2）2=0，于是a-1=0，b+2=0，所以a=1，b=-2.于是(a+b)2005=[1+(-2)]2005=-1.8.搭配用例8求证（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）+16是完全平方式.分析考察四个因式有序变化的结构特征，可让它们“均衡”搭配.即一、四两个因式与二、三两个因式分别搭配运算后，把得到的其中某一个因式看成一个整体再作恒等变形.解原式=（x2-8x+7）（x2-8x+15）+16=（x2-8x+7）[（x2-8x+7）+8]+16=（x2-8x+7）2+8（x2-8x+7）+16=[（x2-8x+7）+4]2=（x2-8x+11）2.即为完全平方式..9.消元用例9已知实数x、y、Z满足z2=xy+y-9，x+y=5，求（x+z）-y.分析条件z2=xy+y-9是三个未知量的复杂关系，可通过x+y=5消元，化为二个未知量的关系，实现“减肥瘦身”.解x=5-y，所以z2=（5-y）y+y-9，所以（y2-6y+9）+z2=0，所以（y-3）2+z2=0，解得y=3，z=0，所以x=2，故.（x+z）-y=（2+0）-3=1 8.。

七年级数学下册第九章从面积到乘法公式复习苏科版

占面积不超过绿地面积的 1 .小明为此设计了一
2
个如图的方案,花坛是由一个长方形和两个半圆组
成的,其中m,n分别是a,b的 1
2
,如果已知a=
3 2
b,那么小
明的设计方案是否符合要求?(通过计算说明)
m1 nn23b2b2(3)b2 3 b 2
4 8 16 8162
因此，小明的设计方案符合要求.
• 4、乘法公式： • ①(a+b)(a-b)=a2-b2 • ②(a+b)2=a2+2ab+b2 • ③(a-b)2=a2-2ab+b2
• 5、因式分解： • ①提取公因式法 • ②公式法 • ③十字相乘法
1、填空: （1）(2x-y)(__2_x_+y_)=4x2-y2 （2）(b-a)(__-a_-_b_)=a2-b2 （3）4x2-12xy+(__9_y_2 )=(__2_x_-3_y_)2
( 3 ) .3 x 2 ( x 3 y 2- 2 x ) - 4 x ( - x 2 y ) 2
(4). t2(t1)(t5)
( 5 ) .( 2 x 3 )
4、先化简，后求值:
( 2 a 3 b ) 2 2 ( 2 a 3 b )2 a ( 3 b ) ( 2 a 3 b ) 2 其中 a2 b 1
m2+2m+1+n2-6n+9=0 即(m+1)2+(n-3)2=0,因为(m+1)2≥0,(n-3)2≥0 所以m+1=0,n-3=0,即m=-1,n=3 利用以上解法，解下列问题：
已知x2+y2-x+4y+ 17 =0,求x和y的值。

初升高数学乘法公式试题讲解

初升高数学乘法公式试题讲解乘法是数学中的基本运算之一，它常常出现在我们的日常生活和学习中。

在初中阶段，学生将深入学习乘法，并掌握乘法公式的使用。

本文将以初升高数学乘法公式试题为例，对其进行详细讲解。

1、基础乘法概念乘法是指将两个或多个数相乘的运算方法。

在乘法中，将被乘数与乘数相乘，得到的积是乘法的结果。

乘法的结果由乘数、被乘数和积三者构成。

2、常见乘法公式在初升高数学中，常见的乘法公式有以下几种：2.1 两位数乘一位数的乘法：例如，计算32 × 5的结果。

解题步骤如下： - 将被乘数32与乘数5的个位数相乘，得到10，写在十位上； - 将被乘数32与乘数5的十位数相乘，得到160，写在百位上； - 将两次乘法的结果相加，得到最终结果160 + 10 = 170。

因此，32 × 5 = 170。

2.2 两位数乘两位数的乘法：例如，计算24 × 36的结果。

解题步骤如下： - 将被乘数24与乘数36的个位数相乘，得到144，写在个位上； - 将被乘数24的十位数与乘数36的个位数相乘，并乘以10，得到240，写在十位上； - 将被乘数24与乘数36的十位数相乘，并乘以10的平方，得到720，写在百位上； - 将被乘数24的十位数与乘数36的十位数相乘，并乘以100，得到7200，写在千位上； - 将以上四个乘法的结果相加，得到最终结果7200 + 720 + 240 + 144 = 7984。

因此，24 × 36 = 7984。

2.3 乘法公式（a + b） × c的运算：例如，计算(2 + 3) × 4的结果。

解题步骤如下：- 先将括号内的加法运算得到结果5； - 将结果5与乘数4相乘，得到20。

因此，(2 + 3) × 4 = 20。

3、乘法公式的应用乘法公式不仅用于基本计算，还常常应用于解决实际问题。

下面举例说明：3.1 《数学竞赛试题》在一场数学竞赛中，小明解决了5道选择题，每题得3分；解决了4道填空题，每题得5分；解决了2道解答题，每题得8分。

2019中考数学练习讲解第4课时从面积到乘法公式(1).doc

2019中考数学练习讲解第4课时从面积到乘法公式（1）七〔下〕第三章、七〔下〕第八章幂的运算班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、会进行简单的整式乘法运算2、能推导乘法公式：〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2，〔a±b〕2＝a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算.［基础练习］1、1ab2c·〔－0.5ab2〕·〔－2bc2〕＝＿＿＿＿＿＿＿22、－3a2〔ab2＋1b－1〕＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿33、二次三项式29-+是一个完全平方式，那么k的值是x kx4、如图，从边长为〔a+1〕cm的正方形纸片中剪去一个边长为〔a﹣1〕cm的正方形〔a ＞1〕，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形〔不重叠无缝隙〕，那么该矩形的面积是〔〕A、2cm2B、 2acm2C、 4acm2D、〔a2﹣1〕cm2［要点梳理］1、单项式的乘法法那么：单项式乘以单项式，把它们的＿＿＿＿＿＿＿＿＿分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式、2、单项式与多项式相乘的运算法那么：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的＿＿＿＿＿＿＿，再把所得的＿＿＿＿＿＿＿＿＿、3、多项式乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的＿＿＿＿＿乘以另一个多项式的＿＿＿＿＿，再把所得的积相加、注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项、4、写出完全平方公式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿写出平方差公式.［问题研讨］例1、计算：①()()2-aa⋅a②[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x2332--③)yx--④)x2(y3)(5+xx.(2--168()4例2、〔1〕a＋b＝－3，ab＝2，求a2＋b2和(a－b)2的值.〔2〕A＝2x+y，B＝2x－y，计算A2－B2.〔3〕3-x，求代数式41=-+xx的值、+(2+)1(4)1例3、由m〔a+b+c〕＝ma+mb+mc，可得：〔a+b〕〔a2－ab+b2〕＝a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3＝a3+b3，即〔a+b〕〔a2－ab+b2〕＝a3+b3、………………………①我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.以下应用这个立方公式进行的变形不．正确的选项是．．．．．．〔〕A、〔x+4y〕〔x2－4xy+16y2〕＝x3+64y3B、〔2x+y〕〔4x2－2xy+y2〕＝8x3+y3C、〔a+1〕〔a2＋a+1〕＝a3+1D、x3+27＝〔x+3〕〔x2－3x+9〕［规律总结］1、掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法那么；2、二次代数式的几何意义都与面积有关；3、掌握好平方差公式与完全平方公式的特征.平方差公式：〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2完全平方公式：〔a±b〕2＝a2±2ab＋b2［强化训练］1、利用因式分解简便计算：57×99＋44×99－99正确的选项是〔〕A、99×〔57＋44〕＝99×101＝9999B、99×〔57＋44－1〕＝99×100＝9900C、99×〔57＋44＋1〕＝99×102＝10098D、99×〔57＋44－99〕＝99×2＝1982、如果多项式162++mxx能分解为一个二项式的平方的形式，那么m的值为：〔〕A、4B、8C、—8D、±83、一套住房的平面图如下图，其中卫生间、厨房的面积和等于〔〕A、4xyB、3xyC、2xyD、xy4、如图①是一个长为2m，宽为2n〔m＞n〕的长方形，用剪刀沿图中虚线〔对称轴〕剪开，把它分成四块形状和大小都一样的长小方形，然后按图②那样拼成一个正方形，那么中间空的部分的面积是〔〕A、2mnB、〔m＋n〕2C、〔m－n〕2D、m2－n25、将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、6正方形的个数是＿＿＿＿＿甲7、化简：〔a ＋2〕〔a －2〕－a 〔a ＋1〕8、先化简，再求值：2(2)2()()()a a b a b a b a b -++-++，其中1,12a b =-=. ★9、有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图. 3a a 1如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形〔不重叠无缝隙〕.请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义这个长方形的代数意义是.。