【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件：8.6空间向量及其运算-文档资料

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高三数学第一轮复习8.6 空间向量及其运算

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答案
第八章
8.6 空间向量及其运算
知识梳理
核心考点
-8-
知识梳理双基自测
12345
2.若 x,y∈R,有下列命题:
①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面;
②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb;
③若��=x��+y��,则 P,M,A,B 共面;
=12(b·c-a·b-c2+a·c)=-14.
第八章
知识梳理双基自测
8.6 空间向量及其运算
知识梳理
12345
核心考点
-14-
(3)�� = �� + �� + �� = 12a+b-a+12c-12b=-12a+12b+12c,
1
2
1 2
2+12×
12+
1 2
2 =25.
第八章
8.6 空间向量及其运算
知识梳理
核心考点
-12-
知识梳理双基自测
12345
5.(教材习题改编P98T4)如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
(1)�� ·��;(2)�� ·��; (3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
知识梳理双基自测

高三数学一轮复习8.6空间向量及其应用精品课件人教版

8.6空间向量及其应用
中国人民大学附属中学
1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.
2．向量运算和运算率 OB OA AB a b BA OA OB a b
D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若 AB a ,
，则下列向量中与 BM 相 AD b ，AA 1 c
等的向量是（ A ） (A) (B) (C)
1 1 a b c 2 2 1 1 a b c 2 2 1 1 a b c 2 2 1 1 a bc 2 2
D1 A1 M B1 C1
D A B
C
(D)
例4．已知两个非零向量 a =(a1，a2，a3), b =(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是（ D ） A. a :| a | b :| b | B. a1· b1=a2· b2=a3· b3 C. a1b1+a2b2+a3b3=0 D. 存在非零实数k，使 a =k b
例7．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1, 1， 2), C(－3，0，4)。设（1）求 a 和 b =a ， =b AB , AC
10 的夹角的余弦； 10
（2）若向量k a + b 与k或k 2 2
记作 a b
例1．有以下命题：①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 a, b 的关系是不共线；②O, A, B, C为空间四点，且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底，那么点O, A, B, C一定共面；③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则向量 a b, a b, c ，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ C ） (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③

【赢在高考】届高考数学第一轮复习配套课件：空间向量及其运算

第 6 讲空间向量及其运算
考纲展示
1.空间直角坐标系 ( 1) 了解空间直角坐标系, 会用空间直角坐标表示点的位置. ( 2) 会简单应用空间两点间的距离公式. 2.空间向量及其运算 ( 1) 了解空间向量的概念, 了解空间向量的基本定理及其意义, 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. ( 2) 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. ( 3) 掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
( 3) 模、夹角和距离公式设 a=( a1, a2, a3) , b=( b1, b2, b3) , 2 2 2 则|a|= ��·�� = ��1 + ��2 + ��3 , cos<a, b>=|��||��| =
��·��
��1 ��1 +��2 ��2 +��3 ��3
2 2 2
2 2 ��2 1 +��2 +��3 · ��1 +��2 +��3
.
若 A( a1, b1, c1) , B( a 2, b2, c2) , 则 dAB=|��|= (��2 -��1 )2 + (��2 -��1 )2 + (��2 -��1 )2 .
对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解.空间向量基本定理是适当选取基底的依据, 共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具, 三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接 1) 数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量 a, b, 在空间任取一点 O, 作��=a, ��=b, 则∠ AOB 叫做向量 a, b 的夹角, 记作<a, b>, 其范围是 0≤<a, b>≤π, 若 <a, b>=2, 则称向量 a 与 b 互相垂直, 记作 a⊥b. ②两向量的数量积已知两个非零向量 a, b, 则|a||b|cos<a, b>叫做 a, b 的数量积, 记作 a· b, 即 a· b=|a||b|cos<a, b>. 零向量与任何向量的数量积为 0.特别地, a· a=|a||a|· cos<a, a>=|a|2.

2025年高考数学一轮复习-8.6-空间向量及其运算和空间位置关系【课件】

PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,所
以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
n= −2,1,1 ,则(
)
A.l∥α
B.l⊥α
C.l⊂α或l∥α
D.l 与α斜交
【解析】选C.因为a= 1,0,2 ,n= −2,1,1 ,
所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l⊂α.
核心考点·分类突破
考点一利用空间向量证明平行问题
角度1 线面平行
[例1]如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 2,M是AD的
因为=(0,1,0),=(0,2,0),
所以=2,所以BC∥EF.
又因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
所以EF∥平面PBC,
同理可证GF∥PC,从而得出GF∥平面PBC.
又因为EF∩GF=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC.
解题技法
利用空间向量证明线面、面面平行的方法
中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.
【证明】如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,
建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意知,A(0, 2,2),B(0,- 2,0),D(0, 2,0).设点C的坐标为(x0,y0,0),
1
2

,所以k=4.
−2
3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量

超实用高考数学专题复习教学课件：8.6 空间向量及其运算

1
2
2
= , = , = .
3
3
3
则 VA 与平面 PMN 的位置关系是
.
答案平行
解析如图所示,设=a,=b,=c,
则 = + = + − =c+a-b,
由题意知 =
2
2 1
b- c,
3 3
1
2
2
1
2
= 3 − 3 = 3a-3b+3c.所以 + = 3a,
只要能证明=x+y ,或对空间任一点 O,有 = +x+y ,或
=x+y+z (x+y+z=1)即可.
对点训练 2 如图所示,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1,点 M,N 分别在 AC1 和 BC
上,且满足=k1 , =k (0≤k≤1).
∴由共面向量定理知向量与向量, 1 共面.
(2)当 k=0 时,点 M,A 重合,点 N,B 重合,MN 在平面 ABB1A1 内.
当 0<k≤1 时,MN 不在平面 ABB1A1 内,又由(1)知与, 1 共面,
故 MN∥平面 ABB1A1.
考点3
空间向量的坐标运算
【例3】 (1)(2020河南郑州调研)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c
提高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要认真阅读题目要求、题干和
选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问
的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查

人教a版高考数学(理)一轮课件：8.6空间向量及其运算

(2) 共面向量定理如果两个向量 a, b 不共线, 那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对( x, y), 使 p=xa+yb. 推论: 空间一点 P 位于平面 AB C 内的充要条件是存在有序实数对(x, y), 使��=x��+y��; 或对空间任意一点 O , 有��= ��+x��+y��. (3) 空间向量基本定理如果三个向量 a , b, c不共面, 那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组 (x, y, z), 使得 p=xa+yb+zc, 我们把 { a, b, c} 叫做空间的一个基底 , a, b, c都叫做基向量.
�� 1��1 + �� 2��2 + �� 3��3
2 2 �� 2 1+�� 2+ �� 3· 2 2 ��2 1 +��2 +��3
.
若 A(a1 , b1 , c1 ), B (a2 , b2 , c2 ), 则 d AB =| ��| = (�� 2 -��1) 2 + ( ��2-��1) 2 + ( ��2 -��1 )2.
考纲解读
高考中以选择题、填空题为主 , 重在考查空间两点间距离公式的应用, 向量的概念、数量积及其运算性质 ,运用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、点共面、线共面问题.

2014届高考数学人教A版(理)一轮复习第八篇第6讲空间向量及其运算

抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
证明 (1)连接 BG，则 E→G＝E→B＋B→G＝E→B＋12(B→C＋B→D) ＝E→B＋B→F＋E→H＝E→F＋E→H，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H 四点共面． (2)因为E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12(A→D－A→B)＝12B→D，所以 EH∥BD.
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在
实数λ，使得____a_＝__λb___. 推论如图所示，点 P 在 l 上的充要条件
是：O→P＝O→A＋ta
①
其中 a 叫直线 l 的方向向量，t∈R，在 l 上
第6讲空间向量及其运算
【2014年高考会这样考】 1．考查空间向量的线性运算、数量积和空间向量基本定理
及其意义． 2．利用向量的数量积判断两空间向量的平行与垂直关系．
抓住4个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点梳理
1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有_大__小__和_方__向__的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向_相__同__且模_相__等__的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 _平__行__或__重__合__的向量． (4)共面向量：_平__行__于__同__一__个__平__面__的向量．
3．(2013·威海模拟)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点
E 为上底面 A1C1 的中心，若A→E＝A→A1＋xA→B＋yA→D，则
x、y 的值分别为

【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算教学案理新人教A版

(4) 向量的数量积满足如下运算律：
① ( λa) · b＝ λ( a·ｂ) ；② a· b＝ ______( 交换律 ) ；
③ a·（b＋ c) ＝ ____________( 分配律 ) ．
3．空间向量的坐标运算
(1) 设 a＝ ( a1， a2，a3) ， b＝ ( b1， b2， b3) ，则
个向量垂直等．
请做演练巩固提升 3
三、空间向量的坐标运算
【例 3－ 1】已知： a＝ ( x, 4,1) ，b＝ ( － 2，y，－ 1) ，c＝ (3 ，－ 2，z) ，a∥ b，b⊥ c，
求： (1) a， b，c；
2
(2) a＋c 与 b＋c 所成角的余弦值．【例 3－ 2】如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1 的底面△ ABC中，CA＝ CB＝ 1，∠ BCA＝90°，棱 AA1＝ 2，M， N 分别是 A1B1， AA1 的中点．
要用类比的思想去掌握．在空间向量
的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进
行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导．
请做演练巩固提升 1

二、空间向量的数量积
【例 2】已知空间中三点 A( － 2,0,2) ， B( － 1,1,2) ， C( － 3,0,4) ，设 A→B＝ a， A→C＝b，
7 ∴3( k－ 1) ＋ 2k－ 4＝ 0，解得 k＝5.
1 3． A 解析： ∵a∥ b，∴２μ － 1＝ 0，∴ μ ＝2，排除 C， D 两项．
代入 A， B 选项验证可得， λ ＝ 2 成立．
4． (5,13 ，－ 3) 解析：设 D( x， y， z) ， uuur uuur

高考数学一轮复习第8章第6节空间向量及其运算课件理2

二、走进教材
2．(选修 2－1P104 练习 2 改编)已知平面 α，β 的法向量分别为 n1＝(2，3，5)，n2＝(－ 3，1，－4)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β 相交但不垂直
D．以上均不对
答案：C
3．(选修 2－1P118A6 改编)已知 a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角是________．
＝2MA，N 为 BC 的中点，则M→N＝( )
A．12a－23b＋12c
B．－23a＋12b＋12c
C．12a＋12b－12c
D．23a＋23b－12c
解析：选 B 由题意得，M→A＝13OA，B→N＝12B→C，如图所示，M→N＝ M→A＋A→B＋B→N
＝13O→A＋(O→B－O→A)＋12B→C ＝O→B－23O→A＋12(O→C－O→B) ＝12O→B－23O→A＋12O→C ＝－23a＋12b＋12c.故选 B．
►名师点津证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明P→A＝xP→B＋yP→C即可．对空间任意一点 O，若O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝ 1)，则 P，A，B，C 四点共面．
考点空间向量数量积的应用——变式探究【例】如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M，N 分别是 AB，CD 的中点． (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值．
数量积共线垂直
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b⇒ 10 ___a_1＝___λb_1_，__a_2_＝__λ_b_2，__a__3＝__λ_b_3_ (λ∈R，b≠0)

高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算和空间位置关系学案理

§8.6 空间向量及其运算和空间位置关系考纲展示►1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． 2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 8．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．考点1 空间向量的线性运算空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量． (4)共面向量：________________的向量．答案：(1)大小方向 (2)相同相等 (3)平行或重合 (4)平行于同一个平面(1)[教材习题改编]已知在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则化简AB →＋12(BD →＋BC →)＝________.答案：AG →解析：AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.(2)[教材习题改编]如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →可用a ，b ，c 表示为________．答案：－12a ＋12b ＋c解析：由图可知，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝BB 1→＋12B 1D 1→＝BB 1→＋12(A 1D 1→－A 1B 1→)＝c ＋12(b －c )＝－12a ＋12b＋c .[典题1] (1)[2017·河南郑州模拟]如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.[答案] 56[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ， OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →23⎝⎭222＝16a ＋13b ＋13c . 又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16，y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.(2)如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →； ②MP →＋NC 1→.[解] ①因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .②因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →2⎝⎭2＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c . [点石成金] 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．考点2 共线、共面向量定理的应用空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b ⇔存在唯一一个λ∈R ，使a ＝λb .(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组{x ，y ，z }使得p ＝x a ＋y b ＋z c .空间向量理解的误区：共线；共面．给出下列命题：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；③已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c ；④若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.其中为真命题的是________. 答案：④解析：若a 与b 共线，则a ，b 所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但三个却不一定共面，故②不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一个向量p 才一定能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故③不正确；据向量运算法则可知④正确.[典题2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .[证明] (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →.由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .[点石成金] 应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面 PA →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x ) OB →对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y ) OB →如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？解：∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知，向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．考点3 利用向量证明平行与垂直问题向量法证明平行与垂直 (1)两个重要向量 ①直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有________个．②平面的法向量直线l ⊥平面α，取直线l 的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有________个，它们是共线向量．(2)空间位置关系的向量表示答案：(1)①无数②无数[典题3] [2017·广东汕头模拟]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.[证明]以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0， ∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .(2)证法一：由(1)知，BA →＝(0,4,0)，PB →＝(23，0，－2)，设平面PAB 的一个法向量为m ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧4y 0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1,0，3)．又∵平面PAD 的一个法向量n ＝(－3，2,1)， ∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0， ∴平面PAB ⊥平面PAD .证法二：如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥PA .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →.∴BE ⊥DA .又PA ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面PAD . 又∵BE ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD .[点石成金] 1.利用向量法证明平行问题的三种方法 (1)证明线线平行：两条直线的方向向量平行． (2)证明线面平行：①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示． (3)证明面面平行：两个平面的法向量平行．2．利用向量法证明垂直问题的三种方法(1)证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0. (2)证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)证明面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行； ②两个平面的法向量垂直.已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .证明：以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B 1(4,0,4)，D (2,0,2)，A 1(0,0,4)．(1)DE →＝(－2,4,0)，平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,4)，∵DE →·AA 1→＝0，DE ⊄平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)， B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， ∴B 1F →⊥EF →，∴B 1F ⊥EF . B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，∴B 1F →⊥AF →，∴B 1F ⊥AF .∵AF ∩EF ＝F ，∴B1F⊥平面AEF.考点4 空间向量数量积的应用1.两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).答案：a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0正确使用空间向量的数量积．(1)已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________．答案：－13解析：a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)，∴(a ＋b )·(a －b )＝－13.(2)已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 夹角的余弦值为________．答案：－2515解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2515.[典题4] 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝1，∠ACD ＝90°，把△ADC 沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求BD 的长．[解] ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°.又∵AB ＝AC ＝CD ＝1，AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，∴|BD →|＝BD →2＝BA →＋AC →＋CD →2 ＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD→ ＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈BA →，CD →〉＝3＋2cos 〈BA →，CD →〉，∴|BD →|＝2或 2.∴BD 的长为2或 2.[点石成金] 1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．2．利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．3．可以通过|a|＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°.MN →＝AB →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB → ＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q·p ＋r·p －p 2) ＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证，MN ⊥CD .(2)解：由(1)可知，MN →＝12(q ＋r －p )， ∴|MN →|2＝14(q ＋r －p )2 ＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q·r －p·q －r·p )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22 ＝14×2a 2＝a 22， ∴|MN →|＝22a .∴MN 的长为22a . (3)解：设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )， MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q·p ＋r·q －12r·p ＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ， ∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22， ∴cos θ＝23， ∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.[方法技巧] 1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．[易错防范] 用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a ＝λb (λ∈R )即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．课外拓展阅读“两向量同向”意义不清致误分析[典例] 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．[错因分析] 将a ，b 同向和a∥b 混淆，没有搞清a∥b 的意义：a ，b 方向相同或相反．[解析] 由题意知，a∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，①x 2＋y －2＝2x .②把①代入②，得x 2＋x －2＝0，(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，两向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3.[答案] 1,3温馨提醒1．两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．2．若两向量a ，b 满足a ＝λb (b ≠0)且λ>0，则a ，b 同向；在a ，b 的坐标都是非零的条件下，a ，b 的坐标对应成比例且比值为正值．。

高考一轮复习通用版8.6空间向量及其运算课件(43张)

√ ×
×
×
√
√ √
(二)教材改编 2．[选修2－1·P98习题T7改编]已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)， c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是( ) A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
答案：C
解析：因为c＝(－4，－6，2)＝2a，所以a∥c，又a·b＝0，故a⊥b.
2.利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
线线垂直问题线面垂直问题面面垂直问题
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直
【对点训练】已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC
＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．
(1)求证：DE∥平面ABC. (2)求证：B1F⊥平面AEF.
反思感悟 1．用向量法证平行问题的类型及常用方法
线线平行线面平行面面平行
证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直
②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示 ①证明两平面的法向量平行(即为共线向量) ②转化为线面平行、线线平行问题
求夹角
求长度( 距离) 解决垂直问题
利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
答案：D
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．

(名师伴你行)2014高考数学一轮复习课件第八章空间向量及其运算

●两个定理 (1)共线向量定理还可以有以下几种形式：①a＝λb⇒a∥ b； ②空间任意两个向量共线的充要条件是存在 λ， μ∈R 使 λa → → ＝μb.③若OA，OB不共线，则 P，A，B 三点共线的充要条件 → → → 是OP＝λOA＋μOB且 λ＋μ＝1.
(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成了几何证明问题的完美 “ 嫁接”.
(3)模、夹角和距离公式：设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2， a· b 27 28 b3)，则|a|＝ a· a＝□____________，cos〈a，b〉＝＝□ |a||b| ________________________. → 29 若 A(a1 ， b1 ， c1) ， B(a2 ， b2 ， c2) ，则 dAB ＝ | AB | ＝ □ ______________________.
16 ②两向量的数量积：已知空间两个非零向量 a，b，则□ 17 ________________ 叫做向量 a ， b 的数量积，记作 □ 18 ______________________. ______________，即 a· b＝□
(2)空间向量数量积的运算律． 19 ________________； ①结合律：λ(a· b)＝□ 20 ______________； ②交换律：a· b＝□ 21 ________________. ③分配律：a· (b＋c)＝□
〈a，b〉
17 a· 18 |a||b|cos〈a，b〉 □ 19 (λa)· 20 b· 21 a· □ b □ b □ a □ b ＋a· c 22 a1b1＋a2b2＋a3b3 □ 23 a＝λb □ 24 a1＝λb1， □ a2＝λb2， 25 a· 26 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 □ b □ 28 □ a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 2 2 2 a2 ＋ a ＋ a b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3

高中数学一轮复习空间向量及其运算PPT课件

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表
考示．纲要求2．标掌表握示空．间向量的线性运算及其坐 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
• 标系xOy中，通过原点O，再作一条数轴z，使垂之直与x轴、y轴都，这样，它们中的任意两条都互相垂直，轴的方向通常这样选择90：° 从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转能与y轴的正半轴重合，这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系O－xyz，O
解析：A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．
B 错．因为|a|＝|b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无关．
C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有A→B>C→D这种写法．
D 对．∵A→B＋C→D＝0，∴A→B＝－C→D， ∴A→B与C→D共线，故A→B∥C→D正确．答案：D
且模的
• (6)共线向量：与平面向量一样，如果表
示空间向量的有向线段所在的直线互相平
行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a平行于b，记平作面a∥b.
• (7)共面向量：平行于同一
的向量
叫做共面向量．
• 3．空间向量中的有关定理
• (1)共线向量定理及其推论
• 共线向量定理：空间任意两个向量a， b(b≠0)，a∥b的充要条a＝件λ是b. 存在实数λ，使
④若 P、M、A、B 共面，则M→P＝xM→A＋yM→B.
其中真命题的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确；②中若 a，b 共线，p，a 不共线，则 p＝xa＋yb 就不成立；③正确；④中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不成立．