2018高考物理一轮总复习高考必考题突破讲座8带电粒子在有界磁场中的临界极值问题突破训练

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2018届高考物理一轮复习第十章磁场第5讲：带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

2018届高考物理一轮复习第十章磁场第5讲：带电粒子在有界磁场中运动的临界问题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、知识清单1．缩放圆模型特征：带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或磁感应强度变化）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。

把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”，如图。

解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。

2．缩放圆的几个常见问题粒子从同一个直线边界进出：速度越大，半径越大，但在磁场中运动时间相等相切，是从下边射出还是从右边射出的临界条件；注意有盲区可能从OC 、BC 、AB 边射出；比较时间：①从OC 边射出时间相等；②BC 、AB 边射出：速度越大，弦切角越小，时间越少3．环形磁场临界问题临界圆临界半径221R R r += 2-12R R r = 勾股定理(R 2-R 1)2=R 12+r 2解得：)R R (R r 1222-=4．旋转圆模型特征：带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。

解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。

同时还要注意，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变（即同旋性）。

5．旋转圆的几个常见问题距离最远：粒子1，直径Oa 粒子2、3等于Ob ；时间最长：粒子3时间最短：粒子1，Oa,劣弧，弦长最短，则弧长最短；时间最长：粒子2左边最远：直径Oa ；右边最远：相切，c 点时间最短：Ob ⊥板，劣弧弦长最短6．圆形有界磁场中的旋转圆问题r<Rr>Rr=R在磁场中运动的最远距离为OA=2r在磁场中运动的最长时间为t max =0v r α=qBm α (r R sin =2α)离开磁场速度方向垂直于入射点与磁场圆心的连线7．找临界点的方法以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R 和速度v (或磁场B )之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与磁场边界相切。

高考物理一轮复习主题八磁场8_2_1带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题和多解问题课件

[变式训练] 1．如图所示，以 O 为原点建立平面直角坐标系 Oxy，沿 y 轴放置一平面荧光屏，在 y>0,0<x<0.5 m 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的感应强度大小 B＝0.5 T．在原点 O 放一个开有小孔的粒子源，粒子源能同时放出比荷为 q/m ＝ 4.0×106 C/kg 的不同速率的正离子束，沿与 x 轴成 30° 角从小孔射入磁场，最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮，入射正离子束的速率在 0 到最大值 vm＝2.0×106 m/s 的范围内，不计离子之间的相互作用，也不计离子的重力．
(1)求离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间； (2)求离子打到荧光屏上的范围；
(3)实际上，从 O 点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与 x 轴成 30° ～60° 角内进入磁场，则某时刻(设为 t＝0 时 5π 刻)在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，经过 ×10－ 3
7
发射，所有电子在平面内的轨迹半径相同，且交于 S 点，相当于绕 S 点旋转的动态圆，电子在每个动态圆上都逆时针旋转． (2)作一个过 S 点且半径等于电子轨迹半径的圆，将此圆绕 S 点旋转，此圆与 MN 相切时，切点为电子击中挡板的最高点，此圆的交点和 S 点的连线正好为圆的直径时，交点为电子击中挡板的最低点．
带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题和
课时一
多解问题
高考真题研读 G
精析考题明确考向
考点题型突破 K
考点探究题型突破
探究一题型 1
带电粒子在匀强磁场中的临界问题
直线边界磁场
直线边界磁场又分单边直线边界和双边平行直线边界．单边直线边界如图甲、乙、丙所示，粒子进出磁场具有对称性；双边平行直线边界如图丁、戊所示，题型概述粒子进出磁场存在临界条件．

赢在高考2018高中物理一轮复习 8.4 带电粒子在有界磁场中的临界、极值和多解问题课件新人教版选修3-1

要点一符合边界条件的粒子的速度或磁感应强度范围问题
【例 1】 (2014·浙江理综,25)离子推进器是太空飞行器常用的动力系统.某种推进器设计的简化原理如图 1 所示,截面半径为 R 的圆柱腔分为两个工
作区.Ⅰ为电离区,将氙气电离获得 1 价正离子;Ⅱ为加速区,长度为 L,两端加有电压,形成轴向的匀强电场.Ⅰ区产生的正离子以接近 0 的初速度进入Ⅱ
场区的位置.
解析:(1)粒子经电场加速度时:qU=12mv2
粒子进入磁场区后,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,则
qvB=m��2
所以轨道半径大小
r=��
=
1 ��
2��
由几何关系得,圆形磁场区半径大小 R=r·cot60°=31��
要点一要点二要点三要点四
解析:(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力, 根据牛顿第二定律有 qvB=m��2
解得 r=�� = 53m. (2)
因 r>R,故当粒子轨迹圆弧所对的弦长为圆形区域的直径时运动时间
(4)求符合某一边界条件的速度或磁感应强度的范围: 边界条件与轨迹半径的关系→速度或磁感应强度的范围.
考点1 考点2
考点 2 带电粒子在有界磁场中运动的多解问题
1.多解问题的成因当带电粒子在电磁场中做多过程运动、周期性运动、具有对称性的运
动时,由于多种因素的影响,使问题形成多解.其原因一般包含下述几个方面:
①最小磁场圆:已知粒子进、出磁场的两个点,以这两点的距离为直径
的圆为最小磁场圆.

全程复习构想2018高考物理一轮复习第九章磁场专题八带电粒子在有界磁场中的临界极值问题课件

方法二旋转圆法 mv 粒子速度大小不变，方向改变，则 r＝ qB 大小不变，但轨迹的圆心位置变化，相当于圆心在绕着入射点滚动(如图所示)．
例 2 (2015· 四川理综)(多选)如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂直于纸面，在纸面内的长度 L＝9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d＝4.55 cm，MN 与直线 SO 的夹角为 θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于－纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10 4T.电子质量 m＝－－ 9.1×10 31 kg，电荷量 e＝－1.6×10 19C，不计电子重力．电子 6 源发射速度 v＝1.6×10 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则( ) A．θ＝90° 时，l＝9.1 cm B．θ＝60° 时，l＝9.1 cm C．θ＝45° 时，l＝4.55 cm D．θ＝30° 时，l＝4.55 cm
3．(2016· 全国丙卷)平面 OM 和平面 ON 之间的夹角为 30° ，其横截面(纸面)如图所示，平面 OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q>0)．粒子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM 的某点向左上方射入磁场，速度与 OM 成 30° 角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM 上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O 的距离为( ) mv 3mv A.2qB B. qB 2mv 4mv C. qB D. qB
π [解析] 由于已知初速度与末速度的方向，可得偏向角 φ＝2. π 设粒子由 M 点进入磁场，由于 φ＝2β，可沿粒子偏转方向 β＝4来补弦 MN，如图所示．

2018届高考物理一轮复习第十章磁场第5讲：带电粒子在有界磁场中运动的临界问题(答案)

2018届高考物理一轮复习第十章磁场第5讲：带电粒子在有界磁场中运动的临界问题（参考答案）一、知识清单1．【答案】2．【答案】3．【答案】4．【答案】5．【答案】6．【答案】7．【答案】二、例题精讲8．【答案】AB【解析】若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r 21＝⎝⎛⎭⎫r 1－l 22＋l 2，又因r 1＝mv 1Bq ，解得v 1＝5Bql 4m；若粒子刚好打在极板左边缘时，有r 2＝l 4＝mv 2Bq ，解得v 2＝Bql 4m，故A 、B 正确．9．【答案】B10．【答案】BC【解析】AB 、粒子由P 点成30°角入射，则圆心在过P 点与速度方向垂直的方向上，如图所示，粒子在磁场中要想到达O 点，转过的圆心角肯定大于180°，而因磁场为有界，故粒子不可能通过坐标原点，故A 错误，B 正确；C 、由于P 点的位置不定，所以粒子在磁场中的运动圆弧对应的圆心角也不同，最大的圆心角时圆弧与y 轴相切时即300°，则运动的时间为而最小的圆心角为P 点从坐标原点出发，圆心角为120°，所以运动时间为，故粒子在磁场中运动所经历的时间为，故C 正确，D 错误故选：BC11．【答案】D12．【答案】BC 【解析】射入磁场的离子比荷相等，但质量不一定相等，故射入时初动能可能不等，又因为洛伦兹力对离子不做功，故这些离子从射入到射出动能不变，故飞出磁场时的动能可能不等，A 错误．离子在磁场中偏转的半径为r ＝mv qB，由于比荷和速度都相等，磁感应强度B 为定值，故所有离子的偏转半径都相等，B 正确．各离子在磁场中做圆周运动的周期T ＝2πm qB也相等，根据几何知识，在半径相同的圆内，较长的弦对应较大的圆心角，所以从Q 点射出的离子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C 正确．沿PQ 方向射入的离子不可能从Q 点射出，故偏转角不是最大，D 错误．13．【答案】BD【解析】边界上有粒子射出的范围是偏转圆直径为弦所对应的边界圆弧长，即偏转圆半径Bq mv R r ==22，得mBqR v 22=所以B 对，A 错；磁感应强度增加到原来的2倍，直径对应的弦长为R ，有粒子射出的边界圆弧对应的圆心角为60°，所以弧长之比为2∶3，D 对C 错。

2018年高考物理一轮复习专题带电粒子在磁场中的临界问题每日一题

带电粒子在磁场中的临界问题高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★★☆☆如图所示，在xOy平面内，有一以O为圆心、R为半径的半圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向里，磁感应强度大小为B。

位于O点的粒子源向第二象限内的各个方向连续发射大量同种带电粒子，粒子均不会从磁场的圆弧边界射出。

粒子的速率相等，质量为m、电荷量大小为q，粒子重力及粒子间的相互作用均不计。

（1）若粒子带负电，求粒子的速率应满足的条件及粒子在磁场中运动的最短时间；（2）若粒子带正电，求粒子在磁场中能够经过区域的最大面积。

【参考答案】（1（2【试题解析】（1由粒子在磁场中运动的轨迹可得，沿y轴正向射入磁场中的粒子在磁场中运动时间最短，（2）分析可得，粒子在磁场中能经过的区域为半圆，如图中阴影部分，有几何关系可得该半圆的半径：r面积：S r′2联立可得：S R2【名师点睛】本题考查带电粒子在磁场中的运动问题，解题的关键是要作出粒子的运动轨迹，确定圆周运动的圆心、半径和圆心角，结合半径公式、周期公式灵活求解。

【知识补给】带电粒子在磁场中运动的临界问题1．临界问题：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由于磁场边界的存在及速度大小和方向、磁感应强度的大小和方向的不确定性，往往引起粒子运动的临界问题。

2．粒子圆周运动的多解问题：（1）带电粒子的电性不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹。

（2）磁场方向不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹。

（3）临界状态不唯一形成多解，需要根据临界状态的不同，分别求解。

（4）圆周运动的周期性形成多解。

3.方法技巧总结：（1）利用极限思维法求解带电粒子在磁场中的临界问题：极限思维法是把某个物理量推向极端（即极大和极小）的位置，并以此作出科学的推理分析，从而做出判断或导出一般结论的一种思维方法。

分析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的临界问题时，通常以题目中的“恰好”“最高”“最长”“至少”等为突破口，将不确定的物理量推向极端（如极大、极小；最上、最下；最左、最右等），结合几何关系分析得出临界条件，列出相应方程求解结果。

高考物理一轮总复习高考必考题突破讲座8带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题突破训练

高考必考题突破讲座8 带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题1．如图所示，左右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，一个质量为m 、电荷量为q 的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场，欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( BC )A ．BqdmB ．＋2BqdmC ．－2BqdmD ．2Bqd2m解析：粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R ＝mv 0qB知，粒子的入射速度v 0越大，R 越大．当粒子的径迹和边界QQ ′相切时，粒子刚好不从QQ ′射出，此时其入射速度v 0应为最大．若粒子带正电，其运动轨迹如图甲所示(此时圆心为O 点)，容易看出R 1sin 45°＋d ＝R 1，将R 1＝mv 0qB代入得v 0＝＋2Bqdm，选项B 正确．若粒子带负电，其运动轨迹如图乙所示(此时圆心为O ′点)容易看出R 2cos 45°＋R 2＝d ，将R 2＝mv 0qB 代入得v 0＝2－2mBqd ，C 正确．2．(多选)(2016·四川卷)如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在纸面内的长度L ＝9.1 cm ，中点O 与S 间的距离d ＝4.55 cm ，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B ＝2.0×10－4T ．电子质量m ＝9.1×10－31kg ，电荷量e ＝－1.6×10－19C ，不计电子重力．电子源发射速度v ＝1.6×106m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l ，则( AD )A ．θ＝90°时，l ＝9.1 cmB ．θ＝60°时，l ＝9.1 cmC ．θ＝45°时，l ＝4.55 cmD ．θ＝30°时，l ＝4.55 cm解析：如图所示，根据“用滚圆法求解磁场中粒子源射出粒子打在屏上范围”的模型，图中圆O 1、O 2均为半径为R 的圆，圆O 1分别交MN 及其延长线于P 、C 两点，SC 为圆O 1的直径，圆O 2与MN 相切于Q 点，∠SQN ＝α.若屏的大小无限制，则电子应当打在图中C 、Q 之间，而由于MN 长度的限制，电子只能打在N 、Q 之间．据题意，R ＝mv|e |B＝4.55 cm ，可见SO ＝NO ＝OM ＝O 2Q ＝R ，由几何知识可得2R sin αsin α＝R sin θ，则sin α＝12sin θ，l ＝NQ ＝NP ＋PQ ＝R (1－cos θ)＋2R sin αcos α＝(1－cos θ＋2sin θ＋sin 2θR ，分别将θ＝90°、60°、45°、30°代入公式即可确定，A 、D 项正确，B、C 项错误．3．如图所示，△ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角形，比荷为e m的电子以速度v 0从A 点沿AB 边入射，欲使电子经过BC 边，磁感应强度B 的取值为( D )A ．B >2mv 0aeB ．B <2mv 0aeC ．B >3mv 0aeD ．B <3mv 0ae解析：由题意得，电子正好经过C 点，如图所示，此时圆周运动的半径R ＝a2cos 30°＝a3，要使电子从BC 边经过，电子做圆周运动的半径要大于a3，由带电粒子在磁场中运动的公式r ＝mv qB有a 3<mv 0eB，即B <3mv 0ae ，选D ．4．(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0后刚好从c 点射出磁场．现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( AC )A ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t 0，则它一定从cd 边射出磁场B ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t 0，则它一定从ad 边射出磁场C ．若该带电粒于在磁场中经历的时间是54t 0，则它一定从bc 边射出磁场D ．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t 0，则它一定从ab 边射出磁场解析：如图所示，作出刚好从ab 边射出的轨迹①、刚好从bc 边射出的轨迹②、从cd 边射出的轨迹③和刚好从ad 边射出的轨迹④.由从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0后刚好从c 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t 0.可知，从ad 边射出磁场经历的时间一定小于13t 0；从ab 边射出磁场经历的时间一定大于等于13t 0，小于56t 0；从bc 边射出磁场经历的时间一定大于等于56t 0，小于43t 0；从cd 边射出磁场经历的时间一定是53t 0.5．(2016·四川宜宾质检)如图所示，在0≤x ≤a 、0≤y ≤a2范围内有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，坐标原点O 处有一个粒子源．在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：(1)速度的大小：(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦值.解析：设粒子的发射速度为v ，粒子做圆周运动的轨道半径为R ，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB ＝m v 2R解得R ＝mv qB ，当a2<R <a 时，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应圆心角最大，其轨迹是圆心为C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示．设粒子在磁场中运动的时间为t ，依题意．t ＝T 4，∠OCA ＝π2设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为α，由几何关系可得R sin α＝R －a2R sin α＝a －R cos α又sin 2α＋cos 2α＝1 解得R ＝(2－62)a ，v ＝(2－62)aqB m ，sin α＝6－610. 答案：(1)(2－62)aqB m (2)6－610。

高考物理磁场精讲精练带电粒子在磁场中运动的临界极值问题

带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题临界状态是指物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动状态(或物理现象)的转折状态，它既具有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状态(或物理现象)的特点，起着承前启后的转折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．1．临界问题的分析思路临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．临界问题的一般解题模式：(1)找出临界状态及临界条件；(2)总结临界点的规律；(3)解出临界量；(4)分析临界量列出公式．2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．例题1．平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为( )A.mv2qBB．3mvqBC.2mvqBD.4mvqB解析：选D.如图所示，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝mvqB.设入射点为A，出射点为B，圆弧与ON的交点为P.由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB＝R.由几何图形知，AP＝3R，则AO＝3AP＝3R，所以OB＝4R＝4mvqB.故选项D正确．例题2．(多选)如图所示，M 、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的任意值．静止的带电粒子带电荷量为＋q ，质量为m(不计重力)，从点P 经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与N 板的夹角为θ＝30°，孔Q 到板的下端C 的距离为L ，当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，则( )A ．两板间电压的最大值U m ＝q 2B 2L 22m B ．CD 板上可能被粒子打中区域的长度x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33L C ．粒子在磁场中运动的最长时间t m ＝πm qBD ．能打在N 板上的粒子的最大动能为q 2B 2L 218m解析：选BCD.M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以其轨迹圆心在C 点，CH＝QC ＝L ，故半径R 1＝L ，又因Bqv 1＝m v 21R 1，qU m ＝12mv 21，可得U m ＝qB 2L 22m ，所以A 错误．设轨迹与CD 板相切于K 点，半径为R 2，在△AKC 中sin 30°＝R 2L －R 2＝12，可得R 2＝L 3，CK 长为3R 2＝33L ，则CD 板上可能被粒子打中的区域即为HK 的长度，x ＝HK ＝L －CK ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33L ，故B 正确．打在QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长，周期T ＝2πm qB ，所以t m ＝πm qB，C 正确．能打到N 板上的粒子的临界条件是轨迹与CD 相切，由B 选项知，r m ＝R 2＝L 3，可得v m ＝BqL 3m ，动能E km ＝q 2B 2L 218m，故D 正确．例题3．如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，其边界AB 、CD 相距为d ，在左边界的Q 点处有一质量为m 、带电量为q 的负粒子沿与左边界成30°的方向射入磁场，粒子重力不计．求：(1)带电粒子能从AB 边界飞出的最大速度；(2)若带电粒子能垂直CD 边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压U 应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？(3)若带电粒子的速度是(2)中的3倍，并可以从Q 点沿纸面各个方向射入磁场，则粒子能打到CD 边界的距离大小？解析：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R 1，运动速度为v 0.粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几何条件知R 1＋R 1cos 30°＝d又qv 0B ＝mv 20R 1解得v 0＝Bqd m(1＋cos 30°)＝2(2－3)Bqd m 所以粒子能从左边界射出时的最大速度为v m ＝v 0＝2(2－3)Bqd m(2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图乙所示．由几何关系知R 2＝d cos 30°由洛伦兹力提供向心力得Bqv 2＝m v 22R 2由动能定理得－qU ＝0－12mv 22 解得U ＝B 2qd 22mcos 2 30°＝2B 2qd 23m所加电压满足的条件U ≥2B 2qd 23m.粒子转过的圆心角为60°，所用时间为T 6，而T ＝2πm Bq因返回通过磁场所用时间相同，所以总时间t ＝2×T 6＝2πm 3Bq(3)当粒子速度是(2)中的3倍时，解得R 3＝2d由几何关系可得粒子能打到CD 边界的范围如图丙所示．粒子打到CD 边界的距离l ＝2×2dcos 30°＝23d答案：(1)2(2－3)Bqdm (2)U ≥2B 2qd23m 2πm3Bq (3)23d高考理综物理模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

高考物理一轮总复习名师专题讲座8课件

[尝试解答] 用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如图所示，当其运动轨迹与界线 NN′边相切于 P 点时，这时粒子具有最大入射速率 vmax.
由图可知 R(1－cos45°)＝d，
又 Bqvmax＝mvR2max，
联立可得：vmax＝2＋
2Bqd m.
[答案]
2＋ 2Bqd m
[跟踪训练] 1.如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内，O 点是 cd 边的中点．一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0 刚好从 c 点射出磁场．现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，粒子重力不计．下列说法中正确的是( )
[答案] C
2．(2015·浙江六校联考)如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场，其边界 AB、CD 相距为 d，在左边界的 Q 点处有一质量为 m、带电量为 q 的负粒子沿与左边界成 30°的方向射入磁场，粒子重力不计．求：
(1)带电粒子能从 AB 边界飞出的最大速度； (2)若带电粒子能垂直 CD 边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压 U 应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？ (3)若带电粒子的速度是(2)中的 3倍，并可以从 Q 点沿纸面各个方面射入磁场，则粒子能打到 CD 边界的距离大小？
(2)轨迹圆圆心共圆粒子速度大小不变，方向改变，则 r＝mqBv大小不变，但轨迹的圆心位置变化，相当于圆心在绕着入射点滚动．(如图所示)
2．方法界定以入射点 P 点为固定点，作为轨迹圆的圆心，滚动轨迹圆分析和边界的相交位置确定临界位置，这种方法称为“滚动圆法”．

2025年高三一轮复习物理课件专项突破8带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题

2
20
2
洛伦兹力提供向心力有 qvB=m ,R= 3 ,解得 v=3v0,A 项正确,B 项错误;根据磁发散模
型可知,所有粒子的出射方向均平行,C 项正确;画出不同粒子的运动轨迹(图略),可知不
同粒子的速度的偏转角不同,D 项错误。
19
专项突破8
带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题
(2024 届辽宁模拟)(多选)如图所示,在以 O 为圆心、AC 为直径的圆形区域内存在
π
A.磁感应强度大小为

3
B.粒子运动的轨迹半径为 l
7
C.粒子射入磁场的速度大小为
3π
7
6 3+3π 2
D.粒子在磁场中扫过的面积为
l
49
专项突破8
解析
带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,垂直 BC 边射出的粒子在磁场中运动
1
π
π
的时间 t=4T=2 ,解得 B=2 ,A 项错误;设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所
20
转 90°射出磁场,已知圆形磁场区域半径为 3 , 不计粒子重力。下列说法正确的是
( AC )。
2
A.v= v0
3
3
B.v= v0
2
C.所有粒子出射方向平行
D.所有粒子偏转角度相同
18
专项突破8
解析
带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题
沿半径射入的粒子偏转 90°射出磁场,说明轨迹半径 r 等于磁场半径 R,则由
∠1 S2
得∠O1SO2=2β=106°,则撞在感光板 ab 上的粒子数占发射的总粒子数的比例 n=
项正确;如图乙所示,由几何关系可得感光板 ab 上

高考物理一轮复习培优计划高考必考题突破讲座(9)带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题突破训练

高考必考题突破讲座(九) 带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题1如图所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场．一束质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心O 射入匀强磁场，又都从该磁场中射出．这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短．若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，则在磁场中运动的带电粒子( D )A ．速率越大的运动时间越长B ．运动时间越长的周期越大C ．速率越小的速度方向变化的角度越小D ．运动时间越长的半径越小2．如图所示，半径为R 的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q 、质量为m 的负离子沿平行于直径ab 的方向射入磁场区域，射入点与ab 的距离为R2.已知离子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则离子的速率为(不计重力)( D )A ．qBR 2mB ．qBR m C ．3qBR 2mD ．2qBR m解析设带负电离子在匀强磁场中运动轨迹的半径为r ，速率为v .根据题述，带负电离子射出磁场与射入磁场时速度方向之间的夹角为60°，可知带电离子运动轨迹所对的圆心角为60°，r sin30°＝R .如图所示．由qvB ＝m v 2r ，解得v ＝2qBRm，选项D 正确．3．如图所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S .某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向以某一速率发射出大量比荷为q m的同种正电粒子，经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场，已知磁场的磁感应强度大小为B ，∠AOC ＝60°，O 、S 两点间的距离为L ，从OC 边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间t ＝2πm 3qB ，忽略重力的影响和粒子间的相互作用，则粒子的速率为( A )A ．qBL 2mB ．qBL mC ．3qBL2mD ．3qBLm解析由于粒子速率一定，带电粒子在磁场中运动时间最短时，轨迹所对应弦长最短，即弦长d ＝L sin60°＝32L ，由最短时间t ＝2πm 3qB知粒子运动轨迹所对应圆心角为120°，由几何关系知R sin60°＝12d ，由洛伦兹力提供向心力，得qvB ＝m v 2R ，解得v ＝qBL2m ，选项A 正确．4．空间有一圆柱形匀强磁场区域，O 为圆心，磁场方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从A 点沿图示箭头方向以速率v 射入磁场，θ＝30°，粒子在纸面内运动，经过时间t 离开磁场时速度方向与半径OA 垂直．不计粒子重力．若粒子速率变为v2，其他条件不变，粒子在圆柱形磁场中运动的时间为( C )A ．t2 B ．t C ．3t 2D ．2t解析粒子以速度v 进入磁场时，根据几何关系，四边形AOBO ′为菱形，O 、O ′分别在两圆的圆周上，如图所示．粒子在磁场中运动的圆心角为∠AO ′B ＝2π3；粒子以速度v2进入磁场时，根据几何关系，粒子在磁场中运动的圆心角为π，两次粒子做圆周运动的周期相同，运动时间之比就等于圆心角之比，所以第二次粒子在磁场运动时间为32t .故选项C 正确．5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上(与纸面平行)，磁场方向垂且于纸面向里．三个带正电的微粒a 、b 、c 电荷量相等，质量分别为m a 、m b 、m c .已知在该区域内，a 在纸面内做匀速圆周运动，b 在纸面内向右做匀速直线运动，c 在纸面内向左做匀速直线运动．下列选项正确的是( B )A ．m a >m b >m cB ．m b >m a >m cC ．m c >m a >m bD ．m c >m b >m a解析该空间区域为匀强电场、匀强磁场和重力场的叠加场，a 在纸面内做匀速圆周运动，可知其重力与所受到的电场力平衡，洛伦兹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有m a g ＝qE ，解得m a ＝qEg.b 在纸面内向右做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向上，可知m b g ＝qE ＋qv b B ，解得m b ＝qE g ＋qv b Bg.c 在纸面内向左做匀速直线运动，由左手定则可判断出其所受洛伦兹力方向竖直向下，可知m c g ＋qv c B ＝qE ，解得m c ＝qE g －qv c Bg.综上所述，可知m b >m a >m c ，选项B 正确．6．(2017·全国卷Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点．大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场．若粒子射入速率为v 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v 2：v 1为( C )A ．3∶2B ．2∶1C ．3∶1D ．3∶ 2解析由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB＝m v 2R 可知，R ＝mvqB，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同．若粒子运动的速度大小为v 1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点A 离P 点最远时，则AP ＝2R 1；同样，若粒子运动的速度大小为v 2，粒子的磁场出射点B 离P 点最远时，则BP ＝2R 2，由几何关系可知，R 1＝R 2，R 2＝R cos 30°＝32R ，则v 2v 1＝R 2R 1＝3，故选项C 正确．7．如图所示，在0≤x ≤a 、0≤y ≤a2范围内有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，坐标原点O 处有一个粒子源．在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时：(1)速度的大小；(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦值.解析设粒子的发射速度为v ，粒子做圆周运动的轨道半径为R ，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB ＝m v 2R．解得R ＝mv qB ，当a2<R <a 时，在磁场中运动时间最长的粒子，其对应圆心角最大，其轨迹是圆心为C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示．设粒子在磁场中运动的时间为t ，依题意．t ＝T 4，∠OCA ＝π2，设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为α，由几何关系可得R sin α＝R －a2，R sin α＝a －R cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得R ＝(2－62)a ，v ＝(2－62)aqB m ，sin α＝6－610．答案 (1)(2－62)aqB m (2)6－610。