高中数学：第2章统计章末质量检测卷(二)

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北师版数学高二-试卷第二章章末质量评估

章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题5分，共50分)1.参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ·cos θ (θ为参数)表示的曲线为( )解析 x 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋2y ， ∴y ＝12x 2－12，且x ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈，故选C.答案 C2.椭圆⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝( )A.πB.π2C.2πD.32π解析 ∵点(－a ，0)中x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ， ∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 答案A3.若双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tan θ，y ＝1＋2cos θ(θ为参数)，则它的渐近线方程为( )A.y －1＝±12(x ＋2)B.y ＝±12x C.y －1＝±2(x ＋2) D.y ＝±2x解析把参数方程化为普通方程为（y －1）24－(x ＋2)2＝1，∴a ＝2，b ＝1，焦点在y 轴上，渐近线的斜率±ab ＝±2，中心坐标为(－2，1)，∴渐近线方程为y －1＝±2(x ＋2). 答案 C4.若P (2，－1)为圆⎩⎨⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝5 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0解析 ∵由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ，消去θ得(x －1)2＋y 2＝25∴圆心C (1，0)，∴k CP ＝－1，∴弦所在的直线的斜率为1 ∴弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x －2)，即x －y －3＝0. 答案 A5.下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析注意参数范围，可利用排除法.普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C. 答案 D6.直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心解析把圆的参数方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝4，得到半径为2，圆心为(0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系. 答案 D7.方程⎩⎨⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t－e－t (t 为参数)的图形是( ) A.双曲线左支 B.双曲线右支 C.双曲线上支D.双曲线下支解析 ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4. 且x ＝e t ＋e －t ≥2, e t ·e －t ＝2.∴表示双曲线的右支.答案 B8.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tan θ，y ＝1＋2cos θ (θ为参数)的渐近线方程为( ) A.y －1＝±12(x ＋2) B.y ＝±12x C.y －1＝±2(x ＋2)D.y ＋1＝±2(x －2)解析根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程，得（y －1）24－(x ＋2)2＝1，可知这是中心在(－2，1)的双曲线，利用平移知识，结合双曲线的渐近线的概念即可. 答案 C9.设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎨⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ (φ是参数)的位置关系是( ) A.相交 B.相切C.相离D.视r 的大小而定解析根据已知圆的圆心在原点，半径是r ，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝r ，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切.答案 B10.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A.π B.2π C.12πD.14π解析根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z ).而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )，根据选项可知选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共30分)11.已知圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ） (φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为________. 解析把已知点(3，0)代入参数方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧3＝r （cos φ＋φsin φ），0＝r （sin φ－φcos φ）.①②①×cos φ＋②×sin φ得r ＝3，所以，基圆的面积为9 π. 答案 9π12.对任意实数k ，直线y ＝kx ＋b 与椭圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝1＋4sin θ(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________.解析椭圆的普通方程是（x －3）24＋（y －1）216＝1.令x ＝0，得y ＝－1或3，直线y ＝kx ＋b 对任意的实数k ，恒过点(0，b ).要使直线与椭圆恒有公共点，根据图像得b ∈. 答案13.曲线⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标为________.解析将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1). 答案 (0，1)14.已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ，则C 上各点到l 的距离的最小值为________.解析圆方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4， ∴d ＝|1－1＋4|12＋（－1）2＝22，∴距离最小值为22－2. 答案 22－215.在圆的摆线上有点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝π4对应点的坐标为________.解析首先根据摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ） (φ为参数)，把点(π，0)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧π＝r （φ－sin φ），0＝r （1－cos φ）⇒cos φ＝1，则sin φ＝0，φ＝2k π (k ∈Z )，所以，r ＝π2k π＝12k (k ∈N ＋).∴x ＝12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－22＝π－228k ，y ＝12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22＝2－24k .答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－228k ，2－24k16.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________.解析由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，其普通方程为x 2＋y 2＝2y ，ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，点(－1，1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4三、解答题(每小题10分，共40分)17.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.18.如图所示，连接原点O 和抛物线y ＝2x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹. 解因为抛物线标准方程为x 2＝12y ，所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝12t2(t 为参数)，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 22.设P (x ，y )，则M 是OP 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧12t ＝0＋x 2，12t 2＝0＋y 2，即⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，消去参数t ，得y ＝x 2.所以，点P 的轨迹方程为y ＝x 2，它是以y 轴为对称轴，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14的抛物线. 19.A 为椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，B 为圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，求|AB |的最大值和最小值.解化椭圆普通方程为参数方程⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)，圆心坐标为C (1，0)，再根据平面内两点之间的距离公式可得|AC |＝（5cos θ－1）2＋9sin 2θ ＝16cos 2θ－10cos θ＋10＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－5162＋13516，所以，当cos θ＝516时，|AC |取最小值为3154；当cos θ＝－1时，|AC |取最大值为6.所以，当cos θ＝516时，|AB |取最小值为3154－1；当cos θ＝－1时，|AB |取最大值为6＋1＝7.20.设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数).(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率.(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围.解 (1)由已知得直线l 经过的定点是P (3，4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2，由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k |k 2＋1<2，由此解得k >2120.直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.。

高中数学第二章统计章末评估验收新人教必修3

章末评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列数字特征一定是数据组中数据的是( )A．众数B．中位数C．标准差D．平均数解析：众数一定是数据组中数据．答案：A2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是( )A．长方体的体积与边长B．大气压强与水的沸点C．人们着装越鲜艳，经济越景气D．球的半径与表面积解析：A、B、D均为函数关系，C是相关关系．答案：C3．(2014·四川卷)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本解析：调查的目的是“了解某地5 000名居民某天的阅读时间”，所以“5 000名居民的阅读时间的全体”是调查的总体．答案：A4.(2015·陕西卷)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A．93 B．123C．137 D．167解析：初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137.答案：C5．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果人口最多的一个区抽出60人，那么这个样本的容量等于( )A ．96B ．120C ．180D ．240解析：由题意3个区人口数之比为2∶3∶5，得第三个区所抽取的人口数最多，所占比例为50%.又因为此区抽取60人，所以三个区所抽取的总人口数为60÷50%＝120，即这个样本的容量等于120.答案：B6．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图(单位：分)，其中甲班学生成绩的众数是85分，乙班学生成绩的中位数是83分，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：由茎叶图及甲班学生成绩的众数是85分，可知x ＝5，而乙班学生成绩的中位数是83分，所以y ＝3，所以x ＋y ＝5＋3＝8.答案：B7．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y ^＝bx ＋a 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值解析：依题意，注意到题中的相关的点均集中在某条直线的附近，且该直线的斜率小于1，结合各选项知，故选B.答案：B8．如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，则在区间[98，100)上的频数为( )A ．0.100B ．0.200C ．20D ．10解析：区间[98，100)上小矩形的面积为0.100×2＝0.200，所以区间[98，100)上的频数为100×0.200＝20.答案：C9.甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x －甲、x －乙表示，则下列结论正确的是( )第9题图A.x －甲>x －乙，且甲比乙成绩稳定 B.x －甲>x －乙，且乙比甲成绩稳定 C.x －甲<x －乙，且甲比乙成绩稳定 D.x －甲<x －乙，且乙比甲成绩稳定解析：x －甲＝90，x －乙＝88，所以x －甲>x －乙，甲的成绩的方差是15×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，乙的成绩的方差是15×(25＋0＋1＋1＋9)＝7.2，故甲成绩稳定．答案：A10．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25解析：由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1，所以x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32.答案：A11．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设这10个数为a 1，a 2，…，a 10，则有a 21＋a 22＋…＋a 210＝200，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝40，则这10个数的方差为（a 1－4）2＋（a 2－4）2＋…＋（a 10－4）210＝a 21＋a 22＋…＋a 210－8（a 1＋a 2＋…＋a 10）＋16010＝200－8×40＋16010＝4.所以标准方差为4＝2. 答案：B12．(2014·陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002C.x －，s 2D.x －＋100，s 2解析：x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x －＋100，方差不变，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________．解析：由题意知，1245＋15＝30120＋a ，解得a ＝30.答案：3014．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a ＝________，b ＝________．解析：由于总体的中位数为10.5，则a ＋b ＝21，所以该组数据平均值为x －＝10，又方差s 2＝（a －10）2＋（b －10）2＋k10，其中k 为常数，所以要使该总体的方差最小，可以取a ＝10.5，b ＝10.5. 答案：10.5 10.515．关于统计数据的分析，有以下几个结论： ①一组数不可能有两个众数；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；④一组数据的方差一定是正数．结论错误的是________．解析：一组数中可以有两个众数，故①错误；根据方差的计算法可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零．答案：①③④16．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：( )根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元．解析：由题表可知，x －＝4.5，y －＝35，代入回归方程y ^＝7x ＋a ^，得a ^＝3.5，所以回归方程为y ^＝7x ＋3.5，所以当x ＝10时，y ^＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．答案：73.5三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)有以下三个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；案例三：从某校1 000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？解：(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层抽样，案例三用系统抽样．(2)抽样过程如下：①分层，将总体分为高级职称，中级职称、初级职称及其余人员四层；②确定抽样比例k ＝40800＝120；③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人； ④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本．18．(本小题满分12分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A 、B 两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm 的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm)．数据平均数方差完全符合要求的个数A 20 0.0262 B20s 2B5(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些； (2)计算出s 2B 的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．解：(1)因为A 、B 两位同学成绩的平均数相同，B 同学加工的零件中完全符合要求的个数较多，由此认为B 同学的成绩好些．(2)因为s 2B ＝110×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，且s 2A ＝0.026，所以s 2A >s 2B 在平均数相同的情况下，B 同学的波动小，所以B 同学的成绩好些．(3)从题干图中折线走势可知，尽管A 同学的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A 同学的潜力大，而B 同学比较稳定，潜力小，所以选派A 同学去参赛较合适．19．(本小题满分12分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示.天数 1 1 1 2 2 1 2 用水量/吨22384041445095(1)(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？解：(1)x －＝110(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．(2)中位数为41＋442＝42.5(吨)．(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．20．(本小题满分12分)(2015·广东卷)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，所以从月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．21．(本小题满分12分)某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表所示：商店名称 ABCDE销售额x /千万元 3 5 6 7 9 利润额y /百万元23345(1)(2)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程；(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．解：(1)散点图如图所示，两个变量有线性相关关系．(2)设回归直线方程是y ^＝b ^x ＋a ^.由题中的数据可知y －＝3.4，x －＝6.所以＝1020 ＝0.5. a ^＝y －－b ^x －＝3.4－0.5×6＝0.4.所以利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为 y ^＝0.5x ＋0.4.(3)由(2)知，当x ＝4时，y ^＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为4千万元时，可以估计该商场的利润额为2.4百万元．22．(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．第22题图(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．分数段[50，60) [60，70) [70，80) [80，90) x ∶y1∶12∶13∶44∶5(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0．02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×12＝20；30×43＝40；20×54＝25.故数学成绩在[50，90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.。

2024_2025学年高中数学第二章统计章末复习检测卷课时作业含解析新人教A版必修3

章末复习检测卷(二) 统计(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是() A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：答案：2．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(元)与居民人均消费水平y(元)统计调查，y与x具有相关关系，线性回来方程为y＝0.66x＋1562，若某城市居民人均消费水平为7675元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为()A．83% B．72%C．67% D．66%解析：将y＝7675代入回来方程，可计算得x≈9262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7675÷9262≈0.83，即约为83%.答案： A3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论：①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等．③这组数据的中位数与平均数的数值相等．④这组数据的平均数与众数的数值相等．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案： A4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回来方程可能是( ) A ．y ＝－10x ＋200 B ．y ＝10x ＋200 C ．y ＝－10x －200D ．y ＝10x －200解析： ∵商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关， ∴b <0，解除B ，D.又∵x ＝0时，y >0，∴故选A. 答案： A5．“互联网＋”时代，全民阅读的内涵已然多元化，提倡读书成为一种生活方式．某校为了解中学学生的阅读状况，从该校1 600名高一学生中，采纳分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行调查．若抽到的男生比女生多10人，则该校高一男生共有( )A ．760人B ．840人C ．860人D ．940人解析：本题考查分层抽样．设所抽取的男生、女生分别有x 人、y 人，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝200，x －y ＝10解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝105，y ＝95所以该校高一男生共有105200×1 600＝840(人)，故选B.答案： B6．(2024·山东日照一中期中考试)对某商店四月内每天的顾客人数进行统计，所得数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53解析：由茎叶图，可知中位数为45＋472＝46，众数为45，极差为68－12＝56.答案： A7．为探讨某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，全部志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的依次分别编号为第一组，其次组，…，第五组．如图是依据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析：由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x50＝0.36，解得x ＝12.答案： C8．假如在一次试验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，则y 与x 之间的回来直线方程是( )A ．y ＝x ＋1.9B ．y ＝1.04x ＋1.9C ．y ＝0.95x ＋1.04D ．y ＝1.05x －0.9解析： x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14(3＋3.8＋5.2＋6)＝4.5.因为回来方程过点(x ，y )，代入验证知，应选B.答案： B9．若样本数据x 1，x 2，…，x 2 018的标准差为3，则数据4x 1－1,4x 2－1，…，4x 2 018－1的方差为( )A ．11B ．12C ．143D ．144解析：本题考查数据方差的求解．因为样本数据x 1，x 2，…，x 2 018的标准差为3，所以方差为9，所以数据4x 1－1,4x 2－1，…，4x 2 018－1的方差为42×9＝144，故选D.答案： D10．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经验的人数，所得数据的茎叶图如下图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )解析：借助已知茎叶图得出各小组的频数，再由频率＝频数样本容量求出各小组的频率，进一步求出频率组距并得出答案．法一：由题意知样本容量为20，组距为5. 列表如下：分组频数频率频率组距 [0,5) 1 120 0.01 [5,10) 1 120 0.01 [10,15) 4 15 0.04 [15,20) 2 110 0.02 [20,25) 4 15 0.04 [25,30) 3 320 0.03 [30,35)33200.03[35,40] 2 110 0.02 合计201视察各选择项的频率分布直方图知选A.法二：由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等，故频率、频率组距也分别相等．比较四个选项知A 正确，故选A.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．有A ，B ，C 三种零件，分别为a 个、300个、200个，采纳分层抽样法抽取一个容量为45的样本，A 种零件被抽取20个，则a ＝________.解析：依据题意得45a ＋300＋200＝20a ，解得a ＝400.答案： 40012．如图是依据某中学为地震灾区捐款的状况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款________元．解析：由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人，由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、 10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．答案： 37 77013．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影竞赛，9位评委为某参赛作品给出的分数的茎叶图如图，记分员去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发觉有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应当是________．解析：平均分为91分，∴总分应为637分．由于须要去掉一个最高分和一个最低分，故须要分类探讨：①若x ≤4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋90＋x ＝637，∴x ＝1；②若x >4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋94＝640≠637，不符合题意．故填1. 答案： 114．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析：平均命中率y ＝15×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，而x ＝3，∑i ＝15x i y i ＝7.6，∑i ＝15x2i ＝55，由公式得b ∧＝0.01，a ∧＝y －b ∧x ＝0.5－0.01×3＝0.47，∴y ∧＝0.01x ＋0.47.令x ＝6，得y∧＝0.53.答案： 0.5 0.53三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知一组数据按从小到大的依次排列为－1,0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x ，方差为s 2，由题意得 x ＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 16．(本小题满分12分)为了让学生了解更多有关“一带一路”的信息，某中学实行了一次“丝绸之路学问竞赛”，共有800名学生参与了这次竞赛．为了解本次竞赛成果状况，从中抽取了部分学生的成果(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你依据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：分组频数频率60.5～70.50.1670.5～80.51080.5～90.5180.3690.5～100.5合计(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将全部学生的成果随机地编号为000,001,002，…，799，试写出其次组第一名学生成果的编号；(2)填充频率分布表中的空格(将答案干脆填在表格内)，并作出频率分布直方图；(3)若成果在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约有多少名？解析：(1)依据系统抽样法则，要从总体中抽取50个样本，需将总体分为50组，则每组的学生数为800÷50＝16，故其次组第一名学生成果的编号为016.(2)频率分布表如下表所示，频率分布直方图如图所示．分组频数频率60.5～70.580.1670.5～80.5100.2080.5～90.5180.3690.5～100.5140.28合计50 1(3)在被抽到的学生成果中在85.5～95.5分的个数是9＋7＝16，占样本的比例是1650＝0.32，即获得二等奖的概率约为32%，所以获得二等奖的学生约有800×32%＝256(名)．17．(本小题满分12分)为了让学生了解环保学问，增加环保意识，某中学实行了一次环保学问竞赛，共有900名学生参与了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成果状况，从中抽取了部分学生的成果(得分为正整数，满分为100分)进行统计．请你依据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图(下图)，解答下列问题：组号分组频数频率 1 [50,60) 4 0.08 2 [60,70) 8 0.16 3 [70,80) 10 0.20 4 [80,90) 16 0.32 5 [90,100]合计(1)填充频率分布表中的空格；(2)不详细计算频率组距，补全频率分布直方图；(3)估计这900名学生竞赛的平均成果(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解析： (1)40.08＝50，即样本容量为50.第5组的频数为50－4－8－10－16＝12，从而第5组的频率为1250＝0.24.又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12,0.24,50,1.(2)依据小长方形的高与频数成正比，设第一个小长方形的高为h 1，其次个小长方形的高为h 2，第五个小长方形的高为h 5.由等量关系得h 1h 2＝12，h 1h 5＝13，补全的频率分布直方图如图所示．(3)50名学生竞赛的平均成果为x ＝4×55＋8×65＋10×75＋16×85＋12×9550＝79.8≈80(分)．利用样本估计总体的思想可得这900名学生竞赛的平均成果约为80分．18．(本小题满分14分)某部门为了了解用电量y (单位：千瓦时)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，因某天统计的用电量数据丢失，用t 表示，如下表：(1)(2)若用电量与气温之间具有较好的线性相关关系，回来直线方程为y ∧＝－2x ＋b ∧，且预料气温为－4 ℃时，用电量为2t 千瓦时．求t ，b 的值．解析： (1)x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，s ＝14[(18－10)2＋(13－10)2＋(10－10)2＋(－1－10)2]＝1942. (2)y ＝14(24＋t ＋38＋64)＝t ＋1264，∴t ＋1264＝－2×10＋b ，即4b －t ＝206.①又2t ＝－2×(－4)＋b ，即2t －b ＝8.② 由①②得，t ＝34，b ＝60.。

高中数学第二章单元质量测评(二)(含解析)新人教A版选修2_2

第二章单元质量测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f (x )，如果f ′(x 0)＝0，那么x ＝x 0是函数f (x )的极值点．因为f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．以上推理中( )A ．小前提错误B ．大前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确答案 B解析可导函数f (x )，若f ′(x 0)＝0且x 0两侧导数值异号，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，故选B.2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n－n －4＝2B.n ＋1n ＋－4＋n ＋＋5n ＋－4＝2 C.nn －4＋n ＋4n ＋－4＝2 D.n ＋1n ＋－4＋n ＋5n ＋－4＝2 答案 A解析观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A ．■ B．△ C ．□ D．○ 答案 A解析由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A 正确．4．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 答案 D解析该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.故选D.5．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋2C.n n ＋2D.n n ＋2f (1)答案 C解析 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1，得f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1) ⋮f (n )＝nf (1)，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1)＝n n ＋2f (1)．所以A ，D 正确．又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋2，所以B 也正确．故选C.6．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和S n 与其组的编号数n 的关系是( )A ．S n ＝n 2B ．S n ＝n 3C ．S n ＝n 4D ．S n ＝n (n ＋1) 答案 B解析 ∵当n ＝1时，S 1＝1，当n ＝2时，S 2＝8＝23；当n ＝3时，S 3＝27＝33， ∴归纳猜想S n ＝n 3.故选B.7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，图2中的1,4,9,16，…，这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378 答案 C解析由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，正方形数构成的数列通项b n＝n 2，则由b n ＝n 2(n ∈N *)可排除D.又由a n ＝n2(n ＋1)，当a n ＝289时，即验证是否存在n ∈N *，使得n (n ＋1)＝578，经计算n 不存在；同理，依次验证，有1225×2＝49×50，且352＝1225，故选C.8．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) 答案 D解析由已知式子观察可得：原函数为偶函数，则它的导函数为奇函数，定义在R 上的f (x )满足f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数，∴g (x )＝f ′(x )为奇函数，∴g (－x )＋g (x )＝0，故选D.9．在等差数列{a n }中，若a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4a 6＞a 3a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，公比q ＞1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8＞b 5＋b 7B ．b 4＋b 8＜b 5＋b 7C ．b 4＋b 7＞b 5＋b 8D ．b 4＋b 7＜b 5＋b 8 答案 A解析 b 5＋b 7－b 4－b 8＝b 4(q ＋q 3－1－q 4) ＝b 4(q －1)(1－q 3)＝－b 4(q －1)2(1＋q ＋q 2) ＝－b 4(q －1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋122＋34. ∵b n ＞0，q ＞1，∴－b 4(q －1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋122＋34＜0， ∴b 4＋b 8＞b 5＋b 7.10．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0答案 D解析解法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.11．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14 D ．不存在这样的a ，b ，c答案 A解析令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝7，a －b ＋c ＝34，所以a ＝12，b ＝c ＝14.12．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x ，满足f (－x )＝－f (x )，称f (x )为“局部奇函数”，若f (x )＝4x －m 2x ＋1＋m 2－3为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是( )A ．1－3≤m ≤1＋ 3B ．1－3≤m ≤2 2C ．－22≤m ≤2 2D ．－22≤m ≤1－ 3答案 B解析根据“局部奇函数”的定义可知，f (－x )＝－f (x )有解．即f (－x )＝4－x－m ·2－x ＋1＋m 2－3＝－(4x －m ·2x ＋1＋m 2－3)，∴4x＋4－x－2m (2x ＋2－x)＋2m 2－6＝0，∴(2x ＋2－x )2－2m (2x ＋2－x)＋2m 2－8＝0有解，设t ＝2x＋2－x，则t ≥2，∴t 2－2mt ＋2m 2－8＝0在t ≥2时有解，设g (t )＝t 2－2mt ＋2m 2－8.(1)当m ≥2时，Δ＝4m 2－4(2m 2－8)≥0，∴m 2≤8，∴2≤m ≤2 2.(2)当m <2时，⎩⎪⎨⎪⎧g，Δ≥0，即⎩⎨⎧1－3≤m ≤1＋3，－22≤m ≤22，∴1－3≤m <2. 综上，1－3≤m ≤2 2.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．答案 x ，y 均不大于1(或者x ≤1且y ≤1)解析 “至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x ，y 均不大于1”，亦即“x ≤1且y ≤1”．14．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．答案经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1解析圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.15．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．答案a 38解析由平面图形与空间图形类比易知两个正方体重叠部分的体积为a 38.16．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是__________．答案 {a |a ≤－2或a ≥－1}解析假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a －2－4a 2<0，Δ2＝a2－－2a，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得{a |－2<a <－1}，所以其补集{a |a ≤－2或a ≥－1}即为所求的a 的取值范围．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－aca＜ 3.证明 ∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a ＞0，c ＜0.要证明原不等式成立，只需证明b 2－ac ＜3a ，即证b 2－ac ＜3a 2，从而只需证明(a ＋c )2－ac ＜3a 2，即(a －c )(2a ＋c )＞0，因为a －c ＞0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b ＞0，所以(a －c )(2a ＋c )＞0成立，故原不等式成立．18．(本小题满分12分)已知实数x ，且有a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证：a ，b ，c 中至少有一个不小于1.证明假设a ，b ，c 都小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1，则a ＋b ＋c ＜3.∵a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3，且x 为实数，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3，即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c ＜3矛盾． ∴假设不成立，原命题成立． ∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证明设x 1，x 2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－ax 2－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x 1－2x 1＋1－x 2－2x 2＋1＝ax 1－ax 2＋x1－x 2x 1＋x 2＋，∵a ＞1，且x 1＜x 2， ∴ax 1＜ax 2，x 1－x 2＜0. 又∵x 1＞－1，x 2＞－1， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0. ∴f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．20．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，证明：B 为锐角．证明要证明B 为锐角，只需证cos B >0.又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以只需证明a 2＋c 2－b 2>0，即a 2＋c 2>b 2. 因为a 2＋c 2≥2ac ，所以只需证明2ac >b 2. 由已知，得2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )．所以只需证明b (a ＋c )>b 2，即只需证明a ＋c >b .而已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，即a ＋c >b 成立，所以B 为锐角．21．(本小题满分12分)如图，已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长交对边分别于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”．OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体V －BCD ，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．解在四面体V －BCD 中，任取一点O ，连接VO ，DO ，BO ，CO 并延长分别交四个面于E ，F ，G ，H 点，则OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明：在四面体O －BCD 与V －BCD 中，设底面BCD 上的高分别为h 1，h ，则OE VE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h ＝V O －BCDV V －BCD. 同理有：OF DF ＝V O －VBCV D －VBC；OG BG ＝V O －VCDV B －VCD ； OH CH ＝V O －VBDV C －VBD. 所以OE VE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝V O －BCD ＋V O －VBC ＋V O －VCD ＋V O －VBDV V －BCD＝V V －BCDV V －BCD＝1. 22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解 (1)S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，∵a n ＞0，∴a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a2，得a 22＋2a 2－1＝0， ∴a 2＝2－1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12( k －k －1＋⎭⎪⎫1k －k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，∴a k＋1＝k＋1－k，即n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，a n＝n－n－1对任意n∈N*都成立．。

高中数学新教材同步必修第一册第2章章末检测试卷(二)

D.当m＝3时，方程的两实数根之和为0
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解析对于A，若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根，
则Δ＝(m－3)2－4m≥0，解得m≥9或m≤1.故A错误；
对于B，∵方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根，
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6.关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－
3)>0的解集是
√A.{x|x<－1或x>3}
C.{x|1<x<3}
B.{x|－1<x<3} D.{x|x<1或x>3}
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.因式分解(x2＋2x)2－7(x2＋2x)－8＝_(_x_＋__1_)2_(_x_＋__4_)(_x_－__2_)_. 解析 (x2＋2x)2－7(x2＋2x)－8＝(x2＋2x＋1)(x2＋2x－8)＝(x＋1)2(x＋ 4)(x－2).
Δ＝m－32－4m≥0，
∴－m－3>0， m>0，
解得 0<m≤1；
当0<m≤1时，Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9＝(m－1)(m－9)≥0，x1 ＋x2＝－(m－3)＝3－m>0，x1x2＝m>0， ∴该方程有两个正实数根.
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高中数学第二章随机变量及其分布章末综合检测(二)(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次，若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )A.12 B ．23 C.34D ．45解析：选B.法一：记事件A ＝{第一次取到合格的高尔夫球}，事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球.由题意可得P (AB )＝3×24×3＝12，P (A )＝3×34×3＝34，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1234＝23.法二：记事件A ＝{}第一次取到合格的高尔夫球，事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球，由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (AB )＝3×2＝6，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9.所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝69 ＝23.2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a (13)i(i ＝1，2，3)，则a 的值为( )A ．1B ．913 C.1113D ．2713解析：选D.因为P (X ＝1)＝a 3，P (X ＝2)＝a 9，P (X ＝3)＝a 27.所以a 3＋a 9＋a 27＝1，所以a ＝2713.3．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A ．0.95B ．0.6C ．0.05D ．0.4解析：选A.法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故至少有一颗卫星预报准确的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星预报都不准确”，故至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.4．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9解析：选A.因为D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，所以D (2X ＋1)＝4×32＝6.5.如果随机变量X 表示抛掷一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，则随机变量X 的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4解析：选C.P (X ＝k )＝16(k ＝1，2，3，…，6)，所以E (X )＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋…＋6)＝16×6×（1＋6）2＝3.5.6．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD ．2π解析：选C.由正态分布密度曲线上的最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12知12π·σ＝12，即σ＝2π，所以D (X )＝σ2＝2π.7．已知随机变量ξ的分布列如下：若E (ξ)＝2，则D (ξ)A ．0 B ．2 C ．1D ．12解析：选A.由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23(n －2)2＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (ξ)取最小值为0.8．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X ＜1)＝12，P (X ＞2)＝p ，则P (0＜X ＜1)的值为( )A ．12pB ．1－pC ．1－2pD ．12－p 解析：选D.由正态曲线的对称性知P (X ＜1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X ＜0)＝P (X ＞2)，所以P (0＜X ＜1)＝P (X ＜1)－P (X ＜0)＝P (X ＜1)－P (X ＞2)＝12－p .9．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A ．49B ．827C ．1927D ．4081解析：选C.最后乙队获胜的概率含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13＝1927，故选C. 10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如表所示的分布列若进这种鲜花500A ．706元 B ．690元 C ．754元D ．720元解析：选A.因为E (X )＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，所以利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706元，故选A. 11.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )A ．516B ．532C ．16D ．以上都不对解析：选A.由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516.12．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1X ，每X 奖券中奖的概率为15，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2X 奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3X 奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ元，则E (ξ)＝( )A ．1 850B ．1 720C ．1 560D ．1 480解析：选A.根据题意知，ξ的可能取值为2 450，1 450，450，－550，且P (ξ＝2 450)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝64125，P (ξ＝1 450)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝48125，P (ξ＝450)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (ξ＝－550)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1125，所以E (ξ)＝2 450×64125＋1 450×48125＋450×12125＋(－550)×1125＝1 850.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．邮局工作人员整理，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.314．一批产品的二等品概率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.解析：X ～B (100，0.02)，所以D (X )＝np (1－p )＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案：1.9615．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数字之积的数学期望是________．解析：设ξ表示两次向上的数字之积，则P (ξ＝1)＝13×13＝19，P (ξ＝2)＝C 12×13×16＝19，P (ξ＝4)＝16×16＝136，P (ξ＝0)＝34，所以E (ξ)＝1×19＋2×19＋4×136＝49.答案：4916．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)解析：由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1，2，3，…)．{a n }的前10项分别为8，6，4，2，0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝625. 答案：625三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)某一射手射击所得环数X 的分布列如下：(1)求m (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m ＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P (射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.18．(本小题满分12分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A —2A 3)＋P (A —1A 2A 3)＝P (A 1)P (A —2)P (A 3)＋P (A —1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.19．(本小题满分12分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； (ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0，1，2，3)．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×435＝127.(ii)设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由(i)知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)，故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以，事件A 发生的概率为67.20．(本小题满分12分)进货商当天以每份1元的进价从报社购进某种报纸，以每份2元的价格售出．若当天卖不完，剩余报纸以每份0.5元的价格被报社回收．根据市场统计，得到这个月的日销售量X (单位：份)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)若进货量为n (单位：份)，当n ≥X 时，求利润Y 的表达式； (3)若当天进货量n ＝400，求利润Y 的分布列和数学期望E (Y )．解：(1)由题图可得，100a ＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a ＝0.001 5.(2)因为n ≥X ，所以Y ＝(2－1)X －0.5(n －X )＝1.5X －0.5n .(3)销售量X 的所有可能取值为200，300，400，500，由第二问知对应的Y 分别为100，250，400.由频率分布直方图可得P (Y ＝100)＝P (X ＝200)＝0.20， P (Y ＝250)＝P (X ＝300)＝0.35， P (Y ＝400)＝P (X ≥400)＝0.45.利润Y 的分布列为Y 100 250 400 P0.200.350.45所以E (Y )21．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X 、Y 分别表示这4个人去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：(1)依题意，这4人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i .这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0，2，4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781，所以ξ的分布列是22.(本小题满分12分)该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1－2324＝124，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p 1)(1－p 2)＝124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1－34＝14，即23p 1p 2＝14.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝12，p 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝34，p 2＝12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1＝12，p 2＝34.(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0，5，10，15.则P (X ＝0)＝124，P (X ＝5)＝23×12×14＋13×12×14＋13×12×34＝14，P (X ＝10)＝23×12×14＋23×12×34＋13×12×34＝1124， P (X ＝15)＝23×12×34＝14.所以X 的分布列为则E (X )＝0×124＋5×14＋10×24＋15×4＝12.。

新教材高中数学章末质量检测二概率与统计含解析新人教B版选择性必修第二册

新教材高中数学课时作业：章末质量检测(二) 概率与统计(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是( )A ．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B ．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C ．公式E (X )＝np 可以用来计算离散型随机变量的均值D ．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布2．若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111的是( )A ．P (X ＝0)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2) 3．若X 的分布列为则E (X )＝( ) A.45 B.12 C.25 D.154．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A ．0.16B ．0.24C ．0.96D ．0.045．如果随机变量X ～N (4,1)，则P (X ≤2)等于( ) (注：P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4) A ．0.210 B ．0.022 8 C ．0.045 6 D ．0.021 56．对变量x ，y 由观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)得散点图①.对变量u ，v 由观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)得散点图②.由这两个散点图可以判断( )① ②A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关7．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是( )A.165B.6425C.1625D.6458．某停车场能把12辆车排成一列停放，设每辆车的停放位置是随机的，若有8个车位放了车，而4个空位连在一起，这种情况发生的概率等于( )A.7C 812B.8C 812C.9C 812D.10C 8129．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )＝1102πe －(x －80)2200，则下列命题中不正确的是( )A ．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为1010．设有一个线性回归方程为y ^＝－2＋10x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均减少2个单位 B ．y 平均增加10个单位 C ．y 平均增加8个单位 D ．y 平均减少10个单位 11．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论( )A.B ．乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C ．两人的产品质量一样好D ．无法判断谁的产品质量好一些12．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A的各位数中a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为( )A.827B.113C.1681D.6581二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.14．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：对于人力资源部的研究项目，根据上述数据试求χ2的观测值为________．15．一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01)：(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率． (2)平均有多少家煤矿必须整改？ (3)至少关闭一家煤矿的概率．18．(12分)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13，该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为136，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列； (2)若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P (A )．19．(12分)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．X 0 1 2P 610 110 310Y 0 1 2P 510 310 21020．(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数)21．(12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及E (ξ)；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．22．(12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．章末质量检测(二) 概率与统计1．解析：公式E (X )＝np 并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.答案：C2．解析：由已知易知P (X ＝1)＝C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111. 答案：C3．解析：由15＋a ＝1，得a ＝45，所以E (X )＝0×15＋1×45＝45.答案：A4．解析：三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.答案：C5．解析：P (X ≤2)＝(1－P (2<X ≤6))×12＝[1－P (4－2<X ≤4＋2)]×12＝(1－0.954 4)×12＝0.022 8.答案：B6．解析：由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，选C. 答案：C7．解析：由题意知成活棵数X ～B ⎝⎛⎭⎫4，45，所以成活棵数X 的方差为4×45×⎝⎛⎭⎫1－45＝1625.故选C.答案：C8．解析：12个车位停放8辆车共有C 812种停法，将其中4个空位“捆绑”，插空，共有9种插法，所以所求概率为9C 812.答案：C9．解析：利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A ，D 正确，利用正态曲线关于直线x ＝80对称，知P (ξ>110)＝P (ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C 正确，故选B.答案：B10．解析：10是斜率的估计值，说明x 每增加一个单位时，y 平均增加10个单位．答案：B11．解析：∵E (X 甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， E (X 乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9. ∵E (X 甲)>E (X 乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．答案：B12．解析：记a 2，a 3，a 4，a 5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B ⎝⎛⎭⎫4，23， E (η)＝4×23＝83.因为ξ＝1＋η，E (ξ)＝1＋E (η)＝113.故选B.答案：B13．解析：P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44＋C 34C 13C 47＝1335.答案：133514．解析：根据列联表中的数据，得到χ2＝189×(54×63－40×32)294×95×86×103≈10.76.答案：10.76 15.解析：如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，所以n (A ∩B )＝1，P (A |B )＝n (A ∩B )n (B )＝14.答案：1416．解析：①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝⎛⎭⎫6，23，其方差为6×23×⎝⎛⎭⎫1－23＝43，故②正确； ③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P (A )＝23，P (A ∩B )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－233＝2627，故④正确．答案：①②④17．解析：(1)每家煤矿必须整改的概率是(1－0.5)，且每家煤矿是否整改是相互独立的．所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516≈0.31.(2)由题设，必须整改的煤矿数X 服从二项分布B (5,0.5)，从而X 的数学期望是E (X )＝5×0.5＝2.5，即平均有2.50家煤矿必须整改．(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1.从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.18．解析：(1)依题意知X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，即X 的分布列为(2)设A i B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2. 依题意知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1，P (A 2)＝P (B 2)＝0.3，A ＝A 1B －1∪A －1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2，所求的概率为P (A )＝P (A 1B －1)＋P (A －1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B －1)＋P (A －1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.19．解析：工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定．20．解析：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384，P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112.故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.21．解析：(1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.ξ的分布列为E (ξ)＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为E (η)＝2α－2β＝4α－2.依题意得4α－2≥14，故916≤α≤1. 22．解析：(1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“i P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P (A 1∩A 2∩A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X 的数学期望为E (X )＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得的分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。

2015-2016高中数学第2章章末质量评估检测新人教A版选修2-2

答案：C
12．观察式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，则可归纳出一般式子为()
A．1＋＋＋…＋＜(n≥2)
B．1＋＋＋…＋＜(n≥2)
C．1＋＋＋…＋＜(n≥2)
D．1＋＋＋…＋＜(n≥2)
解析：由合情推理可得．
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是__________．
第二章章末质量评估检测
时间：120分钟满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
答案：B
9．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：假设应为“三内角都大于60°”．
答案：B
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 013等于()
解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部的体积为.
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；

第2章章末检测试卷(二)直线和圆

章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知直线l 的倾斜角为135°，则直线l 的斜率为( )A.－1B.1C. 3D.－ 3答案 A解析由tan 135°＝－1可知，直线l 的斜率为－1.2.若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2－ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1答案 D解析方程x 2＋y 2－ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0，即方程⎝⎛⎭⎫x －a 22＋(y ＋a )2＝1－a －34a 2，当1－a －34a 2>0，即－2<a <23时，方程表示以⎝⎛⎭⎫a 2，－a 为圆心， 1－a －34a 2为半径的圆. 所以所给的方程表示圆的个数为1.3.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( )A.－1B.1C.12D.－12答案 B解析由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 4.设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则A ，B 两点的距离为( )A.10B.10C.38D.38 答案 A解析 ∵点B 是A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，∴点B 的横坐标和纵坐标与点A 相同，竖坐标相反，∴B (2，－3，－5)，∴AB 的长度是5－(－5)＝10.故选A.5.已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且两者之间的距离是5，则m ＋n 等于( )A.－1B.0C.1D.2答案 B解析由题意知，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0.6.与两点(－3,0)，(3,0)距离的平方和等于38的点的轨迹方程是( )A.x 2－y 2＝10B.x 2＋y 2＝10C.x 2＋y 2＝38D.x 2－y 2＝38 答案 B解析设动点为M (x ，y )，由题意得(x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝38，化简可得x 2＋y 2＝10，故点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝10，故选B.7.圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y ＝1对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为( )A.0B.1C.±2D.2答案 D解析圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －a 22＋(y ＋1)2＝a 24，表示以A ⎝⎛⎭⎫a 2，－1为圆心，以⎪⎪⎪⎪a 2为半径的圆.关于直线x －y －1＝0对称的圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，故有－1－0a 2－0×1＝－1，解得a ＝2，故选D.8.过点P (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为( )A.35B.2C.4D.125答案 C解析根据题意，知点P 在圆C 上，∴切线l 的斜率k ＝－1k CP ＝－11－42＋2＝43，∴切线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋20＝0.又直线m 与切线l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0.故切线l 与直线m 间的距离d ＝|0－20|42＋(－3)2＝4. 9.若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，则x 2＋2x ＋y 2＋1的最小值为( ) A.10 B.10－1 C.10＋1 D.5－1答案 D解析方程x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可变形为(x －1)2＋(y －1)2＝1，表示圆心为(1,1)，半径r ＝1的圆. 则x 2＋2x ＋y 2＋1＝(x ＋1)2＋y 2表示圆上的点到(－1,0)的距离，所以其最小值为(1＋1)2＋1－1＝5－1.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，过x 轴上的一个动点P 引圆C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围是( ) A.(3，2) B.[3，2) C.(3，2] D.[3，2]答案 B解析依题意知圆心C (1,2)，半径R ＝1.要使AB 长度最小，需使∠ACB 最小，即需∠PCB 最小，可知需PC 最小即可，当P 位于点(1,0)时满足条件，此时CP ＝2，则∠PCB ＝60°，∠ACB ＝120°，可得AB ＝3；当点P 在x 轴上离点(1,0)越来越远时，∠ACB 越来越接近180°，此时AB 越来越接近2，所以线段AB 长度的取值范围是[3，2).故选B.11.已知△ABC 的三个顶点分别是A (0,3)，B (3,3)，C (2,0)，若直线l ：x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则a 的值是( )A. 3B.1＋22C.1＋33D. 2 答案 A解析只有当直线x ＝a 与线段AC 相交时，x ＝a 才可将△ABC 分成面积相等的两部分.S △ABC＝12×3×3＝92，设x ＝a 与AB ，AC 分别相交于D ，E ，则S △ADE ＝12×a ×32a ＝12×92，解得a ＝3(负值舍去).12.若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α等于( )A.135°B.120°C.45°D.60°答案 A解析将圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化成标准方程，得⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24， ∴r 2＝1－3k 24，当圆取得最大面积时，k ＝0，半径r ＝1，因此直线y ＝(k －1)x ＋2，即y ＝－x ＋2.得直线的倾斜角α满足tan α＝－1，∴α＝135°.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若直线l 被直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0截得的线段长为22，则直线l 的倾斜角θ(0°<θ<90°)的值为________.答案 15°或75°解析易求得平行线l 1，l 2之间的距离为|1－3|2＝ 2. 画示意图(图略)可知，要使直线l 被l 1，l 2截得的线段长为22，必须使直线l 与直线l 1，l 2成30°的夹角.∵直线l 1，l 2的倾斜角为45°，∴直线l 的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°.14.已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为_____________________________.答案 x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0解析设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∴12|ab |＝3，且－b a ＝16，解得a ＝－6，b ＝1或a ＝6，b ＝－1，∴直线l 的方程为x －6＋y ＝1或x 6－y ＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.15.已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________________.答案 (x ＋1)2＋y 2＝2解析直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0).因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.16.已知点A (0,2)，B (2,0).若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为______.答案 4解析设C (t ，t 2)，由A (0,2)，B (2,0)，易求得直线AB 的方程为y ＝－x ＋2.∴点C 到直线AB 的距离d ＝|t 2＋t －2|2. 又∵AB ＝22，∴S △ABC ＝12×AB ·d ＝|t 2＋t －2|. 令|t 2＋t －2|＝2，得t 2＋t －2＝±2，∴t 2＋t ＝0或t 2＋t －4＝0，符合题意的t 值有4个，故满足题意的点C 有4个.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知△ABC 的一个顶点A (2，－4)，且∠B ，∠C 的角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC 的三边所在直线的方程.解如图，BE ，CF 分别为∠B ，∠C 的角平分线，由角平分线的性质，知点A 关于直线BE ，CF 的对称点A ′，A ″均在直线BC 上. ∵直线BE 的方程为x ＋y －2＝0，∴A ′(6,0).∵直线CF 的方程为x －3y －6＝0，∴A ″⎝⎛⎭⎫25，45.∴直线A ′A ″的方程是y ＝0－456－25(x －6)，即x ＋7y －6＝0，这也是BC 所在直线的方程.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋7y －6＝0，x ＋y －2＝0，得B ⎝⎛⎭⎫43，23，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －6＝0，x －3y －6＝0，得C (6,0)， ∴AB 所在直线的方程是7x ＋y －10＝0，AC 所在直线的方程是x －y －6＝0.18.(12分)在yOz 平面上求与点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5，1)等距离的点P 的坐标. 解设P (0，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PC ，PB ＝PC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (0－3)2＋(y －1)2＋(z －2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2，(0－4)2＋(y ＋2)2＋(z ＋2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4y －z －6＝0，7y ＋3z －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝－2，所以点P 的坐标为(0,1，－2).19.(12分)已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若点P 的坐标为(2,1)，过点P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程.解 (1)设P (2m ，m )，由圆的半径为1，∠MP A ＝12∠APB ＝30°可知，MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解得m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝⎛⎭⎫85，45.(2)易知直线CD 的斜率存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2).由题意知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以|－2k －1|1＋k 2＝22，整理得7k 2＋8k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－17，故所求直线CD 的方程为 x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.20.(12分)一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解以台风中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示.取10 km 为单位长度，则受台风影响的图形区域所对应的圆O 的方程为x 2＋y 2＝9. 港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线的方程为x 7＋y 4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心O (0,0)到直线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865>3，所以直线4x ＋7y －28＝0与圆O 相离，所以轮船不会受到台风的影响.21.(12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线.解设点M (x ，y )，∵M 是弦BC 的中点，故OM ⊥B C.又∵∠BAC ＝90°，∴MA ＝12BC ＝MB . ∵MB 2＝OB 2－OM 2，∴OB 2＝MO 2＋MA 2，即42＝(x 2＋y 2)＋(x －0)2＋(y －2)2，化简得x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹是以(0,1)为圆心，以7为半径的圆.22.(12分)如图，已知圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，点A (0,6).(1)求圆心在直线y ＝x 上，经过点A 且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于P ，Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m 的方程.解 (1)把x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0化为标准方程为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50.所以圆C 的圆心坐标为C (－5，－5).又圆N 的圆心在直线y ＝x 上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(a ，a )，则有(a －0)2＋(a －6)2＝(a －0)2＋(a －0)2，解得a ＝3，所以圆N 的圆心坐标为(3,3)，半径r ＝32，故圆N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.(2)因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP ⊥CQ ，所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x ＝0.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋6，即kx －y ＋6＝0，所以|－5k ＋5＋6|1＋k 2＝5，解得k ＝4855. 所以此时直线m 的方程为4855x －y ＋6＝0，即48x －55y ＋330＝0.故所求直线m 的方程为x ＝0或48x －55y ＋330＝0.。

2020学年高中数学第二章统计章末综合检测(二)(含解析)

章末综合检测（二)（时间：1２0分钟，满分:１50分)一、选择题：本题共1２小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.１.下列说法错误的是( )A.在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体Ｂ.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据Ｃ.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大解析：选B。

平均数不大于最大值，不小于最小值．2．(2０19·河北省石家庄市期末考试)一个年级有２2个班，每个班同学从１~50排学号,为了交流学习经验,要求每班学号为19的学生留下进行交流，这里运用的是()A．分层抽样法B．抽签法Ｃ．随机数表法 D.系统抽样法解析:选D.每个班同学以1~50排学号，要求每班学号为19的同学留下来交流，则数据之间的间距差相同,都为5０,所以根据系统抽样的定义可知，这里采用的是系统抽样的方法．故选D。

３.从某一总体中抽取一个个体数为2０0的样本，得到分组与频数如下：［1０,15)，6;［15，２０）,8;[2０,25),１３;[25,３0），35；[30,35),46；[35,4０）,３４;[4０，4５),2８；[45,50)，15；［５0，5５）,10;[５5,６０],5。

则样本在[35,６０]上的频率是() A．0.69 B.0。

46C.1ﻩD．不存在解析:选B.由题可知，样本在［35,６0]上的频率应为(3４＋28+15+１0＋5）÷200=0.４6。

4.2017年高考某题的得分情况如下:其中众数是( ）A．37.0％ B.２0。

2%C.0分D.4分ﻬ解析：选Ｃ.因为众数出现的频率最大．5．(20１９·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位:千克)作了测量,并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示,则这30只宠物狗体重（单位：千克）的平均值大约为( ）A．15。

章末综合测评2 统计与概率-【新教材】人教B版(2019)高中数学必修第二册练习

章末综合测评(二)统计与概率(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去参加教研会，已知乙级部中每个老师被抽到的可能性都为13，则高三级部的全体老师的个数为()A．10B．30C．60D．90D[因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为13，所以高三年级中每个老师被抽到的可能性都为13，由30÷13＝90(人)，可得全体老师人数．]2．某人在打靶中，连续射击2次，至多有一次中靶的对立事件是()A．至少有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．恰有一次中靶B[某人在打靶中，连续射击2次的所有可能结果为：①第一次中靶，第二次中靶；②第一次中靶，第二次未中靶；③第一次未中靶，第二次中靶；④第一次未中靶，第二次未中靶．至多有一次中靶包含了②③④三种可能，故其对立事件为①，即两次都中靶．故选B.]3．小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A ．1%B ．2%C ．3%D ．5%C [由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.]4．如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )A ．11B ．11.5C ．12D ．12.5C [由频率分布直方图得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，从而中位数为10＋0.20.5×5＝12，故选C.]5．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D.1C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.选C.]6．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b,5能够构成等腰三角形的概率是()A.16 B.12C.718 D.23C[基本事件的总数是36，当a＝1时，b＝5符合要求，有1种情况；当a＝2时，b＝5符合要求，有1种情况；当a＝3时，b＝3,5符合要求，有2种情况；当a＝4时，b＝4,5符合要求，有2种情况；当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6均符合要求，有6种情况；当a＝6时，b＝5,6符合要求，有2种情况．所以能够构成等腰三角形的共有14种情况，故所求概率为1436＝718.]7．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()A.25 B.710C.45 D.910C[记其中被污损的数字为x，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是1 5(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝15(442＋x)，令90＞15(442＋x)，解得x＜8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.]8．已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a，b的值分别为() A．10,11B．10.5,9.5C．10.4,10.6 D．10.5,10.5D[由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，依题意，得a＋b2＝10.5，即b＝21－a.因为平均数为(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20)÷10＝10，所以要使该样本的方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小．又(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221，所以当a＝－－422×2＝10.5时，(a－10)2＋(b－10)2最小，此时b＝10.5.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列事件中，是随机事件的是()A．2021年8月18日，北京市不下雨B．在标准大气压下，水在4 ℃时结冰C．从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签D．若x∈R，则x2≥0AC[A，C为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件．]10．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳BCD[对于选项A，由题图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由题图可知显然正确．故选BCD.]11．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法正确的是()A．4班和10班被选到的概率都为1 12B．5班被选到的概率比8班大C．只有2班被选到的概率最小D．7班被选到的概率最大AD[P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝136，P(3)＝P(11)＝118，P(4)＝P(10)＝112，P(5)＝P(9)＝19，P(6)＝P(8)＝536，P(7)＝16，故选AD.]12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是()A．平均数x≤ 3B．标准差s≤2C．平均数x≤3且极差小于或等于2D．众数等于1且极差小于或等于4CD[A中平均数x≤3，可能是第一天0人，第二天6人，不符合题意；B中每天感染的人数均为10，标准差也是0，显然不符合题意；C符合，若极差等于0或1，在x≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且X≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标．D 符合，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．30[由题意知，1245＋15＝30120＋a，解得a＝30.]14．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．12[由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12.]15．某电子商务公司对10 000名网络购物者在2019年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________.(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．(本题第一空2分，第二空3分)(1)3 (2)6 000 [(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a ×0.1＝1，解得a ＝3.(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.]16．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________．0．2,0.25,0.5 [记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C ，由题意可知A ，B ，C 是相互独立事件．由题意可知⎩⎨⎧ P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05，P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1，P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125，得⎩⎨⎧ P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.] 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：(1)(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？[解] (1)x －＝110(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．(2)中位数为41＋442＝42.5(吨)．(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．18．(本小题满分12分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．[解] 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )·P (B )P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A － B － C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.19．(本小题满分12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪台机床次品数的平均数较小？(2)哪台机床的生产状况比较稳定？[解] (1)x －甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×110＝1.5，x －乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×110＝1.2.∵x －甲>x －乙，∴乙车床次品数的平均数较小．(2)s 2甲＝110×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理s 2乙＝0.76，∵s 2甲>s 2乙，∴乙车床的生产状况比较稳定．20．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A 表示和为6的事件，求P (A )；(2)现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．[解] (1)基本事件空间与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *,1≤x ≤5,1≤y ≤5}中的元素一一对应．因为S 中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数为n ＝25.事件A 包含的基本事件数共5个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所以P (A )＝525＝15.(2)B 与C 不是互斥事件，因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个，即甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1225，所以这种游戏规则不公平．21．(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．[解] (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足m＋2≤n的事件的概率为P1＝316，故满足n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝13 16.22．(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y 1∶12∶13∶44∶5[0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×1 2＝20；30×43＝40；20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.。

2019-2020学年高中数学第二章统计章末综合检测(二) 新人教B版3

章末综合检测（二）［学生用书P111(单独成册)］（时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本．考虑采用系统抽样，则分段的间隔(抽样距)k为( )A．40 B．30C．20 D．12解析：选A.抽样间隔为错误!＝40.特别注意当错误!不是整数时,应先从总体中利用简单随机抽样进行剔除．2．下列哪种工作不能使用抽样方法进行（）A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋某一水域的某种微生物的含量C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况解析：选D。

抽样是为了用总体中的部分个体（即样本）来估计总体的情况，选项A、B、C都是从总体中抽取部分个体进行检验,选项D是检测全体学生的身体状况，所以要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法．3．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛,它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是( ）A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不能确定解析：选B.方差反映了数据的稳定性．方差越小发挥越稳定．4．从总体中抽取的样本数据有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数μ的估计值为（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D.数据个数有m＋n＋p个，所有数据和为ma＋nb＋pc，平均数为错误!，故选D。

5．最近许多地方校车出现车祸，对学生造成很大危害，为此某市交通局、公安局、教育局联合对全市校车进行抽查．①从农村50辆、乡镇100辆、城市200辆中抽50辆进行检查；②从农村50辆中再抽10辆进行重点检查．对上述抽样应采用的抽样方法是（)A．①分层抽样法②简单随机抽样法B．①系统抽样法②分层抽样法C．都用分层抽样法D．全用简单随机抽样法解析:选A.①从差距较大的三部分中抽样应采用分层抽样法，②从50辆中抽10辆，由于数量不大，可以采用简单随机抽样法．6．在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ）A．92,2 B．92，2。

高中数学人教A版必修二章末综合测评2 Word版含答案

章末综合测评(二) 点、直线、平面之间的位置关系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交2．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3．(太原高二检测)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是()【导学号：09960089】A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b5．(山西山大附中高二检测)如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β7．(洛阳高一检测)如图2，△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC ＝60°，下列说法中错误的是( )图2A ．AD ⊥平面BDCB ．BD ⊥平面ADC C ．DC ⊥平面ABD D ．BC ⊥平面ABD8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．将正方形ABCD 沿BD 折成直二面角，M 为CD 的中点，则∠AMD 的大小是( ) A ．45° B ．30° C ．60°D ．90°10．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.119511．(大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【导学号：09960090】A．75°B．60°C．45°D．30°12．正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.14．如图3，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E 满足条件：________时，SC∥平面EBD.图315．如图4所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．图416．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△P AB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥平面SBC.图518．(本小题满分12分)如图6，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.19．(本小题满分12分)(德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示，P是正方形ABCD 对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC.图720．(本小题满分12分)(济宁高一检测)如图8，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.图8(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.21．(本小题满分12分)(山东高考)如图9，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．图9(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.22．(本小题满分12分)(重庆高一检测)如图10所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．章末综合测评(二) 点、直线、平面之间的位置关系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行．【答案】 D2．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A、B、C显然正确．易知过一条直线有无数个平面与已知平面垂直．选D.【答案】 D3．(太原高二检测)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解析】对于A，通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错；对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，故B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B.【答案】 B4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是()【导学号：09960089】A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b【解析】A中，a、b可以平行、相交或异面；B中，a、b可以平行或异面；C中，α、β可以平行或相交．【答案】 D5．(山西山大附中高二检测)如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图，连接A1B、BC1、A1C1，则A1B＝BC1＝A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°.【答案】 B6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.【答案】 B7．(洛阳高一检测)如图2，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是()图2A ．AD ⊥平面BDCB ．BD ⊥平面ADC C ．DC ⊥平面ABD D ．BC ⊥平面ABD【解析】由题可知，AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，所以AD ⊥平面BDC ，又△ABD 与△ADC 均为以D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ＝AC ，BD ＝DC ＝22AB . 又∠BAC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，故BC ＝AB ＝2BD ，所以∠BDC ＝90°，即BD ⊥DC .所以BD ⊥平面ADC ，同理DC ⊥平面ABD . 所以A 、B 、C 项均正确．选D. 【答案】 D8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan θ＝3(设θ为所求平面角)，所以二面角为60°，选C.【答案】 C9．将正方形ABCD 沿BD 折成直二面角，M 为CD 的中点，则∠AMD 的大小是( ) A ．45° B ．30° C ．60°D ．90°【解析】如图，设正方形边长为a ，作AO ⊥BD ，则AM ＝AO 2＋OM 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝32a ，又AD ＝a ，DM ＝a2，∴AD 2＝DM 2＋AM 2，∴∠AMD ＝90°.【答案】 D10．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.1195【解析】如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接PE .∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AE ， ∴BD ⊥PE .∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，P A ＝1，∴PE ＝1＋⎝⎛⎭⎫1252＝135.【答案】 B11．(大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【导学号：09960090】A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°【解析】如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334， VABC -A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94，∴PO ＝ 3.又AO ＝33×3＝1， ∴tan ∠P AO ＝POAO ＝3，∴∠P AO ＝60°.【答案】 B12．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH ⊥平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°【解析】因为AH ⊥平面A 1BD ， BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH .又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A . 所以BD ⊥平面AA 1H .又A 1H ⊂平面AA 1H . 所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，A 正确．因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角．因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.【解析】由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD ，解得SD ＝9.【答案】 914．如图3，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E 满足条件：________时，SC∥平面EBD.图3【解析】当E是SA的中点时，连接EB，ED，AC.设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD.【答案】E是SA的中点15．如图4所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角，∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面MB1C1，又MC1⊂平面MB1C1，∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.【答案】90°16．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则①棱AB与PD所在直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△P AB的面积；④直线AE与直线BF是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)【解析】由条件可得AB⊥平面P AD，∴AB⊥PD，故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，从而P A∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD＝12CD·PD，S△P AB＝12AB·P A，由AB＝CD，PD>P A知③正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错．【答案】①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥平面SBC.图5【证明】∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，∵SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD.又∵SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC.18．(本小题满分12分)如图6，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19．(本小题满分12分)(德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示，P是正方形ABCD 对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC.图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.②连接PO，由三视图知，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.20．(本小题满分12分)(济宁高一检测)如图8，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.图8(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.【导学号：09960091】【证明】(1)如图，设AC与BD交于点G.因为EF ∥AG ，且EF ＝1， AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE . (2)连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1， ∴四边形CEFG 为平行四边形，又∵CE ＝EF ＝1，∴▱CEFG 为菱形， ∴EG ⊥CF .在正方形ABCD 中，AC ⊥BD .∵正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直， ∴BD ⊥平面CEFG .∴BD ⊥CF . 又∵EG ∩BD ＝G ，∴CF ⊥平面BDE .21．(本小题满分12分)(山东高考)如图9，三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．图9(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .【解】 (1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF -ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形，则M 为CD 的中点．又H 为BC 的中点，所以MH ∥BD .又MH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH .证法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC 的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.22．(本小题满分12分)(重庆高一检测)如图10所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点， ∴OE ∥P A .∵OE ⊂平面BDE ，P A ⊄平面BDE ， ∴P A ∥平面BDE .∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC .又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE . (2)取OC 中点F ，连接EF . ∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD . ∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°. 在Rt △OEF 中， OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a . ∴V P -ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.。

高中数学章末质量评估(二)湘教版必修2

章末质量评估(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列命题中的真命题是()．A．单位向量都相等B．若a≠b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠bD．若|a|＝|b|，则a∥b答案 C2．设a、b、c为平面向量，下面的命题中：①a·(b－c)＝a·b－a·c；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.正确的个数是()．A．3 B．2 C．1 D．4解析由数量积的运算性质易知①③是正确的．对于②(a·b)·c表示与向量c共线的向量，而a·(b·c)表示与向量a共线的向量，故②错误．对于④a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故④错误．答案 B3．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝()．A．(－15，12) B．0C．－3 D．－11解析a＋2b＝(－5，6)，(a＋2b)·c＝－3.答案 C4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1、λ2的值分别为()．A ．－1，1B ．－1，2C ．1，2D ．2，1解析因为c ＝λ1a ＋λ2b ，所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2. 答案 B5．与向量a ＝(1，1)平行的单位向量为( )． A.⎝⎛⎭⎫22，22B.⎝⎛⎭⎫－22，－22C.⎝⎛⎭⎫±22，±22D.⎝⎛⎭⎫22，22）或（－22，－22 解析与a 平行的单位向量为±a |a|. 答案 D6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )．A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π3，πC.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤π6，π 解析由题意知Δ＝|a |2－4a ·b ≥0⇒a ·b ≤14|a |2， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2≤12，〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案 B7．设O ，A ，B ，C 为平面上四点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，a ，b ，c 两两数量积均为－1，则|a |＋|b |＋|c |等于( )． A ．2 2 B ．2 3 C ．3 2 D ．3 3解析由a ＋b ＋c ＝0，可得0＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )，c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ，由于a ，b ，c 两两之间的数量积均为－1，则a·b＝b·c ＝c·a ＝－1，综合可得|a |＝|b |＝|c |＝ 2. 答案 C8．已知2a ＋b ＝(－4，3)，a －2b ＝(3，4)，则a ·b 的值为 ( )．A ．0B ．1C ．－1D ．－2解析由已知可得，4a ＋2b ＝(－8，6)．∴(4a ＋2b )＋(a －2b )＝(－8，6)＋(3，4)＝(－5，10)．即5a ＝(－5，10)，∴a ＝(－1，2)．从而b ＝(2a ＋b )－2a ＝(－4，3)－(－2，4)＝(－2，－1)．∴a ·b ＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.答案 A9．若向量a ＝(1，1)与a ＋2b 的方向相同，则a·b 的取值范围是 ( )．A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析设b ＝(x ，y )，则a ＋2b ＝(1＋2x ，1＋2y )．∵a 与a ＋2b 方向相同，∴1＋2y －1－2x ＝0，即y ＝x 且1＋2x ＞0，即x ＞－12.a ·b ＝x ＋y ＝2x ＞2×－12＝－1.答案 DA ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形答案 A二、填空题(每小题5分，共25分)11．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A ，B ，C ，D 四点中一定共线的三点是________．答案 A 、B 、D12．在△ABC 中，若|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则cos ∠ACB ＝________．解析 ∵|AB →|2＋|BC →|2＝32＋42＝52＝|CA →|2，∴△ABC 是以∠ABC 为直角的直角三角形，∴cos ∠ACB ＝|BC →||CA →|＝45. 答案 4513．如图，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.解析 ED →＝12EF →＝12(12AB →)＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a )． AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED →＝12a ＋14(－b ＋a ) ＝34a －14b . 答案 34a －14b 14．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为π6，人的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为____________．解析功W ＝60×50×cos 30°＝1 5003(J)．答案 1 500 3 J15．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a·b )b ，则|c |＝________.解析 c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)．答案 8 2三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(13分)已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)，B (4，1)，C (0，－1)．(1)求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状；(2)若M 为BC 边的中点，求|AM →|.解 (1)因为AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，所以AB →⊥AC →，即∠A ＝90°.由|AB →|＝|AC →|知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.(2)设M (x ，y )，因为M 为BC 的中点，所以M 点坐标为(2，0)．又因为A (1，2)，所以AM →＝(1，－2)．所以|AM →|＝12＋（－2）2＝ 5.17．(13分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0.(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．解 (1)2AC →＋CB →＝0，2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0.2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0.∴OC →＝2OA →－OB →.(2)如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →) ＝12(OB →＋OC →－OB →) 故DA →＝12OC →. 故四边形OCAD 为梯形．18．(13分)已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，求D 点的坐标．解设垂足为D ，则由CB →＝(6，3)，设CD →＝λCB →＝(6λ，3λ)，由DA →＝CB →－CD →＋BA →＝(6，3)－(6λ，3λ)＋(－1，－3)＝(5，0)－(6λ，3λ)＝(5－6λ，－3λ)，∵CB ⊥DA ，∴CB →·DA →＝0，∴6·(5－6λ)＋3(－3λ)＝0. ∴λ＝23，∴CD →＝(4，2)，令D (x ，y )．则CD →＝(x ＋3，y ＋1)＝(4，2)，∴x ＝1，y ＝1，即D (1，1)．19．(12分)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 是直线P 1P 2上一点，且P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)．(1)求点P 的坐标；(2)若λ＝1，求点P 的坐标．解 (1)设P (x ，y )，则P 1P →＝(x －x 1，y －y 1)，PP 2→＝(x 2－x ，y 2－y )．∵P 1P →＝λPP 2→，∴(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ（x 2－x ），y －y 1＝λ（y 2－y ）.又λ≠－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ.∴P 点坐标为(x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ)．(2)当λ＝1时，代入上式可得P 点坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．20．(12分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值．(2)若|a |＝|b |，0＜θ＜π，求θ的值．解 (1)∵a ∥b ，∴2sin θ－(cos θ－2sin θ)＝0.∴4sin θ＝cos θ，故tan θ＝sin θcos θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22，∴5sin 2θ＋cos 2θ－4sin θcos θ＝5.∴cos θ(sin θ＋cos θ)＝0，∴cos θ＝0或sin θ＋cos θ＝0.当cos θ＝0时，可得θ＝π2∈(0，π)．当sin θ＋cos θ＝0时，可得tan θ＝－1，∴θ＝3π4∈(0，π)．∴θ的值为π2或3π4.21．(12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)．(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 与t 的关系；如果不存在，请说明理由．(1)证明 a·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)解假设存在非零实数k ，t ，使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)故存在非零实数k ，t 使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．。

2019_2020学年新教材高中数学章末质量检测(二)新人教A版必修第二册

章末质量检测(二) 复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i－i2的实部为( )A．0 B．1C．i D．－2解析：i－i2＝1＋i.答案：B2．用C，R和I分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( )A．C＝R∩I B．R∩I＝{0}C．R＝C∩I D．R∩I＝∅解析：由复数的概念可知R⊂C，I⊂C，R∩I＝∅.答案：D3．下列说法正确的是( )A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．a i是纯虚数(a∈R)C．如果复数x＋y i(x，y∈R)是实数，那么x＝0，y＝0D．复数a＋b i(a，b∈R)不是实数解析：两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，所以A正确；B中，当a＝0时，a i＝0是实数，所以B不正确；要使复数x＋y i(x，y∈R)是实数，则只需y＝0，所以C不正确；D中，当b＝0时，复数a＋b i是实数，所以D不正确．答案：A4．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：由题意得复数z的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C5．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：z1－z2＝5－7i.答案：D6．复数1－7i1＋i 的虚部为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．－4 解析：∵1－7i1＋i＝1－7i 1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案：D7．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1 D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3.故选B.答案：B8．已知z－1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z －＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案：B9．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，且该点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案：A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x ＋4y|的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x ＋4y ≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.答案：C12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个解析：f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案：414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案：115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________．解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)实数m 为何值时，复数z ＝m ＋6m －1＋(m 2＋5m －6)i 是实数？解析：复数z 为实数，则虚部为0，由于实部是分式，因此要求分式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m －6＝0，m ≠1，解得m ＝－6.所以当m ＝－6时，复数z 是实数． 18．(12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.19．(12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.20．(12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解析：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去，故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.21．(12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，①②又x 2＋y 2＝1.③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解析：(1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆的半径)＝22＋1.。

高中数学第二章《统计》章末检测苏教版

第二章《统计》章末检测一、填空题1．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是①都可以分析出两个变量的关系；________．(填序号 )②都可以用一条直线近似地表示两者的关系； ③都可以作出散点图；④都可以用确定的表达式表示两者的关系．x2．由小到大排列的一组数据，x ，x ，x ，x ，其中每个数据都小于－ 1，那么对于样本 1，1 2 3 4 5 x ，－ x ，x ，－ x ，x 的中位数可以表示为 ________． 1 2 3 4 5 3．某单位有老年人 27人，中年人 54人，青年人 81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为 36 的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是 ________．4．要从已编号 (1～50) 的 50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的列中的 ________．(填序号 )5枚来进行发射的试验， 5枚导弹的编号可能是下①5,10,15,20,25；②1,2,3,4,5；③2,4,8,16,22；④3,13,23,33,43. 5．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球 40个．命中个数的茎________．叶图如下图，则下面结论中错误的一个是①甲的极差是 29②乙的众数是 21 ③甲罚球命中率比乙低④甲的中位数是 246．现要完成下列 3项抽样调查：①从 10盒酸奶中抽取 3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有 32排，每排有 40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，后，为了听取意见，需要请 32名听众进行座谈．报告会结束③东方中学共有 160名教职工，其中一般教师120名，行政人员 16名，后勤人员 24 名。

为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本．以上 3 项抽样较为合理的抽样方法分别为________．27．一个样本a, 3,5,7 的平均数是b，且a、b是方程x－5x＋ 4＝0 的两根，则这个样本的方差是 ______．^8．已知施肥量与水稻产量之间的回归方程为y的估计值为 ________．y＝4.75 x＋257，则施肥量x＝30时，对产量9．从存放号码分别为 1,2，⋯， 10 的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码 1 28 3547566 7 8 9 109取到的次数13 13 18 10 11 则取到号码为奇数的频率是________．10．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量 (单位：克 )数据分布表如下：分组频数[90，100) [100，110) [110，120) [120，130) [130，140)3[140，150]1 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量不小于 120克的苹果数约占苹果总数的________．11．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数送决赛的最佳人选应是 ________.x及其标准差s如下表所示，则选甲7 乙8丙8丁7xs 2.5 2.5 2.8 3^12.已知一个线性回归方程为y＝1.5 x＋45( x∈{1,5,7,13,19}) ，则y＝________.i13．从某小学随机抽取 100名学生，将他们的身高 (单位：厘米 )数据绘制成频率分布直方图(如图 )．由图中数据可知a＝________.若要从身高在 [120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 ______．14．某单位为了了解用电量 y 度与气温 x ℃之间的关系，随机统计了某气温 .4天的用电量与当天气温( 14 2212 268 6 用电量 (度)3438^由表中数据得回归方程 y ＝bx ＋a 中 b ＝－ 2，据此预测当气温为 5℃时，用电量的度数约为 ______．二、解答题15．某单位有 2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：人数老年中年青年小计管理 40 技术开发40 营销 40 生产 80 共计 200 80 120 160 280 480240 600 40 160 720 1 200 2 0001603201 040(1)若要抽取 40人调查身体状况，则应怎样抽样？(2)若要开一个 25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会， (3)若要抽 20人调查对北京奥运会筹备情况的了解，则应怎样抽样？则应怎样抽选出席人？16．某中学高一女生共有 450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：组别频数频率 0.16 0.12145.5～149.5 149.5～153.58 6153.5～157.5 157.5～161.5 161.5～165.5 165.5～169.5合计141080.280.200.16n mM N(1)求出表中字母m、n、M、N所对应的数值；(2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？(单位： g)如下：17．抽查 100袋婴儿奶粉，测得它们的质量385 403 393 398 401 399 404 400 403399 393 386 402 408 394 397 393 394391 403 389 406 407 397 400 388 408401 405 395 407 387 395 403 410 407411 412 395 407 409 390 394 386 407404 385 408 390 401 397 391 411 410392 410 403 393 411 395 393 412 396414 402 415 407 401 392 409 398 408402 407 394 405 394 390 395 397 405403 400 400 399 400 397 415 407 399413 397 416 401 398 404 399 400 401398(1)列出样本的频率分布表：(2)估计重量在 [400.5,412.5)(g) 的频率及不足 400 g 的频率．18．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取 6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：甲： 9,10,11,12,10,20(单位： cm)乙： 8,14,13,10,12,21.(1)在右面给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．答案11．③2. (1＋x )3．6,12,18 4.④ 5.③④6．①简单随机抽样，②系统抽样，52③分层抽样 7．58．399.59． 0.5310．70%11．乙 12．58.513． 0.030 314． 4015．解 (1)用分层抽样，并按老年4人，中年 12人，青年 24人抽取；2人，技术开发 4人，营销 6人，生产 13人抽取；(2)用分层抽样，并按管理(3)用系统抽样．对全部 2 000人随机编号，号码从 0001～2 000，每 100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，⋯， 1 900，共 20人组成一个样本．816．解 (1)由题意M＝＝50，0.16落在区间 165.5～169.5内数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝ 4，频率为n＝0.08，总频率N＝1.00.(2)频率分布直方图如图．(3)该所学校高一女生身高在＝0.76，则该校高一女生在此范围内的人数为17．解 (1)在样本数据中，最大值是 416，最小值是 385，它们的差是 31，若取组距为 4 g ，149.5～165.5 cm 之间的比例为 0.12＋ 0.28＋0.20＋0.16450×0.76＝ 342(人)．31 3由于＝7，则将数据分成 8组比较合适，使分点比数据多一位小数，且把第一组起点4 4 稍微减小一点，可得以下区间：列出样本的频率分布表：分组 [384.5,388.5)，[388.5,392.5)，⋯， [412.5,416.5]．频数 6 频率 0.06 0.08 0.16 0.21 0.18 0.16 0.10 0.05 1.00累积频率 0.06 [384.5,388.5) [388.5,392.5) [392.5,396.5) [396.5,400.5) [400.5,404.5) [404.5,408.5) [408.5,412.5) [412.5,416.5)合计8 0.14 16 21 18 16 10 5 0.30 0.51 0.69 0.85 0.95 1.00100(2)由频率分布表可知，重量在 [400.5,412.5)(g) 的频率为 0.18＋0.16＋0.10＝ 0.44，由样本数据可知，婴儿奶粉恰好是400 g 的共有 6袋，故不足 400 g 的婴儿奶粉共有 6＋8＋16＋21－6＝45(袋)，其频率是 0.45. 18．解 (1)茎叶图如图所示：9＋10＋ 11＋12＋10＋20 ＝12，(2) x 甲＝6x 乙＝8＋ 14＋13＋10＋12＋21＝13，612 2 2 2 2 2s＝×[(9－ 12)＋ (10－ 12)＋ (11－ 12)＋ (12－ 12)＋ (10－ 12)＋ (20－甲 6212) ]≈ 13.67，1 2乙2 2 2 2 2s ＝×[(8－ 13)＋ (14－ 13)＋ (13－ 13)＋ (10－ 13)＋ (12－ 13)＋ (21－6213) ]≈ 16.67.因为x < x，所以乙种麦苗平均株高较高，甲乙2 甲2乙，所以甲种麦苗长的较为整齐．又因为s <s。

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章末质量检测卷(二)统计(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本解析：选A调查的目的是“了解某地5 000名居民某天的阅读时间”，所以“5 000名居民的阅读时间”是调查的总体．2．2012年6月16日“神舟”九号载人飞船顺利发射升空，某校开展了“观‘神九’飞天燃爱国激情”系列主题教育活动．该学校高一年级有学生300人，高二年级有学生300人，高三年级有学生400人，通过分层抽样从中抽取40人调查“神舟”九号载人飞船的发射对自己学习态度的影响，则高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多()A．5B．4C．3 D．2解析：选B由已知可得该校学生一共有1 000人，则高一抽取的人数为300×401 000＝12，高三抽取的人数为400×401 000＝16，所以高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多4.3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9[23.5,27.5)18[27.5,31.5)11[31.5,35.5)12[35.5,39.5)7[39.5,43.5) 3则总体中大于或等于31.5的数据约占()A.211B．13C.12D．23解析：选B由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故总体中大于或等于31.5的数据约占2266＝13.4．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001,002，…，800，利用随机数表法抽取样本，从第7行第1个数8开始，依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是()(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行)1622779439 495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676630163783916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795457608632440947279654491746096290528477270802734328A．425 B．506C．704 D．744★答案★：D5．某地区共有10万户居民，根据分层抽样的方法，调查了该地区1 000户居民拥有冰箱的情况，调查结果如下表所示，那么该地区农村住户中无冰箱的约有()A．1.6万户B．4.4万户C．1.76万户D．0.24万户解析：选A由题意，知该地区农村住户中无冰箱的约有10×1601 000＝1.6(万户)．6.学校为了解学生每月在购买学习用品方面的支出情况，抽取了n名学生进行调查，结果显示这些学生的支出(单位：元)都在[10,50]内，其频率分布直方图如图所示．其中支出在[10,30)内的学生有66人，则支出在[40,50]内的学生人数是()A．30 B．40C．60 D．120解析：选C支出在[10,30)内的频率为(0.010＋0.023)×10＝0.33，又支出在[10,30)内的学生有66人，所以样本容量n＝660.33＝200，支出在[40,50]内的频率为1－(0.010＋0.023＋0.037)×10＝0.3，所以支出在[40,50]内的学生人数是200×0.3＝60.7．对某商店四月内每天的顾客人数进行统计，所得数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是()A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53解析：选A 由茎叶图，可知中位数为45＋472＝46，众数为45，极差为68－12＝56.8．对具有线性相关关系的变量x ，y ，由一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，得回归直线方程y ^＝16x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝3(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6＋y 7＋y 8)＝6，则实数a 的值是( )A.116 B ．18 C.14D ．1116解析：选B 由题意知x ＝18(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8)＝34，y ＝18(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6＋y 7＋y 8)＝14，因为回归直线方程过点(x ，y )，所以14＝16×34＋a ，解得a ＝18.9．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．以上说法正确的是( ) A ．③④ B ．①② C ．②④D ．①③④解析：选A 由茎叶图知甲同学的成绩为72,76,80,82,86,90，易得甲同学成绩的中位数为80＋822＝81；乙同学的成绩为69,78,87,88,92,96，易得乙同学成绩的中位数为87＋882＝87.5，故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，①说法错误；甲同学的平均分为72＋76＋80＋82＋86＋906＝81，乙同学的平均分为69＋78＋87＋88＋92＋966＝85.故甲同学的平均分比乙同学的平均分低；②说法错误，③说法正确；甲同学成绩的方差为16×[(72－81)2＋(76－81)2＋(80－81)2＋(82－81)2＋(86－81)2＋(90－81)2]≈35.7，乙同学成绩的方差为16×[(69－85)2＋(78－85)2＋(87－85)2＋(88－85)2＋(92－85)2＋(96－85)2]≈81.3，故甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，④说法正确．所以说法正确的是③④，故选A.10．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩(环数)如下面的频数条形统计图所示．则甲、乙、丙三人训练成绩的方差s 2甲，s 2乙，s 2丙的大小关系是( )A ．s 2丙＜s 2乙＜s 2甲 B ．s 2丙＜s 2甲＜s 2乙 C ．s 2乙＜s 2丙＜s 2甲D ．s 2乙＜s 2甲＜s 2丙解析：选C 由图可知，乙的成绩集中在6环，丙的成绩平均分散，甲的成绩分散在两边，所以乙的成绩最稳定，方差最小；甲的成绩最不稳定，方差最大．故选C.11．根据如下样本数据x345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0^＝b^x＋a^，则()得到的回归方程为yA.a^＞0，b^＞0 B．a^＞0，b^＜0C.a^＜0，b^＞0 D．a^＜0，b^＜0解析：选B作出散点图如图：观察图象可知，回归直线y^＝b^x＋a^的斜率b^＜0.当x＝0时，y^＝a^＞0.故a^＞0，b^＜0.12．某商场调查一旅游鞋各尺码的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺码，整理得如下部分频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则第5小组的频数是()A．4 B．5C．8 D．10解析：选B前3个小矩形的面积为1－(0.05＋0.15)×2＝0.6，又前3个小＝0.2，所矩形的面积之比为1∶2∶3，所以第2个小矩形的面积为0.6×21＋2＋3＝50，故第5小组的频数是0.05×2×50＝5，故选B.以样本总量为100.2二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温(如下表)，并求得线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，则2c ＋d ＝____.解析：由题意，得x ＝14(c ＋13＋10－1)＝22＋c 4，y ＝14(24＋34＋38＋d )＝96＋d 4.又线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，故－2×22＋c 4＋60＝96＋d 4，解得2c ＋d ＝100.★答案★：10014．一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________．解析：由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组的个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.★答案★：7615．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)[50,60)，…[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70,80)的小长方形面积为x，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.★答案★：7116．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法从各组中抽取一个编号．(1)若第1组抽出的编号为2，则所有被抽出的职工的编号为________________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该组数据的方差为________．解析：(1)由题意，知抽样的间隔为405＝8.又第1组抽出的编号为2，故所有被抽出的职工的编号为2,10,18,26,34.(2)由题中茎叶图，知5名职工体重的平均数为59＋62＋70＋73＋815＝69，则所求方差s2＝15×[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.★答案★：(1)2,10,18,26,34(2)62三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校在高二数学竞赛初赛后，对90分及以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若[130,140]分数段的参赛学生人数为2.(1)求该校成绩在[90,140]分数段的参赛学生人数；(2)估计90分及以上的学生成绩的众数、中位数和平均数(结果保留整数)．解：(1)∵[130,140]分数段的人数为2，又[130,140]分数段的频率为0.005×10＝0.05，∴[90,140]分数段的参赛学生人数为2÷0.05＝40.(2)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140]分数段的参赛学生人数依次为40×10×0.010＝4,40×10×0.025＝10,40×10×0.045＝18,40×10×0.015＝6,2.∴90分及以上的学生成绩的众数的估计值为115分，中位数的估计值为0.5－0.1－0.250.045＋110＝3403≈113(分)，平均数的估计值为95×4＋105×10＋115×18＋125×6＋135×240＝113(分)．18．(本小题满分12分)为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m名学生的各项平均成绩(满分100分)，按照以下区间分为七组：[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]并得到频率分布直方图(如图)．已知测试平均成绩在区间[30,60)内有20人．(1)求m的值及中位数n；(2)若该校学生测试平均成绩小于n，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？解：(1)由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02,0.02和0.06，则m×(0.02＋0.02＋0.06)＝20，解得m＝200.由直方图可知，中位数n位于[70,80)内，则0.02＋0.02＋0.06＋0.22＋0.04(n －70)＝0.5，解得n＝74.5.(2)设第i(i＝1,2,3,4,5,6,7)组的频率和频数分别为P i和x i，由图知，P1＝0.02，P2＝0.02，P3＝0.06，P4＝0.22，P5＝0.40，P6＝0.18，P7＝0.10，则由x i＝200×P i，可得x1＝4，x2＝4，x3＝12，x4＝44，x5＝80，x6＝36，x7＝20，故该校学生测试平均成绩是x＝35x1＋45x2＋55x3＋65x4＋75x5＋85x6＋95x7200＝74＜74.5，所以学校应该适当增加体育活动时间．19．(本小题满分12分)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间的关系，下表记录了小李某月连续5天每天打篮球的时间x(单位：h)与当天投篮命中率y的数据：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出投篮命中率y 与打篮球时间x (单位：h)之间的回归直线方程y ^＝b^x ＋a ^；(2)如果小李某天打了2.5 h 篮球，预测小李当天的投篮命中率．(参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a^＝y －b^x ) 解：(1)x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，所以b^＝ (1×0.4＋2×0.5＋3×0.6＋4×0.6＋5×0.4)－5×3×0.5(12＋22＋32＋42＋52)－5×9＝0.01，a ^＝y －b ^x＝0.5－0.01×3＝0.47，所以所求线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.47.(2)将x ＝2.5代入回归方程，得y ^＝0.01×2.5＋0.47＝0.495，所以可预测小李当天的投篮命中率为0.495.20．(本小题满分12分)某技校开展技能大赛，甲、乙两班各选取5名学生加工的某种零件，在4个小时内每名学生加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知甲班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数为21，乙班学生在4个小时内加工的合格零件数的平均数不低于甲班的平均数.(1)求m ，n 的值；(2)分别求出甲、乙两班学生在4个小时内加工的合格零件数的方差s 2甲和s 2乙，并由此比较两班学生的加工水平的稳定性．解：(1)由16＋18＋21＋22＋20＋m5＝21，解得m ＝8.由14＋10＋n ＋23＋24＋255≥21，得n ≥105－96＝9.又n ≤9，所以n ＝9.(2)由(1)知，甲、乙两班的平均数都是21，s 2甲＝15×[(16－21)2＋(18－21)2＋(21－21)2＋(22－21)2＋(28－21)2]＝16.8，s 2乙＝15×[(14－21)2＋(19－21)2＋(23－21)2＋(24－21)2＋(25－21)2]＝16.4，所以乙班学生的加工水平比甲班稳定．21．(本小题满分12分)某书店销售刚刚上市的某高三数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：(1)求试销5天的销量的方差和y 关于x 的回归直线方程；(2)预计以后的销售中，销量与单价服从(1)中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？附：b ^＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解：(1)∵x ＝18＋19＋20＋21＋225＝20，y ＝61＋56＋50＋48＋455＝52，∴s 2＝15×(92＋42＋22＋42＋72)＝33.2.∵∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝－40，∑5i ＝1(x i －x )2＝10， ∴b ^＝∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )∑5i ＝1 (x i －x )2＝－4，a ^＝y －b ^x ＝52＋20×4＝132， ∴y 关于x 的回归直线方程为y ^＝－4x ＋132.(2)获得的利润z ＝(x －10)y ＝(x －10)(－4x ＋132)，即z ＝－4x 2＋172x －1 320，∵二次函数z＝－4x2＋172x－1 320的图象开口向下，∴当x＝1728＝21.5时，z取最大值．∴当单价定为21.5元时，可获得最大利润．22．(本小题满分12分)某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种车各50辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型汽车B型汽车(1)试根据上面的统计数据，判断这两种车在某个星期内的出租天数的方差的大小关系(只需写出结果)；(2)如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由．解：(1)由数据的离散程度，可以看出B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大．(2)50辆A型汽车出租天数的平均数为x A＝3×3＋4×30＋5×5＋6×7＋7×550＝4.62，50辆B型汽车出租天数的平均数为x B＝3×10＋4×10＋5×15＋6×10＋7×550＝4.8，方案一：A型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.8，选择B型汽车的出租车的利润较大，应该购买B型汽车．方案二：A型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均值为4.8，而B型汽车出租天数的方差较大，所以应该购买A型汽车．(任选其一)。

高中数学：第2章 统计 章末质量检测卷(二)