空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
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空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
对于空间任意一个向量 p 一定可以把它平移，使它的 __起__点___与原点 O 重合，得到向量O→P＝p，由空间向量基本定理 可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝__xe_1_＋__y_e_2_＋__ze_3_.
我们把__x_、__y_、__z__称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作 p＝_(_x_，__y_，__z)__．
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新知导学 1．空间向量基本定理 (1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_x_a_＋__yb_＋__z_c___. (2)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成 的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看 作是由向量a，b，c生成的，我们把{a_，__b_，__c____}叫做空间的 一 个 基 底 ， a ， b ， c 都基叫向做量________ ， 空 间 任不何共面三 个 ________的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在 不 同 基 不底同下 的 坐 标 _______ ， 在 同相同一 基 底 下 的 坐 标 ________．
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空间向量的正交分解及其坐标表示
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空间向量的正交分解 温故知新 回顾复习平面向量基本定理及其正交分解． 思维导航 1．我们已知平面内任一向量都可以用两个不共线向量线 性表示且这种表示方法是唯一的． 类似的空间中任一向量可用几个满足什么条件的向量来表 示呢？这种表示方法唯一吗？怎样选取基向量运算更方便？
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
( 人教A版)空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)
答案：D
探究二 用基底表示向量 [典例 2] 空间四边形 OABC 中，M，N 是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表示向量O→M，O→N，M→N. [解析] 如图，取 BC 中点 P，则 A，M，P，O，N，分别共线，连接 AP，OP. O→M＝O→A＋A→M＝a＋23A→P＝a＋23×12(A→B＋A→C) ＝a＋31(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) ＝a＋31b－13a＋31c－31a＝13a＋31b＋13c.
＝ xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量 p 的单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标， 记作 p＝(x，y，z) ．
[双基自测]
1．已知 A(3,2，－3)，则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2,3)
B．(－3,2，－3)
C．(－3,2,3)
D．(－3，－2，－3)
3．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点， 并且 PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量M→N，D→C的坐标．
解析：如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，且 PA⊥平面 ABCD， AD⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3，以{e1，e2，e3} 为基底建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为D→C＝A→B＝e2，
B.34，34，34 D.23，23，23
解析：如图，由已知O→G＝34O→G1 ＝34(O→A＋A→G1) ＝34[O→A＋13(A→B＋A→C)] ＝34O→A＋14[(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)] ＝14O→A＋14O→B＋14O→C， 从而 x＝y＝z＝14. 答案：A
高中数学选修2-13.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)
探究三 求空间向量的坐标
[典例 3] 在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中，∠AOB＝π2，AO＝4， BO＝2，AA1＝4，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角 坐标系中，求D→O，A→1B的坐标． [解析] ∵D→O＝－O→D＝－(O→O1＋O→1D) ＝－[O→O1＋12(O→A＋O→B)] ＝－O→O1－12O→A－12O→B.
2.如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC， 设O→A＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点， 试用 a，b，c 表示B→F，B→E，A→E，E→F.
解析：连接 BO，则B→F＝12B→P ＝12(B→O＋O→P)＝12(c－b－a) ＝－12a－12b＋12c. B→E＝B→C＋C→E＝－a＋12C→P＝－a＋12(C→O＋O→P)＝－a－12b＋12c. A→E＝A→P＋P→E＝A→O＋O→P＋12(P→O＋O→C)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. E→F＝12C→B＝12O→A＝12a.
3．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点， 并且 PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量M→N，D→C的坐标．
解析：如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，且 PA⊥平面 ABCD， AD⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3，以{e1，e2，e3} 为基底建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为D→C＝A→B＝e2，
M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝－12A→B＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3. 所以M→N＝－12，0，12，D→C＝(0,1,0)．
( 人教A版)空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)
解析：结合空间直角坐标系知选 C. 答案：C
2．O，A，B，C 为空间四点，且向量O→A，O→B，O→C不能构成空间的一个基底，
则( )
A.O→A，O→B，O→C共线
B.O→A， O→B共线
C.O→B，O→C共线
D．O，A，B，C 四点共面
解析：由O→A，O→B，O→C不能构成基底知O→A，O→B，O→C三向量共面，所以，O，A，
2．空间直角坐标系 以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为 原点 ，分别 以 e1，e2，e3 的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O-xyz. 3．空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量 p，一定可以把它 平移 ，使它的起点与原点 O 重合，得
到向量O→P＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p
即 e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴－x＋3xy＝＋2y＝，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解．
∴O→A，O→B，O→C不共面，
∴{O→A，O→B，O→C}可作为空间的一个基底．
判断一组向量能否作为空间的基底的方法 (1)关键是要判断它们是否共面，如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果 存在一个向量可以用另外的向量线性表示，也不能构成基底； (2)如果从正面难以入手，常用反证法或是借助一些常见的几何图形帮助我们进行 判断； (3)用反证法证明时，要结合空间向量共面定理．
答案：D
探究二 用基底表示向量 [典例 2] 空间四边形 OABC 中，M，N 是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表示向量O→M，O→N，M→N. [解析] 如图，取 BC 中点 P，则 A，M，P，O，N，分别共线，连接 AP，OP. O→M＝O→A＋A→M＝a＋23A→P＝a＋23×12(A→B＋A→C) ＝a＋31(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) ＝a＋31b－13a＋31c－31a＝13a＋31b＋13c.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B
空间向量的正交分解及其坐标表示(共23张PPT)
新知探求 素养养成
知识点一 空间向量基本定理 如图(1)所示,已知 AB =a, AD =b, AA1 =c, AC1 =p.
问题 1:向量 p 如何用向量 a,b,c 表示? 答案:p= AB + AD + AA1 =a+b+c.
梳理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
课标要求
素养达成
1.理解空间向量基本定理,并能用 基本定理解决一些几何问题. 2.理解基底、基向量及向量的线性 组合的概念. 3.掌握空间向量的坐标表示,能在 适当的坐标系中写出向量的坐标.
通过对空间向量正交分解及其坐 标表示的学习,培养学生的思维能 力,提高学生的直观想象、空间思 维能力.
(3)用基底表示向量.
知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示
如图(2)所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,在AB,AD,AA1上分别取单位向量 e1,e2,e3.
问题 2:向量 AC1 如何用向量 e1,e2,e3 表示?
答案: AC1 = AB + BC + CC1 = AB + AD + AA1 =4e1+4e2+4e3.
解:能.假设 OA , OB , OC 共面, 根据向量共面的充要条件有 OA =x OB +y OC , 即 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.
3x y 1,
所以
x
y
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
z
以 i, j, k 为单位正交基底
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)
p xi y j zk
k
O
i
j
x
y y 记 p (x, y, z)
x
OP ( x, y, z) P( x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
使 AP xa yb .
O
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
⑵∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上
3.中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
空间向量的正交分解及坐标表示PPT课件
3x y 1,
所以
x
y
2,
此方程组无解.
2x y 1.
所以 OA , OB , OC 不共面. 所以 OA , OB , OC 可构成空间的一个基底.
第16页/共42页
四、学后反思
1、知识点：
2、问题探究过程的思路剖析： [课下探究] 空间向量基本定理与课本95页“思考“栏目中 的第二问题有什么联系？你有何体会？
记作 p =(x,y,z)
PP k
i Oj
y
空间向量 p
i, j, k 为基底
P′
一一对应
x 有序实数组 (x, y, z)
p xi y j zk
第11页/共42页
练习. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以A为坐标原点，以 AB,AD,AA1为x轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量 ， ，为x轴、y轴、z轴正方向的单位向
23
2
1 OA 1 1 (OB OC ) 3 32
第14页/共42页
练习 .空间四边形OABC
中,OA=a,OB=b,OC=c
点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的
M
O中点,则 MN=(
).
(A)
1 2
a
－
2 3
b
+
1 2
c
(B)－
2 3
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b －
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
314空间向量的正交分解及其坐标表示精品PPT课件
使得. OQ xi+yj
从而OP OQ zk=xi+yj+zk.
k O
j
P
y
i
x
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空 间任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k 上的分向量。
z
k O
j
P
y
i
x
Q
一、空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向
d AB | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
4.设 A (x1 , y1 , z1 ), B (x2 , y2 , z2 )
则 AB ＝
，AB
．
AB的中点M的坐标为
．
例1.设 a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．
(1)若(k a ＋ b )∥( a－3 b)，求 k；
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
所以 所以
DA1 EF
(1 , 0 DA1
, 1) ( 12ຫໍສະໝຸດ ,1 2,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
练习1: 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M , N 分 别是 AB, PC 的中点,并且 PA AD ,求证:MN 平面PDC
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件(共20张ppt)
一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1e1＋λ 2e2.
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）
平面向量的正交分解及坐标表示
y
a
a xi y j
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0).
j
oi
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
A．(14，14，14) B．(34，34，34)
111
222
C．(3，3，3) D．(3，3，3)
2. 设x = a + b,y = b + c,z = c + a,且a,b,c
是空间的一个基底,给出下列向量组
①a,b,x; ②x,y,z; ③b,c,z; ④x,y,a + b + c.Βιβλιοθήκη 其中可以作为空间的基底的向量组
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，
且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示向量MN为 ( C )
A.1 a + 1 b + 1 c 222
C．- 1 a + 1 b + 1 c 222
B.1 a - 1 b + 1 c 222
D.- 1 a + 1 b - 1 c 222
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
中写出向量的坐标.
探究点1 空间向量基本定理
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量p = OP,
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
0＝λ＋μ. 不共面．
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基 底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六 面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱 对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关 的判断．
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任 一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋ zc，其中{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c 都叫作 基向量．
2．空间向量的正交分解及坐标表示 (1)单位正交基底：由三个两两垂直的有公共起点的 单位向量组成的基底称为单位正交基底． (2)空间向量的正交分解：在空间直角坐标 系 Oxyz 中，沿 x 轴、y 轴、z 轴的正方向各有 一个单位向量 i，j，k(组成空间一个单位正交 基底{i，j，k})，那么对于空间任意一个向量 p ＝O→P，可以沿三条坐标轴的方向进行分解(如图所示)，即 存在一个有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这 样的分解称为空间向量的正交分解．
类型 2 用基底表示向量 [典例 2] 如图所示，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝ c，D 为 BC 的中点．试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
解：因为O→G＝O→A＋A→G，
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A， 又 D 为 BC 中点， 所以O→D＝12(O→B＋O→C)， 所以O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A)＝O→A＋23×12 (O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)． 而G→H＝O→H－O→G，
空间向量的正交分解及其坐标表示、运算PPT优秀课件
B(x2 , y2 ,z2)，则 A B (x 2 x 1,y 2 y 1,z2 z1 )
|A B |A BA B(x 2x 1)2 (y2y 1)2 (z2 z1 )2
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
五、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
|a |2 a a a 1 2 a 2 2 a 3 2
|b |2 b b b 1 2 b 2 2 b 3 2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
a b(a1 b 1,a2b 2,a3b 3);
a(a 1,a2,a 3),( R );
aba1b1a2b2a3b3 ;
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R );
a 1/b 1a2/b 2a2/b 2 . a b a1b1a2b2a3b30;
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a, b,c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.
这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
四、向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则 a b(a1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3);
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
|A B |A BA B(x 2x 1)2 (y2y 1)2 (z2 z1 )2
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
2.两个向量夹角公式
五、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
|a |2 a a a 1 2 a 2 2 a 3 2
|b |2 b b b 1 2 b 2 2 b 3 2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
a b(a1 b 1,a2b 2,a3b 3);
a(a 1,a2,a 3),( R );
aba1b1a2b2a3b3 ;
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R );
a 1/b 1a2/b 2a2/b 2 . a b a1b1a2b2a3b30;
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a, b,c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.
这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
四、向量的直角坐标运算
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则 a b(a1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3);
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
空间向量的正交分解及其坐标表示 .ppt
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
跟踪训练
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
祝
您
空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任 意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而 且这种表示是唯一的．
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一 空间向量．
3．空间向量的基本定理及其推论．
基础梳理
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )
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令 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D， 则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C， a＋b＋c＝A→C1. 可知向量 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 不共面，故选 B.
已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且O→A＝e1＋2e2－e3，O→B ＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能 否作为空间的一个基底．
所以－ x＋3xy＝＋2y＝1，此方程组无解． 2x－y＝－1
即不存在实数 x，y，使得O→A＝xO→B＋yO→C成立，所以O→A，O→B，
O→C不共面．
故{O→A，O→B，O→C}能作为空间的一个基底．
空间向量基本定理 四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC，设O→A ＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a， b，c 表示B→F，B→E，A→E，E→F.
因为A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1) ＝O→B－O→A－A→A1. 又|O→B|＝2，|O→A|＝4，|A→A1|＝4， 所以A→1B＝－4i＋2j－4k. 所以A→1B＝(－4，2，－4)．
解：分别取 BC，B1C1 的中点 D，D1，以 D 为原点，分别以D→C， D→A，D→D1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐 标系，如图所示，则 A(0， 23，0)，A1(0， 23，2)， B1(－12，0，2)，C1(12，0，2)，
所以A→A1＝(0，0，2)， A→B1＝(－12，－ 23，2)，A→C1＝(12，－ 23，2)．
在直三棱柱 ABOA1B1O1 中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2， AA1＝4，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中(其 中 i，j，k 为单位向量)以 i，j，k 为基底，求D→O、A→1B的坐标．
解：因为D→O＝－O→D＝－(O→O1＋O→1D)＝－[O→O1＋12(O→A＋O→B)] ＝－O→O1－12O→A－12O→B. 又|O→O1|＝4，|O→A|＝4，|O→B|＝2， 所以D→O＝－12×4i－12×2j－4k， 所以D→O＝(－2，－1，－4)．
A→N＝12(A→B′＋A→C′) ＝12(A→B＋B→B′＋A→C′) ＝12A→B＋12C→C′＋12A→C′ ＝12A→B＋12(A→C′－A→C)＋12A→C′ ＝12A→B＋A→C′－12A→C ＝12b＋a－12c.
空间向量的坐标表示 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知△ABC 的边长为 1，三棱 柱的高为 2，建立适当的空间直角坐标系，并写出A→A1，A→B1， A→C1的坐标．
空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的基底
设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个
基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，
③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有
() A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
解析：选 B.因为 x＝a＋b， 所以向量 x，a，b 共面． 如图，
解：连接 BO，
则B→F＝12B→P ＝12(O→P＋B→O)＝12(c－b－a) ＝－12a－12b＋12c.
B→E＝B→C＋C→E＝－a＋12C→P＝－a＋12(C→O＋O→P) ＝－a－12b＋12c. A→E＝A→P＋P→E＝A→O＋O→P＋12(P→O＋O→C) ＝－a＋c＋12(－c＋b) ＝－a＋12b＋12c. E→F＝12C→B＝12O→A＝12a.
A→N＝A→A′＋A→′N ＝A→A′＋12(A→′B′＋A→′C′) ＝A→A′＋12(A→B＋A→C) ＝a＋12b＋12c.
[变式] 若把本题中的“A→A′＝a”改为“A→C′＝a”，其他条件 不变，则结果是什么？ 解：因为 M 为 BC′的中点，N 为 B′C′的中点， 所以A→M＝12(A→B＋A→C′) ＝12a＋12b.
解：假设O→A，O→B，O→C共面，由向量共面的充要条件知，存在 实数 x，y，使得O→A＝x O→B＋y O→C成立， 即 e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 所以 e1，e2，e3 不共面，
Байду номын сангаас
如图，在三棱柱 ABC-A′B′C′中，已知A→A′＝a，A→B＝b，A→C ＝c，点 M，N 分别是 BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c} 表示向量A→M，A→N.
解：连接 A′N(图略)． A→M＝A→B＋12B→C′＝A→B＋12(B→C＋C→C′) ＝A→B＋12B→C＋12C→C′ ＝A→B＋12(A→C－A→B)＋12A→A′ ＝12A→B＋12A→C＋12A→A′ ＝12(a＋b＋c)．
已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且O→A＝e1＋2e2－e3，O→B ＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能 否作为空间的一个基底．
所以－ x＋3xy＝＋2y＝1，此方程组无解． 2x－y＝－1
即不存在实数 x，y，使得O→A＝xO→B＋yO→C成立，所以O→A，O→B，
O→C不共面．
故{O→A，O→B，O→C}能作为空间的一个基底．
空间向量基本定理 四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC，设O→A ＝a，O→C＝b，O→P＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用 a， b，c 表示B→F，B→E，A→E，E→F.
因为A→1B＝O→B－O→A1＝O→B－(O→A＋A→A1) ＝O→B－O→A－A→A1. 又|O→B|＝2，|O→A|＝4，|A→A1|＝4， 所以A→1B＝－4i＋2j－4k. 所以A→1B＝(－4，2，－4)．
解：分别取 BC，B1C1 的中点 D，D1，以 D 为原点，分别以D→C， D→A，D→D1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐 标系，如图所示，则 A(0， 23，0)，A1(0， 23，2)， B1(－12，0，2)，C1(12，0，2)，
所以A→A1＝(0，0，2)， A→B1＝(－12，－ 23，2)，A→C1＝(12，－ 23，2)．
在直三棱柱 ABOA1B1O1 中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2， AA1＝4，D 为 A1B1 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中(其 中 i，j，k 为单位向量)以 i，j，k 为基底，求D→O、A→1B的坐标．
解：因为D→O＝－O→D＝－(O→O1＋O→1D)＝－[O→O1＋12(O→A＋O→B)] ＝－O→O1－12O→A－12O→B. 又|O→O1|＝4，|O→A|＝4，|O→B|＝2， 所以D→O＝－12×4i－12×2j－4k， 所以D→O＝(－2，－1，－4)．
A→N＝12(A→B′＋A→C′) ＝12(A→B＋B→B′＋A→C′) ＝12A→B＋12C→C′＋12A→C′ ＝12A→B＋12(A→C′－A→C)＋12A→C′ ＝12A→B＋A→C′－12A→C ＝12b＋a－12c.
空间向量的坐标表示 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知△ABC 的边长为 1，三棱 柱的高为 2，建立适当的空间直角坐标系，并写出A→A1，A→B1， A→C1的坐标．
空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的基底
设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个
基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，
③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有
() A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
解析：选 B.因为 x＝a＋b， 所以向量 x，a，b 共面． 如图，
解：连接 BO，
则B→F＝12B→P ＝12(O→P＋B→O)＝12(c－b－a) ＝－12a－12b＋12c.
B→E＝B→C＋C→E＝－a＋12C→P＝－a＋12(C→O＋O→P) ＝－a－12b＋12c. A→E＝A→P＋P→E＝A→O＋O→P＋12(P→O＋O→C) ＝－a＋c＋12(－c＋b) ＝－a＋12b＋12c. E→F＝12C→B＝12O→A＝12a.
A→N＝A→A′＋A→′N ＝A→A′＋12(A→′B′＋A→′C′) ＝A→A′＋12(A→B＋A→C) ＝a＋12b＋12c.
[变式] 若把本题中的“A→A′＝a”改为“A→C′＝a”，其他条件 不变，则结果是什么？ 解：因为 M 为 BC′的中点，N 为 B′C′的中点， 所以A→M＝12(A→B＋A→C′) ＝12a＋12b.
解：假设O→A，O→B，O→C共面，由向量共面的充要条件知，存在 实数 x，y，使得O→A＝x O→B＋y O→C成立， 即 e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 所以 e1，e2，e3 不共面，
Байду номын сангаас
如图，在三棱柱 ABC-A′B′C′中，已知A→A′＝a，A→B＝b，A→C ＝c，点 M，N 分别是 BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c} 表示向量A→M，A→N.
解：连接 A′N(图略)． A→M＝A→B＋12B→C′＝A→B＋12(B→C＋C→C′) ＝A→B＋12B→C＋12C→C′ ＝A→B＋12(A→C－A→B)＋12A→A′ ＝12A→B＋12A→C＋12A→A′ ＝12(a＋b＋c)．