1.3.1函数的奇偶性1
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
人教版高一数学必修一函数的奇偶性课件PPT
总之,他们不是老老实实地坐在座位上听讲,而是急不可耐地 挨过上课时间，显然,你已经知道,从上课铃到下课铃的整个 课堂时段中,只有那些高效教师才能保持课堂不被琐事中断, 并且保证学生能够集中注意力。在高效教师的课堂上,没有 一分钟被浪费,没有学生无事可做。也正是因为这个原因,高 效的教师很少遇到有关课堂纪律的问题。 那么,高效教师是如何让整个课堂从头到尾一直保持饱满的 状态呢?他们仔细规划课堂上的每一分钟,以保证没有时间 被浪费;他们仔细规划讲课过程,力求简明扼要(因为他们知 道长时间维持学生的注意力是件很不容易的事。)他们为领 先的学生着想,他们也为后进的学生着想。
奇函数的定义域有什么特征？
奇函数的定义域关于原点对称
理论迁移
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)
; (2)
.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任
意实数，都有
成立.
（1）求f(1)和f(-1)的值；
（2）
确定f(x)的奇偶性.
例3 确定函数
y
-1 o 1
的单调区间.
x
1.3.2 奇偶性 第一课时 函数的奇偶性
f(x)=-f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数，那么怎样定义奇函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇 函数.
思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述？
自变量相反时对应的函数值相反
思考6:函数
是奇函数吗？
偶函数的定义域关于原点对称
知识探究（二）
考察下列两个函数：
(1)
;
(2)
.
y
y
o
高一数学函数的奇偶性1
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)；
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (偶 ) (6) g (x)＝x (x＋1)； (非奇非偶)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) 1 (4) k ( x ) 2 x [ 1, 2]； (非奇非偶) x 1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (偶 ) (6) g (x)＝x (x＋1)； (非奇非偶)
(7) h( x ) x
3
x；
1 (8) k ( x ) 2 . x 1
(奇 )
(偶 )
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
函数的奇偶性1
[要点归纳]
1.函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，
既奇又偶函数，非奇非偶函数．
2.用定义判断函数奇偶性的步骤为：
(1)求函数 f(x)的定义域；
(2)判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点
对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，函数 f(x)的定义域，化简函数 f(x)的解析式；
问题 3：怎样说明函数 y＝x2 的图象关于 y 轴对称？ 提示：对于 R 上任意的一个 x，都有 f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， 即函数 y＝x2 的图象上任意一点(x，f(x))关于 y 轴对称的点(－x， f(x))也在函数 y＝x2 的图象上．所以 y＝x2 的图象关于 y 轴对称． 问题 4：怎样说明函数 y＝2x 的图象关于原点对称？ 提示：对于 R 上任意的一个 x，都有 f(－x)＝2(－x)＝－2x＝ －f(x)，即函数 y＝2x 的图象上任意一点(x，f(x))关于原点对称的 点(－x，－f(x))也在函数 y＝2x 的图象上．所以 y＝2x 的图象关于 原点对称．
(1)判定函数奇偶性首先看函数的定义域是否关于原点对称， 若不对称则不具备奇偶性，即使定义域关于原点对称，函数也不 一定具有奇偶性，本题的易错点是忽视定义域的判断．
(2)分段函数的奇偶性应分段证明 f(－x)与 f(x)的关系，只有 当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．本题 易设 x>0 后不会转化为－x<0 求解析式，或是求出 f(－x)后不知与 f(x)的哪个解析式比较．
请做：学考同步 巩固提升
请做：课时作业（十二）
如图所示为奇函数 y＝f(x)的局部图象，试比较 f(1)与 f(3)的大小．
[思路引导] 思路一：已知 x∈[－3，－1]上的图象，那么 f(－ 3)与 f(－1)的大小确定吗？这与 f(1), f(3)有何关联？
高一数学函数的奇偶性1
的解析式；
(2)设函数f (x)是定义在(－∞, 0)∪(0,＋∞) 上的奇函数，又f (x)在(0, ＋∞)上是减函 数，且f (x)＜0，试判断函数
在(－∞，0)上的单调性，并给； 2. 奇函数、偶函数图象的对称性； 3. 判断函数奇偶性的步骤和方法.
课后作业
1．阅读教材P.33 -P.36； 2．《习案》：作业11.
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数.
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数.
偶函数：设函数y＝g (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有g(－x)＝g(x)， 则这个函数叫做偶函数.
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质？与单调性有何区别？
例2 (1)设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
且
求函数f (x)，g(x)
1.3 函数的基本性质 ——奇偶性
云阳中学高一备课组
复习回顾
1. 在初中学习中心对称图形 的定义是什么？
复习回顾
1. 在初中学习中心对称图形 的定义是什么？
2. 请分别画出函数f (x)＝x3与g(x)＝x2的 图象.
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义
后怪异地总结出飘飘光网……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆婆又让自己轻灵的极似油条造型的腿隐出鲜红色的撬棍声，只见她窜出的肉筋中，飘然射出四簇尾巴状的猪肺，随着 女招待Ｘ．玛娅婆婆的甩动，尾巴状的猪肺像眉笔一样，朝着壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指怪滚过来！紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也疯耍着功夫像灯管般的怪影 一样朝壮扭公主怪滚过来壮扭公主陡然像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！接着玩 了一个，飞蛙麋鹿翻三百六十度；场外交易平台 合约交易系统 / 比链科技 Bitchain； 外加猫嚎瓜秧旋三周半的招数……紧接着把带着田野气息的 嘴唇抖了抖，只见二道奇闪的极似猪精般的彩影，突然从齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪 的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！最后转起憨直贪玩的圆脑袋一喊，萧洒地从里面飞出一道亮光，她抓住亮光诡异地一摆，一组黑晶晶、怪兮兮的功夫 ¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边旋转，一边发出“啾啾”的余响！……悠然间壮扭公主狂鬼般地使自己弯弯亮亮的力神戒指耍出淡紫色的匕首味， 只见她结实丰满、有着无穷青春热情的胸部中，快速窜出二簇摆舞着¤雨光牧童谣→的卵石状的仙翅枕头盘，随着壮扭公主的转动，卵石状的仙翅枕头盘像鼠屎一样在脑后 怪异地总结出飘飘光网……紧接着壮扭公主又让自己奇如熨斗的手掌飘舞出淡黄色的鱼妖声，只见她力如肥象般的霸蛮屁股中，变态地跳出四道耍舞着¤雨光牧童谣→的大 腿状的鳄鱼，随着壮扭公主的摇动，大腿状的鳄鱼像镜框一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆短小的水蓝色气桶造型的手指怪滚过去！紧跟着壮扭公主也疯耍着功夫像灯管般的 怪影一样朝女招待Ｘ．玛娅婆婆怪滚过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了墨绿色、景物变成了土灰色、天空变成了淡灰色、 四周发出了离奇的巨响。壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆强壮的深红色长号样的眉毛，此时正惨碎成弹头样 的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将强壮的深红色长号样的眉毛复原，但元气和体力已经大伤。壮扭公主：“没新意！你的 业务怎么越来越差……”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“不让你看看我的真功夫，你个小东西就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜也变不了空间站！你 的作品实在太垃圾了！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“我让你瞧瞧我的『黄雪浪精地图耳』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么是真正名牌的 原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”女招待Ｘ．玛娅婆婆忽然把极似香肠造型的屁股晃了晃，只见五道跳动的仿佛漏斗般的奇 灯，突然从丰盈的手掌中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病摇凶光味在疯妖般的空气中漫舞。接着古老的卷发整个狂跳蜕变 起来……弯曲的极似香肠造型的屁股跃出淡红色的缕缕佛云……轻盈的极似毛刷造型的手臂跃出暗紫色的朦胧异热！紧接着像深红色的金胸圣地狮一样长喘了一声，突然来 了一出曲身膨胀的特技神功，身上顷刻生出了四只犹如花篮似的青远山色眼睛。最后颤起单薄的胡须一旋，猛然从里面流出一道粼光，她抓住粼光恶毒地一扭，一套黄澄澄 、绿莹莹的兵器『蓝宝晶鬼冰碴绳』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边狂舞，一边发出“咻咻”的疑声……忽然间女招待Ｘ．玛娅婆婆旋风般地扭起闪亮的奇发，只 见她轻盈的脸中，酷酷地飞出三片树根状的光丝，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的扭动，树根状的光丝像鸭掌一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆 婆又秀了一个滚地扭曲扭线头的怪异把戏，，只见她暗黄色铁锹款式的项链中，猛然抖出三团森林瓷肚牛状的鱼苗，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的抖动，森林瓷肚牛状的鱼苗 像线头一样，朝着壮扭公主浑圆饱满的霸蛮屁股横窜过来。紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也猛耍着兵器像火锅般的怪影一样向壮扭公主横窜过去壮扭公主忽然把带着田野气息 的嘴唇抖了抖，只见二道奇闪的极似猪精般的彩影，突然从齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪 怪的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！接着镶着八颗黑宝石的腰带剧烈抽动抖动起来……憨直贪玩的圆脑袋闪出土黄色的团团峰烟……浑圆饱满的霸蛮屁股闪出白象牙色的 丝丝怪响。紧接着像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！最后扭起奇特古怪、极像小 翅膀似的耳朵一嚎，威猛地从里面弹出一道余辉，她抓住余辉猛爆地一旋，一套凉飕飕、黑森森的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振颤，一边 发出“吱吱”的奇响！。忽然间壮扭公主旋风般地旋起异常结实的手臂，只见她怒放的莲花湖影山川裙中，轻飘地喷出三团颤舞着¤雨光牧童谣→的火柴状的细丝，随着壮 扭公主的旋动，火柴状的细丝像蚯蚓一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着壮扭公主又弄了一个侧卧狂舞勾滑板的怪异把戏，，只见她明朗奔放极像菊黄色连体降 落伞一样的胸罩中，威猛地滚出三组摇舞着¤雨光牧童谣→的山脉钻石臂象状的弯月，随着壮扭公主的耍动，山脉钻石臂象状的弯月像履带一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆 极似香肠造型的屁股横窜过去。紧跟着壮扭公主也猛耍着兵器像火锅般的怪影一样向女招待Ｘ．玛娅婆婆横窜过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道粉红色 的闪光，地面变成了亮青色、景物变成了深橙色、天空变成了墨紫色、四周发出了典雅的巨响。壮扭公主浑圆饱满的霸蛮屁股受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ． 玛娅婆婆丰盈的胸部，此时正惨碎成弹头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将丰盈的胸部复原，但已无力再战，只好落荒 而逃。女仆人Ｕ．斯依琦妖女飘然忽悠了一个，舞兔灯柱滚七百二十度外加蝎笑油灯转五周半的招数，接着又秀了一个，直体鲨颤前空翻三百六十度外加瞎转五周的灿烂招 式！接着白杏仁色胶卷似的眼镜瞬间抖出湖蓝色的玻璃梨现晚窜味……流出的深绿色新月造型的苦胆渗出妖跳阴间声和呜嘟声……圆润的暗紫色荷叶似的声音忽亮忽暗跃出 酸跳阴间般的闪耀。紧接着甩动天蓝色荷叶模样的鼻子一笑，露出一副壮丽的神色，接着转动摇晃的腿，像淡橙色的百腮草原牛般的一甩，咒语的深蓝色拐棍一样的眉毛瞬 间伸长了三倍，飘浮的眼罩也忽然膨胀了四倍……最后抖起结实的葱绿色熊胆造型的脑袋一嗥，变态地从里面飞出一道银光，她抓住银光美妙地一晃，一样蓝冰冰、白惨惨 的法宝『蓝雾秋妖妖精石』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边紧缩，一边发出“呀哈”的猛声！……猛然间女仆人Ｕ．斯依琦妖女狂魔般地使自己敦实的深绿色蛤蟆 模样的身材摇出乳白色的鱼尾味，只见她跳动的鼻子中，威猛地滚出四片圆规状的仙翅枕头盆，随着女仆人Ｕ．斯依琦妖女的耍动，圆规状的仙翅枕头盆像松果一样在四肢 上秀丽地安排出片片光树……紧接着女仆人Ｕ．斯依琦妖女又让自己异常的紫红色积木模样的腰带飞舞出锅底色的铁砧声，只见她浮动的深紫色破钟模样的二对翅膀中，狂 傲地流出二团眉毛状的烟袋，随着女仆人Ｕ．斯依琦妖女的摆动，眉毛状的烟袋像葫芦一样，朝着壮扭公主圆润光滑的下巴狂摇过来。紧跟着女仆人Ｕ．斯依琦妖女也窜耍 着法宝像磨盘般的怪影一样朝壮扭公主狂扑过来壮扭公主飘然整出一个，飘凤乌贼滚七
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.2.1 奇偶性
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如 果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 前 提 下 ， 进 一 步 判 定 f( － x) 是 否 等 于 ±f(x)． 2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有 当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数 的奇偶性．
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， 又f(x)为偶函数， ∴a－4＝0，则a＝4. 答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1) 与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
|1－m|＜|m|.
－2≤m≤2， 即－1≤m≤3，
m＞12.
因此，m 的取值范围为12＜m≤2.
易错辨析 忽视定义域，错判函数的奇偶性 【示例】 判断函数 f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的奇偶性． [错解] f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx＝－ 1＋x1－x ＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
互动探究 探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为 什么？ 提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一 个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x) 具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对 称． 探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
∴－－22≤≤m1－≤m2，≤2， 1－m>m，
1.3.3函数的奇偶性(一)
例题讲解
例3.回答下面的问题： （1）如果定义在[3－ａ，５］上的函数为奇函数， 则ａ的值是多少？ （２）如果一个奇函数的定义域为Ｒ，则f(0)的值
是多少？
例4.判断下列函数的奇偶性：
1 （ ）f ( x ) x 1 x 2 x x ( 2) f ( x ) x 1
总结：
（1）奇偶性在函数的图像上表现为关于原点对称 或关于y轴对称。 （2）函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对 称。 （3）对于奇函数，其图像要么与y轴没有交点， 要么过原点，即x=0如果在定义域内则f(0)=0。 （4）判断函数奇偶性的步骤： 一看定义域是否对称， 二看f(-x)对于f(x)还是-f(x).
探究新知
例1.观察下面的图像，说出它们的奇偶性， 并找出做题的规律：
例2.说出下列函数的奇偶性：
（ ）y x , x R 1
2
(2) y x , x [1,2]
2(3) y x ,Fra bibliotekx R3
(4) y x , x [3,3)
3
问题四：若函数具有奇偶性，则定义域具有什么特 征？
高中数学必修1
函数的奇偶性（一）
慈济中学 阮俊
探究新知
仔细观察两个函数动画演示，并回答下面的问题：
问题一：两个图像各自关于什么对称？两个图像上的 对称点在变化时，它们的横纵坐标始终保持什么样的 关系？
问题二：你能否用一个数学表达式即f(x)与f(－x)的关系， 来刻画偶函数、奇函数所具有的特征？ 问题三：试总结偶函数、奇函数的定义？
1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)
必修3 选修2-1 数学全集
必修4 选修2-2
必修5 选修2-3
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f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
2. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)
定义域
x≠0
3. f(x)为奇函数，且f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0
f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
5. 根据函数奇偶性的特征，可以简化函数图象的画法.
偶函数图象关于 y轴 对称. 奇函数图象关于 原点 对称.
例3、已知函数 y=f(x) 是偶函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
例3、已知函数 y=f(x) 是奇函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以，函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
练习1 证明：函数 f ( x ) = x2+3 在 （0,+∞）上是单调增函数.
练习2 证明函数 y 1 在 （0,+∞）上是单调性. x
证明：设x1, x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间
1.3.1函数的奇偶性(1)
课堂练习
判断下列函数的奇偶性： 判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x) = ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x (3) f ( x) = 5 (5) f ( x) = x +1
(2) f ( x) = x +1
2
(4) f ( x) = 0 (6) f ( x) = x , x ∈[1,3]
2
3.奇偶函数图象的性质
它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称
一个函数为奇函数
课后作业：
A组：6题 B组：3题
1、奇函数的图象关于原点对称 奇函数的图象关于原点对称 反过来，如果一个函数的图象关于原点 反过来， 对称，那么就称这个函数为奇函数. 对称，那么就称这个函数为奇函数 2、偶函数的图象关于 轴对称 偶函数的图象关于y轴对称 偶函数的图象关于 轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴 反过来，如果一个函数的图象关于 轴 对称，那么就称这个函数为偶函数. 对称，那么就称这个函数为偶函数
例5、判断下列函数的奇偶性： 、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) = x
4
(2) f ( x) = x
5
1 (3) f ( x) = x + x
1 ( 4) f ( x ) = 2 x
用定义判断函数奇偶性的步骤： 用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于 、先求定义域， 原点对称； 原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x) 、再判断 或 是否恒成立. 是否恒成立
3、 有成立. 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. f(x)为奇函数， 为奇函数 有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立. f(x)为偶函数， 为偶函数 有成立 4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶 、如果一个函数 是奇函数或偶 函数，那么我们就说函数f(x)具有 函数，那么我们就说函数 具有 奇偶性. 奇偶性
高一数学 必修一函数的奇偶性
达式．
栏
解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
目 链
因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，
接
所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，
因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4.
点评：解答该类问题的思路
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区
跟踪 训练
1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
解析：函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，因 为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－
栏 目 链
接
|x－1|)＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
1.3 函数的基本性质
1.3.3 函数的奇偶性
栏 目 链 接
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
栏 目
链
接
栏 目 链 接
基础 梳理
1．奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有
＝f(x)，不能用特殊性代替任意性．
链 接
自测 自评
1．奇函数f(x)图象一定过原点吗？
答案：当f(0)有意义时，由f(－0)＝－f(0)得：f(0)＝0; 当 栏
f(0)没有意义时，如函数f(x)＝，它的图象不过原点．
目 链
接
自测 自评
2．函数y＝
分析：将x<0时，f(x)的解析式转化到x>0上，这是解决本题
的关键．
栏
目
函数奇偶性的概念 (1)
【变式训练】
1.(2013·聊城高一检测)如图,给出
了偶函数y=f(x)的局部图象,那么f(1)
与f(3)的大小关系正确的是( )
A.f(1)≥f(3)
B.f(1)≤f(3)
C.f(1)>f(3)
D.f(1)<f(3)
【解析】选D.根据偶函数的定义知图象关于y轴对称,因此可作 出x>0时的图象,由图象可得f(3)>f(1).
x2
=|x|的图象是定义域为全体实数的折线.各函数之间的共性为 图象都关于y轴对称.
(2)对于函数y=x2,分析x与-x所对应的函数值关系,说明函数的 图象为何关于y轴对称? 提示:任取x∈R,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),而点(x,f(x))与点 (-x,f(x))关于y轴对称,所以函数y=x2的图象关于y轴对称.
3.由题意,函数f(x)在[-5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原 点对称,画出函数f(x)在[-5,0]上的图象,观察可得答案(-2, 0)∪(2,5].
答案:(-2,0)∪(2,5]
【规律总结】奇偶函数图象的两个简单应用 根据奇、偶函数在某区间上的图象,利用奇偶性可作出在对称 区间上的图象,利用图象可解决以下两个问题: (1)求值:已知某量的值,可求该量相反数的值. (2)解不等式:由奇偶性得出图象后,根据x轴上方函数值大于 零,x轴下方函数值小于零可写出不等式的解集.
所以定义域关于原点对称,所以a-2=-a,即a=1.
答案:1
5.函数f(x)=2x+a为奇函数,则a=
.
【解析】由f(-x)=-f(x),所以-2x+a=-(2x+a)=-2x-a,因此a=0.
答案:0
1.3.1正弦函数的图象与性质(1)
临朐六中高一数学导学案姓名编号：必修四—09教学课题课型主备教师审核教师班级使用时间正弦函数的图象与性质(1) 新授课董洪安李玉福学习目标：1、理解并掌握作正弦函数图象的方法，掌握用五点法作正弦函数简图的方法2、理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义3、会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间。
重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象，正弦函数的性质。
难点：正弦函数性质的理解与应用。
教学过程课前预习教学设计1.正弦函数的图象：正弦函数表达式()R=siny∈xx正弦函数的图象叫做正弦曲线。
2.“五点法”作[]π2,0y的图象时所取的五点分别是x,sin∈=x。
3.正弦函数x=的性质：y sin⑴定义域：正弦函数x=的定义域是。
y sin⑵值域：正弦函数xx时，=的值域是。
当且仅当=y sin正弦函数取得最大值1；当且仅当=x时，正弦函数取得最小值1-。
⑶周期性：①一般地，对于函数()xf，如果存在一个，使得定义域内的每一个x值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
教师是学生学习的引导者学生是学习的主人！②对于一个周期函数()x f ，如果在它的所有周期中存在 的正数，那么这个 就叫做它的最小正周期。
③正弦函数x y sin =的周期为 ，最小正周期为 。
⑷奇偶性：正弦函数x y sin =是 函数，正弦曲线关于 对称。
⑸单调性：正弦函数正弦函数x y sin =在区间 上是增函数，在区间 上是减函数。
合作探究展示探究一 用五点法作出函数3sin 2+=x y 的图象，并指出它的周期、最值及单调区间。
探究二 求使下列函数取得最大值和最小值的x 的取值范围，并说出最大值和最小值是什么？⑴32sin +=x y ； ⑵()21sin 2+-=x y .探究三 求下列函数的周期：⑴x y 2sin =； ⑵⎪⎭⎫ ⎝⎛+=621sin πx y .补充深化 认真听讲是学习高效的捷径！探究四 不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零： ⑴⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-10sin 18sin ππ； ⑵⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-417sin 523sin ππ课堂小结 当堂练习1.函数()R x x y ∈=sin 图象的一条对称轴是（ ）A.x 轴B.y 轴C.直线x y =D.直线2π=x2.函数x y sin 2-=的最大值及最大值时x 的值为（ ） A.2,3π==x y B.()Z k k x y ∈+==ππ22,1 C.()Z k k x y ∈+-==ππ22,3 D.()Z k k x y ∈+==ππ22,33.函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 3πx x f 在下列区间内递减的是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππB.[]0,π-C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32ππD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,2ππ4.设R x t x ∈-=,3sin ，求t 的取值范围。
人教课标版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案-新版
1.3 第三课时 函数的奇偶性一、教学目标（一）核心素养函数的奇偶性从图形观察开始,发现图象典型特征,猜想出相关结论,通过数据验证,给出证明全过程,最后生成概念.这一过程包含了发现、猜想、证明的数学思维方式,也培育了学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数据分析等数学核心素养.（二）学习目标1.了解奇函数、偶函数的定义2. 运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性3. 结合函数单调性,解决函数的综合问题（三）学习重点1.理解奇函数、偶函数的概念2. 判断函数的奇偶性（四）学习难点函数奇偶性的应用二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）偶函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内____一个x ,都有_______,那么函数()f x 就叫做偶函数.（2）奇函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内____一个x ,都有_______,那么函数()f x 就叫做奇函数.详解:（1）任意,()()f x f x =-;（2）任意,()()f x f x =--2．预习自测（1）作函数,y x y x ==的图象,初步判断函数为奇函数还是偶函数.详解:由图象初步判断y x =为偶函数,y x =为奇函数(二)课堂设计1.知识回顾（1）函数的定义（2）函数的单调性2.问题探究探究一偶函数、奇函数的概念生成=图象,探求对称关系本质●活动①观察函数2y x=,y x师:同学初中数学学习过图形的对称关系,请说出上图的对称关系=函数图象关于y轴对称.生:2y x=,y x=图象的对称关系？师:如何验证2=,y xy x生:可以把图象画在一张白纸上,沿着y轴对折,y轴两边的图象重合.师:作图会有误差的情况出现,有更严谨的验证方法吗？（提示点的坐标）生:可以在图象上取若干个点来验证.师:图象是由点构成的,研究图象对称关系,其实质是研究点的坐标对应关系.因此,我们在图象上取点验证,就涉及到以下几个问题:第一,如何取点？不妨先取部分特殊点（整数点方便计算）:我们由函数解析式,取x为整数时,计算相应y的值,对应整数点(,)x y在图象中的位置进行观察.2y x=:(-1,1),(-2,4),(-3,9),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)=:(-1,1),(-2,2),(-3,3),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)如下表:y x可以发现:(,)x y为坐标的整数点位于函数图象上,且这些整数点在图象上的位置是关于y轴对称.第二,如何验证？这些整数点关于y 轴对称,从“形”上观察:对折后“重合”,即点与点对折后合为一个点.因此在坐标系中这些点不是孤立的,是成对出现的,而且它们的相对位置“远近高低”相同一致.“远近”相同,是指点与y 轴的距离,即横坐标的绝对值x 相等.“高低”一致,高度相等,是指点与x 轴的距离,即纵坐标的绝对值y 相等.从“数”上分析:由表中数据,“远近”相同时,相应整数点横坐标是互为相反数;“高低”一致时,相应整数点纵坐标是相等的.第三,严谨性.刚才我们对部分整数点进行了验证,由特殊到一般的思想,我们可以验证:在图象上任取一点(,)A A A x y 时,图象上有一个点(,)B B B x y 与之对应,当AB 两点的坐标满足0A B x x +=且A B y y =时,它们对折之后才能重合.由A 的任意性,确定了相对应点B 的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于y 轴对称.当AB 两点投影到x 轴时,,A B x x 的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系0A B x x +=,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称.师:由以上探究发现,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.若我们在图象上任意取两个点AB ,若它们的坐标满足0A B x x +=且A B y y =（两点任意、横相反、纵相等）,就可以说该图象关于y 轴对称,我们称这类函数为偶函数.【设计意图】图象的对称实质的研究,让学生更深层次体会函数图象与数量关系的本质联系,进一步加深了函数对应关系这一核心思想的理解.●活动② 偶函数概念的生成师:按照函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的思想,及“两点任意、横相反、纵相等”的原则,能否定义偶函数.生:图象关于y 轴对称的函数为偶函数.师:函数以定义域优先的原则,从数量关系上定义更严谨,参考函数单调性的定义. 生:一般地,函数()y f x =,定义域内任取12,x x ,满足120x x +=且12()()f x f x =时,称()y f x =为偶函数.师:这位同学抓住了“两点任意、横相反、纵相等”的原则,我们在此基础上进行提炼,“任取12,x x 满足120x x +=”可以变形为12x x =-.可把这个关系简化为“x 与x -”,因此我们如下定义偶函数:一般地,函数()y f x =定义域I ,x I ∀∈（x I -∈）都有()()f x f x =-时,那么称()y f x =为偶函数.师:若()y f x =为偶函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？ 生:图象关于y 轴对称.函数的定义域关于(0,0)O 对称.师:这样说可以吗？（1）偶函数图象关于y 轴对称.（2）图象关于y 轴对称的函数是偶函数.（3）偶函数的定义域关于(0,0)O 对称.（4）定义域关于(0,0)O 对称的函数是偶函数.生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在x 轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）函数()f x x =,定义域R 关于原点对称,图象不关于y 轴对称,不正确.【设计意图】图象的对称关系的实质探究,让学生从“形”定性的认识,到 “数”的定量分析;研究图象,就研究其构成元素所有点的坐标关系,由特殊点再到任意点,由函数对应关系的本质,深入到定义域,值域层面研究.整个探究过程由外到内、由形到数、由整体到局部、由特殊到一般的思想,体现了数学概念生成过程趣味横生. ●活动③奇函数的概念生成师:由（4）知,并不是所有的函数都是偶函数,偶函数只是众多函数中较典型的一类.请同学们观察函数y x =,1y x=图象,完成下面两个函数值对应表.师:请观察y x =,1y x =图象,及函数值对应表特征,上图有何对称关系？如何验证？生:y x =,1y x=图象关于原点成中心对称关系,函数图象整体围绕着(0,0)O 旋转0180与原图象重合.师:由上面的推导,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.同学们能总结关于图象关于原点对称的本质关系吗？生:在图象上任取一点(,)A A A x y 时,图象上有一个点(,)B B B x y 与之对应,当AB 两点的坐标满足0A B x x +=且0A B y y +=时,它们对折之后才能重合.由点A 的任意性,确定了相对应点B 的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于原点对称.当AB 两点投影到x 轴时,,A B x x 的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系0A B x x +=,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称,0A B y y +=也说明了值域也有对称关系,即值域关于原点对称.师:我们在图象上任意取两个点AB ,若它们的坐标满足0A B x x +=且0A B y y +=（两点任意、横相反、纵相反）,就可以说该图象关于原点对称,我们称这类函数为奇函数.师:由偶函数定义,及“两点任意、横相反、纵相反”的原则,能否定义奇函数.生:一般地,函数()y f x =定义域I ,x I ∀∈（x I -∈）都有()()(()()0)f x f x f x f x -=-+-=时,那么称()y f x =为奇函数.师:若()y f x =为奇函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？ 生:图象关于原点对称.函数的定义域关于原点对称.师:这样说可以吗？（1）奇函数图象关于原点对称（2）图象关于原点对称的函数是奇函数（3）奇函数的定义域关于原点对称（4）定义域关于原点对称的函数是奇函数生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在x 轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）也可能是偶函数,不正确.师:我们对偶函数、奇函数的定义作了介绍,我们称函数的这类性质为奇偶性.奇偶性是一部分函数的性质,因此我们在判断函数是否奇偶性？第一,图象法.可以从图象特征观察:若图像关于y 轴对称,我们称之为偶函数,否则该函数不是偶函数;若图像关于原点对称,我们称之为奇函数,否则该函数不是偶函数;因此,从奇偶性的角度可以将函数分类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数（简称非奇非偶函数）.第二,定义法.也可以从数量特征观察:首先判定函数定义域是否关于原点对称, 若不对称,则该函数为非奇非偶函数;若对称,再判断()f x 与()f x -关系:如果()()f x f x =-,则该函数为偶函数.如果()()0f x f x +-=,则该函数为奇函数.【设计意图】偶函数的概念生成,为奇函数的概念引入奠定了基础,有共同的思维方式,也有不同的内在体现,让学生对函数奇偶性的概念生成过程,及本质内涵有更深的理解.探究二:函数奇偶性的判断.●活动①定义法判断函数奇偶性.例1 判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）()f x =（2）1()1f x x =- 【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）()f x ={}1不关于原点对称. ()f x ∴为非奇非偶函数（2）1()1f x x =-函数的定义域(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞关于原点对称. 11()()11f x f x x x -===--- ()f x ∴为偶函数 【思路点拨】由定义法判断【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数同类训练:判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）1()1f x x =-（2）()f x = 【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）1()1f x x =-函数的定义域(,1)(1,)-∞⋃+∞不关于原点对称 ()f x ∴为非奇非偶函数（2）()f x =函数的定义域{1}{1}-⋃关于原点对称()()f x f x -=== ()f x ∴为偶函数【思路点拨】定义法灵活运用【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数【设计意图】让学生明确定义法判断函数奇偶性的步骤.●活动②定义法、图象法判断函数奇偶性.例2:判断函数(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性 【知识点】分段函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞关于原点对称.当0x >时,0x -<()()[1()](1)()(0)f x x x x x f x x ∴=---=-+=->当0x <时,0x ->()()[1()](1)()(0)f x x x x x f x x ∴=-+-=--=-<综上所述,()()f x f x -=-,()f x 奇函数.【思路点拨】定义法、用图象法【答案】奇函数同类训练 判断函数2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨--->⎩的奇偶性 【知识点】函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：当0x >时,0x -<22()()2()323()(0)f x x x x x f x x ∴=---+=++=->当0x <时,0x ->22()()2()323()(0)f x x x x x f x x ∴=-----=-+-=-<综上所述,()()f x f x -=-,()f x 奇函数【思路点拨】对于较熟悉的函数,可以作函数图象法判断单调性.【答案】奇函数【设计意图】定义法、图象法灵活运用, 判断函数奇偶性.●活动③利用性质法判断函数奇偶性.例3 判断函数24()f x x x =+奇偶性.【知识点】性质法:对于两个函数在定义域关于原点对称的情形下,函数的奇偶性质,偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）仍为奇（偶）函数;一个奇函数与偶函数的积为奇函数,这样的方法称为性质法.【数学思想】化归思想【解题过程】解：24()f x x x =+函数的定义域R 关于原点对称.记:21()f x x =,函数的定义域R 关于原点对称.211()()()f x x f x -=-=,21()f x x ∴=为偶函数;42()f x x =,函数的定义域R 关于原点对称.422()()()f x x f x -=-=,42()f x x ∴=为偶函数.性质法:24()f x x x =+为偶函数.【思路点拨】函数12()()f x f x 、的定义域必须满足定义域关于原点对称,且12()()f x f x 、定义域的交集为()f x 的定义域也必须关于原点对称,判断各分函数的奇偶性,再判断复合后的奇偶性.【答案】偶函数同类训练 判断35()f x x x x =++奇偶性.【知识点】奇偶性判断【数学思想】化归思想【解题过程】35()f x x x x =++函数的定义域R 关于原点对称35()()()()()f x x x x f x -=-+-+-=- ()f x ∴为奇函数.【思路点拨】可由性质法证明【答案】奇函数【设计意图】在部分题目特别是选择题、填空题判断奇偶性时,性质法方便快捷,但此部分涉及到复合函数定义域的问题,对学生能力要求较高.探究三: 函数综合问题●活动①奇偶函数图象问题例4如图所示为偶函数()f的大小．f与(3)y f x=的局部图象,试比较(1)【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：作()x∈--的图象关于y轴对称的图象．=在[3,1]y f x由图象知(3)(1)>f f【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】(3)(1)>f f同类训练如图所示为奇函数()f的大小．f与(3)y f x=的局部图象,试比较(1)【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：法一:由图象知(3)(1)->-,又()f x是奇函数.f f∴<f ff f f f(3)(3),(1)(1)∴-=--=-,(3)(1)法二:因为()y f x =是奇函数,故由对称性可作出[1,3]x ∈时的图象,由图象知(3)(1)f f <．【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】(3)(1)f f <【设计意图】由于奇函数、偶函数图象的对称性,因而如果知道一个函数是奇函数或偶函数,只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分,得出函数在一部分上的性质和图象,就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象．●活动②函数奇偶性的应用例5若()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()(2)f x x x =-,求函数()f x 的解析式．【知识点】利用奇偶性求解析式【数学思想】转化与化归思想【解题过程】解：法一:()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f x f x ∴-=-,(0)0f =.当0x >时,0x -<,()()(2)f x f x x x ∴=--=+．∴函数()f x 的解析式为(2),0()0,0(2),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.法二:()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f x f x ∴-=-,(0)0f =.令t x =-,若0x <,则0t >,且x t =-.()(2)(0)f x x x x =-<,()(2)f t t t ∴-=-+,即()(2)f t t t -=-+．()(2)f t t t ∴=+,0x ∴>时,()(2)f x x x =+．∴函数()f x 的解析式为(2),0()0,0(2),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.【思路点拨】在未知范围内取值，利用转化到已知范围内的函数解析式求解；也可以用图象对称关系，待定系数法求解析式。
第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(二)
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填一填·知识要点、记下疑难点
1.3.1（二）
1． 正弦曲线
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从函数图象看，正弦函数 y＝sin x 的图象关于 原点 对称； 从诱导公式看，sin (－x)＝ －sin x 对一切 x∈R 恒成立． 所以说，正弦函数是 R 上的 奇 函数．
填一填·知识要点、记下疑难点
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．判断下列函数的奇偶性： 1－sin x (1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝ . 1＋sin x
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 求下列函数的周期． 3 2 (1)y＝cos 2π－3x； 1 π (2)y＝sin－2x＋3.
2 2π 解 (1)y＝－sin 3x，T＝ 2 ＝3π. 3
1 π 2π 1 sin x－ ，T＝ × ＝2π. (2)y＝ 3 1 2 2
∵f(x)的最小正周期是 π， 5π 5π π ∴f 3 ＝f 3 －2π＝f－3. 解 ∵f(x)是 R 上的偶函数， π π 5π π 3 3 － ＝f ＝sin ＝ ＝ ∴f 3 3 3 2 .∴f 3 2 .
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 求下列函数的周期． π (1)y＝sin2x＋3 (x∈R)； (2)y＝|sin 2x| (x∈R)．
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1.3.1（二）
解
(1)方法一
π 令 z＝2x＋3，
∵x∈R，∴z∈R，函数 f(x)＝sin z 的最小正周期是 2π， 就是说变量 z 只要且至少要增加到 z＋2π， 函数 f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得， π π 而 z＋2π＝2x＋3＋2π＝2(x＋π)＋3，所以自变量 x 只要且至少 π 要增加到 x＋π， 函数值才能重复取得， 从而函数 f(x)＝sin2x＋3 (x∈R)的周期是 π.
新人教A版必修1第一章 奇偶性的概念
【学习要求】 1．理解函数的奇偶性及其几何意义； 2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3．掌握判断函数奇偶性的方法与步骤． 【学法指导】 通过自己动手计算，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程， 从而建立奇偶函数的概念．通过函数奇偶性概念的形成过程，培 养观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想，培养从 特殊到一般的概括归纳问题的能力.
(2)由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数．
(3)函数的定义域为 R，由于 f(－x)＝0＝f(x)，所以函数为偶函数．
小结 利用定义法判断函数是不是偶函数时， 首先应看函数定义域 是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个 x，则－x 也一定 是定义域内的一个自变量．
跟踪训练 1 判断下列函数是否为偶函数． (1)f(x)＝(x＋1)(x－1)； x3－x2 (2)f(x)＝ . x－1
1．函数奇偶性的概念 (1)偶函数：如果对于函数 f(x)的定义域内 任意 一个 x，都有
f(－x)＝f(x)
，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数 f(x)的定义域内 任意 一个 x，都有
f(－x)＝－f(x)
，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于 y轴 对称， 图象关于 y轴 对称的函数 一定是偶函数． (2)奇函数的图象关于 原点 对称， 图象关于 原点 对称的函数 一定是奇函数． 3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域 是否关于 原点 对称.
选用偶函数定义， 得 f(3)>f(1)； 另一种方法是利用偶函数图象 的对称性．
跟踪训练 3 如图，给出了奇函数 y＝f(x)的局部图象，则 f(－4)
函数的奇偶性说课稿
三．已知函数f(x)是定义 在R上的奇函数，给出下 列命题：f(0)=0若f(x)在 [0,+∞〕上有最小值-1，则 f(x)在（-∞，0）上有最大 值1若f(x)在 [1,+∞〕上为 增函数，则f(x)在（-∞，1] 上为减函数若x>0 2 时，f ( x) x 2 x ，则 f ( x) x 2 2 x x<0时， 其中正确的序号是：
4.重点与难点
教学重点： ⑴函数奇偶性的概念； ⑵运用函数奇偶性的定义判断一些函数的 奇偶性，其中最易错的也是本节的一个重 点就是函数的定义域对这个函数的奇偶性 起到的影响。
教学难点： ⑴函数奇偶性概念的形成，也就是定义中 “任意”的理解； ⑵利用函数图像，奇偶性的定义判断和证 明函数的奇偶性。 ⑶根据定义判断等式f(x)=f(-x)或f(x)= -f(-x) 后易忽略了对于此函数定义域的判断，这 既是教学的重点同时也是难点和易错点。
2.说出下列函数的奇 偶性: ① f ( x) x 4 ② f ( x) x 5 ③ f ( x) x ④ f ( x) x 1 ⑤ f ( x) x 2 ⑥ f ( x) x 3
2.从简单的例子出发， 让学生找出其中的规 律方便以后简单的函 数的判断。即：说明： 对于形如 f ( x) x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶 函数；若n为奇数，则 它为奇函数。
课堂小结
方法1：教师提出下列问 题让学生思考 （1）对比偶（奇）函数 的形成过程是怎样的？ （2）如何判定函数的奇 偶性？要注意什么问题？ （3）偶（奇）函数的图 像有什么特点？如何由一 部分的图像做出整个函数 图像？ 方法1： 通过学生的主体参与，使 学生深切体会到本节课的 主要内容和思想方法，从 而实现对函数奇偶性认识 的再次深化。
高中数学必修一教案-函数的奇偶性
§1．3．2函数的奇偶性一．教学目标1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．二．教学重点和难点：教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式三．学法与教学用具学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．教学用具：三角板 投影仪四．教学思路（一）创设情景，揭示课题“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()x x x=y yx 0 x 通过讨论归纳：函数()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数()f x 是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．（二）研探新知函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x xx =∈- （2）32()1x x f x x -=- 解：函数2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数32()1x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称． 例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+（4）21()f x x= 解：（略）小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系；③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．例3．判断下列函数的奇偶性：①()(4)(4)f x lg x g x =++- ②2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或． 解：（1）{()f x x x 的定义域是|4+＞0且4x -＞}0={|4x -＜x ＜}4，它具有对称性．因为()(4)(4)()f x lg x lg x f x -=-++=，所以()f x 是偶函数，不是奇函数．（2）当x ＞0时，－x ＜0，于是 2211()()1(1)()22g x x x g x -=---=-+=- 当x ＜0时，－x ＞0，于是222111()()11(1)()222g x x x x g x -=-+=+=---=- 综上可知，在R －∪R +上，()g x 是奇函数．例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．教材P 35思考题：规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．例5．已知()f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x 在（－∞，0）上也是增函数．证明：（略）小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．（四）巩固深化，反馈矫正．（1）课本P 36 练习1．2 P 39 B 组题的1．2．3（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+ ④2()(1)f x lg x x =++（五）归纳小结，整体认识．本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．（六）设置问题，留下悬念．1．书面作业：课本P 44习题A 组1．3．9．10题2．设()f x R x 在上是奇函数,当＞0时，()(1)f x x x =-试问：当x ＜0时，()f x 的表达式是什么？解：当x ＜0时，－x ＞0，所以()(1)f x x x -=-+，又因为()f x 是奇函数，所以()()[(1)](1)f x f x x x x x =--=--+=+．A 组一、选择题：1．已知函数2|2|4)(2-+-=x x x f ，则它是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数2．已知函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则f （x ）在区间（-5，-2）上是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．部分为增函数，部分为减函数D ．无法确定增减性3．函数)1(2-=x x y 的大致图象是（ ）4．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值是5，那么()f x 在区间[]7,3--上A 、是增函数且最小值是—5B 、是增函数且最大值是—5C 、是减函数且最小值是—5D 、是减函数且最大值是—55．已知||1)(2x x x f +=在[—3，—2]上是减函数，下面结论正确的是（ ） A ．f （x ）是偶函数，在[2，3]上单调递减B ．f （x ）是奇函数，在[2，3]上单调递减C ．f （x ）是偶函数，在[2，3]上单调递增D ．f （x ）是奇函数，在[2，3]上单调递增6．()f x 为奇函数，在()0,+∞上()()1f x x x =-，则它在(),0-∞上表达式 （ ）A 、()()1f x x x =-B 、()()1f x x x =-+C 、()()1f x x x =+D 、()()1f x x x =--二、填空题:7．函数cx bx x x f ++=23)(是奇函数，函数5)2()(2+-+=x c x x g 是偶函数，则b=______，c=_______。
人教版高中数学必修1《函数的奇偶性》教案
§1．3．2函数的奇偶性（1）教学目标：知识目标——理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题。
能力目标——通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
情感目标—— 通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性；养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
教学分析：教学重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性的步骤； 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识 教学方法：诱思引探鼓励法 教学工具：多媒体课件 教学过程一、 创设情景，激发兴趣（多媒体投放图片） 二、 实例引入，初步感知请比较下列两组函数图象，从对称的角度，你发现了什么 ？2()f x x = ||)(x x f =y 轴对称师：再观察表1和表2，你看出了什么？ 表1x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|321 0123表2生：当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
三、实验体验，加以体会 【探究】图象关于轴对称的函数满足：对定义域内的任意一个,都有。
反之也成立吗？（超级链接几何画板演示）师：从以上的讨论，你能够得到什么？（师生讨论，共同完善，形成概念，老师板书偶函数定义）一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数；师：仿此请观察下面两组图象，你能给出关于原点对称的函数图象与式子之间的关系，进而给出奇函数的定义吗？一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数。
问题1：具有奇偶性函数的图象的对称如何？师：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
问题2：函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？师：函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 。
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之间的关系。
例1、判断下列函数的奇偶性
（4） f ( x) x ( x [3 , 2])
2
4 x （6） f ( x) 2 x 1
（5） f ( x)
2
定义域关于原 0 ( x 点对称是函数 2) 具有奇偶性的 必要但不充分 条件。
函数的奇偶性
2 y=x
当x1=1, x2=--1时， f(-1)=f(1) 当x1=2, x2=--2时， f(-2)=f(2) 对任意x，f(-x)=f(x)
-x x
1 y x
偶函数定义：如果对于函数定
义域内的任意一个x,都有f(-x） =f(x)。那么f(x)就叫偶函数。
奇函数定义：如果对于函数定
义域内的任意一个x,都有f(-x） =-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。
f ( x) x 2 （1） f ( x) 2 x （2） 判断奇偶性，只 （3 ） f ( x ) 1 x 2 需验证f(x)与f(-x)
解 ：(1)因为f(-x)=2x=-f(x),所 以 f(x)是奇函数。 • 因为 f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x),所以f(x) 是偶函数。 • 因为 2 2
解：（4） 当x 2时， 由于2 [3,1]
故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由 于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。 （5）函数的定义域为[-2,2),故f(2)不存在， 同上可知函数没有奇偶性。
（6） f ( x) 2 x 1, f ( x) f ( x)且 f ( x) f ( x) 故函数没有奇偶性。
函数按是否有奇偶性可分为四类：
奇函数 偶函数 既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数
例3、判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) kx b
Hale Waihona Puke 2 f ( x) a( a R)
1、解：当b=0时，f(x)为奇函数，当 b 0时，f(x)既不是奇函数，也不是 偶函数。 2、解：当a=0时，f(x)既是奇函数又 是偶函数，当a 0时，f(x)是偶函数。
思考：
在刚才的几个函数中有的是奇 函数不是偶函数，有的是偶函 数不是奇函数，也有既不是奇 函数也不是偶函数的。那么有 没有这样的函数，它既是奇函 数又是偶函数呢？
f(x)=0
是不是具备这样性质的函数 解析式只能写成这样呢？
例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函 数。求证：f(x)=0
证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数 所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x) 这样的函数 所以f(x)= -f(x) 有多少个呢？ 所以2f(x)=0 即f(x)=0. f ( x)只是解析式的特征， 若改变函数的定义域， 如f ( x) 0, x [1,1]和f ( x) 0, x {2 1， 0， 1,2, } 显然是不同的函数， 所以具有这样但它们都既是 奇函数又是偶函数， 所以这样的函数有无数多个
小结：
•奇偶性的概念 •判断奇偶性时要注意的 问题