中国石油大学2006至2007学年第一学期管理类高等数学期中考试试题

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中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(2)

A卷2010—2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年1月4日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1．已知,1)(0-='x f 则=---→)()2(lim000x x f x x f xx 1 .2．定积分=-++⎰-1122]13cos 3tan sin [dx x x x x 2π .3．函数xy xe -=的图形的拐点是 )2,2(2-e .4. 设,arcsin )(C x dx x xf +=⎰则=⎰dx x f )(1 C x +--232)1(31.5．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的渐近线方程为e x y 1+= .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( D ) .A. 在0=x 处左极限不存在;B. 在0=x 处右极限不存在;C. 有跳跃间断点0=x ;D. 有可去间断点0=x .2．设,)(,sin )(43sin 02x x x g dt t x f x+==⎰当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( B ).A. 等价无穷小;B. 同阶但非等价无穷小;C. 高阶无穷小;D. 低阶无穷小. 3. 下列广义积分发散的是( A ).A.⎰+∞+021dx x x; B.⎰--11211dxx;C.⎰-b adx x b 32)(1; D.⎰∞+edx x x 2ln 1.4.方程x x y y cos =+''的待定特解的形式可设为=*y ( B ). A.x b ax cos )(+; B. x d cx x x b ax x sin )(cos )(+++;C. x b ax x cos )(+;D. x d cx x b ax sin )(cos )(+++.三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）1．求极限)2(1lim22n n n n n +++∞→ .解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长n x 1=∆，再将n n n 1112⋅=中的一个因子n 1分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。

中国石油大学2006至2007学年第一学期高等数学期中考试试题

中国石油大学2006至2007学年第一学期高等数学期中考试试题
中国石油大学2006—2007学年第一学期《高等数学》期中考试试卷
专业班级
姓名
学号
开课系室数学学院基础数学系
考试日期 2006.11
题号一二三四
总分
得分
一、选择题(45=20分)
1．当时，都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小（）
2．设，间断点的类型为（）
(A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)无穷间断点 (D)振荡间断点3．( )
(A)2 (B)－2 (C) (D)不存在
4．设可导，，要使在处可导，则必有（） (A) (B) (C) (D)
5．设，则（）
(A) 在处间断
(B) 在处连续但不可导
(C) 在处可导，但导数在处不连续
(D) 在处有连续导数
二、填空题(45=20分)
1．
2．当x0时，无穷小量1-cosx与mx n等价(其中m,n为常数)，则m=
3．设，，＝
4．函数的一个可去间断点是x＝
5．设确定了函数，
三、计算下列各题
1．求极限(10分，每题5分)
(1)
(2)
2．(10分)已知，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线
3．(10分)设函数在处有二阶导数，确定参数的值
4．(6分)设为连续函数，且，求曲线在处的切线方程。

5．(6分)将在处展开到含项，并计算
6．(6分)证明不等式
7．(6分)设由方程所确定,求
四、(6分)设函数在[0,1]上连续，且在[0,1]上不恒等于零，在
(0,1)内可导，，证明：存在，使得。

西安石油大学《高等数学(经管专业)》期末试卷A

第1页共6页课程名称使用班级题号一二三四五九成绩一.单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.1.下列各式中正确的是( ).(A) 1sin lim= x x x (B) 11sin lim = x x x (C) e x x x = 11(lim (D)e x x x =+ 11(lim 2.当0 x 时,)sin 21ln(x +与( )是等价无穷小. (A) x 2 (B) x (C) 22x (D) xsin 3.设)(x f 连续,则= x0dt dxd xf(t)( ). (A) )(x xf (B) )(t xf (C) +xdt )(f(t)x xf (D) xdt )(t f 4.曲线1=++y x e xy 在点)0,0(的切线斜率y 为( ). (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 1e 5.设x e xf =)(,则dx )(lnxx f =( ). (A) C x +1 (B) C x+ 1(C) C x +ln (D) Cx + ln 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.1.设)(x f 的定义域为[0,1],则)(ln x f 的定义域为__________.2.曲线35)2( =x y 的拐点是__________.3. +2252dx )cos sin (x x x =__________.4.已知9)(lim = + xx ax a x ,则a =__________.5.设向量k j i a+ =2,k j i b + =24,则当 =____时,a 与b 垂直,当 =____时,与b平行.第2页共6页三.解答下列各题（本题共12小题，每小题5分，共60分）.1.求极限)1ln(1cossin 3lim20x x x x x ++ .2.求极限11)2141211(lim 2++++++ n n n n .3.求极限xx xx x sin tan lim0 .第3页共6页4.设)1ln(2 +=x x y ,求dxdy .5.设)(sin )(sin x f x f y =,其中f 可微,求dy .6.设xy x 132+=.求)(n y .第4页共6页7.设32)5()(x x x f =,求)(x f 的极值.8.求dx ln 11 +xx . 9.求dx 1x e ..10.设 <+ = .0,1,0,)(2x x x ex f x .求 221dx )1(x f .第5页共6页11.求+ 22dx ln 1x x.12.设)(x f 的一个原函数为xxsin ,求 dx )(x f x .四.应用题(本大题共5分).过点)1,2(M 作抛物线1 =x y 的切线，求由切线、抛物线及x 轴所围成平面图形的面积.第6页共6页五.证明题. (本大题共5分).证明当0>x 时,有不等式)1ln(21x xxx +>++.。

中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(14)

A卷2009—2010学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2010年1月11日注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰ .3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2．微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（）. （A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数. 4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分230x x e dx-.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ C ）（A ）cos2y A x *=；（B ）cos2y Ax x *=；（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+；（D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是（ A ）(A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-232dxe x x .解：⎰⎰⎰----===202020322121,2tt x tde dt te dx ex t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------3 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)c o s 1(s i n π=-=t ta ta 1= -------2切线方程为)12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设 ⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解：)1l n (1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x x x x ------------2故 nn x ∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或 322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=102212122)1(12)2()11(2dyy ydyy dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---12)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=101022)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(l n 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。

中国石油大学(华东)有机化学07年06级(上)期中考试

有机化学期中考试试题（06应用化学，06材料化学专业）考试内容：绪论; 烷烃; 环烷烃; 烯烃; 立体化学;考试日期：2007年10月专业班级：______________学号：______________姓名：______________成绩：______________(试题共8页，含封面)一、命名或写出结构式（本题满分8分,每小题1分）1. C CH 3CH 3CH CH 2CH 2CH 3332.3.4. C CC H H 32H 5（注明顺/反或Z/E ）5.H 3H 32H 5(注明手性碳的构型)6. 写出石油工业俗称为异辛烷（isooctane ）的化合物的系统名称7. D-(+)-甘油醛8. m -酒石酸(内消旋2,3-二羟基丁二酸)二、完成下列各反应式，题号标有*的题需表明产物的立体化学构型。

（每题2分，共30分）。

1*．H 3CHCH 3H+Br 22．CHF 3CCH 2+HCl3．+CHCH 2HBr4. CCH 2H 3CH OH 3CH 2SO 45．+C H 3CCH 3CH 3CHCH 2H 2OH+6.+ HBr( )7*．H 2, Pt8．()(CH COO)Hg, THF/H 2O () NaBH , N aOH/HO9. CCH 2H 3CH 3C+CH 3CH 2O HHBF 410*．(1) B 2H 6, THF 2222+11．132-12．+Cl2hv13．CHCH 2214．H 3CCHCH 2O 2, NH 3温度，压力，催化剂15．H 3CCHCH 2CO , H 2+三、选择题（本题满分20分，每小题2分）1. 对烷烃正确的系统命名是( )(a) 2,5—二甲基—4—异丁基庚烷(b) 2,6—二甲基—4—仲丁基庚烷2. 对烷烃正确的系统命名是( )(a) 5—正丁基—4—异丙基癸烷 (b) 4—异丙基—5—正丁基癸烷3. 下列构型式中相同的两个化合物是( )(a)(b)H3H(c)4. 下列自由基最稳定的是（）CH3CH3CCH3CH3CH3CHHCH3CHCHH(a)(b)(c)(d)5. 下列化合物与Br2加成反应的活性最高的是（）C CH2H3CH3CHC CH2H3CHC CHH3C BrHC CH2BrH2C(a)(b)(c)(d)6. 下列正碳离子的稳定性最大的是（）CH3CCH3CH3CH3CCH3HCH3CHHCHHH(a)(b)(c)(d)CH3CH2CHCHCH23CH2CH(CH3)2CH3CH3CH3CH2CH2CH2CH2CH2CH2CH33)2CH2CH2CH2CH37. 下列化合物中有旋光性的是( )(a) (b) (c) (d) COOH COOH NO 2NO 28.下列哪一化合物没有顺反异构体（）CH CH 3CH 3H 3CClCH CHCH 3ClClCl(a)(b)(c)(d)9.反应 3 正确的产物应该是( )(a)(b)10. 下列说法正确的是( )(a) 手性分子必须具有手性碳 (b) 具有手性碳的分子一定具有手性 (c) 没有对称面，也没有对称中心的分子一定具有旋光性 (d) 手性分子也具有一定的对称因素。

2006-—2007年度--试卷

中国石油大学（北京）2006 ——2007学年第一学期《线性代数》期末考试试卷A(闭卷考试)班级：姓名：学号：一、填空题（本题18分，每小题3分）1. 已知142,150αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-，求T ()n αβ= 。

2. 设n 阶方阵A 满足220A A E --=,则1(5)A E --= 。

3. 已知n 阶行列式0100002||000100A n n =-，则||A 的第一行元素的代数余子式的和11121n A A A +++= 。

4. 设12221222A b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=相似于对角阵11a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--，则a = ,b = 。

5. 已知123,,ααα线性无关，122331,,αααααα+++线性，122313,,αααααα-++线性。

6. 3阶不可逆矩阵A 有特征值1,2，2323B A A E =-+，B ||= 。

二、选择题（本题18分，每小题3分）1. 二次型T 123222020042(,,)X X f x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为( )()0A ()1B ()2C ()3D2. 设齐次线性方程组0=Ax 的基础解系为()()T T121,1,1,0,2,1,1,0,1,1,αα=-=则必有（） ()A A 是35⨯矩阵 ()()2B R A =()C A 是24⨯矩阵 ()D A 的列向量组线性相关3. 设A 为n 阶可逆矩阵（其中2n ≥），则()1A -*= ( ) 1()||A A A - ()||B A A 11()||C A A --1()||D A A -4. 3阶方阵A 可逆，将A 的第一行乘以常数a 加到第二行上去，得到方阵B ，则1BA -= ( )10()010001a A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10001001)(a B 10()010001a C -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100()10001D a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭5．下面有四个命题,全部为正确命题的组合是( )①如果n ααα,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合；②如果n ααα,,,21 线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合；③若n ααα,,,21 线性无关，r βββ,,,21 线性无关，那么r n βββααα,,,,,,,2121 也线性无关；④若n ααα,,,21 线性相关，r βββ,,,21 线性相关，那么r n βββααα,,,,,,,2121 也线性相关。

中国石油大学（华东）高数历届试题

2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》期中试卷一、填空题(每小题5分, 共40分) 1．设向量,2,23k j i b k j i a +-=-+=则）（）（b a b a322-⋅⨯= _______________.2．已知向量}2,3,4{-=a ，向量u 与三个坐标轴正向构成相等的锐角，则 a 在u轴上的投影等于__________________.3．已知空间三角形三顶点),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(C B A -则ABC Δ的面积等于______________;过三点的平面方程是:__________________________.4．直线⎩⎨⎧=+--=-+072,0532:z y x z y L .在平面083:=++-z y x π内的投影直线方程是： ____________________________________.5. 由曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点)2,3,0(处指向外侧的单位法向量是____________________________.6．设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则y zx z ∂∂+∂∂=__________________________.7. 设函数)(u f 可微,且21)0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1,2)处的全微分 )2,1(d z =_________________________________________.8. 曲面 22yx z += 平行于平面 042=-+z y x 的切平面方程.是：___________________.二、(7分) 设平面区域D 由1,==xy x y 和2=x 所围成，若二重积分 1d d 22=⎰⎰D y x yAx ，则常数=A ____________________________. 解题过程是：三、(8分) 设),(y x f 是连续函数，在直角坐标系下将二次积分⎰⎰-223210d ),(d y y xy x f y 交换积分次序，应是______________________________________.解题过程是：四、(7分) 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，若单位向量}1,1,1{31=n ，则方向导数)3,2,1(nu ∂∂等于_____________________；该函数在点(1,2,3)的梯度是____________________；该函数在点(1,2,3)处方向导数的最大值等于________________.解题过程是：五、(8分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u '''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.解题过程是：六、(7分) 设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分221d d .1D xyx y x y +++⎰⎰解题过程是：七、(8分) 设空间区域Ω，是由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==0,2x z y 绕oz 轴旋转一周而成的曲面与平面4,1==z z 所围成的区域，计算三重积分⎰⎰⎰+Ωz y x y x d d d )(22.解题过程是：八、(8分) 做一个长方体的箱子，其容积为 29m 3, 箱子的盖及侧面的造价为8元/m 2, 箱子的底造价为1元/m 2, 试求造价最低的箱子的长宽高（取米为长度单位）. 解题过程是：九、(7分) 设函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim22220=+-→→y x xy y x f y x ，试问点(0,0)是不是),(y x f 的极值点？证明你的结论. 解题过程是：A 卷2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》期末考试试卷一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1．设三向量c b a ,,满足关系式c a b a ⋅=⋅，则（）.（A ）必有c b ,0 ==或者a ; （B ）必有0===c b a ;（C ）当0≠a 时，必有c b =; （D ）必有)(c b a -⊥.2. 已知2,2==b a，且2=⋅b a ，则=⨯b a （）.（A ）2 ; （B ）22; （C ）22; （D ）1 .3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z S a z y x ，S 1是S 在第一卦限中的部分，则有（）. （A ）⎰⎰⎰⎰=S S S x S x 1d 4d ; （B ）⎰⎰⎰⎰=S SSx S y 1d 4d ;（C ）⎰⎰⎰⎰=S SS x S z 1d 4d ; （D ）⎰⎰⎰⎰=S S Sxyz S xyz 1d 4d . 4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（）.（A ）632=+-z y x ; （B ）632=-+z y x ; （C ）632=++z y x ; （D ）632=--z y x . 5. 判别级数∑⋅∞=1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（）. （A ）条件收敛; （B ）发散；（C ）绝对收敛; （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（）.（A ）平行于XOY 平面; （B ）平行于Z 轴，但不通过Z 轴; （C ）垂直于Z 轴 ; （D ）通过Z 轴 . 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知e x yz =，则____________________d =z.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(=P 处沿向量OP 的方向导数是____________，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是_____________，该点处方向导数的最大值是____________.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则⎰+=Ls y x ________________d )(2.4. 设函数展开傅立叶级数为：∑∞=≤≤-=02)(,cos n n x nx a xππ，则___________2=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.1. 求幂级数∑∞=+01n n n x 收敛域及其和函数.解题过程是：2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222d d y x yx yx e.解题过程是：3. 已知函数),(y x f z =的全微分y y x x z d 2d 2d -=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14|),{(22≤+=yx y x D 上的最大值和最小值.解题过程是：4. 设Ω是由y x z 22+=，4=z 所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰++Ωzy x z y x d d d )(22.解题过程是：5. 设L AB 为从点)0,1(-A 沿曲线x y 21-=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++L AByx yy x x 22d d .解题过程是：6. 设∑是上半球面y x z 221--=的下侧，计算曲面积分⎰⎰++-+∑yx z y xy x z z y x z y z x d d )2(d d )(d d 2322.解题过程是：7. 将函数 61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解题过程是：四、证明题（7分）. 证明不等式: ⎰⎰≤+≤Dx y 2d )sin (cos 122σ，其中D 是正方形区域：10,10≤≤≤≤y x .2007—2008学年第二学期《本科高等数学(下)》期中试卷一填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1 向量32a i j k →→→→=++在向量245b i j k →→→→=++上的投影Pr bj a = .2 函数u =在点)2,2,1(-M 处的梯度=M gradu __________.3 曲面1222=+-zx yz xy 上点(1,1,1)M 处的切平面方程为 .4 函数sinu yxy x =在点(,)11的全微分(1,1)du =.5 函数2(,)z xf x y =有连续的二阶偏导数，则y x z ∂∂∂2＝ . 二、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分).1．直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是（）（A ）平行,但直线不在平面上；（B ）直线在平面上；（C ）垂直相交；（D ）相交但不垂直. 2．函数00(,)(,)f x y x y 在点处偏导数存在是(,)f x y 在该点可微的( ) (A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件； (C) 充要条件； (D) 非充分非必要条件.3.设有两平面区域2221:D x y R +≤，2222:,0,0;D x y R x y +≤≥≥ 则以下结论正确的是( )（A ）124D D xdxdy xdxdy=⎰⎰⎰⎰；（B ）12224D D x dxdy x dxdy=⎰⎰⎰⎰；（C ）124D D ydxdy ydxdy=⎰⎰⎰⎰；（D ）124D D xydxdy xydxdy=⎰⎰⎰⎰．4. 若函数00(,)(,)f x y x y 在点处不可微，则函数00(,)(,)f x y x y 在点处是( )(A) 沿任何方向的方向导数不存在； (B)两个偏导数都不存在； (C) 不能取得极值； (D) 有可能取得极值. 三、画图题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）1．写出函数(,)f x y =的定义域，并画出定义域的图形.2．画出由平面1,0,2y z z y ===及曲面2y x =所围空间立体的图形.四、解答题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）1.设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y ∂∂+∂∂ .解：2 .考察函数221sin (,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点 (0,0)的连续性和可微性. 解：3．在曲面z xy =上求一点，使在该点处的法线与平面3290x y z +++=垂直，并写出该法线方程. 解：4．抛物面22z x y =+被平面4x y z ++=截成一个椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.解：5.计算1130dy x dx⎰.解：6.计算二重积分21D y x dxdy+-⎰⎰，其中D 是由直线1,1,0,1x x y y =-===围成的平面区域. 解：7．计算由球面2221x y z ++=，柱面220x y x +-=所围立体的体积. 解：五、证明题(9分)试证明：11201()(1)()2x ydx dy f z dz z f z dz=-⎰⎰⎰⎰Ａ卷2007—2008学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷（理工类）一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面0:1=-∏z y 与平面0:2=+∏y x 的夹角为 .2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为 .3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dVΩ⎰⎰⎰在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰______________________________________.6.将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数为__________________________________.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

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．设，, 则 .，则 .．设二阶可导，则 .“”语言叙述的定义．设且在点处可导，则 .当时，与是等价无穷小，则= .设函数在点处可微，则下面表达式不正确的是A. .B. .C. .D. .设函数内连续，其导函数的图形如图所示，则有A. 在某去心邻域内，且，则.若，则若存在，则存在若存在，则分别存在．曲线的渐近线的条数为A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.三、计算题（共6小题，每小题6分，满分36分）1．2．3．4．设，求.5. 设，求在点处的n阶导数值.6. 设是由方程所确定的函数，，，求微分dy.四、应用题（共4小题，每小题6分，满分24分）1．设，选取合适的、、使在点处连续、可导.2．设函数，指出函数的间断点，并判断其类型.3. 求函数的极值、凸凹区间及曲线的拐点坐标。

4. 一气球从离开观察员500米处离开地面铅直上升，其速率为140米/分，当气球高度为500米时，观察员视线的仰角增加率是多少？五、证明题（共2题，每小题5分，满分10分）1.设在上连续，且恒为正，证明对于任意的必存在一点, 使.2.证明：当时，.答案：一、1 2345 6 k=2二、 1 C 2 C 3 D 4 D三、1 12 -1/83 exp(-1/2)456四、1即时------------（1）------------（2）综合（1）、（2），得当2因为，所以x=0为可去间断点。

因为不存在，所以x=2是跳跃间断点。

因为，所以x=-2是无穷间断点。

3令，得上凸区间为下凸区间为拐点为极大值为14 设仰角为，高度变量为h, 由题意知，，即，h=500时，所以弧度/分五、1则又由零值定理，使，即2 令又故，所以由此即。

中国石油大学华东期末（2—2）高数题

中国⽯油⼤学华东期末（2—2）⾼数题2006—2007学年第⼆学期《本科⾼等数学(下)》试卷专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试⽇期 2007年7⽉ 2 ⽇说明：1.2.封⾯及题⽬所在页背⾯及附页为草稿纸。

3.答案必须写在该题后横线上，解题过程写在下⽅空⽩处，不得写在草稿纸中，否则答案⽆效。

⼀、选择题（本题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分.每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1．设三向量c b a ,,满⾜关系式c a b a ?=?，则（）. （A ）必有c b ,0 ==或者a ; （B ）必有0 ===c b a ; （C ）当0≠a 时，必有c b =; （D ）必有)(c b a -⊥.2. 已知2,2==b a，且2=?b a ，则=b a （）.（A ）2 ; （B ）22; （C ）22; （D ）1 .3. 设曲⾯)0,0(:2222>≥=++a z S a z y x ，S 1是S 在第⼀卦限中的部分，则有（）.（A ）=S SSx S x 1d 4d ; （B ）=S SSx S y 1d 4d ;（C ）=S S Sx S z 1d 4d ; （D ）=S SSxyz S xyz 14. 曲⾯632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平⾯⽅程是：（）.（A ）632=+-z y x ; （B ）632=-+z y x ; （C ）632=++z y x ; （D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=1!3n nn nn 的敛散性，正确结果是：（）.（A ）条件收敛; （B ）发散；（C ）绝对收敛; （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平⾯0633=--y x 的位置是（）.（A ）平⾏于XOY 平⾯; （B ）平⾏于Z 轴，但不通过Z 轴; （C ）垂直于Z 轴 ; （D ）通过Z 轴 .⼆、填空题（本题共4⼩题，每⼩题5分，满分20分）. 1. 已知ex yz =，则____________________d =z.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(=P 处沿向量的⽅向导数是____________，函数u 在点P 处的⽅向导数取最⼤值的⽅向是_____________，该点处⽅向导数的最⼤值是____________.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则?+=Ls y x ________________d )(2.4. 设函数展开傅⽴叶级数为：∑∞=≤≤-=2)(,cos n n x nx a xππ，则___________2=a .三、解答下列各题（本题共7⼩题，每⼩题7分，满分49分）.1. 求幂级数∑∞1n nn x 收敛域及其和函数.解题过程是：2. 计算⼆重积分??≤++42222d d y x yx yx e.解题过程是：3. 已知函数),(y x f z =的全微分y y x x z d 2d 2d -=，并且2)1,1(=f . 求) ,(y x f z =在椭圆域}14|),{(22≤+=yx y x D 上的最⼤值和最⼩值.解题过程是：4. 设Ω是由y x z 22+=，4=z 所围成的有界闭区域，计算三重积分++Ωzy x z y x d d d )(22.5. 设L AB 为从点)0,1(-A 沿曲线x y 21-=到点)0,1(B ⼀段曲线，计算?++L AByx yy x x 22d d .解题过程是：6. 设∑是上半球⾯y x z 21--=的下侧，计算曲⾯积分++-+∑yx z y xy x z z y x z y z x d d )2(d d )(d d 2322.7. 将函数 61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解题过程是：四、证明题（7分）.证明不等式:≤+≤Dx y 2d )sin (cos 122σ，其中D 是正⽅形区域：10,10≤≤≤≤y x.2007—2008学年第⼆学期《本科⾼等数学(下)》试卷（理⼯类）专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试⽇期 2008年6⽉23⽇说明：1本试卷正⽂共6页。

中国石油大学近三年高数期末试题及答案

2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分）4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分）（令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2）dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分）四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222，即 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得对角线的增加率：3=dtdy（cm/s ）.-------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分） []x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limx x ex ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 ) 代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 )故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第一章函数与极限 13 %；第二章一元函数的导数与微分 16 %；第三章微分中值定理与导数的应用 20 %；第四章不定积分 14 %；第五章定积分及其应用 30 % . 第六章常微分方程 7 % .2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限 16 %；第二章一元函数的导数与微分 16 %；第三章微分中值定理与导数的应用 14 %；第四章不定积分 15 %；第五章定积分及其应用 26 % . 第六章常微分方程 13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ，由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在.---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （ ⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f ..---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(lim xdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim------------------------------------------------------------------（3分）⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点.---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=-----------------（3分）当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx ex x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t=⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' ,--------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xxln 2.解 ⎰+dx e xx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分）⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分）⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分）C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分） dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分）（2）⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分） ⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ122132)22(3)1(y ye ee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC e C -=，>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ，切线与x轴及y轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ，即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点，故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2015—2016学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工科类 )专业班级姓名A 卷学号开课系室基础数学系考试日期 2016年1月 11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。

中国石油大学2006至2007学年第二学期高等数学期末考试试题A

中国石油大学2006至2007学年第二学期高等数学期末考试试题 A
A卷
中国石油大学2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷
专业班级
姓名
学号
开课系室数学学院基础数学系
考试日期 2007年7月 2 日
页号一二三四五总分
得分
阅卷人
说明：1.本试卷正文共5页。

2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得
写在草稿纸中，
否则答案无效。

一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项
中，只有一项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1．设三向量满足关系式，则（）.
（A）必有; （B）必有;。

中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(12)

Ａ卷2008—2009学年第一学期《高等数学》期末考试试卷(理工科类)专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期 2009年1月5日说明：1本试卷正文共6页。

2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）1)(cos lim xx x → =________________.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为_________________. （3）已知xxxe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f _____________ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 ______________. （5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为___________________.二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（）. (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是（）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .3. 计算不定积分.4.计算定积分⎰++3011dxxx.四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256x y y y xe'''-+=.2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为ρ，计算桶的一端面上所受的压力．图4-13. （本题8分）设()f x在[,]a b上有连续的导数，()()0f a f b==，且2()1baf x dx=⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A; (2) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） 10)(cos lim x x x →（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xx xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____ .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为 _________.9131-=x y（5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=⎰-dx x (B) 21112-=⎰-dx x(C) +∞=⎰∞+141dx x (D) +∞=⎰∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点.(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点. (D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.（3）函数212e ee xxxy C C x -=++满足的一个微分方程是（（A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）.(A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是（ A ）.(A) (())().f x dx f x '=⎰ (B)()().=⎰df x f x(C) [()]().d f x dx f x =⎰ (D) ()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→-------1分=x x x x x ln 1ln lim1+-→-------2分 = x x x x x x ln 1ln lim1+-→ -------1分= 211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x -------2分2.方程⎩⎨⎧+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx y d .解 ,s i n )()(t t t x t y dx dy =''= ----------------------------（3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''=---------------------（6分）4. 计算不定积分.222 =2arctan 2 =2C =----------------+---------⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dx x x.解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x --------- --------------- （3分）35)1(323323=++-=x ----------------------------------------- ---------------------（6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图220322203*********RRRP g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------⎰⎰分）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1baf x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222bb aab ab b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= ----1分由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x e y = ----1分平面图形D 的面积 ⎰-=-=10.121)(e dy ey e A y ----2分（2）切线x e y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为.3121e V π= ----2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 2102)(⎰-=π， ----1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ ----1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1x e x ≥+. 解法一：2112xe e x x x ξ=++≥+解法二：设() 1.x f x e x =--则(0)0.f =------------------------1分因为() 1.x f x e '=-------------------------—————— 1分当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。

高等数学期中考试试卷及答案

高等数学期中考试试卷及答案XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷一、判断题（每题2分，共10分）1、若数列{x_n}收敛，数列{y_n}发散，则数列{x_n+y_n}发散。

（×）2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。

（×）3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.（√）4、limx→∞ sinx/x = 0.（√）5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有零点。

（√）二、填空题（每题2分，共10分）1、已知f'(3)=2，则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.（答案为2）2、y=π+xn+arctan(x)，则y'|x=1 = n+1.（答案为n+1）3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。

（答案为(1.e^1)）4、函数y=ln[arctan(1-x)]，则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。

（答案为-1/(x^2-2x+2)）5、当x→0时，1-cosx是x的阶一无穷小。

（答案为x^2/2）三、单项选择题（每题2分，共10分）1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。

2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。

3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，则limx→1 f(x)≠f(1)。

(以上等式都不成立)4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。

5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。

四、计算下列极限（每题6分，共18分）1、lim(x+1-x^-1) = 2.2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0.3、lim(x→0) ln(1+x^2)/x = 0.五、计算下列各题（每题6分，共18分）1、y=e^(sin^2x)。

中国石油大学(北京)工程热力学与传热学-试题02

中国石油大学（北京）2006-2007学年度第一学期储运2004《工程热力学与传热学》期末试卷——B 卷（闭卷）工程热力学部分一. 判断对错（每题1分，共计5分）1 气体膨胀时一定对外作功；（）2 道尔顿定律只适用于理想气体，定律指出混合气体的总压力等于各组元分压力之和；（）3 工质被加热熵一定增大，工质放热熵一定减小；（）4 当m 公斤的河水与G 公斤的沸水具有相同的热力学能时，它们的可用能一定相同；（） 5水蒸气的定温膨胀过程满足Q=W 。

（）二. 问答题（共计18分）1将满足以下要求的理想气体多变过程表示在同一个p-v 图和T-s 图上（1）理想气体的定温，定压，定容和定熵过程；（2）工质又膨胀，又升温，又吸热的多变过程。

（5分） 2某热机工作在T 1=2000K 的高温热源和T 2=300K 的低温热源之间，问能否实现作功1200kJ ，向低温热源放热800 kJ ？（4分） 3解释湿空气的露点温度，说明将未饱和湿空气转变为饱和湿空气的方法。

（4分） 4如图为蒸汽一次再热循环的T-s 图，指出各相应过程的特点，并写出热效率的计算公式。

（5分）三. 计算题（共计30分）1如图有一汽缸和活塞组成的系统，汽缸壁和活塞均由绝热材料制成，活塞可在汽缸中无摩擦地自由移动。

初始时活塞位于汽缸中间， A ，B 两部分理想气体的质量均为1 kg ，两边的压力、温度都相同, 并有P A1= P B1 =0.2 MPa ，t A1= t B1= 20℃。

现通过 A 腔气体内的一个加热线圈，对A 腔气体缓慢加热，则活塞向右缓慢移动, 直至 P A2= P B2 =0.4 MPa 时。

试计算：（1） A ，B 腔内气体的终态容积, 终态温度各是多少 ? （2）过程中供给 A 腔气体的热量是多少 ?（3） A ，B 腔内气体的熵变及整个气体组成的系统熵变是多少 ?设气体的比热容为定值，c p = 1.01 kJ/(kg.K)，c V = 0.72kJ/(kg.K)（15分） 2将1 kmol 理想气体在400K 下从0.1 MPa 缓慢地定温压缩到1.0 MPa ，试计算下列三种情况下此过程气体的熵变，热源的熵变和总熵变。

中国石油大学石油化学期中考试卷

中国石油大学石油化学期中考试卷标准答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用化学系考试日期题号一二三四总分得分阅卷人一、填空题（每空0.5分，共25分）1、2006年我国原油产量为（ 1.84亿吨）。

2、目前世界平均能源消费构成中，石油与天然气所占的比例为（ 60％），而我国的石油与天然气在能源消费构成中所占的比例为（ 25％）。

3、组成石油的主要元素在石油中的含量范围（重量百分数）为：碳（ 83～87％）、氢（ 11～14％）、硫（0.05～8.0％）、氮（ 0.02～2.0％）。

4、按我国原油的分类方法，大庆原油、羊三木原油和胜利原油的属性分别为（低硫石蜡基）、（低硫环烷基）、（含硫中间基）。

5、通常将原油按照沸点范围可分为汽油馏分、柴油馏分、减压馏分与减压渣油，它们的沸点范围分别是（初馏点～200℃）、（ 200～350℃）、（350～500℃）、（>500℃）。

6、石油中的有机含硫化合物的存在形式有（硫醇）、（硫醚）、（二硫化物）、（噻吩类硫化物）等类型，其中主要类型为（硫醚类）和（噻吩类）。

7、石油中硫、氮及微量元素含量分别有（ 70 ）%、（ 90 ）%、（ 95 ）%存在于减压渣油中。

8、石油中的含氮化合物按照其酸碱性通常可分为（碱性氮化物）和（非碱性氮化物）。

9、石油中的酸性含氧化合物主要有（石油羧酸）和（石油酚）两种类型。

10、石油中最主要的微量金属元素是（ Ni ）、（ V ）、（ Fe ）、（ Ca ）。

11、在石油及其产品的平均相对分子质量的测定中，最常压的测定方法是（冰点下降法）与（蒸气压渗透法），密度的测定方法是（密度计法）和（比重瓶法）。

12、油品粘度与温度关系表示方法有（粘度指数）和（粘度比）两种。

13、石油产品的凝固分为（构造凝固）和（粘温凝固）两种形式。

14、评定柴油蒸发性的质量指标有（馏程）和（闭口闪点）。

15、内燃机的工作过程包括（进气）、（压缩）、（燃烧膨胀做功）、（排气）。

中国石油大学(北京)期末考试试卷《高等数学1》2007级期末试卷

1.
求
∫
4
−
dx 3sin 2
x
.
2. 判断函数
f
(
x)
=
e
−
1 x
是否有极值点
,
并求曲线 y = f (x)的拐点.
∫ 3.
设函数 y =

f
(x)
由参数方程
⎪⎧
⎨ ⎪⎩
y
=
x = ln(1 + t 2 )
arctan t
u tan u du
0
确定 , 求 d 2 y . dx 2
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2007─2008 学年第一学期《高等数学》(Ⅰ) 期末考试试卷 A
x2 e−t2 d t, 求
1
x f (x) dx.
1
0
∫ 8. 设 F (x) =
x
t
f (x2
− t 2 )dt , 其中函数
f 是可微 , 且
f (0) = 0,求
lim
F (x) .
0
x→0 x 4
三、（本题满分 8 分）设 x > 0, 常数 a > e, 证明 : ( a + x ) a < a ( a + x ) .
五、（本题满分 8 分）求由曲线 y = x 2 , y = 2x + 3 所围平面图形的面积 A, 并求该平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 .
六、（本题满分 10 分）（1）求过 M 0 (2,1,−2) 且与直线
L1
:
x
−1 3
=
y +1 = z −3 ,
2
−1
直线
L2