高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

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高考数学一轮复习第八章解析几何第七讲抛物线学案含解析新人教版

第七讲抛物线

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；

(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __．知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程

y 2＝2px (p ＞0)

y 2＝－2px (p ＞0)

x 2＝2py (p ＞0)

x 2＝－2py (p ＞0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F __⎝⎛⎭⎫p 2，0__

F __⎝⎛⎭

⎫－p

2，0__ F __⎝⎛⎭⎫0，p

2__ F __⎝⎛⎭⎫0，－p

2__ 离心率 e ＝__1__

准线方程 __x ＝－p

2__

__x ＝p

2__

__y ＝－p

2__

__y ＝p 2__

范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口方向向右向左向上向下焦半径 (其中P (x 0，y 0))

|PF |＝ __x 0＋p 2__

|PF |＝ __－x 0＋p

|PF |＝ __y 0＋p 2

|PF |＝ __－y 0＋p

归纳拓展

抛物线焦点弦的处理规律

直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．

(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝

p 24

． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p

超实用高考数学专题复习：第九章平面解析几何第7节抛物线

直线x＝－1的距离之和的最小值为________. 解析如图，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线是 x＝－1，由抛物线的定义知点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到 F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(－1，1)的距离与点 P 到 F(1，0)的距离之和最小，显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为 [1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5. 答案 5
－14＝54，故选 C.
答案 C
6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________. 解析由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝ (4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是 [－1，1]. 答案 [－1，1]
解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3.
(2)如图 2，当 P，A，F 三点共线，且 P 在 FA 延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－ |AF|＝－ 2.当 P，A，F 三点共线，且 P 在 AF 延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF| ＝ 2.故|PA|－|PF|最小值为－ 2，最大值为 2. 答案 (1)3 (2)－ 2 2

专题3.3 以解析几何中与抛物线相关的综合问题为解答题——新高考数学专项练习题附解析

类型四范围与定值问题
典例 4【湖南师大附中 2018 届高三上学期月考试卷】已知 O 为坐标原点，抛物线 C : y2 nx(n 0) 上在第
一象限内的点
P
2,
t
到焦点的距离为
5 2
，曲线
C
在点
P
处的切线交
x
轴于点
Q
，直线
l1
经过点
Q
且垂直于
x 轴．
（Ⅰ）求 Q 点的坐标；（Ⅱ）设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2 : x my b 交曲线 C 于点 A 和 B ，交 l1 于点 E ，若直线 PA ， PE ，
【举一反三】【（2018·山东高考模拟】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 M (2,1) 在抛物线 C ：x2 ay 上，
直线 l ： y kx b(b 0) 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，且直线 OA ， OB 的斜率之和为-1.
（1）求 a 和 k 的值；（2）若 b 1，设直线 l 与 y 轴交于 D 点，延长 MD 与抛物线 C 交于点 N ，抛物线 C 在点 N 处的切线为 n ，记直线 n ， l 与 x 轴围成的三角形面积为 S ，求 S 的最小值.
线焦点的距离为 . 直线与抛物线交于两点，且线段的中点为
.
（Ⅰ）求直线的方程.
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高中数学《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

《抛物线》典型例题12例

典型例题一

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x

分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．

（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．

解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a

y 12=

，a p 1

2=∴

①当0>a 时，

p 41

2=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(

a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0

a p 41

2-=，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是)0,41(

a ，准线方程是：a

x 41-=．综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41

(

，准线方程是：a

x 41-

=．典型例题二

例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．

分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．

解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=x y kx y 82

2可得：

04)84(22=++-x k x k ．

∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：28

422

21=+=+∴

k k x x ，解得：2=k 或1-=k （舍去）．故所求直线方程为：22-=x y ．

高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

高中数学讲义之解析几何

圆锥曲线第3讲抛物线

【知识要点】

一、抛物线的定义

平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l （F l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这

个定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点 F 不在定直线l 上，否则点的轨迹就不是一个抛

物线，而是过点 F 且垂直于直线l 的一条直线。

注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l （F l ）的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线。

注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事

实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。

二、抛物线的标准方程

1.抛物线的标准方程

抛物线的标准方程有以下四种：

2 （1）y2px （p 0），其焦点为

F (

,0)

，准线为 2

；

（2）y2px （p 0 ），其焦点为

F (

,0)

，准线为 2

；

2 （3）x2py （p 0），其焦点为

F (0,

)

，准线为 2

；

（4）x2py （p 0 ），其焦点为

F (0,

)

，准线为 2

2.抛物线的标准方程的特点

抛物线的标准方程y 2px 2

（p 0）或x 2py （

p 0）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向.

(完整版)抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质

1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：

图形

参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.

开口方向右

左

上

下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>

22(0)x py p =->

焦点位置 X 正

X 负

Y 正

Y 负

焦点坐标 (,0)2

p (,0)2p -

(0,)2p

(0,)2p -

准线方程 2

p x =-

2p x =

p y =-

p y =

范围 0,x y R ≥∈

0,x y R ≤∈

0,y x R ≥∈

0,y x R ≤∈

对称轴 X 轴

X 轴

Y 轴

顶点坐标（0,0）

离心率 1e =

通径 2p

焦半径11(,)A x y 12

p AF x =+

p AF x =-+

p AF y =+

p AF y =-+

焦点弦长AB

12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++

焦点弦长AB 的补充

11(,)A x y

22(,)B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，2

2sin p AB α

若AB 的倾斜角为α，则22cos p

AB α

124

p x x = 212y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：

高中数学抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质

1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：

图形

参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.

开口方向右

左

上

下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>

22(0)x py p =->

焦点位置 X 正

X 负

Y 正

Y 负

焦点坐标 (,0)2

p (,0)2p -

(0,)2p

(0,)2p -

准线方程 2

p x =-

2p x =

p y =-

p y =

范围 0,x y R ≥∈

0,x y R ≤∈

0,y x R ≥∈

0,y x R ≤∈

对称轴 X 轴

X 轴

Y 轴

顶点坐标（0,0）

离心率 1e =

通径 2p

焦半径11(,)A x y 12

p AF x =+

p AF x =-+

p AF y =+

p AF y =-+

焦点弦长AB

12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++

焦点弦长AB 的补充

11(,)A x y

22(,)B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，2

2sin p AB α

若AB 的倾斜角为α，则22cos p

AB α

2124

p x x = 2

12y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：

高考数学考点专题：解析几何：抛物线

2 px （ p 0 ）且 p 1， p 2 ， 2
3．(选修 2-1P73A 组 T3 改编 ) 是抛物线 y2 2 px（ p 0 ）位于第一象限的点，
5 F 是抛物线的焦点，若 F p ，则直线 F的斜率为 ( )
2
A． 4 3
B． 5 3
C． 5 4
D． 5 2
[ 答案 ] A
[ 解析 ] 设
[ 解析 ] 设 l 的方程为 y－1＝k(x＋2)，
y＝kx＋ 2k＋1
由方程组 y2＝4x
，得
ky2－ 4y＋4(2k＋ 1)＝0，
1
1
①当 k＝ 0 时， y＝1，此时 x＝4，l 与抛物线仅有一个公共点 (4，1)．
②当
k≠ 0 时，由
Δ＝－ 16(2k2＋k－1)＝0，得
k＝－ 1 或
1 k＝ 2，∴k 的值组成的
即得的坐标为 6,2 3 .
∴
4 3.
故正三角形
的面积为 1 4 3 6 12 3 . 2
9． (选修 2－1 P71 例 6 改编 )过点 (－2,1)斜率为 k 的直线 l 与抛物线 y2＝4x 只有
一个公共点，则由 k 的值组成的集合为 ________． 1
[ 答案 ] {0 ，－ 1，2}
【考点梳理】
抛物线
1．抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质

高中数学抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质

1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：

图形

参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.

开口方向右

左

上

下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>

22(0)x py p =->

焦点位置 X 正

X 负

Y 正

Y 负

焦点坐标 (,0)2

p (,0)2p -

(0,)2p

(0,)2p -

准线方程 2

p x =-

2p x =

p y =-

p y =

范围 0,x y R ≥∈

0,x y R ≤∈

0,y x R ≥∈

0,y x R ≤∈

对称轴 X 轴

X 轴

Y 轴

顶点坐标（0,0）

离心率 1e =

通径 2p

焦半径11(,)A x y 12

p AF x =+

p AF x =-+

p AF y =+

p AF y =-+

焦点弦长AB

12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++

焦点弦长AB 的补充

11(,)A x y

22(,)B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，2

2sin p AB α

若AB 的倾斜角为α，则22cos p

AB α

2124

p x x = 2

12y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：

高考数学——解析几何专题经典试题练习及解析

1 / 21

高考数学解析几何专题经典试题练习及解析

1、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>

的离心率为2

，且过点A （2，1）

（1）求C 的方程：

（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足、证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值

【解析】(1)

由题意可得：222

22411c a

a b a b c ⎧=⎪

⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩

，解得：222

6,3a b c ===，故椭圆方程为：22

163x y +=.

(2)设点()()1122,,,M x y N x y .

因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：(

212k

4260x

kmx m +++-=,

2121222

426

,1212km m x x x x k k

-+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：

()

()()()2

1212k

1x 2140x km k x x m ++--++-+=

将②代入，(

)

()()222

264k 121401212m km

km k m k k

-⎛⎫

++---+-+= ⎪++⎝⎭

，

2 / 21

整理化简得()()231210k m k m +++-=,

∵2,1A （）不在直线MN 上，∴210k m +-≠，

∴23101k m k ++=≠，，

高三数学解析几何专题(含解析)

解析几何专题

1、(最值问题)【理科】设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，若

212cos 1d d θ=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点B 作直线l 交轨迹C 于M N ，两点，交直线4x =于点E ，求||||EM EN 的最小值． 2．（本小题满分12分）（定点定值问题）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为2

2，其左、右焦点为F 1、F 2，点P 是坐标平面

内一点，且1273

||,.24

OP PF PF =

⋅=其中O 为坐标原点。（I ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）如图，过点S （0，

}，且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

3、已知两定点())

2,0,2,0F F -，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线

1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点，

（Ⅰ）求k 的取值范围；

（Ⅱ）如果63AB =E 上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值和ABC ∆的面积S ．

4、已知抛物线2

:W y ax =经过点A （2，1），过A 作倾斜角互补的两条不同的直线12,.L L （1）求抛物线W 的方程及其准线方程；

（2）当直线L 1与抛物线W 相切时，求直线L 2与抛物线W 所围成封闭区域的面积；（3）设直线L 1、L 2分别交抛物线W 于B 、C 两点（均不与A 重合），若以BC 为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC 的方程．

高考数学一轮复习第8章解析几何第7讲抛物线

第七讲抛物线

知识梳理·双基自测知识梳理

知识点一抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；

(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __．知识点二抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y 2＝2px (p ＞0)

y 2＝－2px (p ＞0)

x 2＝2py (p ＞0)

x 2＝－2py (p ＞0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F ⎝⎛⎭⎫

p 2，0 F ⎝⎛⎭

⎫－p

2，0 F ⎝⎛⎭

⎫0，p 2 F ⎝

⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝__1__ 准线方程 __x ＝－p 2__

__x ＝p 2__

__y ＝－p 2__

__y ＝p 2__

范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径 (其中P (x 0,y 0)) |PF |＝__x 0＋p

|PF |＝__－x 0＋

|PF |＝__y 0＋p

2__

|PF |＝__－y 0＋

重要结论

抛物线焦点弦的处理规律

直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如图．

(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝

p 24

． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ,x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ,即当x 1＝x 2时,弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p

解析几何03抛物线【解析版】

第八章解析几何

第三节抛物线

1. 【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( )

A.28y x =

B. 28y x =-

C. 24y x =-

D. 24y x =

2. 【广东省东莞市2013届高三模拟考试一（理）】已知抛物线2

4x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是_____．

3. 【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检（理）】已知抛物线2

2y px =的焦点F 与双曲线22

179

x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则△AFK 的面积为（）

A.4

B.8

C.16

D.32

【答案】D

【解析】

试题分析：F （2p ，0），双曲线22179x y -=的右焦点为（4,0），∴2

p =4，p =8，∴抛物线方程

为x y 162=，K =（0,4-），设),(y x A =，22222)4(242y x y x AE AK +-=++⇔=

）（，解得0162422=+-+x y x ，与x y 162=联立，解得4=x ，8±=y ，∴AFK ∆的面积为32. 考点：抛物线的概念与运算.

4. 【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考（理）】若动圆的圆心在抛物线212x y =上，且与直线30y +=相切，则此圆恒过定点（）

A.(0,2)

B.(0,3)-

C.(0,3)

D.(0,6)

5. 【广东省韶关市2014届高三调研考试】设抛物线2

高中数学抛物线经典例题

抛物线

（1）抛物线——二次曲线

【例1】P 为抛物线px y 22

=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（）

.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定

【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫

⎪⎝⎭，准线是 :2p

l x =-.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =，

且2p

QH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的

中位线，()111222

MN OF PQ PH PF =+==.故以

PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

【例2】过抛物线()022

p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：

（1）12AB x x p =++ （2）

BF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作

1AA l ⊥11111,2

A B

B l B AA x ⊥==+于，则AF ，

122

BF BB x ==+.两式相加即得：

12AB x x p =++

（2）当AB ⊥x 轴时，有

AF BF p ==，

112

AF BF p

∴+=成立；当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：

2p y k x ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭.代入抛物线方程：

222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝

高考数学解析几何专题讲义第3讲--抛物线的定义及其应用

,
0
为记为
F
，过点
M
作直线
x
p 2
的垂线，垂足为
N
，由题
意知： MF MN 即动点 M 到定点 F 与定直线 x p 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨迹为
2
抛物线，其中
F
p 2
,
0
为焦点，
x
p 2
为准线，所以轨迹方程为
y2
2 px
p
0
．
【方法小结】涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化为抛物线上的点到准线的距离．
8
MA MF 的最小值为
．
7．过抛物线 y2 x 焦点的直线与该抛物线交于 A 、 B 两点，若 AB 4 ，则弦 AB 的中点到直线 x 1 0 的距 2
离等于（）
A． 7 4
B． 9 4
C． 4
D．2
8．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，则 1 1
的交点，若 tan AMB 2 2 ，则 AB
．
四、巩固练习参考答案
1．已知动点 M 的坐标满足方程 5 x 2 y 2 3x 4t 12 ，则动点 M 的轨迹是（）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
【答案】C．
【解析】由题意得： x 2 y 2 3x 4y 12 ， 32 42

(完整版)解析几何知识点总结

抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p

1、定义：

2、几个概念：

① p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，故p 为正数； ② 焦点的非零坐标是一次项系数的1

；

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径：2p

3、如：AB 是过抛物线)0(22

>=p px y 焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l MN ⊥，N 为垂足，l BD ⊥，l AH ⊥，D ，H 为垂足，求证：

（1）DF HF ⊥；（2）BN AN ⊥；（3）AB FN ⊥；

（4）设MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN ；（5）设),(),,(2211y x B y x A ，则2

21p y y -=，2

214

1p x x =；（6）p

FB FA 2|

|1=

+；（7）D O A ,,三点在一条直线上

（8）过M 作AB ME ⊥，ME 交x 轴于E ，求证：||2

1||AB EF =，||||||2

FB FA ME ⋅=；

1、双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。

第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

注意： a PF PF 2||||

21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；

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