高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和深厚的理论基础。
在高中数学中，我们学习了抛物线的方程、性质、图像以及与二次函数、解析几何等知识的关联。
本文将对高中抛物线的相关知识进行总结和梳理，以帮助我们更好地理解和应用这一概念。
一、抛物线的定义和基本性质抛物线是指平面上到定点距离与到定直线距离相等的动点所形成的轨迹。
其方程通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线具有以下基本性质：1. 它的对称轴是与x轴垂直的直线，过顶点。
2. 它的顶点是抛物线的最低点或最高点。
3. 它开口的方向取决于a的值，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
4. 它的图像关于对称轴对称。
二、抛物线的图像与方程通过对抛物线的方程进行分析，我们可以得到一些关于抛物线图像的信息。
1. 抛物线的顶点坐标可以通过求解方程y=ax^2+bx+c的极值点（即导数为0的点）得到。
顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。
2. 当a>0时，抛物线的图像开口向上，极值点是最低点；当a<0时，抛物线的图像开口向下，极值点是最高点。
3. 当抛物线的方程为y=ax^2+bx+c时，通过对y的值进行分析我们可以得到抛物线的开口大小和位置信息。
三、抛物线与二次函数的关系抛物线是二次函数的特殊图像，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
通过对比抛物线与二次函数的方程，我们可以得到它们之间的关系。
1. 抛物线与二次函数的图像形状相同，二次函数可以表示抛物线的图像；2. 二次函数告诉我们抛物线的方程形式，可以通过方程的系数判断抛物线打开的方向和大小，掌握二次函数的性质有助于理解和研究抛物线。
四、抛物线与解析几何的关系抛物线在解析几何中有重要的应用和意义，特别是在平面直角坐标系中。
抛物线的方程可以表示平面上的曲线，通过解析几何的相关知识我们可以分析抛物线的性质和特点。
抛物线专题(附答案)
抛物线专题考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换1.已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为32. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( )A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程3.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.[解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或 ∴2934p p ==或 ∴抛物线方程为243y x =-或292x y =,前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =- (2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p =, ∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p = ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=.4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）[解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p -，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82= 考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证6.设A 、B 为抛物线px y22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置 ［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==px y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k p k p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p【指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。
高中数学解析几何抛物线大题
高中数学解析几何抛物线大题
抛物线大题：
一、抛物线的定义
1、抛物线是二次曲线的一种，它的方程式一般可表示为
$y=ax^2+bx+c$，当$a<0$时，得到的曲线是向下凹的，即为抛物线。
2、抛物线的凹顶是位于曲线上一点，它是抛物线上最高点，也称为顶点，当a<0时，顶点的坐标为$( -\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a} )$。
二、抛物线的过程
抛物线的运动轨迹实际上是一个二次函数的图形，它的轨迹可以概括为如下四个特点：
1、抛物线最开始是一条负斜率直线，也就是抛出物体时在水平移动，且斜率为负数。
2、当抛物线经过顶点，斜率从负值变为正值，即抛物线开始反弹Test 栏。
3、当抛物线接近水平线时，斜率极小，且小于零，此时抛物线开始向下倾斜。
4、当抛物线趋于水平线时，斜率终于变成负数，到达最终形状，也就是它在水平线上的运动。
三、抛物线的应用
抛物线的应用非常广泛，如：
1、抛物线在现实世界中被广泛应用于物理、力学及许多其他领域，如抛物线运动、摆动运动等。
2、抛物线在计算机图形学中被用于表示图形的光滑与曲线，以及在人工智能中用于处理数字图像。
3、抛物线也常常被用于描述经济上的一些需求量及供给量等关系，以便进行更合理的调控。
四、抛物线的性质
抛物线的一些基本性质有：
1、轴对称性：抛物线所围成的图形与其凹顶点关于y轴对称。
2、放射性：抛物线与任一垂线所形成的三角形均具有放射性。
3、相反照应：抛物线与任一对称轴所形成的图形是反照的。
4、重心：抛物线的重心坐标为$( \frac{a}{3},\frac{-b^2}{9a})$。
高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
圆锥曲线第 3 讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l（F l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
注 1：在抛物线的定义中，必须强调：定点 F 不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点 F 且垂直于直线l的一条直线。
注 2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l（F l）的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线。
注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。
以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。
二、抛物线的标准方程1. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：p,0) ，准线为 x p（1） y 2 2 px （ p0），其焦点为F (2 2 ；（2） y 2 2 px （ p0 ），其焦点为F (p,0)，准线为xp2 2 ；F (0,pyp（3）x22 py （ p0)2），其焦点为2，准线为；F (0,p p（4）x22 py （ p)y），其焦点为 2 ，准线为 2 .2. 抛物线的标准方程的特点抛物线的标准方程y 22 px （ p 0 ）或 x22 py （ p）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方， 等号的另一端是另一个变元的一次项， 抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x轴时，抛物线方程中的一次项就是 x的一次项，且一次项 x 的符号指明了抛物线的开口方向； 当抛物线的对称轴为y轴时， 抛物线方程中的一次项就是 y 的一次项，且一次项y的符号指明了抛物线的开口方向.三、抛物线的性质以标准方程y 22 px（p 0）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1）范围：x，y R ；（2）顶点：坐标原点O (0,0)；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为y；（ 4）开口方向：向右；（ 5）焦参数： p；F ( p,0) （6）焦点： 2 ；p x（7）准线：2 ；（ 8）焦准距： p；（ 9）离心率： e 1；（10）焦半径：若P(x 0 , y 0 )为抛物线y 22 px（p 0）上一点，则由抛物线的定义，有PFx 0p2 ；（11）通径长：2p.注 1 ：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。
高考数学复习专题15解析几何抛物线的定义及标准方程考点剖析
抛物线的定义及标准方程
主标题：抛物线的定义及标准方程
副标题：为学生详细的分析抛物线的定义及标准方程的高考考点、命题方向以及规律总结关键词：抛物线的定义及标准方程，知识总结
难度：4
重要程度：5
考点剖析：考查抛物线的定义及标准方程.
命题方向：1.从考查内容看，高考中主要侧重于对抛物线的定义、标准方程的考查；
2.多以客观题形式考查，属中低档题目．
知识梳理：1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
[提醒] 当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．2．标准方程
顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝2py(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝－2py(p>0)．[提醒] 抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p<0的错误．规律总结：求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。
高中数学抛物线经典例题(含解析)
抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。
专题九 解析几何第二十八讲 抛物线(含答案)
专题 解析几何第二十八讲 抛物线2019年1.（2019全国II 理8）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．82.（2019北京理18（1））已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1).求抛物线C 的方程及其准线方程；3．（2019全国I 理19）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB =uu u r uu r，求AB ．4. （2019全国III 理21）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C ：24=y x 的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则⋅FM FN = A ．5B ．6C ．7D ．82．（2017新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．103．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为A B ．23C ．2D ．1 4．(2016年全国I)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E两点．已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．85．（2015浙江）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是A ．11BF AF -- B ．2211BF AF -- C ．11BF AF ++ D ．2211BF AF ++6．（2015四川）设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，7．（2014新课标1）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = A ．72 B ．52C ．3D ．2 8．（2014新课标2）设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A B C ．6332 D ．949．（2014辽宁）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4310．（2013新课标1）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．411．（2013江西）已知点()2,0A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||FM MN =A ．B ．1:2C ．1:D ．1:312．（2012新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为 A 、2B 、22C 、4D 、813．（2012山东）已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2．若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A ．2x y =B ．2x y =C ．28x y =D ．216x y = 14．（2011新课标）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为A ．18B ．24C ．36D ．48 二、填空题15．(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=，则k =______．16．（2017新课标Ⅱ）已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．17．（2015陕西）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =18．（2014湖南）如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则 ．19．（2013北京）若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ，准线方程为 ． 20．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．21．（2010浙江）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A ．若线段FA 的中点B在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题22．（2018北京）已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l与C 交于A ，B 两点，||8=AB ．(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．24．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 25．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．26．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．x（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ ⋅的最大值．27．（2017北京）已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)P ．过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点．28．(2016年全国III)已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．29．（2015新课标1）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+(0)a >交与M ，N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 30．（2014山东）已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形。
高考数学 专题13 抛物线解答题解法荟萃(解析版)
专题13 抛物线解答题解法荟萃一．【学习目标】1.掌握抛物线的定义；2.掌握焦点三角形的应用和几何意义；3.掌握抛物线方程的求法；4.掌握直线与抛物线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。
二．【知识点】 1．抛物线的定义平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离______的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程、图形及几何性质 标准y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)方程图 形焦点 )0,2(p F 准线x ＝p 2范围 ① x ≥0，y ∈R ② x ≤0，y ∈R③ x ∈R ，y ≥0 ④ x ∈R ，y ≤0对称轴 ⑤________ ⑥_________ 顶点 O (0，0) O (0，0) 离心率 e ＝1e ＝1开口⑦____ ⑧____⑨____ ⑩____3.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点)0,2(pF 的距离|PF |＝x 0＋p 2.三．【方法总结】1.求抛物线标准方程的实质是求p 值，常用的方法是待定系数法，若开口不定时，可以设抛物线方程为y 2＝mx(m≠0)或x 2＝ny(n≠0).2.利用抛物线定义可知，抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质，应用起来非常方便.如：已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点(如图)，可以证明：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切. (6)∠CFD ＝90°. 四．【题型方法】（一）抛物线的轨迹方程 （二）定点问题（三）直线与抛物线涉及的面积问题 （四）直线与抛物线中涉及的角的问题 （五）定值问题 （六）范围问题（七）抛物线与向量的综合 （八）最值问题 五．【题型举例】（一）抛物线的轨迹方程例1. 已知曲线()2C:2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。
专题8.8 抛物线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
第八篇 平面解析几何 专题8.08 抛物线及其几何性质【考试要求】1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 【知识梳理】 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下【微点提醒】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【解析】 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. (3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 【教材衍化】2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________. 【答案】 y 2＝－92x 或x 2＝43y【解析】 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________. 【答案】 2【解析】 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 【真题体验】4.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.6【答案】 B【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m ＝－3或5.5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6C.8D.12【答案】 B【解析】 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________. 【答案】 [－1，1]【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1，1]. 【考点聚焦】考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135 C.145D.3【答案】 (1)B (2)A【解析】 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6. (2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.【规律方法】应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋p2或|PF|＝|y0|＋p2.【训练1】(1)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.【答案】(1)y2＝4x(2)6【解析】(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】(1)(2018·晋城模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当|MA||MF|＝2时，△AMF的面积为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝855，则抛物线C 2的方程为( ) A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)过M 作MP 垂直于准线，垂足为P ， 则|MA ||MF |＝2＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP， 则cos ∠AMP ＝22，又0°<∠MAP <180°， 则∠AMP ＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形， 设M (m ，4m )，由|MP |＝|MA |，得|m ＋1|＝4m ， 解得m ＝1，M (1，2)，所以△AMF 的面积为12×2×2＝2.(2)由题意，知直线AB 必过原点， 则设AB 的方程为y ＝kx (易知k >0)，圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝⎛⎭⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，把⎝⎛⎭⎫85，165代入抛物线方程， 得⎝⎛⎭⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165， 所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 【规律方法】 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|PA |，则P 的横坐标为( ) A.1B.32C.2D.52【答案】 (1)y 2＝3x (2)C【解析】 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4， 故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x . (2)由抛物线定义知：|PB |＝|PF |，又|PB |＝|PA |，所以|PA |＝|PF |，所以x P ＝x A ＋x F 2＝2(△PFA 为等腰三角形).考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 【答案】见解析【解析】(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝x p，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p，切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 212p ，同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 222p.又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎨⎧y ＝x 1p x －x 212p，y ＝x 2p x －x 222p ，解得N ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22p . ∴N (pk ，－1).|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .【规律方法】 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.【提醒】：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【答案】 A【解析】 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16.当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号.故|AB |＋|DE |的最小值为16. 【反思与感悟】1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p .【易错防范】1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式. 【核心素养提升】【数学抽象】——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点). 【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【一般解法】 【答案】 B【解析】易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.【应用结论】 法一由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p＝1， 解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94【一般解法】 【答案】 D【解析】由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0. 与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.[应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2α 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163D.203【一般解法】【答案】 C【解析】如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C. 【应用结论】法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163. 法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( )A.2B.1C.14D.18【答案】 D【解析】 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 2.(2019·抚顺模拟)已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( )A.32B.2C.52D.3 【答案】 A【解析】 ∵点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，∴F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴|MF |＋|NF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝4， ∴x 1＋x 2＝3，∴线段MN 中点的横坐标为32. 3.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( )A.π3B.π4C.π3或2π3D.π4或3π4【答案】 C【解析】 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|FA |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，又0＜∠EAF ＜π，∴∠EAF ＝π3，即直线FA 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线FA 的倾斜角为2π3.4.(2019·德州调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( )A.x 2＝8yB.x 2＝4yC.y 2＝8xD.y 2＝4x【答案】 C【解析】 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2， 消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋p 2⎝⎛⎭⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5【答案】 B【解析】 由题意知p 2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |， 则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.【答案】 2 6【解析】 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米.7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________.【答案】 6【解析】 由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －32，当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝⎛⎭⎫－32，33， 因为PA ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33， 可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫92，33，根据抛物线的定义可知|PF |＝|PA |＝92－⎝⎛⎭⎫－32＝6. 8.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.【答案】 x 2＝16y【解析】 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a ＝1＋b 2a 2，所以b a＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 三、解答题9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.【答案】见解析【解析】(1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，即5p 4＋p ＝9，所以p ＝4.所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0，可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2.所以A (1，－22)，B (4，42).则OC →＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ).因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.【答案】见解析【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3 【答案】 D【解析】 设|AF |＝m ，|BF |＝n ，∵|AF |＋|BF |＝233|AB |， ∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13|AB |2， 在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12， ∴∠AFB 的最大值为2π3. 12.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32B.33C.12D.34【答案】 C【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以 E ⎝⎛⎭⎫2y 1x 1，0，F ⎝⎛⎭⎫2y 2x 2，0，即E ⎝⎛⎭⎫x 12，0，F ⎝⎛⎭⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2＝2（－1＋y 2）， 所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)， 则S △PEF S OAB ＝12×1×⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12. 13.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.【答案】655－1【解析】如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即65＝655，即m＋n的最小值为655－1.14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在C上，若|AO|＝|AF|＝3 2.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值. 【答案】见解析【解析】(1)因为点A在C上，|AO|＝|AF|＝32，所以点A的纵坐标为p4，所以p4＋p2＝32，所以p＝2，所以C的方程为x2＝4y.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以y1＋y2＝4k2＋2b，因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0，所以0<b≤1，S△OPQ＝12b|x1－x2|＝12b（x1＋x2）2－4x1x2＝12b16k2＋16b＝b2＋2b＝2·b3＋b2(0<b≤1)，设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b>0，函数单调递增，所以b＝1时，△OPQ的面积最大，最大值为2.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知点A(0，2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM||MN|＝55，则p的值等于()A.14B.2C.4D.8【答案】 B 【解析】 过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan ∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x ，令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1，0)，则p ＝2×1＝2，故选B.。
高考数学解析几何专题讲义第3讲--抛物线的定义及其应用
MA MF 的最小值为
．
7．过抛物线 y2 x 焦点的直线与该抛物线交于 A 、 B 两点，若 AB 4 ，则弦 AB 的中点到直线 x 1 0 的距 2
离等于（ ）
A． 7 4
B． 9 4
C． 4
D．2
8．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，则 1 1
【证明】如图，设抛物线的准线为 l ，过 A 、B 两点分别作 AC 、BD 垂直于 l ，垂足分别为 C 、D ．取 线段 AB 中点 M ，作 MH 垂直 l 于 H ．
由抛物线的定义有： AC AF ， BD BF ，所以 AB AC BD ．
∵ ABDC 是直角梯形， MH 1 AC BD 1 AB
以开口向右的抛物线为例，设抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F，准线为 l ，点 M x0, y0 为抛物线
C 上的动点．则有:
焦半径 MF
x0
p 2
；过焦点的弦
AB
长为
AB
xA xB p ．
（二）抛物线定义的应用
与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点 的距离与点到直线的距离的转化：
（2）如图，设 AFK ．
∵
AF
AA1
AK
p
AF
sin
p
，∴
AF
p 1 sin
，
又
BF
BB1
p
BF
sin
，∴
BF
p 1 sin
，
∴ 1 1 1 sin 1 sin 2 （定值）．
AF BF
p
pp
【变式训练】求证：以抛物线 y2 2 px p 0 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．
高中数学解析几何抛物线性质与定义(精)
抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种, 即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。
1、抛物线的定义平面内到一个定点 F 和不过 F 的一条定直线 l 距离相等的点的轨迹 (或集合称之为抛物线。
F 称为 " 抛物线的焦点 ", l 称为 " 抛物线的准线 " 。
如图:设定点 F 到定直线 l 距离 FN 为 p , M为 x 轴,建立坐标系,设动点 M 的坐标为 (x,y 若 M 到直线 l 的距离与到定点 F 的距离相等, 则有:2222p x y p x +=+⎪⎭⎫⎝⎛-整理可得抛物线的标准形式为:px y 22= 对应的焦点坐标为( , 2p 对应的准线方程为 2p x -=对应的顶点坐标为(0, 0 离心率 e=1抛物线的形式一共有以下四种:2、抛物线的性质设抛物线的标准方程 y 2=2px (p >0 ,则(1 . 范围:则抛物线上的点 (x , y 的横坐标 x 的取值范围是x ≥0., 在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
(2 . 对称性:这个抛物线关于轴对称, 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 . 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 .(3 .顶点:抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点,这个抛物线的顶点是坐标原点。
(4 .离心率;抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率, 其值为 1.(5 . 在抛物线 y 2=2px (p >0中,通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 , 2(, , 2(p p p p -,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为 2p .(6 . 平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点 . 但它不是双曲线的切线 . (7 焦点弦长公式:过焦点弦长 121222p p P Q x x x x p =+++=++抛物线和椭圆、双曲线的比较(1 . 抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大 . 它的离心率等于 1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它无中心,也没有渐近线 .(2 . 椭圆、双曲线都有中心,它们均可称为有心圆锥曲线 . 抛物线没有中心,称为无心圆锥曲线 .3. 习题讲解例 1(1 如图 5, 已知定直线 l 及定点 F , 定直线上有一动点 N , 过 N 垂直于 l 的直线与线段 N F 的垂直平分线相交于点 M ,则点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (2 点 M 与 (4,0 F 的距离比它到直线 :50l x +=的距离小 1, 点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (3 已知圆 22:(3 1C x y -+=, 动圆 M 与圆 C 外切且与 y 轴相切 (图 6 , M 的轨迹是什么形状的曲线?例 2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若 A 、 B 在抛物线准线上的射影分别为 A 1、 B 1,则∠ A1FB 1=__________。
高中数学抛物线经典考点及例题讲解
抛物线考纲解读 1.利用抛物线的定义及简单性质求抛物线的标准方程；2.根据抛物线标准方程求其几何性质；3.利用抛物线几何性质研究与直线有关的综合问题．[基础梳理]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．(2)与一个定点F 和一条定直线l 距离相等． (3)l 不经过点F .2．抛物线的标准方程与几何性质O (0,0)[三基自测]1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0 答案：B2．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案：D3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 答案：C4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－8x 或x 2＝－y5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)过y 2＝8x 的焦点F 垂直于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，求|MN |.答案：8考点一 抛物线的定义及应用|方法突破[例1] (1)(2018·河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53 B.75 C.97D ．2(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2 C.17－1D.17－2(3)与y 轴相切并与圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0也相切的圆的圆心的轨迹方程为________． [解析] (1)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，分别过点A 、B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D 、E (图略)．∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋23y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C.(3)当动圆在y 轴右侧时，如图，动圆圆心P 到(3,0)的距离等于P 到定直线x ＝－3的距离(3＋r )，所以P 点的轨迹是以(3,0)为焦点的抛物线． 其方程为y 2＝12x (x >0)．当动圆在y 轴左侧时，其圆心在x 轴的负半轴上，其方程为y ＝0(x <0)． [答案] (1)A (2)C (3)y 2＝12x (x >0)或y ＝0(x <0) [方法提升][母题变式]1．将本例(1)改为过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2 C ．3D ．4解析：AB 的中点到抛物线准线的距离为|AB |2＝5，所以AB 的中点到y 轴的距离为5－1＝4.答案：D2．将本例(2)改为已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，求|MA |＋|MF |的最小值．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1，由抛物线的定义得|MF |等于M 到准线的距离d ，所以|MA |＋|MF |的最小值等于圆心C 到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.考点二 抛物线标准方程及性质|方法突破[例2] (1)(2018·沈阳模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1)(2)(2018·保定模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x(3)经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，如果A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1、B 1，那么∠A 1FB 1等于( )A.π6B.π4C.π2D.2π3[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点M (x 0，y 0)，则AF →＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM →＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4.由|MF |＝5，得⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5. 又p >0，解得p ＝2或p ＝8.(3)由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AF A 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OF A 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AF A 1＝∠OF A 1，所以∠OF A 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.[答案](1)B(2)C(3)C[方法提升]求抛物线方程的方法[跟踪训练]1．(2018·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a ＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b ＝－8，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .故所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .答案：D2．(2018·重庆渝中区模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，双曲线C 的渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝43x解析：∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴双曲线C 为等轴双曲线，即a ＝b ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±x .又∵双曲线C 的渐近线与抛物线y 2＝2px 交于A ，B 两点，如图所示，设点A (x ，y )，∴|OM |＝x ，|AM |＝y .又 ∵△OAB 的面积为xy ＝4，∴x ＝2，y ＝2.又∵点A 在抛物线上，∴22＝2p ·2.解得p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .故选C.答案：C3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3D ．2 解析：∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 答案：C考点三 直线与抛物线综合问题|方法突破[例3] (2016·高考浙江卷) 如图，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值．(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．[解析] (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离， 由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2,2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B ⎝⎛⎭⎫1t 2，－2t . 又直线AB 的斜率为2tt 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t ，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2 t . 设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m ＝2t ＋2t t 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t 2t 2－1＝2＋2t 2－1，所以m <0或m >2.经检验，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． [方法提升][跟踪训练]如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．以点F 为圆心，|F A |为半径的圆与x 轴负半轴的交点为点B ，与抛物线C 在第四象限的交点为点C .(1)若点O 到直线l 的距离为32，求直线l 的方程； (2)试判断直线AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明． 解析：(1)由题易知，抛物线C 的焦点为F (1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1，不符合题意.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以|－k |1＋k 2＝32，解得k ＝± 3. 即直线l 的方程为y ＝±3(x －1)． (2)直线AB 与抛物线C 相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得，x ＝2x 0y y 0－x 0，把上式代入y 2＝4x 得y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线C 相切．1.[考点一](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.答案：B2.[考点一、二](2016·高考全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝kx (k >0)得k ＝1×2＝2，故选D.答案：D3.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝4＋4k 2＋4＋4k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A.答案：A4.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：如图，过M 、N 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M 1、N 1，设抛物线的准线与x 轴的交点为F 1，则|NN 1|＝|OF 1|＝2，|FF 1|＝4.因为M 为FN 的中点，所以|MM 1|＝3，由抛物线的定义知|FM |＝|MM 1|＝3，从而|FN |＝2|FM |＝6.答案：65.[考点二、三](2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率：(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.。
(完整版)解析几何知识点总结
抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p1、定义：2、几个概念：① p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，故p 为正数； ② 焦点的非零坐标是一次项系数的14；③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。
④ 通径：2p3、如：AB 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l MN ⊥，N 为垂足，l BD ⊥，l AH ⊥，D ，H 为垂足，求证：（1）DF HF ⊥； （2）BN AN ⊥； （3）AB FN ⊥；（4）设MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN ； （5）设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=，22141p x x =； （6）pFB FA 2||1||1=+； （7）D O A ,,三点在一条直线上（8）过M 作AB ME ⊥，ME 交x 轴于E ，求证：||21||AB EF =，||||||2FB FA ME ⋅=；1、 双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。
两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。
常数叫做离心率。
注意： a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；2、 双曲线的标准方程①焦点在x 轴上的方程：22221x y a b -=（a>0，b>0）； ②焦点在y 轴上的方程：22221y x a b-= （a>0，b>0）；③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx 2-ny 2=1(m ·n<0)； ④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 3、双曲线的渐近线：①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到。
第11讲 抛物线及其性质-解析版-2023届二轮复习《导数与解析几何》必掌握问题
第11讲抛物线及其性质典型例题双曲线的定义【例1】若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则点P 的轨迹方程是（）．A．216y x=-B．232y x =-C．216y x =D．232y =【分析】本题是求轨迹方程的问题，首先可以应用直接法按照求轨迹方程的方法和步骤求解，再由点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，根据抛物线的定义可以自然地想到点P 到点(4,0)F 的距离和到直线40x +=的距离相等，所以动点P 满足抛物线的定义，根据抛物线的标准方程得出点P 的轨迹方程．【解析】解法一设(,)P x y ，|4|x =+，化简得216y x =，所以点P 的轨迹方程为216y x =．故选C．解法二因为点P 到点(4,0)的距离比它到直线50x +=的距离小1，所以将直线50x +=右移1个单位，得直线40x +=，即4x =-，易知点P 到直线4x =-的距离等于它到点(4,0)的距离．根据抛物线的定义，可知点P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线4x =-为准线的抛物线．设抛物线方程为22(0)y px p =>，可得42p =，即216p =，因此抛物线的标准方程为216y x =，即点P 的轨迹方程为216y x =．故选C．【点睛】求抛物线的标准方程的关键与方法是：（1）关键是确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．（2）方法有：①定义法，根据定义求p ，最后写标准方程．②待定系数法，设标准方程，列有关的方程组求系数．③直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，得出对应方程，化简方程．抛物线的标准方程【例2】已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线3y =-与抛物线交于点A ，||5AF =，求该抛物线的标准方程．【分析】由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值．【解析】解法一当焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =>，焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由23,2,y y px =-⎧⎨=⎩得9,32A p ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又因为||5AF =，所以5=．化简得()222964p p -=，即298p p -=±，解得1p =或9p =．所以所求抛物线的标准方程为22y x =或218y x =．（2）当焦点在x 轴负半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =->，焦点,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则由23,2y y px =-⎧⎨=-⎩，得9,32A p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．又因为||5AF =，所以5=，化简得()222964p p -=，即298p p -=±，解得1p =或9p =．所以所求抛物线方程为2y =2x -或218y x =-．综上可知，所求抛物线方程为22y x =±或218y x =±．解法二设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为22(0)y px p =≠，(,3)A m -．则由抛物线定义得5||2p AF m ==+．又因为2(3)2pm -=，所以1p =±或9p =±．故所求抛物线方程为22y x =±或2y =18x ±．【点睛】（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．（2）在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题则更是如此．抛物线的几何性质【例3】如图5.1所示，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点,A B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且||4AF =，则线段AB 的长为（）．A．5B．6C．163D．203图5.1【分析】过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，由抛物线的定义点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，过点A 作AD l ⊥交l 于点D ，所以||||4AD AF ==，设准线l 与x 轴交于点M ，又F 是AC 的中点，根据几何特征得||2||2AD MF p ==，所以24p =，这样就得到了抛物线的方程为24y x =．再根据1||42p AF x =+=，得到点A 的坐标，这样就可求得直线AB 的斜率，从而得到直线AB 的方程，再与抛物线方程联立，根据韦达定理得到线段AB 的长．【解析】解法一如图5.2所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD l ⊥交l 于点D ，由抛物线的定义知||||4AD AF ==，由F 是AC 的中点，知||2||2AD MF p ==，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =．图5.2设()11,A x y ，()22,B x y ，则11||142p AF x x =+=+=，解得13x =，从而可得123y =因此(3,23)A ．又因为(1,0)F ，所以直线AF 的斜率23331k ==-．因此直线AF 的方程为3(1)y x =-，代入抛物线方程24y x =，得231030x x -+=，所以12103x x +=，1216||3AB x x p =++=．故选C．解法二如图5.3所示，设l 与x 轴交于点，过点A 作AD l ⊥交l 于点D ，由抛物线的定义知||||4AD AF ==，由F 是AC 的中点，知||2||2AD MF p ==，所以24p =，解得2p =．因此抛物线的方程为24y x =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则11||142p AF x x =+=+=，解得13x =．又因为2124p x x =1=，所以213x =．因此12116||3233AB x x p =++=++=．故选C．图5.3图5.4解法三如图5.4所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD l ⊥交l 于点D ，由抛物线的定义知||||4AD AF ==，由F 是AC 的中点，知||2||2AD MF p ==，所以24p =，解得2p =，因此抛物线的方程为24y x =．又因为||4AF =，且112||||AF BF p +=，所以4||3BF =．因此416||||||433AB AF BF =+=+=．故选C．【点睛】应用抛物线定义的两个关键点：（1）由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．（2）注意灵活运用抛物线上一点()00,P x y 到焦点F 的距离为0||2p PF x =+，或0||2p PF y =+．若过焦点的弦AB 的端点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则弦长为12.AB x x p =++（3）设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入22y px =,得()2222220.4k p k x p k x -++=因为过拋物线()220y px p =>的焦点F 的直线交拋物线于点,A B ,所有0∆>.设()11,A x y ,()22,B x y ,则()22121222,.4p k p x x x x k ++==又因为12,22p p AF x BF x =+=+,所以()12212121211112.2224x x p p p p p AF BF p x x x x x x +++=+==+++++即112.AF BF p+=解法二运用了结论(1),解法三运用了结论(2).直线与抛物线的位置关系【例4】如图5.6所示,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点()1,2P ,()()1122,,,A x y B x y 均在拋物线上.（1）写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y +的值及直线AB的斜率.【分析】对于第一问,拋物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,又经过点()1,2P ,所以可设抛物线的方程为22y px =,根据待定系数法求出p 的值,从而得到拋物线的方程,再根据拋物线的性质可得准线方程.对于第二问,因为点()1,2P ,所以可设直线PA 的方程为()21y k x -=-,与抛物线联立可求得点A 的纵坐标1y .又因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补,所以直线PB 的斜率为k -,因此PB 的方程为()21y k x -=--,与抛物线联立可求得点B 的纵坐标2y ,将12,y y 相加得常数;同时可求得12,x x ,从而根据斜率公式求得直线AB 的斜率.另外,求直线的斜率还可以采取设而不求的方法.【解析】解法一（1）因为抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,又因其经过点()1,2P ,所以设抛物线的方程为22y px =.则可得421p =⨯,因此2p =.。
高中数学抛物线知识点归纳总结
高中数学抛物线知识点归纳总结抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。
点F叫做焦点，直线l叫做准线。
抛物线有对称性，关于x轴对称、关于y轴对称、焦点在对称轴上。
抛物线的顶点是与准线相交的最高点，离心率是焦点到顶点距离与顶点到准线距离的比值。
抛物线的方程有标准式和一般式，可以通过顶点、焦点、准线等信息求出。
焦点弦是抛物线上两点与焦点所组成的线段，焦点弦长等于两点间的距离加上焦距的两倍。
以焦点弦为直径的圆必与准线相切。
若以焦点为圆心作圆，则准线与圆相切。
关于直线与抛物线的位置关系，可以通过联立方程和判别式来求解。
当直线与抛物线有一个交点时，需要判断是否相切。
若直线与抛物线只有一个公共点，则不一定相切。
给定抛物线方程y=2px(p≠0)，设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则可以求得斜率k和中点M的坐标(x,y)。
同时，还可以利用点差法来求解相关问题。
对于交点坐标，代入抛物线方程可得y1=2px1，y2=2px2.将两式相减，可以得到(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)。
进一步化简，得到(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)。
这个公式在涉及斜率问题时非常有用，因为可以直接求出两个点的斜率kAB=2p/(y1+y2)。
对于中点M，设线段AB的中点为M(x,y)，则有x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.将这两个式子代入抛物线方程，可以得到y=2p(x1+x2)/2=px1+px2.进一步化简，得到2p(y-x)=2p(x1-x2)。
这个公式在涉及中点轨迹问题时非常有用，因为可以直接求出kAB=p/y。
当涉及弦长问题时，可以利用上述公式来求解。
例如，相交弦AB的弦长可以表示为AB=1+k^2(x1-x2)或AB=1+11/22Δ，其中Δ为三角形ABC的面积。
对于抛物线x^2=2py(p≠0)，同样可以利用上述公式来求解。
例如，在求解直线与抛物线相交的问题时，可以利用kAB=x1+x2/2p。
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圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（lF∉）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。
注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（lF∉）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。
注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。
以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。
二、抛物线的标准方程1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1）pxy22=（>p），其焦点为)0,2(pF，准线为2px-=；（2）pxy22-=（0>p），其焦点为)0,2(pF-，准线为2px=；（3）pyx22=（>p），其焦点为)2,0(pF，准线为2py-=；（4）pyx22-=（>p），其焦点为)2,0(pF-，准线为2py=.2.抛物线的标准方程的特点抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向.三、抛物线的性质以标准方程px y 22=（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ；（6）焦点：)0,2(p F ； （7）准线：2p x -=；（8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若),(00y x P 为抛物线px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20px PF +=；（11）通径长：p 2.注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。
以抛物线px y 22=（0>p ）的焦点)0,2(p F 和准线l ：2p x -=为例，可求得其焦准距为p p p =--)2(2；注2：抛物线的焦点弦指的是由过抛物线的焦点与该抛物线交于不同两点的直线所构成的弦。
设抛物线的方程为px y 22=（0>p ），过其焦点)0,2(pF 且不垂直于x 轴的直线交该抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点，则由抛物线的定义，可知其焦半径2)2(11p x p x AF +=--=，2)2(22px p x BF +=--=，于是该抛物线的焦点弦长为px x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2(.注3：抛物线的通径指的是过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦。
通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。
设抛物线的方程为px y 22=（0>p ），过其焦点)0,2(pF 且垂直于x 轴的直线交该抛物线于A 、B 两点（不妨令点A 在x 轴的上方），则),2(p p A 、),2(p pB -，于是该抛物线的通径长为pp p AB 2)(=--=.四、与抛物线相关的几个重要结论设抛物线的方程为px y 22=（0>p ），点)0,2(p F 是其焦点，直线l ：2px -=是其准线，若过该抛物线焦点F 的直线交该抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点（即线段AB 是该抛物线的焦点弦），并且点A 、点B 在其准线上的垂足分别为点C 、点D ，线段CD 的中点为点N ，则可以证明：（1）221p y y -=，4221p x x =； （2）θ221sin 2pp x x AB =++=（这里，θ为直线AB 的倾斜角）；（3）θsin 22p S AOB=∆（这里，θ为直线AB 的倾斜角）；（4）以线段AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切； （5）ο90=∠ANB ，ο90=∠CFD ；（6）以线段CD 为直径的圆切直线AB 于点F .证明：由于当直线AB 的斜率不存在或斜率存在且不为零时，均符合题意，因此为避免分情况进行讨论而使得证明过程比较繁琐，根据直线AB 过点)0,2(pF ，我们可巧设其方程为2cot py x +⋅=θ，这里，θ为直线AB 的倾斜角.（1）联立⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=2cot 22p y x px y θ，得0cot 222=-⋅-p y p y θ 由韦达定理，有 θθcot 21cot 221p p y y =--=+，22211p p y y -=-=故p p p p y y y y p y y p y p y x x 2)(2)cot 2(22)(22222212212221222121--=-+=+=+=+θ)1cot 2(cot 222cot 422222+=+=+=θθθp p p p p p444)(4)(222242222221222121p p p p p p y y p y p y x x ==-==⋅=（2）由抛物线的定义，有)]2([)]2([21px p x BD AC BF AF AB --+--=+=+= ppy p y p x x p x p x ++⋅++⋅=++=+++=)2(cot )2(cot )2()2(212121θθθθθθθθ22221sin 2csc 2)1(cot 22cot 2cot 2)(cot pp p p p p y y =⋅=+=+⋅=++=（3）)(4)cot 2(44)(4)(22121222122122121p p py y y y p y y p y y OF S AOB --=-+=-⋅⋅=-⋅=∆θθθθθθcsc 24csc 24csc 44)1(cot 444cot 442222222p p p p p p p p p p p ⋅===+=+=θθsin 2sin 1222p p =⋅=（4）设AB 的中点为),(00y x M则)1(cot 2)1(cot 22)1cot 2(2222)2(222212100+=+=++=++=++=+=--θθθp p p p p x x p x x p x p x又Θ21221212212212214)(4)()()(y y y y x x x x y y x x AB -++-+=-+-=2222242222224cot 4)1cot 4cot 4()(4)cot 2(44)]1cot 2([p p p p p p p p ++-++=--+⋅-+=θθθθθ )1(cot 2)1(cot 4)1cot 2(cot 44cot 8cot 4222224222242+=+=++=++=θθθθθθp p p p p p)1(cot 22+=θpABp x 21)2(0=--∴这表明，AB 的中点),(00y x M 到准线l ：2px -=的距离等于AB 的一半，即以线段AB 为直径的圆的圆心),(00y x M 到准线l ：2px -=的距离等于圆的半径.故以线段AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切（5）),(11y x A Θ，),(22y x B ，)2,2(21y y p N +-22)2(21211211p x y y p x y y y k NA+-=--+-=∴，22)2(22212212p x y y p x y y y k NB +--=--+-= 1cot cot )1cot 2(2244cot 44)1cot 2(244)(4)cot 2(4)(244)()2)(2(4)(222222222222222222222221212122121*********-=++-=+++-=++⋅+---=+++-+-=++--=+--⋅+-=⋅p p p p p p p p p p p p p p p x x p x x y y y y p x p x y y p x y y p x y y k k NBNA θθθθθθ于是故NB NA ⊥，即ο90=∠ANB又Θ),2(1y p C -，),2(2y p D -，)0,2(p F ),(1y p -=∴，),(2y p -=于是0)(22212=-+=+=⋅p p y y p 故FD FC ⊥，即ο90=∠CFD（6）θθ2222222122212cot )2cot 2()2()20()]2(2[p p p p y y p y y p p NF +=+=++=+-+--=Θ)cot 1()cot 1(222θθ+=+=p p)(4)cot 2(4)()(222122122121p p y y y y y y y y CD --=-+=-=-=θ)1(cot 2)1(cot 44cot 4222222+=+=+=θθθp p p pCD NF 21=∴这表明，CD 的中点)2,2(21y y p N +-到点)0,2(pF 的距离等于CD 的一半，即以线段CD 为直径的圆的圆心)2,2(21y y p N +-到点)0,2(p F 的距离等于圆的半径. 故以线段CD 为直径的圆切直线AB 于点F【例题选讲】题型1：抛物线定义的应用1. 已知F 是抛物线x y =2的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB的中点到y 轴的距离为___________.解：在抛物线x y =2中，12=p ，即21=p∴该抛物线的焦点为)0,41(F ，准线方程为41-=x由此可知，直线AB 不垂直于x 轴，否则12121=+=+BF AF ，与已知3=+BF AF 矛盾 设),(11y x A ，),(22y x B则线段AB 的中点到y 轴的距离221x x d +=，并且由抛物线的定义，有41)41(11+=--=x x AF ，41)41(22+=--=x x BF于是由3=+BF AF ，有253212121=+⇒=++x x x x故线段AB 的中点到y 轴的距离45225221==+=x x d2. 设抛物线x y 82=的焦点为F ，准线为l ，点P 为该抛物线上一点，l PA ⊥，点A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么PF=___________.解：在抛物线x y 82=中，82=p ，即4=p ∴该抛物线的焦点为)0,2(F ，准线方程为2-=x由3-=AF k ，)0,2(F 可知，直线AF 的方程为)2(30--=-x y ，即323+-=x y联立⎩⎨⎧-=+-=2323x x y ，得 ⎩⎨⎧=-=342y x )34,2(-∴A 于是由l PA ⊥于点A 知，34==A P y y将其代入方程x y 82=中，得68)34(2==P x故由抛物线的定义，有826)2(=+=--==P x PA PF3. 已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点A 、B 满足FB AF 3=，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.解：在抛物线x y 42=中，42=p ，即2=p ∴该抛物线的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x设),(11y x A ，),(22y x B则弦AB 的中点到准线的距离12)1(22121++=--+=xx x x d ，并且),1(11y x --=，),1(21y x -=于是由3=，有⎩⎨⎧-=+-=⇒⎩⎨⎧=--=-212121213433)1(31y y x x y y x x ， 又由3=可知，直线AB 的斜率存在，不妨设为k 则直线AB 的方程为)1(0-=-x k y ，即k kx y -=联立⎩⎨⎧-==k kx y xy 42，得0442=--k y ky 由韦达定理，有4421-=-=k ky y而22213y y y -=34432222=⇒-=-∴y y ，1234992221=⨯==y y于是34124211===y x ，314344222===y x 故弦AB 的中点到准线的距离38135123131221=+=++=++=x x d题型2：求抛物线的方程4. 设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为2-=x ，则该抛物线的方程是___________.解：由所求抛物线的准线方程为2-=x ，可设其方程为px y 22=（0>p ）则有422=⇒-=-p p故所求抛物线的方程为x y 82=5. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的方程是___________.解：由题设条件可设所求抛物线的方程为px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）则由焦准距为2，有2=p故所求抛物线的方程为x y 42±=或y x 42±=6. 已知抛物线过点)2,3(-P ，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为___________.解：由所求抛物线过点)2,3(-P ，可设其方程为px y 22-=（0>p ）或py x 22=（0>p ）则有p 64=或p 49=于是32=p 或49=p故所求抛物线的方程为x y 342-=或yx 292=7. 已知抛物线的焦点F 在直线042=--y x 上，则该抛物线的标准方程为___________，其准线方程为___________.解：在方程042=--y x 中，令0=x ，得2-=y ；令0=y ，得4=x 于是所求抛物线的焦点为)2,0(-F 或)0,4(F（ⅰ）当所求抛物线的焦点为)2,0(-F 时，据此可设所求抛物线的方程为py x 22-=（0>p ）则有422=⇒-=-p p于是此时所求抛物线的方程为y x 82-=，其准线方程为22==py（ⅱ）当所求抛物线的焦点为)0,4(F 时，据此可设所求抛物线的方程为px y 22=（0>p ）则有842=⇒=p p于是此时所求抛物线的方程为x y 162=，其准线方程为42-=-=px故所求抛物线的方程为y x 82-=或x y 162=，它们对应的准线方程分别为2=y ，4-=x .8. 已知动圆与圆A ：9)3(22=+-y x 外切，且与y 轴相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为___________. 解：设),(y x M则由动圆M 与圆A 外切，且与y 轴相切，有3+=x MA （0≠x ） 3)0()3(22+=-+-⇒x y x （0≠x ），即)(62x x y +=（0≠x ）（*）当0>x 时，由（*）式，有x y 122=；当0<x 时，由（*）式，有02=y 故动圆圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧<=>=0,00,1222x y x x y9. 若抛物线px y 22=（0>p ）的焦点恰好是双曲线222=-y x 的右焦点，则p =___________.解：抛物线px y 22=的焦点为)0,2(p F ，准线方程为2px -= 在双曲线222=-y x ，即12222=-y x 中，222==b a ，422222=+=+=b a c2==∴b a ，2=c于是双曲线222=-y x 的左、右焦点分别为)0,2(1-F 、)0,2(2F又Θ抛物线px y 22=的焦点)0,2(p F 恰好是点)0,2( 22=∴p 故4=p10. 若抛物线px y 22=（0>p ）的准线经过双曲线122=-y x 的一个焦点，则p =___________.解：抛物线px y 22=的焦点为)0,2(p F ，准线方程为2px -= 在双曲线122=-y x 中，122==b a ，211222=+=+=b a c 1==∴b a ，2=c于是双曲线122=-y x 的左、右焦点分别为)0,2(1-F 、)0,2(2F 又Θ抛物线px y 22=的准线2px -=经过点)0,2(-22-=-∴p故22=p11. 已知抛物线的焦点是双曲线14491622=-y x 的左顶点，则该抛物线的标准方程为___________.解： 在双曲线14491622=-y x ，即116922=-y x 中，25169,16,922222=+=+===b a c b a 5,4,3===∴c b a于是该双曲线的左顶点为)0,3(-因而所求抛物线的焦点为)0,3(-F ，据此可设所求抛物线的方程为px y 22-=（0>p ）则有632=⇒-=-p p故所求抛物线的方程为x y 122-=12. 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线3-=y 与该抛物线交于点A ，并且5=AF ，则该抛物线的标准方程为___________.解： 由所求抛物线的焦点在x 轴上，可设其方程为px y 22=（0>p ）或px y 22-=（0>p ） （ⅰ）对于抛物线px y 22=（0>p ），设)3,(-m A ，0>m则由5=AF ，有5)2(=--p m ，即52=+p m ①又Θ点)3,(-m A 在抛物线px y 22=上 pm 29=∴ ②联立①、②， 得1=p 或9=p于是此时所求抛物线的方程为x y 22=或x y 182= （ⅱ）对于抛物线px y 22-=（0>p ），设)3,(-n A ，0<n则由5=AF ，有52=-n p③又Θ点)3,(-n A 在抛物线px y 22-=上 pn 29-=∴ ④联立③、④， 得1=p 或9=p于是此时所求抛物线的方程为x y 22-=或x y 182-= 故所求抛物线的方程为x y 22±=或x y 182±=题型3：抛物线的性质13. 已知抛物线C ：px y 22=（0>p ）过点)2,1(-A ，与抛物线C 有公共点的直线l 平行于OA （O 为坐标原点），并且直线OA 与l 之间的距离等于55，则直线l 的方程为___________.解：由抛物线C ：px y 22=过点)2,1(-A ，有224=⇒=p p ∴抛物线C 的方程为x y 42=，其焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x由直线OAl 且OA 的方程为x y 2-=，即02=+y x ，可设直线l 的方程为02=++t y x又Θ平行直线OA ：02=+y x 与l ：02=++t y x 之间的距离等于55155512022±=⇒==+-=∴t t t d联立⎩⎨⎧--==t x y x y 242，得 0222=++t y y则由直线l 与抛物线C 有公共点，有 2108421422≤⇒≥-=⨯⨯-=∆t t t于是1-=t （舍去1=t ） 故直线l 的方程为012=-+y x14. 过抛物线py x 22=（0>p ）的焦点作斜率为1的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点，A 、B 在x 轴上的正射影分别为D 、C . 若梯形ABCD 的面积为212，则p =___________.解：抛物线py x 22=的焦点为)2,0(p F ，准线方程为2p y -= 由直线l 的斜率为1，且过点)2,0(p F 可知，直线l 的方程为)0(12-⋅=-x p y ，即2px y += 设),(11y x A ，),(22y x B联立⎪⎩⎪⎨⎧+==222p x y pyx ， 得0222=--p px x 解得： p p x 21+=，p p x 22-=又Θ)(2)2()2()(2)(22212121212112A x x p x p x x x y y x x y y CD AD BC S BCD-⋅+++=-⋅+=-⋅+=⋅+=梯形212232222)(222121==⋅+=-⋅++=p p p p x x p x x42=∴p又0>p 故2=p15. 过点)6,0(M 且与抛物线x y 122-=有一个公共点的直线方程为_________. 解：显然，点)6,0(M 在抛物线x y 122-=外 （1）当所求直线的斜率不存在时，显然，过点)6,0(M 且与抛物线x y 122-=有一个公共点的直线方程为0x = （2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为k则由其过点)6,0(M 可知，所求直线的方程为6(0)y k x -=-，即6y kx =+联立2126y x y kx ⎧=-⎨=+⎩，得22(1212)360k x k x +++=（*）（ⅰ）若0k =，则由（*）式，有123603x x +=⇒=- 而此时所求直线的方程为6y =即此时所求直线与抛物线x y 122-=的唯一公共点为(3,6)-，满足题意 于是当0k =时，所求直线的方程为6y =（ⅱ）若0k ≠，则对（*）式，由所求直线与抛物线仅有一个公共点，有2222(1212)4361442881441442881440k k k k k k ∆=+-⨯⨯=++-=+=12k ⇒=-，满足题意于是当0k ≠时，所求直线的方程为162y x =-+ 故所求直线的方程为0x =或6y =或162y x =-+16. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点。