浙江省杭州二中2013-2014学年高二上学期期中数学理试题 Word版含答案
浙江省杭州二中2014届高三数学上学期第二次月考试题 理
杭州二中2013学年第一学期高三年级期中考试数学试卷注意事项：考试时间：120分钟；满分：150分。
本场考试不得使用计算器，请考生用水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。
一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1. 设b a、为向量，则“a b a b ⋅=”是“b a //”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 33. 已知函数12()log 1f x x =-，则下列结论正确的是（ ）Ａ. 1()(0)(3)2f f f -<< Ｂ. 1(0)()(3)2f f f <-< Ｃ. 1(3)()(0)2f f f <-< Ｄ.1(3)(0)()2f f f <<-4．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ） A ．2cos x B ．x sin 2 C ．sin x D ．cos x5．若4sin()sin cos()cos 5αββαββ---=，且α为第二象限角，则tan()4πα+=（ ）A ．7B ．17C ．7-D ．17-6.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是20132012(1)(1),2,n n n n a a b n++-=-=+且n n a b <对任意n N *∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，B ．1-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，C ．3-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，D ．3-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，7．设函数f(x)=x 2－23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|，则g(1)+g(2)+…+g (20)=（ ） A ．0 B ．38 C ． 56 D ．1128．设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ，且123,x x x <<则下列结论正确的是（ ）A ．11x >-B ．20x <C ．201x <<D ．32x >9.已知()log (1),()2log (2)(1)a a f x x g x x t a =+=+>,若[0,1),[4,6)x t ∈∈时，)()()F x g x f x =-（有最小值4，则a 的最小值为（ ）A.1B.2C.1或2D. 2或410．已知定义在[1,)+∞上的函数4812(12)()1()(2)22x x f x x f x --≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则 ( )A.在[1,6）上，方程1()06f x x -=有5个零点 B.关于x 的方程1()02nf x -=（n N *∈）有24n +个不同的零点 C.当1[2,2]n n x -∈（n N *∈）时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为4D.对于实数[1,)x ∈+∞，不等式()6xf x ≤恒成立 二．填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 11.已知4cos(),25πθ+=则cos2θ的值是 . 12.平面向量a b 与的夹角为060，(2,0),223,a a b b =+==则 .13.函数()sin (),()2,()0,f x x x x R f f ωωαβ=+∈=-=又且-αβ的最小值等于2π，则正数ω的值为 .14.已知正实数a b 、满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为 . 15.记数列{}n a 的前n 和为n s ，若n n s a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时,d 的值为 . 16.设实数1x 、2x 、、n x 中的最大值为{}12max n x x x ，，，，最小值{}12min n x x x ，，，，设ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且a b c ≤≤，设ABC ∆的倾斜度为t =max min a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，设2=a ，则t 的取值范围是 .17.已知向量αβγ、、满足1α=，αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=.若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别是m n 、，则对任意β，m n -的最小值是 . 三．解答题（本大题有5小题，共72分） 18. （本题满分14分）已知集合{}2=320A x x x -+≤，集合{}2B=2y y x x a =-+，集合{}2C=40x x ax --≤.命题:p A B ≠∅，命题:q A C ⊆(Ⅰ)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.19. （本题满分14分）在数列{}n a 中，点1(,)(1,2,,)i i P a a i n +=在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：112,().n n n b b a a n N *+==-∈(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若2121log ,,n n n n nc b s c c c b ==+++求12602n n s n +->+成立的正整数n 的最小值.20.（本题满分14分）已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2. (Ⅰ)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值(Ⅱ)设△ABC 的对边分别为c b a ,,，且3=c ，0)(=C f ,若A B sin 2sin =，求b a ,的值.21．（本小题满分15分） 已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数 ()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中*n ∈N ，求2013S ； （Ⅲ）在（2）的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n amn a ⋅>对*n ∀∈N ，且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 22．（本小题满分15分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”； 若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的 集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.(Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；(Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t ⋅+->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的 最小值；若不存在，说明理由.杭州二中2013学年第一学期高三年年级期中考试数学答案一、选择题二、填空题 11.725-12.1 13.1 14.217 15.1或12 16. 17.12三、解答题18.解;{}222(1)11,1y x x a x a a B y y a =-+=-+-≥-∴=≥-,{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤, {}240C x x ax =--≤(Ⅰ)由命题p 是假命题，可得=A B ∅，即得12,3a a ->∴>. (Ⅱ) p q ∧为真命题，∴p q 、 都为真命题， 即AB ≠∅，且A C ⊆ ∴有121404240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩，解得03a ≤≤.19.解: (Ⅰ)依题意1112,222()2n n n n n n n n n n n a a k b a k a a kb a k a k k a k b +++=+∴=+-=+∴=+=++=+=又12,b = 而12n nbb +=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.即得1222n nn b -==，为数列{}n b 的通项公式. -------6分(Ⅱ)由2211log 2log 2.2n n n n n n c b n b ==⋅=-⋅ 2312()1222322n n n s c c c n -=-+++=⨯+⨯+⨯++⨯23412122232(1)22n n n s n n +∴-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯上两式相减得 23112(12)22222212n nn n n s n n ++-=++++-⨯=-⨯-11222n n n ++=-⨯- 由12602n n s n +->+，即得11260,260n n n n ++⋅>∴>，又当4n ≤时，15223260n +≤=<，当5n ≥时，16226460.n +≥=>故使12602n n s n +->+成立的正整数的最小值为5. -------14分20.解: (Ⅰ)211+cos21()2cos 222x f x x x x =--=--1)62sin(--=πx 由]125,12[ππ-∈x ，∴26x π-∈2[,]33ππ-()f x ∴的最小值为.0,231最大值---------7分 (Ⅱ)由0)(=C f 即得()sin(2)106f C C π=--=，而又(0,)C π∈，则112(,),266662C C πππππ-∈-∴-=，∴3C π=，则由22222222cos 3b a b a c a b ab C a b ab==⎧⎧⎨⎨=+-=+-⎩⎩即 解得1,2a b ==. ----------14分21.（1）假设存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上，则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b . 由()(2)2f x f a x b +-=，得21ln1ln 2222x a xb x a x-+++=--+， 即22222ln 0244x axb x ax a -+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立，所以220,440,b a -=⎧⎨-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以存在点(1,1)M ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上. -------5分（Ⅱ）由（1）得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.令i x n =，则()(2)2i if f n n+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-. 因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n n n =++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得22(21)n S n =-，所以*21()n S n n =-∈N .所以20132201314025S =⨯-=.-------10分（Ⅲ）由（2）得*21()n S n n =-∈N ，所以*1()2n n S a n n +==∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时，2()121ln ln 2n a m n m n n m a n n ⋅>⇔⋅>⇔>-.所以当*n ∈N 且2n ≥时，不等式ln ln 2n m n >-恒成立minln ln 2n m n ⎛⎫⇔>- ⎪⎝⎭. 设()(0)ln xg x x x=>，则2ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)e 上单调递减； 当x e >时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln8(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3g g --=-=>⋅，所以(2)(3)g g >， 所以当*n ∈N 且2n ≥时，[]min 3()(3)ln 3g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-，得3ln 3ln 2m >-，解得3ln 2ln 3m >-. 所以实数m 的取值范围是3ln 2(,)ln 3-+∞.-------15分22.解：(Ⅰ)1(),f x ∈Ω且2(),f x ∉Ω即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞上是增函数，∴0h ≤2分 而2()()2f x h h x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而'2()1,h h x x =+当()h x 是增函数时0h ≥，∴ ()h x 不是增函数时，0h <，综上0h <4分.(Ⅱ)1(),f x ∈Ω且0a b c <<<a b c <++，则()()4,f a f a b c a a b c a b c++<=++++4()a f a d a b c ∴=<++，同理44(),()b cf b d f c t a b c a b c=<=<++++，则有 4()()()()24a b c f a f b f c d t a b c ++++=+<=++，240d t ∴+-<，又(),0d d d b a a b ab-<∴<，而00b a d >>∴<，0d ∴<，(24)0d d t ∴+->8分.(Ⅲ){}2()(),,(0,),()f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取∴对任意()f x ∈ψ,存在常数k ，使得()f x k <，对(0,)x ∈+∞成立.先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立，假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记020()0f x m x =>. ()f x 是二阶比增函数，即2()f x x是增函数，0x x ∴>时，0220()()f x f x m x x >=，2()f x mx ∴>， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与对(0,)x ∈+∞，()f x k <矛盾.11分∴()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立. 即任意()f x ∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立.下面证明()0f x =在(0,)x ∈+∞上无解:假设存在20x >，使得2()0f x =，一定存在320x x >>，3232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾，()0f x ∴=在(0,)x ∈+∞上无解. 综上，对任意()f x ∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，存在0,(0,)M x ≥∈+∞使，任意()f x ∈ψ， 有()f x M <成立，min 0M ∴=. 15.。
(精)杭州第二中学年高二下期中数学(理)试题有答案
杭州二中2014学年第二学期高二年级期中考数学（理科）试卷命题 樊波新 校对 李恭喜 审核 斯理炯一. 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.41()x x-展开式中的常数项是（ ）A ．6B ．4C ．-4D ．-62．用数学归纳法证明123(31)n +++++=(31)32)2n n ++（，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上（ ） A ．(32)k + B ．(34)k +C ．(32)(33)k k +++D ．(32)(33)(34)k k k +++++3．设函数x xe x f =)(，则 （ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1-=x 为()f x 的极大值点D ．1-=x 为()f x 的极小值点4．用数学归纳法证明333"(1)(2)()n n n n N *++++∈能被9整除”，要利用归纳假设证1n k =+时的情况，只需展开 ( )A ．3(3)k +B ．3(2)k +C ．3(1)k +D ．33(1)(2)k k +++5. 四张卡片上分别标有数字"2""3""3""9",、、、其中"9"可以当"6"使用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（ ）A ．18 C ．24 D ．66．()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2B ．4C ．14-D ．12- 7. 学校计划利用周一下午第一、二、三节课开设语文、数学、英语、物理4科的选修课，每科一节课，每节至少有一科，且数学、物理不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．6种8．若函数2()ln 3(01)x f x a x x a m a a =+--->≠且有两个零点，则m 的取值范围（ ） A ．(2,4)- B ．(4,2)- C ．(1,3)- D ．(3,1)- 二. 填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．计算1239910101010101392733C C C C -+-+-+= ．10．函数x x x f 3)(3-=极大值为 ．11．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为__________.(用数字作答)12．函数1()ln 2xf x x x -=+的导函数是()f x '，则(1)f '-=__________. 13．设542345012345(21)(2)x x a a x a x a x a x a x -++=+++++，则024a a a ++=__________．14．函数3()31f x x x =--，若对于区间[3,2]-上的任意12,x x ，都有12()()f x f x t -≤，则实数t 的最小值是__________．15.设m n t 、、为整数，集合{333,0}m n ta a m n t =++≤<<中的数由小到大组成数列{}n a ：13，31,37,39,,则21a = .杭州二中2014学年第二学期高二年级期中考数学（理科）答卷共9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三．解答题（本大题共4题，共48分） 16.(本题满分10分) 求下列函数的导数： （1）()tan f x x x =；（2）()(1)(2)(3)f x x x x =---；（3）()2sin3.f x x =17.（本题满分12分）已知函数()ln ,af x x x=-其中a R ∈． （1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．18.（本题满分12分）设，其中为正整数．（1）求(1)(2)(3)f f f 、、的值；（2）猜想满足不等式()0f n <的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．19.（本题满分14分）已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+． （1）当1=a 时，求()f x 在[1,)x ∈+∞的最小值； （2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+．杭州二中2014学年第二学期高二年级期中考数学（理科）答案择题9. 1024 10. 2 11.32 12.32- 13.110 14.20 15.733 三．解答题（本大题共4题，共46分） 16. （本题满分10分）解：（1）2()tan cos x f x x x'=+. （2）.2()31211.f x x x '=-+ （3）()6cos3.f x x = 17．（本题满分12分） 解：（1）当2a =时，由已知得2()ln f x x x =-，故212()f x x x'=+， 所以'(1)123f =+=，又因为2(1)ln121f =-=-， 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为23(1)y x +=-， 即得350x y --=；（2）解：由()2f x x >-+，得ln 2ax x x->-+，又(1,)x ∈+∞，故2ln 2a x x x x <+-．设函数2()ln 2g x x x x x =+-，则1'()ln 22ln 21g x x x x x x x=+⋅+-=+-．因为(1,)x ∈+∞， 所以ln 0x >，210x ->，所以当(1,)x ∈+∞时，'()ln 210g x x x =+->， 故函数()g x 在(1,)+∞上单调递增．所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1ln11211g x g >=⨯+-⨯=-． 因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立． 所以1a ≤-．18．（本题满分12分） 解：（1）（2）猜想： 证明：①当时，成立②假设当时猜想正确，即∴由于∴，即成立由①②可知，对成立. 19．（本题满分14分） 解：（1）12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．0)1(1)1(21)('222>++=+-=x x x x x x f ， ()f x ∴在),0(+∞上是增函数． ∴()(1)1f x f ==.（2） 因为若()f x 存在单调递减区间，所以()0h x <有正数解. 即22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解当0a =时，明显成立 .②当0a <时，22(1)y ax a x a =+-+开口向下的抛物线，22(1)0ax a x a +-+<总有0x >的解； ③当0a >时，22(1)y ax a x a =+-+开口向上的抛物线， 即方程22(1)0ax a x a +-+=有正根. 因为1210x x =>，所以方程22(1)0ax a x a +-+=有两正根. 当1≥x 时，1)1()(=≥f x f ；⎩⎨⎧>+>∆0021x x ，解得210<<a ． 综合①②③知：21<a ．（3）（法一）根据（1）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln 81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立．设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln35211k k k +>++++++． 根据（1）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立． 因此，由数学归纳法可知不等式成立．。
浙江省杭州二中2014届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案
杭州二中2013学年第一学期高三年级第二次月考数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．卷面共150分，考试时间120分钟.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设为向量，则“0>⋅”是“,a b 的夹角是锐角”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要2．在ABC ∆中，13a b C ===，则ABC ∆的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 33.已知函数12()log 1f x x =-，则下列结论正确的是（ ）Ａ. 1()(0)(3)2f f f -<< Ｂ. 1(0)()(3)2f f f <-< ks5u Ｃ. 1(3)()(0)2f f f <-< Ｄ.1(3)(0)()2f f f <<-4．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且12013a =-，，则2a =（ ）A ．2011-B ．2015-C ．2011D ．20155．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是( )．sin xD6且α为第二象限角， ） A 7.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是20132012(1)(1),2,n n n n a a b n++-=-=+且n n a b <对任意n N *∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，B ．1-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，C ．3-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，D ．3-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，8．设函数()22360,()()|()|f x x x g x f x f x =-+=+，则()()()1220g g g +++=( ) A ．0B ．38C ． 56D ．1129．设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<则下列结论正确的是（ ）A.11x >-B.20x <C.201x <<D.32x > 10.已知()l o g(1),()2l o g (2a af x xg x x t a =+=+>,若[0,1),[4,6)x t ∈∈时，)()()F x g x f x =-（有最小值4，则a 的最小值为（ ） A.1 B.2 C. 1或2 D. 2或4第II 卷（共100分） 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11.已知4cos(),25πθ+=则cos 2θ的值是 . 12.平面向量a b 与的夹角为060，(2,0),223,a a b b =+==则 . 13. 数列{}n a 中，11a =，2,*n n N ∀≥∈，2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，则35a a += .14.函数()sin (),()2,()0,f x x x x R f f ωωαβ=∈=-=又且-αβ的最小值等于2π，则正数ω的值为 . 15.已知函数3()f x x x =+的切线过点(1,2)，则其切线方程为 . 16.设实数1x 、2x 、、n x 中的最大值为{}12max n x x x ，，，，最小值{}12min n x x x ，，，，设ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且a b c ≤≤，设ABC ∆的倾斜度为t =max min a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，若△ABC 为等腰三角形，则17.已知向量αβγ、、满足1α=，αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=.若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别是m n 、，则对任意β，m n -的最小值是 .三．解答题（本大题有5小题，共72分） 18. （本题满分14分）已知集合{}2=320A x x x -+≤，集合{}2B=2y y x x a =-+，集合{}2C=40x x ax --≤.命题:p A B ≠∅，命题:q A C ⊆ ks5u(Ⅰ)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围. 19. （本题满分14分）已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2. (Ⅰ)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值; (Ⅱ)设△ABC 的对边分别为,,a b c ，若c =3，0)(=C f ，sin 2sin B A =，求,a b 的值.20.（本题满分14分）已知OAB ∆中,,,2,3OA a OB b OA OB ====,C 在边AB 上且OC 平分AOB ∠ (Ⅰ)用,a b 表示向量OC ; (Ⅱ)若65OC =,求AOB ∠的大小. 21．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，点1(,),*n n P a a n N +∈在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：112,().n n n b b a a n N *+==-∈(Ⅰ)求证: 数列{}n b 是等比数列； (Ⅱ)若2121log ,,n n n n nc b s c c c b ==+++求12602n n s n +->+成立的正整数n 的最小值. 22．（本小题满分15分） 已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)定义1221n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中*n ∈N ，求2013S ；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n am n a ⋅>对*n ∀∈N 且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围.ks5u第二次月考数学试卷（文科）答案：BCCAB BCDCB11.725- 12. 1 13. 359256141616a a +=+= 14. 1 ks5u15. 420,7410x y x y --=-+= 16. 1 17. 1218. 解：{}222(1)11,1y x x a x a a B y y a =-+=-+-≥-∴=≥-,{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤, {}240C x x ax =--≤(Ⅰ)由命题p 是假命题，可得=A B ∅，即得12,3a a ->∴>. (Ⅱ) p q ∧为真命题，∴p q 、 都为真命题，ks5u 即AB ≠∅，且AC ⊆ ∴有121404240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩，解得03a ≤≤.19. 解: (Ⅰ)2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx由]125,12[ππ-∈x ，∴26x π-∈2[,]33ππ-,()12x f x π∴=-的最小值为13x π-=,()f x 的最大值是0.-------7分(Ⅱ)由0)(=C f 即得()sin(2)106f C C π=--=，而又(0,)C π∈，则112(,),266662C C πππππ-∈-∴-=，∴3C π=，则由 22222222cos 3b a b a c a b ab C a b ab==⎧⎧⎨⎨=+-=+-⎩⎩即 解得1,2a b ==.----------14分 20. (1) OC =3255a b +; (2) AOB ∠=23πks5u 21．解: (Ⅰ)依题意1112,222()2n n n n n n n n n n n a a k b a k a a kb a k a k k a k b +++=+∴=+-=+∴=+=++=+=又12,b = 而12n nbb +=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.即得1222n n n b -==，为数列{}n b 的通项公式. -------6分ks5u (Ⅱ)由2211log 2log 2.2n n n n n n c b n b ==⋅=-⋅2312()1222322n n n s c c c n -=-+++=⨯+⨯+⨯++⨯23412122232(1)22n n n s n n +∴-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯上两式相减得 23112(12)22222212n nn n n s n n ++-=++++-⨯=-⨯-11222n n n ++=-⨯-由12602n n s n +->+，即得11260,260n n n n ++⋅>∴>，又当4n ≤时，15223260n +≤=<，当5n ≥时，16226460.n +≥=>故使12602n n s n +->+成立的正整数的最小值为5. -------14分22．解：（1）假设存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上，则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b . 由()(2)2f x f a x b +-=，得21ln1ln 2222x a xb x a x-+++=--+， 即22222ln 0244x axb x ax a -+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立，所以220,440,b a -=⎧⎨-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以存在点(1,1)M（Ⅱ）由（1）得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.令i x n =，则()(2)2i if f n n+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-. 因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n n n =++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得22(21)n S n =-，所以*21()n S n n =-∈N . 所以20132201314025S =⨯-=.-------10分（Ⅲ）由（2）得*21()n S n n =-∈N ，所以*1()2n n S a n n +==∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时，2()121ln ln 2n a m n m n n m a n n ⋅>⇔⋅>⇔>-. 所以当*n ∈N 且2n ≥时，不等式ln ln 2n m n >-恒成立minln ln 2n m n ⎛⎫⇔>- ⎪⎝⎭. 设()(0)ln xg x x x =>，则2ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)e 上单调递减；当x e >时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln 8(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3g g --=-=>⋅，所以(2)(3)g g >， 所以当*n ∈N 且2n ≥时，[]min 3()(3)ln 3g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-，得3l n 3l n 2m >-，解得3ln 2ln 3m >-.实数m 的取值范围是3ln 2(,)ln 3-+∞.-------15分。
浙江省杭州二中2014届高三数学仿真考试试题 理 新人教A版
2014年杭州二中高三仿真考数学（理科）试题卷一、选择题1、已知(1)3,Z i i +=-则复数Z = （ ）A.12i +B.12i -C.2i +D.2i -2、设集合{}{}236,450S x x T x x x =<≤=--≤，则()R C S T ⋂=（ ）A.(]3-∞⋃∞，（6，+）B.(]3-∞⋃∞，（5，+）C.∞⋃∞（-，-1）（6，+）D.∞⋃∞（-，-1）（5，+）3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且744S S π-=，则6tan a =（ ）4、在ABC ∆中，“30A ∠<”是“1cos 2A >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D 既不充分也不必要条件5、若，则函数()2f x x'的图象是（ ）6、程序框图如右图所示，其输出结果是63，则a 的初始值,(0)m m >有多少种可能A.3B.4C.5D.67、如图，点P 在双曲线22221x y a b-=的右支上，12F F 分别是双曲线的左右焦点，212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率e =（ ）A.43B.53．2 8、设,a b 为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值是（ ）A.．19、若0,2x y π<<，且sin cos x x y =，则（ ）A.4x y <B.42x x y <<C.2xy x << D ．x y < 10、已知函数222()(1)2(11)f x a x bx b b a =--+-<-<，用()card A 表示集合A 中元素的个数，若使得()0f x >成立的充分必要条件是x A ∈，且()4card A Z ⋂=，则实数a 的取值范围是（ ）A.（-1，2）B.（1，2）C.（2，3） D ．（3，4） 二、填空题11、已知31()(12)()()nf x x x n N x*=-+∈的展开式中没有常数项，且26n <<，则展开式中含2x 的系数是 。
2014浙江省杭州二中高二期中考试化学试题及答案
CH 2－CH 2n HC HC SS C=C S S CH CH 2014年杭州二中第二学期高二年级期中考试化学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间90分钟。
可能用到的相对原子质量 H-1 N-14 O-16 Na-23 C-12 Ag-108第Ⅰ卷（选择题）一．选择题(每小题只有一个正确选项，每小题2分，共40分) 1．下列说法或表示方法正确的是A ．乙烯的结构简式CH 2CH 2B ． 化学名词：乙酸乙脂、苯、油酯、坩锅C ． 是一种烃D ．聚乙烯的化学式为 2．下列说法中正确的是A ．常温下，淀粉遇I －变蓝色 B ．油脂水解可得到氨基酸和甘油C ．所有烷烃和蛋白质中都只存在碳碳单键D ．淀粉和纤维素的组成都是(C 6H 10O 5)n ，水解最终产物都是葡萄糖 3．下列关于有机化合物的说法正确的是A ．乙醇和乙酸都存在碳氧双键B ．甲烷和乙烯都可以与氯气反应C ．高锰酸钾可以氧化苯和乙醛D ．乙烯可以与氢气发生加成反应，苯不能与氢气加成 4．可以用分液漏斗分离的一组液体混合物是 A ．溴和四氯化碳 B ．苯和溴苯 C ．水和硝基苯 D ．苯和汽油 5．二甘醇可用作溶剂、纺织助剂等，一旦进入人体会导致急性肾衰竭，危及生命。
二甘醇的结构简式是HO-CH 2CH 2-O-CH 2CH 2-OH 。
下列有关二甘醇的叙述正确的是 A ．不能与金属钠发生反应 B ．能发生取代反应 C ．能溶于水，不溶于乙醇 D ．符合通式C n H 2n O 3 6．下列除去杂质的方法正确的是A ．除去乙烷中少量的乙烯：光照条件下通入Cl 2，使乙烯转化成液态二氯乙烷而与乙烷分离B ．除去乙酸乙酯中少量的乙酸：用氢氧化钠溶液洗涤，分液、干燥、蒸馏C ．除去CO 2中少量的SO 2：气体通过盛饱和碳酸钠溶液的洗气瓶D ．除去乙醇中少量的乙酸：加足量生石灰，蒸馏 7．有机物分子中原子间（或原子与原子团间）的相互影响会导致物质化学性质的不同。
数学-高二-浙江省杭州十四中2013-高二上学期期中数学(理)试题
浙江省杭州十四中2013-2014学年高二上学期期中数学（理）试题注意事项：1．考试时间：2013年11月12日10时20分至11时50分； 2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；4．其中本卷满分100分，附加题20分，共120分．共4页； 5．本试卷不得使用计算器。
一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。
1．直线x a 2－yb2＝1在y 轴上的截距是( )A ．|b|B ．－b 2C ．b 2D ．±b2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A. 12B ．2＋ 2C ．3＋ 2D ．6（第2题图） 3．直线(3－2)x ＋y ＝3和直线x ＋(2－3)y ＝2的位置关系是( )A ．相交但不垂直B ．垂直C ．平行D ．重合4．两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，则在平面β内( )A ．一定存在与直线m 平行的直线B ．一定不存在与直线m 平行的直线C ．一定存在与直线m 垂直的直线D ．不一定存在与直线m 垂直的直线 5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成几个部分（ ）A 4B 5C 7D 8 6．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离7．已知长方体ABCD －A′B′C′D′，对角线AC′与平面A′BD 相交于点G ，则G 是△A′BD 的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心（第7题图）8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π9．设长方体的体对角线长度为4，过每一顶点有两条棱，与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是( )A ．8 2B ．8 3 C.39D ．16 3（第10题图）10．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z(x ，y ，z 大于零)，则四面体PEFQ 的体积( )A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关 二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。
浙江省杭州高级中学2013-2014学年高二下学期期中理科数学试题 Word版含答案
杭高2013学年第二学期期中考试高二数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷考试时间为90分钟，考试过程中不得使用计算器；2．本试卷满分为100分，附加题5分计入总分，但最高总分不超过100分； 3．答案一律做在答卷页上.一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．复数1(1z i i=+为虚数单位），则z 的共轭复数z 是（ ）A ．12－ 12iB ．12+12iC ．－12－12iD ．－12+12i2．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的 概率为 ( ) A.23B.13C.12D.5123．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )A ．0B ．锐角C ．直角D ．钝角4．夹在两平行直线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积等于( )A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π5．已知直线a ⊂平面α，直线AO ⊥α，垂足为O ，AP ∩α＝P ，若条件p ：直线OP 不垂直于直线a ，条件q ：直线AP 不垂直于直线a ，则条件p 是条件q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是（ ）A 、6B 、8C 、10D 、16 7．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立” 那么，下列命题总成立的是（ ）Ａ 若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ 若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立 Ｃ 若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 Ｄ 若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立8． P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ·2PF ＝0，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( ) A ．4 B ．7 C ．6 D ．5 9．从数字0,1,2,3,,9中，按由小到大的顺序取出123,,a a a ，且21322,2a a a a -≥-≥，则不同的取法有（ ）A ．20种B ．35种C ．56种D ．60种10 ．设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3,n =,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n n n nn n n n c a b a a a b c +++++===,则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知∈m R ，复数i im +-1为纯虚数（i 为虚数单位），则=m ．12．已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧(左)视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧(左)视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图面积为________．13．已知n n n x a x a x a a ax ++++=+ 2210)1(，若41=a ，72=a ，则a 的值为 ． 14．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 种。
浙江省杭州二中2013-2014学年高二上学期期末数学理试卷 含答案
2013学年第一学期杭州二中高二年级数学（理科）期末试卷考试时间100分钟 满分100分一、选择题：本大题共10小题,每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．直线31x y +=的倾斜角为（）（A ）3π (B ）56π （C ）6π （D)23π2．命题:p “直线l 上不同的两点,A B 到平面α的距离为1"，命题:q “//l α"，则p 是q 的（）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 (D ）既不充分也不必要3．直线()11x a y -+=与圆223x y +=的位置关系是（ ）（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）与实数a 的大小有关4．一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ )（A ）1 （B ）2 (C ）3 （D ）4 5．已知实数,x y 满足：221x y +=，则x y +的取值范围是(）（A ）2,2⎡⎤-⎣⎦（B ）[]1,1- (C ）1,2⎡⎤⎣⎦（D ）(1,2⎤⎦6．对于平面α和两条不同的直线m 、n ，下列命题是真命题的是（ )(A ）若n m ,与α所成的角相等,则n m // （B ）若,//,//ααn m 则n m // （C ）若nm m ⊥⊥,α，则α//n (D)若αα⊥⊥n m ,，则n m // 7．已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一个焦点与抛物线218x y =的焦点重合,则此双曲线的离心率为（ )（A）2（B(C）3（D）3ks5u8．过点()2,1P 的直线l 与坐标轴分别交,A B 两点，如果三角形OAB 的面积为4，则满足条件的直线l 最多有( )条（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 9．在空间直角坐标系中，已知()()((1,0,0,1,0,0,,0,A B C D --，则四面体ABCD 的体积为（ ） (A）3（B）3（C)43(D)310．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点N在三角形1ACB 的外接圆上运动，则线段MN 长度的最小值是（ ）（B(C）（D二．填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分.把答案填写在题中的横线上.11．命题P ：直线2y x =与直线20x y +=垂直;命题Q ：异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线,则命题P Q ∧为命题(填真或假）.12．若圆C 以抛物线24yx =的焦点为圆心， 且与抛物线的准线相切，则该圆的标准方程是_____. 13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=,2AC BC ==,14AA =，若,M N 分别是11,BB CC 的中点，则异面直线AM 与1A N 所成的角的A 1M A B 1大小为 . ks5u14．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则实数m 的值为 。
数学上学期期中试题-七校2013-2014学年高二上学期期中联考数学试题及答案(文理合卷)
2013学年第一学期期中杭州地区七校联考 高二年级数学学科 试题（文理合卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知过点(2,),(,6)P m Q m -的直线的倾斜角为45°，则m 的值为（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ▲ ）A.4B. 2C. 4 D 3．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ） A.若//,//m n αα，则//m n B ．若//,m n m α⊥，则n α⊥ C ．若//,//m m αβ，则//αβD. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ 4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BA 与1CB 所成的角为（ ▲ ） A.030 B. 045 C ．060 D. 0905. 已知实数r 是常数，如果),(00y x M 是圆222r y x =+外的一点，那么直线200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是（ ▲ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 都有可能6．设(1,2),(3,1)A B -，若直线y kx =与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（ ▲ ） A. 1(,2)(,)3-∞-+∞ B. 1(,)(2,)3-∞-+∞ C. 1(2,)3- D. 1(,2)3- 7．已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，异于点A 的两动点B 、C 分别在1l 、2l 上，且BC=3，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形面积为（ ▲ ） A ．6π B.9π C.92π D. 94π 8．已知圆C ：22(3)(4)4x y -+-=，Q 是x 轴上的一点，QM QN 、分别切圆C 于M N 、两点，且MN =，则直线MN 的斜率为（ ▲ ）A ．0 BC ．1 D9. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线（ ▲ ） A ．不存在 B ．有1条C ．有2条D ．有无数条10．已知直线x +y +m =0与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A, B, O 是坐标原点， ||||≥+,则实数m 的取值范围是（ ▲ ）A ．[]2,2-B ．(]2,22)22,2[--⋃ C．(2⎤-⎦D．[2,二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分） 11. A(1,-2,1），B(2,2,2），点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|, 则点P 的坐标为 ▲ .12．两条平行直线3430x y -+=与470ax y --=的距离为 ▲ . 13．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是 ▲ . 14 若圆锥的侧面积为4π，底面积为2π，则该圆锥的母线长为 ▲ . 15．已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中 俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的侧 视图面积为 ▲16．已知点A （2,0），B (-是圆224x y +=上的定点，经过点B 的直线与该圆交于另一点C ，当ABC ∆面积最大时，直线BC 的方程为 ▲ . 17.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，CC 1P 是BC 1上一动点，则A 1P ＋PC 的最小值是 ▲ 。
浙江省杭州二中2014届高三第五次(3月)月考数学(理)试题
杭州二中2013学年高三年级第五次月考数学试卷注意事项：考试时间：120分钟；满分：150分。
本场考试不得使用计算器，请考生用水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1设全集U 是实数集R ，{}{}2|4,|ln(2)0M x x N x x =≥=+≥，则N M C U ⋂)(=( )A.{}|12x x -≤<B.{}|2x x <C.{}|12x x -<<D.{}|2x x ≤2.复平面内，复数201420132ii z +=，则复数z 的共轭复数对应的点在（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.74.在38(1)(1)x x -+的展开式中，含2x 项的系数是n ，若nn n x a x a x a a nx +⋅⋅⋅+++=-2210)8(，则=+⋅⋅⋅++n a a a a 210( ) A.0 B.1 C.-1 D.715 5.α为平面，,m n 是两条不同直线，则//m n 的一个充分条件是（ ） A.//m α且//n α B.,m n 与平面α所成的角相等 C.m α⊥且n α⊥D.,m n 与平面α的距离相等6.设P 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-≥≥310,0y x y x y x 表示的平面区域内的任意一点，向量)1,1(=→m ，)1,2(=→n ，若→→→+=n m OP μλ（μλ,为实数），则μλ-的最大值为（ ）A.4B.3C.-1D.-27.已知三个不全相等的实数q p m ,,成等比数列，则可能成等差数列的是（ ）A.q p m ，，B.222q p m ，，C.333q p m ，， D.q p m ，，8.若关于x 的不等式2|3|2<++a x x 至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是（ ）第11题A.)32,32(-B.)43,32(-C.)43,43(-D. )32,43(- 9.若三棱锥BCD A -的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等， 则动点P 的轨迹与三角形ABC 组成图形可能是（ ）A. B. C. D.10.21,F F 双曲线是12222=-by a x 的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF 的距离为a 2，则离心率e 的取值范围是（ ）A.)2,1(B.]2,1(C.),2(+∞D.),2[+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长 为2的正方形，则这个正四面体的体积为 ． 12.设]2,2[ππ-∈x ，)cos(cos x A =令，)sin(sin x B =，则 B A ,的大小关系为 ．13. 在等差数列{n a }中，01>a ，10a ·11a ＜0，若此数列的前10项和10S ＝36，前18项和 18S ＝12，则数列|}{|n a 的前18项和为_____________．14.某人参加一档综艺节目，需依次闯关回答8道题，若回答正确，就获得一定的“家庭梦想基金”且可选择拿着“家庭梦想基金”离开或继续答题（假设离开和继续答题的可能性 相等）；若回答错误，则此前积累的基金清零，且他离开此节目。
2014年高考杭州二中数学模拟试卷(含答案)
绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生适应性考试数 学（理科）姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2 V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）设复数，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ）2．（5分）命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（ ），，α≠5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数4．（5分）设a=（3x2﹣2x）dx，则（ax2﹣）6的展开式中的第4项为（）B={y|框图中输出的y值}；当x=﹣1时，（∁uA）∩B=（）6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，B7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）8．（5分）某工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．若生产该产品900千克，则该工厂获得最大利润时的9．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，B10．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若关于x的方程（a ．．．D．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11-14题）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为_________．12．（5分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为_________（结果用数值表示）．13．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=_________．14．（5分）在圆中有如下结论：“如图1，AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A、B的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=PO2”．类比到椭圆：“如图2，AB是椭圆的长轴（其中O为椭圆的中心，F1、F2为椭圆的两个焦点），直线AC，BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=_________．选考题（在第15、16两题中任选一题作答）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF 的长为_________．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=_________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）已知数列{a n}是正项数列，{b n}是等差数列，b n，，b n+2成等比数列，且a1=3，a3=15．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明S n＜．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，点A1在底面ABC 的投影是线段BC的中点O．（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值．20．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．21．（13分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．22．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=k•．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设正实数a1，a2，a3，…，a n满足a1+a2+a3+…+a n=1，求证：ln（1+）+ln（1+）+…+ln （1+）＞．详细解答一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设复数，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为（）求解虚部．Z=Z===的虚部为=2．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（），，α≠α≠3．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数4．（5分）设a=（3x2﹣2x）dx，则（ax2﹣）6的展开式中的第4项为（）=4﹣的通项为﹣=5．（5分）已知全集U=Z，Z为整数集，如图程序框图所示，集合A={x|框图中输出的x值}，B={y|框图中输出的y值}；当x=﹣1时，（∁uA）∩B=（）6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，BsinAsinBcosC+sinCsinBcosA==sinB=B=7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）=8．（5分）某工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．若生产该产品900千克，则该工厂获得最大利润时的﹣）﹣））+5﹣9．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，B，即，＞同样地，当，即所以双曲线的离心率的范围是10．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若关于x的方程（a为常数）有且仅有3个不等的实根，则a的取值范围是（）．．．D．的方程等价于有且仅有的方程=0故＜，且，则≥＜，且=＜＜，有，若综上所述，＜或≤．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11-14题）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为．，解得，，故答案为：12．（5分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．人中只有男同学或只有女同学的概率为：，﹣．故答案为：．13．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=18．代入向量的数量积=||||cos∴|OAP=2|OAP=2||=6由向量的数量积的定义可知，=||||cos14．（5分在圆中有如下结论：“如图1，AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A、B 的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=PO2”．类比到椭圆：“如图2，AB是椭圆的长轴（其中O为椭圆的中心，F1、F2为椭圆的两个焦点），直线AC，BD 是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=PF1•PF2．选考题（在第15、16两题中任选一题作答）选修4-1：几何证明选讲15．（5分如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．故答案为：．选修4-4：坐标系与参数方程16在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．化成直角坐标方程，再代入曲线三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．2=1），解不等式x+，sinx﹣cosx+sinx==）=2．sinxsinx+x+≥+x+，+18．（12分）已知数列{a n}是正项数列，{b n}是等差数列，b n，，b n+2成等比数列，且a1=3，a3=15．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明S n＜．，并将其裂成，求出前，∴19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，点A1在底面ABC 的投影是线段BC的中点O．（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值．=1．得坐标是的法向量是得∴夹角的正弦值为20．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．．21．（13分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．且圆利用直线与圆相切可得；同理可得，由此可得且圆∴∴，整理得∴由∴同理可得⑤==22．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=k•．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设正实数a1，a2，a3，…，a n满足a1+a2+a3+…+a n=1，求证：ln（1+）+ln（1+）+…+ln （1+）＞．（，对于分子）恒成立，令（，的两正根为）在单调递减，时，单调递增区间为．）在）在在（∴∴∴。
浙江省杭州二中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
浙江省杭州二中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）一、选择题1．角α的始边在x 轴正半轴、终边过点)P y ，且21cos =α，则y 的值为（ ） A. 3± B. 1 C. 3 D.1±【答案】A 【解析】试题分析：设点P 到原点的距离为r ，则r =22131cos 93234x y y r y α===⇒=⇒=⇒=±+，故选A. 考点：任意角的三角函数.2．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-则2a 等于（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．2-【答案】A 【解析】试题分析：法一：依条件可知，当1n =时，1111222a S a a ==-⇒=，当2n =时，2222S a =-即12222a a a +=-，也就是2124a a =+=，故选A ；法二：当1n =时，1111222a S a a ==-⇒=，当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-，两式相减可得1122n n n n S S a a ---=-即122n n n a a -=-，也就是12n n a a -=，而首项12a =，所以该数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可得*2()n n a n N =∈,所以24a =，故选A.考点：1.数列的前n 项和与数列的通项公式的关系；2.等比数列的通项公式.3．已知tan 2,x =则212sin x +=（ ）A ．53 B ．73 C ．94 D ．135【答案】D 【解析】试题分析：法一：由sin tan 2cos xx x==可得sin 2cos x x =，又因为22sin cos 1x x +=，从而224cos cos 1x x +=即21cos 5x =，所以224sin 4cos 5x x ==，所以241312s i n 1255x +=+⨯=，故选D ；法二：22222222sin tan 21312sin 121212sin cos tan 1215x x x x x x +=+⨯=+⨯=+⨯=+++，故选D.考点：同角三角函数的基本关系式.4．已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列，则xyz =（ ）A ．4-B ．4±C ．22-D ．± 【答案】C 【解析】试题分析：记该数列为{}n a ，并设该等比数列的公比为q ，则有151,2a a =-=-，所以444251212a a q q q q =⇒-=-⨯⇒=⇒=所以232332341111()(xyz a a a a q a q a q a q ==⨯⨯===- C. 考点：等比数列的通项公式. 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，564a a +=-，n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】A 【解析】试题分析：法一：设该等差数列的公差为d ，则有1(1)11(1)n a a n d n d =+-=-+-，所以由564a a +=-可得114115d d d -+-+=-⇒=，所以1(1)213n a a n d n =+-=-，所以该等差数列为单调递增数列且6712131,14131a a =-=-=-=，从而可确定当6n =时，n S 取得最小值，故选A ；法二：同方法一求出1(1)213n a a n d n =+-=-，进而可得21()(11213)1222n n n a a n n S n n +-+-===- 2(6)36n =--，所以当6n =时n S 取得最小值，故选A.考点：等差数列的通项公式及其前n 项和.6．若D ABC 的三个内角满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则D ABC （ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：根据正弦定理，由条件6s i n 4s i n 3s i n A B C ==可得643a b c ==，设64312(0)a b c k k ===>，则2,3,a k bk c k ===，由余弦定理可得222222249161cos 02124a b c k k k C ab k +-+-===-<，而(0,)C π∈,所以C 为钝角，所以ABC ∆为钝角三角形，故选C.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.7．在D ABC 中，(cos18,cos72)AB =︒︒，(2cos63,2cos27)BC =︒︒，则D ABC 面积为（ ） A ．42 B ．22 C ．23 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：依题意可得||cos 1AB ===，||4cos 2BC ===2cos18cos632cos72cos 27cos 12||||||||BA BC AB BC B BA BC AB BC ⋅⋅︒︒+︒︒==-=-⨯⋅⋅(cos18sin 27sin18cos 27)cos 45=-︒︒+︒︒=-︒=因为(0,)B π∈，所以sin 0B >，sin 2B ===所以11||||sin 122222ABC S AB BC B ∆==⨯⨯⨯=，故选B. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.平面向量的数量积；3.两角和差公式；4.三角形的面积计算公式.8．在ABC ∆中，已知30=== a b A ，则在ABC ∆中，c 等于（ ）A.52B. 5C. 552或D. 以上都不对【答案】C 【解析】试题分析：法一：根据余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即2515cos30c =+-⨯︒也就是2100c -+=，所以(0c c -=，所以c =c =C ；法二：由正弦定理可得sin sin a b A B =sin B =⇒=，因为(0,)B π∈且b a >即B A >，所以60B =︒或120B =︒，当60B =︒时，180306090C =︒-︒-︒=︒，此时22220c a b c =+=⇒=120B =︒时，1803012030C =︒-︒-︒=︒，此时ABC ∆以AC 为底边的等腰三角形，此时c a == C.由上述法一与法二两种方法比较，当知道三角形的两边及其中一边的对角时，若求第三条边，选择余弦定理较好，若要求角，则选择正弦定理较好. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.9．在D ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ ）A ．c b a ,,成等差数列B ．b c a ,,成等差数列C ．b c a ,,成等比数列D ．c b a ,,成等比数列 【答案】D 【解析】试题分析：因为()B A C π=-+，所以cos cos[()]cos()B A C A C π=-+=-+，且由二倍角公式可得21cos 22sin B B -=，所以c o s 2c o s c o s (B B A C ++-=可化为cos()cos()1cos 2A C A C B--+=-即2cos cos sin sin (cos cos sin sin )2sin A C A C A C A C B+--=也就是2s in s i n s i n A C B =，根据正弦定理可得2a bac b b c=⇒=，所以,,a b c 成等比数列，选D. 考点：1.两角和差公式；2.二倍角公式；3.正弦定理；4.等比数列的定义.10．将偶数按如图所示的规律排列下去，且用mn a 表示位于从上到下第m 行，从左到右n 列的数，比如22436,18a a ==，若2014mn a =，则有（ ）A.44,16m n ==B.44,29m n ==C.45,16m n ==D.45,29m n ==【答案】D 【解析】 试题分析：从图中可以观察到，第一行有一个偶数，第二行有2个偶数，第三行有3个偶数， ，第m 行有m 个偶数，所以前m 行共有(1)2m m+个偶数；又因为2014是从2开始的第1007个偶数，又因为444545469901007103522⨯⨯=<<=（这里并没有使用求解不等式1007m S ≥成立的最小正整数m 进行确定m ，而是采用了简单二分法估算，如100722014⨯=，2240201450<<，进而22402014202545<<= ，从而确定224419362014202545=<<=，所以得到上面的不等式，或者根据选项中的数据直接确定上面的不等式也是一个明智的选择），所以可以确定2014在第45行，到44行时，总共才990个偶数，需要在第45行再找17个偶数，在第45行中是从中往左摆放偶数的，故2014处在从中往左算第17个偶数，从左往右算是第4517129-+=个数，所以45,29m n ==，故选D.考点：1.等差数列的前n 项和；2.估算法.二、填空题11．在等差数列}{n a 中，13,2521=+=a a a ，则=++765a a a . 【答案】33 【解析】试题分析：设该等差数列的公差为d，则依题意有25111425451359a a a d a d a d d d +=+++=+=+=⇒=，所以5671111(4)(5)(6)315323933a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=⨯+⨯=.考点：等差数列的通项公式.12．tan 3tan 27tan 3tan 60tan 60tan 27︒︒+︒︒+︒︒= . 【答案】1 【解析】试题分析：根据两角和的正切公式可得tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-，所以tan 3tan 27tan 3tan 60tan 60tan 27︒︒+︒︒+︒︒tan3tan 27tan 27)tan3tan 27(1tan3tan 27)=︒︒+︒=︒︒-︒︒ tan 3tan 271tan 3tan 271=︒︒+-︒︒=.考点：两角和的正切公式.13．设当x θ=时，函数x x x f cos 2sin )(+=取得最大值，则cos θ= .【答案】552 【解析】 试题分析：因为()sin 2cos ))f x x x x x x x =+==，设sin 55ϕϕ==02πϕ<<，则())f x x ϕ+，当()f x取得最大值sin()1x ϕ+=，依题中条件得到sin()1θϕ+=，所以2,2k k Z πθϕπ+=+∈，从而可得2,2k k Z πθπϕ=+-∈，所以cos cos(2)sin 25k πθπϕϕ=+-==. 考点：1.三角函数的辅助角公式；2.诱导公式. 14．对于正项数列{}n a ，定义nn na a a a nH +⋯+++=32132为{}n a 的“蕙兰”值，现知数列{}n a 的“蕙兰”值为1n H n=，则数列{}n a 的通项公式为n a = . 【答案】1=2n a n- 【解析】试题分析：依题中条件可得123123n n a a a na n=+++⋯+即212323n a a a na n +++⋯+=①所以当2n ≥时，2123123(1)(1)n a a a n a n -+++⋯+-=- ②将①-②可得221(1)212(2)n n na n n n a n n=--=-⇒=-≥，当当1n =时，11a =，也满足此通项，所以*12()n a n N n=-∈. 考点：1.新定义；2.数列的通项公式. 15．设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为 .【答案】50【解析】试题分析：因为(0,)2πα∈，所以2(,)663πππα+∈，所以s i n ()06πα+>，由4c o s ()65πα+=可得3s i n ()1655πα+===，从而可得24sin 2()2sin()cos()66625πππααα+=++=，2327cos 2()2cos ()11662525ππαα+=+-=-=，所以sin(2)sin[2()]1264πππαα+=+-247sin 2()cos cos 2()sin 646425225250ππππαα=+-+=⨯-⨯=考点：1.二倍角公式；2.两角和差公式. 16．若数列{}n a 满足),4,3,2(,11,211 =-==-n a a a n n ，且有一个形如()12n a n ωϕ=++的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .【答案】23π；0 【解析】试题分析：根据递推关系式1112,,(2,3,4,)1n n a a n a -===-可得234112311111,,21121a a a a a a a ==-=====---，所以该数列{}n a 是周期数列，周期为3T =，又因为()1s i n2n a n ωϕ=++是该数列的一个通项公式，所以2233T ππωω==⇒=，又因为当1n =时，1212sin()2sin()3232aππϕϕ=++=⇒+=，因为27||222636ππππππϕϕϕ<⇒-<<⇒<+<，所以由2sin()3πϕ+=可得2233ππϕ+=或233ππϕ+=，进而可得0ϕ=或3πϕ=-；当3πϕ=-时，21332na nππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，此时当2n=时，2211sin(2)13322aππ=⨯-+=≠-，不符合题意，舍去；当0ϕ=时，2132na nπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，此时1,2,3n=时，分别得到12312,1,2a a a==-=，满足题意，综上可知23πω=，0ϕ=.考点：1.数列的周期性；2.三角函数的图像与性质.17．各项均为正数的等比数列{}na中，811=a，12...8(2,)mma a a m m N+⋅⋅⋅=>∈，若从中抽掉一项后，余下的1-m项之积为1m-，则被抽掉的是第项.【答案】13【解析】试题分析：设该等比数列的公比为q，则依题意可得(1)01231212311()88m mm m m mma a a a a q q-+++++-===4(1)21288m mm mq q--⇒=⇒=，假设从中抽掉的是第k项，则有555(1)11123666818888m mmmm kmkk ka a a aa qa a++---===⇒=⇒⋅⇒11168mkq+-=，所以4(1)111164(1)11(1)(11)8811624k mk mk m m mq km-+---+-+==⇒=⇒-=-，因为*1,3,k m k m N≥≥∈、首先k m≤，进而得到(1)(11)1111241324m mk m m m-+-=≤-⇒+≤⇒≤，故用穷举法13,12,,4,3m =进行检验，最后可确定13,13m k==使得等式成立，其余均不成立，所以13,13m k==.考点：等比数列的通项公式.三、解答题18．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S 且171,84395-=-=+S a a . (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)求数列}{12+m a 的前m 项和m T ，并求m T 的最小值.【答案】（1）633-=n a n ；（2）当9m =或10时，m T 最小，最小值为270-. 【解析】试题分析：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，进而根据条件列出方程组112128433171a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，从中求解得到1a 与d ，进而可以写出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）中结论可得21660m a m +=-，法一：进而根据等差数列的通项公式求出该数列的前m 项和m T ，再由二次函数的图像与性质即可求得m T 的最小值；法二：也可以由216600m a m +=- 得出该数列从首项开始到哪一项都是非正常，所有这些非正数相加，当然是达到m T 的最小值.（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，由已知可得5932843171a a S a ìï+=-ïíï==-ïî即112128433171a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得⎩⎨⎧=-=3601d a ，所以633-=n a n（2）法一：由（1）可得21660m a m +=-，则由等差数列的前n 项和公式可得222219193573193324m T m m m m m ()()=-=-=--因为m 为整数，根据二次函数的图像与性质可知：当9m =或10时，m T 最小，最小值为270-法二：由（1）可得21660m a m +=-，所以该数列是单调递增数列，令216600m a m +=- ，解得10m £所以当9m =或10时，m T 最小，最小值为270-.考点：1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.二次函数的图像与性质.19．已知在锐角ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的边，且2222()cos cos-=-Bb c A a a .(1)求角A 的值； (2)若3=a ，则求cb +的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）b c +∈.【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将等式2222Bb c A a a ()cos cos-=-中的边换成角，进而根据余弦的二倍角公式、两角和与差公式进行化简得到2sin cos sin cos cos sin sin()sin C A A B A B A B C =+=+=，进而得到1cos 2A =，结合A 角的范围即可得到A 的值；（2）根据正弦定理，将边转化成角即2(sin sin )b c B C +=+，进而根据三角形的内角和将其中的一个角换掉得到)6b c B π+=+，然后根据题中条件确定B 的取值范围：62B ππ<<，然后得到2363B πππ<+<，进而根据三角函数的性质得到b c +的取值范围.（1）根据正弦定理，可将2222Bb c A a a ()cos cos-=-转化为2(sin 2sin )cos sin (12cos )2BB C A A -=-，又由余弦的二倍角公式转化为 (sin 2sin )cos sin cos B C A A B -=- 2分2sin cos sin cos cos sin sin()sin C A A B A B A B C ⇒=+=+= 4分1cos 2A ⇒=，因为在锐角ABC ∆中，所以3A π= 5分 （2）由（1）与正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A === 所以2(sin sin )b c B C +=+ 6分2322326(sin sin())(sin cos ))B B B B B p p =+-=+=+8分因为022262363032B B B B ππππππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⇒<+<⎨⎪<-<⎪⎩所以sin()(62B b c π+∈⇒+∈ 10分. 考点：1.正弦定理；2.两角和差公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质.20．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个三角形PMN ，使得PN PM =，MN BC ⊥.(1)设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积； (2)求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.【答案】（1）三角形铁皮FMN 的面积为68+；（2）PMN 的面积的最大值为34+.【解析】试题分析：（1）先根据题中条件得出112OM AD ==，32MN OM MOD CD sin =?=，12BN OA OM MODcos =+?+，最后根据三角形的面积计算公式12FMNS M N B N D = 即可得到所求的三角形的面积；（2）先引入角度作为变量，即设,MODx ?，进而根据（1）中思路求出111111222FMN S MN BN x x x x x x (sin )(cos )(sin cos sin cos )D ==++=+++g ，到此用同角三角函数的基本关系式，进行换元，令4sin cos )t x x x p=+=+，先确定t 的取值范围，进而得到212sin cos t x x -=，从而222111112112244()()()FMNt S t t t t D -=++=++=+，根据求出的t 的取值范围，结合二次函数的图像与性质即可确定FMN S D 的最大值. （1）由题意知11121222OM AD BC ===?313012sin sin sin MN OM MOD CD OM MOD AB \=?=?=窗+=11301cos cos BN OA OM MOD=+?+窗=+1131222FMN S MN BN (D \=?创+=，即三角形铁皮FMN 的面积为（2）设,M O D x ?则0,sin sin 1x MN OM x CD x π<<=+=+，1BN OM x OA x cos cos =+=+，111111222(sin )(cos )(sin cos sin cos )FMN S MN BN x x x x x x D \==++=+++g令4sin cos )t x x x p=+=+，由于302444x x ,p p pp <?+，则有14sin(),x p? 所以1t ＃且2212(sin cos )sin cos t x x x x =+=+，所以212sin cos t x x -=故222111112112244()()()FMNt S t t t t D -=++=++=+而函数2114()y t =+在区间1[,上单调递增故当t =时，y .考点：1.三角函数的实际应用；2.同角三角函数的基本关系式；3.三角函数的图像与性质；4.二次函数的图像与性质.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,22n n n a a a n++==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设(){}**2,,n n n b n S n N M n b n N λ=-∈=≥∈，若集合恰有5个元素，求实数λ的取值范围.【答案】（1）12nn a n ()=；（2）335432λ<≤. 【解析】试题分析：（1）先将递推式变形为1112n na a n n+=+，进而判断数列{}n a n 为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求出12nn a n ()=；（2）由（1）中12nn a n ()=，该数列的通项是由一个等差与一个等比数列的通项公式相乘，于是可用错位相减法求出n S ，进而得到22n nn n b ()+=，然后判断数列{}n b 的单调性，进而根据集合M 恰有5个元素，确定λ的取值范围即可. (1)由已知得1112n na a n n+=+，其中*n N Î 所以数列{}n a n是公比为12的等比数列，首项112a =12n na n ()\=，所以12n n a n ()=由（1）知231232222n n nS =++++L 所以2341112322222n n nS +=+++L 所以231111*********n n n S +=++++-L112122n n n S ++\=- 222n nn S +\=-因此22n nn n b ()+=，21111323222n n n n n n n n n n b b ()()()++++++-+-=-= 所以，当2110n b b ,=->即21b b >，120n n n b b ,+?<即1n n b b +<12345631533532282324b b b b b b ,,,,,======要使得集合M 有5个元素，实数λ的取值范围为335432λ<≤. 考点：1.等比数列的通项公式；2.数列的前n 项和；3.数列的单调性.。
浙江省杭州二中2012-2013学年高二上学期期中数学理试题
杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（理科)参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式24S R π= V Sh=球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高334R V π= 台体的体积公式其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=锥体的体积公式 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积13V Sh = h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线3y x π=-+A 。
3π-B. 3π C 。
23πD 。
2.直线cos sin 4x y αα+=与圆224x y +=的位置关系是A ．相切B ．相离C ． 相交D ． 不能确定3．设(1,2),(3,1)A B -，若直线y kx =与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是 A.1(,2)(,)3-∞-+∞B.1(,)(2,)3-∞-+∞C.1(,2)3- D.1(2,)3-A4．两条异面直线在同一平面的射影不可能的是ks5uA.同一直线 B 。
两条平行线 C.两条相交直线 D.一点和一条直线5.已知n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面,给出下列四个命题:①,,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥； ②若//,//,,m n m n αβ⊥则//αβ； ③若,//,,m n m n αβ⊥⊥则//αβ；④若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥． 其中正确的命题的序号是A 。
① ③ B. ② ③ C. ②④6．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ,//AB CD ，AD DC⊥，2PD AD DC AB ===,则异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为 A。
B 。
C。
D.7．直线1:220l x y --=关于直线2:0lx y +=对称的直线3l 的方程为A 。
浙江省杭州二中2012-2013学年高二上学期期中数学理试题
A杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（理科）参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式 24S R π= V Sh=球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高334R V π= 台体的体积公式其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=锥体的体积公式 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积13V Sh = h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线3y x π=-+A. 3π-B.3π C. 23πD. 2.直线cos sin 4x y αα+=与圆224x y +=的位置关系是A ．相切B ．相离C ． 相交D ． 不能确定3．设(1,2),(3,1)A B -，若直线y kx =与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是 A. 1(,2)(,)3-∞-+∞ B. 1(,)(2,)3-∞-+∞ C. 1(,2)3- D. 1(2,)3- 4．两条异面直线在同一平面的射影不可能的是A.同一直线B.两条平行线C.两条相交直线D.一点和一条直线5.已知n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①,,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥； ②若//,//,,m n m n αβ⊥则//αβ； ③若,//,,m n m n αβ⊥⊥则//αβ；④若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥． 其中正确的命题的序号是A. ① ③B. ② ③C. ①④D. ②④6．如图,在四棱锥P ABCD -中， PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ， AD DC ⊥，2PD AD DC AB ===， 则异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为A.5B. 5C. 5-D. 47．直线1:220l x y --=关于直线2:0l x y +=对称的直线3l 的方程为A.220x y --=B. 220x y -+=C. 210x y --=D. 210x y -+=8．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域M 由不等式组020x y x y y -≥+≤≥⎧⎪⎨⎪⎩给定.若点(,)P a b a b +-在区域M 内，则421a b +-的最大值为 A.3 B. 4 C. 5 D. 69. 直线3+=kx y 与圆4)2()3(22=-+-y x 相交于M ，N两点，若MN ≥则k 的取值范围是A. 3(,][0,)4-∞-+∞B. 1[,0]3-C. 1(,][0,)3-∞-+∞D. 3[,0]4-10．已知点,,P A B 共面，且2,2,AB PA PB ==若记P 到AB 中点O 的距离的最大值为1d ， 最小值为2d ，则12d d -= A.73 B. 83 C. 3 D. 103二、填空题：本大题有7小题, 每小题4分, 共28分. 请将答案填写在答题卷中的横线上. 11．已知直线l 经过点(3,1)P ，且与直线41y x =-平行， 则直线l 的一般式方程是 .12．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 关于xOy 平面的对称点为(2,3,5)M -,M 关于x 轴的对称点为B ，则线段AB 的长度等于 ．13. 如图，已知可行域为ABC ∆及其内部，若目标函数z kx y =+ 当且仅当在点B 处取得最大值，则k 的取值范围是 .14．球面上有四个点P 、A 、B 、C ，若PA ，PB ，PC 两两 互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的表面积是 .15.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 cm 3．16.在正方体ABCD -1111A B C D 中，直线1BB 与平面1ACD所成角的余弦值为_______ .17. 函数()f x =的最小值为 .杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试数学（理）答题卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中的横线上.11. 12. 13. 14.15. 16. 17. 三、解答题：本大题有4小题, 共42分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18．（本小题8分）求过直线20x y +=与圆2220x y x +-=的交点A 、B ，且面积最小的圆的方程.19．（本小题10分）已知实数,x y 满足2220x y x ++-=.（Ⅰ）求x 的取值范围；（II ）当实数a 为何值时，不等式220x y a +-≤恒成立？20． （本小题12分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知 PA ⊥平面ABCD ， //AB DC ，90DAB ∠= ，1,2PA AD DC AB ====，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：MC ∥平面PAD ；（Ⅱ）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角A PB C --的平面角的正切值．21．（本小题12分）设圆22(2)(2)4x y -+-=的切线l 与两坐标轴交于点(,0),(0,),A a B b0ab ≠.（Ⅰ）证明： (4)(4)a b --为定值； （II ）求线段AB 中点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若4,4,a b >>求△AOB 的周长的最小值．杭州二中2012学年第一学期高二年级期中考试数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.4110x y --= 12. 6 13. 122k -<< 14. 3π15.16 16.3 17. 3- 三、解答题：本大题有4小题, 共42分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18．（本小题8分）解：联立方程组2220(1)20(2)x y x y x +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 把（1）代入（2），得21245400,5y y y y +=∴==-，故2112805,045x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩，所以，所求圆的直径为2R AB ===圆心为AB 中点42(,)55C -,则所求面积最小的圆的方程是22424()()555x y -++=另解：设过已知直线与圆的交点的圆系方程为 222(2)0x y x x y λ+-++=（1）其圆心的坐标为2(,)2λλ--- ，把它代入直线20x y += （2）得 222025λλλ---=∴=（3） 把（3）代入（1），则所求面积最小的圆的方程是2284055x y x y +-+=. 19．（本小题10分）解：（Ⅰ）配方，得圆的标准方程22(1)(4x y ++= (1)再令x t -= （2） 则直线（2）与圆（1）有公共点(,)x y，所以圆心(C -到直线的距离为2d r =≤=，解得80t -≤≤.即x 的取值范围是[8,0]-.（II ）不等式220x y a +-≤恒成立22a x y ⇔≥+恒成立22max ()a x y ⇔≥+，由（Ⅰ）得222()216x y x t +=-=-≤，所以16a ≥. 20． （本小题12分）解：（Ⅰ ）如图，取P A 的中点E ，连接ME ，DE ，∵M 为PB 的中点，∴EM//AB ,且EM= 12AB . 又∵//AB DC ，且12DC AB =，∴EM//DC ，且EM =DC ∴四边形DCME 为平行四边形,则MC ∥DE ，又MC ⊄平面PAD, DE ⊂平面PAD所以MC ∥平面P AD（Ⅱ）取PC 中点N ，则MN ∥BC ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 又22222AC BC AB AC BC +=+=∴⊥,∴BC ⊥平面PAC ， 则MN ⊥平面PAC 所以，MCN ∠为直线MC 与平面PAC 所成角，112222NC PC MC PB ====cos 5NC MCN MC ∴∠== （Ⅲ）取AB 的中点H ，连接CH ，则由题意得CH AB ⊥又PA ⊥平面ABCD ，所以PA CH ⊥，则CH ⊥平面PAB.所以CH PB ⊥,过H 作HG PB ⊥于G,连接CG ，则PB ⊥平面CGH,所以,CG PB ⊥则CGH ∠为二面角A PB C --的平面角.11,2,PA CH AB PB =∴====则sin PA GH BH PBA BH AB =∠=⋅=，tan CHCGH GH ∴∠==故二面角A PB C --21．（本小题12分）解：（Ⅰ）直线l 的方程为1=+bya x ，即0=-+ab ay bx .则圆心（2，2）到切线l 的距离r d =，24()80ab a b =⇒-++=，(4)(4)8a b ∴--=为定值.（II ）设AB 的中点为M （x ，y ），则2222a x a xb b y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，代入(4)(4)8a b --=， 得线段AB 中点M 的轨迹方程为(2)(2)2(0)x y xy --=≠. （Ⅲ）由(4)(4)84()8a b ab a b --=⇒=+- 又4,4,a b >>4[(4)(4)6]6)8(3ab a b =-+-+≥=+所以△AOB的周长(2t a b =++≥=+(24(3≥+⋅=+（当且仅当4a b ==+时取等号）所以△AOB的周长的最小值是12+.。
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杭州二中2013学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（理科）参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式 24S R π= V Sh=球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高334R V π=台体的体积公式其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=锥体的体积公式 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积13V Sh = h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线2310x y ++=的斜率为 A.23-B. 23C. 32-D. 322. 直线20()kx y k R +-=∈与圆222210x y x y ++-+=的位置关系是 A.相交 B ．相切 C ．相离 D ．与k 值有关 3．直线1111 :0l A x B y C ++=与直线2222 : 0l A x B y C ++=平行，则 A.1122A B A B =B ．12211221A B A B AC A C =≠且C ．111222A B C A B C =≠D ．1212A A B B +=0 4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.8+B ．223π+C．23π+ D ．283+5.已知m 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①,m αβα⊥⊂若则m β⊥； ②若,//,m ααβ⊂则//m β； ③若//,//,m m αβ则//αβ； ④若,m m αβ⊂⊥，则αβ⊥． 其中正确的命题的序号是A. ① ③B. ②C. ①④D. ②④6．过点(12,16)C 作圆22100x y +=的两条切线，切点为B A 、，则点C 到直线AB 的距 离为A.5 B ．152C ．10D ．15 7．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠=，对角线AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面A B C D ，PB 与平面ABCD 所成的角为60，E 是PB 的中点，则异面直线DE 与PA 所成角的余弦值是A. 0B.C. 12D.8．若圆222x y a +=与圆2260x y ay ++-=的公共弦长为32，则a 的值为 A.2± B ．2 C ．2- D ．无解9. 一个三棱锥铁框架的棱长均为2，其内置一气球，使其充气至尽可能的膨胀（保持球的形状），则此球的表面积为 A.23πB ．2πC ．3πD ．π610．在斜三棱柱111ABC A B C -中，113A AC A AB CAB π∠=∠=∠=，12,AA =1,AB AC ==,O 为侧面四边形11BB C C 对角线的中点，则AO 的长度为A B C ．2 D ．2二、填空题：本大题有7小题, 每小题4分, 共28分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.11．两异面直线,m n 分别垂直于二面角l αβ--的两个半平面，且,m n 所成的角为60，则二面角l αβ--的大小是 ．12．直线12:10:2230l x y l x y ++=++=与的距离是 ．13. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 ．14．函数y =的值域是 ．15. 若过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为 ．16. 已知圆 22:4O x y += ,圆内有定点(1,1)P , 圆周上有两个动点A ，B ，使PA PB ⊥，则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程为 ．17. 在三棱锥S ABC -中， 4SA =,7SB ≥,9SC ≥,5AB =,6BC ≤,8AC ≤，则三棱锥S ABC -体积的最大值为 ．三、解答题：本大题有4小题, 共42分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18．（本小题8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．（Ⅰ）证明PA //平面EDB ；（II ）证明PB ⊥平面EFD .19．（本小题10分）已知△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的内角平分线所在直线的方程分别为12:10, :10l y l x y +=++=.（Ⅰ）求BC 边上的高所在直线的方程；（II ）求△ABC 的内切圆方程.-中，底面20．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD∠=∠=︒，CDA DABABCD是直角梯形，90=，1,2PD⊥底面ABCD，PD ADCD AB==,E是PB中点，点E在平面ACP上的射影是△ACP的重心G.（Ⅰ）求PB与平面ACP所成角的正弦值；--的平面角的正弦值.（II）求二面角B AC E21． （本小题12分）已知圆O :224x y +=与直线:l y x b =+，在x 轴上有点(3,0)P , （Ⅰ）当实数b 变化时，讨论圆O 上到直线l 的距离为2的点的个数； （II ）若圆O 与直线l 交于不同的两点,A B ，且△APB 的面积S 9=tan 2APB ∠，求b 的值.杭州二中2013学年第一学期高二年级期中考试数学（理）参考答案一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答卷中的横线上.11.60120或 14.[-15.3-3 12a a <<<或 16.226x y += 17.三、解答题：本大题有4小题, 共42分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18．（本小题8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．（Ⅰ）证明PA //平面EDB ；（II ）证明PB ⊥平面EFD .证明：（1）连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ． ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDB（II ）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴PC DE ⊥． ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ．∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC ． 而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥． ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC ． 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD ．19．（本小题10分）已知△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的内角平分线所在直线的方程分别为12:10, :10l y l x y +=++=.（Ⅰ）求BC 边上的高所在直线的方程；（II ）求△ABC 的内切圆方程.解：（1）设点A （－1，－4）关于直线y +1=0的对称点为A ′（x 1，y 1），则x 1=－1，y 1=2×（－1）－（－4）=2，即A ′（－1，2）.在直线BC 上，再设点A （－1，－4）关于l 2：x +y +1=0的对称点为A ″（x 2，y 2），则有1422++x y ×（－1）=－1，212-x +242-y +1=0. x 2=3， y 2=0，即A ″（3，0）也在直线BC 上，由直线方程的两点式得202--y =131++x ，即x +2y －3=0为边BC 所在直线的方程，则BC 边上的高所在的直线的斜率为2，且过A 点（－1，－4），故其方程为220x y --=（II ）内角平分线l 1与l 2的交点即为内切圆的圆心，联立方程，得（0,-1），圆心到直线BC 的距离为半径，即r ==ABC 的内切圆方程为22(1)5x y ++= 20．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90CDA DAB ∠=∠=︒，PD ⊥底面ABCD ，PD AD =，1, 2CD AB ==, E 是PB 中点，点E 在平面ACP 上的射影是△ACP 的重心G .（Ⅰ）求PB 与平面ACP 所成角的正弦值； （II ）求二面角B AC E --的平面角的正弦值.解：（Ⅰ）解：连结PG ，则PG 是PE 在面ACP 的射影，即∠E PG 是PB 与平面ACP 所成的角. 设F 为PA 中点，连结EF 、FD ，22,,,,=,,,.1,1,3F E PA PB ABCD EF CD EF CD CD PAD DCEF CFG ADB G CF CEF EF FG FC FC EF FC ∴⊥∴∆∴∈=⋅==∴=分别是的中点且为梯形∥又平面为矩形连结是的重心在直角三角形中解得2,2,sin EC EG FD PDA PD AD BD PB PE EG EPG PE PB ACP ====∴==∴==∴=∴∠===∴于是且△为等腰直角三角形与平面（II ）过点E 作底面ABCD 的垂线，垂足为H，则EH ∥PD ，且EH=1. 过点E 作AC 的垂线，垂足为I ，连接HI ，则∠HIE 即为二面角B ACE --的平面角。
由于CE∥DF ，而DF ⊥面PAB ，所以CE ⊥AE ，CE ⊥PB，可计算得= sin EH HIE EI ∠===二面角B AC E --21． （本小题12分）已知圆O :224x y +=与直线:l y x b =+，在x 轴上有点(3,0)P , （Ⅰ）当实数b 变化时，讨论圆O 上到直线l 的距离为2的点的个数；（II ）若圆O 与直线l 交于不同的两点,A B ，且△APB 的面积9=tan 2S APB ∠，求b 的值. 解：（Ⅰ）圆心到直线的距离为d =，则当4d =>，即||b >0； 当4d ==，即||b =1；当4d =<，即||b <2； （II ）91=tan sin 22S APB PA PB APB ∠=∠，则cos 9PA PB APB ∠=，即9PA PB =设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212(3)(3)9x x yy --+=，即1212123()0xx x x yy -++=224y x b x y =+⎧⎨+=⎩，联立，得222240x bx b ++-=，则212212324022b x x b b x x ⎧⎪=->⎪+=-⎨⎪⎪=-⎩，212212822b x x b b x x ⎧⎪<⎪+=-⎨⎪⎪=-⎩ 21212()()22b y y x b x b =++=-，代入，得2340b b +-=，(4)(1)0b b +-=，41b b =-=或，由于28b <，故1b =。