排列组合的应用

捆绑法:
对于相邻问题,常常先将要相邻的元素 捆绑在一起,视作为一个元素,与其余 元素全排列,再松绑后它们之间进行全 排列.这种方法就是捆绑法.
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
插空法
4 解：先把四个男孩排成一排有A4 种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 4 3 3 A5 1440 （种） 空档中有A5 种方法，所以共有： A4 排法。
=21种不同的放。 挡板法适用范围很广，可用于方程求解有多少组正整数解、 把相同物体放入不同盒子（每个盒子非空）、把相同物品分 为几堆等情形，是解决排列组合最重要的方法之一。
C7
2
例2 有10张积分卡分给3个不同的同学，若要求每个 同学至少分得1张积分卡，有多少种分法？
分析 每个同学至少分得1张积分卡，10个积分卡排开，卡 与卡之间有9个空隙，要分给3个同学只需要在空隙中任 意选取2个空插入2块板即可。
插空法:
对于不相邻问题,先将其余元素全排 列,再将这些不相邻的元素插入空挡 中,这种方法就是插空法.
插板法
这是解决排列组合最基本的方法，主要适用于 将元素无区别的分为几部分的问题。
例1 将8个大小相同的球放入三个不同的盒子,每个盒子 至少放一球,问有多少不同的放法? 分析：本题要保证每个盒子至少有一球，则仍然可以用挡板 法解决。此题实质是8个球产生7个空隙，将8个完全相同的 球分为3部分，只需要两块挡板插入空隙，这样分出的每堆球 的数目，就对应着每个盒子里放的球的个数。因此共有
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。 男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？
插空法
4 解：先把四个男孩排成一排有A4 种排法，在每一排 列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入 4 3 3 A3 144 （种） 空档中有A3 种方法，所以共有： A4 排法。
5 A 第二步:剩下的全排列,有 5 种;
2 5 共有A5 A5＝2400种
答：共有2400种不同的排列方法。
(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排 头和排尾的排法共有多少种？
解法二:(特殊元素法) 第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个 2 位置中的两个位置上,有 A5 种;
第二步:其余同学全排列,有 A
答：C6 C5 C3 .A3
思考： 有6本不同的书，按下条件，各有多少种不同
的分法？ 2 2 2 （1）分给甲乙丙三人甲2本、乙2本、丙2本；C6 C4 C2 1 2 3 C6C5 C3 （2）…甲得1本，乙得2本，丙得 3本； 2 2 2 C6 C4 C2 （3）分成三组，每组各2本； 3 A3 1 2 3 C6C5 C3 （4）分成三组，一组 1本，一组 2本，一组 3本； 1 1 4 C6C5C4 （5）分成三组，两组各1本，另组4本； 2 A2 （6）分给甲乙丙三人，一人1本，一人 2本，一人3本； 1 1 4 C6C5C4 3 A 3 （7）…两人各1本，另人4本； A2 1 2 3 3 C C C A 2 2 2 2 6 5 3 3 C6 C4 C2 3 2 2 2 （8）…每人各得两本； A3 C6 C4 C2 3 （9）…每人至少1本。 A3
解:将问题分步
2 第一步:甲乙站两端有 A2 种
第二步:其余5名同学全排列有 A5 种
2 5 共有A2 A5＝2400种
5
答：共有2400种不同的排列方法。
(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排 头和排尾的排法共有多少种？
解法一:(特殊位置法)
第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾, 2 A 有 5 种;
积 分 卡 积 分 卡 积 分 卡 积 分 卡 积 分 卡 积 分 卡 积 分 卡 积 分 卡 积 分 卡
c
2 9
学习目标：
1、掌握平均分组问题解决方法，理解其实际应用。
2 、理解非平均分组问题， 解决方法及简单应用。
一、平均分组问题 1、平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情 况，所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。 2 、 有分配对象和无分配对象.
三：部分均分无分配对象的问题
例4 、六本不同的书分成3组，一组4本其余各1本
有多少种分法？
4 1 1 C6 C2C1 答： 2 A2
四：非均分组无分配对象问题
例5、 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不同
的分法？ 答：C61C52C33 注：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积。
排列组合中的分组分配问题
ab ac ad bc bd cd cd bd bc ad ac ab
引旧育新:
1 把abcd分成平均两组共 有_____多少种分法？ 2 2 C4 C2 3 2 cd ab A2 bd ac ad bc 这两个在分组时只能算一个 bc ad bd ac cd ab 2平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况， 所以分组后要除以A(m,m)，即m!，其中m表示组数。
1、掌握优先处理元素（位置）法；
2、掌握捆绑法；
3、掌握插空法。
4、隔板法
5、分组分配问题： 1、是否均匀； 2、是否有组别。
复习引入：
①什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列？ 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列. ②什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？ 从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素的所有排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. m 用符号 An 表示
3、(1）6本不同书分给甲2本，乙2本，丙2本，有多少种
分法？
(2）6本不同书分成三组，有多少种分法？
答：1）C C C ;
2 2 2 C6 C4 C2 2) 。 3 A3
2 6
2 4
2 2Biblioteka 基础探究：一：均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4；4；4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2；2；2；6分成四堆有多少种不同的分法？ 4 4 4 C C C 8 4 12 (1) 3 A3
2 5 共有A5 A5＝2400种
5 种; 5
答：共有2400种不同的排列方法。
(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排 头和排尾的排法共有多少种？
解法三:(排除法) 先全排列有 A 种,其中甲或乙站排头有 2 A
7 7
6 6种 ,
甲或乙站排尾的有 2 A6 种,甲乙分别站在排头和
排尾的有 A A 种.
2 6 2 4 3 3 2 2
A
A C C C .
3 3 2 6 2 4 2 2
三：部分均分有分配对象的问题
例3、 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E 五个人有多少种不同的分法？ 方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数· 把均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列 2 3 2 2 3 C C 9 C6 C4 C2 12 ( 3 2 答： 答) A3 A2 5 A5
⑴直接计算法
一般地，对于有限制条件的排列问题，有以下两种方法：
排列的限制条件一般是：某些特殊位置和特殊元素. 解决的办法是“特事特办”，对于这些特殊位置和元素， 实行优先考虑，即特殊元素预置法、特殊位置预置法. ⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从 中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也 不能重复. 即排除法.
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一 个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站 成一排照相留念。 甲、乙两人的两边必须有其他人，有多少种不 同的排法？
插空法
5 解：先把其余五人排成一排有A5 种排法，在每一排 列中有四个空档（不包括两端），再把甲、乙插入 5 2 2 A4 1440 （种） 空档中有A4 种方法，所以共有： A5 排法。
各有多少 种不同的分法？ （1）一人3本，一人4本，一人5本； （2）甲3本，乙4本，丙5本； （3）甲2本，乙、丙各5本； （4）一人2本，另两人各5本·
7 6 2 5 共有A7 4 A6 A2 A5＝2400种
6
2 2
5 5
答：共有2400种不同的排列方法。
优限法:
对于“在”与“不在”等类似有限制 条件的排列问题,常常使用“直接 法”(主要为“特殊位置法”和“特殊 元素法”)或者“排除法”,即优先考 虑限制条件.这种方法就是优限法.
【总结归纳】
2 2 2 1 1 4 C6 C4 C2 3 C 1 2 3 3 3 6C5C4 9 i )2 、 2 、 2 : A ； ii ） 1 、 2 、 3: C C C A ; iii )1 、 1 、 4 : A 3 6 5 3 3 3. 3 2 A3 A2
练习：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件，
③排列数的两个公式是什么？
An n(n 1)(n 2) (n m 1)
m
n! A （ n ， m ∈ N* ， m≤n ） (n m)!
m n
组合定义：一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m
(m≤n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合。
五、非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙 三个人有多少种不同的分法？答：C61C52C33
注：非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 ， 此与非均分 配结果一样。 五、非均分组分配对象不固定问题
例7 、六本不同的书分给三人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法？ 3 1 2 3
n! n(n-1) (n- m+1) C = = 组合数公式： m!(n- m)! m!