新华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》优质课课件

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新华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程》优质课课件

1 1 C．x－＝0 或 x＋3＝0 D．x－＝0 或 x－3＝0 2 2
6．方程x(x－2)＋x－2＝0的解是( D )
A．2 C．－1 B．－2，1 D．2，－1
7．下面一元二次方程的解法中，正确的是( B ) A．(x－3)(x－5)＝10× 2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7 2 3 2 B．(2－5x)＋(5x－2) ＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x1＝，x2＝ 5 5 C．(x＋2)2－4＝0，∴x1＝2，x2＝－2 D．x2＝x，两边同时除以 x，得 x＝1
8．方程(x＋1)2＝x＋1的正确解法是( B ) A．化为x＋1＝1 B．化为(x＋1)(x＋1－1)＝0 C．化为x2＋3x＋2＝0 D．化为x＋1＝0
9．解方程：
(1)5(x－1)2＝1－x；
4 解：x1＝1，x2＝ 5
(2)2(x－3)＝3x(x－3)；
2 解：x1＝3，x2＝ 3
(3)(x－8)2＋2x(x－8)＝0.
C．x(x－2)＝－2
D．y2－(2y＋1)2＝0
13．已知(x＋y)2－2x－2y＝0，则 x＋y 的值为( A) A．2 或 0 B．－2 或 0 C．2 或－2 D．－2 或 1 14．经计算整式 x＋1 与 x－4 的积为 x2－3x－4，则一元二次方程 x2－3x－4＝0 的解是( D ) A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝1，x2＝－4 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝－1，x2＝4
8 解：x1＝8，x2＝ 3
10．方程(1－x)2＝5 的根是( C ) A．－1，6 C．1－ 5，1＋ 5 B．1，－6 D. 5－1， 5＋1
11．下列方程中，不能用直接开平方法的是(C ) A．x2－3＝0 B．(x－1)2－4＝0 C．x2＋2x＝0 D．(x－1)2＝(2x＋1)2

华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件

22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和因式分解法第1课时用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0，求m的值．解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4

22.2 第1课时直接开平方法和因式分解法华师大版数学九年级上册课件

(2)x²－1=0;
这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1 = 2，x2 = -2.
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于形如 x2 = a (a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可解得x1 = a，x2 = - a，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
(2) x²－1= 0 对于题(2)，有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得
做一做
试用两种方法解方程： x2－900 =0
直接开平方法：
因式分解法：
移项，得 x2 =900
由题意，得 (x－30) (x＋30) =0
得 x2 =±30，
所以 x2－30=0 或 x＋30=0
所以x1 = 30，x2 = -30
所以 x1 = 30，x2 = -30
典例精析
例1 解下列方程： (1)x²－2= 0; 解：移项，得
第22章一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第1课时直接开平方法和因式分解法
学习目标
1. 学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方程； (重点) 2. 了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤. (重点)
试一试
解下列方程： (1)x²= 4; 对于题(1)，有这样的解法：方程 x²= 4 意味着x是4的平方根，所以 x=± 4，即 x = ±2
x(3x＋2)=6(3x＋2)
方程两边都除以(3x＋2)，得 x=6
小林说:“我的方法多简便!” 可另一个根x = -23 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
小林的解法不对。原因在于等式左右两边都除以(3x-2)时，没有考虑(3x+2)的值是不是 0,当 3x+2≠0时，解得x=6；而当 3x+2=0 时，

华师大版九年级(初三)数学上册直接开平方法和因式分解法共15页文档

华师大版九年级（初三）数学上册直接开平方法和因式分解
法
11、战争满足了，或曾经满足过人的好斗的本能，但它同时还满足了人对掠夺，破坏以及残酷的纪律和专制力的欲望。 ——查·埃利奥特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段。纪律是教育过程的结果，首先是学生集体表现在一切生活领域—— 生产、日常生活、学校、文化等领域中努力的结果。— —马卡连柯(名言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领导者本身在这方面以身作则才能收到成效。—— 马卡连柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅精神以及同全世界劳动者的团结一致，是取得最后胜利的保证。—— 列宁摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非

九年级数学上册22.2一元二次方程的解法22.2.1直接开平方法和因式分解法1教学课件新版华东师大版

ax b (cx d )
【针对练二】
D
C
5.方程（2x-1)2=(x+2)2的解为：
1 x1=3, x2= 3
总结梳理内化目标
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个一次方程；降次的方法：直接开平方法；降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解.
合作探究达成目标
例1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
等量关系：10个正方体盒子的表面积＝油漆可刷的总面积解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为 6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2=1500 ① 由此可得 x2=25
x3 ,
(3 1) 2 k 2 2
解得：
k 2
( x 1) 2 4
原方程为：
所以方程的根为：
x1 3, x2 1
即方程的另一个根为-1
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
• 1．体会解一元二次方程降次的转化思想．
• 2．会利用直接开平方法解形如x2 ＝p或 • (mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
创设情景明确目标
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这
桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全
部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
x2 0
【针对练一】
解得：
【答案】
Байду номын сангаас
探究点二

九年级数学上册第章一元二次方程 . 一元二次方程的解法直接开平方法和因式分解法授课

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内容(nèiróng)总结
华师版·九年级数学(shùxué)·上册。华师版·九年级数学(shùxué)·上册
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华师版·九年级数学(shùxué)·上册
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一桶油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个
同样的正方体形状(xíngzhuàn)的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
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在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化(zhuǎnhuà)
为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了.
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华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法1、直接开平方法和因式分解法(共20张PPT)

自我探究一
1、试解下列一元二次方程：
(1)x2 9;(2)x2 9 0;解： Nhomakorabea=± 9
解：变形，得 x2=9
x1=3，x2=-3
∴x1=3，x2=-3
(3)x2 2500 0;
解：变形，得 x2=2500 x=± 2500
∴x1=50，x2=-50
(4)4x2 9;
解：变形，得 x2 9 4
华东师大版九年级上册
22.2一元二次方程的解法 1、直接开平方和因式分解法
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
1、一元二次方程的一般形式：
ax2 bx c 0(a、b、c为常数， a 0)
其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数， c叫做常数项. 2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫 a的平方根. 即x2=a(a≠0),则x是a的平方根，记作x= a . 例如，若x2=4，则x=±2；若x2=8，则 x= 2 2 .
x 2
y
4
或
x
y
2 3
已知等腰三角形两边的长x、y满足等式
x2 4 y2 7 y 12 0，求该三角形的周长。
(续上) 当边长分别为2、2、4时，与三角形三边长关系矛盾，舍去；当边长分别为2、4、4时，周长为10；当边长分别为2、2、3时，周长为7；当边长分别为2、3、3时，周长为8.
综上得，该三角形的周长为7或8或10.
知识小结
本节课要掌握： 1、利用平方根的定义解一元二次方程的
方法叫直接开平方法。此法适用于解形如下面的一元二次方程：
x2 b(b 0), (x a)2 b(b 0)
2、利用因式分解解一元二次方程的方法叫因式分解法。这种方法的一般步骤：

22.2.1 直接开平方法和因式分解法+22.2.2 配方法(课件)华师大版数学九年级上册

∴ x1＝176，x2＝43.
感悟新知
知2－练
(3)x2－( 2＋ 3)x＋ 6＝0. 解：原方程可化为(x－ 2)(x－ 3)＝0. ∴ x－ 2＝0 或 x－ 3＝0. ∴ x1＝ 2，x2＝ 3 .
感悟新知
2-1. [中考·临沂]方程 x2－2x－24＝0的根是( B ) A. x1＝6，x2＝4 B. x1＝6，x2＝－4 C. x1＝－6，x2＝4 D. x1＝－6，x2＝－4
知1－练
解：移项，得(1＋x)2＋2(1＋x)＝3 .
配方，得(1＋x)2＋2(1＋x)＋12＝3＋12，
即(1＋x＋1)2＝4.
巧将1＋x看成一个整体进
开平方，得1＋x＋1＝±2 . 行配方，可达到简化效果 .
∴ x1＝0，x2＝－4.
感悟新知
知1－练
1-1. 用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是( D ) A. (x＋6)2＝28 B. (x－6)2＝28 C. (x＋3)2＝1 D. (x－3)2＝1
的方程为( C )
A. x2－1＝0
B. x2＝0
C. x2＋4＝0
D. －x2＋3＝0
感悟新知
知1－练
1-2. 若关于x的代数式2x2＋2与2x2－10互为相反数，则x的
值为( D ) A. －2
B. ±2
C. 2
D. ± 2
感悟新知
知识点 2 因式分解法
知2－讲
1. 定义把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 .
感悟新知
知1－练
1-2. [中考·聊城]用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为( B )

华师大九年级数学上册《一元二次方程的解法第1课时直接开平方法和因式分解法》课件

＋6＝0的两个根，则x1*x2＝__3_或__－__3__；
(3)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则
k的值可以为___－__1__5_，__－__6_，___0_，__6_，__1__5______．
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
(1)(2014·云南)一元二次方程x2－x－2＝0的解是___x_1_＝__2_，__x__2＝___－__1__；
(2)对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝
a2－ab（a≥b）. ab－b2（a＜b）.
例如
4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x
A．有两个解x＝± n
B．当n≥0时，有两个解x＝± n－m
C．当n≥0时，有两个解x＝± n－m
D．当n≤0时，无实数解
13．一个球的表面积是100π cm2，则这个球的半径为(球的表面积S＝4
πR2，其中R是球半径)( B )
A．10 cm
B．5 cm
C．±10 cm
D．±5 cm
14．若实数x，y满足(x＋y＋2)(x＋y－1)＝0，则x＋y的值为( D )

新华师大版九年级上册初中数学 22-2-1 直接开平方法和因式分解法教案

第二十二章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度与价值观】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.多媒体课件.问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0 即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.一、思考探究，获取新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？探究1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.【讨论结果】解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm.【归纳结论】一般地，对于方程x2=p,（Ⅰ）（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根x1p,x2p(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.探究2学生通过讨论，交流得出方程为10x-4.9x2=0.在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教师引导学生尝试找出其简捷解法为：x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=10049≈2.04.从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.想一想以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?【教学说明】让学生自主探索，进行归纳总结，既锻炼学生的分析问题，解决问题能力，又能培养总结化归能力，并从中体验转化、降次的思想方法.【讨论结果】当方程的一边为0，而另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用a·b=0，则a=0或b=0，把一元二次方程变为两个一元一次方程，从而求出方程的解.这种解法称为因式分解法.二、典例精析，掌握新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.解得x1=5+52,x2=5-52（舍去）.答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0,b≥0）的方程，只要把（x-k）看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材“习题22. 2”中选取.本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.。

新华东师大版九年级数学上册课件：22.2.1用直接开平方法和因式分解法解简单的一元二次方程

解：由题意知(x＋1)2－(x＋1)(3x－2)＝0，则(x＋1)[(x＋1)－(3x－2)]＝0，整理，得(x＋1)(－2x＋3)＝0，则 x＋1＝0 或－2x＋3＝0，解得 x＝－1 或 x＝32.
15．(原创题)若关于 x 的一元二次方程 ax2＝－c 的两个根分别为 2m ＋1 与 3m－6，求ca的值．
根是 0，则 k 的值是__0___．
13．解方程： (1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3
(2)(x－1)(x＋1)＝1；
解：x1＝ 2，x2＝－ 2
(3)x(x＋2)－5x＝0；解：x1＝0，x2＝3
(4)(x－2)(x＋1)＝－2. 解：x1＝0，x2＝1
14．对于实数a、b，定义运算※如下，a※b＝a2－ab，例如，5※3＝52 －5×3＝10.若(x＋1)※(3x－2)＝0，求x的值．
(2)x(x－3)＝x2－a＝0 的一个根是 2，则 a 的值是___4___．
11．若一元二次方程 ax2－b＝0(ab＞0)的两个根分别是 m＋1 与 2m－4，
则ba－4＝__0___． 12．(菏泽中考)关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0 的一个
解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0得x1＝7，x2＝10，当腰长为3时，3＋ 3＝6，均小于7或10，所以该等腰三角形的底边为3，故周长＝7＋7＋3＝ 17或10＋10＋3＝23.
17．小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为20 cm，宽10 cm，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形，如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求左、右边衬的宽．
解：∵方程 ax2＝－c 的两根为 2m＋1，3m－6，

新华师大版九年级数学上册《直接开平方法和因式分解法》优课件

1 2x2 80
移项 2 9 x92x2538,
解：移项 x2 4,
得 x2 8 ,
得 x2,
9 x2 2,
方程的两根为
方程的两根为
3
x12 x22.
x1
2
2 3
2 x2 3
3 x 6290
解：移项 x62 9
x63,
x＋6=3 x＋6=－3,
方程的两根为 x1 =－3,
当一元二次方程的一边为
00 ，而另一边易于分解成
两个一次因式时，就可以用因式分解法来解.
用因式分解法解下列方程：
(1) (x－5)(x+2)=18 (2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(3) 2 y2=3y
(4) x2+7x+12=0
(1)x(5)x(2)18
解：整理原方程，得
x2－３x－28=0 (x－7)(x+4)=0 X－7=0,或x+4=0
解(： x3)(x4)0, x30或x40,
x13,x24.
右化零两因式
简记歌诀：左分解各求解
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= B解
解方程：(拓展)练习:
(1) (4x－3)2=(x+3)2
由此可得
10×6x2=1 500 ① x2=25
即 x1=5，x2=－5
可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5 dm．
方程x2+6x+9=2的左边是完全平方形式，这个方程可以化成

九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.1直接开平方法和因式分解法直

九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法直接开平方法解一元二次方程同步练习2 （新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法直接开平方法解一元二次方程同步练习2 （新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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直接开平方法解一元二次方程1．x 2－16＝0的根是( )．A.只有4B.只有－4C.±4D.±8 2．3x 2＋27＝0的根是（ )．A.x 1＝3，x 2＝－3B 。

x ＝3 C.无实数根 D 。

以上均不正确解答题(用直接开平方法解一元二次方程）3．2y 2＝8．4．(x ＋3）2＝2．5．.25)1(412=+x 6．3（2x －1)2－12＝0．7．(3x －2)（ 3x ＋2）＝8．8．(5－2x )2＝9(x ＋3)2．9．.063)4(22=--x 10．（x －m ）2＝n ．(n 为正数)参考答案1．C ． 3．C ．4．y 1＝2，y 2＝－2． 5．.32,3221--=-=x x6．x 1＝9，x 2＝－11． 6．⋅-==21,2321x x7．⋅±=3322,1x 8．.14,5421-=-=x x9．x 1＝1,x 2＝7．10．.,21m n x m n x +-=+=。

华师大版一元二次方程的解法教案

一元二次方程的解法【学习目标】1．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法．3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理．【基础知识精讲】1．一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．(3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即2)3x (2=+，从而得解．注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根．△<0⇔方程没有实数根．判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，．当a ＝1时，c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；(4)已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题．步骤：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系，并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．【经典例题精讲】例1 解方程025x 2=-．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：025x 2=-， 25x 2=，25x ±=，x ＝±5．∴5x 5x 21-==，．例2 解方程2)3x (2=+．分析：如果把x ＋3看作一个字母y ，就变成解方程2y 2=了．解：2)3x (2=+，23x ±=+，23x 23x -=+=+，或， ∴23x 23x 21--=+-=，．例3 解方程081)2x (42=--．分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．解：081)2x (42=-- 整理，81)2x (42=-， 481)2x (2=-， 292x ±=-， ∴25x 213x 21-==，．注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=．例4 解方程02x 3x 2=+-．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．解法一：02x 3x 2=+-，(x －2)(x －1)＝0，x －2＝0，x －1＝0，∴2x 1x 21==，．解法二：∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，∴01214)3(ac 4b 22>=⨯⨯--=-， ∴213x ±=．∴1x 2x 21==，．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．例5 解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 22=-+--．分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=， ∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=-22n 4mn 4m ++=0)n 2m (2≥+=． ∴2)n 2m (m 3x 2++=2)n 2m (m 3+±=．∴n m x n m 2x 21-=+=，．注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±．例6 用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．解：x 73x 22=+，023x 27x 2=+-， 0234747x 27x 22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2，162547x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴4547x ±=-． ∴21x 3x 21==，．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．例7 不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x 3x 22=-+；(2)y 249y 162=+；(3)0x 7)1x (52=-+．分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac 4b 2-=∆的值的符号就可以了．解：(1)∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4， ∴041)4(243ac 4b 22>=-⨯⨯-=-．∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵a ＝16，b ＝－24，c ＝9，∴09164)24(ac 4b 22=⨯⨯--=-． ∴方程有两个相等的实数解．(3)将方程化为一般形式0x 75x 52=-+，05x 7x 52=+-．∵a ＝4，b ＝－7，c ＝5，∴554)7(ac 4b 22⨯⨯--=-＝49－100＝－51<0．∴方程无实数解．注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a 、b 、c 的符号．例8 已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．分析：根据韦达定理a c x x ab x x 2121=⋅-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为2x ，则56x 25k x 222-=⋅-=+，， ∴53x 2-=，k ＝－7．即方程的另一根为53-，k 的值为－7．注意：一元二次方程的两根之和为a b -，两根之积为a c ．例9 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的(1)平方和；(2)倒数和．分析：已知21x x 23x x 2121-=⋅-=+，．要求(1)2221x x +，(2)21x 1x 1+，关键是把2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ⋅+、的式子．因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．解：(1)∵21x x 23x x 2121-=⋅-=+，， ∴212212221x x 2)x x (x x -+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212232149+=413=； (2)211221x x x x x 1x 1+=+2123--= ＝3．注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．例10 已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值．分析：已知34x x 2m x x 2x x 22212121=+=⋅-=+，，，求m 就要在上面三个式子中设法用222121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出．解：设方程的两根为21x x 、，则2mx x 2x x 2121=⋅-=+，．∵212212221x x 2)x x (x x -+=+， ∴)x x ()x x (x x 2222122121+-+= 34)2(2--=＝－30． ∵2m x x 21=， ∴m ＝－30．注意：解此题的关键是把式子2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得m 的值．例11 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)0q px x 2=++的形式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=⋅-=+，．将p 、q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x 21212=⋅++-．解：设所求的方程为0q px x 2=++．∵2＋10＝－p ，2×10＝q ，∴p ＝－12，q ＝20．∴所求的方程为020x 12x 2=+-．注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个．例12 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．∵q x x p 8x x 2121=⋅-==+，，∴方程为09x 8x 2=+-．解这个方程得74x 74x 21-=+=，， ∴这两个数为7474-+和．例13 如图22-2-1，在长为32m ，宽为20m 的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为2m 540，那么道路的宽度应是多少？分析：设道路的宽度为x m ，则两条道路的面积和为2x x 20x 32-+．题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．解：设道路的宽度为x m ，则2032x x 20x 325402⨯=-++．0100x 52x 2=+-， (x －2)(x －50)＝0，x －2＝0，x －50＝0，∴50x 2x 21==，．∵x ＝50不合题意，∴取x ＝2．答：道路的宽度为2m ．注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为2x ．因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积2x ．例14 某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析：设平均每月增长的百分率为x ，则增长一次后的产量为5000(1＋x)，增长两次后的产量是2)x 1(5000+，…．增长n 次后的产量b 是n )x 1(5000b +=．这就是重要的增长率公式．解：设平均每月增长的百分率为x ．则7200)x 1(50002=+，2536)x 1(2=+， 56x 1±=+，∴22x 20x 21.，.-==(不合题意，舍去)．答：平均每月增长的百分率是20%．注意：解方程时，由1＋x 的值求x ，并舍去负值．【中考考点】一元二次方程是初中代数的重要内容，因此，它是历年来各地中考的必考内容．可单独命题，也常与函数、四边形、圆等知识点综合在一起考查．例15 (2003·济南市)已知方程组⎩⎨⎧=+=++-②①01y -x 022a y x 的两个解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211y y x x y y x x 和，且21x x 、是两个不相等的实数，若11a 6a 8x x 3x x 2212221--=-+，(1)求a 的值；(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都为正数，为什么？分析：21x x 、是方程组中x 的两个解，故应首先消去y ，得到关于x 的方程．再根据根的判别式及根与系数的关系可得解．解：(1)由②得y ＝x ＋1，代入①整理，得01a x x 2=++-．∵方程有两个不相等的实数根，∴0)1a (4)1(2>+--=∆， 43a -<．又∵1a x x 1x x 2121+=⋅=+，，代入11a 6a 8x x 3x x 2212221--=-+，得11a 6a 8x x 5)x x (221221--=-+．整理，得07a a 82=--．解得87a 1a 21-==，．而43a -<，∴87a -=．(2)∵0811a x x 01x x 2121>=+=⋅>=+，， ∴0x 0x 21>>，．且01x y 01x y 2211>+=>+=，，∴存在方程组的两个解都是正数．注意：数学的转化思想，本题就是将方程组的问题转化为一元二次方程的问题．例16 (2003·深圳)已知一元二次方程06x 3x 22=--有两个实数根21x x 、，直线l 经过点A(21x x +，0)，B(0，21x x )，则直线l 的解析式为( )A ．y ＝2x －3B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －3分析：本题重点考查一元二次方程根与系数的关系以及用待定系数法求直线的解析式，先求21x x +与21x x ⋅的值，再求直线解析式．解：∵3x x 23x x 2121-=⋅=+，， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛0 23A ，，B(0，－3)．将A 、B 代入y ＝kx ＋b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=b 03b k 230，∴⎩⎨⎧-==3b 2k ．∴直线l 的解析式为y ＝2x －3．故选A ．【常见错误分析】例17 已知关于x 的方程0m x )1m 2(mx 2=++-有两个实数根，则m 的取值范围是__________．错解：要使方程有两个实数根△≥0，∴0m m 4)]1m 2([2≥⋅-+-， 4m ＋1≥0，41m -≥．∴m 的取值范围是41m -≥．误区分析：要保证方程为一元二次方程，即要考虑二次项系数m ≠0，而上述解法只考虑△≥0，而忽视了m ≠0．正解：要使方程有两个实数根，需满足⎩⎨⎧≥∆≠00m ，∴0m m 4)]1m 2([2≥⋅-+-=∆，4m ＋1≥0， 41m -≥．∴m 的取值范围是41m -≥，且m ≠0．例18 如果方程0q px x 2=+-的两个根和2和－3，求p ，q ．错解：根据根与系数的关系2＋(－3)＝－p ，2×(－3)＝q ，故p ＝1，q ＝－6．误区分析：若方程0c bx x 2=++的两根为21x x ，，根据根与系数的关系b x x 21-=+，而题中2＋(－3)应为－(－p)，因题中的b 为－p ，－b 就为－(－p)．错解原因是将两根之和等于b 了．正解：根据根与系数的关系2＋(－3)＝－(－p)，2×(－3)＝q ，∴p ＝－1，q ＝－6．【学习方法指导】本节知识是初中数学的重要内容，也是以后进一步学习和研究函数及四边形、圆的基础，要熟练掌握好．要重视一元二次方程四种解法的探索过程．其中的配方法虽然在解方程中很少直接用，但配方、比较、转化等思想方法，及其所渗透的思维多向性都有助于我们思维能力的培养，不能因为解方程很少用而忽视它．【规律总结】1．一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式，也可以用此法解．(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．(3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即2)3x (2=+，从而得解．注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根．△<0⇔方程没有实数根．判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=⋅-=+，．当a ＝1时，c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；(4)已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题．步骤：①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系，并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．【同步达纲练习】一、填空题1．方程3)5x (2=+的解是_____________．2．已知方程02x 7ax 2=-+的一个根是－2，那么a 的值是_____________，方程的另一根是_____________．3．如果5x 2x 41x 222--+与互为相反数，则x 的值为_____________．4．已知5和2分别是方程0n mx x 2=++的两个根，则mn 的值是_____________．5．方程02x 3x 42=+-的根的判别式△＝_____________，它的根的情况是_____________．6．已知方程01mx x 22=++的判别式的值是16，则m ＝_____________． 7．方程01k x )6k (x 92=+++-有两个相等的实数根，则k ＝_____________．8．如果关于x 的方程0c x 5x 2=++没有实数根，则c 的取值范围是_____________．9．长方形的长比宽多2cm ，面积为2cm 48，则它的周长是_____________．10．某小商店今年一月营业额为5000元，三月份上升到7200元，平均每月增长的百分率为_____________．二、选择题11．方程0x x 2=+的解是( )A ．x ＝±1B ．x ＝0C ．1x 0x 21-==，D ．x ＝1 12．关于x 的一元二次方程01x 6kx 2=+-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k>9B ．k<9C ．k ≤9，且k ≠0D ．k<9，且k ≠013．把方程084x 8x 2=--化成n )m x (2=+的形式得( )A ．100)4x (2=-B ．100)16x (2=-C ．84)4x (2=-D ．84)16x (2=-14．用下列哪种方法解方程4x 2)2x (32-=-比较简便( )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法15．已知方程(x ＋y)(1－x －y)＋6＝0，那么x ＋y 的值是( )A ．2B ．3C ．－2或3D ．－3或216．下列关于x 的方程中，没有实数根的是( )A ．02x 4x 32=-+B ．x 65x 22=+C ．02x 62x 32=+-D ．01mx x 22=-+17．已知方程0q px x 22=++的两根之和为4，两根之积为－3，则p 和q 的值为( )A ．p ＝8，q ＝－6B ．p ＝－4，q ＝－3C ．p ＝－3，q ＝4D ．p ＝－8，q ＝－618．若53+-是方程04kx x 2=++的一个根，则另一根和k 的值为( )A ．53x --=，k ＝－6B ．53x --=，k ＝6C ．53x +=，k ＝－6D ．53x -=，k ＝619．两根均为负数的一元二次方程是( )A ．05x 12x 72=+-B ．05x 13x 62=--C ．05x 21x 42=++D ．08x 15x 22=-+20．以3和－2为根的一元二次方程是( )A ．06x x 2=-+B ．06x x 2=++C ．06x x 2=--D ． 06x x 2=+-三、解答题21．用适当的方法解关于x 的方程(1)12)1x 2(4)1x 2(2=---；(2)6)1x ()3x 2(22=--+；(3)x 4)3x )(3x (=+-；(4)027)1x 4(2=--．22．已知7x y 3x 2x y 221+=--=，，当x 为何值时，0y y 221=+？23．已知方程0b ax x 2=++的一个解是2，余下的解是正数，而且也是方程52x 3)4x (2+=+的解，求a 和b 的值．24．试说明不论k 为任何实数，关于x 的方程3k )3x )(1x (2-=+-一定有两个不相等实数根．25．若方程01x )3m 2(x m 22=+--的两个实数根的倒数和是S ，求S 的取值范围．26．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边长为5，两直角边的长分别是关于x 的方程0)1m (4x )1m 2(x 2=-+--的两个根，求m 的值．27．某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．28．若关于x 的方程0m 3x )5m (x 22=---的两个根21x x 、满足43x x 21=，求m 的值．参考答案【同步达纲练习】一、1．35x 35x 21--=+-=，2．4，413．1或32- 4．－705．－23，无实数根6．62m ±=7．0或248．425c >9．28cm10．20%二、11．C 12．D 13．A 14．D 15．C 16．B 17．D 18．B 19．C20．C三、21．(1)用因式分解法21x 27x 21-==，； (2)先整理后用公式法3437x 3437x 21--=+-=，；(3)先整理后用公式法72x 72x 21-=+=，；(4)用直接开平方法4133x 4133x 21+-=+=，．22．x ＝1或21．23．a ＝－6，b ＝8．24．解：3k )3x )(1x (2-=+-，整理得0k x 2x 22=-+． ∵0k 44k 42222>+=+=∆，∴不论k 为任何实数，方程一定有两个不相等实数根．25．23S -≤，且S ≠－3． 26．m ＝4．27．解：设增长的百分率为x ，则6129)x 1%)(101(1002.=+-⨯． 22x 20x 21.，.-==(不合题意舍去)．∴增长的百分率为20%．28．解：提示：解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=⋅-=+43x x m3x x 5m x x 2122121，解得m ＝10，或310m =．。

九年级数学上册22.2.1第1课时用直接开平方法解一元二次方程教学课件新版华东师大版

数学
新课标（HS）九年级上册
22.2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
新知梳理
► 知识点一直接开平方法利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
2(3x－1)＝±3(3x＋1)，
即2(3x－1)＝3(3x＋1)，①
或2(3x－1)＝－3(3x＋1)，②
由①，得x＝－53，由②，得x＝－115.
∴x1＝－53，x2＝－115.
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
[归纳总结] (1)主要步骤：将方程化为x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）
[解析] 此类题用直接开平方法解较为简单，把它化为x2 ＝a的形式即可．
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
解：(1)x2－2＝0，x2＝2，x＝± 2，∴x1＝ 2，x2＝－ 2. (2)16x2－25＝0，16x2＝25，x2＝2156，x＝±54， ∴x1＝54，x2＝－54. [归纳总结] (1)直接开平方法的理论依据是平方根的定义，直接开平方法适用解形如x2＝a形式的方程，如果a≥0，就可以利用直接开平方法来解． (2)用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有2个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
探究问题二变形后用直接开平方法解一元二次方程例2 [教材例题拓展] 解方程：(1)12(2－x)2－9＝0； (2)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
[解析] 若x2＝a(a≥0)，则x＝± a ，因此本题要先将原方程化为(x＋b)2＝a(a≥0)的形式，再直接开平方即可．

华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程直接开平方法和因式分解法》教学案例_2

华东师大版九年级数学上册《22章一元二次方程直接开平方法和因式分解法》教学案例_2直接开平方法和因式分解法（1）教学设计【教学分析】一元二次方程的解法是本章的重点，也是后面学习应用题的基础。

一元二次方程是初中“方程与不等式”部分中的核心内容，而解方程则是一种重要的教学技能。

不论实际问题，还是纯粹的数学问题，不管是代数方面的问题，还是几何图形的问题，只要是求未知量，很多情况下都需要解一元二次方程。

本节主要介绍两种方法之一：直接开平方法和因式分解法。

运用了平方根的定义、因式分解、乘法公式等综合知识。

我根据2014新华师大版九年级数学上册22.2.1的内容设计了如下课例。

【教学目标】知识与技能：会用直接开平方法解形如a (x -k )2=b (a ≠0，ab ≥0)的方程，过程与方法：学生体会“降次”和“转化”的数学思想，并能运用该思想解决问题。

情感态度与价值观：启发学生学会观察、分析，寻找解题途径，提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学重点：熟练的掌握用直接开平方法解一元二次方程。

教学难点：能使用转化的思想方法将问题进行化归。

【教学过程】情境引入?同学们请看屏幕上，屏幕上展出的是一个面积为16a 2的正方形，假设它的边长为x ，同学们是否能列出方程呢？观察一下，这个方程是什么方程？你会解出x 是多少吗？答案：x 2= 16a 2 ；x =4a 【设计意图：利用简单的问题让学生列出方程、识别方程，从而引出直接开平方法解方程，体会数学为我所用。

】同学们回忆一下刚才的过程，我们是以一个一元二次方程为研究对象，最终求出它的解（根）。

这个过程实际上就是在解方程。

因此，本节课我们将要学习的内容就是一元二次方程的解法。

新知探究?首先请同学们看两个例子。

引例：解下列方程⑴162=x ⑵092=-x接下来请同学们自学教材P20—P22的内容，然后尝试解出（1）（2）两个方程。

【设计意图：先不给学生讲具体的方法，让学生先自学，学懂后应用所学的知识解决问题，培养学生的自学能力和创新能力。

九上数学(华东师大)课件-用直接开平方法和因式分解法解简单的一元二次方程

( B) A．1
B．－1
C．1 或－1
D．12
8．如果分式x2＋x23－x－4 10的值为 0，则 x 的值为( A )
A．－2
B．2
C．±2
D．不等于－2
9．小华在解一元二次方程 x2－4x＝0 时，只得出一个根是 x＝4，则被他漏
掉的一个根是 x＝0 .
10．方程(x－2)2＝5 的正根是 2＋ 5 ；方程(x＋ 2－3)2＝2 的有理根是 3 .
能力点：会利用两种方法的特征选择适当的方法解方程
若一元二次方程能化成 x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，就可用直接开平方法求解．若一元二次方程能化成 a·b＝0 的形式，可用因式
分解法求解．
3．若关于 x 的一元二次方程 mx2＝－n(n≠0)有实数解，则必须具备的条件
是( B ) A．m、n 同号
【方法归纳】因式分解的理论依据是：若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0.因此，必须将方程化成“ab＝0”的形式.
知识点一：用直接开平方法解方程利用开方的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法．
1．方程 x2＝6 的根是( B )
A．6
B．± 6
C. 6
D．－ 6
知识点二：用因式分解法解方程利用因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0 ，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 2．解一元二次方程 x2－9＝0，用因式分解法首先要化为 (x＋3)(x－3)＝0 ，再变为 x＋3＝0或x－3＝0 ，进而得 x1＝－3 ， x2＝ 3 .
6．用直接开平方法解方程(x－3)2＝8，解得方程的解是( D )

一元二次方程解法举例华师大版

我独自午眠，故意拿她的枕头睡，也会尊重地将头摆在月晕上，希望睡出一枚月亮，但，总被她洗了。 “阿敏嫃哪，要‘梳头鬃’就来啦！”阿嬷说。
? 我将粥碗搁在窗台上，站在床头边。每晨都是她帮我梳两条辫子，年年未变。偶尔她心思较闲，就在头顶心总
收束，再分编盛两条或三条小辫子，那要看橡皮筋够不够。 “噫，你的毛夹怎么减一枝？” “住三堵的一个查某囡仔给我抢去！” “你不会给她抢回来？” “伊比我还大，伊读五年级呢，我给她打死要按怎？” “你不会去跟老师讲？” “不敢，伊也会给
“唉，你亲像古早人呷鸦片烟，呷到消瘦落肉，还是无法度改。” “有啥要紧。” “人的查某囡仔，桠皮桠皮，你瘦得像一粒石头仔，你不听我的嘴，你一个月不饮咖啡，跟我讲不桠皮我不信！” “桠去壁咧！”我压根不听信她的劝。
? 阿嬷坐在我的床
上，东看看西看看。墙壁上吊着许多玩意：竹编鱼篓、竹节匙、椰壳水壶、蔺草袋、麦梗扇、海石礁......干死的香浦、白矛及玫瑰。她十分好奇，总要问：“这是啥？这多少钱？啊－－夭寿，这一枝要一百块，你舍得买？像割肉你舍得买？买买这些要做啥？‘呷不下腹，放不下坑’，
1 3
因式分解法
(3)9(2x 3)2 4(2x 5)2 0 解：[3(2x 3)]2 [2(2x 5)]2 0
[3(2x 3) 2(2x 5)][3(2x 3) 2(2x 5)] 0 (10x 1)(2x 19) 0
10x 1 0或2x 19 0
(2)t 2 2t 2
解：t 2 2t 2 0
公式法
a 1, b 2, c 2
12 b2 4ac (2)2 41 (2)
x b b2 4ac (2) 12

22.2.1.1 用直接开平方法解一元二次方程华师大版数学九年级上册教案

22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法第1课时用直接开平方法解一元二次方程※教学目标※【知识与技能】理解并掌握直接开平方法，并能灵活运用直接开平方法解一元二次方程.【过程与方法】经历直接开平方法的探究过程，使学生能探究并归纳出直接开平方法.【情感态度】学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强与他人的交流能力.【教学重点】理解并掌握直接开平方法，并能灵活运用直接开平方法解一元二次方程.【教学难点】直接开平方法的适当选用.※教学过程※一、情境导入为了丰富学生的学习生活，某校决定举办一次学生才艺大比拼活动.现决定在操场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个舞台的各边边长将会是多少米呢？（组织学生进行自主探究和交流活动）.二、探索新知1.你能想到什么方法来解方程=144？对于=144意味着x是144的平方根.所以x=±，即x=±12.这里得到了方程的两个根，通常也表示成：=12,=-12.结合实际问题这里应将=-12舍去.所以这个舞台的各边边长应是12米.2.直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.一般地，对于形如=n(n≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得=,=-.【例1】用直接开平方法解下列方程：解：（1）移项，得=2.直接开平方，得所以原方程的解是(2)由直接开平方，得所以原方程的解是(3)移项，得直接开平方，得所以原方程的解是三、巩固练习解下列方程：答案：四、应用拓展【例2】用直接开平方法解下列方程：分析：（1）中把(2x-1)看作一个整体；（2）中把（2y-5）、（3y-1）均看作一个整体.解：（1）整理，得直接开平方，得即所以原方程式解是(2)直接开平方，得所以解这两个方程，得原方程的解为五、归纳小结1.形如的形式的方程，可以利用直接开平方法解.2.利用直接开平方法的注意事项：（1）必须把方程化成等号左边是一个含未知数的一次多项式的平方，右边是一个非负数的形式才能解.（2）一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.※课后作业※教材第25页练习（1）、（2）、（3）、（4）题.。