江苏省盐城中学2018届高三数学上学期第一次阶段性考试试题理

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江苏省盐城市2018届高三上学期期中考试数学试卷及答案

盐城市2021届高三年级第一学期期中考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分.请把答案填写在答题卡相应地点上.1．函数y2sin x的最小正周期是▲．22．设向量a(2,6)，b(1,m)，假定a//b，那么实数m▲．3．命题p:xR,x022x010是▲命题〔选填“真〞或“假〞〕．4．会合A 1,2,3,4，By|y3x2,x A，那么A B=▲．5．函数fxax13〔a0且a1〕的图象所经过的定点为▲．6．在等比数列n中，12，32，那么910▲．a aa1a a a7．假定函数f(x)1x3x2ax3a在区间[1,2]上单一递加，那么实数的取值3范围是▲．8．sin2，为钝角，那么cos▲．且9．在ABC中，sinA:sinB:sinC3:5:7，那么此三角形的最大内角的大小为▲．10．f为奇函数，当x 0时，f xex x2，那么曲线yfx在x1处的切线斜率为▲．11．假定函数f(x)1a,在区间(,a)上单一递减，在(a,)上单x|x1|,x a调递加，那么实数的取值范围是▲．12．在数列a n中，a12101，且当2100时，a n2a102n32n恒成立，那么数列a n的前100项和S100▲．13．在ABC中，AC4，C，B(,)，点D在边BC上，且442AD BD3，那么ABAD=▲．14.设函数fxkx2kxlnx,1,，gxa1x2ax,0x1,，假定使得不等x式f x gx 对全部正实数恒成立的实数存在且独一，那么实数的值为▲．二、解答题：本大题共6小题，合计90分.请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14分〕设p：实数知足x24ax3a 0，此中a0；：实数知足x32.2〔1〕假定a1，且p q为真，务实数的取值范围；〔2〕假定p是的必需不充足条件，务实数的取值范围.16．〔本小题总分值14分〕设函数f(x)Asin(x)〔A,,为常数，且A0,0,0〕的部分图象以下列图.〔1〕求A,,的值；〔2〕设为锐角，且f()33，求f()的值.56y712O O x 63第16题图17．〔本小题总分值14分〕如图，在四边形ABCD中，AC4，BABC12，E为AC的中点.〔1〕假定cosABC12，求ABC的面积S ABC；13〔2〕假定BE2ED，求DADC的值.BEA C18．〔本小题总分值16分〕以下列图，有一块矩形空地ABCD，AB km，BC=km，依据周边环境及地形实质，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的极点A,E,F,G为商业区的四个进口，此中进口F在边BC上〔不包括极点〕，进口E,G分别在边AB,AD上，且知足点A,F 恰巧对于直线EG对称，矩形内筝形外的地区均为绿化区 .1〕请确立进口F的选址范围；2〕设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒坦度指数为S2，那么进口F怎样选址可使得该商业区的环境S1D C舒坦度指数最大？FA E B第18题图19．〔本小题总分值16分〕设函数 f x lnx axa R.1〕假定直线y3x1是函数fx图象的一条切线，务实数的值；2〕假定函数fx在1,e2上的最大值为1ae〔为自然对数的底数〕，务实数的值；〔3〕假定对于的方程ln2x2x3tx2xtlnxt有且仅有独一的实数根，务实数的取值范围.20．〔本小题总分值16分〕假定数列a n中的项都知足a2n1a2n a2n1〔n N*〕，那么称a n为“阶梯数列〞.〔1〕设数列b n是“阶梯数列〞，且b11，b2n19b2n1〔nN*求b2021；〔2〕设数列c n是“阶梯数列〞，其前项和为S n，求证：S n〕，中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；〔3〕设数列d n是“阶梯数列〞，且d11，d2n1d2n12〔nN*〕，记数列1的前项和为T n.问能否存在实数，使得dndn2tT n t 10对随意的nN恒成立？假定存在，恳求出实数T n的取值范围；假定不存在，请说明原因.盐城市2021届高三年级第一学期期中考试数学参照答案一、填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分.1．2 2.3 3.真 4.1,4 5. 1,4 6.167.a38.19.12010.1211.[1,0]12.4 3e13.614.2二、解答：本大共6小，共90分.15．解：〔1〕由x24ax3a20，得(x3a)(xa)0,又a0,因此ax3a,当a1,1<x 3,即p真数的取范是1x 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分真x3等价于(x2)(x3)0，得x22x3,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分即真数的取范是2x3 .假定pq真，数的取范是1x.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分〔2〕p是的必需不充足条件，等价于p且p,BA;{x|ax3a},B{x|2x3},⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分0a 2,3a，因此数的取范是3,a23不一样与3a时取等号1a 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分16．解：〔1〕由像，得A3,⋯⋯⋯⋯2分最小正周期47，T123622，⋯⋯⋯⋯⋯4分Tf (x)3sin(2x)，由f73，得272k，k Z，1212252k，kZ，.⋯⋯⋯⋯⋯7分333，〔2〕由f()3s in(2)3，得sin(2 3355(0,)，24，又sin(2) ，因此24 3 , ,3 3333cos (2) 1sin 2(2) 433 5⋯⋯⋯⋯⋯10分，，，f (6 )3sin23s in (23)33s in(2 )c os co s(23)sin 33333 1431233525210⋯⋯⋯⋯⋯ 14分17．解：〔1〕c os A BC12，A BC 0,，B yBCBC3,⋯⋯⋯⋯⋯分第17题图S ABC1BABCsinABC11355.⋯⋯⋯⋯⋯7分221322〕以E原点，AC所在直，成立如所示平面直角坐系，A(－2,0)，C(2,0)，D x,y，由BE 2ED，可得B(2x, 2y)，BABC 12 (2x 2,2y)(2x 2,2y) 4x2 4 4y2,x2y24,.x4⋯⋯⋯⋯⋯11分∴DADC 2 x, y 2 x, y x2y2 4 0.⋯14分18．解：〔1〕以A原点，AB所在直，成立如所示平面直角坐系，A0,0，F2,2a〔0 2a 4〕，AF的中点1,a，斜率，而EG AF，故EG的斜率1a1 EG的方程y a x1，1；a令x0，得y Ga令y0，得x E1a2；y G423a2由0x E2BF，得0a10<BF<40a22 3 a 1，y ，D CG2分4分3 F，A EB x即进口F的址需足BF的度范是[423,2]〔位：km〕.⋯⋯⋯⋯⋯6分〔2〕因S12SAEG AEAG a1a2a32a1，a a故商区的境舒坦度指数S S ABCD S1S AB1，⋯⋯⋯⋯⋯9分2CD8S1S 1S1S 1因此要使S 2最大，只要S 1 最小.S1S1faa 32a1,a[23,1],⋯⋯a10分423a 1a213a13a1a1fa3a 2213a2a1a2a2，a2a2令 f a 0 ，得3或a333〔舍〕，⋯⋯⋯⋯⋯12分a,f a,f a的状况以下表：2323331 3,3,133a0a减极增小故当a3，即进口F足BF23km，商区的境舒坦3度指数最大.⋯⋯16分19．解：〔1〕f x axlnx，fx1a,x切点横坐x0，13,⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分x0ax0lnx03x01,消去，得lnx00，故x01，得a2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分〔2〕f211xa,1xe,e2x1,①当去;②当去;③当a2，f x在1,e2上恒成立，fx在1,e2上增，fmax xfe22ae21ae，得11,舍e2e2⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分a1，f x0在1,e2上恒成立，fx在1,e2上减，f max xf1a1ae，得11,舍e⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分x01x2e2a1，由1xe2，得1x a；由1xe2，得xe，故f x在1,1上增，在1,e2上减，a a那么f max x1lnaae，得fae2lna 0,8分设ga1,那么ga11 ae2lna,ae2,1ea,a e2,1当当a1时，ga1,ga单一递减，2,e0e aa1时gae1,ga单一递加，1e a故g min a g 10,ae 2 lna 0的解为a 1.e e综上①②③，a 1.e10分〔3〕方程ln2x2x3tx2tln xt可化为ln 2x2x3t12x2x3tlnxt1xt，12令hxlnx，故原方程可化为x2h2x2x3th t，12分由〔2〕可知h x在0,上单一递加，故2x2x3t xt有且仅有xt0独一实数根，即方程x2xt0〔※〕在t,上有且仅有独一实数根，13分①当4t0，即t时，方程〔※〕的实数根为x11，24知足题意；②当0，即t1时，方程〔※〕有两个不等实数根，记为x1,x2, 4不如设x1t,x2t,Ⅰ〕假定x1t,x2t,代入方程〔※〕得t22t0，得t或t2，当t0时方程〔※〕的两根为0,1，切合题意；当t2时方程〔※〕的两根为2,1，不合题意，舍去；Ⅱ〕假定x1t,x2t,设xx2xt，那么t0，得0t2；综合①②，实数的取值范围为0t2或1.16分420．解：〔1〕b2n19b2n1，b11，b2n1是以b11为首项为公比的等比数列，b 2n1b19n12n2，b202132021，∵数列n是“阶梯数列〞，∴b2021=b2021=32021.3分〔2〕由数列c n是“阶梯数列〞得c2n1c2n，故S2n1S2n2S2nS2n1,∴S n中存在连续三项S2n2,S2n1,S2n n2成等差数列；5分〔注：给出详细三项也可〕假定S n中存在连续四项S k,S k1,S k2,S k3,成等差数列，那么S k1kSk2Sk1Sk3S k2，即c k1ck2ck3，当k2m1,m N*时,c2mc2m1c2m2，①当k2m,mN*时,c2m12m2c2m3，②由数列c n是“阶梯数列〞得c2m c2m1c2m2c2m3，③①②与③都矛盾，故假定不可立，即S n中不存在连续四项成等差数列.8分〔3〕∵d2n12n12,d11,2n1是以d11为首项为公差的等差数列，d2n11n122n1，又数列d n是“阶梯数列〞，故d2 n1d2n2n1，1111, d2k d2k2d2k1d2k12k12k122k12k110分①当n2kk N *时,T nT2k11 111 1d 1d 3 d2d 4d3d 5d 4d 6d2k1d2k1d2kd2k2111d1d 3d 3d 5d2k1d2k1211111111 2,1,1 3,1,213352k12k1 2k13T n2又tTn t10恒成立，1Tn恒成立,TnTn1t2.13分3②当n2k1kN *时,T nT 2k1 T 2k1T2k111d2kd2k2 d2k1d 2k1T2k22k12k121,1,1 3, ,4k24k3Tn又tTt1恒成立， 1T恒成立,n nT nT n1 t1.15分3综上①②,存在知足条件的实数，其取值范围是1,1.16分32k,n2k,k N,n n,为正偶数，注：T n2k1也可写成T n14k2k1,n2k1,kN,n1,2k12k1n为正奇数.n2欢送精选文档激烈介绍精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介强力介值得拥有绍绍精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有。

江苏省盐城市高三数学上学期期中试题

盐城市2018届高三年级第一学期期中考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{}1,3,6A =，{}1,2B =，则A B U = ▲ ． 2．函数2sin y x =的最小正周期为 ▲ ．3．若幂函数y x α=的图象经过点，则α的值为 ▲ ．4．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2a =，b =3B π=，则A = ▲ ．5．若命题“x R ∃∈，210x ax -+<”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6．在等差数列}{n a 中，若2523a a +=，则数列}{n a 的前6项的和6S = ▲ ． 7．若向量(2,3)a =r ，(3,3)b =r ，(7,8)c =r ，且(,)c x a y b x y R =+∈r r r，则x y += ▲ ．8．若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．9．若菱形ABCD 的对角线AC 的长为4，则AB AC ⋅=uu u r uuu r▲ ．10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ，ω，ϕ为常数，且0>A ，0>ω，22πϕπ<<-）的部分图象如图所示，若56)(=αf （20πα<<），则()6f πα+的值为 ▲ ．11．函数()f x 是以4为周期的奇函数，当[1,0)x ∈-时，()2x f x =，则2(log 20)f = ▲ ．12．设函数9()||()f x x a a R x=-+∈，若当(0,)x ∈+∞时，不等式()4f x …恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ．13．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知74,3==a A π，角A 的平分线交边BC 于点D ，其中33=AD ，则ABC S ∆= ▲ ．14．设数列{}n a 共有4项，满足12340a a a a >>>…，若对任意的,(14i j i j 剟?，且*,i j N ∈），j i a a -仍是数列{}n a 中的某一项. 现有下列命题：①数列{}n a 一定是等差数列；②存在14i j <剟，使得j i ja ia =；③数列{}n a 中一定存在一项为0. 其中，真命题的序号有 ▲ ．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3a =，7cos 9B =，且7BA BC ⋅=uu r uu u r . （1）求b 的值；（2）求sin()A B -的值．16．（本小题满分14分）记函数2()lg(1)f x ax =-的定义域、值域分别为集合,A B .（1）当1a =时，求A B I ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分14分）设直线6x π=-是函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合；（2）求函数()f x 在[0,]π上的单调减区间.18．（本小题满分16分）2016年射阳县洋马镇政府投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目. 规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目. 2016年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍. 记2016年为第1年，()f n 为第1年至此后第*()n n N ∈年的累计利润（注：含第n 年，累计利润 = 累计净收入－累计投入，单位：千万元），且当()f n 为正值时，认为该项目赢利.（1）试求()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. （参考数据：43()52≈，ln 20.7≈，ln3 1.1≈）19. （本小题满分16分）已知数列}{n a 满足11a =-，21a =，且*22(1)()2n n n a a n N ++-=∈.（1）求65a a +的值；（2）设n S 为数列}{n a 的前n 项的和，求n S ；（3）设n n n a a b 212+=-，是否存正整数,,()i j k i j k <<，使得k j i b b b ,,成等差数列？若存在，求出所有满足条件的k j i ,,；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）设函数()ln ()f x m x m R =∈，()cos g x x =.（1）若函数1()()h x f x x=+在(1,)+∞上单调递增，求m 的取值范围；（2）设函数()()()x f x g x ϕ=+，若对任意的3(,)2x ππ∈，都有()0x ϕ…，求m 的取值范围；（3）设0m >，点00(,)P x y 是函数()f x 与()g x 图象的一个交点，且函数()f x 与()g x 的图象在点P 处的切线互相垂直，求证：存在唯一的0x 满足题意，且0(1,)2x π∈.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.{}1,2,3,62.π3.12 4.2π5.(,2)(2,)-∞-+∞U6.27.838.15(,6)2-- 9. 8 10.45+ 11.45- 12. (,2]-∞ 13.14.①②③二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．解：（1）由7B AB C ⋅=uu r uu u r ，得c o s 7a c B =，即7379c ⨯=，解得3c =. ………………3分在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 3323349b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以2b =. ………………6分（2）因为7cos 9B =，所以B为锐角，故sin 9B =. ………………8分又由余弦定理，得2222222331cos 22233b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以A 为锐角，且sin 3A =. ………………11分所以s i A B -=.………………14分16．解：（1）当1a =时，2()lg(1)f x x =-，由210x ->，得(1,1)A =-. ……………2分又2011x <-…，所以(,0]B =-∞. ……………4分故(1,0]A B =-I . ……………6分（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件⇔B A Ü. ……………8分 ①当0a =时，A R=，{}0B =，适合题意； ……………9分②当0a <时，A R=，[0,)B =+∞，适合题意； ……………11分③当0a >时，(A =，(,0]B =-∞，不适合题意. ……………13分综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞. ……………14分17．解：（1）因为直线6x π=-是函数()f x 的图象的对称轴，所以()()66f x f x ππ-+=--对x R ∈恒成立. ……………2分所以sin()cos()sin()cos()6666x a x x a x ππππ-++-+=--+--对x R ∈恒成立，即(0a x +=对x R∈恒成立，所以a =. ……………6分从而()3f x π=-. ……………8分故当232x k πππ-=+，即52()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值为2. ……………10分（说明：其它方法的，类似给分）（2）由322232k x k πππππ+-+剟，解得()f x 的递减区间为511[2,2]()66k k k Z ππππ++∈. …12分从而()f x 在[0,]π上的减区间为5[,]6ππ.（注：区间的形式不唯一） ……………14分18．解：（1）由题意知，第1年至此后第*()n n N ∈年的累计投入为82(1)26n n +-=+（千万元）， ……………3分第1年至此后第*()n n N ∈年的累计净收入为1211131313()()()2222222n -+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯13(()1)322()13212nn -==--（千万元）. ………7分所以33()()1(26)()2722n n f n n n =--+=--（千万元）. ……………8分（2）方法一：因为133(1)()[()2(1)7][()27]22n n f n f n n n ++-=-+----13[()4]22n =-，所以当3n …时，(1)()0f n f n +-<，故当4n …时，()f n 递减；当4n …时，(1)(f n f n +->，故当4n …时，()f n 递增. ……………12分又15(1)02f =-<，732733(7)()215210288f =-≈⨯-=-<， 83(8)()232523202f =-≈-=>.所以，该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分答：该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分方法二：设3()()27(1)2xf x x x =--…，则33()()ln222x f x '=-，令()0f x '=，得3222()532ln 3ln 2 1.10.7ln 2x==≈=--，所以4x ≈. 从而当[1,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减；当(4,)x ∈+∞时，()f x '>，()f x 递增. ……………12分又15(1)02f =-<，7333(7)()21028f =-≈-<， 83(8)()232523202f =-≈-=>.所以，该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分答：该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分 19．解：（1）由题意，当n 为奇数时，n n a a 212=+；当n 为偶数时，n n a a 232=+. …………2分又11a =-，21a =，所以49,23;41,216453==-=-=a a a a ，即265=+a a . …………4分（2）①当2n k =时，21321242()()n k k k S S a a a a a a -==++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+131(1())1(1())22131122k k -⋅-⋅-=+--312[()()]422k k =+-22312[()()]422n n =+-. ……………6分②当21n k =-时，22n k k S S a =-13132[()()]4()222k k k -=+--11312()()422k k --=⨯+-1122312()()422n n --=⨯+-. ……………8分所以，*2211*22312()2()4,,,22312()()4,,22n nn n n n n N S n n N --⎧⨯+⨯-∈⎪⎪=⎨⎪⨯+-∈⎪⎩为偶数为奇数 ……………9分（3）由（1），得1121231022n n n n n b a a ---⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…（仅10b =且{}n b 递增）. ……………10分因为k j >>，且,k j Z ∈，所以1k j +….①当2k j +…时，2k j b b +…，若k j i b b b ,,成等差数列，则 1111231312222222j j j j i j k j j b b b b b --+++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…11137104242j j --⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此与0n b …矛盾.故此时不存在这样的等差数列. ……………12分②当1k j =+时，1k j b b +=，若k j i b b b ,,成等差数列，则11131312222222j j j j i j k j j b b b b b --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=---⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111331()()2222j j --=⨯-⨯，又因为i j <，且,i j Z ∈，所以1i j -….若2i j -…，则2i j b b -刡，得1133133131()()()()222222j j j j ----⨯-⨯-…，得3331()5()022j j --+⨯?，矛盾，所以1i j =-=.从而112j j j b b b -+=+，得11223131312222222j j j j j j ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得231j -=，解得2j ==. ……………15分从而，满足条件的k j i ,,只有唯一一组解，即1i =，2j =，3k =. ……………16分20．解：（1）由题意，知1()ln h x m x x =+，所以21()m h x x x'=-. 由题意，21()0m h x x x '=-…，即1m x…对(1,)x ∈+∞恒成立. ……………2分又当(1x ∈+∞时，11x<，所以1m …. ……………4分（2）因为()()()ln cos x f x g x m x x ϕ=+=+，所以()sin mx x xϕ'=-. ①当0m …时，因为3(,)2x ππ∈，所以ln 0x >，cos 0x <，故()0x ϕ<，不合题意.…6分②当0m >时，因为3(,)2x ππ∈，所以()0x ϕ'>，故()x ϕ在3(,)2ππ上单调递增. ……8分欲()0x ϕ…对任意的3(,)2x ππ∈都成立，则需()0ϕπ…，所以ln cos 0m ππ+…，解得1ln m π…. 综上所述，m的取值范围是1[,)ln π+∞. ……………10分（3）证明：因为()mf x x '=，()sing x x '=-，且函数()f x 与()g x 在点00(,)P x y 处的切线互相垂直，所以00(sin )1mx x ⋅-=-，即00sin m x x = （*）.又点00(,)P x y 是函数()f x 与()g x 的一个交点，所以00ln cos m x x = （**）.由（*）（**）消去m ，得000l n s i n c o s 0x x x x -=. ……………12分 ①当0(0,1]x ∈时，因为0m >，所以0ln 0m x …，且0cos 0x >，此与（**）式矛盾. 所以在(0,1]上没有x 适合题意. ……………13分②当0(1,)x ∈+∞时，设()ln sin cos r x x x x x =-，(1,)x ∈+∞. 则()ln 1cos 20r x x x '=+->，即函数()r x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()r x 在(1,)+∞上至多有一个零点. 因为(1)r =-=-，()ln sin cos ln 02222222r πππππππ=-=>，且()r x 的图象在(1,)+∞上不间断，所以函数()r x 在(1,)2π有唯一零点.即只有唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0000ln sin cos 0x x x x -=成立，且0(1,)2x π∈.综上所述，存在唯一的0(0,)x ∈+∞，且0(1,)2x π∈. ……………16分。

江苏南京市盐城市2018届高三数学第一次模拟考试卷

江苏南京市盐城市2018届高三数学第一次模拟考试卷(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为▲．7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是▲．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为▲．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是▲．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为▲．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为▲．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c b =.（1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅ ，求cos()4B π+的值17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？AB第13题ABCA 1B 1C 1MN第15题图ADCB EG FOM N H第17题-图甲NE FGH第17题-图乙M N18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点3(3,)2处时，点Q 的坐标为23(,0)3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅- m 对任意的*n N ∈都成立，求m m的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.xy O BN MPQ D第18题图数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D .若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．ABE DF O ·第21(A)图MABCDOP 第22题图23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．。

18届江苏南京盐城高三第一次模拟考试数学试题及答案

南京市、盐城市2018届高三第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为▲．7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是▲．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为▲．时间(单位:分钟)频率组距50607080901000.035a 0.0200.0100.005第3题图Read xIf 0x >Thenln y x←Elsexy e ←End If Print y第4题图9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是▲．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为▲．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m=-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为▲．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =.（1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅ ，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个AB第13题图ACA 1B 1C 1MN第15题图底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点)2处时，点Q的坐标为(,0)3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.xy O BN M PQ D第18题图ADCB EG FOM N H第17题-图甲NEFG第17题-图乙（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅- m 对任意的*n N ∈都成立，求m m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D .若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）ABEDF O ·第21(A)图如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.MABCDOP第22题图1．{}12．13．12004．15．236．67．(,2]-∞8．34π9．1(0,]410．403411．9[1,)412．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ．……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ．…………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥．……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M = ，所以1AB ⊥平面1A MC ．……………12分又1A C ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥．……………14分16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin sin 2C B=．……………2分又2C B =，所以sin 2sin 2B B=，即4sin cos B B B =．……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =．……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =．……………10分从而2223cos 25a c b B ac +-===，……………12分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-．……14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==.……………2分故所得柱体的底面积OEFOEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=-.……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-.…………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<.………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =.…………………12分列表如下：x (0,2)2(2,3)()f x '＋0－()f x 增极大值减所以当2x =时，()f x 取得最大值.答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由32N Q，得直线NQ 的方程为32y x =-．………2分令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=．…………………4分将点N 的坐标2代入，得222((3)213a+=，解得24a =．ADCB EG FO MNHT所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P xk =，而点Q 是线段OP的中点，所以2Q x k =．所以直线BN 的斜率22BN BQk k k k===．………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)0k x +-=，解得234M x k =+．用2k 代k ，得2316N x k =+．………………12分又2DN NM =，所以2()N M N xx x =-，得23M N x x =．………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM 的方程为62y x =．………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)xy x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =-，令0y =，得P x =同理，得Qx =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==．………10分又2DN NM = ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>43=，解得21433y y =+．………12分将212123433x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C 的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3yx=-，所以21214(1)(431927yy-+=21120y+=，解得1y=（舍）或13y=．又1x>，所以点M的坐标为(,33M．……………14分故直线BM的方程为2y x=．…………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n na a d a d dλ=+-+，化简得2(1)0dλ-=，又0d≠，所以1λ=.………………4分（2）将1231,2,4a a a===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n na a a+-=，所以数列{}n a是首项为1，公比2q=的等比数列，所以12nna-=…6分欲存在[3,7]r∈，使得12nm n r-⋅-，即12nr n m--⋅对任意*n N∈都成立，则172nn m--⋅，所以172nnm--对任意*n N∈都成立.………………8分令172n nnb--=，则11678222n n n n nn n nb b+-----=-=，所以当8n>时，1n nb b+<；当8n=时，98b b=；当8n<时，1n nb b+>．所以n b的最大值为981128b b==，所以m的最小值为1128.………………10分（3）因为数列{}n a不是常数列，所以2T ．①若2T=，则2n na a+=恒成立，从而31a a=，42a a=，所以22221212221221()()a a a aa a a aλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a aλ-=，又0λ≠，所以21a a=，可得{}n a是常数列．矛盾．所以2T=不合题意.………………12分②若3T=，取*1,322,31()3,3nn ka n k k Nn k=-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n na a+=恒成立．……14分由2221321()a a a a aλ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n na a a+-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k ka a a a aλ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k ka a a a aλ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k ka a a a aλ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3.………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x '=，所以(1)1f '=，.当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-.…2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x -+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立．………………8分因为03a <<，所以3=2（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3.………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--.……………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-.………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t -<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t -<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，①在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4.………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程.………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos(13πρθ+=，得(cos cos sin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=．………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．ABE DF O ·第21(A)图因为直线cos(13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =.10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](133x x ++≥⨯+⨯，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤，………5分由133x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当,26x y ==时，max ()x y +=．所以当x y +取最大值时x的值为2x =.………………10分22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =- ，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||AP =，||BM =．则cos ,6||||AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM所成角的余弦值为6.………5分（2）(2,1,0)AB =- ，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，所以n 4OB ⋅=，||n = ||1OB = ．则cos ,||||n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC……………10分23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+①，MABCDOP第22题图xyz在①中令1n =，得()011111f C C ==．………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =．…………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =．……3分（2）猜想()f n =21n n C -（或()f n =121n n C --）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++ ，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n r n n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++ ．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++ ，即②成立.余下同方法一.…………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x+=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立.………………10分。

2018-2019学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷(1)

2018-2019学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．（5分）设全集U={1，2，3}，A={1，2}，则∁U A=．2．（5分）函数的定义域为3．（5分）若钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（m，），则tanα=4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则角C=5．（5分）已知向量，﹣1），，sinα），其中α∈[0，π]，若∥，则α=6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=6，S7=49，则公差d= 7．（5分）在平面直角坐标系中，曲线y=e x+2x+1在x=0处的切线方程是8．（5分）设函数，则k=﹣1是函数f（x）为奇函数的条件（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）9．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=1，A=，点D为BC上一点，若，则AD=10．（5分）若函数f（x）=|sin3x|﹣m（0＜m＜1）的所有正零点构成公差为d （d＞0）的等差数列，则d=11．（5分）如图，在四边形ABCD中，A=，AB=2，AD=3，分别延长CB、CD至点E、F，使得，，其中λ＞0，若，则λ的值为12．（5分）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值集合为13．（5分）已知数列{a n}满足2a n a n+1+a n+3a n+1+2=0，其中，设，若b3为数列{b n}中唯一最小项，则实数λ的取值范围是14．（5分）在△ABC中，tanA=﹣3，△ABC的面积S△ABC=1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0=BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）若函数（a＞0，b＞0）的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之同的距离为π．（1）求a，b的値；（2）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．16．（14分）已知命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+m的图象与x轴至多有一个交点，命题q：|log2m﹣1|≤1．（1）若￢q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A的大小；（2）若b+c=6，D为BC的中点，且AD=，求△ABC的面积．18．（16分）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA=CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO=θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB=2x米，求出L 关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．19．（16分）已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足a n2+a n=2S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}是公比为4的等比数列，且b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3也是等比数列，若数列单调递增，求实数λ的取值范围；（3）若数列{b n}、{c n}都是等比数列，且满足c n=b n﹣a n，试证明：数列{c n}中只存在三项．20．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f （x）的极值点．设函数f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b，g（x）=k（x﹣1），a，b，k∈R．（1）若g（x）为f（x）在x=1处的切线．①当f（x）有两个极值点x1，x2，且满足x1•x2=1时，求b的值及a的取值范围；②当函数g（x）与f（x）的图象只有一个交点，求a的值；（2）若对满足“函数g（x）与f（x）的图象总有三个交点P，Q，R”的任意突数k，都有PQ=QR成立，求a，b，k满足的条件．2018-2019学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．（5分）设全集U={1，2，3}，A={1，2}，则∁U A={3} ．【解答】解：全集U={1，2，3}，A={1，2}，则∁U A={3}．故答案为：{3}．2．（5分）函数的定义域为[1，+∞）【解答】解：由lnx≥0，得x≥1．∴函数的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．3．（5分）若钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（m，），则tanα=﹣【解答】解：∵钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（m，），∴m＜0，再根据OP2=m2+=1，求得m=﹣，故答案为：﹣．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则角C=【解答】解：∵a=3，b=5，c=7，∴cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴C=．故答案为：．5．（5分）已知向量，﹣1），，sinα），其中α∈[0，π]，若∥，则α=【解答】解：∵∥，∴﹣cosα﹣sinα=0，α∈[0，π]，∴tanα=﹣1，解得α=．故答案为：．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=6，S7=49，则公差d=1【解答】解：等差数列{a n}，a3=6，S7=49，设等差数列{a n}的公差为d，，解方程可得，d=1．故答案为：17．（5分）在平面直角坐标系中，曲线y=e x+2x+1在x=0处的切线方程是y=3x+2【解答】解：∵y=e x+2x+1，∴f′（x）=e x+2，∴在x=0处的切线斜率k=f′（0）=1+2=3，∴f（0）=1+0+1=2，∴y=e x+2x+1在x=0处的切线方程为：y﹣2=3x，∴y=3x+2，故答案为：y=3x+2．8．（5分）设函数，则k=﹣1是函数f（x）为奇函数的条件充分不必要（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）【解答】解：若k=﹣1，则函数化为f（x）=，定义域为{x|x≠0}，且满足f（﹣x）==﹣f（x）．∴函数f（x）为奇函数；由函数，可得f（﹣x）+f（x）=0，即，整理得（k﹣1）（22x﹣2x+k+1）=0．即k=1．∴k=﹣1是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．9．（5分）在△ABC中，AB=2，AC=1，A=，点D为BC上一点，若，则AD=【解答】解：∵AB=2，AC=1，A=，点D为BC上一点，∴BC2=4=3，∴BC=，又，∴||||cos∠BAD=||||cos∠CAD，∴∠BAD=∠CAD=30°，由角平分线性质可得，=2，∴BD==，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∠CAD=30°，∴AD=．故答案为：10．（5分）若函数f（x）=|sin3x|﹣m（0＜m＜1）的所有正零点构成公差为d（d＞0）的等差数列，则d=【解答】解：根据题意，f（x）=|sin3x|﹣m=0，即|sin3x|=m，函数f（x）=|sin3x|﹣m（0＜m＜1）的正零点为方程|sin3x|=m的正根，若函数f（x）的所有正零点构成等差数列，则m=，且3x=+，k≥0且k∈N，即x=+，则若函数f（x）的正零点构成公差为d（d＞0）的等差数列，则d=；故答案为：．11．（5分）如图，在四边形ABCD中，A=，AB=2，AD=3，分别延长CB、CD 至点E、F，使得，，其中λ＞0，若，则λ的值为【解答】a解：=；∴==λ（9﹣3）=15；∴．故答案为：．12．（5分）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值集合为{﹣1}【解答】解：f′（x）=（x+m+1）e x﹣x﹣（m+1）=（e x+1）（m﹣x+1）．函数在R上单调递增，∴x≥0时，f′（x）≥0，⇔m+x+1≥0，m≥﹣（x+1），可得m≥﹣1．同理可得：x≤0时，f′（x）≤0，⇔m+x+1≤0，m≤﹣（x+1），可得m≤﹣1．∴m=﹣1．∴实数m的取值集合为{﹣1}．故答案为：{﹣1}．13．（5分）已知数列{a n}满足2a n a n+1+a n+3a n+1+2=0，其中，设，若b3为数列{b n}中唯一最小项，则实数λ的取值范围是（5，7）【解答】解：∵2a n a n+1+a n+3a n+1+2=0，=，∴a n+1∴=，∴，即，所以数列{}是公差为2的等差数列，∵，∴=2n，∴b n=2n（n﹣λ），﹣b n=2（n+1）（n+1﹣λ）﹣2n（n﹣λ）=4n+2﹣2λ，∴b n+1因为b3为数列{b n}中唯一最小项，所以b1＞b2＞b3＜b4＜b5＜…，∴当n=1时，b2﹣b1=6﹣2λ＜0，得λ＞3，当n=2时，b3﹣b2=10﹣2λ＜0，得λ＞5，当n≥3时，4n+2﹣2λ＞0恒成立，即λ＜2n+1，即有λ＜7．所以5＜λ＜7．故答案为：（5，7）．14．（5分）在△ABC中，tanA=﹣3，△ABC的面积S△ABC=1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0=BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为【解答】解：如图，设AC中点为M，由极化恒等式可得：，．∵且恒有，则PM≥P0M恒成立．∴MP0⊥BC．作AD⊥BC于D，则BD=DP0=P0C=a．设AD=h，∴tan．=1，∵tanA=﹣3，△ABC的面积S△ABC∴tan（∠CAD+∠BAD）=，∴⇒a=故答案为；．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）若函数（a＞0，b＞0）的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之同的距离为π．（1）求a，b的値；（2）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数（a＞0，b＞0），∵f（x）的图象与x轴相切，可得b=1，图象上相邻两个最高点之同的距离为π．∴周期T=π，即，可得：a=2．（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+）+1．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，f（x）取得最大值为：2；当2x+=时，f（x）取得最小值为：；16．（14分）已知命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+m的图象与x轴至多有一个交点，命题q：|log2m﹣1|≤1．（1）若￢q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）命题q：|log2m﹣1|≤1．则：﹣1≤log2m﹣1≤1，解得：1≤m≤4．由于￢q为真命题，所以：m＞4或m＜1．（2）命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+m的图象与x轴至多有一个交点，则：△=（﹣2m）2﹣4m≤0，解得：0≤m≤1，由于：p∨q为假命题，则：p和q都为假命题．故：，解得：m＞4或m＜0．17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求A的大小；（2）若b+c=6，D为BC的中点，且AD=，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵由正弦定理，可得，∴=，可得：sinAcosC﹣sinAsinC=sinB，∴sinAcosC﹣sinAsinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，化简可得：sinAsinC=﹣cosAsinC，∵sinC＞0，∴sinA=﹣cosA，即tanA==﹣，∵A∈（0，π），∴A=…8分（2）∵=（+），∴=（+）2=（b2+2bccosA+c2）=（b2﹣bc+c2）=[（b+c）2﹣3bc]=8，∵b+c=6∴解得：bc=，…12分=bcsinA==…14分∴S△ABC18．（16分）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA=CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO=θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB=2x米，求出L 关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．【解答】解：（1）①在Rt△CDO中，∠ACO=θ，所以CO=，所以CG=+20，在Rt△AGC中，AC===，所以L（θ）=2AC=，其中θ∈（0，），②设AC=y，则在Rt△AGC中，CG=，由Rt△AGC和Rt△CDO相似可得=，即=，即x﹣20x=20y，即x=20（x+y）即x=20，即x2（y﹣x）=400（x+y），化简可得AC=y=，L（x）=．其中x∈（20，+∞）；（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以L（θ）=2AC=，其中θ∈（0，），在L′（θ）=[cos2θsinθ﹣（1+sinθ）（cos2θ﹣sin2θ）]，=（1+sinθ）[（1﹣sinθ）sinθ﹣（cos2θ﹣sin2θ）]，=（1+sinθ）（sin2θ+sinθ﹣1），令L′（θ）=0，解得sinθ=，令sinθ0=，当θ（0，θ0）时，L′（θ）＜0，函数L（θ）单调递减，当θ（θ0，）时，L′（θ）＞0，函数L（θ）单调递增，∴当sinθ=时，L（θ）取得最小值，新建道路造价最少19．（16分）已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足a n2+a n=2S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}是公比为4的等比数列，且b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3也是等比数列，若数列单调递增，求实数λ的取值范围；（3）若数列{b n}、{c n}都是等比数列，且满足c n=b n﹣a n，试证明：数列{c n}中只存在三项．【解答】解：（1）a n2+a n=2S n，当n≥2时，a n﹣12+an﹣1=2S n﹣1，两式相减可得（a n﹣a n﹣1）（a n+a n﹣1）=a n+a n﹣1，由正项数列{a n}的首项a1=1，可得a n﹣a n﹣1=1，则a n=1+n﹣1=n；（2）数列{b n}是公比q为4的等比数列，且b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3也是等比数列，可得（b1﹣a1）（b3﹣a3）=（b2﹣a2）2，即为（b1﹣1）（16b1﹣3）=（4b1﹣2）2，解得b1=﹣，则b n=﹣•4n﹣1，数列即数列{}递增，可得﹣=＞0恒成立，即3n+3λ﹣1＞0恒成立，即有1﹣3λ＜3n恒成立，可得1﹣3λ＜3，解得λ＞﹣；（3）证明：假设数列{c n}中超过三项，可设b n=bp n，c n=cq n，由c n=b n﹣a n可得a n=b n﹣c n，即有2（b n+1﹣c n+1）=（b n﹣c n）+（b n+2﹣c n+2），可得2（bp n+1﹣cq n+1）=（bp n﹣cq n）+（bp n+2﹣cq n+2），化为bp n（p﹣1）2=cq n（q﹣1）2，若p=q=1，则a n=b n﹣c n=b﹣c，即数列{a n}为常数列，与条件矛盾；若p≠1，q≠1，可令n=1可得bp（p﹣1）2=cq（q﹣1）2，再令n=2可得bp2（p﹣1）2=cq2（q﹣1）2，上式写出可得p=q，即有b=c，数列{a n}为常数列，与条件矛盾．故这样的数列{c n}中只存在三项．20．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f （x）的极值点．设函数f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b，g（x）=k（x﹣1），a，b，k∈R．（1）若g（x）为f（x）在x=1处的切线．①当f（x）有两个极值点x1，x2，且满足x1•x2=1时，求b的值及a的取值范围；②当函数g（x）与f（x）的图象只有一个交点，求a的值；（2）若对满足“函数g（x）与f（x）的图象总有三个交点P，Q，R”的任意突数k，都有PQ=QR成立，求a，b，k满足的条件．【解答】解：（1）①f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=0有两个不等实数根x1，x2．∴（2a）2﹣12b＞0，即a2＞3b．又x1•x2=1=，∴b=3，a＞3，或a＜﹣3．②g（x）=k（x﹣1）为f（x）在x=1处的切线，∴k=f′（1）=3+2a+b，联立方程组，即x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（3+2a+b）（x﹣1），整理可得：（x﹣1）2（x+a+2）=0，解得x=1，或x=﹣a﹣2．当函数g（x）与f（x）的图象只有一个交点，∴﹣a﹣2=1，解得a=﹣3．（2）联立方程组，由②可得：（x﹣1）[x2+x+1+a（x+1）+b﹣k]=0，即（x﹣1）[x2+（a+1）x+a+b+1﹣k]=0，方程有一个根x=1，因为方程函数g（x）与f（x）的图象总有三个交点．∴x2+（a+1）x+a+b+1﹣k=0，有两个不等实数根x1，x2．因为g（x）与f（x）的图象总有三个交点，Q，R，且满足PQ=QR成立，∴x1，x2，1．∴2x1=x2+1，2x2=x1+1，x1+x2=2．∵k为满足g（x）与f（x）有三个交点的任意实数．令k=a+b+1，则x2+（a+1）x=0，解得x1=0，x2=﹣a﹣1．当2x1=x2+1时，得x2=﹣a﹣1=﹣1，解得a=0．此时x2+x+b+1﹣k=0，令k=b+7，则x2+x﹣6=0，解得x1=﹣3，x2=2．不满足2x1=x2+1与2×2=﹣3+1，不符合题意，舍去．同理：2x2=x1+1也不满足题意，舍去．x1+x2=2时，由0+（﹣a﹣1）=2，解得a=﹣3．此时x2﹣2x+b﹣2﹣k=0，总满足x1+x2=2．为此只需要x2﹣2x+b﹣2﹣k=0有两个不等实数根即可．∴4﹣4（b﹣2﹣k）＞0，化简可得：k＞b﹣3．综上所述可得：a，b，k满足的条件为a=﹣3，k＞b﹣3．。

江苏省盐城市亭湖高中2017-2018学年高三上学期段考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年江苏省盐城市亭湖高中高三（上））段考数学试卷（理科）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合A=（1，3），B={1，2}，则A∪B=．2．cos600°的值为．3．要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位．4．若函数f（x）=x3+3x﹣1在区间[n，n+1）（n∈Z）上有零点，则n=．5．函数y=lnx﹣x的单调增区间为．6．（log ab a）2+（log ab b）•（log ab（a2b））=．7．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．8．若a+a﹣1=3，则的值为．9．定义在[2﹣c2，c]上的奇函数f（x）=a﹣的值域是．10．若tan（α+β）tanα=﹣5，则2cos（2α+β）+3cosβ=．11．已知tanα=，cosβ=，且α，β都是锐角，则α+2β=．12．△ABC中，D为BC边的中点，tan∠BAD•tan∠C=1，则△ABC是三角形．13．∀x∈（0，+∞），不等式a x＞log a x（a＞0，a≠1）恒成立，则a的取值范围是．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知tan（α+）=﹣3．（1）求tan（α﹣π）的值；（2）求sinαcosα的值．16．已知命题p：函数y=mx2﹣6x+2有零点；命题q：函数f（x）=x2+2mx+1在[﹣2，5]上是单调函数；若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．已知斜三角形ABC（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；（2）又若tanA+tanB+tanC＞0，设f（x）=，记m=（sinA）cosB﹣（cosB）sinA，n=sin（A+B）﹣sinA﹣sinB，求2f（m）+f（n）的值．18．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？19．已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省盐城市亭湖高中高三（上））段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合A=（1，3），B={1，2}，则A∪B=[1，3）．【考点】并集及其运算．【分析】根据并集的定义可知，A与B的并集为属于A或属于B的所有元素组成的集合，求出两集合的并集即可．【解答】解：集合A=（1，3），B={1，2}，则A∪B=[1，3），故答案为：[1，3）2．cos600°的值为﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用余弦函数的诱导公式cos（k•360°﹣α）=cosα即可求得cos600°的值．【解答】解：cos600°=cos=cos（2×360°﹣120°）=cos（﹣120°）=cos120°=﹣，故答案为：﹣．3．要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：y=sin（2x+）=sin[2（x+）]，故只要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，故答案为：．4．若函数f（x）=x3+3x﹣1在区间[n，n+1）（n∈Z）上有零点，则n=0．【考点】二分法求方程的近似解．【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．【解答】解：由f（0）=0+0﹣1=﹣1＜0，f（1）=1+3﹣1=3＞0及零点定理知，f（x）的零点在区间（0，1）上，两端点为连续整数∴零点所在的一个区间[n，n+1）（k∈Z）是（0，1）∴n=0，5．函数y=lnx﹣x的单调增区间为（0，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）y′=﹣1=，由≥0得0＜x≤1，故函数的单调递增区间是（0，1]．6．（log ab a）2+（log ab b）•（log ab（a2b））=1．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（log ab a）2+（log ab b）•（log ab（a2b））=（log ab a）2+2（log ab b）•（log ab a）+（log ab b）2=（log ab a+log ab b）2=（log ab ab）2=1．故答案为：1．7．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为[0，4）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，即ax2+ax+1＞0恒成立，分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）8．若a+a﹣1=3，则的值为．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据有理数幂的运算法则计算即可．【解答】解：（）2===5，故原式=，9．定义在[2﹣c2，c]上的奇函数f（x）=a﹣的值域是．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值域．【分析】利用奇函数的定义取得c，a，然后求解函数的值域．【解答】解：定义在[2﹣c2，c]上的奇函数f（x）=a﹣，可得：2﹣c2=﹣c，解得c=2，f（0）=0，可得a﹣=0，解得a=．x∈[﹣2，2]，4x+1∈[，17]．﹣∈．故答案为：．10．若tan（α+β）tanα=﹣5，则2cos（2α+β）+3cosβ=0．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由tan（α+β）tanα=﹣5，可得sin（α+β）sinα=﹣5cos（α+β）cosα，可得2cos（2α+β）+3cosβ=2cos[（α+β）+α]+3cos[（α+β）﹣α]=5cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα．【解答】解：∵tan（α+β）tanα=﹣5，∴sin（α+β）sinα=﹣5cos（α+β）cosα，∴2cos（2α+β）+3cosβ=2cos[（α+β）+α]+3cos[（α+β）﹣α]=5cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=0，故答案为：0．11．已知tanα=，cosβ=，且α，β都是锐角，则α+2β=arctan．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】依题意，可求得tan2β=，0＜2α＜；利用两角和的正切与正切函数的单调性即可求得2α+β的值．【解答】解：∵cosβ=，可得：tanβ==，∴tan2β==＜1=tan，又β是锐角，y=tanx在（0，）上单调递增，∴0＜2β＜；又∵tanα=，α∈（0，），∴tan（α+2β）===．∴α+2β∈（0，），∴2α+β=arctan．故答案为：arctan．12．△ABC中，D为BC边的中点，tan∠BAD•tan∠C=1，则△ABC是等腰或直角三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】由tan∠BAD•tan∠C=1，可得∠DAC+∠ABD=．在△ADC中，=，在△ABD中，=，可得sin2C=sin2∠ABD，∠C=∠ABD，或∠C+∠ABD=，即可得解．【解答】解：由tan∠BAD•tan∠C=1，∴∠BAD+∠C=，∴∠DAC+∠ABD=．在△ADC中，=，在△ABD中，=，可得sin2C=sin2∠ABD，∴∠C=∠ABD，或∠C+∠ABD=，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰或直角．13．∀x∈（0，+∞），不等式a x＞log a x（a＞0，a≠1）恒成立，则a的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，当a＞1时，问题等价于a x≥x在区间（0，+∞）上恒成立，构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，可求得x=时函数f（x）取到最小值，从而可得a的取值范围；再分析0＜a＜1时的情形，即可得答案．【解答】解：当a＞1，由题意可得y=a x与y=log a x互为反函数，故问题等价于a x≥x（a＞0，a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立．构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，令f′（x）=0，得x=，且此时函数f（x）取到最小值，故有＞≥0，解得a≥；当0＜a＜1时，不符合条件，舍去，故a的取值范围是：a≥；故答案为：．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是[1，e] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a，x∈[0，1]．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的范围．【解答】解：由题意可得y0=sinx0∈[﹣1，1]，f（y0）=，∵曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，∴存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a 在[0，1]上有解．令g（x）=e x+x﹣x2，则a为g（x）在[0，1]上的值域．∵当x∈[0，1]时，g′（x）=e x+1﹣2x＞0，故函数g（x）在[0，1]上是增函数，故g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤a≤e，故答案为：[1，e]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知tan（α+）=﹣3．（1）求tan（α﹣π）的值；（2）求sinαcosα的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用两角和与差的正切函数公式求得tanα的值，然后利用诱导公式得到tan（α﹣π）=tanα．（2）将所求关系式转化为，再将tanα=2代入计算即可．【解答】解：（1）由，得：，解得tanα=2，所以tan（α﹣π）=tanα=2；（2）．16．已知命题p：函数y=mx2﹣6x+2有零点；命题q：函数f（x）=x2+2mx+1在[﹣2，5]上是单调函数；若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意知p，q一真一假，根据二次函数的性质求出命题p、命题q为真时的m的范围即可；【解答】解：若函数y=mx2﹣6x+2有零点，当m=0时，显然有零点；当m≠0时，△=36=8m≥0⇒m≤，综上∴p真，p假；q真⇔﹣m≤﹣2或﹣m≥5即m≤﹣5或m≥2，∴q假⇔﹣5＜m＜2由题意知p，q一真一假∴所以m的范围是17．已知斜三角形ABC（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；（2）又若tanA+tanB+tanC＞0，设f（x）=，记m=（sinA）cosB﹣（cosB）sinA，n=sin（A+B）﹣sinA﹣sinB，求2f（m）+f（n）的值．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）由tanC=﹣tan（A+B），展开两角和的正切化简得答案；（2）由tanA+tanB+tanC＞0结合（1）可知△ABC为锐角三角形，得到，进一步得，可得，分析得到m，n的符号，结合已知分段函数求得2f（m）+f（n）的值．【解答】（1）证明：由，得：tanC﹣tanAtanBtanC=﹣tanA﹣tanB，即：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；（2）解：由tanA+tanB+tanC＞0及第一问知△ABC为锐角三角形，∴，则，∴，∴m=（sinA）cosB﹣（cosB）sinA＞0，又n=sin（A+B）﹣sinA﹣sinB=sinAcosB+cosAsinB﹣sinA﹣sinB＜0．∴2f（m）+f（n）=2×1+（﹣1）=1．18．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD﹣AB=DB即可得到H．（2）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α﹣β）=，再根据均值不等式可知当d===55时，tan（α﹣β）有最大值即α﹣β有最大值，得到答案．【解答】解：（1）=tanβ⇒AD=，同理：AB=，BD=．AD﹣AB=DB，故得﹣=，得：H===124．因此，算出的电视塔的高度H是124m．（2）由题设知d=AB，得tanα=，tanβ===，tan（α﹣β）====d+≥2，（当且仅当d===55时，取等号）故当d=55时，tan（α﹣β）最大．因为0＜β＜α＜，则0＜α﹣β＜，所以当d=55时，α﹣β最大．故所求的d是55m．19．已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数最值的应用．【分析】（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b 的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x ﹣m|，结合函数的性质可求【解答】解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤420．已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．【解答】解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e x﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．2016年12月29日。

江苏省盐城市2018届高三数学上学期期中试题

盐城市2018届高三年级第一学期期中考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{}1,3,6A =，{}1,2B =，则A B U = ▲ ． 2．函数2sin y x =的最小正周期为 ▲ ．3．若幂函数y x α=的图象经过点，则α的值为 ▲ ． 4．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2a =，b =3B π=，则A = ▲ ．5．若命题“x R ∃∈，210x ax -+<”是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6．在等差数列}{n a 中，若2523a a +=，则数列}{n a 的前6项的和6S = ▲ ． 7．若向量(2,3)a =r ，(3,3)b =r ，(7,8)c =r ，且(,)c x a y b x y R =+∈r r r，则x y += ▲ ．8．若函数x x a x x f ln )3()(2+++=在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．9．若菱形ABCD 的对角线AC 的长为4，则AB AC ⋅=uu u r uu u r▲ ．10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ，ω，ϕ为常数，且0>A ，0>ω，22πϕπ<<-）的部分图象如图所示，若56)(=αf （20πα<<），则()6f πα+的值为 ▲ ．11．函数()f x 是以4为周期的奇函数，当[1,0)x ∈-时，()2x f x =，则2(log 20)f = ▲ ．12．设函数9()||()f x x a a R x=-+∈，若当(0,)x ∈+∞时，不等式()4f x …恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ．13．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知74,3==a A π，角A 的平分线交边BC 于点D ，其中33=AD ，则ABC S ∆= ▲ ．14．设数列{}n a 共有4项，满足12340a a a a >>>…，若对任意的,(14i j i j 剟?，且*,i j N ∈），j i a a -仍是数列{}n a 中的某一项. 现有下列命题：①数列{}n a 一定是等差数列；②存在14i j <剟，使得j i ja ia =；③数列{}n a 中一定存在一项为0. 其中，真命题的序号有 ▲ ．（请将你认为正确命题的序号都写上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3a =，7cos 9B =，且7BA BC ⋅=uu r uu u r .（1）求b 的值；（2）求sin()A B -的值．16．（本小题满分14分）记函数2()lg(1)f x ax =-的定义域、值域分别为集合,A B .（1）当1a =时，求A B I ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分14分）设直线6x π=-是函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合；（2）求函数()f x 在[0,]π上的单调减区间.18．（本小题满分16分）2016年射阳县洋马镇政府投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目. 规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目. 2016年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍. 记2016年为第1年，()f n 为第1年至此后第*()n n N ∈年的累计利润（注：含第n 年，累计利润 = 累计净收入－累计投入，单位：千万元），且当()f n 为正值时，认为该项目赢利. （1）试求()f n 的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由. （参考数据：43()52≈，ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）19. （本小题满分16分）已知数列}{n a 满足11a =-，21a =，且*22(1)()2n n n a a n N ++-=∈.（1）求65a a +的值；（2）设n S 为数列}{n a 的前n 项的和，求n S ；（3）设n n n a a b 212+=-，是否存正整数,,()i j k i j k <<，使得k j i b b b ,,成等差数列？若存在，求出所有满足条件的k j i ,,；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）设函数()ln ()f x m x m R =∈，()cos g x x =.（1）若函数1()()h x f x x=+在(1,)+∞上单调递增，求m 的取值范围；（2）设函数()()()x f x g x ϕ=+，若对任意的3(,)2x ππ∈，都有()0x ϕ…，求m 的取值范围；（3）设0m >，点00(,)P x y 是函数()f x 与()g x 图象的一个交点，且函数()f x 与()g x 的图象在点P 处的切线互相垂直，求证：存在唯一的0x 满足题意，且0(1,)2x π∈.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.{}1,2,3,62.π3.12 4.2π5.(,2)(2,)-∞-+∞U6.27.838.15(,6)2-- 9. 8 10. 11.45- 12. (,2]-∞ 13.14.①②③二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．解：（1）由7B AB C ⋅=uu r uu u r ，得c o s 7a c B =，即7379c ⨯=，解得3c =. ………………3分在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 3323349b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以2b =. ………………6分（2）因为7cos 9B =，所以B为锐角，故sin 9B =. ………………8分又由余弦定理，得2222222331cos 22233b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以A 为锐角，且sin 3A =. ………………11分所以s i 3A B-=.………………14分16．解：（1）当1a =时，2()lg(1)f x x =-，由210x ->，得(1,1)A =-. (2)分又2011x <-…，所以(,0]B =-∞. ……………4分故(1,0]A B =-I . ……………6分（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件⇔B A Ü. ……………8分 ①当0a =时，A R=，{}0B =，适合题意； ……………9分②当0a <时，A R=，[0,)B =+∞，适合题意； ……………11分③当0a >时，(A =，(,0]B =-∞，不适合题意. ……………13分综上所述，实数a的取值范围是(,0]-∞. ……………14分17．解：（1）因为直线6x π=-是函数()f x 的图象的对称轴，所以()()66f x f x ππ-+=--对x R ∈恒成立. ……………2分所以sin()cos()sin()cos()6666x a x x a x ππππ-++-+=--+--对x R ∈恒成立，即(0a x =对x R∈恒成立，所以a =. ……………6分从而()3f x π=-. ……………8分故当232x k πππ-=+，即52()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值为2. ……………10分（说明：其它方法的，类似给分）（2）由322232k x k πππππ+-+剟，解得()f x 的递减区间为511[2,2]()66k k k Z ππππ++∈. …12分从而()f x 在[0,]π上的减区间为5[,]6ππ.（注：区间的形式不唯一） ……………14分18．解：（1）由题意知，第1年至此后第*()n n N ∈年的累计投入为82(1)26n n +-=+（千万元）， ……………3分第1年至此后第*()n n N ∈年的累计净收入为1211131313()()()2222222n -+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯13(()1)322()13212nn -==--（千万元）. ………7分所以33()()1(26)()2722n n f n n n =--+=--（千万元）. ……………8分（2）方法一：因为133(1)()[()2(1)7][()27]22n n f n f n n n ++-=-+----13[()4]22n =-，所以当3n …时，(1)()0f n f n +-<，故当4n …时，()f n 递减；当4n …时，(1)(f n f n +->，故当4n …时，()f n 递增. ……………12分又15(1)02f =-<，732733(7)()215210288f =-≈⨯-=-<， 83(8)()232523202f =-≈-=>.所以，该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分答：该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分方法二：设3()()27(1)2xf x x x =--…，则33()()ln 222x f x '=-，令()0f x '=，得3222()532ln3ln 2 1.10.7ln 2x ==≈=--，所以4x ≈. 从而当[1,4)x ∈时，()0f x '<，()f x 递减；当(4,)x ∈+∞时，()f x '>，()f x 递增. ……………12分又15(1)02f =-<，7333(7)()21028f =-≈-<， 83(8)()232523202f =-≈-=>.所以，该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分答：该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分 19．解：（1）由题意，当n 为奇数时，n n a a 212=+；当n 为偶数时，n n a a 232=+. …………2分又11a =-，21a =，所以49,23;41,216453==-=-=a a a a ，即265=+a a . …………4分（2）①当2n k =时，21321242()()n k k k S S a a a a a a -==++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+131(1())1(1())221122k k -⋅-⋅-=+--312[()()]422k k =+-22312[()()]422n n =+-. ……………6分②当21n k =-时，22n k k S S a =-13132[()()]4()222k k k -=+--11312()()422k k --=⨯+-1122312()()422n n --=⨯+-. ……………8分所以，*2211*22312()2()4,,,22312()()4,,22n nn n n n n N S n n N --⎧⨯+⨯-∈⎪⎪=⎨⎪⨯+-∈⎪⎩为偶数为奇数 ……………9分（3）由（1），得1121231022n n n n n b a a ---⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…（仅10b =且{}n b 递增）. ……………10分因为k j >>，且,k j Z ∈，所以1k j +…. ①当2k j +…时，2k j b b +…，若k j i b b b ,,成等差数列，则1111231312222222j j j j i j k j j b b b b b --+++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…11137104242j j --⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此与0n b …矛盾. 故此时不存在这样的等差数列. ……………12分②当1k j =+时，1k j b b +=，若k j i b b b ,,成等差数列，则11131312222222j j j j i j k j j b b b b b --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=---⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111331()()2222j j --=⨯-⨯，又因为i j <，且,i j Z ∈，所以1i j -….若2i j -…，则2i j b b -刡，得1133133131()()()()222222j j j j ----⨯-⨯-…，得3331()5()022j j --+⨯?，矛盾，所以1i j =-=. 从而112j j j b b b -+=+，得11223131312222222j j j j j j ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得231j -=，解得2j ==. ……………15分从而，满足条件的k j i ,,只有唯一一组解，即1i =，2j =，3k =. ……………16分20．解：（1）由题意，知1()ln h x m x x =+，所以21()m h x x x'=-. 由题意，21()0m h x x x '=-…，即1m x…对(1,)x ∈+∞恒成立. ……………2分又当(1x ∈+∞时，11x<，所以1m …. ……………4分（2）因为()()()ln cos x f x g x m x x ϕ=+=+，所以()sin mx x xϕ'=-. ①当0m …时，因为3(,)2x ππ∈，所以ln 0x >，cos 0x <，故()0x ϕ<，不合题意.…6分②当0m >时，因为3(,)2x ππ∈，所以()0x ϕ'>，故()x ϕ在3(,)2ππ上单调递增. ……8分欲()0x ϕ…对任意的3(,)2x ππ∈都成立，则需()0ϕπ…，所以ln cos 0m ππ+…，解得1ln m π…. 综上所述，m的取值范围是1[,)ln π+∞. ……………10分（3）证明：因为()mf x x '=，()sing x x '=-，且函数()f x 与()g x 在点00(,)P x y 处的切线互相垂直，所以00(sin )1mx x ⋅-=-，即00sin m x x = （*）.又点00(,)P x y 是函数()f x 与()g x 的一个交点，所以00ln cos m x x = （**）. 由（*）（**）消去m，得000ln s i n c o s 0x x x x -=. ……………12分 ①当0(0,1]x ∈时，因为0m >，所以0ln 0m x …，且0cos 0x >，此与（**）式矛盾.所以在(0,1]上没有0x 适合题意. ……………13分②当0(1,)x ∈+∞时，设()ln sin cos r x x x x x =-，(1,)x ∈+∞. 则()ln 1cos 20r x x x '=+->，即函数()r x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()r x 在(1,)+∞上至多有一个零点. 因为(1)r =-=-，()ln sin cos ln 02222222r πππππππ=-=>，且()r x 的图象在(1,)+∞上不间断，所以函数()r x 在(1,)2π有唯一零点.即只有唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0000ln sin cos 0x x x x -=成立，且0(1,)2x π∈.综上所述，存在唯一的0(0,)x ∈+∞，且0(1,)2x π∈. ……………16分。

江苏省盐城市2018届高三上学期期中数学试卷含解析

2017—2018学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上。

1．已知集合A=｛1，3，6｝,B=｛1,2｝，则A∪B= ．2．函数y=sin2x的最小正周期是．3．设幂函数y=xα的图象经过点，则α的值为．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，，，则A= ．5．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．6．在等差数列｛a n}中,若，则数列｛a n｝的前6项的和S6= ．7．设向量,，,若，则x+y= ．8．若函数f（x）=x2+（a+3)x+lnx在区间（1,2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为．9．设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则= ．10．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0,ω＞0，）的部分图象如图所示，若（），则的值为．11．设函数f（x）是以4为周期的奇函数，当x∈［﹣1,0）时,f(x)=2x，则f（log220）= ．12．设函数f(x）=|x﹣a|+(a∈R），若当x∈（0，+∞）时,不等式f （x）≥4恒成立，则的取值范围是．13．在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a,b,c,已知A=，a=4,角A的平分线交边BC于点D,其中AD=3，则S△ABC= ．14．设数列｛a n｝共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0,若对任意的i，j （1≤i≤j≤4，且i，j∈N*）,a i﹣a j仍是数列｛a n｝中的某一项．现有下列命题：①数列{a n}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4,使得ia i=ja j；③数列{a n}中一定存在一项为0．其中,真命题的序号有．（请将你认为正确命题的序号都写上)二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b,c，已知a=3，，且．（1）求b的值；（2）求sin(A﹣B）的值．16．记函数f（x)=lg（1﹣ax2）的定义域、值域分别为集合A，B．（1）当a=1时，求A∩B；（2）若“x∈A"是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．设直线是函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴．（1）求函数f（x)的最大值及取得最大值时x的值；（2）求函数f（x）在［0，π]上的减区间．18．2016年射阳县洋马镇政府决定投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目．规划从2017年起,在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目。

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(理)含答案

南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)考前须知：1．本试卷考试时间为 120分钟，试卷总分值160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否那么不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh，其中S为底面积,h为高.一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上〕．集合Ax|x(x4)0，B0,1,5，那么AI B▲．i(aR,i(1i)z为虚数单位〕，假设为纯虚数，那么a的值为▲．．设复数3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如下图，那么估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲．频率组距Read xIf x0ThenlnxElsey e xEndIfPrint y 50607089100时间(单位:分钟)第3题图第4题图4．执行如下图的伪代码，假设x0，那么输出的y的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，假设从袋中一次随机摸出2个球，那么摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．高三数学试题第1页〔共4页〕6．假设抛物线y22px的焦点与双曲线x2y21的右焦点重合，那么实数p的值为▲145e的值域为，假设[0,)，那么实数a的取值范围是▲．设函数ex8．锐角,满足tan1tan2，那么的值为▲．9．假设函数ysinx在区间[0,2]上单调递增，那么实数的取值范围是▲．10．设S n为等差数列a n的前n项和，假设an的前2021项中的奇数项和为2021，那么S2021的值为▲．x(3x),0x3,11．设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=31,x>3，假设函数yf(x)mx有四个不同的零点，那么实数m的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系xOy中，假设直线yk(x3)上存在一点P，圆x2(y1)21上uuuruuur存在一点Q，满足OP 3OQ，那么实数k的最小值为▲．A13．如图是蜂巢结构图的一局部，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点〞．假设A,B,C,D四点均位于图中的“晶格点〞处，且A,B的位置所图所示，那么ABCD的最大值为▲．14．假设不等式ksin2BsinAsinC19sinBsinC对任意ABC都成立，B那么实数k的最小值为▲．第13题图二、解答题〔本大题共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内〕15．(本小题总分值14分)如下图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，点M,N分别是AB,A1B1的中点.〔1〕求证：BN∥平面A1MC；C1〔2〕假设A1M AB1，求证：AB1A1C.A1B1AM16．(本小题总分值14分)B 第15题图在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,c 5b .〔1〕假设C2B，求cosB的值；2u uuruuur uuuruuur)的值．〔2〕假设ABACCACB，求cos(B4高三数学试题第2页〔共4页〕17．(本小题总分值14分)有一矩形硬纸板材料〔厚度忽略不计〕，一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD〔如图甲所示〕，再剪去图中阴影局部，用剩下的局部恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒〔如图乙所示，重叠局部忽略不计〕，其中OEMF是以O 为圆心、EOF120??的扇形，且弧EF,GH分别与边BC,AD相切于点M,N．〔1〕当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；〔2〕当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？B MNC MEFE F OGH NAN D第17题-图甲第17题-图乙18.(本小题总分值16分)xOy 中，椭圆x2y2B，点如图，在平面直角坐标系C:221(ab0)的下顶点为B的动点，直线M,N是椭圆上异于点BM,BN分别与x轴交于点P,Q，且点Q 是线段OP的中点．当点N运动到点(3,3)处时，点Q的坐标为(23,0)．23〔1〕求椭圆C的标准方程；uuuruu uur〔2〕设直线MN交y轴于点D，当点M,N均在y轴右侧，且DN2NM时，求直线BM的方程．yDNQMO P xB第18题图高三数学试题第3页〔共4页〕19．(本小题总分值1 6分)设数列a满足an2a n1a n1(a2a1)2，其中n⋯2，且n N，为常数.〔1〕假设a n是等差数列，且公差d，求的值；〔2〕假设a11,a22,a34，且存在r[3,7]，使得ma n卪nr对任意的nN*都成立，求m的最小值；〔3〕假设0，且数列a n不是常数列，如果存在正整数T，使得a nTa n对任意的nN*均成立.求所有满足条件的数列a中T的最小值.n20．(本小题总分值16分)设函数f(x)lnx，g(x)axbR〕.c〔a,b,cx〔1〕当c0时，假设函数f(x)与g(x)的图象在x1处有相同的切线，求a,b的值；〔2〕当b3a时，假设对任意x0(1,)和任意a(0,3)，总存在不相等的正实数x1,x2，使得g(x1)g(x2)f(x0)，求c的最小值；〔3〕当a1时，设函数yf(x)与y g(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点．求证：x bxx1.x1x221x2南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试数学附加题局部〔本局部分40分，考30分〕21．[选做题]〔在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，计20分．请把答案高三数学试题第4页〔共4页〕写在答题纸的指定区域内〕A.〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D.假设DE4，求切点E到直径AB的距离EF．ED·A FO B第21(A)图B.〔选修4-2：矩阵与变换〕矩阵M20，求圆x2y21在矩阵M的变换下所得的曲线方程.01C．〔选修4-4：坐标系与参数方程〕在极坐标系中，直线 cos( ) 1与曲线r(r 0)相切，求r的值.3D．(选修4-5：不等式选讲〕实数x,y满足x23y21，求当x y取最大值时x的值.[必做题]〔第22、23题，每题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内〕22．〔本小题总分值10分〕如图，四棱锥P A BCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP 底面ABCD，点M为PC中点，AC 4,BD 2,OP 4.1〕求直线AP与BM所成角的余弦值；2〕求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．高三数学试题第5页〔共4页〕PMD COA B第22题图23．〔本小题总分值10分〕n N，nf n C n0C n12C1n C n2rC n r1C n r nC n n1C n n．1〕求f1,f2,f3的值；2〕试猜测fn的表达式〔用一个组合数表示〕，并证明你的猜测．南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每题5分，计70分.1．12．13．12004．126．65．7．(,2]339110．912313．248．．(0,]403411．[1,)．44414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：〔1〕因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以AB//A1B1，且AB A1B1，高三数学试题第6页〔共4页〕又点M,N分是AB,A1B1的中点，所以MB A1N，且MB//A1N．所以四形A1NBM是平行四形，从而A1M//BN．⋯⋯⋯⋯⋯4分又BN平面A1MC，A1M平面A1MC，所以BN∥面A1MC．⋯⋯⋯⋯⋯6分〔2〕因ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1底面ABC，而AA1面ABB1A1，所以面ABB1A1底面ABC．又CA CB，且M是AB的中点，所以CMAB．由面ABB1A1底面ABC，面ABB1A1I底面ABCAB，C MAB，且CM面ABC，得CM面ABB1A1．⋯⋯⋯⋯⋯8分又AB1面ABB1A1，所以A B1CM．⋯⋯⋯⋯⋯10分又AB1A1M，A1M,MC平面A1MC，且A1MIMCM ，所以AB1平面A1MC．⋯⋯⋯⋯⋯12分又AC1平A1MC，所以A B1A1C．⋯⋯⋯⋯⋯14分16．解：〔1〕因c5b，由正弦定理，得2s inC5sinB．⋯⋯⋯⋯⋯2分2C2Bsin2B5又，以sinB，即24sinBco sB5sinB．⋯⋯⋯⋯⋯4分又B是ABC的内角，所sinB0，故c osB5⋯⋯⋯⋯⋯6分4uuuruuuruuuruuurbacosC，由余弦定理，〔2〕因ABAC CACB，所以cbcosA得b2c2a2b2a2c2，得ac．⋯⋯⋯⋯⋯10分从而22c c(2c)222c osB53⋯⋯⋯⋯⋯12 2ac2c2，5高三数学试题第7页〔共4页〕分又0B，所以sinBcos2B．从而cos(B)cosBcos sinBsin 32422⋯⋯⋯⋯⋯14 5252．441 0分17．解：〔1〕在甲中，接MO交EF于点T．OEOF OM R，RtOET中，因EOT1EOF6，所以R，2OTR2M TOMOT2BE，即MTR 2BE22.⋯⋯⋯⋯⋯2分故所得柱体的底面S S扇形OEFSOEFM N1R1R2sin143B220 .⋯⋯⋯⋯⋯4分T32E G 43EF又所得柱体的高，O所以V SEG164.3答：当BE1分米，折卷成的包装盒的容GH1643立方分米.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分3A〔2〕BE x ，R2x ，所以所得柱体的底面S 扇形OEF S OEF1R 21R 2sin120(43)x 2.323又所得柱体的高 E G 62x ，以S EG(823)( 33x 2)，其中0x3.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分令f(x) x 33x 2,x (0,3)，由f (x)3x 26x3x (x2) 0，得x2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.分列表如下：x(0,2)2(2,3)f(x)＋0－高三数学试题第8页〔共4页〕f(x)增极大减所以当x2，f(x)取得最大.答：当BE的2分米，折卷成的包装盒的容最大.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分18．解：〔1〕由N(3,3),Q(23,0)，得直NQ的方程3 x 2y3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2令x0，得点B的坐(0,3 )．所以的方程x 2y21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分a23将点N的坐(3, 3) 2所以x 2y21．43(3)(3)2代入，得21，解得a4．a23C的准方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分〔2〕方法一：直BM的斜率k(k0)，直BM的方程ykx3．在y kx中，令y0，得x P3是段OP的中点，所以xQ3，而点QkBN2k所以直的斜率k BN(3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分k BQ32k．2kkx34k2)x283k 立2y2，消去y，得(383kx0，解得x M2．3134k2k用代，得x N163k2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分316k uuuruuuur又DN2NM，所以xN2(x M x N)，得2 x M3x N．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分故3132，0，解得62k6k又k k34k 3．316kBM所以直的方高三数学试题第9页〔共4页〕y 6x3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分2方法二：点M,N的坐分(x1,y1),(x2,y2 )．由B(0,3)，得直BN的方程yy13x3，令y0，得x Py13x1．x13同理，得x Q3x2．23而点Q是段OP的中点，所以x P2x Q，故3 x13x2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分1323uu uruuuur214x2)，得x20，从而3又DN2NM，所以x22(x1x13y2，3y13解得y 24y1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 33分2将23x1代入到C的方程中，得x12(4y13)21．y24y1392734(1y1(4y13)2y1)，所以31，即22y10，又x14(19273y1解得y13〔舍〕或y13．又x10，所以点M的坐3423M( , )．⋯⋯⋯⋯⋯14分故直BM的方程y 63．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分x2d2，19．解：〔1〕由意，可得n(a nd)(a nd)化得1)d20，又d0，所1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分〔2〕将a11,a22,a34代入条件，可得414，解得0，高三数学试题第10页〔共4页〕所以a n2a n1a n1，所以数列a n是首1，公比q2的等比数列，所以a n 2n1⋯⋯6分欲存在r[3,7]，使得m2n1⋯nr，即r⋯nm2n1任意nN*都成立，7⋯nm2，所以m⋯7任意nN*成n1立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分令b nn，b n1nn67n n12n1n，所以当n 8，b nb n；当n8，b9b8；当n8，b n1b n．所以b n的最大b9b8，所以m的最小1128.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分1 28a n不是常数列，所以T⋯2．〔3〕因数列①假设T2，a na n恒成立，从而a3a1，a4a22a12(a2a1)2a2，所以a22(a2，a12a1)2所以(a2a1)2，又0，所以a21，可得a是常数列．矛盾．所以T不合意.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分1 ,n3k2②假设T3，取a n2,n3k1(kN*)〔*〕，足a n3an恒成,n 3k立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分由a22a1a3(a2a1)2，得7．条件式nan1a n17．由221(3)7，知a3k2a3k2a3k1由(3)2217，知a3k2a3k1a3k1由12(3)27，知a3k2a3ka3k21所以，数列〔*〕适合意．所以T的.20．解：〔1〕由f(x) l nx，得f(1) 0，又f(a2a1)2；(a2a1)2；( a2a1)2．最小⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分(x)11，.，所以f(1)x当c0，g(x)axb所以g(x)ab，所，x2x高三数学试题第11页〔共4页〕g(1) ab.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因函数f(x)与g(x)的象在x1有相同的切，所以f(1)g(1)，即a b1解得f(1)g(1)a b，1a2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分1b2〔2〕当x01，f(x0)0，又b3a，t f(x0)，意可化方程axt(t0)在(0,)上有相异两根xx1,x2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分即关于x的方程ax2(ct)x(3a)(t0)在(0,)上有相异两根x1,x2．0a3( ct)24a(3a)003所x x t0，4a a以12a得(c)(3)，c t03ax1x20所以c2a(3a)t立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分t (0, ),a (0,3) 恒成因0a 3，所以2a(3a)?2(a(3a))23〔当且当a3取等号〕，22又t0，所以2a(3a)-t的取范是(,3)，所以c⋯3．故c的最小.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔3〕当a1，因函数f(x)与g(x)的象交于A,B两点，lnx1x1bc所以x1，两式减，得blnx2x2cx2x1 x2(1lnx2lnx1).⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分x2x1南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(理)含答案31 / 4231要明x 1x 2x 2bx 1x 2x 1，即x 1x 2x 2 x 1x 2(1 lnx 2 lnx1)x 1x2x 1，x2x 1高三数学试题第 12页〔共4页〕l nx2lnx11即x 2x2x1x11x1lnx2x2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分x21x1x2，t，此即11lnt1．x1t( t)lnt，所以(t)111，所以当t1(t)，函数tt2t2增．( 1)0，所以(t)lnt11，即11lnt成立；t t再令m(t)lnt1，所以m(t)1t，所以当，函数m(t)1t1t减，又0，所以l 10，即1也成32 / 4232m(1)m(t)nt lnt立．上述，数x1,x2足x 1x2x2bx1x2x1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分附加题答案21．〔A〕解：如，接AE，OE，因直DE与⊙O相切于点E，所以DEOE，DE又因AD垂直DE于D，所以AD//OE，所以DAEOEA ，①在⊙O 中OEOA，所以OEAOAE，②⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分A·由①②得DAEOAE，即DAEFAE，FO ADE AFE，AEAE，所以ADEAFE，所以DEFE，又DE4，所以FE4，第21(A)即E到直径AB的距离4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔B〕解：Px0,y0是x2y21上任意一点，02021，点Px0,y0在矩M的下所得的点Qx,yx00，，10y2，解得33 / 4233x0yx01x⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2，y0y代入x02y21，得x2y21，即所求的曲方4高三数学试题第13页〔共4页〕34 / 4234程.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔C〕解：以极点O原点，极Oxx建立平面直角坐系，由cos()1，得(coscossinsin)1，333得直的直角坐方程x3y20．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分曲r，即x2y2r2，0321．所以心到直的距离d1因直cos(1与曲〔r0〕相切，所以rd，即31.⋯⋯⋯⋯⋯10分〔D〕解：由柯西不等式，得[x2(3y)2][12(3)2](x13y3)2，即4(x233 3y2)(xy)2．34而x23y21，所以(xy)2，所以223y3⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分35 / 423536 / 42363，33y31x2，所以当且当x3,y3，(x y)m ax23．由3，得3263x23y63所当xy 取最大x的3⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分x.BD ．又OP底面ABCD ，以O 原点，直22．解：〔1〕因ABCD 是菱形，所以ACOA,OB,OP分x ，y ，z ，建立如所示空直角坐系．A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(2,0,0),M(1,0,2)．u uuru uuur(1,uuuruuuur 所以AP(2,0,4)，BM1,2)，AP BM10，uu uruuuur6．|AP|25，|BM|uuuru uuur cosAP,BMz PMD C高三数学试题第14页〔共4页〕xOABy第2237 / 4237故直AP与BM所成角的余弦36.⋯⋯⋯5分u uuruuuur(2,1,0)(1,1,2)．〔2〕AB，BM平面ABM的一个法向量r(x,y,z)，nuuur2xy0AB，令x2，得y，zuuuur，得2z．nBM0得平面ABM的一个法向量r(2,4,3)．nuuur ruuur又平面PAC的一个法向量uuur(0,1,0)OB，所以nOB4，|n|29，|OB|1．uuuruuur44cosnOB29 n,OBuuur2929|n||OB38 / 4238|故平ABM与平面PAC所成二面角的余429.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分29Cn 0Cn12Cn1Cn2rC n r C n rnC n n1C n n23．解：〔1〕由条件，nf n①，在中令n1，得1C10C111．⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分在①中令n2，得2f2C20C212C21C226，得23．⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分在①中令n3，得3f3C30C312C31C323C32C3330，得310．⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分〔2想fn=C2n n1〔或n= C2n n1〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分欲猜测成立，只要等式nC2n nC n0Cn12Cn1Cn2rC n r1CnrnC n n1C n n成立．方法一：当n1，等式然成立，当n⋯2，因rC n r=r〔n!〕=n!r)!nr(n1)!r)!nC n r11，r r(r1)!139 / 4239!(n)!(n)!(n故rC n r1C n r(rCnr)Cnr1nC n r11Cnr1．故只需明nC2n n1nC n01C n0nC n11C n1nC n r11Cnr1nC n n11Cnn1．即C2n n1Cn1C n0C n11C n1Cnr11Cnr1C n n11C n n1．而C n r1Cnnr1，故即C2n n1Cn1C n n n11Cnn1Cnr11Cn nr1Cnn11Cn1②．由等式(1x)2n1x)n1(1x)n可得，左x n的系数C2n n1．而右(1x)n1(1x)nCn1Cn11xC n21x2LC n n11x n1Cn0C n1xC n2x2LC n n x n，所以x n的系数C n01C n nCn11C n nCnr11CnnrCnn11Cn1．高三数学试题第15页〔共4页〕40 / 4240由(1x)2n1(1x)n1(1x)n恒成立可得②成立.上，fnC2n n1成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分方法二：构造一个合模型，一个袋中装有2n1个小球，其中n个是号1，2，⋯，n的白球，其余n－1个是号1，2，⋯，n－1的黑球，从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步数原理其中含有r个黑球〔nr个白球〕的n个小球的合的个数Cn r1C n nr，0r n1，由分数原理有从袋中任意摸出n个小球的合的数C n01C n nC n11Cnn1L C n n11C n1．另一方面，从袋中2n1个小球中任意摸出n个小球的合的个数C2n n1．故C nCnC1Cn1LC n1C1，即②成立.余下同方法2n11n1n n1n一.⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 0分方法三：由二式定理，得1x)nCnCn1x Cn2x2LCnn x n③．两求，得n(1x)n1Cn12C n2x1L rC n r x r1nC n nx n1④．③×④，得n(1x)2n 1(C n0Cn1xC n2x2C n n x n)(Cn12C n2x1rC n rx r1LnC n n x n1)⑤．左x n的系数右x n的系数C1n C n02C n2C n1C n0C n12C1n C n2由⑤恒成立，可得故立.nC2n n1．Cn1Cnn2C n2Cnn1rCnr Cnnr1nC n n C n1rC n r C n r1nC n nC n n1rC r1C r nC n1C n．n n nnC2nn1Cn0Cn12C n1C n2rC nr1Cnr nC n n1C n n．n C2n n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分高三数学试题第16页〔共4页〕。

南京、盐城高中高三一模数学试卷试题与包括答案解析.doc

市、市 2018 届高三年级第一次模拟考试数学试题( 总分 160 分，考试时间 120 分钟 )注意事项：1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的、号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式： VSh ，其中 S 为底面积 , h 为高 .一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合 Ax | x( x 4) 0 ， B 0,1,5 ，则 A I B▲ ．2．设复数 z a i (a R,i 为虚数单位），若 (1 i ) z 为纯虚数，则 a 的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级 4000 名学生中随机抽取 100 名学生进行问卷调查，所得数据均在区间 [50,100] 上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在 [70,80) ( 单位：分钟 ) 的学生人数为 ▲ ．频率组距Read x0.035If x0 Then ayln x0.020 Elsee x0.010yEnd If 0.005Print y5060 70 80 90 100 时间 (单位 :分钟 )第 3 题图第 4 题图4．执行如图所示的伪代码，若x 0 ，则输出的 y 的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球，球的编号分别为 1， 2， 3， 4，若从袋中一次随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为 ▲ ． 6．若抛物线y 2x 2 y 2 1的右焦点重合，则实数 p 的值为 ▲ ．2 px 的焦点与双曲线547．设函数 y e x1a 的值域为 A ，若 A[0,) ，则实数 a 的取值围是▲．e x8．已知锐角, 满足 tan 1 tan 1 2 ，则的值为▲．9．若函数y sin x 在区间 [0, 2 ] 上单调递增，则实数的取值围是▲．10．设S n为等差数列a n的前 n 项和，若a n 的前 2017 项中的奇数项和为2018，则S2017 的值为▲．x(3 x), 0 x 3,11．设函数f ( x)是偶函数，当x≥0 时，f (x) = 31, x>3 ，若函数 y f ( x) mxm的取值围是有四个不同的零点，则实数▲．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y k (x 3 3) 上存在一点 P ，圆 x2 ( y 1)2 1上uuur uuur存在一点 Q ，满足 OP 3OQ ，则实数 k 的最小值为▲． A 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若 A, B,C , D 四点均位于图中的“晶格点”处，且 A, B 的位置所图所示，则AB CD的最大值为▲．14．若不等式k sin2B sin Asin C 19sin B sin C 对任意ABC 都成立，B 则实数 k 的最小值为▲．第 13 题图二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分 . 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域）15． ( 本小题满分14 分 )如图所示，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， CA CB ，点M , N分别是AB, A1B1的中点.（ 1）求证：BN∥平面A1MC；C1（ 2）若A1M AB1，求证： AB1 AC1 . A N 1B1A CMB第 15 题图16． ( 本小题满分14 分 )在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 c 5 b .（ 1）若C 2B ，求 cosB 的值；2uuur uuur uuur uuur cos() 的值．（2）若AB AC CA CB ，求 B417． ( 本小题满分14 分 )有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边 AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O 为圆心、EOF 120 的扇形，且弧??EF , GH 分别与边 BC , AD 相切于点 M , N ．（ 1）当 BE 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；（ 2）当 BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？BMNCMEEFFOG HGNHAND第 17 题 -图甲第 17 题 -图乙18. ( 本小题满分 16 分 )xOy 中，椭圆 x 2 y 2B ，点如图，在平面直角坐标系C :2b 2 1(a b 0) 的下顶点为aM , N 是椭圆上异于点 B 的动点，直线 BM , BN 分别与 x 轴交于点 P, Q ，且点 Q 是线段 OP 的中点．当点 N 运动到点 ( 3,3) 处时，点 Q 的坐标为 ( 2 3,0) ．23（ 1）求椭圆 C 的标准方程；uuur uuuur（ 2）设直线 MN 交 y 轴于点 D ，当点 M , N 均在 y 轴右侧，且 DN 2NM 时，求直线BM 的方程．y DN Q MO P xB第 18 题图19． ( 本小题满分16 分 ) 设数列 a n 满足 a n 2 an 1an 1 ( a2 a1 )2，其中 n⋯2 ，且 n N ，为常数.（ 1）若a n 是等差数列，且公差 d 0 ，求的值；（ 2）若a1 1,a2 2, a3 4 ，且存在r [3,7] ，使得 m a n卪n r 对任意的n N*都成立，求 m 的最小值；（ 3）若0 ，且数列a n不是常数列，如果存在正整数T ，使得a n T a n对任意的n N *均成立. 求所有满足条件的数列a n中T的最小值.20． ( 本小题满分16 分 )设函数 f (x) ln x ， g( x) ax bR ）.c （ a,b, cx（ 1）当c 0 时，若函数 f ( x) 与 g( x) 的图象在x 1 处有相同的切线，求a,b的值；（ 2）当b 3 a 时，若对任意x0 (1, ) 和任意a (0,3)，总存在不相等的正实数x1 , x2，使得 g (x1) g (x2 ) f ( x0 ) ，求 c 的最小值；（ 3）当a 1 时，设函数y f (x) 与 y g( x) 的图象交于 A(x1, y1 ), B( x2, y2)( x1x2) 两点．求证： x1 x2 x2 b x1x2 x1.市、市 2018 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，计 70 分 .1 ．1 2．1 3 ． 1200 4．15 ．26 ． 67．( ,2]38 ．3 110 ． 4034 11912 ．313 ． 249 ． (0, ] ． [1, )4 4 414． 100二、解答：本大共 6 小， 90 分 . 解答写出必要的文字明，明程或演算步，把答案写在答的指定区域 .15．明：（ 1）因 ABCA 1B 1C 1 是直三棱柱，所以AB / / A 1B 1 ，且 AB A 1B 1，又点 M , N 分是 AB, A 1 B 1 的中点，所以 MB A 1 N ，且 MB / / A 1 N ．所以四形A 1 NBM是平行四形，从而A 1M / / BN ．⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又 BN平面 A 1MC， A 1 M平面A 1MC，所以BN∥ 面A 1MC ．⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ 2）因 ABCA 1B 1C 1 是直三棱柱，所以 AA 1底面 ABC ，而 AA 1面 ABB 1 A 1 ，所以面 ABB 1 A 1 底面 ABC ．又 CACB ，且 M 是 AB 的中点，所以 CMAB ．由面 ABB 1 A 1 底面 ABC ，面 ABB 1A 1 I底面 ABC AB ，CM AB ，且CM底面ABC，得CM面ABB 1 A 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分又AB 1面ABB 1 A 1，所以AB 1CM ．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分又 AB 1 A 1M ， A 1M , MC平面 A 1MC ，且 A 1M I MCM ，所以AB 1平面A 1MC ．⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分又AC 1平面A 1 MC，所以AB 1 A 1C ．⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分16 ．解：（ 1c5）因b，由正弦定理，得2sin C5sin B ．⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分2又C2B，所以sin 2B5sin B，即24sin B cosB 5sin B ．⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又 B 是ABC 的角，所以sin B 0，故cosB 5⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分．4uuur uuur uuur uuurba cosC ，由余弦定理，（ 2）因 ABAC CA CB ，所以 cb cos A得b 2c 2 a 2 b 2 a 2 c 2 ，得a c ．⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分从而a 2c 22 c2c 2( 2c) 23cosBb5⋯⋯⋯⋯⋯ 122ac2c 2，5分又 0B，所以 sin B1 cos2 B4 ．5从而cos(B) cosB cos sin B sin3 24 22⋯⋯⋯⋯⋯ 144 5 252．分4 41017．解：（ 1）在甲中，接MO 交 EF 于点 T ． OEOF OM R ，在Rt OET 中，因EOT1 EOF60，所以 R，2OTR ．2MTOMOT2R从而BE，即MTR 2BE 2 . 2⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分故所得柱体的底面SS扇形OEFSOEFMN1 R 21 R 2sin120 43 .⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分BT32EG4 3EF又所得柱体的高，O所以 VSEG16 4 3 .3答：当 BE 1 分米，折卷成的包装盒的容GH164 3 立方分米 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分3x ， R2x ，所以所得柱体的底面A（ 2） BESS扇形OEFSOEF1 R21R 2sin120 (43) x 2 .323 又所得柱体的高 EG 62x ，所以VS EG(82 3)( x 33x 2 )，其中0 x3 .3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分令 f ( x)x 3 3x 2 , x (0,3) ，由 f ( x)3x 2 6x3x(x 2) 0 ，解得x 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分列表如下：x(0, 2)2(2,3)f ( x) ＋ 0 －f ( x)增极大减所以当 x 2 ， f ( x) 取得最大 .答：当 BE的2分米，折卷成的包装盒的容最大 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18 ．解：（ 13 2 3,0) ，得直NQ 的方程）由 N ( 3,), Q (23y 3 x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分2令 x 0 ，得点 B 的坐 (0,3) ．所以的方程x 2 y 2 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分a23将点 N 的坐 (3, 3)2所以 x 2 y 2 ．413( 3) 2( 3 ) 2代入，得21，解得 a 2 4 ．a 23C的准方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（ 2）方法一：直BM 的斜率 k(k0) ，直 BM 的方程 y kx 3 ．在 ykx3 中，令 y0，得 x P3Q是段 OP 的中点，所以 x Q3 ，而点．kBN2k所以直的斜率kBN0 (3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分kBQ32k ．2ky kx 34k 2 ) x 28 3k2．立x 2 y 2 ，消去 y ，得 (38 3kx 0 ，解得 x M4 3 13 4k2kk用代，得x N16 3k 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分3 16 kuuur uuuur又DN 2NM ，所以x N 2( x M x N )，得2x M3x N ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分故 28 3k 316 3k ，又 k 0 ，解得 k 6 ．3 4k 23 16k 22所以直BM的方程y 6 x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分2方法二：点 M , N 的坐分 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ．由 B(0, 3) ，得直BN的方程y y1 3x 3 ，令y 0，得x Py1 3x1 ．x1 3同理，得 x Q3x2．y2 3而点 Q 是段OP 的中点，所以x P 2x Q ，故3x1 2 3x2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分y1 3 y2 3uuur uuuur 2x1 1 4 3又 DN 2NM ，所以 x2 2( x1 x2 ) ，得 x2 0 ，从而y2 ，3 y1 3 3解得y2 4y1 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 3 3分x2 2x1 代入到 C的方程中，得x12 3) 2将 3 (4 y1 1 ．y2 4y13 9 27 3 32y12 4(1 y12 4(13 ) (4 y1 3) 22 2 y13 0 ，又 x1 ) ，所以9 27 1，即 3y13解得 y1 3 （舍）或y13．又 x1 0 ，所以点M 的坐34 2 3M ( , ) ．⋯⋯⋯⋯⋯14分3 3BM故直的方程y 6 x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分22 d 2，19．解：（ 1）由意，可得a n (a n d)(a n d)化得( 1)d 2 0 ，又 d 0 ，所以1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2）将a1 1,a2 2, a3 4 代入条件，可得 4 1 4 ，解得0 ，所以 a n2 a n 1a n 1，所以数列a n 是首1 ，公比q 2 的等比数列，所以a n 2n 1 .⋯⋯ 6 分欲存在 r[3,7] ，使得 m 2n 1⋯nr ，即 r ⋯nm 2n 1 任意 nN * 都成立，7⋯n m 2n 1，所以⋯n7 任意n N*成m 2n 1都立 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分令 b n n 7b nn 6 n 7 8 nn 1 ， b n 1 2 n2 n 12 n ，2所以当 n 8 ， b n 1b n ；当 n8 ， b 9 b 8 ；当 n 8 ， b n1b n．所以b n 的最大b 9b 8 1 ，所以 m的最小1281 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分128（ 3）因数列a n 不是常数列，所以 T ⋯2 ．①若 T2 ， a na n 恒成立，从而 a 3a 1 ， a 4a 22 a 1 2( a 2 a 1 )22a 2 ，所以a 2 2 ( a 2，a 12 a 1 ) 2所以 (a 2 a 1 )2 0 ，又0 ，所以 a 2a 1 ，可得 a n 是常数列．矛盾．所以T 2不合意 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分1, n 3k 2② 若 T3 ，取 a n2, n3k 1 ( k N * ) （ * ），足 a n 3a n恒成3, n 3k立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分由 a 2 2a 1a 3(a 2 a 1) 2，得7 ．条件式 a n 2a n 1an 17 ．由 221 ( 3)7 2a 3k 2 a 3 k ，知 a 3k 1由 ( 3)22 1 7 ，知 a 3k 2 a 3k 1 a3 k 1 由 12( 3) 27 2 a 3k a3 k 2，知 a 3k 1所以，数列（ * ）适合意．所以T的3 .(a 2 a 1) 2 ； (a 2 a 1 )2 ； (a 2 a 1) 2 ．最小⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分20．解：（ 1）由 f ( x) ln x ，得 f (1)0 ，又 f (x) 11 ，. ，所以 f (1)b xb 当c 0， g( x) axg (x) a，所以 x 2g (1) a b .x⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因函数 f (x) 与 g (x) 的象在 x1 有相同的切，，所以所f (1)g (1) 以g(1)f (1)a 12 .，a b 1解得即b，a 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1b2（ 2）当x0 1， f (x0 ) 0 ，又b 3 a ，t f ( x0 ) ，意可化方程ax 3 ac t(t 0) 在 (0, ) 上有相异两根xx1, x2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分即关于 x 的方程 ax2 (c t ) x (3 a) 0(t 0) 在 (0, ) 上有相异两根 x1, x2．0 a 3(c t) 2 4a(3 a) 0 0 a 3c t所以x1 x2 0 ，得( c t ) 2 4a(3 a) ，ac t 03 ax1x2 0a所以 c 2 a(3 a) t立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分t (0,), a (0,3)恒成因 0 a 3，所以2 a(3 a)? 2 ( a(3 a))2 3 （当且当 a 3 取等号），2 2又 t 0 ，所以 2 a(3 a) - t 的取是( ,3) ，所以c⋯3．故 c 的最小3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ 3）当a 1 ，因函数 f (x) 与 g (x) 的象交于 A, B 两点，ln x1 x1 bc所以x1 ，两式相减，得bln x2 x2 cx2b x1x2 (1 ln x2 ln x1 ). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分x2 x1要明 x1 x2 x2 b x1x2 x1，即 x1x2 x2 x1x2 (1 ln x2 ln x1 ) x1 x2 x1，x2 x1即1 ln x2 ln x1 1，即x2x2x1x11 x 1ln x 2 x 2 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分x 2 x 1x 1令x2t ， t1，此即 1 1ln t t 1 ．x 1t令111 t1t(t)ln t1 ，所以(t )0 ，所以当，函数(t )tt 2t 2 1增．t又 (1)0 ，所以 (t)ln t1 1 0 ，即 1 1 ln t 成立；t t再令 m(t ) ln tt 1 ，所以 m (t )1 1 1 t t 0 ，所以当 t 1 ，函数 m(t )t减，又 m(1) 0 ，所以 m(t )ln t t 10 ，即 ln tt 1也成立．上所述，数x 1 , x 2足x 1x 2 x 2 b x 1 x 2 x 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分附加题答案21．（A ）解：如，接 AE ， OE ，因直 DE 与⊙ O 相切于点 E ，所以 DE OE ，又因 AD 垂直 DE 于 D ，所以 AD / / OE ，所以 DAEOEA ，①在⊙ O 中 OE OA ，所以OEA OAE ，② ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分由①②得 DAE OAE ，即 DAE FAE ，又 ADE AFE ， AE AE ，所以 ADEAFE ，所以 DE FE ，又 DE 4 ，所以 FE 4 ，即 E 到直径 AB 的距离 4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ B ）解： Px 0 , y 0 是 x 2 y 21上任意一点，x 02 y 02 1，ED·A F OB第 21(A)点 Px 0 , y 0 在矩 M 的下所得的点x 2 0 x 0 ，Q x, y ，0 1 y 0y即x 2x 0，解得yy 0x1 x2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分y 0y代入x 02y 021 ，得x 2y 21，即所求的曲方4程 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ C ）解：以极点O 原点，极 Ox x 建立平面直角坐系，由cos() 1，得 (cos cos sin sin )1 ，3 33得直的直角坐方程x3 y2 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分曲r ，即 x 2 y 2 r 2 ，所以心到直的距离d 0 3 0 2 1．13因直cos() 1 与曲r （ r0 ）相切，所以 rd ，即3r 1 .⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ D ）解：由柯西不等式，得[ x2( 3 y)2 ][12( 3)2 ]( x 13 y3 )2 ，33即 4(x 23y 2 ) ( x y) 2 ．34而x 2 3y 21 ，所以( x y)2，所以223x y3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分333x 3y313x2 ，所以当且当 x 3, y3 ， ( x y)max23 ．由3，得3 26 3xy2 3y63x yx所以当取最大的3⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分x.2BD ．又 OP 底面 ABCD ，以 O 原点，直 22．解：（ 1）因 ABCD 是菱形，所以 ACOA,OB , OP 分 x ， y ， z ，建立如所示空直角坐系．A(2,0,0) , B(0,1,0) , P(0,0,4) , C ( 2,0,0) , M ( 1,0,2) ．uuur uuuur( 1,uuur uuuur所以 AP( 2,0, 4) ， BM 1,2) ， AP BM 10 ， zuuur uuuur 6 ．| AP | 2 5 ， | BM | Puuur uuuuruuur uuuur 1030cosAP BMMAP, BM uuur uuuur2 56 ．| AP || BM | 6故直 AP 与 BM 所成角的余弦30 . ⋯⋯⋯ 5 分 DCuuur uuuur6（ 2） AB (2,1,0) ， BM (1, 1,2) ．xOABy第 22r平面ABM 的一个法向量 n ( x, y, z) ，r uuur 0 2x y 0 n AB ，令 x 2 ，得 y 4 ， z 3r uuuur 0 ，得 x y 2z ．n BM 0得平面 ABM 的一个法向量 r (2, 4,3) ．n r uuur r uuur又平面 PAC 的一个法向量 uuur (0,1,0) 29OB ，所以 n OB 4 ， | n |， | OB | 1 ．r uuurr uuur44cosn OB29 .n, OBruuur2929| n ||OB |4故平面ABM 与平面 PAC 所成二面角的余弦29.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分29C n 0C n 1 2C n 1C n 2rC n r 1C n rnC n n 1C n n23．解：（ 1）由条件， nfn①，在① 中令n 1，得f 1C 10C 11 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分在① 中令n 2，得2 f 2C 20C 21 2C 21C 226 ，得f 23 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分在 ① 中令n 3，得3f 3 C 30C 31 2C 31C 32 3C 32 C 33 30，得f 3 10 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（2 ）猜想f n=C 2n n 1（或f n = C 2n n 1 1 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分欲猜想成立，只要等式nC 2n n 1 C n 0 C n 1 2C n 1C n 2rC n r 1C n rnC n n 1C n n 成立．方法一：当 n1 ，等式然成立，当 n ⋯2 ，因 rC n r =r （ n!）= n! r )! n (r (n 1)! r )! nC n r 11 ，r !(n r )! (r 1)!( n 1)!( n故 rC n r 1C n r (rC n r )C n r 1 nC n r 11C n r 1 ．故只需明 nC 2n n 1nC n 0 1C n 0 nC n 1 1C n 1nC n r 11C n r 1nC n n 11C n n 1．即 C 2n n 1C n 0 1C n 0 C n 1 1C n 1 C n r 11C n r 1C n n 11C n n 1 ．而 C n r 1 C n n r 1 ，故即 C 2n n 1 C n 0 1C n n C n 1 1C n n 1C n r 11 C n n r 1 C n n 11C n 1 ②．由等式 (1 x) 2 n 1(1 x) n 1 (1 x) n 可得，左 x n的系数 C 2n n 1 ．而右(1 x)n 1 (1 x) nC n 0 1 C n 1 1 x C n 2 1 x 2 L C n n 11 x n 1 C n 0 C n 1 x C n 2 x 2L C n n x n ，所以 x n 的系数 C n 0 1C nn C n 1 1C n n1C n r11C n n r 1C n n 11C n 1 ．由 (1 x) 2n 1(1 x) n 1 (1 x)n 恒成立可得②成立 .上，f n C 2n n 1成立 .2n 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分方法二：构造一个合模型，一个袋中装有n 个是号1， 2，⋯， n个小球，其中的白球，其余n－1个是号1， 2，⋯，n－ 1 的黑球，从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步数原理其中含有r 个黑球（n r 个白球）的 n 个小球的合的个数C n r 1C n n r ，0 r n 1 ，由分数原理有从袋中任意摸出n 个小球的合的数C n01C n n C n11C n n 1 L C n n11C n1．另一方面，从袋中 2n 1 个小球中任意摸出n个小球的合的个数C2n n 1．故C2n n 1 C n0 1 C n n C n1 1C n n 1 L C n n 11C n1，即②成立. 余下同方法一 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分方法三：由二式定理，得(1 x)n C n0 C n1 x C n2 x2 L C n n x n ③．两求，得n(1 x)n 1 C n1 2C n2x1 L rC n r x r 1 L nC n n x n 1 ④．③×④，得 n(1 x)2n 1 (C n0 C n1 x C n2 x2 L C n n x n )(C n1 2C n2 x1 L rC n r x r 1 L nC n n x n 1 ) ⑤．左 x n的系数nC2n n 1．右 x n的系数C n1C n n 2C n2 C n n 1 rC n r C n n r 1 nC n n C n1C n1C n0 2C n2C n1 rC n r C n r 1 nC n n C n n 1C n0C n1 2C n1 C n2 rC n r 1 C n r nC n n 1 C n n．由⑤恒成立，可得 nC2n n 1 C n0C n1 2C n1 C n2 rC n r 1 C n r nC n n 1C n n．故f n C2n n 1成立 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分。

南京、盐城2018年高三一模数学试题与答案解析

市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的、号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则AB = ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值围是 ▲ ．时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图第4题图8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ． 9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB AC ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截A第13题图 ABC A 1B 1C 1 MN第15题图取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第17题-图甲 F 第17题-图乙19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC，所以11AB A C ⊥． ……………14分16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin C B =． ……………2分又2C B=，所以5sin 2B B =，即4sin cos 5B B B =． ……………4分又B是ABC ∆的角，所以sin 0B >，故5cos B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而2223cos 25a cb B ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而34cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-． (14)分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2R BE MT ==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由N Q，得直线NQ的方程为32y x=…………………2分令0x=，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x ya+=．…………………4分将点N的坐标)22(213+=，解得24a=．所以椭圆C的标准方程为22143x y+=． (8)分（2）方法一：设直线BM的斜率为(0)k k>，则直线BM的方程为y kx=在y kx=0y=，得Pxk=，而点Q是线段OP的中点，所以2Qxk=．所以直线BN的斜率2BN BQk k k===．………………10分联立22143y kxx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x+-=，解得234Mxk=+．用2k代k，得Nx=．………………12分又2DN NM=，所以2()N M Nxx x=-，得23M Nx x=．………………14分故23=0k>，解得k=．所以直线BM的方程为2y x =-． ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP的中点，所以2P Qx x =，故=…………………10分又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得2143y y =+ …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -+=21120y +=，解得1y =（舍）或1y =．又10x >，所以点M 的坐标为M ．……………14分故直线BM 的方程为y x =-． …………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-，即12n r n m --⋅对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅，所以172n n m --对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n n nn n n n nb b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T ．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当c =时，()bg x ax x=+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t>对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以)2(3a +⨯=（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t tϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，ABE DF O · 第21(A)图由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当26x y ==时，max ()x y += 所以当x y+取最大值时x 的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM . ………5分（2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．C第22题图设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则4cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n nnn n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n n n n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。

2018届江苏省盐城中学高三上学期12月月考试题数学试题及答案精品

FAD ECB高三年级阶段性随堂练习数学试题一、填空题：1.已知集合{}03A x x =<<，{}10B x x =-<，则A B ⋂= .2.命题:3p πα=,命题:tan q α=p 是q 条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）3.函数()2sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为． 4.已知函数212log (1)y x =-的单调递增区间为．5.直线023=+-k y x 在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k 的值是 .6.若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 13=－104，则a 7的值为．7.已知实数y x 、满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥-.053,04,03y x y x y x 则目标函数z x y =-的最大值是． 8.曲线C ：xy xe =在点M （1，e ）处的切线方程为．9.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE与BD 交于点F ，则FD DE ⋅=uu u r uu u r．10.已知x 为正实数，且,22+=x xy 则错误！未找到引用源。

的最小值为．11.已知函数sin ()cos()6x f x x π=+,,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域为． 12.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为____． 13.设a 为非零实数，偶函数()()21f x xa x m x R =+-+∈在区间()2,3上存在唯一的零点，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和记为S ，又设13521,,,,2482n n n B -⎧⎫=⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭(,2)n N n *∈≥，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T，则22014S T +≥的最小正整数n 为．二、解答题：15.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知向量(,2)m b a c =-，(cos 2cos ,cos )n A C B =-，且m n ⊥ ．（1）求sin sin C A的值；（2）若2,||a m ==ABC 的面积S ．16.平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O 为圆心的圆所得（1）求圆O 的方程；（2）过点P 的直线l 与圆O 相切，求直线l 的方程．17.如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面.设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S . （1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S 的最大值.BD CAP18.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，右准线方程是4x =,左、右顶点分别为A 、B ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点M 满足MB ⊥AB ，直线AM 交椭圆于点P ，求证：OM OP ⋅为定值；（3）在（2）的条件下，设以线段MP 为直径的圆与直线BP 交于点Q ，试问：直线MQ 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．19.设各项均为非负数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n S na λ=（12a a ≠，R λ∈）．（1）求实数λ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式（用2,n a 表示）；（3）证明：当2(,,)m l p m l p N *+=∈时，2m l p S S S ⋅≤．20.已知函数()ln a f x x x=+，21()222g x bx x =-+，,a b R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）记函数()()()h x f x g x =+，当0a =时，()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；（3）记函数()()F x f x =，证明：存在a ，此时有一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．高三数学随堂练习答案（2014.10.25）二、填空题：1．已知集合{}03A x x =<<，401x B xx ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋂= . 解析：()401,41x B xx ⎧-⎫=<=⎨⎬-⎩⎭，A B ⋂=()1,3. 2. 函数()2sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为．解析：()2sin cos sin 2cos 2442f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期22T π==π. 3．命题:3p πα=,命题:tan q α=p 是q 条件．（填“充分不必要”， “必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中的一个）解析：充分不必要4．已知函数212log (1)y x =-的单调递增区间为．解析：(),1x ∈-∞-5. 直线023=+-k y x 在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k 的值是_____.6．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5⋅a 7的值为．327.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为________．8. 如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点F ，则FD DE ⋅=uu u r uu u r________．32-9. 已知函数f (x )＝sin x cos （x ＋π6）, x ∈[π12,π4]，求f (x )的值域．10.已知椭圆),0(12222>>=+b a by a x N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PN PM ,的斜率分别为)0(,2121≠k k k k ，若椭圆的离心率为23，则21k k +的最小值为．111. 设a 为非零实数，偶函数()()21f x xa x m x R =+-+∈在区间()2,3上存在唯一的零点，则实数a 的取值范围是 . 解析：()()21f x xa x m x R =+-+∈为偶函数，()()0f x f x m =-⇒=，结合图形可知()()230f f a ⋅<⇒∈105,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 12. 已知x 为正实数，且,22+=x xy 则错误！未找到引用源。

2018届江苏省盐城中学高三上学期4月月考试题-数学试题及答案-精品

高三年级阶段性随堂练习数学试题(2018.12 )命题人：钱俊朱丽丽一、填空题：1. 已知集合 A=｛x0<xv3｝， B=｛xx_1v0｝，贝卩 AcB = .2. 命题p ：,命题q ：ta n - .3 , p 是q 条件.3(填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个)3. 函数 f (x )=2sin ."x +昱 icos' x +I 4.丿J 4丿4. 已知函数y=log i (x 2—1)的单调递增区间为.25. 直线3x —2y k=0在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数k 的值是.6. 若S 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，S 3=— 104，贝U a ?的值为.工3x - y 一 0,7.已知实数x 、y 满足线性约束条件妆 + y-4兰0,则目标函数z=x-y 的最 -3y + 5 兰 0.大值是.8. 曲线C ： y=xe x 在点M( 1, e )处的切线方程为. 9. 如图，已知正方形ABCD 的边长为3, E 为DC 的中点，urn uuu与BD 父于点F ，贝U FD DE 二.10. 已知x 为正实数，且xy=2x 2,则2」的最小值为.x y —2审题人：朱启东B“已知函数吩益,f(x)的值域为.形，则椭圆的离心率为 ______ .13. 设a 为非零实数，偶函数f x =x 2 ax_m 1 x. R 在区间2,3上存在唯一的零点，则实数a 的取值范围是.14. 已知等比数列注[的首项为-，公比为--，其前n 项和记为S ，又设33B n 二I,3,5,…，容(n ・N , n_ 2)，B n 的所有非空子集中的最小元素的和为 [2 4 8 2 JT ，则S 2T _2014的最小正整数n 为.二、解答题：15. 在厶ABC 中，角A B C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量m = (b,a —2c), n=(cos A-2cos C,cos B)，且 m_n .(1) 求sinC的值；si nA.(2) 若 a=2,|m| = 3 /5，求△ ABC 勺面积 S.16.平面直角坐标系xoy 中，直线x-y T=0截以原点 0为圆心的圆所得的弦长为.6 . (1) 求圆O 的方程；12.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为 120的等腰三角(2)过点P(、、2,2)的直线I与圆0相切，求直线l的方程.17.如图，ABC 是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在 A 处同时出发，沿直线 AP 、AQ 向前联合搜索，且NPAQ ）（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面4四边形APCQ 围成的海平面.设.PAB “，搜索区域的面积为 S . （1）试建立S 与tanr 的关系式，并指出二的取值范围；（2）求S 的最大值.2 2厉18.如图，在直角坐标系 xOy 中，椭圆召Z=i （a b.o ）的离心率为 —，a b2右准线方程是x=4,左、右顶点分别为 A B. （1）求椭圆的标准方程；_（2）若动点 M 满足MBLAB 直线AM 交椭圆于点巳求证：OM O P 为定值；CPB(3)在(2)的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q 试问：直线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.19.设各项均为非负数的数列「和的前n项和为S p , S n =人na* ( a*i h a?, ■ R).(1)求实数•的值；(2)求数列:aj-的通项公式(用n, a?表示)；(3)证明：当m l=2p(m,l,p・ N )时，S m S^ < Sp2.20.已知函数f(x)二旦+ lnx , g(x)=】bx2-2x + 2 , a,b R .x 2(1)求函数f(x)的单调区间；(2)记函数h(xH f(x) g(x),当a=0时,h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；(3)记函数F(x)=f(x)，证明：存在a，此时有一条过原点的直线I与y 二F(x)的图象有两个切点.高三数学随堂练习答案（2018.10.25 )5填空题:1 .已知集合 A ={x0<；x <3} , B =』x % -° 龙 o I ，贝U AcB = .I x_1 J 角牛析：B=』x ---- c O »=(1,4 ), AcB = (1,3). 2.函数f x ；=2sin !x cos x的最小正周期为.'丿 I 4丿J 4丿解析：f x =2sin !x cos x sin 2x ： cos2x ，所以最小正周期 T =-.'丿 I 4丿I 4丿 J 2丿 23 .命题p：,命题q ：ta n ：• -、.3, p 是q 条件.3(填“充分不必要”， “必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中的一个)解析：充分不必要4 .已知函数y=log i (x 2—1)的单调递增区间为.解析： x 一：：,一125.直线3x —2y • k 二0在两坐标轴上的截距之和为 2，则实数k 的值是值为.32形，则椭圆的离心率为 __________6.若S 为等差数列{a n }的前n 项和， S e =— 36, S 13=—104，贝U a s a 7 的7.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为 120的等腰三角8.如图，已知正方形 ABCD 的边长为3, E 为DC 的中点，AE 与BD 交于59.已知函数f (x )=sin xcosn (x+ -) n n ‘ ，，，亠…uuu uuu点 F ，贝U FD DE 二2 210.已知椭圆笃•当=1（a b 0）,M , N 是椭圆上关于原点对称的两点， P 是a b椭圆上任意一点，且直线 PM,PN 的斜率分别为k 「k 2（k i k 2 =0），若椭圆的离心率为弓，则k i k 2的最小值为.111.设a 为非零实数，偶函数 f x =x 2 • a x_m • 1 x ・R 在区间2,3上存在唯一的零点，则实数a 的取值范围是.13.已知圆C ：（x-2）2+y 2=4，点P 在直线| : y=x+2上，若圆C 上存在14.已知等比数列、的首项为，公比为'，其前「项和记为、，又设实彳异丁……，孚斗应犷空2）, £的所有非空子集中的最小元素的和JH为J,则丄的最小正整数「为. 解析:45解析:f x 二f —x = m =0，结合图形可知1 x ・R 为偶函数， 5 f2 f 3二 a .12.已知x 为正实数，且xy=2x 2,则2 .丄的最小值为2x y —2f x =x 2 a x -m105P 的横坐标的取值范围则点解：由题意有?_7--了，对于和'，我们首先把■'中的元素1-(--) 33的任一元素 —Ur 比它大的有：1个，这：1个元素组成的集合的所有子集有-「个，把—加进这些子集形成新的集合，每个都是以丄—为最小元素的..的子集，而最小元素为丄的.的子集也只有这2#I?2#耳些，故在.中^出现「次，所以T土1/+综x2“+…+上迈+5 + 2x2+电耳 +心 +…+ ?2#2S_116284222-i —<，:时，丄」适合上式'.时'二•当：—J不成立，当*二时，：：丨..「「：「厂「一-二比’\讥比」二由于(_$ <1,轩二1936,好二2025,所以沦45,最小的w 为45 • 二、解答题：15 .在△ ABC 中，角A B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知向量U = (b,a-2c),4H 4n =(cos A-2cos C,cos B)，且 m_n .(1)求 SinC的值；(2)若 a=2,|m|4.5，求△ ABC 的面积 S.sin A按从小到大顺序排列，当'.一时，2" 21-1对于瓦中摆:(1)方法一'由 wr 丄“得,b (cos —?ccisC) + (a2c>cos5^0- .................. ...... ... .. ............... ....根据正弦定理 isinBcos.A ^SsinBcosC+sinAcosB - 2sinCcos7?=0..…卄…… 因此(s ITIJ B COS A+s in Aca s B ) — 2(smBcosC-J-sitjCcos^) = 0,即sin(X + B) —2sin(B4-C)^0. .......................... 因A-\-B-\-C = n,所以 sinC —2sin rf 4 —0.方法二二:由 jat I j» 得f^(cosA --2cosC) + (a —2c)cosB=0* ................ ... ............... ... 根据金弦定理得，+纠皆一梆咛一沁咛^^卩| ^2■■!■■!■■ ■■■■!■!■ t ・・t ・ ■■■.・■・ *甲19・・ I** — ■■峙 ■♦期！■ *■■■!■■!■**¥*■(2)因为 a=2j 由(1,c=2a=4.16. 已知圆C 经过P (4,- 2), Q (- 1, 3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4.3，半径小于5. (1) 求圆C 的方程.(2) 若直线I // PQ 且I 与圆C 交于点 A B, ZAOB =9O 。

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试卷与答案

市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的、号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ． 9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值围是 ▲ ．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图第4题图11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =u u u r u u u r，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知5c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，求cos()4B π+的值．A第13题图ABCA 1B 1C 1MN第15题图有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点2处时，点Q的坐标为(,0)3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =u u u r u u u u r时，求直线BM 的方程．第17题-图甲 F H 第17题-图乙设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.A B ED F O· 第21(A)图[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M B C D O P 第22题图市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞ 8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412．3．24 14．100 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A I 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =I ，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． ……………14分 16．解：（1）因为5c =，则由正弦定理，得5sin C B =． ……………2分又2C B =，所以5sin 22B B =，即4sin cos 5B B B =． ……………4分又B 是ABC ∆的角，所以sin 0B >，故5cos 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而222()35cos 25c c c a c b B ac +-+-===， ……………12分又0B π<<，所以24sin 1cos 5B B =-=．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2R MT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=-分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分列表如下：所以当x =答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由2N Q ，得直线NQ 的方程为32y x = …………………2分令0x =，得点B 的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分将点N的坐标2213=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P x =，而点Q 是线段OP 的中点，所以Q x = 所以直线BN 的斜率2BN BQk k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得M x =．用2k 代k，得2316N x k =+． ………………12分又2DN NM =u u u r u u u u r ，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM的方程为2y x =． ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==…………………10分又2DN NM =u u u r u u u u r ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=，解得2143y y =． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3y x =-，所以214(1)319y -+=21120y +=，解得1y =1y =．又10x >，所以点M的坐标为(3M ．……………14分故直线BM的方程为y x =-． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-…，即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅…，所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n n n n n n n n b b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以23=（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值围是(,3)-∞，所以3c …．故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，ABE DF O · 第21(A)图设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1(](1)33x x ++≥⨯+⨯，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩26x y ==时，max ()x y += 所以当x y +取最大值时x的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-u u u r ，(1,1,2)BM =--u u u u r，10AP BM ⋅=u u u r u u u u r ，||AP =u u u r ，||BM =u u u u r．则cos ,6||||AP BM AP BM AP BM ⋅<>===u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r ．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分（2）(2,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,2)BM =--u u u u r．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r，C第22题图则0n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =r．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =u u u r ，所以n r 4OB ⋅=u u u r，||n =r ||1OB =u u u r ．则cos ,||||n OB n OB n OB ⋅<>===r u u u rr u u u r r u u ur 故平面ABM 与平面PAC………………10分23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++L L ，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++L ．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++L ，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++L ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++L L ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++L L L ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立. ………………10分。