2019-2020学年高三数学大一轮复习 5.5专题研究平面向量的综合应用导学案.doc

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高考数学一轮复习---平面向量的综合应用

平面向量的综合应用考点一平面向量与平面几何例、在平行四边形ABCD 中，|AB ―→|＝12，|AD ―→|＝8.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．36D ．6 跟踪训练1．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角形 2．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，|AB ―→|＝|PB ―→|＝|PC ―→|＝2，则△ABC 的面积等于( )A. 3 B ．23 C ．3 3 D ．433.如图，在扇形OAB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，M 是OA 的中点，点P 在弧AB 上，则PM ―→·PB ―→的最小值为________．考点二平面向量与解析几何例、已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．跟踪训练1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为________．考点三平面向量与三角函数例、已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解题技法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．跟踪训练1．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝ (cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3课后作业1．已知向量a ＝⎪⎭⎫⎝⎛6sin,6cosππ，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛65sin ,65cos ππ，则|a －b |＝( ) A ．1 B.62 C. 3 D.1022．若向量OF 1―→＝(1,1)，OF 2―→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10 B ．25 C. 5 D.153．已知圆O 是△ABC 的外接圆，其半径为1，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，AB ＝1，则CA ―→·CB ―→＝( ) A.32B ．3 C. 3 D ．23 4．已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,cos A 与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π25．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43D ．－16．已知向量a ＝(4,0)，b ＝(2,23)，非零向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，|c |的最大值与最小值分别为m ，n ，则m －n 的值为( )A ．1B ．3C ．2D ．47．已知△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x －y ＝________.8．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k >0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k ＝________.9.如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝3，AB ―→与AC ―→的夹角为60°，则|OA ―→|＝________.10．在平面直角坐标系中，A (－2,0)，B (1,3)，O 为坐标原点，且OM ―→＝αOA ―→＋βOB ―→(α＋β＝1)，N (1,0)，则|MN ―→|的最小值为________．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π (1)若m ⊥n ，求t a n x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．在△ABC 中，AB ―→⊥AC ―→，M 是BC 的中点．(1)若|AB ―→|＝|AC ―→|，求向量AB ―→＋2AC ―→与向量2AB ―→＋AC ―→的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB ―→|＝|AC ―→|＝2，求OA ―→·OB ―→＋OC ―→·OA ―→的最小值．提高练习1．设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA ―→⊥OB ―→，则(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)的最大值是( ) A ．1＋2 B ．1－2 C.2－1 D ．12．在△ABC 中，BC ＝5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且OG ―→·BC ―→＝5，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．上述三种情况都有可能 3．已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛-21,sin 3x ，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2. (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,A ，b ，a ，c 成等差数列，且AB ―→·AC ―→＝9，求a 的值．。

2019届高考数学一轮复习第五章平面向量、复数 5-4 平面向量的综合应用课件文

当点 M(或点 N)与点 A 重合时，|C→E|最大，此时 |C→E|2＝12＋42－2×1×445＝553，所以C→M·C→N的最大值为458. 综上，C→M·C→N的取值范围是12159，458.故选 C.
[答案] (1)12 (2)C
[解题反思] 在本例(1)解法一中，注意向量A→D与D→C的夹角是∠ADC 的补角，而不是∠ADC，本例(2)中运用了结论“在△ ABC 中，若 D 为 BC 中点，则A→B·A→C＝|A→D|－14|C→B|2，能迅速求解具有共起点的两个向量的数量积问题．
解法二：如图，建立平面直角坐标系 xAy.
依题意，可设点 D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中 m>0， n>0，
则由A→B·A→C＝2A→B·A→D，得(n,0)·(m＋2，m) ＝2(n,0)·(m，m)，所以 n(m＋2)＝2nm，化简得 m＝2. 故A→D·A→C＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.
(3)平面几何中夹角与线段长度计算：
a·b ①cos〈a，b〉＝ |a||b|
＝
aa21＋1b1a＋22 ab221b＋2 b22，
②|AB|＝|A→B|＝ A→B2 ＝ x2－x12＋y2－y12 .
2．向量在解析几何中的应用
(1)向量 a＝(a1，a2)平行于直线 l，则直线 l 的斜率 k＝aa21(a1≠0)． (2)若直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线 l
(2)设 MN 的中点为 E，则有C→M＋C→N＝2C→E，所以C→M·C→N＝14[(C→M＋C→N)2－(C→M－C→N)2] ＝|C→E|2－14|N→M|2＝|C→E|2－1. 易知|C→E|的最小值等于点 C 到斜边 AB 的距离即152，所以 C→M·C→N的最小值为1522－1＝12159.

2019-2020学年高三数学一轮复习 5.3向量综合应用学案(二).doc

2019-2020学年高三数学一轮复习 5.3向量综合应用学案（二）【复习目标】1．强化平面向量的工具意识，培养使用平面向量解决平几、解几、三角函数、物理学及某些应用问题的能力；2．树立并不断加强数形结合、等价转化等数学思想的应用意识.【课前预习】1． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB AC OP OA AB AC λ=++（0λ≥），则P 的轨迹一定通过△ABC 的 A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心2．若、是不共线的向量，则x +y =时,x=_______,y=________.3．在水流速度为34km/h 的河中，如果要使船以12km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船的航行速度的大小为，方向是 .4．直角ΔABC 中，∠A=︒90，AB=1，则⋅的值是（） A ． 1 B ．–1 C ． 1± D ．不确定，与∠B 的大小、BC 边的长度有关5．给出下列命题：①在ΔABC 中，若BC AB ⋅<0,则ΔABC 是锐角三角形；②在ΔABC 中，若BC AB ⋅>0,则ΔABC 是钝角三角形；③ΔABC 是直角三角形⇔BC AB ⋅=0；④ΔABC 是斜三角形的必要不充分条件是BC AB ⋅≠0. 其中正确命题的序号是___________.【典型例题】例1 （1）已知作用于同一物体的两个力1F 、2F ，|1F |=5N ，|2F |=3N ，1F 、2F 所成的角为︒60，则|1F +2F |=_________; 1F +2F 与1F 的夹角为____________.（2）已知作用于A 点的三个力1F =（3，4），2F =（2，-5），3F =（3，1）且A （1，1），则合力F =1F +2F +3F 的终点坐标为（）A ． (9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ． (0,9)例2 已知两定点A （1，0），B （0，3），P 为曲线21x y -=上的动点，求⋅的最大值和最小值.例3 已知点A （－1，0）、B （1，0），点C 在直线230x -=上，且AC AB ⋅，CA CB ⋅，OA OB ⋅成等差数列，θ是CA 与CB 所成的角，求tan θ的值。

2019-2020高考数学(理-全国通用)大一轮复习高考试题汇编第五章平面向量含解析-精编试题

第五章平面向量第一节平面向量的线性运算及其坐标表示题型59 向量的概念及共线向量题型60 平面向量的线性表示——暂无题型61 向量共线的应用1.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）. A ．3B．D ．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅==△，即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤(其中sinϕ=，cosϕ=)，当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.2.(2017浙江理15)已知向量a，b满足1=a，2=b，则++-a b a b的最小值是，最大值是.解析解法一：如图所示，a+b和-a b是以,a b为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A是以O为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD，平行四边形ECOA．所以AB AC+-=+a+b a b．易知当A，B，C三点共线时，AB AC+最小，此时4AB AC BC+==；当AO BC⊥时，AB AC+最大，此时2AB AC AB+==解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a ba()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).所以当2cos 1θ=时，++-a b a b 取得最小值4；当2cos 0θ=时，++-a b a b 取得最大值题型62 平面向量基本定理及应用1.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，，OA 与OC 的夹角为α，且t a n 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒．若O C m O An O B =+(),mn ∈R ，则m n += ．B解析解法一：由题意OC OA mOA OA nOB OA OC OB mOA OB nOB OB⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ （*）而由tan 7α=，得sin α=，cos α=，11cos 4OA OB απ⎛⎫⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭3cos cos sin sin 445ααππ=⋅-⋅=-．将（*）式化简为13 5531 5m n m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①②式①加式②，得3m n +=．故填3．解法二（坐标法）：如图所示，以OA 所在的直线为x 轴，过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得()1,0A ，17,55C ⎛⎫⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由OC mOA nOB =+，得()1734,1,0,5555m n ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13557455m n n⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5474m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3m n +=．故填3．解法三（解三角形）：由tan 7α=，可得sin 10α=，cos 10α=，如图所示，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得57,44m n ==，所以3m n +=．题型63 平面向量的坐标运算1.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅…，则点P 的横坐标的取值范围是．解析不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致．题型64 向量共线（平行）的坐标表示——暂无第二节平面向量的数量积题型65 平面向量的数量积1.（2017天津理13）在ABC △中，60A =∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.解析解法一：如图所示，以向量AB ，AC 为平面向量的基底，则依题意可得1cos603232AB AC AB AC ⋅==⨯⨯=.又因为2BD DC =，则()22213333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+，则22212114533333AD AE AC AB AC AB λλλ⎛⎫-=⋅=-+-⋅=- ⎪⎝⎭，解得311λ=. DCBA解法二：以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系(如图所示).依题意易得()0,0A ，()3,0B，(C ，()=3,0AB ，(BC =-，(=1,3AC .则可得25,333AD AB BD AB BC⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，()AE AC AB λλ=-=-，于是有()511432533AD AE λλλ-=⋅=-+=-，解得311λ=.2.(2017北京理6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（）. A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若0λ∃<，使λ=m n ，即两向量方向相反，夹角为180，则0⋅<m n .若0⋅<m n ，也可能夹角为(90,180⎤⎦，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.3.（2017全国1理13）13.已知向量a ，b 的夹角为60，2=a ， 1=b ，则2+=a b .解析 ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b221222222=+⨯⨯⨯+=444++=12，所以2+==a b 4.（2017全国2理12）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）. A.2- B.32-C. 43- D.1- 解析解法一（几何法）：如图所示，取BC 的中点D ，联结AD ，取AD 的中点E ，由2PB PC PD +=，则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…，当且仅当20PE =，即点P 与点E 重合时，取得最小值为32-，故选B.解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的BC 的中点为坐标原点，所以(0A ，()10B -，，()10C ，．设点()P x y ，，()PA x y=-，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，所以()2222PA PB PC x y ⋅+=-+22324x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，y =．故选B.5.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）. A ．3B．D ．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BD BD ⋅⋅⋅==△，即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕ=，cos ϕ=)，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.λ+μ=2λ+μ=3DCBA6.（2017山东理12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . 解析)()221212112122λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=e e e e e e e e ，122-===e ，12λ+===e e2cos601λ==+，解得3λ=． 7.(2017浙江理10)如图所示，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1·I O A O B = ，2·I OB OC =，3·I OCOD =，则（）.A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<解析如图所示，动态研究问题:D D ¢®，O O ¢®．此时有90AOB?o，90BOC?o ，90COD?o ，且CO AO >，DO BO >．故OB OCOA OBOC OD ???uu u r uuu ruu r uu u ruuu r uuu r .8.(2017浙江理15)已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b 的最小值是，最大值是 .解析解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的A备战高考，时不我待。

2019-2020年高考数学一轮复习第五篇平面向量第2讲平面向量基本定理及其坐标表示教案理新人教版

2019-2020年高考数学一轮复习第五篇平面向量第2讲平面向量基本定理及其坐标表示教案理新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量基本定理的应用． 2．考查坐标表示下向量共线条件．【复习指导】本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算．基础梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA→＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )． A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)解析 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)．答案 C2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )． A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b解析设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴c ＝3a －b . 答案 B3．(xx·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析设a ＝λb (λ＜0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ＜0，∴m ＝－1. 答案 A4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )．A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(4，－6)D ．(－4,6) 解析设c ＝(x ，y )，则4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－6－2＋x ＝0，－12＋12＋6＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－6.答案 C5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析 a ＋b ＝(1，m －1)．∵(a ＋b )∥c ，∴2－(－1)(m －1)＝0，∴m ＝－1. 答案－1考向一平面向量基本定理的应用【例1】►(xx·南京质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.解析由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.答案 12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2，则AB →＝(2,0)，AC →＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3， 3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )．即有⎩⎨⎧2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝32.另解：AD →＝AF →＋FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 答案 1＋32 32考向二平面向量的坐标运算【例2】►(xx·合肥模拟)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.[审题视点] 求CA →，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N . 解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)．∴CM →＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)．设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)．同理可得N (9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【训练2】在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．答案 B考向三平面向量共线的坐标运算【例3】►已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方[审题视点] 根据共线条件求k ，然后判断方向．解若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0. 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )．即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k 存在．向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．【训练3】 (xx·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．∵(c ＋a )∥b ，∴－3×(1＋m )＝2×(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )， ∴3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.答案 D阅卷报告5——平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解．【防范措施】一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等．【示例】►(xx·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →误．＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝错因搞错向量的夹角或计算错实录－12(填错的结论多种)．正解由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14. 答案－14【试一试】 (xx·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． [尝试解析]以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案 52019-2020年高考数学一轮复习第五篇平面向量第3讲平面向量的数量积教案理新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模． 3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b (如图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别的，a ·a ＝|a |2或者|a |＝a ·a ；(4)cos θ＝a ·b |a ||b |；(5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a ；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 6．平面向量数量积的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (2)|a |＝x 21＋y 21； (3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.7．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝a ，则|a |＝x 1－x 22＋y 1－y 22(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 两个探究(1)若a ·b ＞0，能否说明a 和b 的夹角为锐角？ (2)若a ·b ＜0，能否说明a 和b 的夹角为钝角？三个防范(1)若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c 若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角应为120°，而不是60°.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )． A.π3 B.π4 C.2π3 D.3π4 解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案 C2．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( )． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )答案 D3．(xx·广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．0解析由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )． A ．9 B ．4 C ．0 D ．－4 解析 a －b ＝(1－x,4)．由a ⊥(a －b )，得1－x ＋8＝0. ∴x ＝9. 答案 A5．(xx·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．解析由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )(a －b )＝－2，得a ·b ＝2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，又〈a ，b 〉∈[0，π]所以〈a ，b 〉＝π3. 答案π3考向一求两平面向量的数量积【例1】►(xx·合肥模拟)在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝________.[审题视点] 由M 是BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →.解析如图，因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49，故填－49.答案－49当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．【训练1】如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.解析 AB →＝AO →＋OB →，故CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝CA →·AO →＋CA →·OB →.而AO →＝－12CA →，CA →⊥OB →.所以CA →·AB →＝－12CA 2＝－8.答案－8考向二利用平面向量数量积求夹角与模【例2】►已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得a ·b 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．解 (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，解得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， ∴|a ＋b |＝13.|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．【训练2】已知a 与b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．解设a 与a ＋b 的夹角为θ，由|a |＝|b |得|a |2＝|b |2. 又由|b |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2.∴a ·b ＝12|a |2，而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2，∴|a ＋b |＝3|a |. ∴cos θ＝a a ＋b |a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角为30°.考向三平面向量的数量积与垂直问题【例3】►已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.[审题视点] 利用a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0及a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，求解．解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，∴|a －b |＝－2＋02＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．【训练3】已知平面内A ，B ，C 三点在同一条直线上，OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．解由于A ，B ，C 三点在同一条直线上，则AC →∥AB →，AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m )，AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2,1－m )，∴7(1－m )－(－1－m )(n ＋2)＝0，即mn ＋n －5m ＋9＝0，①又∵OA →⊥OB →，∴－2n ＋m ＝0.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝32.规范解答10——如何解决平面向量与解三角形的综合问题【问题研究】平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题．【解决方案】解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答．【示例】► (本题满分12分)(xx·安徽)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．先求sin A ，再利用面积公式求bc ，最后利用数量积及余弦定理可解决．[解答示范] 由cos A ＝1213，得sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.(2分) 又12bc sin A ＝30， ∴bc ＝156.(4分)(1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144(8分) (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A ) ＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，又a ＞0(10分) ∴a ＝5.(12分)三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．【试一试】已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，设AB →与BC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值．[尝试解答] (1)∵AB →·BC →＝6，∴|AB →|·|BC →|·cos θ＝6.∴|AB →|·|BC →|＝6cos θ. 又∵S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝3tan θ， ∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. 又∵θ∈(0，π)，∴π6≤θ≤π4. (2)f (θ)＝1＋2cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋2，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤712π，34π. ∴当2θ＋π4＝34π即θ＝π4时，f (θ)min ＝3.。

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt

C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)，故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58，所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合应用[培优课]
题型一平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C，又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14，所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a，由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b，所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc，当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415，所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.

高考数学一轮复习全套课时作业5-4平面向量的综合应用

专题层级快练 5.4平面向量的综合应用一、单项选择题1．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．(2021·湖北黄石一中月考)已知B 是以线段AC 为直径的圆上的一点(异于点A ，C)，其中|AB|＝2，则AC →·AB →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3.如图所示，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( ) A ．2 3 B.32 C.33D. 3 4．(2020·杭州学军中学模拟)在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a·b ＝b·c ＝c ·a ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．(2021·江西省八所重点中学联考)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(sin 2α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，a ·b ＝12，则α＝( )A.π6B.π3C.π4D.π26．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形7．(2020·银川调研)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形8．(2021·甘肃白银一中模拟)已知△ABC 的垂心为H ，且AB ＝3，AC ＝5，M 为BC 的中点，则HM →·BC →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．89．已知向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[2－1，1]10．(2017·课标全国Ⅱ，理)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1二、多项选择题11．(2021·潍坊二模)设a ，b 是非零向量，若函数f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a |＝|b | D ．a ·b ＝0 12.如图，已知四边形OAED ，OCFB 均为正方形，2AE →＋CF →＝0，AB →·AD →＝－1，则下列说法正确的是( ) A ．∠AOB ＝90° B ．AD ＝1 C.BO →·CD →＝2 D ．AO ＝1三、填空题与解答题13．(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________．14．(2021·湖南五市十校联考)已知向量m ＝(cosx ，sinx)，n ＝(cosx ，3cosx)，x ∈R ，设函数f(x)＝m ·n ＋12. (1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f(A)＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a的值．15.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB ︵的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________．16．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a ＋b )·(2b－c )的最小值是________，最大值是________．专题层级快练 5.4平面向量的综合应用1．答案 B解析 ∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a －b |＝02＋（sin θ－cos θ）2＝1－sin2θ. ∴|a －b |的最大值为 2.故选B. 2．答案 D解析连接BC ，∵AC 为直径，∴∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC ，AC →在AB →上的投影为|AC →|cos 〈AC →，AB →〉＝|AB →|＝2，∴AC →·AB →＝|AC →||AB →|·cos 〈AC →，AB →〉＝4.故选D. 3.答案 D解析 AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝AB →·AD →＋BC →·AD →＝BC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →||AD →|·cos ∠BDA ＝3|AD →|2＝ 3. 4．答案 D解析因为a ，b ，c 均为非零向量，且a·b ＝b·c ，得b·(a －c )＝0⇒b ⊥(a －c )．又a ＋b ＋c ＝0⇒b ＝－(a ＋c )，∴[－(a ＋c )]·(a －c )＝0⇒a 2＝c 2，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC 为等边三角形． 5．答案 B解析由题意，得a ·b ＝sin 2α－cos 2α＝12，即cos2α＝－12，又α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，所以2α∈(0，π]，则2α＝2π3，所以α＝π3.故选B.6．答案 D思路本题可先由条件的几何意义得出AB ＝AC ，再求得A ＝π3，即可得出答案．解析因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC.又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝1×1×cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D. 7．答案 C解析由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C. 8．答案 D 解析如图，HM →·BC →＝(HA →＋AM →)·BC →＝HA →·BC →＋AM →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝8. 9．答案 A 10．答案 B 解析如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x ，y)，则PA →＝(－x ，3－y)，PB →＝(－1－x ，－y)，PC →＝(1－x ，－y)，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y)·(－2x ，－2y)＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB→＋PC →)取得最小值，为－32，选B.11．答案 AD解析 f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，即f(x)的表达式是关于x 的一次函数或常函数．而(x a ＋b )·(a －x b )＝－x 2a ·b ＋(a 2－b 2)x ＋a ·b ，故a ·b ＝0，即a ⊥b ，故应选AD. 12.答案 ACD解析因为2AE →＋CF →＝0，所以CF ＝2AE ，CF ∥AE ，因为四边形OAED ，OCFB 均为正方形，所以AO ⊥BO ，所以∠AOB ＝90°，故A 正确；因为AB →·AD →＝(AO →＋OB →)·(AO →＋OD →)＝AO →2＋OB →·OD →＝－AO →2＝－1，所以AO ＝1，故D 正确；从而可得AD ＝2，B 错误；因为BO →·CD →＝BO →·(CO →＋OD →)＝2OD →2＝2，故C 正确．故选ACD. 13．答案5 －1解析方法一：如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P 为BC 的中点，在三角形PCD 中，|PD →|＝5，cos ∠DPB ＝－cos ∠DPC ＝－15，∴PB →·PD →＝|PB →|·|PD →|cos ∠DPB ＝1×5×⎝⎛⎭⎫－15＝－1.方法二：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，∴AP →＝12(AB →＋AC →)＝(2，1)，P(2，1)，∴PD →＝(－2，1)，PB →＝(0，－1)，∴|PD →|＝5，PB →·PD →＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.14．答案 (1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z (2)3－1解析 (1)由题意知，f(x)＝cos 2x ＋3sinxcosx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1.令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .∴函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)∵f(A)＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝1.∵0<A<π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，∴a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(b ＋c)2－2bc(1＋cosA)，解得a ＝3－1. 15.答案 26解析连接OC ，OD ，MC ，ND ，由题可知∠AOC ＝∠DOC ＝∠DOB ＝60°，|MO →|＝|NO →|＝2，|OD →|＝|OC→|＝6.则MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋NO →·OC →＋OC →·OD →＝－4＋6＋6＋18＝26.16．答案 3－3 3＋ 3 解析由|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得〈a ，b 〉＝π3，令OA →＝a ，OB →＝b ，以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝OA →＝(1，0)，b ＝OB →＝⎝⎛⎭⎫12，32.设c ＝OC →＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a ·b －a ·c ＋2b 2－b ·c ＝3－⎝⎛⎭⎫cos θ＋12cos θ＋32sin θ＝3－3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3.因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，所以(a ＋b )·(2b －c )的最小值和最大值分别为3－3，3＋ 3.。

届高考一轮数学复习理科人教版专题研究平面向量的综合应用-资料.ppt

∴AD 平分∠BAC 且|AA→→BB|＋|AA→→CC|＝A→D， ∴O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→→CC|)＝O→A＋λA→D，
第五章专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
∴A→P＝λA→D，∵λ>0， ∴点 P 的轨迹为射线 AD(不包括端点 A)， ∴点 P 的轨迹经过△ABC 的内心．
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2019届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第五章平面向量与复数
第五章平面向量与复数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
专题研究平面向量的综合应用
第五章专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型一向量在平面几何中的应用
探究 1 用向量法解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，常通过平面向量基本定理、加、减法运算，向量坐标法进行转化，然后通过向量运算研究关系．
第五章专题研究
高考调研
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思考题 1 已知|O→A|＝1，|O→B|＝ 3，O→A·O→B＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°.设O→C＝mO→A＋nO→B(m，n∈ R)，则mn ＝________.
C．外心
D．重心
第五章专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【解析】令 λ＝0，则O→P＝13(O→A＋O→B＋O→C)，P 为重心，故选 D.
【答案】 D
第五章专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 2 利用三角形中与向量相关的常见结论来命制考题，突出了向量在研究平面几何问题中的工具性．常见的结论有：在△ABC 中，A→B＋B→C＋C→A＝0；若 D 为 BC 边的中点，则A→D＝12(A→B＋A→C)；若 G 是△ABC 的重心，则G→A＋G→B＋G→C＝0；若 O 是△ABC 的内心，则 aO→A＋bO→B ＋cO→C＝0 等．