华师版数学九年级下册第27章《圆》【教案】 切线

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2021年春季教案等集合2021年春季
切线
教学目标：1、理解切线的判定定理，并并能初步运用它解决简单的问题。

2、知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。

3、掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。

情感态度：通过判定定理的学习，培养学生观察、分析和归纳问题的能力，并激
发学生学习数学的兴趣；。

教学重点：切线的判定定理的理解和应用。

教学难点：理解切线判定定理的中的两个条件：一是经过半径的外端；二是直线
垂直于这条半径。

教学过程：
一、创设情景,导入新课。

问题：直线和圆有几种位置关系？你是如何来判断这几种位置关系的？
在学生回答后再展示相应的位置关系及判断的方法：
判断的方法：（1）根据直线与圆的交点的个数；
（2）圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系。

教师强调：图（2）中的直线与圆相切，我们可以通过上述两种方法来判
断它们的位置关系。

但在实际问题中如果我们始终用寻找交点的个数和
圆心到直线的距离来判断很不方便，也难于操作，还有没有其它的方法呢？（引导学生思考）
二，启发学生，探究新知。

1、待学生思考后，可能没有什么发现。

我们可以让学生在观察刚才的图（2），提示学生可再任作一条半径。

如图（4）所示：
教师引导：回顾图（2）中判断直线l 与圆相切的方法：利用圆心O 到直线l 的距离等于圆
图（4）
l
A
O
r
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的半径。

2、教师启发：
（1）你能否把上面的文字叙述的条件改成数学语言呢？
可由学生积极思考，讨论，然后给出参考的答案： 距离OA ：改写成OA ⊥l; 等于半径：改写成OA ＝r;
垂足A 在半径OA 上且为半径的一个端点。

（2）你能尝试在不改变句子意思的条件下把上面的文字叙述的命题
改成意思相同的命题吗？
学生改写后交流，然后在集体讨论交流的基础上得出： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（这就是我们今天要学习的内容：圆的切线的判定，并板书课题）
（3）熟悉定理，分析命题的题设和结论，并能用几何语言表示它们。

如图：题设两条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径。

几何语言的表示：∵直线l ⊥OA ，l 经过半径OA 的外端 ∴直线l 为圆O 的切线。

教师强调：上述两个条件缺一不可。

（4）学生思考：为什么不能缺少条件？能否举出反例。

图（6）经过半径的外端但不与半径垂直；图（7）与直线垂直，但没有经过半径的外端，都不是圆的切线。

加强学生的认识，判断圆的切线时，这两个条件缺一不可。

三，互动深化。

1、例1，如图（8），已知△ABC 内接于，⊙O 的直径AE 交BC 于点F ，点B 在BC 的延长线上，且CAP ＝∠ABC ；求证：PA 是⊙O 的切线。

图（8）
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分析：依据题目的条件有半径OA 且PA 经过OA 的外端,对照定理只须证ｐA ⊥OA 就可以了。

证明：连接CE
∵AE 是⊙A 的直径 ∴∠ACE ＝90°
∴∠E+∠EAC ＝90°
∵∠E ＝∠ABC ∠ABC ＝∠CAP ∴∠E ＝∠CAP ∴∠CAP+∠EAC ＝∠E+∠EAC ＝90° 即∠OAP ＝90º
∴PA ⊥OA ，且PA 经过A 点 ∴PA 为的⊙O 切线。

教师点评：依据定理判断切线时对照定理需要的条件，看已知条件满足其中的什么条件，再证明
或查找另一个条件就可以了。

2、教学例2，如图（10），CD 是△ABC 中AB 边
上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA ，CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点，求证：GE 是⊙O 的切线。

分析：E 是GE 上的点又是⊙0上的一点，连接DE 就是⊙O 的半径，对照判
定定理只需证明GE ⊥OE 就行。

证明：连接OE ﹑DE
∵CD 是⊙O 的直径 ∴∠AED ＝∠CED ＝90° ∵G 是AD 的中点
∴EG ＝1/2 AD ＝DG ∴∠DEG ＝∠EDG ∵OE ＝OD ∴∠DEO ＝∠EDO ∴∠DEG+∠DEO ＝∠EDG +∠EDO
即∠EOG ＝∠CDA ∵CD ⊥AB ∴∠CDA ＝90°
图10
G A
D
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∴∠EGO ＝∠CDA ＝90° ∵DE 是⊙O 半径 ∴GE 是⊙O 的切线。

教师点评：在已知条件中当这条直线过圆上某一个点时，通常情况下，先连接圆心与这个公共点就成为半径，然后再证明直线与这条半径垂直。

3、教学例3，如图（13），在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD ＝½BC ，E 、F
分别是AB 、AC 的中点，O 为EF 的中点。

求证：以EF 为直径的圆O 与BC 相切。

分析：本题对照切线的判定方法都没有可用的条件，既没半径，又没垂直，
可过O 作OH ⊥BC 于H 。

证明：过O 作OH ⊥BC 于H
∵E 、F 是AB 、AC 的中点
∴EF ＝1/2 BC M 是AD 的中点，MD ＝1/2 AD
∵AD ＝1/2 BC ∴EF ＝AD ∴MD ＝1/2 EF
∵AD ⊥BC OH ⊥BC ∴OH ∥MD
则四边形OHDM 是矩形 ∴OH ＝MD ＝1/2 EF ∴OH 为⊙O 的半径.
又∵OH ⊥BC ∴以EF 为直径的圆O 与BC 相切。

教师点评：证明切线时，已知条件没有直接可用的条件，既没有公共点，也没有垂直时，通常情况下，可以过圆心作这条直线的垂线，然后再证明这条垂线
段等于半径。

四，应用创新
1﹑如图(9),AB 是⊙O 的直径，∠ABT ＝，AT
＝AB 。

求证：AT 是⊙O 的切线。

图（12）
B
C
D H 图（11）
C
D
B
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2﹑如图Rt △ABC 中，∠ABC ＝9O °，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E 、点D
是BC 的中点、连接DE 。

求证：DE 与⊙O 相切。

3﹑如图△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，⊙O 与AB 相切于点D.
五，课堂小结
1、切线的判定定理。

2、判定一条直线是圆的切线的方法。

（1）定义：直线和圆有唯一公共点。

（2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径。

（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。

3、辅助线作法：
（1）有公共点：作半径证垂直。

（2）无公共点：作垂直证半径。

六,反馈评价。

1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝30°，M 是OA
上一点，过M 作AB 垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF ＝∠E 。

求证：CF 是⊙O 的切线。

(有公共点的情况)
2、如图、DB 是圆O 的直径，点A 在BD 的延长线上AB ＝OB ，∠CAD ＝30° 求证：AC 是⊙O 的切线。

(属于没有公共点的情况)
图（15）
A
图（13）
C
图（14）
B。