12-13-2微积分2试卷A卷-胡俊娟
2023微积分模考卷参考答案
一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递增的是（）A. y = x^2B. y = x^2C. y = 1/xD. y = x^32. 函数f(x) = x^2 2x的极小值点是（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 13. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x^2 + CC. e^x + CD. 1/x + C4. 定积分∫_{0}^{1} xdx的结果是（）A. 1/2B. 1C. 0D. 无穷大5. 下列极限中，不存在的是（）A. lim(x→0) (sinx/x)B. lim(x→1) (x^2 1)/(x 1)C. lim(x→+∞) (1/x)D. lim(x→0) (1/cosx)二、判断题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心思想是求导数和求极值。
（）2. 函数在某一点可导，则在该点必连续。
（）3. 无穷小量与有界函数的乘积一定是无穷小量。
（）4. 二重积分的积分区域一定是矩形。
（）5. 泰勒公式可以用来求函数的近似值。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x = 0处的导数值为______。
2. 不定积分∫(sinx)dx的结果是______。
3. 曲线y = x^3 3x在点(1, 2)处的切线方程为______。
4. 若函数f(x) = x^2 + ax + b在x = 1处有极小值，则a的值为______。
5. 定积分∫_{0}^{π/2} (1 + cosx)dx的结果是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的条件和结论。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 举例说明定积分在几何、物理中的应用。
4. 简述泰勒公式的意义。
5. 什么是反常积分？如何判断反常积分的收敛性？五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x的极值。
(微积分II)课外练习题 期末考试题库
《微积分Ⅱ》课外练习题一、选择：1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件2. 二元函数定义域是． ( ) B．D．比较大小：． ( )B． C． D．不确定4.微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．15.下列广义积分发散的是． ( )A． B． C． D．6.是级数收敛的条件． ( )A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( )最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对微分方程是微分方程． ( )A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。
记，，，则的大小顺序是． ( )C. D.10. 函数的连续区域是． ( )B.D.1. ． ( )B. C. D.12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D．．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D．．微分方程的阶数是． ( )A．5 B．3 C．2 D．1．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．．设，则 ( )A． B． C． D．．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．18．下列等式正确的是． ( ) A．B．C．D．19．二元函数的定义域是． ( )A． B．C． D．20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( )A．B．C．D．||．． ( )A． B． C． D．22．= 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．23.下列式子中正确的是． ( )A． B．C． D．以上都不对24. 二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．25.二元函数在点的某一邻域内有连续的偏导数是函数在点的．( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件26.设，则． ( )A． B． C． D．. ． ( )A． B． C． D．. = 其中积分区域D为区域：． ( )A． B． C． D．29． ． ( )A． B． C． D．30． 则=． ( )A． B． C． D．31．函数的连续区域是． ( )A． B．C． D．32． ． ( )A． B． C． D．33．差分方程的阶数为． ( )A. B. C. D.34．微分方程的阶数是 ( )A． B． C． D．35．函数的定义域是． ( )A． B．C． D．36．级数的部分数列有界是该级数收敛的． ( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．无关条件37． ，其中积分区域D为区域． ( )A. B. C. D.38．微分方程的阶是． ( )A．一阶 B． 二阶 C．三阶 D．以上均不对 39．． ( )A． B． C． D．40．二元函数的定义域是 ( )A． B．C． D．以上都不对41．设，则 ( )A． B． C． D．42．下列式子中正确的是． ( )A． B． C． D．以上都不对43．， ( )A. B. C. D.44.微分方程是． ( )A．一阶线性非齐次微分方程 B．一阶齐次微分方程C．可分离变量的微分方程 D．不可分离变量的微分方程45. 设是第二象限内的一个有界闭区域，而且。
微积分试卷
三、计算题(每小题 8 分,共 48 分) 1. 求
1 1 2
x ln(1 x) dx . x2
第 7 页 共 24页
浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
2. 求
3
1 ( x 1)
4
x2 2x
dx .
z 2 z y 3. 设 z x 3 f ( xy , ) , f 具有二阶连续偏导数,求 , . x y y 2
浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
浙江工商大学 2012/2013 学年第二学期期末考试试卷
课程名称： 微积分(下)(A 层) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120 分钟 班级名称：
题号 分值 得分 阅卷人 一 15
学号：
二 15 三 42 四 18
姓名：
z z n x y
2. 设正项级数
an 收敛,证明级数
n 1
a
n 1
2 n
也收敛.
第 11 页 共 24页
浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
浙江工商大学 2010/2011 学年第二学期期末考试试卷
课程名称： 微积分(下)(A 层) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120 分钟 班级名称：
3. 设 z z ( x , y ) 是由方程 z 5 xz 4 yz 3 1 确定的隐函数,求
2z . xy ( 0, 0 )
4. 计算二重积分
ydxdy
D
,其中 D 是由直线 x 2 , y 0 , y 2 及曲线
x 2 y y 2 所围成的平面区域.
【清华】2013年大一下微积分A2期中样卷答案
14. 设 F (x) 2x esin(xy)dy ，则 F(x) x
答案： F (x) 2x y cos(xy)esin(xy)dy 2esin(2x2 ) esin x2 x
。
。 。 。
1 ey
11
e1
15. 交换积分次序： dy f (x, y)dx = dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy 。
证毕。
2 . （ 8 分 ） 设 f (u) 是 连 续 函 数 ， 证 明 ：
D (x, y) x y 1 。
1
f (x y)d f (u)du ， 其 中
D
1
x y u
证：做变换
x
y
v
……………………………………………………………………..3 分
3. 设函数 f (u, v) 可微，函数 z z(x, y) 由方程 f (x y z, x2 y2 z2 ) 0 确定，则偏
导数 z x
。答案： fu 2xfv fu 2zf v
4. 函数 x 2 2 y 2 3z 2 在点 (1,1,1) 处函数值递增最快的方向为
x y z 0
7.
y
y(x), z z(x)
为由方程组 xຫໍສະໝຸດ 2y2
z2
1
确定的隐函数，
y
z
，则
dy
。答案： dy z x
dx
dx z y
8. 函数 f (x, y) x y 在点 (x, y) (1,1) 处带 Peano 余项的二阶 Taylor 展式为
试卷高等数学二期期末A卷试题参考解答
二期期末A 卷试题参考解答完成以下共14题,除最后两题各8分外其余各题各7分.一. 求一阶常微分方程x ydy e dx+=满足初始条件(0)0y =的解. 解 xy dy e dx e= x y dy e dx e =⎰⎰,y xe e C --=+代入初始条件(0)0y = C=－2, 于是,所求方程满足初始条件的解为 2.xye e -+=二. 计算二重积分,DI =⎰⎰其中为圆域 22.x y x +≤解cos 2cos 220I d πθπθπθθ-==⎰⎰⎰⎰2cos 20(1)r d πθθ=--⎰⎰cos 22232300022(1)(1sin )33r d d θππθθθ=--=-⎰⎰4.39π=-三. 验证数项级数1n ∞=+∑收敛,并求其和.解 111nnnn k k k S =====--∑∑∑))1=--=-lim 1n n n S S →∞→∞==-+- 11n =+-=-四. 若函数21sin()(),0,().xxt F x dt x F x t'=≠⎰求 解 2221sin()cos()()x x x t xt F x dt x t ⋅'=+⎰321sin cos()x x t xt dt x=+⎰3221sin 1cos()()2x x xt d xt x x=+⎰321sin 1sin()2x x xt x x =+331sin sin .22x x x x=- 五. 计算曲线积分22()(sin ),CI x y dx x y dy =--+⎰其中C 是圆周222x y x += 的上半部分,方向从点(0,0)(2,0).O A 到点解 22,(sin ),P x y Q x y =-=-+于是1,1,Q Py x∂∂=-=-∂∂ 由于,Q Py x∂∂=∂∂故积分和路径无关,于是 22()(sin ),CI x y dx x y dy =--+⎰322208.33x x dx ===⎰六.求解一阶常微分方程:220.dy y xy dx x-+= 解 令11,z y y-==则21,dz dy dx y dx =- 原方程化为 2121,dy x y dx x y -⋅=- 即2.dz z x dx x +=(*) 这是一个一阶线性方程.对应的齐次线性方程为20.dz z dx x += 分离变量,得 2,dz dx z x=- 2,dz dxz x =-⎰⎰2ln 2ln ln ln ,z x C Cx -=-+=即2.z Cx -=下面用常数变易法,令 2().z C x x -=则32()()2,dz C x C x dx x x'=-+ 代入原方程,得 322()()2()2,C x C x C x x x x x x'-++⋅=即2(),C x x x '=3(),C x x '=4().4x C x C =+于是得方程(*)的解为 44221,44x x C z C x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故原方程的解为2414,.x y C z x C==+其中为任意常数 七.求解二阶非齐次方程的初值问题:1,(0)(0) 1.x y y e y y ''⎧+=+⎨'==⎩解 原方程可化为两个二阶非齐次方程1y y ''+=…① 和x y y e ''+=…②它们对应的齐次方程都是 0,y y ''+= 特征方程为 210,λ+=通解为12cos sin .y C x C x =+ 对方程①，设特解为,y C =代入后的C =1；对方程②，因1不是特征根，故设特解为,xy Ae =代入方程得 ,x x xAe Ae e +=由此得12.A =于是得原方程的通解为 121cos sin 1.2xy C x C x e =+++由定解条件： 11111(0)1,22y C C ==++⇒=-122201111(0)sin cos ,;222x y C x C x e C C ⎛⎫'==-++=+⇒= ⎪⎝⎭ 故本初值问题的解为1(cos sin ) 1.2xy x x e =-+++ 八.计算曲面积分,S I xdydz ydzdx zdxdy +=++⎰⎰其中S为锥面04,z z =≤≤取外侧.解 如图，A S ++⋃所围区域为Ω，由高斯定理3A S P Q R xdydz ydzdx zdxdy dV V x y z ++Ω⋃⎛⎫∂∂∂++=++=⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 4, 4.r h == 22116444333V r h πππ==⋅⋅=因此64.A S xdydz ydzdx zdxdy π++⋃++=⎰⎰又 244464.A A A xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy ππ+++++===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 64640.S A S A I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy ππ++++⋃=++=-++=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰九.若函数01(),2nn f x x ∞==+∑求证:⑴函数()f x 在区间[0,+∞)上有连续的导数;⑵广义积分()f x dx +∞⎰发散.解 ⑴ 11(),[0,),22n nn u x x x =≤∈+∞+ 2211(),(),[0,),(2)2nn n n u x u x x x ''=-≤∈+∞+ 而级数20011,22n n n n ∞∞==∑∑均收敛，由M 判别法，函数项级数00()()n nn n u x u x ∞∞=='∑∑和 在区间[0,+∞)上一致收敛，于是01()2n n f x x ∞==+∑在区间[0,+∞)上有连续的导数.且201().(2)n n f x x ∞='=-+∑⑵01()2AA nn f x dx dx x∞++==+∑⎰⎰1ln(2)2A Annn n dx x x +∞∞+====++∑∑⎰022ln ln 22n nn A A ∞=⎛⎫++⎛⎫=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑,().A →+∞→+∞ 即广义积分()f x dx +∞⎰发散.证毕十.求幂级数121(1)21n nn x n -∞=--∑的收敛半径,收敛域及和函数. 解 令2,u x =原级数为11(1)21n n n u n -∞=--∑. 记 1(1),21n n a n --=-则 1211lim lim 1, 1.21n n n na n l R a n l +→∞→∞-=====+故级数收敛半径为 由于当1x =时,数项级数11(1)21n n n -∞=--∑满足莱布尼兹判别法条件,从而收敛,故原幂级数的收敛区域为[－1,1]. 下面来求和函数.记121(1)(),21n nn f x x n -∞=-=-∑则 12111(1)()(),21n n n f x x g x x n -∞-=-==-∑ 于是2011()()arctan ,1x f x g x dt x x t===+⎰ 121(1)()()arctan .21n nn f x x xg x x x n -∞=-===-∑ 十一.把函数2()4x f x x-=-展开成(2)x -的幂级数,并求其收敛域.解 令2,t x =-则0002(2)11 1.222n n n nn n n t x x ∞∞∞===--⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 收敛域为{}{}{}212222204.2x x x x x x x x ⎧⎫-<=-<=-<-<=<<⎨⎬⎩⎭十二.验证瑕积分2⎰收敛, 并求其值.解 x =1为瑕点,而2121dx dx dx =+⎰⎰⎰1111111012221022;y x dx dx y dy y dy y =---==-===⎰⎰⎰⎰.1111221221122;y x dx dx y dy y =--====⎰⎰⎰故瑕积分2⎰收敛,且其值为2121dx dx dx =+⎰⎰⎰=4.十三.若02,α<≤讨论瑕积分111sin dx x xα⎰的敛散性. 解 令2111,,,y x dx dy x y y===-则于是112201111sin ()sin sin .y I dx y y dy dy x x y y αααα+∞-+∞⎛⎫==-⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰当12,()(2)sin I I ydy αα+∞===⎰都能够发散.当2102,0,,y A yαα-<<由于关于变量单调下降且趋于而对任意正常数积分一致有界:1sin 2.Aydy ≤⎰由Drichlet 判别法,积分21sin ()yI dy yαα+∞-=⎰收敛.下面讨论绝对收敛性: 当22sin 121,01,,y y yαααα---><<≤即时当而积分211dy y α+∞-⎰收敛,由比较判别法,广义积分21sin ()yI dy yαα+∞-=⎰绝对收敛; 当2222sin sin 1cos 221,12,,y y yy y yααααα-----≤≤<≥=即时 但由于此时广义积分21cos 2ydy y α+∞-⎰收敛,而广义积分211dy yα+∞-⎰发散,于是 广义积分211cos 2ydy y α+∞--⎰发散,即广义积分21sin ()y I dy yαα+∞-=⎰条件收敛. 十四.设()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增且(0)0,lim ()2;x f f x →+∞== (1) 求证:级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛并求其和;(2) 若函数()0,[0,),f x x ''<∈+∞求证:级数1()n f n ∞='∑也收敛.证 ⑴ 因()(1)0,lim ()lim ()2,n n x a f n f n f n f x →+∞→+∞=--≥==且故 1lim lim[()(1)]lim [()(0)]lim() 2.nn n n n n k S f k f k f n f f n →+∞→+∞→+∞→+∞==--=-==∑因此级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛,其和为S =2.⑵ 由于()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增,故级数1()n f n ∞='∑为正项级数.因 ()0,[0,),f x x ''<∈+∞故()f x ' 在此区间单调递减,而由拉格朗日中值定理,在区间( n －1,n ) 内,必有n ξ,使得()(1)()(),n f n f n f f n ξ''--=≥ 由于1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛,由正项级数的比较判别法, 级数1()n f n ∞='∑收敛.。
微积分Ⅱ期末考试试卷总集
微积分Ⅱ期末考试试卷1一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.若c x g dx x f +=⎰)()(，则=⎰dx x xf )(cos sin ________.2.极限=⎰→xtdt xx 020cos lim________.3.已知xy z =而)tan(t s x +=，)cot(t s y +=则=∂∂sz________. 4.设{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D 则=⎰⎰Dxy d xe σ________.5.微分方程02=+''y y 的通解为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.设⎰=+21xdx ________.A. c x +arctanB. c x x +++)1ln(2C. c x ++212D. c x ++)1ln(212.2.下列积分值为0的是________.A. ⎰+∞+0211dx xB. ⎰-1121dx xC. ⎰-++ππdx x x x )cos 1sin (2D. ⎰--1121dx x . 3.函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微的充分条件是函数在该点处________. A.有极限 B.连续 C.偏导数存在 D.有连续的偏导数. 4. =⎰⎰10),(xdy y x f dx ________.A. ⎰⎰1010),(dx y x f dy B. ⎰⎰y dx y x f dy 01),(C. ⎰⎰100),(y dx y x f dy D. ⎰⎰101),(ydx y x f dy .5.下列级数收敛的是________.A ．∑∞=-+-12123n n n n B. nn n n∑∞=+1)1(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n n D. ∑∞=1!n n nn .三、（计算题请写出主要步骤及结果，每小题6分，共18分.） 1. ⎰dx e x x 2 2. ⎰+41)1(x x dx 3.请给出第七章（定积分）的知识小结.四、（请写出主要计算步骤及结果，6分.） 已知方程z x e z xy +=+ 确定函数),(y x z z = 求dz . 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆周122=+y x 围成的区域.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求初值问题的解⎩⎨⎧=+==0)2(0x y dx y x dy 七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求幂级数∑∞=-0)1(n nnnx 的收敛半径，收敛区间.并求∑∞=03n nn的和. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求由2x y =与2y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形分别绕x 轴，y 轴旋转所成的体积.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）某厂生产某种产品的生产函数为y x Q 2005.0=，若甲、乙两种原料的单价分别为1万元和5万元，现用150万元购原料，求两种原料各购多少时，能使生产量最大？最大生产量为多少？ 十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且有M x f ≤'(及0)(=a f ，试证：⎰-≥b adx x f b a M )()(22微积分Ⅱ期末考试试卷1答案一、1.c x g +-)(cos 2.1 3.)(csc )tan()cot()(sec 22t s t s t s t s ++-++4.2-e5.x c x c y 2sin 2cos 21+= 二、1.B 2.C 3.D 4.D 5.D三、1. ce xe e x dxe xe e x xde e x dx xe e x de x dx ex xxxx x x x x x x x x++-=+-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰2222222222222. x t =2t x =⎰⎰⎰=-=+=+-=+=+41212121234ln 221ln 232ln 21ln 2)111(2)1(2)1(t t dt t t t t tdt x x dx四、z x e z xy z y x F +-+=),,(z x x e y F +-= x F y = z x z e F +-=111-+--=---=-=∂∂++z xy zxy y e e y F F x z zx z x Z x 11-+=--=-=∂∂+z xy xe x F F y z z x Z y dy z xy xdx z xy z xy y dy y z dx x z dz 11-++-+--=∂∂+∂∂=五、⎰⎰⎰⎰+=++Drdr r d d y x 122022)1ln()1ln(πθσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+=⎰⎰⎰1022210221022201)1ln()1ln(21dr r r r r dr r d πθπ 1021021022)1ln(2ln )111ln(2ln r r dr r ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰ππππ )12ln 2(2ln 22ln 2ln -=-=+-=ππππππ六、x y y 2=-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰=⎰---c dx xe e y dx dxf )1()1(2[]c dx xe exx +=⎰-2[][]⎰⎰++-=+-=---c dx e xee c xde e x xxxx222x ce x +--=22因为00==x y 所以c =2 所求特解为)1(2--=x e y x七、111=+==+n na a R n n 当1±=x 时∑±nn )1(发散 收敛区间为)1,1(- 设∑∑∞=-∞===10)(n n n nnx x nxx S设∑∞=-=1)(n n nxx T则xx xdx nxdx x T n n x n n x n n x-====∑∑⎰∑⎰∞=∞=∞=-11)(012)1(1)(x x T -=所以2)1()()(x xx xT x S -==31=x 时 439431)311(31)31(320==-==∑∞=S n n n 八、31)(102=-=⎰dx x x S()dx x x V x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10222)(ππ103=()ππ103)(10222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰dy y yV y九、解 )1502(005.0),,(2-++=y x y x y x F λλ 0001.0=+=λxy F x02005.02=+=λx F y ⎩⎨⎧==⇒25100y x01502=-+=y x F λ ==25*100*005.02Q 十、b a a x f a f x f x f <<-'=-=ξξ))(()()()(M x f ≤')()()(a x M x f -≤22)(212)()()(a b M a x M dx a x M dx x f baba b a-=-⋅=-≤⎰⎰dx x f dx x f b ab a⎰⎰≥)()(2)(2)(a b Mdx x f b a-≤⎰dx x f b a M b a⎰-≥)()(22微积分Ⅱ期末考试试卷 2一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.已知cos()z xy =，而()y x ϕ=可导,则dzdx=________. 2.若2()1f x xdx c x x =++⎰,则()f x =________.3.p ________时，广义积分22111(1)p dx x --⎰发散.4.若20cos (1),(,)(2)!nnn x x x n ∞==-∈-∞+∞∑,则函数2sin x 的麦克劳林级数等于________. 5.微分方程0y ay y '''+-=的通解为12x x y c e c e -=+，则a =________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）1.设xy z xe =，则'x z =________.A.xy xyeB.xy e x 2C.xy eD.xy e xy )1(+ . 2.=________.A.x c + B. arcsinc +C.c +3x c +.3.下列结论正确的个数是________.（1）11230x dx x dx <⎰⎰ （2）22211x e e dx e ---<<⎰（3）cos 0x xdx ππ-=⎰（4）2221[sin ]2sin x t dt x x '=⎰A.0B.1C.2D.3. 4.1200(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ=⎰⎰ ________.A. 110(,)dy f x y dx ⎰⎰ B. 10(,)dx f x y dy ⎰⎰C. 110(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰.5.微分方程1y y '-=的通解是________. A ．x y ce = B. 1x y ce =+ C ．1x y ce =- D. (1)x y c e =+.三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.） 1. arctan x xdx ⎰ 2. 41⎰.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知方程sin xy x z yz += 确定函数(,)z f x y = ，求dz . 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求2()Dx y d σ-⎰⎰,其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =围成的区域.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求由y =与3y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕x 轴旋转所形成的立体的体积.七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）判断级数n ∞=的敛散性.八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求幂级数1(1)nn n e x n∞=-∑的收敛半径，收敛区间.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）某工厂生产A 、B 两种产品，单位成本分别为2元和14元，需求量分别为1Q 件和2Q 件，价格分别为1P 元和2P 元，且满足关系式1214()Q P P =-，2128048Q P P =+-，试求A 、B 两种产品的价格1P ，2P ，使该厂总利润最大（要求利用极值的充分条件）. 十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.） 设)(x f 为连续函数，试证：()()(())x x tf t x t dt f u du dt -=⎰⎰⎰.微积分Ⅱ期末考试试卷2答案一、填空题（每小题3分，共15分）1.sin[()][()()]x x x x x ϕϕϕ'-+2. 21x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 3.1p ≥4.()()1212121,(2)!n n n n x x n --∞=-∈-∞+∞∑ 5.0二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.C 3.B 4.B 5.C三、（请写出主要计算步骤及结果，每小题8分，共16分.）1.2222222221arctan arctan (1211arctan (32211111arctan (5221111arctan arctan 22211(1)arctan (822x xdx xdx x x x dx x x x x dx x x x x x c x x x c ==-++-=-+=-++=+-+⎰⎰⎰⎰分）分）分）分）2.44114141(2(42ln(1(632ln(82===+=⎰⎰⎰分）分）分）分）.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）sin (1sin cos (4sin (5cos (6cos sin (8cos cos x y z x z y z F xy x z yz F y z F x z F x z y F z y z x F x z yF z x z y F x z y y z x zdz dx dyx z y x z y=+-'''=+=-=-'∂+=-='∂-'∂-=-='∂-+-=+--分），，分）分）分）分）五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）图(1分）22222220222303420()()(31()(5231()(68211()(7881(8yy Dy y x y d dy x y dx x xy dyy y dy y y σ-=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰分）分）分）分）分）六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）图(1分）130341201260)(321()(4345(512](75(814x S x dxx x V x dx ππ=-=-==-=⎰⎰分）分）分）分）分）七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）1(4n =分）由比较判别法的极限形式知级数3121,n n n∞∞==∑敛散性相同，因为3121,n n∞=∑所以0n ∞=收敛。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
杭商院微积分试卷
浙江工商大学杭州商学院2012/2013学年第二学期期终试卷(A)课程名称： 微积分(下) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名： .一、填空题（每小题2分，共16分）1、=+⎰-22d )cose (2ππx x x x. 2、设y x z =，则=∂∂)1,e (yz。
3、微分方程1d d -=-xyx y 的通解为 . 4、若级数∑∞=-1)1(n n u 收敛，则=∞→n n u lim 。
5、交换积分次序后，=⎰⎰x xy y x f x d ),(d 10。
6、幂级数 ∑∞=⋅-14)2(n nnn x 的收敛域为 。
7、已知1d )(1=⎰t t f ,D 为圆域122≤+y x , 则=+⎰⎰Dy x f σd )(22 .8、微分方程 054=+'-''y y y 的通解为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、下列广义积分收敛的是（ ）. （A ）⎰∞+ 1d ln x x （B ）⎰∞+ 12d 1x x（C ）⎰∞+ 1 d 1x x （D ）⎰∞+ 1 d e x x2、设常数0>k ，则 ∑∞=+-12)1(n nnn k （ ）。
（A ）发散 （B ） 绝对收敛 （C ）条件收敛 （D ）收敛性与k 有关3、设)sin(2y x z +=, 则=∂∂22xz （ ）. （A ）)sin(2y x +- （B ）)cos(2y x +- （C ）)sin(2y x + （D ）)cos(2y x + 4、二重积分⎰⎰+Dy x σd 22，}2|),{(22x y x y x D ≤+=，在极坐标下的二次积分是（ ）. （A ）⎰⎰θπθcos 020d d r r（B ）⎰⎰θπθcos 2020d d r r（C ）⎰⎰-θππθcos 0222d d r r（D ）⎰⎰-θππθcos 20222d d r r5、微分方程x y y y e 423=+'-'' 的特解形式为（ ）. （A ）x Ax e（B ）x A e（C ）x A 2e （D ）x Ax e 2三、计算题(一)（每小题5分，共20分）1、计算积分⎰e1d ln x x x .2、设),(y x f z =由方程 z y x z ++=e 所确定，求z d 。
12-13-2微积分2试卷A卷-胡俊娟
浙江科技学院考试试卷浙江科技学院2012-2013学年第二学期期末考试试卷A 卷考试科目 微积分2 考试方式 闭 卷 完成时限 2小时一．填空题(每题3分，共21分)1、=+-→→xyxy y x 93lim 0,0。
2、设a 为非零常数，则当r 时，级数∑∞=1n rna 收敛。
3、设x y x z y sin )1()2(-+-=，则=∂∂==22y x xz。
4、函数),(y x f 在),(00y x 点全微分存在，是在该点偏导数存在的 条件。
5、xyz =，则全微分=dz 。
6、微分方程y x e dxdy +=的通解为： 。
7、设D 是第一象限的一个有界闭区域，且21≤≤y ，则⎰⎰Dσyd⎰⎰Dσd y 2 (填 ≤ 或 ≥ )。
专业班 学号 姓名 ……………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………………………二．选择题(每题4分，共20分)1、微分方程x e y y y 22++'=''的通解是（ ）.（A ）21213()x x y C e x C e -=++ （B ）x x e C x e C y 22-131）（+-=（C ）x x e C e C y 22-1+= （D ）x x xe e C y 2131+=2、下列级数中，发散的是（ ）（A ）∑∞=-11)1(n nn（B ）11()n n ∞=-∑ （C ）∑∞=1!1n n （D ）∑∞=11n n n3、微分方程044-=+'''y y y 的两个线性无关解是 ( ) （A ）xe 2与x e 22 （B ）xe2-与x xe 2- （C ）xe 2与x xe 2 （D ）xe2-与x e 2-44、当D 是（ ）围成的区域时，二重积分21=⎰⎰d d Dx y 。
（A ）x 轴，y 轴及2,4==y x （B ）21,21==y x（C ）x 轴，y 轴及024=-+y x （D ）1,1=-=+y x y x 5、函数22),(y x y x f +=在()00，点（ ） （A ）极限不存在 （B ）不连续 （C ）偏导数连续 （D ）偏导数不存在三、计算题(第7、8题各8分，其余题各6分，共52分)1、计算二重积分⎰⎰Dσxyd 其中D 由x x y x y ,1,=+= 轴所围成。
暨南大学微积分二A卷答案
外A★考生须知：卷上共有五处须填写姓名与学号，请考生务必填写暨南大学考试试卷参考答案得分 评阅人一、选择、填空、判断题 (每小题2分, 共40分)(一）单选题:( 答题须知：本题答案必须写在如下表格中，否则不给分。
)小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 答案1．=⎰-114dx ( B ).(A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 0 2.='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰dx x f )(（ A ）.（A ）)(x f ' （B ）)(x f '+C （C ）)(x f '' （D ）C x f +'')(3. x ２dx=kd(3x ３+４)，则k=（ C ）.（A ） 1/3 （B ）1/2 （C ） 1/9 （D ）1教师 填 写 2011- 2012 学年度第__ 二__学期课程名称：微积分Ⅱ（经管类外招生3学分） 授课教师：考试时间: 2012 年 7 月 __9_ 日 课程类别必修[√] 选修[ ]考试方式 开卷[ ] 闭卷[ √ ] 试卷类别(A 、B)[ A ] 共 6 页 考 生 填 写学院(校) 专业 班(级)姓名 学号 内招[ ] 外招[√]题 号 一 二 三 四 五 六 总 分 得 分经管类微积分Ⅱ（外招生3学分） 考生学号： 考生姓名：4．⎰+x dt t dxd 2021=（ A ）. (A) 2241x + (B) 221x + (C) 241x + (D) 21x +5.曲线23x y =与直线1,0==x x 及x 轴所围成图形的面积是( B )．(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) π 6．若y x y x f 42),(=，则=')1,1-(x f （ D ）.(A) 8 (B) 2 (C) -2 (D) -8 7．设y x z ln cos +=，则=dz （ D ）.(A) xdy dx ysin 1+ (B) dy y xdx 1sin +(C) xdy dx y sin 1- (D) dy yxdx 1sin +-8. 微分方程x y 4='，且经过点（1，1），则特解y =（ C ）. (A) 22x (B ）4x （C ）122-x （D ）14-x(二)填空题：(注意：第三小题有2个空)1．2x +1 的一个原函数是 2x /ln2 + x .2. 设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数，则牛顿-莱布尼茨公式为：.3.⎰∞+-02dx e x x =)_3_(Γ=____2____.4. 函数y x z +-=2的定义域为_____ 2-x+y>0__________.5. 若yxy x f ln ),(= ，则：___________y1-____),(='y x f y . 6. 设函数),(v u f z =有连续偏导数，)(),(t v t u ψϕ==可导，则复合函数))(),((t t f z ψϕ= 对t 的求导公式是：__)(),()(),(t v u f t v u f dtdzv u ψϕϕ'+''=__. 得分).()( )(d )( a F b F x F x x f ba ba -==⎰7. 差分=-∆)1(2x ____2x+1_____.(三)判断题（在题后的括号内，对了打勾，错了打叉）1. 对[-a,a ]上的可积函数f(x)，有 （×）2. ⎰e 1lnx1是广义积分dx x .（√） 3. 在空间直角坐标系中，xoy 面的方程是 x=0,y=0 . （×）4. 12lim20,1=+→→xx e y y x . （√） 5. 322d d t x t x =-⎪⎭⎫ ⎝⎛ 是一个二阶微分方程. （×）得分 评阅人 二、计算题一 ( 5小题，每小题6分，共30分 )1．计算不定积分 d )112 2⎰+-++x x e x x x（. 解：原式=3x 22 2lnx x e arctan 3x c ++-+2. 计算 1d3⎰+xx.解：3x u =令 ，3u x =则 ，du u dx 23=原式= 1d 32⎰+u u u 1d 3 2⎰+=u u u d ) 111( 3 u u u ⎰++-= c )) 1ln(21( 3 2+++-=u u u c ) 1ln(3323 2+++-=u u u c ) 1ln(3323 3323+++-=x x x3. 计算⎰exdx x 1ln得分. d )( 2d )( 0⎰⎰=-aaa x x f x x f经管类微积分Ⅱ（外招生3学分） 考生学号： 考生姓名：解：⎰exdx x 1ln =⎰e xdx 12ln 21=]ln 1ln [21122⎰-e x d x e x x=]1[21122⎰-e dx x x e =][2112⎰-e xdx e =]121[2122e x e - =]2121[2122+-e e =]1[412+e4..,sin e 2yx zx z y x z x∂∂∂∂∂=，计算设函数 解：xz ∂∂=y x y x xsin e sin e +yx z∂∂∂2=y x y x x cos e cos e +5. 由方程222e x y xy x =+所确定的隐函数()y f x =，求 dydx解：222e x y xy F x -+=设，x y y xFx 4e 2-+=∂∂,x y x y F e 2+=∂∂ FdyxF dxy∂∂=-∂∂xx y x x y y e 24e 2+-+-=得分 评阅人 三、计算题二 ( 2小题，每小题8分，共16分 )o1xy1．求二重积分⎰⎰Dyd x σ2，其中积分区域D 是由2x y =,x 轴与直线1=x 所围成的区域.解 画出积分区域D 的图形，如图20,10x y x D ≤≤≤≤：⎰⎰Dyd xσ2=⎰⎰10022x ydydx x=⎰10222021dx x y x=⎰10621dx x =⎰1621dx x =0171217x =1412. 求解一阶线性微分方程 x e y dxdy-=+ 解：设0=+y dxdy分离变量得dx ydy-= 积分得1ln C x y +-=; 化简得x Ce y -= 用常数变异法设x e x C y -=)(代入元方程得：x x x x e e x C e x C e x C ----=+-')()()(即：1)(='x C c x x C +=∴)(原方程的解为：x e c x y -+=)( 得分 评阅人 四、应用题(10分)经管类微积分Ⅱ（外招生3学分） 考生学号： 考生姓名：设某工厂生产某产品的产量与所用的两种原料A 、B 的数量x,y 之间的关系是：P(x,y)=0.005x 2y 。
南京大学2010-2012年微积分II期末试卷
dydz
zdxdy 其中 : z x 2 y 2 ( 0 z 1) , 取上侧 .
4. 判别级数
(1) n ln 2 n 的敛散性 ( 包含绝对收敛,条件收敛与发散 ) . n n2
2
5. 求函数 f ( x) arc tan( x ) 关于 x 的幂级数展开式 . 6. 在函数 f ( x) x ( 0 x ) 的余弦级数展开式中,求傅里叶系数 a3 . 7. 求微分方程 y 2 y 5 y e
南京大学《微积分 II》 （第一层次）第二学期期末考试试卷 2011.6
一、计算下列各题（本题满分 6 分,共 42 分） 1. 设 f 可微, z f ( xy, x y ) , 求 y
2 2
z z . x x y
2. 交换二次积分 3. 求
1 0
dx
2 x x
f ( x, y )dy 的次序 .
ln(1 2 ) 2 . 三 . 0 a 1 绝 对 收 敛 ,
1 五. y C1 cos x C2 sin x 1 2 cos x ln | sec x tan x | 2 sin x ln | csc x co t x | .
六. (1) 12 / 5 , (2) 32 / 5 .
10. 计算三重积分
zdxdydz ，其中 是区域
x 2 y 2 +z 2 4 z , x 2 y 2 z .
2 2
二、（ 8 分 ） 设 区 域 {( x, y, z ) | 0 z t , x y t }(t 0) ， 函 数 f (u ) 可 导 并 且
dy f ( x, y )dx dy
《微积分2》(经管大类A卷)试卷版 修改版
y 2 z 2 ) 在点 A(1, 0, 1) 处沿点 A 指向点 B(3, 2, 2) 方向的方向导数为 0.5
yz xz xy , 得 x y z 1, 所以切平面方程为 ( x 1) ( y 1) ( z 1) 0 1 1 1
x 1 y 5 z 8 x y 6, 21. 设有直线 L1 : 与 L2 : 则 L1 与 L2 的夹角为∏/3 1 2 1 2 y z 3,
2 2
8. 曲面 x 2 y 3z 21在点 A(1, 2, 2) 的法线方程为 x-1=(y+2)/(-4)=（z-2)/6
2 2 2 2 3 9. ( 单项选择题 ) 在曲线 x t , y t , z t 的所有切线中 , 与平面 x 2 y z 4 平行的切线
b a
π[m f ( x) g ( x)][ f ( x) g ( x)]dx
A卷 第 3 页 ( 共 4 页 ) 24. 若函数 u f (t , x, y), x (s, t ), y (s, t ) 均具有一阶连续偏导数, 则
u t
28. 设方程 y F ( x 2 y 2 ) F ( x y) 确定隐含数 y f ( x) (其中 F 可微), 且 f (0) 2,
3 A. F (3) F ( 2) 4
C. F (3)
5 B. F (3) F (2) 4
D. F ( 3)
试卷高等数学二期期末A卷试题
- 二期期末A 卷试题完成以下共14题,除最后两题各8分外其余各题各7分.一. 求一阶常微分方程x y dy e dx+=满足初始条件(0)0y =的解. 二. 计算二重积分,DI =⎰⎰其中D 为圆域 22.x y x +≤ 三. 验证数项级数1n ∞=+∑收敛,并求其和. 四. 若函数21sin()(),0,().xxt F x dt x F x t'=≠⎰求 五. 计算曲线积分22()(sin ),C I x y dx x y dy =--+⎰其中C 是圆周222x y x += 的上半部分,方向从点(0,0)(2,0).O A 到点六. 求解一阶常微分方程:220.dy y xy dx x-+= 七. 求解二阶非齐次方程的初值问题:1,(0)(0) 1.x y y e y y ''⎧+=+⎨'==⎩八. 计算曲面积分,S I xdydz ydzdx zdxdy +=++⎰⎰其中S为锥面04,z z =≤≤取外侧. 九. 若函数01(),2n n f x x∞==+∑求证:⑴函数()f x 在区间[0,+∞)上有连续的导数;⑵广义积分0()f x dx +∞⎰发散.十. 求幂级数121(1)21n n n x n -∞=--∑的收敛半径,收敛域及和函数. 十一. 把函数2()4x f x x-=-展开成(2)x -的幂级数,并求其收敛域.十二.验证瑕积分20dx⎰收敛, 并求其值.十三. 若02,α<≤讨论瑕积分1011sin dx x xα⎰的敛散性. 十四. 设()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增且(0)0,lim ()2;x f f x →+∞== (1) 求证:级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛并求其和; (2) 若函数()0,[0,),f x x ''<∈+∞求证:级数1()n f n ∞='∑也收敛.。
2017级《高等数学B-微积分(二)》A卷答案 (1)
dy
y2
( y)2 x
dx xy x2 y 1
x
令 v y ， y v x ， dy v x dv ，代入以上方程得 v x dv v2 ，
x
dx
dx
dx v 1
v
1 dv v
dx x
，得
v ln | v | ln | x | C ，即 ln | xv | v C
上海立信会计金融学院 2017～2018 学年第二学期
《高等数学B-微积分（二）》课程 代码：160040410 本试卷系A卷 集中考试 考试形式：闭卷 考试用时: 90分钟 考试时不能使用计算工具
__________专业 _________班 姓名 __________学号 ____________ 序号
(A)可分离变量微分方程 (B)一阶线性非齐次方程 (C)齐次方程
5.以下四个关于级数的结论中，正确的结论是
(A)若 un2 和 vn2 都收敛，则 (un vn )2 收敛。
n1
n1
n1
(D)② ③ ①
（C）
(D)前面三种都不是 （A）
第1页共5页
(B)若 | unvn | 收敛，则 un2 与 vn2 都收敛。
(B) dx
1 x2
f (x, y) dy
0
1 x
x2 y2
1
1 x2
(C) dx
f (x, y) dy
0
x
1
(D) dx
1 x2
f (x, y) dy
0
x
x2 y2
微积分II期末模拟试卷三套及答案
微积分II 期末模拟试卷1（满分：100分；测试时间：100分钟） 一、填空题（3X5=15）1、幂级数∑∞=-112n n n n x 的收敛区间为__________2、由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________ 3、改变⎰⎰--21222x x xfdy dx 的积分次序_______________________4、微分方程02=-'+''y y y 的通解=y5、设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于____________ 二、选择题（3X5=15） 6、定积分()dx ex x x⎰-+22的值是（ ）。
（A ） 0 ； （B ） 2 ； （C ） 2e 2+2； （D ） 26e7、一曲线在其上任意一点),(y x 处的切线斜率等于yx2-，这曲线是（ ） (A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆 8、设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 9、设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点10、设级数10nn na∞==∑，且()11n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1n n a ∞=∑（ ）（A ）收敛 （B ） 发散 （C ）不定 （D ） 与n a 有关 三、计算题（5X10=50）11、计算下列定积分 (1)⎰-2234dx x x ；(2)求抛物线342-+-=x x y 及其在)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积。
哈尔滨工程大学2021年微积分A(二)期末考试
4.将函数 展开成 的幂级数,并给出收敛域.
5.设 是周期为 的周期函数,它在 上的表达式为 ,将 展开成周期为 的傅里叶级数.
四、应用题（10分）
在椭球面 内做一个内接的长方体(各边分别平行于坐标轴),求其体积最大值.
五、证明题（5分）
设函数 连续, 是由球面 所围成的闭区域.证明:
哈尔滨工程大学本科生考试试卷
（2019-2020年第二学期）
2020-7-3
课程编号:202011002课程名称:微积分A（二）A卷
一、选择题（每小题3分,共15分）
1.设函数 ,则.
(A) 在点 处不连续
(B) 的偏导函数在点 处连续
(C) 的偏导函数在点 处的极限存在
(D) 在点 处可微
2.设函数 具有二阶连续偏导数,在 处有 ,则.
7.设曲线 是球面 与平面 的交线,则曲线积分 的值为.
8.矢量场 在点(1,0,0)处的旋度 .
9.常数项级数 的和为.
10.设 是周期为4的周期函数,它在 上的表达式为 , 为 的傅里叶级数的和函数,则 .
三、计算题（每小题8分,共40分）
1.设函数 ,其中 具有二阶连续偏导数,求 .
2.计算曲线积分 ,其中 是圆周 ,方向为逆时针方向.
.
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空题（每小题3分,共30分）
1.由方程 所确定的函数 在点 处的全微分 .
2.函数 在点 处方向导数的最大值为.
3.曲线 在点 处的切线方程为.
4.设 ,其中 ,则 的值为.
5.二次积分 的值为.
6.设空间立体 由球面 所围成, 上任一点的体密度是 ,则此空间立体的质量为.
微积分II真题含答案
微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________.2、设，则________________.3、广义积分的敛散性为_____________.4、____________.5、若.6、微分方程的通解是____.7、级数的敛散性为.8、已知边际收益R/(某)=3某2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(某)=____________.9、交换的积分次序=.10、微分方程的阶数为_____阶.二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A,B,C,D，04、若A,B,C,D,5、=（）A,0B,1C,2D,三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2.求，其中D是由，某=1和某轴围成的区域。
3.已知z=f(某,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性.四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）： 1.求由和某轴围成的图形的面积及该图形绕某轴旋转所得旋转体的体积。
2.已知某表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定某和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1,2，3，发散4，05，6，y=c某7，收敛8，R(某)=某3+1000某9，10，2二、单选题（每小题3分，共15分）1，B2，B3，C4，C5，D三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。
(交错法不行就用比较法)（8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200某+400y-100000=0（2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的某为40，y为230.（9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。