2动能定理 (2)

W12
A1 A2
( Fx dx Fy dy Fz dz )
如在质点上同时作用着几个力, 则由合力投影定理可以 推知, 合力在某一路程上的功, 等于各分力分别在该路程中 的功的代数和。这个结论称为合力之功定理。
§2-3 几种特殊力的功
1.重力的功 2.弹性力的功 3.力矩作功(定轴转动刚体上外力的功) 4.平动刚体上力的功 5.平面运动刚体上力的功 6.几种内力作功的情形
时的惯性度量), 则
1 T J z 2 2
(2 16)
定轴转动刚体的动能 , 等于刚体对转轴的转动惯量与其角 速度平方的乘积的一半.
3.平面运动刚体的动能 ?
转动惯量的平行轴定理
设点C是刚体的质心，刚体对通 过质心的轴 z' 的转动惯量 对轴 z 的转动惯量
z
d
z'
J cz 。轴z
与轴 z' 相平行且相距 d 。求此刚体
4.平动刚体上力的功*
(1). 元功
设一刚体在力 F 作用下作平动，其质 心在 C 点，刚体上点 A 的矢径是
r ，速度
z
A r C ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr d rC
F
是 v , 则力 F 的元功: d'W = F dr = F drC
或
d'W = F v dt = F vC dt
∑d'W = ∑F dr = ∑F drC
(2).总功： ∑d'W = ∑ [F dr C + mC ( F ) dφ ]
作用于平面运动刚体上的力的功，等于该力在刚体随质心 平动中的功与力对质心的力矩在刚体转动中的功之和。 或力的平移定理, 将A点的力平移到C点, 再附加一力矩。
6. 几种内力作功的情形
● 汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的 内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气 缸内壁间的内力；这些内力都要作功。 ● 有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作功。 ● 自行车刹车时，闸块对钢圈的摩擦力作功。 ● 炸弹爆炸，弹片之间的内力作功转化为热能和动能。 ● 跑步，人体内肌肉伸缩，内力作功使动能增加。 ● 鸟越胖越能飞。瑞典科学家，用候鸟在风洞中做8—10小时飞
F Fx i Fy j Fz k dr dx i dy j dz k
(2-4)
d W = Fxdx + Fydy + Fzdz
力 F 在有限路程 A1A2 中的总功W, 是该力在这段路程中 全部元功的代数和,可表示成曲线积分
d W = Fcos • dS
(2-2)
式中 是力 F 与速度 v 间的可变夹角. 由于微元路程dS对应于位 移的大小, dS= |dr| = |v|dt , 故式(2-2)可以改写成：
d w F dr
(2-3)
§2-2 力作功的计算方法
3. 元功的解析表达式:
d w F dr
C
J Z J CZ Md
J z。
2
刚体对任一轴的转动惯量，等于它对该轴相平行且通过
质心的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两个轴之间距离平
方的乘积。这就是转动惯量的平行轴定理。
3. 平面运动刚体的动能
设平面运动刚体的角速度是 ,速度瞬心在点P, 刚体做平面 运动时,其上各点速度分布与刚体绕速度瞬心转动一样。刚体对 瞬心轴的转动惯量是Jp , 则平面运动刚体的动能可用(2-16)计算 设刚体的质心C到速度瞬心P的距离是rc 则 质心C的速度大小vc=rc 。根据转动惯量的平 行轴定理，刚体对于瞬心轴的转动惯量
▲在复杂情况下，对复杂物体，如何列出动力学方程？
第 2 章
§2-1 动能定理 §2-2 力作功的计算方法 §2-3 几种特殊力的功 §2-4 动能的计算 §2-5 典型例题 ● 课堂讨论
动 能 定 理
§2-1 动能定理
质点动能定理
dv dv m dr F dr m F dt dt mv dv = F dr （F dr —力的元功） 1 2 d( mv ) dW （d'W =F dr —力的元功） 2
z z
d
F
dW F dS Fn dS Fz dS dW F dS F rd
式中 F
v
y
k
A ds r
O
r 为力F对转轴O的力矩M, 则 dW M d
2
x
ω ω
O r
转化为 x - y 平面内的转动问题。 力矩在物体转动过程中作的总功为：
F
A1 A
dr
A2
r1
r r2
1 = r1 l0 和 2 = r2 l0 分别表示弹簧的初始位
臵变形量和末了位臵变形量。
弹性力的功，等于弹簧初变形的平方与末变 形的平方之差再乘以弹簧刚度系数的一半。
3.力矩作功—定轴转动刚体上外力的功
（变力作功） 刚体在力F作用下绕 Z 轴转动。 当刚体转过一微小转角d 时, 力作用点移 动距离ds= r d , 力F所作的元功为
(2). 总功
或
∑d'W = ∑F v dt = ∑F vC dt
x
O
y
作用于平动刚体上的力的功，等于该力在刚体随质心平动 过程中所作的功。
5.平面运动刚体上力的功*
作用于平面运动刚体上的力的功，等于该力在
刚体随质心平动中的功与力对质心的力矩在刚体转
动中的功之和。
或利用力的平移定理 , 将 A点的力平移到质心 C 点, 同时附加一力矩。然后再分析做功情况。
质点系的动能在某一路程中的改变量 , 等于作用于质 点系的各力在该路程中的功的代数和。这就是质点系动能 定理的积分形式。
§2-2 力作功的计算方法
§2-2 力作功的计算方法
力作功是力在一段路程中对物体作用所累积的效果,其结 果引起能量的转变和转化。下面讨论力的功的计算方法。
1.常力在直线路程中的功
7.约束力的功之和等于零的几种情形
§2-3 几种特殊力的功
1.重力的功
W G(Z1 Z 2 ) Gh
z
A1(x1,y1,z1)
A
A2(x2,y2,z2)
G
O
x
y
重力的功等于重力与物体重心的高度降的乘积。
§2-3 几种特殊力的功
2.弹性力的功
c 2 W (12 2 ) 2
O
例如：定向爆破、卫星运行、洲际导弹、战斗机翻转等。 ▲质点系整体运动特征量：动能、动量、动量矩。
▲力的作用量：功、冲量、力矩等。 ▲动力学普遍定理—质点系整体运动特征量与力的作用量之 间的关系，即动能定理、动量定理、动量矩定理。 ▲物理学中已分析、解决离散质点系的动力学问题，在此 基础上，要解决实际机构中各构件的动力学问题。 ▲对刚体，如何应用牛顿定律，列出动力学方程？



质点动能的微分等于作用于质点上的力的元功。这就是 质点动能定理的微分形式。
1 1 2 mv2 mv12 W12 2 2
质点动能在某一路程中的改变量 , 等于作用于质点的各 力在该路程中所做的功。这就是质点动能定理的积分形式。
质点系动能定理
1 d( mv 2 ) dW 2 2 2
行试验，向鸟体内注射一种含有放射性元素同位素的水，通过测量这些 同位素的含量,算出鸟在飞行中的能量消耗。结果令人惊奇,鸟体重越大, 飞行效率越高，这与空气动力学理论完全相反。科学家估计，体重大的 鸟能更有效地利用自己的肌肉，内力做功。而飞行器因为不是活体，则 必须服从空气动力学规律。
7.约束力的功之和等于零的情形
设物体沿直线轨迹运动 , 物体上一点 由 A1 运动到 A2 , 路程是 S 。求作用在该点 上的一个力 F 在此路程中的功 W。
F
A1

A
A2
S
假定力 F 是常力,大小方向都不变。则 (2-1) 其中 Fcos 为力 F 在物体运动方向上的投影, 可正可负。可 见力的功是代数量。
常力的功为：力与力的作用点位移的标量积。 功的基本单位在国际单位制中采用 J : 1J = 1 N m
速度是 vA , 则力 F 的元功 d'W = F vA dt = F （vC + vAC ）dt = F vC dt + F vAC dt
= F drC + F ( r ) dt
r ω ω
C
F r F r sin mC (F )
= F drC + mC ( F ) dφ
2
1 2 1 T mv mv 2 2 2
(2 14)
国际单位制中,动能的常用单位是 kg m2/s2, 和 J 相等。
平动刚体的动能 转动刚体的动能 平面运动刚体的动能
？
§2-4 动能的计算
1.平动刚体的动能
平动刚体各点的速度和质心速度 vc 相同, M代表刚体质量。
1 1 2 2 T mi vi mi vc 2 2
元功： dW F drC mC ( F )d 总功： W12 F drC mC ( F )d
5.平面运动刚体上力的功*
(1).元功
设一刚体在力 F 作用下作平面运动， 其质心在 C 点，速度是 vC ，刚体上点A 的 vAC
dφ

vA
A
F
vC vC
（d'W =F dr —力的元功）

mv mv d( ) d ( ) dT 2 2
mv d( ) dW 2 2
2
mv （质点系的动能） T 2
dT = ∑d'W
质点系动能的微分等于作用于质点系各力的元功的代 数和。这就是质点系动能定理的微分形式。