版高考数学大一轮复习第八章立体几何85直线平面垂直的判定与性质文新人教A版
备战2024年高考数学大一轮老教材人教A版理第八章直线、平面垂直的判定与性质
∴PE＝12AA1＝ 3，B1E＝ A1B21＋A1E2＝ 5， ∴在Rt△B1PE中， B1P＝ B1E2＋PE2＝2 2，
cos∠B1PE＝BP1EP＝2
3＝ 2
6 4.
∴异面直线
AA1
与
B1P
所成的角的余弦值为
6 4.
(3)求PB1与平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值.
由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1D，∴∠B1PA1是PB1与平面AA1D1D所成的角，
第八章 空间向量与立体几何
§8.5 直线、平面垂直 的判定与性质
考试要求
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
(2)(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形， AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.
①求三棱锥F－EBC的体积；
如图，取BC的中点M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2， CF＝1，EM＝12AB＝1， AB∥A1B1， 由BF⊥A1B1得EM⊥BF， 又EM⊥CF，BF∩CF＝F， 所以EM⊥平面BCF， 故 V 三棱锥 F－EBC＝V 三棱锥 E－FBC＝13×12BC×CF×EM＝13×12×2×1×1＝13.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E为PD的中点.
新人教A版版高考数学一轮复习第八章立体几何直线平面平行的判定及性质教案理解析版
基础知识整合１．直线与平面平行（１）判定定理（２）性质定理２．平面与平面平行（１）判定定理（２）性质定理１．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.２．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥Ｂ．３．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.１．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（）Ａ．只有一条，不在平面α内Ｂ．只有一条，且在平面α内Ｃ．有无数条，一定在平面α内Ｄ．有无数条，不一定在平面α内答案B解析过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面α内，所以这条直线也应该在平面α内．２．（２0１9·吉林普通中学模拟）已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β ”是“m∥β ”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案A解析由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β ”是“m∥β ”的充分不必要条件．３．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,１２，过AB的中点E且平行于BD，AC 的截面四边形的周长为（）Ａ．１0 Ｂ．２0Ｃ．8 Ｄ．４答案B解析设截面四边形为EFGH，F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝４，FG＝HE＝6．∴周长为２×（４＋6）＝２0．４．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：１PD∥平面AMC；２OM∥平面PCD；３OM∥平面PDA；４OM∥平面PBA；５OM∥平面PBＣ．其中正确的个数是（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４答案C解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDＡ．因为M∈PB，所以OM与平面PBA，平面PBC相交．５．（２0１9·南通模拟）如图，四棱锥P—ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝２AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．答案平行解析取PD的中点F，连接EF，AF，在△PCD中，EF綊错误!CＤ．又∵AB∥CD且CD＝２AB，∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAＤ．6．如图所示，ABCD—A１B１C１D１是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A１B１，B１C１的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝错误!，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案错误!a解析如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCＤ．∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AＣ．又∵AP＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!.∴PQ＝错误!AC＝错误!×错误!a＝错误!Ａ．核心考向突破考向一有关平行关系的判断例１（１）（２0１9·湖南联考）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）Ａ．若m∥α，n∥α，则m∥nＢ．若m∥α，m∥β，则α∥βＣ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βＤ．若m⊥α，n⊥α，则m∥n答案D解析A中，两直线可能平行、相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选Ｄ．（２）（２0１9·四川成都模拟）已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是（）Ａ．若a∥α，b⊂α，则a∥bＢ．若a⊥α，b⊂α，则a⊥bＣ．若a，b与α所成的角相等，则a∥bＤ．若a∥α，b∥α，则a∥b答案B解析对于A，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，故A错误；对于B，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错误；对于D，由a∥α，b∥α，得a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错误．触类旁通解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意点（１）判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中，条件“线在面外”易忽视．（２）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．（３）举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．即时训练１．（２0１9·潍坊模拟）已知m，n，l１，l２表示直线，α，β表示平面．若m⊂α，n⊂α，l１⊂β，l２⊂β，l１∩l２＝M，则α∥β的一个充分条件是（）Ａ．m∥β且l１∥α Ｂ．m∥β且n∥βＣ．m∥β且n∥l２Ｄ．m∥l１且n∥l２答案D解析由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选Ｄ．２．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（）Ａ．若m∥α，n∥α，则m∥nＢ．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nＣ．若m⊥α，m⊥n，则n∥αＤ．若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案B解析由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n⊂α，则m ⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n 与α相交，故D错误．考向二直线与平面平行的判定与性质角度错误!用线线平行证明线面平行例２（１）在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCＤ．证明证法一：取OB的中点E，连接ME，NE，如图１，则ME∥AB，又AB∥CD，所以ME∥CD，又NE∥OC，且ME∩NE＝E，OC∩CD＝C，所以平面MNE∥平面OCD，所以MN∥平面OCＤ．证法二：取OD的中点F，连接MF，CF，如图２，则MF綊错误!AD，又底面ABCD是平行四边形，则NC綊错误!AD，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥FC，又MN⊄平面OCD，FC⊂平面OCD，根据直线与平面平行的判定定理可知，直线MN∥平面OCＤ．（２）（２0１9·山东模拟）如图，在三棱台DEF—ABC中，AB＝２DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF—ABC中，AB＝２DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BＤ．又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF—ABC中，由BC＝２EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AＢ．又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABEＤ．因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.角度错误!用线面平行证明线线平行例３如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝２，DE＝EF＝１．（１）求证：BC∥EF；（２）求三棱锥B—DEF的体积．解（１）证明：∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，∴BC∥平面ADEF.又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF.（２）过点B作BH⊥AD于点H.∵DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴DE⊥BH.∵AD⊂平面ADEF，DE⊂平面ADEF，AD∩DE＝D，∴BH⊥平面ADEF.∴BH是三棱锥B—DEF的高．在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，AB＝２，故BH＝错误!.∵DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴DE⊥AＤ．由（１）知BC∥EF，且AD∥BC，∴AD∥EF，∴DE⊥EF.∴三棱锥B—DEF的体积V＝错误!×S△DEF×BH＝错误!×错误!×１×１×错误!＝错误!.触类旁通判断或证明线面平行的常用方法（１）利用线面平行的定义（无公共点）．（２）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）．错误!（４）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．即时训练３．（２0１9·长春一调）如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面．（１）求证：EA⊥EC；（２）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EF∥AＢ．证明（１）∵E是半圆上异于A，B的点，∴AE⊥EＢ．又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE.又∵AE⊂平面ABE，∴CB⊥AE.∵BC∩BE＝B，∴AE⊥平面CBE.又∵EC⊂平面CBE.∴AE⊥EＣ．（２）∵CD∥AB，AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，∴CD∥平面ABE.又∵平面CDE∩平面ABE＝EF.∴CD∥EF.又∵CD∥AＢ．∴EF∥AＢ．考向三面面平行的判定与性质例４（２0１8·云南模拟）如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为２的正方形，且所在平面垂直于平面ABＣ．（１）求几何体ABCDFE的体积；（２）证明：平面ADE∥平面BCF.解（１）取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.∵AO⊥BC，AO⊂平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，∴AO⊥平面BCEＤ．同理FG⊥平面BCEＤ．∵AO＝FG＝错误!，∴VABCDFE＝错误!×４×错误!×２＝错误!.（２）证明：由（１）知AO∥FG，AO＝FG，∴四边形AOFG为平行四边形，∴AG∥OF，又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面ADE，AG⊂平面ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，∴平面ADE∥平面BCF.触类旁通判定面面平行的方法（１）利用定义：即证两个平面没有公共点（不常用）．错误!错误!４利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行客观题可用.即时训练４．如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝２，AB＝１．设M，N分别为PD，AD的中点．（１）求证：平面CMN∥平面PAB；（２）求三棱锥P—ABM的体积．解（１）证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAＢ．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AＢ．∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAＢ．又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAＢ．（２）由（１）知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．∵AB＝１，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝错误!，∴三棱锥P—ABM的体积V＝VM—PAB＝VC—PAB＝VP—ABC＝错误!×错误!×１×错误!×２＝错误!.。
高考数学大一轮复习第八章立体几何8-5直线平面垂直的判定与性质教师用书
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第八章立体几何8-5直线平面垂直的判定与性质教师用书1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：[0，]．3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理【知识拓展】重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)直线a⊥α，直线b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( ×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √) 1．(教材改编)下列命题中不正确的是( )A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案A解析根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m 时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．(2016·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中为真命题的是( )A．①② B．②③ C．②④ D．①④答案D解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD 的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.4．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，即O为△ABC的垂心.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1 (2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD 于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝.证明：D′H⊥平面ABCD.证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.由EF∥AC得＝＝.所以OH＝1，D′H＝DH＝3.于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(2016·××市高三质检) 在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，P在线段BC上，CP＝3PB，M，N分别为AD，BD的中点．求证：BC⊥平面MNP.证明因为MN是△ABD的中位线，所以MN∥AB.又AB⊥平面BCD，所以MN⊥平面BCD，又因为BC⊂平面BCD，所以MN⊥BC.①取BC的中点Q，连接DQ，则DQ⊥BC.由PN是△BDQ的中位线知PN∥DQ，所以PN⊥BC.②由①②可得BC⊥平面MNP.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2 如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.证明(1)方法一取PA的中点H，连接EH，DH.又E为PB的中点，所以EH綊AB.又CD綊AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.所以CE∥平面PAD.方法二连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝AB.又CD＝AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.证明因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥PA，FG∥AC，又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理，FG∥平面PAC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2016·江苏) 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，A1B1⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，A1F⊂平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.题型三求空间角命题点1 求两条异面直线所成的角和二面角例3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．(1)求直线EF和直线AB1所成的角的大小；(2)求二面角D—A1C1—D1的正切值．解(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，因为E，F分别是AD，AA1的中点，所以EF∥A1D.因为A D∥B1C1，AD＝B1C1，所以四边形ADC1B1为平行四边形．所以AB1∥DC1.所以∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．因为△A1DC1是等边三角形，所以∠A1DC1＝60°，即直线AB1和EF所成的角是60°.(2)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，连接B1D1交A1C1于点M，连接DM，则D1M⊥A1C1.又DD1⊥平面A1C1，所以DD1⊥A1C1，且D1M∩DD1＝D1，所以A1C1⊥平面DD1M，又DM⊂平面DD1M，所以DM⊥A1C1.故∠DMD1为二面角D—A1C1—D1的平面角，故tan∠DMD1＝＝.命题点2 求直线和平面所成的角例4 (2016·温州一模)如图，在三棱锥D—ABC中，DA＝DB＝DC，点D在底面ABC上的射影为点E，AB⊥BC，DF⊥AB于点F.(1)求证：平面ABD⊥平面DEF；(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．(1)证明如图，由题意知DE⊥平面ABC，所以AB⊥DE，又AB⊥DF，DE∩DF＝D，所以AB⊥平面DEF，又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面DEF.(2)解由DA＝DB＝DC，知EA＝EB＝EC，E为AC的中点，所以E是△ABC的外心．过点E作EH⊥DF于点H，则由(1)知EH⊥平面DAB，所以∠EBH即为BE与平面DAB所成的角．由AC＝4，∠BAC＝60°，得DE＝2，EF＝，所以DF＝，EH＝，所以sin∠EBH＝＝.所以直线BE与平面DAB所成角的正弦值为.思维升华求空间角的策略(1)利用定义将空间角转化为两条相交直线所成的角，然后在三角形中计算．(2)要遵循求角的四个步骤：作、指、算、答；注意不要忽略角的范围．在如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD 是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，BC＝，F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求直线CE与平面ABED所成角的余弦值．(1)证明如图所示，取CE的中点为M，连接BM，MF，因为F为CD 的中点，所以MF綊ED.又AB∥DE，DE＝2AB，所以MF綊AB，所以四边形ABMF为平行四边形．所以BM∥AF.因为BM⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)解因为△ACD是正三角形，所以AC＝AD＝CD＝2.在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝，所以AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.又AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.如图所示，取AD的中点H，连接CH，EH，则AB⊥CH.又AC＝CD，所以CH⊥AD.又AB∩AD＝A，所以CH⊥平面ABED，所以∠CEH是直线CE与平面ABED所成的角．在Rt△CHE中，CH＝，EH＝，CE＝2，所以cos∠CEH＝＝.所以直线CE与平面ABED所成角的余弦值为.19．立体几何证明问题中的转化思想典例(14分) 如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．规范解答证明(1) 如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形，[4分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[6分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK. [8分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB ＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[10分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[12分]∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分] 1．(2016·嘉兴期末)设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，m⊂α，则m 与β的位置关系不确定，所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误．故选D.3. (2016·芜湖模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．4．(2016·包头模拟) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案C解析A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故AC不可能垂直平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，易得AE⊥BC,而B1C1 ∥BC，所以AE⊥B1C1 ；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD 和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( )A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④答案B解析由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，由②知③正确；由①知④错．故选B.6．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于( )A. B.73C. D.53答案B解析设三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长为a，A1在底面ABC内的射影为O.则依题意，得AO＝＝，由题意得四面体A1—ABC为四面体，所以∠A1AC＝60°，∠AA1C1＝120°.在菱形ACC1A1中，AC1＝＝a.又点C1到底面ABC的距离等于A1到底面ABC的距离，且A1O＝＝a，因此AC1与底面ABC所成角的正弦值为＝，AC1与底面ABC所成角的余弦值为.7. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．答案AB、BC、AC AB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.8. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB ＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．答案12解析设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.又2×＝h，所以h＝，DE＝.在Rt△DB1E中，B1E＝＝.由面积相等得× ＝x，得x＝.9. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．10．(2016·保定模拟) 在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α，一直角边AC⊂β，BC与β所成角的正弦值为，则AB与β所成的角是________．答案π3解析如图所示，作BH⊥MN于点H，连接AH，则BH⊥β，∠BCH为BC与β所成的角．∵sin∠BCH＝＝，设BC＝1，则BH＝.∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝，∴AB与β所成的角为∠BAH.∴sin∠BAH＝＝＝，∴∠BAH＝.11．(2016·四川) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC ＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.(1)解取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：连接BM，CM.因为AD∥BC，BC＝AD，所以BC∥AM，且BC＝AM，所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB.所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)证明由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.因为AD∥BC，BC＝CD＝AD，所以直线AB与CD相交，因为AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，又因为BD⊂平面ABCD，从而PA⊥BD.又BC∥MD，且BC＝MD.所以四边形BCDM是平行四边形，所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，AB⊂平面PAB，AP⊂平面PAB，所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.12．(2016·××市高三下学期5月调测)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC1⊥平面ABC，BC＝CA＝AC1.(1)求证：AC⊥平面AB1C1；(2)求直线A1B与平面AB1C1所成角的余弦值．(1)证明由三棱柱的性质知，BC∥B1C1.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥B1C1.因为A C1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以AC1⊥AC.因为AC1∩B1C1＝C1，AC1⊂平面AB1C1，B1C1⊂平面ABC1，所以AC⊥平面AB1C1.(2)解因为三棱柱ABC－A1B1C1中AC∥A1C1，又由(1)知，AC⊥平面AB1C1，所以A1C1⊥平面AB1C1.设A1B交AB1于点O，所以∠AOC1为直线A1B与平面AB1C1所成角．设BC＝CA＝AC1＝a，Rt△AC1O中，OC1＝a，A1O＝a.因此，cos∠A1OC1＝，故直线A1B与平面AB1C1所成角的余弦值为.13．(2016·北京) 如图，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB 的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.。
2018版高考数学复习第八章立体几何8.5直线平面垂直的判定与性质教师用书文新人教版
2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质教师用书 文 新人教版1．直线与平面垂直 (1)定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)判定定理与性质定理2.平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理【知识拓展】重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( ×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)1．(教材改编)下列命题中不正确的是( )A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案 A解析根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案 C解析A中，由m⊥n, n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；B中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；C中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误．4．(2016·深圳模拟)在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面的结论不正确的是( )A．BC∥平面AGFB．EG⊥平面ABFC．平面AEF⊥平面BCDD．平面ABF⊥平面BCD答案 C解析易知点A在平面BCD上的射影在底面的中心，而中心不在EF上，所以平面AEF⊥平面BCD错误，选C.5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB ⊥平面PGC ， 又CG ⊂平面PGC ，∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 上的高． 同理可证BD ，AH 为△ABC 底边上的高， 即O 为△ABC 的垂心．题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1 (2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．OD ′＝10.证明：D ′H ⊥平面ABCD . 证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，且OH ，EF ⊂平面ABCD ， 所以D ′H ⊥平面ABCD .思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2 如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)方法一 取PA 的中点H ，连接EH ，DH . 又E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD . 所以CE ∥平面PAD . 方法二 连接CF . 因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CF ∥平面PAD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA . 又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面PAD .(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.证明因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥PA，FG∥AC，又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理，FG∥平面PAC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F 在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.题型三直线、平面垂直的综合应用例3 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD . 又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面PAD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△PAD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3. 在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．在Rt△ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24.∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.思维升华 垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．(2016·全国乙卷)如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .(1)证明：G 是AB 的中点；(2)作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． (1)证明 因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD .因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE . 因为PD ∩DE ＝D ，PD ，DE 都在平面PED 内， 所以AB ⊥平面PED ，又PG 在平面PED 内， 故AB ⊥PG .又由已知可得，PA ＝PB ，从而G 是AB 的中点．(2)解 在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影．理由如下：由已知可得PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥PA ，EF ⊥PC ，PC ∩PA ＝P ，PC 与PA 都在平面PAC 中，因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG .由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ， 所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC .由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中， 可得EF ＝PF ＝2，所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43.17．立体几何证明问题中的转化思想典例 (12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，要使n⊥β，则应增加的条件是( ) A．n⊂α且m∥n B．n∥αC．n⊂α且n⊥m D．n⊥α答案 C解析由面面垂直的性质定理知选C.2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故选D.3．(2016·包头模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案 C解析A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( )A．A′C′ B．BD C．A′D′ D．AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.5.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M 为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )A．①② B．①②③C．① D．②③答案 B解析对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．答案AB、BC、AC AB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个． 答案 2解析 若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题．10．(2016·四川)如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下： 连接BM ，CM .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ，所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB . 又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB . 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD . 因为AD ∥BC ，BC ＝CD ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以PA ⊥平面ABCD ， 从而PA ⊥BD .又BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAB ⊥平面PBD .11．(2016·北京)如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面PAC ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA ∥平面CEF ？说明理由． (1)证明 ∵PC ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥DC .又AC ⊥DC ，PC ∩AC ＝C ，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴DC ⊥平面PAC . (2)证明 ∵AB ∥CD ，CD ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥平面PAC ，又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAC .(3)解 棱PB 上存在点F ，使得PA ∥平面CEF .证明如下：取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF ，又∵E 为AB 的中点，∴EF 为△PAB 的中位线，∴EF ∥PA .又PA ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，∴PA ∥平面CEF .*12.(2016·山东)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC. 证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，DB∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.。
(新课标)高考数学大一轮复习-第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定及性质课件 理
(4)若直线 a⊥平面 α，直线 b⊥平面 α，则 a∥b. (5)若平面 α⊥平面 β，直线 a⊥平面 β，则 a∥α. (6)若直线 a⊥平面 α，直线 a⊂平面 β，则 α⊥β. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
2．(2013·广东文)设 l 为直线，α ，β 是两个不同的平面．下 列命题中正确的是( )
为 β.A1A⊥平面 ABCD，A1A∥平面 DCC1D1，而平面 ABCD∩平 面 DCC1D1＝DC；对于 D 项，设平面 A1ABB1 为 α，平面 ABCD 为 β，直线 D1C1 为 l，平面 A1ABB1⊥平面 ABCD，D1C1∥平面 A1ABB1，而 D1C1∥平面 ABCD.故 A，C，D 三项都是错误的．而 对于 B 项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知 B 项正确．
(2)已知平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平 面 ABC.AE⊥平面 PBC，E 为垂足．
①求证：PA⊥平面 ABC； ②当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直 角三角形． 【思路】 已知条件“平面 PAB⊥平面 ABC，……”，想到面 面垂直的性质定理，便有如下解法．
【证明】 ①在平面 ABC 内取一点 D，作 DF⊥AC 于 F.
(2)∵SA⊥平面 AC，DC⊂平面 AC，∴SA⊥DC. 又 AD⊥DC，SA∩AD＝A，∴DC⊥平面 SAD. 又 AG⊂平面 SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG⊂平面 AEF， ∴SC⊥AG 且 SC∩CD＝C，∴AG⊥平面 SDC. 又 SD⊂平面 SDC，∴AG⊥SD.
【解析】 (1)如图，连接 A1B.在△A1BC 中， 因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点，所以 EF∥BA1. 又 EF⊄平面 A1B1BA，所以 EF∥平面 A1B1BA.
2020届高考数学总复习第八章立体几何8_4直线、平面垂直的判定与性质课件文新人教A版
7．如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的 正方形，侧棱 PA＝a，PB＝PD＝ 2a，则它的 5 个面中，互相垂 直的面有__________对．
【解析】 由底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA＝a， PB＝PD＝ 2a，可得 PA⊥底面 ABCD，而 PA⊂平面 PAB，PA⊂ 平面 PAD，可得面 PAB⊥面 ABCD，面 PAD⊥面 ABCD，AB⊥面 PAD，可得面 PAB⊥面 PAD，BC⊥面 PAB，可得面 PAB⊥面 PBC， CD⊥面 PAD，可得面 PAD⊥面 PCD.故共 5 对互相垂直的面．
角度2 利用线面垂直证明线线垂直 【 例 3 】 如 图 ， 在 三 棱 锥 A-BCD 中 ， AB ⊥ AD ， BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重 合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
(1)求证：EF∥平面ABC. (2)求证：AD⊥AC.
【 证 明 】 (1) 在 平 面 ABD 内 ， 因 为 AB⊥AD ， EF⊥AD，
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下：如图，连接AC交BD于O.
因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P 为AM中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD ，所以MC∥平面PBD.
【反思归纳】
跟 踪 训 练 2 如 图 ， 在 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA ⊥ AB ， PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中 点，E为线段PC上一点．
【反思归纳】
考点三 面面垂直的判定与性质 【例4】 (2018·全国Ⅲ卷)如图，矩形ABCD所在平面与 半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．
高考数学大一轮复习第八章立体几何8.5直线、平面垂直的判定与性质课件文新人教A版
EF⊥PB,故②正确;③因为AF⊥PB,若AF⊥BC,则AF⊥平面PBC,则AF∥AE,与已知
矛盾,故③错误;由①可知④正确.
①②④
关闭
第十一页，共43页。
解析
答案
-12-12
知识(zhī shi)梳
理
双基自测(zì cè)
自测(zì cè)点评
1.在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还有可能异面、相交等.
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果一条直线垂直
于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”.
3.判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况.
第十二页，共43页。
-13
-13考点(kǎo
diǎn)1
②若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明
线线垂直的一个重要方法).
③垂直于同一条直线的两个平面平行.
④一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.
⑤两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
(2)证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一条件.
考点(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
考点 1
直线与平面垂直的判定与性质
例1
(2016浙江,文18)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面
ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.
2020高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质课件 理
易知二面角D-AE-C为锐二面角,
x2
3z 2
2 0, 3 2 y2
0,
令x2=1,则n2=(1, 3 ,1). (11分)
于是,|cos<n1,n2>|=
|
n1 n1 |
n2 | n2
|
=
5.
5
故平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 5 .
5
(12分)
方法 2 平面与平面垂直的证明方法
1.证明两个平面垂直,主要的途径是:①利用面面垂直的定义,即两平面 相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直;②利用 面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那 么这两个平面垂直. 2.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法:先从现有的直线 中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中存在,则可通过线面垂直来证 明面面垂直;若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决,而 作辅助线应有理论根据并有利于证明,不能随意添加. 3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直 来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂 直、面面垂直的相互转化.
方法 1 直线与平面垂直的判定方法
1.利用定义:要证明直线a⊥平面α,转化为证明直线a垂直于平面α内的 任何一条直线c. 2.利用判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么 这条直线就和这个平面垂直,即:
m α,n α
l m,l⇒l⊥n α,简言之,“线线垂直⇒线面垂直”.
mn P
平面.用符号表示为:a
a
Pb α
⇒b⊥α.
2.直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的④ 锐角 叫做这条直线
高考数学一轮复习专题八立体几何3直线平面平行的判定与性质综合篇课件新人教A版
② a b P
⇒α∥β
a
b
判定定 如果两个平面同垂直于一条直线,那么这
理2
两个平面平行
判定定 平行于同一个平面的两个平面平行
理3
③
l
l
⇒α∥β
⇒④
α∥γ
2.性质定理
文字语言
性质定理1 如果两个平面平行,那么在一个平面
图形语言
符号语言
1
2
B1D1且EF= B1D1,又知四边形BDD1B1为矩形,∴BD B1D1,∴EF∥BD且EF=
1
BD.∴四边形BDFE为梯形.
2
(2)连接FM,在△A1B1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1的中点,∴MN∥B1D1.由(1)
知,EF∥B1D1,∴MN∥EF.
在正方形A1B1C1D1中,F为C1D1的中点,M为A1B1的中点,∴FM A1D1,又∵四
(2)若一条直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一
平面平行.
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别
是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明 (1)连接B1D1.∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,∴EF∥
例 (2019吉林长春四模,18)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面
ABCD,AD⊥DC,AD⊥AB,DC=2AD=2AB=2,AA1=4,点M为C1D1的中点.
(1)求证:平面AB1D1∥平面BDM;
高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲直线平面垂直的判定及性质理新人教A版
触类旁通 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传 递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂 直的性质．
2证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直有时需借助线面 垂直的性质.
即时训练 3．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°， PA＝PD＝AD＝2，点 M 在线段 PC 上，且 PM＝2MC，N 为 AD 的中点．
答案
∠ACB＝45°.
在△OCM 中根据余弦定理可求得 OM＝235，CH＝OC·MCO·sMin∠ACB＝
45 5.
所以点
C
到平面
POM
的距离为4
5
5 .
答案
(2)如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E， D 为 AC 上的点，B1C∥平面 A1BD.
答案
设点 E 到平面 ABD′的距离为 d， 由 VE－ABD′＝VD′－ABE，得31×2 3d＝13× 2×4， ∴d＝2 3 6.
答案
(2) (2019·江苏模拟)如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝90°， AB＝AA1，M，N 分别是 AC，B1C1 的中点．
求证：①MN∥平面 ABB1A1； ②AN⊥A1B.
答案
解析
4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点， 则( )
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 答案 C 解析 如图，∵A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC，BD 垂直，∴B，D 错误；
高考数学一轮复习第八章立体几何85直线、平面垂直的判
[知识梳理] 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的 与平面 α 互相垂直．
任何
一条直线都垂直，就说直线 l
(2)直线与平面垂直的判定定理和性质定理
[温馨提示] 两个常用结论 (1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直； (2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2．平面与平面的垂直 (1)平面与平面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直． 们所成的二面角是
＝ 5. 在 Rt△DCF 中， CF＝2， CD＝1， 所以 DF＝ CD2＋CF2＝ 5. 显然 DF2＋B1F2＝B1D2，所以∠B1FD＝90° .所以 B1F⊥FD.∵ AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面 ADF.
角度 2：证明线线垂直 (2017· 全国卷Ⅲ)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则( A．A1E⊥DC1 C．A1E⊥BC1 ) B．A1E⊥BD D．A1E⊥AC
[解析]
由 BC1⊥AC，又 BA⊥AC，则 AC⊥平面 ABC1，
因此平面 ABC⊥平面 ABC1， 因此 C1 在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上．
[答案]
AB
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一
直线与平面垂直的判定与性质——热考点 (2017· 黑龙江佳木斯一中三模)如图所示，在直三
[答案]
A
2．(2015· 福建卷)若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 α，则“l⊥m”是“l∥α”的( A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 )
[解析]
由“m⊥α 且 l⊥m”推出“l⊂α 或 l∥α”， 但由“m
【新】版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.5直线平面垂直的判定与性质教师用书文新人教版
2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.5 直线、平面垂直的判定与性质教师用书 文 新人教版1．直线与平面垂直 (1)定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)判定定理与性质定理2.平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理【知识拓展】重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( ×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)1．(教材改编)下列命题中不正确的是( )A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案 A解析根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案 C解析A中，由m⊥n, n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；B中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；C中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误．4．(2016·深圳模拟)在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面的结论不正确的是( )A．BC∥平面AGFB．EG⊥平面ABFC．平面AEF⊥平面BCDD．平面ABF⊥平面BCD答案 C解析易知点A在平面BCD上的射影在底面的中心，而中心不在EF上，所以平面AEF⊥平面BCD错误，选C.5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB ⊥平面PGC ， 又CG ⊂平面PGC ，∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 上的高． 同理可证BD ，AH 为△ABC 底边上的高， 即O 为△ABC 的垂心．题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1 (2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．OD ′＝10.证明：D ′H ⊥平面ABCD . 证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF . 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，且OH ，EF ⊂平面ABCD ， 所以D ′H ⊥平面ABCD .思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2 如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)方法一 取PA 的中点H ，连接EH ，DH . 又E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD . 所以CE ∥平面PAD . 方法二 连接CF . 因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CF ∥平面PAD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA . 又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面PAD .(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.证明因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面PAC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC.2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥PA，FG∥AC，又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理，FG∥平面PAC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F 在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.题型三直线、平面垂直的综合应用例3 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面PAD . 又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面PAD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△PAD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3. 在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．在Rt△ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24.∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.思维升华 垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．(2016·全国乙卷)如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .(1)证明：G 是AB 的中点；(2)作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． (1)证明 因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD .因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE . 因为PD ∩DE ＝D ，PD ，DE 都在平面PED 内， 所以AB ⊥平面PED ，又PG 在平面PED 内， 故AB ⊥PG .又由已知可得，PA ＝PB ，从而G 是AB 的中点．(2)解 在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影．理由如下：由已知可得PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥PA ，EF ⊥PC ，PC ∩PA ＝P ，PC 与PA 都在平面PAC 中，因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG .由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ， 所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC .由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中， 可得EF ＝PF ＝2，所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43.17．立体几何证明问题中的转化思想典例 (12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，要使n⊥β，则应增加的条件是( ) A．n⊂α且m∥n B．n∥αC．n⊂α且n⊥m D．n⊥α答案 C解析由面面垂直的性质定理知选C.2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故选D.3．(2016·包头模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案 C解析A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( )A．A′C′ B．BD C．A′D′ D．AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.5.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M 为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )A．①② B．①②③C．① D．②③答案 B解析对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．答案AB、BC、AC AB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个． 答案 2解析 若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题．10．(2016·四川)如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下： 连接BM ，CM .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ，所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB . 又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB . 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD . 因为AD ∥BC ，BC ＝CD ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以PA ⊥平面ABCD ， 从而PA ⊥BD .又BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAB ⊥平面PBD .11．(2016·北京)如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面PAC ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA ∥平面CEF ？说明理由． (1)证明 ∵PC ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥DC .又AC ⊥DC ，PC ∩AC ＝C ，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴DC ⊥平面PAC . (2)证明 ∵AB ∥CD ，CD ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥平面PAC ，又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAC .(3)解 棱PB 上存在点F ，使得PA ∥平面CEF .证明如下：取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF ，又∵E 为AB 的中点，∴EF 为△PAB 的中位线，∴EF ∥PA .又PA ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，∴PA ∥平面CEF .*12.(2016·山东)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC. 证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，DB∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.。
2021高考数学一轮复习第8章立体几何8.5直线、平面垂直的判定和性质课件文
4．[2020·郑州一中测试]已知两条不重合的直线 m，n 和两个不 重合的平面 α，β，m⊥α，n⊂β.给出下列四个命题：
①若 α∥β，则 m⊥n；②若 m⊥n，则 α∥β；③若 m∥n，则 α⊥β； ④若 α⊥β，则 m∥n.
其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析：依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的
6.垂直关系中的两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这 个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何 一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
二、必明 3 个易误点 1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件． 2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易 忽视． 3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而 盲目套用造成失误．
【知识重温】
一、必记 6 个知识点 1．直线与平面垂直 (1)定义：直线 l 与平面 α 内的①_任__意__一条直线都垂直，就说 直线 l 与平面 α 互相垂直．
(2)判定定理与性质定理 文字语言
图形语言
一条直线与一个平
判定定理
面内的两条相交直 线都垂直，则该直线
与此平面垂直
性质定理
垂直于同一个平面 的两条直线平行
符号语言
a，b⊂α
②a_∩__b_＝__O__
l⊥a
l⊥b
⇒l⊥α
③___ab__⊥ ⊥____αα___⇒ a∥b
2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的④_锐__角__ 叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们 所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的 角是 0°的角． (2)范围：0，2π.
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质教案 文 新人教A版-新人教A
第5讲直线、平面垂直的判定与性质一、知识梳理1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α3.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)线面角θ的X 围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角； ③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角． 常用结论1．与线面垂直相关的两个常用结论：(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直． (2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直． 2．三种垂直关系的转化：线线垂直判定定理性质定理线面垂直判定定理性质定理面面垂直二、习题改编1．(必修2P72探究改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n解析：选C.由题意知，α∩β＝l ，所以l ⊂β，因为n ⊥β，所以n ⊥l . 2．(必修2P67练习T2改编)在三棱锥P ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O . (1)若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的心；(2)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的心．解析：(1)如图，连接OA ，OB ，OC ，OP ，在Rt △POA ，Rt △POB 和Rt △POC 中，PA ＝PB ＝PC ，所以OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心．(2)如图，延长AO ，BO ，CO 分别交BC ，AC ，AB 于点H ，D ，G .因为PC ⊥PA ，PB ⊥PC ，PA ∩PB ＝P ，所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．答案：(1)外(2)垂一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.( )(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.( )(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区(1)证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件；(2)面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直．1．(2020·某某江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：选C.由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．2．(2020·某某某某第一次(3月)双基测试)已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；若l⊥β，α⊥β，则l⊂α或l∥α，必要性不成立，所以若l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.线面垂直的判定与性质(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅱ节选)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．证明：PO ⊥平面ABC .(2)(2020·某某市七校联合考试)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点．求证：AE ⊥平面A 1BD .【证明】 (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，PO ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC .(2)因为AB ＝BC ＝CA ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC ，因为直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ， 所以BD ⊥平面AA 1C 1C ，所以BD ⊥AE .又在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点， 所以A 1D ⊥AE .又A 1D ∩BD ＝D ， 所以AE ⊥平面A 1BD .判定线面垂直的四种方法如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.求证：B1N⊥A1C.证明：连接CM，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以AA1⊥CM.在△ABC中，AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CM⊥平面ABB1A1.因为B1N⊂平面ABB1A1，所以CM⊥B1N.又A1M⊥B1N，A1M∩CM＝M，所以B1N⊥平面A1CM.因为A1C⊂平面A1CM，所以B1N⊥A1C.面面垂直的判定与性质(师生共研)(2019·高考卷节选)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.(1)证明面面垂直的方法①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．如图，在三棱锥ABCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP.证明：平面ACD⊥平面BDP.证明：因为△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，所以Rt△ABD≌Rt△CBD，可得AD＝CD.因为点P是AC的中点，所以PD⊥AC，PB⊥AC，因为PD∩PB＝P，PD⊂平面PBD，PB⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDP.直线与平面所成的角(师生共研)(2020·某某六盘山高级中学二模)空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC ＝BC ＝2，PA ＝4，则PC 和平面PAB 所成角的正切值为．【解析】 取AB 的中点O ， 连接CO ，PO ，易知CO ⊥平面PAB ，则∠CPO 为PC 和平面PAB 所成的角．易得CO ＝2，PO ＝32，所以tan ∠CPO ＝CO PO ＝13，所以PC 和平面PAB 所成角的正切值为13.【答案】 13求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．1．(2018·高考全国卷Ⅰ)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3解析：选C.连接BC 1，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以∠AC 1B ＝30°，AB ⊥BC 1，所以△ABC 1为直角三角形．又AB ＝2，所以BC 1＝2 3.又B 1C 1＝2，所以BB 1＝（23）2－22＝22，故该长方体的体积V ＝2×2×22＝8 2.2．已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的体积V 球＝1605π3，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为．解析：如图，过点O 作OM ⊥平面ABCD ，垂足为点M ，则点M 为正方形ABCD 的中点．因为正方形ABCD 的边长为2，所以AC ＝22，所以AM ＝ 2.因为V 球＝43πr 3＝1605π3，所以球O 的半径OA ＝r ＝25，OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为cos ∠OAM ＝AM OA ＝225＝1010.答案：1010核心素养系列16 逻辑推理——空间中平行与垂直的证明如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)PA ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .【证明】 (1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ， 且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，PA ⊂平面PAD ， 所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点， 所以AB ∥DE ，且AB ＝DE ， 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形． 所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，由(1)知PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，且PA ∩AD ＝A ，PA ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF ，又BE ⊥CD 且EF ∩BE ＝E ， 所以CD ⊥平面BEF ，又CD ⊂平面PCD ， 所以平面BEF ⊥平面PCD .本题考查数学核心素养中的逻辑推理及直观想象、逻辑推理让学生能发现问题和提出问题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，构建知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力．(2020·某某市模拟试题(一))如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM 的体积． 解：(1)证明：连接BD . 因为PA ＝PD ，N 为AD 的中点， 所以PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， 所以△ABD 为等边三角形， 所以BN ⊥AD .又PN ∩BN ＝N ， 所以AD ⊥平面PNB . (2)因为PA ＝PD ＝AD ＝2， 所以PN ＝NB ＝ 3.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ， 所以PN ⊥平面ABCD .所以PN ⊥NB ，所以S △PNB ＝12×3×3＝32.因为AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PNB . 又PM ＝2MC ，所以V P NBM ＝V M PNB ＝23V C PNB ＝23×13×32×2＝23.[基础题组练]1．设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥α C ．若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α D ．若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α解析：选B.若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；易知B 正确；若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故C 错误；若a ∥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，或b 与α相交，故D 错误．故选B.2．(2020·某某一模)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n解析：选B.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 因为m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α， 又因为n ∥β，所以α⊥β，故B 正确；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面， 故D 错误．3.如图，在正四面体PABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D.因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A 正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．4．(2020·某某某某一模)在三棱锥PABC中，已知PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，点D，E分别为棱BC，PC的中点，则下列结论正确的是( )A．直线DE⊥直线AD B．直线DE⊥直线PAC．直线DE⊥直线AB D．直线DE⊥直线AC解析：选D.如图，因为PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，所以△PAC≌△BAC，所以PC＝BC，取PB的中点G，连接AG，CG，则PB⊥CG，PB⊥AG，又因为AG∩CG＝G，所以PB⊥平面CAG，则PB⊥AC，因为D，E分别为棱BC，PC的中点，所以DE∥PB，则DE⊥AC.故选D.5．(2019·高考卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．解析：其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题．命题(1)：若l⊥m，m∥α，则l⊥α，此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面ABCD为平面α，A1D1和A1B1分别为l和m，满足条件，但结论不成立．命题(2)：若l⊥m，l⊥α，则m∥α，此命题正确．证明：作直线m1∥m，且与l相交，故l与m1确定一个平面β，且l⊥m1，因为l⊥α，所以平面α与平面β相交，设α∩β＝n，则l⊥n，又m1，n⊂β，所以m1∥n，又m1∥m，所以m∥n，又m在平面α外，n⊂α，故m∥α.命题(3)：若m∥α，l⊥α，则l⊥m，此命题正确．证明：过直线m作一平面，且与平面α相交，交线为a，因为m∥α，所以m∥a.因为l⊥α，a⊂α，所以l⊥a，又m∥a，所以l⊥m.答案：②③⇒①或①③⇒②(答案不唯一)6．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有；与AP垂直的直线有．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB7.如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAC .8．(2020·某某部分学校调研)如图，已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AA 1＝1，AC ⊥BC ，E 在AB 上，且BA ＝3BE ，G 在AA 1上，且AA 1＝3GA 1.(1)求三棱锥A 1ABC 1的体积； (2)求证：AC 1⊥EG .解：(1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1， 所以B 到平面ACC 1A 1的距离为1，所以VA 1ABC 1＝VB AA 1C 1＝13×(12×1×1)×1＝16.(2)证明：如图，在AC 上取点D ，使CD ＝13CA ，连接ED ，DG ，因为BE ＝13BA ，所以DE ∥BC ，又BC ⊥平面ACC 1A 1， 所以DE ⊥平面ACC 1A 1. 又AC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以DE ⊥AC 1. 在正方形ACC 1A 1中， 由CD ＝13CA ，A 1G ＝13A 1A ，得DG ⊥AC 1. 又DE ∩DG ＝D ， 所以AC 1⊥平面DEG . 所以AC 1⊥EG .[综合题组练]1.如图，棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论不正确的是( )A ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB ．∠APD 1的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C ．三棱锥B 1D 1PC 的体积为定值 D ．DC 1⊥D 1P解析：选B.在A 中，因为A 1D 1⊥平面A 1AP ，A 1D 1⊂平面D 1A 1P ，所以平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故A 正确；在B 中，当P 与A 1重合时，∠APD 1＝π2，故B 错误；在C 中，因为△B 1D 1C 的面积是定值，A 1B ∥平面B 1D 1C ，所以点P 到平面B 1D 1C 的距离是定值，所以三棱锥B 1D 1PC 的体积为定值，故C 正确；在D 中，因为DC 1⊥D 1C ，DC 1⊥BC ，D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥D 1P ，故D 正确．2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为．解析：由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，得12l 2＝8，得l Rt △ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.答案：8π3.如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面AMN 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD . 又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故CD ⊥平面PAD . 又AM ⊂平面PAD ，则CD ⊥AM ，而PC ⊥平面AMN ，有PC ⊥AM ，又PC ∩CD ＝C ，则AM ⊥平面PCD ，故AM ⊥PD .(2)延长NM ，CD 交于点E ，因为PC ⊥平面AMN ，所以NE 为CE 在平面AMN 内的射影，故∠CEN 为CD (即CE )与平面AMN 所成的角， 又因为CD ⊥PD ，EN ⊥PN ，则有∠CEN ＝∠MPN ， 在Rt △PMN 中，sin ∠MPN ＝MN PM ＝33， 故CD 与平面AMN 所成角的正弦值为33. 4．(2020·某某七校联考)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝2，E 是AB 的中点，G 是PD 的中点．(1)求四棱锥P ABCD 的体积； (2)求证：AG ∥平面PEC ； (3)求证：平面PCD ⊥平面PEC .解：(1)易知V 四棱锥P ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×2×2×2＝83.(2)证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF 和FG ，则易得AE ∥FG ，且AE ＝12CD ＝FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG . 因为EF ⊂平面PEC ，AG ⊄平面PEC ， 所以AG ∥平面PEC .(3)证明：易知CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，因为PA ∩AD ＝A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD .又AG ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AG .易知PD ⊥AG ，因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AG ⊥平面PCD ， 所以EF ⊥平面PCD . 又EF ⊂平面PEC ， 所以平面PEC ⊥平面PCD .。
高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质课件理
解析 (1)证明:在△ABD中, ∵AD=4,BD=4 3,AB=8,∴AD2+BD2=AB2. ∴AD⊥BD. 又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD, ∴BD⊥平面PAD. 又BD⊂平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD. (2)过点P作PO⊥AD于O, ∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PO⊥平面ABCD. 即PO为四棱锥P-ABCD的高.
理数
课标版
第四节 直线、平面垂直的判定与性质
教材研读
1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的① 任意一条 直线都垂直,就说直线l与平面α互相 垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言
图形语言
判定 一条直线与一个平面内的② 两条相交直线 都垂直
定理 ,则该直线与此平面垂直
1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m ∥α,n⊥β,则 ( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案 C 对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平 行、相交或异面,故B、D错;对于C,因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C正确.故 选C.
(2)若AB=5,AC=6,AE= 5 ,OD'=2 2 ,求五棱锥D'-ABCFE的体积.
4
解析 (1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得 A E = C F,故AC∥EF. (2分)
AD CD
由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'. (4分)