4.4广义积分
《广义积分的性质》课件
应用：区间可加性在解决实际问题中具有广泛的 应用，例如在计算定积分、广义积分等问题时， 都可以利用区间可加性进行简化计算。
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性质：区间可加性是广义积分的一个重要性质，它 使得我们可以将复杂的积分问题分解为简单的积分 问题，从而简化计算。
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注意事项：在使用区间可加性时，需要注意函数的 连续性和可积性，以确保计算结果的正确性。
• 幂级数法：一种求解积分的方法，通过将积分转化为幂级数形式求解 • 典型例题：求解∫(x^2+1)^(-1/2)dx • 解题步骤： a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n b. 求解幂级数：
∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^77x^9+... • a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n • b. 求解幂级数：∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... • c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^7-7x^9+... • 结论：幂级数法是一种有效的求解积分的方法，适用于求解某些特定类型的积分问题。
下节课预告
下节课我们将继续学习广义积分 的性质
学习目标：掌握广义积分的基本 概念和计算方法
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广义积分
其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
广义积分初步
证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极
广义积分学习指导
广义积分学习指导一、内容提要1、广义积分的概念. ⑴ 无穷区间上的广义积分设)(x f 在),[+∞a 上有定义, a A >∀ R x f ∈)( (],[A a )，记∫∫+∞→+∞=AaA adx x f dx x f )(lim)(称其为)(x f 在),[+∞a 上的无穷积分.若⑴中的极限存在,则称该无穷积分收敛，且其极限值为该无穷积分的值；否则称该无穷积分发散. 类似地可定义： 1）)()(lim)(b B dx x f dx x f bBB b<=∫∫−∞→∞−2）∫∫∫+∞∞−+∞∞−+=ccdx x f dx x f dx x f )()()(∫∫+∞→−∞→+=AcA cBB dx x f dx x f )(lim)(lim)(+∞<<−∞c对积分∫+∞∞−dx x f )(，其收敛的充要条件是∫∞−cdx x f )(及∫+∞cdx x f )(同时收敛.⑵ 无界函数的广义积分(瑕积分)若0>∀δ，函数)(x f 在),(ˆ0δx U 内无界,则称点0x 为)(x f 的一个瑕点（或奇点）.设)(x f 在],(b a 上有定义，a 为其瑕点，且0>∀ε，]),[()(b a R x f ε+∈. 记∫∫+→+=ba badx x f dx x f εε)(lim )(0,称其为)(x f 在],[b a 上的瑕积分. 若上式中的极限存在，则称此瑕积分收敛，其极限值即为瑕积分值；否则，称此瑕积分发散. 设b 为)(x f 在],[b a 上的唯一瑕点，类似地可定义：∫∫−→+=εεb abadx x f dx x f )(lim )(0设c 为)(x f 在],[b a 内的唯一瑕点（b c a <<）,我们定义∫∫∫+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(∫∫+→−→+++=bc c adx x f dx x f 2211)(lim )(lim 0εεεε此时∫b adx x f )(收敛的充要条件是∫c adx x f )(及∫bcdx x f )(同时收敛.2、Γ 函数的定义及性质Γ 函数： )0()(01>=Γ∫+∞−−s dx e x s x sΓ 函数的几个性质：i. 递推公式：)0)(()1(>Γ=+Γs s s s , !)1(n n =+Γ(n 为正整数, 1)1(=Γ)ii. )10(sin )1()(<<=−ΓΓs ss s ππ这个公式称为余元公式，特别地，当21=s 时，π=Γ)21(iii. ∫+∞−−=Γ01222)(du ues s u ，令21=s 得∫∞+−=022πdu e u3、广义积分的柯西主值按广义积分的定义，无穷积分∫∫+∞→∞+∞−=AcA dx x f dx x f )(lim)(∫−∞→+cBB dx x f )(lim右端极限过程中的B A ,是独立变化的.若考虑B A ,的变化过程要求一致,即定义A B =,则相应的无穷积分∫+∞∞−dx x f )(称为)(x f 在),(+∞−∞上的无穷积分的柯西主值,记为P ．Ｖ．∫+∞∞−dx x f )(. 即P．Ｖ．∫∫−+∞→+∞∞−=AAA dx x f dx x f )(lim)(，若此极限值存在，则称广义积分∫+∞∞−dx x f )(在柯西主值意义下收敛，否则称为发散．类似地可定义与瑕积分相应的柯西主值为 P．Ｖ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∫∫∫+−→+b c c a badx x f dx x f dx x f εεε)()(lim )(0其中c 为)(x f 在),(b a 内的唯一瑕点. 二、重点、难点1、本节的难点是无界函数的广义积分,因为这一类广义积分容易被当成常义积分来计算而导致错误.2、广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元积分法，分部积分法，以及广义的牛顿－莱布尼兹公式. 三、答疑解惑问题 下列积分是否正确?为什么?⑴ 0ln 21)(ln ln 1ln 111313=−==∫∫εεεεεεx x d x dx xx⑵ 奇函数积分012=+∫+∞∞−dx x x答 都不正确. ⑴错误的原因是将广义积分当作常义积分去计算. 1=x 是被积函数的无穷间断点,本例的积分是无界函数的广义积分. 正确的解法是∫∫∫+=εεεε1311313ln 1ln 1ln 1dx x x dx x x dx xx 由于 ∫∫−−→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==++εεεεεεε11112030113ln 21lim ln 1lim ln 1x dx x x dx x x−∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=+→21)1(ln 21lim 20εε 故 ∫εε13ln 1dx xx 发散. ⑵ 错误的原因是)1ln(211202t dx x x t+=+∫当+∞→t 时是发散的,由广义积分∫+∞∞−dx x f )(的收敛定义,广义积分∫+∞∞−+dx x x21是发散的.一般地可以证明：当∫+∞∞−dx x f )(收敛时, 0)(=∫+∞∞−dx x f ()(x f 为奇函数).∫∫+∞+∞∞−=0)(2)(dx x f dx x f ()(x f 为偶函数). 证明从略.。
广义积分
§2.4 广义积分一、主要知识点和方法1、基本概念和性质设()f x 在[,)a +∞上有定义，且b a ∀>，()f x 在[,]a b 上可积，定义()d l i m ()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰ ，称为无穷（广义）积分。
类似有()d lim ()d bbaa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰，()d ()d ()d ccf x x f x x f x x+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰且与c 无关。
这些积分统称为无穷积分。
当上述定义中右端的极限存在时，称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散。
对于()d ()d ()d c cf x x f x x f x x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，当且仅当右端两个无穷积分都收敛时，称()f x dx +∞-∞⎰收敛，否则称为发散。
()f x 在[,)a b 上有定义，在点b 的任何邻域内无界（称b 为瑕点），若对任何a c b <<，()f x 在[,]a c 上可积，定义()d lim ()d bcaac bf x x f x x -→=⎰⎰，称为无界函数广义积分，也称以b 为瑕点的瑕积分。
类似地也有以区间左端点为瑕点的瑕积分。
又当c 是()f x 在[,]a b 内的唯一瑕点时，定义()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰。
当定义中右端的极限存在时，称瑕积分收敛。
对于瑕积分()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰，当且仅当右端两个瑕积分都收敛时，称()d baf x x ⎰收敛。
无穷积分和瑕积分统称为广义（反常）积分。
由此可见，广义积分的敛散性就是变动限积分的极限存在性，从而可归结为函数极限来讨论。
设0a >，由定义立即得到：1d p ax x+∞⎰当1p >时收敛，当1p ≤时发散；1d apx x ⎰当1p <时收敛，当1p ≥时发散。
高等数学中的广义积分理论研究
广义积分是高等数学中一个重要的理论研究领域。
广义积分主要处理不可积函数和无穷积分问题，是不定积分的拓展和推广，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
广义积分理论的研究主要包括收敛性的判定和计算技巧等方面。
首先，广义积分的收敛性判定是研究的重点之一。
在高等数学中，对于普通的连续函数，我们有定义良好的Riemann积分方法，但是对于不连续函数或者在某些点处无界的函数，无法直接应用Riemann积分。
而广义积分的核心思想就是将积分区间加以一定的变化或者划分，通过求解极限的方式来判断积分是否存在。
研究广义积分的收敛性判定方法，能够帮助我们了解函数的性质，并且为积分值的计算提供了合理的理论依据。
其次，广义积分的计算技巧也是广义积分理论研究中的重要内容。
对于一些特殊的函数，其积分计算可能不太容易，这时我们可以利用一些数学技巧来简化计算过程。
例如，通过利用奇偶性的性质来简化积分，或者通过换元法等手段来转化为更简单的形式进行计算。
同时，通过变量替换、分部积分等技巧，可以将原本复杂的积分转化为相对简单的形式，进而得到精确或者近似的积分值。
广义积分理论的研究不仅可以用于解决数学问题，更重要的是它在实际问题中的应用。
例如，广义积分常常用于描述物理问题中的连续体的某一物理量。
在物理学中，往往存在着不连续性的场景或者变量的无界性，这时我们就需要借助广义积分理论来求解相关的物理量。
广义积分的应用还可以扩展到概率论、统计学等领域，对于处理复杂问题和实际工程应用有着重要意义。
除此之外，广义积分的研究还与其他数学分支存在关联。
比如在实变函数分析中，广义积分被广泛应用于研究函数的空间、算子的性质等方面。
在实际问题中，广义积分还与微分方程、傅里叶分析等数学分支紧密相关。
这些交叉应用的背后，展现了广义积分理论在数学研究和实际问题求解中的重要作用。
综上所述，高等数学中的广义积分理论研究是一个重要的数学领域。
通过研究广义积分的收敛性判定和计算技巧，我们能够更好地理解函数的性质并解决实际问题。
广义积分的概念与计算
f
( x)dx
和 0
f
( x)dx
都收敛，则
称上述两广义积分之和为函数 f ( x) 在无穷区间
(
,
)
上的广义积分，记作
f
(
x
)dx
.
0
f(x)dx f(x)dx0 f(x)dx
0
b
lim f(x)dxlim f(x)dx
aa
b0
极 限 存 在 称 广 义 积 分 收 敛 ； 否 则 称 广 义 积 分 发 散 .
例5
计算广义积分 0
a2x2
(a0).
解
lim 1 , xa0 a2x2
x a 为 被 积 函 数 的 无 穷 间 断 点 .
a
dx
a
lim
dx
0 a2 x2 0 0 a2x2
l im 0arcsaxina0 l im 0arcas ain0
2
.
.
例 6证 明 广 义 积 分 01x1qd当 xq1时 收 敛 ， 当
计算广义积分
2
1 x2
sin1dx. x
解
2
1 x2
sin1dx x
2sin1xd1x
bl im 2bsin1xd1x
blimcos
1b x2
bl im co1bsco2s 1.
.
例 3证 明 广 义 积 分 1x1pdx 当 p1时 收 敛 ，
当 p1时 发 散 .
证
(1)
p1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
lnx1 ,
(2)
p1, 1
1 xp
dx
x1 1
4.4.1积分区间无限广义积分
二、1、n!； 2、0； 3、(1)n n!.
三、当k 1时收敛于 1 (b a)1k ； 当k 1时发散. 1 k
0 , x 0
四、
x
f
(t )dt
1
4
x2
,
0
x
2.
x 1 , 2 x
4.4 广义积分(41)
24
4.4.2 被积函数无界的广义积分
设函数 f ( x)在区间(a, b]上连续，而在点a 的右
0 a
0 c
否则，就称广义积分
b
a
f ( x)dx 发散.
定义中 c 称
为函数的瑕点，所以，此积分亦称瑕积分.
4.4 广义积分(41)
27
a dx
例10 计算广义积分 0 a2 x2
解
lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a为被积函数的无穷间断点.
a dx
a dx lim
4.4.1 积分区间无限的广义积分
设函数 f ( x)在区间[a,)上连续，取b a . 若
极限
lim
b
b
a
f
( x)dx
存在，则称此极限为函数
f
(
x)
在无穷区间[a,)上的广义积分（无穷积分），
记作
b
f ( x)dx lim f ( x)dx.
a
b a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
11
即
F (b)
b
a
f
( x)dx
在[a, )
也上有上界.
由
定理
1
可知，积分
a
f
广义积分计算公式
广义积分计算公式广义积分是微积分中的一种重要概念，它是对实数区间上的函数进行积分的一种方法。
广义积分计算公式提供了一种计算广义积分的方法，它包括了不定积分和定积分两种形式。
在下面的文章中，我将详细介绍广义积分的计算公式和具体的计算方法。
首先，我们来看不定积分的计算公式。
不定积分是对函数进行积分而不指定上下限的形式，它可以表示为∫f(x)dx。
其中，f(x)表示要积分的函数。
不定积分的计算公式可以通过基本积分公式来得到。
常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-12. ∫1/x dx = ln，x， + C。
3. ∫e^x dx = e^x + C。
4. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
5. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
这些基本积分公式是广义积分计算的基础，它们可以用来计算更加复杂的不定积分。
下面我们来看定积分的计算公式。
定积分是对函数在一个闭区间上进行积分，它可以表示为∫[a,b]f(x)dx。
其中f(x)表示要积分的函数，[a,b]表示积分的闭区间。
定积分的计算公式可以通过牛顿—莱布尼茨公式来得到。
牛顿—莱布尼茨公式为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
这个公式告诉我们，如果能够找到一个函数F(x)，使得它的导数等于f(x)，那么定积分的结果就等于F(b)-F(a)。
在实际计算中，很多函数并没有具体的原函数表达式，因此我们需要通过其他方法来计算定积分。
常见的方法包括换元法、分部积分法和凑微分法等。
换元法是指通过变量代换来简化积分的计算。
具体来说，我们可以将原函数的自变量进行适当的变换，使得积分变得更加容易计算。
常见的变量代换包括三角函数的代换、指数函数的代换和对数函数的代换等。
分部积分法是指通过将积分公式转化为乘法形式，然后使用乘法的公式进行计算。
4.4 广义积分(2)
dx 练习；∫ 1、 0 1− x e dx 2、 ∫1 x 1 − ln 2 x
1
4.4.3Γ函数
下面介绍一个由无穷积分定义的函数：
Γ函数，它在概率论中经常用到。
+∞ 定义4.4.3 无穷限积分 Γ(t ) = ∫ 0 x t −1e − x dx, (t > 0) 是参
数变量t的函数，称为Γ函数。
f ( x) dx 发散。
则定义瑕积分 类似地，设x = b为函数f (x)的瑕点，
∫ ∫
b a
f ( x)dx = lim b −ε f ( x)dx + ∫ a
ε →0
则定义瑕积分 设x = c(a < c < b)为函数f ( x)的瑕点，
b a
lim+ ∫ c −ε1 f ( x)dx + lim f ( x)dx = ε →0 a
lim+ ∫ b +ε f ( x)dx 存在，则称此极限值为 且极限 ε →0 a
f ( x)在[a, b]上的瑕积分，记作 ∫ f ( x)dx ，即
b a
∫
b a
f ( x) dx = lim+
此时也称积分
则称瑕积分
∫ ∫
ε →0 b a
b a
∫
b a +ε
f ( x)dx
f ( x) dx 收敛，若上式极限不存在，
分别考虑下列两个瑕积分： 2 dx 1 dx ∫0 x − 1 和 ∫1 x − 1 1 dx 1−ε dx = lim+ ∫ = lim+ ln | x − 1 ||1−ε = lim+ ln ε = ∞ 0 ∫0 x − 1 ε →0 0 x − 1 ε →0 ε →0 2 dx 所以瑕积分 ∫0 x − 1 发散 注4.4.2 瑕积分与定积分的记号在形式上相同，因此 计算中应特别注意。在上例中，如果没有发现 是瑕点，则会导致下面的错误解法
4.4广义积分
0
6 、广义积分 ∫
x
−∞
1− x 的几何意义是______ ______________ f ( t )dt 的几何意义是______________
________ __； = ________；
________________________. ________________________.
b
+∞
∫−a f (x) dx a→+∞
a
v.p.∫ f (x) dx (c为瑕点, a < c < b)
a
c−ε f (x) dx + b f (x) dx = lim ∫ ∫c+ε + a ε →0
注意: 注意 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下 广义积分收敛 .
例题 试证
注意到: Γ(1) = ∫
+∞ −x e dx 0
=1
= L= n!Γ(1)
(2) 当s → 0+时, Γ(s) → +∞. 证:
Γ(s +1) Q Γ(s) = , Γ(1) = 1 s 且可证明Γ(s) 在s > 0连续,
∴s → 0 时, Γ(s) → +∞
(3) 余元公式:
+
当s = 1 时, 有 2
4.4 广义积分 广义积分
积分限有限 被积函数有界
常义积分
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分(瑕积分）
一、无穷限的广义积分 无穷限的广义积分 广义
引例. 引例 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx −1 A = lim ∫ 2 = lim 1 x b→+∞ x 1 b→+∞
广 义 积 分
广义积分
前面介绍的定积分有两个限制条件：积分 区间有限和被积函数有界.实际问题中还需要某 些函数在无穷区间上的积分以及某些无界函数在 有限区间上的积分.因此要求将定积分概念加以 推广，这就是广义积分.广义积分包括无穷区间 的广义积分和无界函数的广义积分两类.
一、 无穷区间的广义积分
定义2
二、 无界函数的广义积分
【例35】
二、 无界函数的广义积分
【例36】
二、 无界函数的广义积分
【例37】
二、 无界函数的广义积分
【例38】
பைடு நூலகம்
二、 无界函数的广义积分
二、 无界函数的广义积分
由这个递推公式不难看出该积分收敛.特别地，对任何正整 数n
Γ(n+1)=n!
Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n－1)Γ(n－1)=…=n!Γ(1)
以及∫baf(x)dx收敛和发散的概念.
(6-13)
二、 无界函数的广义积分
定义5
设f(x)在区间［a,b］上除点c(a<c<b) limx→cf(x)=∞，如果两个广义积分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx 都收敛，则称广义积分∫baf(x)dx收敛
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx; (6-14) 否则，称其没有意义或发散.
∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx, (6-12) 此时称广义积分∫baf(x)dx存在或收敛；否则称广义积分 ∫baf(x)dx没有意义或发散.这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点.
类似地，可定义f(x)在区间［a,b) ∫baf(x)dx=limε→0+∫b－εaf(x)dx
广义积分的计算方法及例题
广义积分的计算方法及例题广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积、弧长、体积等问题。
广义积分的计算方法有很多种，其中包括换元法、分部积分法、分数分解法、极坐标法等。
这篇文章将详细介绍这些计算方法，并通过例题来说明其应用。
一、换元法换元法是广义积分中常用且实用的计算方法之一。
它利用代数运算中的代换思想，将被积函数中的一个变量用另一个变量表示，从而简化积分的计算。
换元法的基本思路可以用如下步骤表示：1. 选择适当的代换变量。
2. 将被积函数转化为新变量的函数，利用链式法则计算微元的变换。
3. 将新变量的积分限转化为原变量的积分限。
4. 进行原变量的积分运算。
例如，计算广义积分∫(x^3+1)/(x^4+x^2)dx，我们可以选择x^2作为代换变量，进行以下代换：u = x^2则有du = 2xdx将被积函数中的x^2和dx用u和du表示，则被积函数可以转化为1/(u^2+u)du。
接下来计算u的积分，再将结果转化回原变量的积分。
二、分部积分法分部积分法是广义积分中常用的计算方法之一，利用求导和积分之间的关系进行计算。
分部积分法的基本思路可以用如下公式表示：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)和v(x)是待定函数，u'(x)和v'(x)分别是其导数。
例如，计算广义积分∫x sin(x)dx，我们可以选择u(x) = x和v'(x) = sin(x)，则有u'(x) = 1和v(x) = -cos(x)。
将这些值代入分部积分公式，则可以得到∫x sin(x)dx = -x cos(x) - ∫(-cos(x))dx，再进行简化即可。
三、分数分解法分数分解法是计算广义积分中的一种特殊方法，适用于被积函数为有理函数的情况。
分数分解法的基本思路是将有理函数拆解成多个简单函数之和，从而求出每个简单函数的积分后再加总。
广义积分——精选推荐
§4 广义积分【目的要求】1、理解无穷型和无界型广义积分的概念；2、熟练掌握广义积分的求法；3、了解Γ函数的概念与性质． 【重点难点】1、无穷型和无界型广义积分的定义；2、无穷型和无界型广义积分的求法． 【教学内容】前面我们讲的定积分()d ba f x x ⎰是在下述条件下讨论的：(1) 积分区间[],a b 有限；(2) 被积分函数()f x 在[],a b 上有界.然而，在实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间或者被积函数在有限积分区间上为无界函数的积分. 因此，有必要将定积分加以推广，引入广义积分的概念.一、无穷限的广义积分定义 4.1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续，取u a >，如果极限lim ()d uau f x x J →+∞=⎰存在，则此极限J 为函数()f x 在[,)a +∞上的广义积分或反常积分. 记作()d lim ()d uaau J f x x f x x +∞→+∞==⎰⎰.此时，我们称广义积分()d af x x +∞⎰存在或收敛；如果上述极限不存在，称()d af x x +∞⎰发散.类似地，可定义函数()f x 在(],b -∞上的广义积分为：()d l i m ()dbbuu f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰. 如果上述极限存在，则称广义积分()d b f x x -∞⎰收敛；否则称为发散.也可定义函数()f x 在(),-∞+∞上的广义积分. 称()d f x x +∞-∞⎰为收敛的，当且仅当广义积分()d c f x x -∞⎰与()d cf x x +∞⎰均收敛，且()d ()d ()d c cf x x f x x f xx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰（c 为实数）. 当()d c f x x -∞⎰与()d cf x x +∞⎰中至少有一个发散时，则称广义积分()d f x x +∞-∞⎰为发散的.例 1 设p 为常数，试讨论11d p x x+∞⎰的敛散性. 解 当1p =时，11111d lim d lim ln lim ln ln1u uu u u x x xu xx +∞→+∞→+∞→+∞===-=+∞⎰⎰（不存在）.所以，11d x x+∞⎰是发散的. 当1p ≠时，1111111d lim d lim 1u p up p u u x x x x x p +∞-+→+∞→+∞==-+⎰⎰ =111lim11p u u p p-+→+∞--+- 因为10p -+>，即1p <，1lim p u u -+→+∞=+∞.而10p -+<，即1p >时，1lim 0p u u -+→+∞=.所以，当1p <时，11d p x x +∞=+∞⎰，即11d p x x+∞⎰是发散的. 1p >时，111d 1p x x p+∞=-⎰，即11d p x x +∞⎰是收敛的. 综上所述：当1p ≤时，广义积分11d p x x +∞⎰发散；当1p >时，广义积分11d p x x+∞⎰收敛，且其值为11p-. 由无穷区间广义积分的定义，可知无穷区间广义积分的计算是一般在计算定积分()d ba f x x ⎰之后再求极限. 若极限存在，则收敛；若极限不存在，则发散.另外，为了书写方便，在具体计算中，可以将无穷区间上的广义积分的积分限看作+∞或-∞，即()d ()()()lim ()()a a x f x x F x F F a F x F a +∞+∞→+∞==+∞-=-⎰，()d ()()()()lim ()bb x f x x F x F b F F b F x +-∞-∞→-∞==--∞=-⎰，其中，()F x 为()f x 的一个原函数.例 2 计算21d 1x x+∞+⎰. 解201d arctan lim arctan arctan 0012x x x x x π+∞→+∞+∞==-=+⎰. 例 3 计算0d x xe x +∞-⎰.解d d (d )xxx x x e x x e x ee x+∞+∞+∞---+∞-=-=--⎰⎰⎰=0lim 0lim 11x xx x x xe e xe --+∞-→+∞→+∞--=-+=.例 4 计算22arctan d 1xx x+∞-∞+⎰. 解22202220arctan arctan arctan d d d 111xx x x x x x x x +∞+∞-∞-∞=++++⎰⎰⎰.而 20332arctan 11d arctan 0()133224x x x x ππ-∞-∞==--=+⎰，23302arctan 11d arctan ()0133224x x x x ππ+∞+∞==-=+⎰， 故22a r c t a n d 1242412x x x πππ+∞-∞=+=+⎰. 二、无界函数的广义积分定义 4.2 设函数()f x 在区间(,]a b 上连续，而lim ()x af x +→=∞，任取0ε>，如果极限lim ()d ba f x x J εε++→=⎰存在，则此极限J 为函数()f x 在(],a b 上的广义积分，记作()d b af x x ⎰，即()d baf x x ⎰=0lim ()d ba f x x J εε++→=⎰.此时，我们称广义积分()d baf x x ⎰收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分()d baf x x ⎰发散.类似地，对于函数()f x 在[),a b 上连续，而lim ()x bf x -→=∞的广义积分为： 0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰.如果上述极限存在，则称广义积分()d b af x x ⎰收敛；否则称为发散.对于函数()f x 在区间[,]a b 上除x c =，a c b <<外均连续，而lim ()x cf x →=∞的广义积分()d b af x x ⎰为收敛，当且仅当广义积分()d c af x x ⎰与()d bcf x x ⎰均收敛，且()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.当()d caf x x ⎰与()d bcf x x ⎰中至少有一个发散时，则称广义积分()d b af x x ⎰为发散的.例 5 计算广义积分32x ⎰. 解 函数()f x =(]2,3上连续，而2limx +→=∞，任取0ε>， 33220limx x εε++→=⎰⎰0lim εε++→=0l i m 2ε+→==. 即广义积分32x ⎰收敛于2. 例 6 计算广义积分10ln d x x ⎰.解 函数()ln f x x =在区间(]0,1内连续，而0lim ln x x +→=-∞，任取0ε>，1100ln d lim ln d x x x x εε++→=⎰⎰10l i m (l n )x x x εε+→=- [][]0ln11lim ln εεεε+→=---，其中 0l i m l n 0εεε+→= 所以1l n d 1xx =-⎰.例 7 证明广义积分d ()bqaxx a -⎰当01q <<时收敛；当1q ≥时发散. 证 当1q =时，d d ln()()()bb b a q aa x xx a x a x a ==---⎰⎰ ln()lim ln()x ab a x a +→=---=+∞.当1q ≠时，11(),01,d ()1()1, 1.qqbbaq ab a q x x a q x a qq --⎧-<<-⎪==-⎨--⎪+∞>⎩⎰因此，当01q <<时，此广义积分收敛，其值是1()1qb a q ---；当1q ≥时发散.例 8 考察131d x x -⎰. 解 被积函数在区间[)(]1,00,1- 内连续，0x =处为无穷间断点. 利用定义101333110d d d x x x x x x --=+⎰⎰⎰， 其中 _03321100d d 111lim lim ()22x x x x εεεε---→→⎡⎤==-+=-∞⎢⎥⎣⎦⎰⎰， 所以031d xx -⎰发散，同理130d x x ⎰也发散. 因此广义积分131d x x -⎰发散. 注意：如果不注意到031d xx-⎰的被积函数在0x =处为无穷间断点，会发生如下错误：131d 0xx -=⎰.三、Γ函数定义 4.3 广义积分10d x xe x α+∞--⎰ (0)α>，作为参变量α的函数，称为Γ函数，记为()αΓ，即10()d x x e x αα+∞--Γ=⎰.可以证明0α>时，()αΓ收敛.Γ-函数是概率论中一个重要函数，并有下列性质：性质 1 (1)1Γ=.性质 2 (1)()αααΓ+=Γ. 性质 3 n 为自然数，(1)!n n Γ+=.性质 4 1()2Γ=下面我们证明之.证 显然，0(1)d 1x e x +∞-Γ==⎰.由分部积分公式(1)d d()(d )x x xx x e x x e x e e x ααααα+∞+∞+∞---+∞-Γ+==-=--⎰⎰⎰=10d x x xe e ax x αα+∞-+∞---+⎰ =10d x x x ee x x ααα+∞-+∞---+⎰，利用洛必达法则，可得0lim 00x x x x e x e αα-+∞-→+∞=-=，所以10(1)d ()x x e x ααααα+∞--Γ+==Γ⎰.当α为自然数时，性质3成立. 性质4将在后面章节中证明.例 8 计算下列积分：(1)2d xe x +∞-⎰； (2)20d x x -⎰.解 (1) 利用1()2Γ=，即120d xx e x +∞--=⎰.令12t x -=，则2x t =，d 2d x t t =. 得2102d t t e t t +∞--=⎰22d t e t +∞-=⎰2d xe x +∞-⎰=.(2) 令2t x =，则2t x =，d d 2tx =. 于是200d 3d d ()2442x t t t x t ---===Γ⎰⎰⎰1()2==。
广义积分、定积分应用
第四节 广义积分在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.（1）由曲线xy e -=，及x 轴、y 轴所围成的图形的面积（作图） 解：0limlim 11bx bb b A e dx e --→+∞→+∞⎡⎤==-=⎣⎦⎰ （2）由曲线xy e =，及x 轴、y 轴所围成的图形的面积（作图） 解：0limlim 11x a a a a A e dx e →-∞→-∞⎡⎤==-=⎣⎦⎰. 2．定义1.设函数()x f 在区间[)+∞,a 上连续，取a b >.如果极限 ()dx x f bab ⎰+∞→lim存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分，记作()dx x f a⎰+∞.即：()dx x f a⎰+∞()dx x f bab ⎰+∞→=lim————（1）这时，也称广义积分()dx x f a⎰+∞收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分()dx x f a⎰+∞发散.定义2.设函数()x f 在区间(]b ,∞-上连续，取b a <.如果极限()dx x f baa ⎰-∞→lim存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分，记作()dx x f b⎰∞-.即：()dx x f b⎰∞-()dx x f baa ⎰-∞→=lim————（2）这时，也称广义积分()dx x f b⎰∞-收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间(]b ,∞-上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分()dx x f b⎰∞-发散.定义3.设函数()x f 在区间()-+∞∞，上连续，如果广义积()dx x f ⎰∞-0和()dx x f ⎰+∞都收敛，则称上述两广义积分之和为函数()x f 在区间()+∞∞-,上的广义积分，记作：()()()dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0.------（3）这时，也称广义积分()dx x f ⎰+∞∞-收敛；否则，就称()dx x f ⎰+∞∞-发散.上述定义的三种广义积分统称无穷限的广义积分. 例1． 求22111lim lim arctan lim arctan .1144|b b b b b dx dx x b x x ππ+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤===-=⎢⎥++⎣⎦⎰⎰ 注意：表面上是代入上、下限作差，其实，这里的上限值是函数的极限。
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(b a)1q ; 所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 1 q 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
例7. 解： 积分.
求 的无穷间断点, 故 I 为广义
0
f ( x) I dx 2 11 f ( x )
f ( x) dx 2 2 1 f ( x)
4.4 广义积分
常义积分
推广
积分限有限 被积函数有界
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分(瑕积分）
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x 其含义可理解为 A lim
b 1
A
dx 2
b
1
b
dx 1 lim 2 b x 1 x
3
f ( x) d f ( x) 1 f 2 ( x) d x 1 f 2 ( x) arctan f ( x) C
] 2
32 ] arctan 2 2 27
内容小结
1. 广义积分 积分区间无限
被积函数无界
定积分的极限
2. 两个重要的广义积分
, 1 , p 1 ( p 1) a
三、 求 当 k 为何值时 ， 广义 积分 a
x
f ( t )dt .
练习题答案
一、1、 p 1, p 1；2、q 1 , q 1； 3、k 1 , k 1 ； 4、发散； 5、1； 6、过点 x 平行于 y 轴 的直 线左边,曲线 y f ( x ) 和 x 轴 所围图形的面积 . 二、2、 ； 3、 n!； 4、发散； 2 5、 2 ； 6、0； 7、 ( 1) n n!. 3 1 三、当 k 1时收敛于 (b a )1 k ； 当 k 1 时发散. 1 k 0 , x 0 1 x 2 四、 f ( t )dt x , 0 x 2 . 4 x 1 , 2 x
练 习 题
一、填空题： 1、广义积分 发散；
dx 2、广义积分0 q 当_______时收敛；当_______时发 x 散； dx 3、广义积分 2 在_______ k 在______时收敛； x (ln x ) 时发散； x 4、广义积分 dx =____； 2 1 x
b
c
b
f ( x )dx
思考题
积分 0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x 1
思考题解答
积分 0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x 0, x 1
x 1
ln x 1 lim 1, lim x 1 x x 1 x 1 0
1
x 1 不是瑕点,
ln x dx 的瑕点是 x 0. x 1
0
分别讨论每一区间上的广义积分.
(3) 有时需考虑主值意义下的广义积分. 其定义为
v.p.
b
f ( x) dx lim
a f ( x) dx a
a
v.p. f ( x) dx (c 为瑕点, a c b)
a
c f ( x ) dx b f ( x ) dx lim c a 0
p 1 p 1
,
q 1
说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和定积分可以互
相转化 .
例如 ,
1 1 x2 0 x2 1 x2
1
dt
1
d( x 1 ) x 2
0 ( x 1)2 x
dt 2 t 2 (2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,
b
b
若 a , b 都为瑕点, 则
a f ( x) dx F (b 0) F (a 0)
注意: 若瑕点 c (a , b) , 则
a f ( x) dx
b
F (b) F (c 0) F (c 0) F (a)
可相消吗?
例4. 计算广义积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 x a arcsin arcsin1 原式 a 0 2 例5. 讨论广义积分 的收敛性 .
f ( x) dx F (x) f ( x) dx F (x)
b
例1. 计算广义积分
解:
[ arctan x ]
y
y
( ) 2 2
1 1 x 2
o
x
思考: 分析: 原积分发散 !
注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
例6. 证明广义积分 时发散 .
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
证: 当 q = 1 时,
当 q≠1 时
ln x a
1 q
a
b
q 1 q 1
( x a) 1 q
(b a)1q b 1 q , a ,
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x) C [a , b) , 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
lim
1 0
a f ( x) dx c f ( x) dx c b a f ( x) dx lim0 c
1 2
1 1 x 2 1 x2 0 x2
dx
1 1 1 d (x ) 2 2 0 (x 1) 2 x
x
1 2 2
arctan
x1 x 2
0
三、 函数
1. 定义
( s )
s 1 x x e 0
d x ( s 0)
(3) 余元公式:
( s )(1 s ) sin( s ) 当 s 1 时, 有 2
(0 s 1)
(证明略)
(4) (s) 的其他形式
令 x u2, 得 u 2 2 s 1 ( s ) 2 e u du
0
( s 0)
再令 2s 1 t , 即 s 1 t , 得应用中常见的积分 2 t u 2 1 1 t 0 u e d u 2 2 (t 1)
注意: 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下 广义积分收敛 .
例题 试证
解:
0
dx x d x , 并求其值 . 4 4 0 1 x 1 x
令t1 x
2
1 1 1 14 t 2 d t
0 t
t2 dt 4 0 1 t 2 d x x 1 d x d x 4 4 0 4 0 1 x 2 0 1 x 1 x 1 1 x 2 dx 2 0 1 x4
类似地 , 若 f ( x) C ( , b] , 则定义
若 f ( x) C ( , ) , 则定义
lim a f ( x) dx b c f ( x) dx a lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
例2. 证明第一类 p 积分 时发散 . a 0
证:当 p =1 时有
当 p >1 时收敛 ; p≤1
ln x
当 p ≠ 1 时有
a
x 1 p a
1 p
,
a 1 p , p 1
p 1 p 1
a 1 p ; 因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 p 1 当 p≤1 时, 广义积分发散 .
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
引入记号
F () lim F ( x) ;
x
F () lim F ( x)
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a
f ( x) dx F (x)
F () F (a) F (b) F () F () F ()
0
x e dx （ n 为自然数 ） ；4、
n x
2
0
dx ； 2 (1 x )
5、 7、
2
1
xdx ； x 1
1 0
6、
0
x ln x dx ； 2 2 (1 x )
ln n xdx .
b
dx (b a ) k ( x a) 收敛？又 k 为何值时 ，这广义积分发散？ 0 , x 0 1 四、 已知 f ( x ) x , 0 x 2 ，试用分段函数表示 2 1 , 2 x
1
dx 1 lim 2 x x 0
A
0
lim 2(1 ) 2
0
x
定义2. 设 f ( x) C (a , b] , 而在点 a 的右邻域内无界, 若极限 存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作
这时称广义积分 就称广义积分
0
0 dx 1 下述解法是否正确: dx 1 1 1 2 2 解: 1 x 0x x 1 x 0 1 1 dx 2 1 1 1 2 , ∴积分收敛 1 x x 1 发散 . 所以广义积分
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,