高二(上)期末数学试卷(理科)(必修3+选修2-1)(一)

高二（上）期末数学试卷（理科）（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设命题p：∃x0＞0，cos x0+sin x0＞1，则￢p为（）A. ∀x＞0，cos x+sin x＞1B. ∃x0≤0，cos x0+sin x0≤1C. ∀x＞0，cos x+sin x≤1D. ∃x0＞0，cos x0+sin x0≤12.李明所在的高二（16）班有58名学生，学校要从该班抽出5人开座谈会，若采用系统抽样法，需先剔除3人，再将留下的55人平均分成5个组，每组各抽一人，则李明参加座谈会的概率为（）A. B. C. D.3.椭圆+=1的焦距是4，则实数m的值为（）A. 5B. 13C. 5或13D. 8或154.已知与之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么t的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 85.已知直线y＝3－x与两坐标轴围成的区域为Ω1，不等式组所形成的区域为Ω2，现在区域Ω1中随机放置一点，则该点落在区域Ω2的概率是（ )A. B. C. D.6.《九章算术》是我国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可用来求两个整数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也”．下列程序框图的算法思路就源于此．执行该框图，若输入a，b 的值分别为98，63，则输出的a和i的值分别为( )A. 7；6B. 7；7C. 0；6D. 0；77.方程的曲线一定不是( )A. 椭圆B. 点C. 双曲线D. 圆8.执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )A. －B.C. －D.9.已知椭圆的左焦点F1，右顶点A，上顶点B，且∠F1BA=90°，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.10.已知F 1、为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，，,则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.11.若向量、满足，则等于（）A. kB. -5C. 7D. -712.下列命题中正确命题的个数是（）①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“”是“”的必要不充分条件；③若为假命题，则，均为假命题；④若命题：，，则：，；A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从一堆苹果中任取个，称得它们的质量如下(单位：克)：，则该样本的标准差__________(克)(用数字作答)．14.已知A（-1，1，1），B（0，1，1）则|AB|= ______ ．15.椭圆的离心率为____.16.已知P是抛物线y2=4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|PA|+|PQ|的最小值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知椭圆的方程为=1(a＞b＞0)，它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，离心率e=，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点M(1，0)，且，求直线l的方程．18.为了解某校高三学生质检数学成绩分布，从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图．若第一组至第五组数据的频率之比为1：2：8：6：3，最后一组数据的频数是6．（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率，并求出样本容量；（Ⅱ）从样本中成绩在65～95分之间的学生中任选两人，求至少有一人成绩在65～80分之间的概率．19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角A-BC1-A1的平面角的余弦值．20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1．（Ⅰ）若点M在线段AC上，且满足CM=，求证：EM∥平面FBC；（Ⅱ）求证：AF⊥平面EBC；（Ⅲ）求二面角A-FB-D的余弦值．21.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得数据如下:（Ⅰ）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；（Ⅱ）根据（Ⅰ）所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．附：22.已知双曲线的渐近线的方程为y=±x，并经过点P（2，）．（1）求双曲线的标准方程；（2）经过双曲线的右焦点F2且倾斜角为30°的直线l交双曲线于A、B两点，求|AB|．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0＞0，cos x0+sin x0＞1，则￢p为：∀x＞0，cos x+sin x≤1．故选：C．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意58名学生，学校要从该班抽出5人开座谈会，故每个人被抽到的概率是，故李明参加座谈会的概率为；故选：C系统抽样的方法是一个等可能的抽样，故每个个体被抽到的概率都是相等的，由等可能事件的概率算出每个个体参加座谈会的概率即可本题考查系统抽样的方法，解题的关键是理解系统抽样是一个等可能抽样，即每个个体被抽到的概率相等，由此算出李明参加座谈会的概率．3.【答案】C【解析】解：①当椭圆焦点在x轴上时，a2=m，b2=9，得c==∴焦距2c=2=4，解之得m=13．②椭圆焦点在y轴上时，a2=9，b2=m，得c=，焦距2c=2=4，解之得m=5．综上所述，得m=13或5．故选：C．分椭圆的焦点在x轴或y轴两种情况，根据椭圆基本量的关系建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．本题给出含有字母参数m的方程，在已知焦距的情况下求参数的值，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键，属于基础题.先计算平均数，然后根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论.【解答】解：由题意，==5，=，代入线性回归方程，可得=0.8×5+0.5=4.5，解得t=6.故选B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查几何概型及线性区域问题，先求出Ω1的面积，作出不等式组对应的区域，求出Ω2的面积，利用几何概型的概率即可求解.【解答】解：作出不等式组对应的区域，如图：直线y＝3－x与两坐标轴围成的区域为Ω1的面积,即,由直线y=3-x与y=2x联立可得C（1,2），故区域Ω2的面积即,故所求概率P=,故选B.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查条件结构和循环结构、程序框图,根据条件模拟运行即可求解，属于基础题. 【解答】解：i=1,a-b=98-63=35;i=2,b-a=63-35=28;i=3,a-b=35-28=7;i=4,b-a=28-7=21;i=5,b-a=21-7=14;i=6,b-a=14-7=7;i=7,a=b,输出a=7，i=7.故选B.7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了双曲线、椭圆和圆的概念及标准方程，双曲线、椭圆和圆的性质及几何意义，属于基础题.由双曲线、椭圆和圆的性质即可直接得到答案.【解答】解：因为双曲线的标准方程为：，所以无论如何取值，都不可能是双曲线的方程，当时，方程为一个点，当,时，方程是一个圆，当,时，方程是一个椭圆，故选C.8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查程序框图的知识，解答本题的关键是知道程序框图的特点.【解答】解：由程序框图，可知当k＝5时，循环结束，所以S＝sin＝，故选D.9.【答案】A【解析】解：依题意可知点A坐标为（a，0），B坐标（0，b），F1（-c，0）直线AB斜率为=，直线BF1的斜率为=∵∠F1BA=90°，∴直线AB⊥直线BF1⇒k AB•k BF1=-1∴（）•（）==-1整理得c2+ac-a2=0，即，即e2+e-1=0解得e=或∵0＜e＜1∴e=，故选A．先分别求出A，B，F1的坐标求出直线AB和BF1的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得-1，进而求得a和c的关系式，进而求得e．本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的定义及简单几何性质,同时考查余弦定理,由已知得|PF1|,然后由余弦定理求解即可.【解答】解: 因为,所以双曲线的定义得|PF1|=2a+2c,又,所以∠F1F2P=120°,由余弦定理有,即,所以,所以离心率.故选C.11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了空间向量的加减运算，以及空间向量的数量积运算，属于基础题.【解答】解：由，得，.故选B.12.【答案】C【解析】【分析】本题考查四种命题的关系与真假判断，必要条件、充分条件和充要条件的判断，复合（或、且、非）命题的判定和全称命题、特称命题的否定及真假判定.①根据逆否命题的定义进行判断．②根据充分条件和必要条件的定义进行判断．③根据复合命题真假关系进行判断．④根据含有量词的命题的否定进行判断，从而得结论．【解答】解：①命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”；故①正确，②由a2+a≠0得a≠-1或a≠0，“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件；故②正确，③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题；故③错误，④命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0．故④正确，故正确的是①②④，故选C．13.【答案】【解析】因为样本平均数，则样本方差，所以.14.【答案】1【解析】解：A（-1，1，1），B（0，1，1），则|AB|==1．故答案为：1．根据两点间的距离公式求值即可．本题考查了空间两点间的距离公式应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的方程及性质，根据题意得a2=25，b2=16，然后可得a，c的值，进而即可求得结果.【解答】解：由，得a2=25，b2=16，则a=5，c=，因此椭圆的离心率为.故答案为.16.【答案】2【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，利用抛物线的定义，转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），P是抛物线y2=4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|PA|+|PQ|的最小值，就是PF的距离减去y轴与准线方程的距离，可得最小值为：-1=3-1=2．故答案为：2．17.【答案】解：(1)设椭圆的右焦点为(c，0)，因为y2=8x的焦点坐标为(2，0)，所以c=2因为，则a2=5，b2=1故椭圆方程为：(2)由(I)得F(2，0)，设l的方程为y=k(x-2)(k≠0)代入，得(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，∴y1+y2=k(x1+x2-4)，y1-y2=k(x1-x2)∴∵，∴(x1+x2-2)(x2-x1)+(y2-y1)(y1+y2)=0∴，∴所以直线l的方程为．【解析】(1)由椭圆和y2=8x抛物线有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，离心率，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆C的方程；(2)设出直线l的方程和点A，B的坐标，并代入，联立联立消去y，得到关于x的一元二次方程，△＞0，利用韦达定理即可求得．18.【答案】解：（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140之间的概率p1=，又设样本容量为m，则，解得，m=40;（Ⅱ）样本中成绩在65～80分之间的学生有=2人，记为x，y；成绩在80～95分之间的学生=4人，记为a，b，c，d，从上述6人中任选2人的所有可能情形有：{x，y}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{x，d}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{y，d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，共15种，至少有1人在65～80分之间的可能情形有{x，y}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{x，d}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{y，d}，共9种，因此，所求的概率p2=．【解析】（Ⅰ）由比例关系可得分布在[125，140]上的概率，由频率=可得答案；（Ⅱ）由题意可得：样本中成绩在[65，80）和[80，95）上的学生分别有2人、4人，分别记为x，y；a，b，c，d．利用列举法可得答案．本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属基础题．19.【答案】证明：（Ⅰ）证法一：由已知AA1⊥AB，又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥AB，又AC=AA1=4，∴A1C⊥AC1，∵AC1∩AB=A，∴A1C⊥平面ABC1；证法二：由已知条件可得AA1、AB、AC两两互相垂直，因此以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），A1（0，0，4），C1（4，0，4），∴，，，∵，且，∴，且，∴A1C⊥平面ABC1；解：（Ⅱ）∵，，设平面A1BC1，则，取y=4，得；由（Ⅰ）知，为平面ABC1的法向量，设二面角A-BC1-A1的大小为θ，由题意可知θ为锐角，∴．即二面角A-BC1-A1的余弦值为．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．（Ⅰ）法一：由AA1⊥AB，AB⊥AC，得AB⊥平面ACC1A1，从而A1C⊥AB，又A1C⊥AC1，由此能证明A1C⊥平面ABC1．法二：以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明A1C⊥平面ABC1．（Ⅱ）求出平面A1BC1的法向量和平面ABC1的法向量，利用向量法能求出二面角A-BC1-A1的余弦值．20.【答案】解：（Ⅰ）过M作MN⊥BC，垂足为N，连结FN，则MN∥AB．又∵，∴．又∵，∴EF∥MN．且EF=MN．∴四边形EFNM为平行四边形．∴EM∥FN．又FN⊂平面FBC，EM⊄平面FBC，∴EM∥平面FBC．（Ⅱ）∵EF∥AB，∴EF与AB可确定平面EABF，∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BC．由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A，∴BC⊥平面EABF．又AF⊂平面EABF，∴BC⊥AF．在四边形ABFE中，AB=4，AE=2，EF=1，∠BAE=∠AEF=90°.则,又∵∠BEA+∠FEB=90°，∴∠FEB+∠AFE=90°∴EB⊥AF．又∵EB∩BC=B，∴AF⊥平面EBC．（Ⅲ）以AB为x轴，AD为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，则B（4，0，0），D（0，4，0），F（1，0，2）．∴，=（-3，0，2），设平面BDF的法向量为=（a，b，c），则，不妨取a=2,解得：=（2，2，3）．同理可得，平面AFB的法向量为=（0，1，0），∴二面角A-FB-D=，∴二面角A-FB-D的余弦值cos===．【解析】（I）过M作MN⊥BC，垂足为N，连结FN，则MN∥AB，又可得EF∥MN，从而四边形EFNM为平行四边形，所以EM∥FN，最后根据线面平行的判定定理，即可得到EM∥平面FBC；（Ⅱ）先利用线面垂直的性质和勾股定理证出BC⊥AF，EB⊥AF，从而证出AF⊥平面EBC；（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求解即可．本题主要考查线面平行的判定定理及线面垂直的性质，考查二面角的求法，考查法向量的应用，是一个综合题目，题目的运算量不大，理解相关定理的内容是解决该类题目的基础．21.【答案】解：（I）由表中数据得：=×（10+20+30+40+50）=30，=×（62+68+75+81+89）=75，由最小二乘法公式，求得b=≈0.67，a=75-0.67×30=54.9，∴回归直线方程为y=0.67x+54.9；（Ⅱ）根据（I）所求的回归直线方程，当x=70时，y=0.67×70+54.9=101.8，由此预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间为101.8分钟．【解析】本题考查求回归直线方程的应用问题，利用回归直线方程恒过样本中心点是解题的关键．（I）由表中数据，求出、，根据最小二乘法公式求出系数b和a，即可写出回归直线方程；（Ⅱ）根据回归直线方程，计算x=70时y的值即可．22.【答案】解：（1）由题意设双曲线方程为=λ，则4-1=λ，∴λ=3，∴双曲线的方程为=1；（2）双曲线=1的右焦点为F2（3，0），∴经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l的方程为y=（x-3），联立双曲线得5x2+6x-27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，|AB|==．【解析】（1）由题意设双曲线方程为=λ，代入点P，即可求双曲线的标准方程；（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l的方程为y=（x-3），联立双曲线得5x2+6x-27=0，利用弦长公式，即可求|AB|．本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。