北师大版数学八年级上册7.1为什么要证明

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北师大版八年级数学(上)第七章平行线的证明第1节为什么要证明

例 4：观察下列关于自然数的等式： (1)32－4×12＝5 ① (2)52－4×22＝9 ② (3)72－4×32＝13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：92－4×( )2＝( )；
(2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示)，并验证其正确性．
解：(1)4,17 (2)第 n 个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，∴第 n 个等式成立．
练习：下列问题你不能肯定的是( D )
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积的大小关系 B．三角形的内角和 C．八边形的外角和 D．三角形与矩形的面积关系
课程导入2：
代数式n2＋ n＋41的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4， 5试一试，你能否由此得到结论：对于所有自然数n2＋ n＋41的值都是质数？与同伴进行交流.
2.在学习中，小明发现：当 n＝1,2,3 时，n2－6n 的值都是负数，于是小明猜想：当 n 为任意正整数时，n2－6n 的值都是负数，小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
解：小明的猜想不正确．理由为：当 n＝6 时，n2－6n＝62－6×6＝0；当 n＞ 6 时，n2－6n＝n(n－6)＞0.
练习：观察下列各式的计算过程： 5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …
请猜测，第 n 个算式(n 为正整数)应表示为 100n(n－1)＋25 .
证明的必要性
1.要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验，观察、归纳是不够的，
解：小明的猜想正确，理由：因为 n 为奇数，所以可设 n＝2k+1（k 为自然数），所以 n2﹣1＝（2k+1）2﹣1＝（2k+1+1）（2k+1﹣1）＝（2k+2）×2k＝4k（k+1），因为 k 为自然数，所以 k，k+1 是相邻的自然数，所以 k，k+1 中必有一个是偶数，一个是奇数，所以 k（k+1）必定是 2 的倍数，所以 4k（k+1）必定是 8 的倍数，故当 n 为任意正奇数时， n2﹣1 的值一定是 8 的倍数．

北师大版八年级数学上册第七章为什么要证明

【题型二】数学中的推理验证
例2：在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
解：不正确．理由：当n＝6时，n2－6n＝0，所以当n为任意正整数时，n2－6n的值不一定为负数，所以小明的猜想不正确．
生活中的图片
彭罗斯楼梯
莫比乌斯环
克莱因瓶
视频导入
大家看到的这些魔术是真实发生的吗？
眼见不一定为实，遇见问题需要证明
1.请同学们阅读课本162－163页． 2．观察课本162页的图片，完成下列问题.
①图7－1中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再测量一下．结论：a与b 的长度__相_等_____． ②图7－2中的四边形是正方形吗？将它四个角的度数，四条边的长度测量出来： _四__个__角__都_是__9_0_°_，__四__条_边__都__是__1_.7__c_m______________. 图7－2中的四边形__是__(填“是”或“不是”)正方形．
例4：如图所示，把一根细长的绳子沿中间对折，再将对折后的绳子沿中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀将5次对折后的绳子从中间全部剪断，此时细绳被剪成____3_3___段．
【题型三】实际生活中的推理验证
例5：甲、乙、丙、丁四人的车的颜色分别是白色、银色、蓝色和红色的其中一种，且互不相同．在问他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色的．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说： “甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实
1 为什么要证明
1. 通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确，使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑，从而认识到证明的必要性，发展推理能力．

北师大版八年级上册数学7.1为什么要证明？

▪ 会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确。
▪ 通过观察、分析图形，体验推理的重要性。
二、情景导入
▪ 曲线幻觉：竖条似乎是弯曲的，但其实他们是笔直的而且相互平行的。
先观察、再测量
你能判断线段a与线段b长度的大小吗?
a
通过_测__量___，发现_a__=_b___.
已知（1）,(2),(3)中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？
我们发现（1）与（3）互相矛盾，可两件矛盾的事不能都是真的，必有一假；题设真话只有一句。这样（2）必是假话，从而苹果在黄箱子里。
本课小节
▪ 要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性。要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理。
第七章平行线的证明
7.1 为什么要证明？
一、前置诊测
▪ 1.线段的长短比较？当两条线段的长度相等时，就可以说这两条线段相等。
▪ 2.什么是质数？除了1和他本身外，没有其他约数的数叫做质数。
二、展示目标
▪ 了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，仅仅靠经验、观察是不够的，必须进行推理。
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河北省邯郸市肥乡区常耳寨中学北师大版八年级数学上册教案：7.1为什么要证明

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了证明的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对证明的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：在证明“三角形的内角和为180度”时，学生可能难以想到通过“辅助线”的方法来进行证明。
（2）逻辑推理能力的培养：学生在运用证明方法时，可能会出现逻辑错误，需要教师指导学生进行正确的逻辑推理。
举例：在使用反证法时，学生可能无法正确地设定“反设”条件，导致后续推理出现偏差。
（3）数学表达与交流能力的提升：学生在书写证明过程时，可能存在表达不清晰、逻辑关系混乱等问题，需要教师指导学生如何用简洁、准确的语言表达证明思路。
其次，在新课讲授环节，我意识到理论介绍和案例分析的重要性。在讲解证明的基本概念时，我尽量用简洁明了的语言，帮助学生理解。但在讲解难点时，我发现有些学生还是难以跟上节奏。因此，我需要在这方面多下功夫，寻找更多形象生动的例子，帮助学生突破难点。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将所学知识应用到实际问题中，这有助于巩固他们对证明方法的理解。不过，我也注意到在讨论过程中，部分学生参与度不高，可能是因为他们对问题不够了解。为了提高学生的参与度，我考虑在下次活动中，提前为学生提供一些参考资料，激发他们的思考。
举例：如教材中的“等边三角形”性质，通过证明，让学生明白为什么等边三角形的三条边相等、三个角相等。
（2）掌握基本的证明方法：重点讲解反证法、归纳法等基本证明方法，并通过典型例题让学生掌握这些方法的应用。

北师大版八年级数学上册第7章平行线的证明为什么要证明

(4) 你能肯定上述发现吗？分析：由于∠AOB、∠COD 均与∠BOC 互余，故可根据∠BOC 的度数求得∠AOB 与∠COD 的度数，进而归纳出两角之间的关系.
(1) 若∠BOC＝30°，求∠AOB 和∠COD 的度数； (2) 若∠BOC＝54°，求∠AOB 和∠COD 的度数；解：(1) ∵ OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°. ∵∠BOC＝30°， ∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，
(1) 图①中的实线是直的还是弯曲的？ (2) 图②中两条线段 a 与 b 哪一条更长？ (3) 图③中的直线 AB 与直线 CD 平行吗？
解：通过观察可能得出的结论是： (1) 实线是弯曲的. (2) a 更长一些. (3) AB 与 DC 不平行. 而我们用科学的方法验证后发现： (1) 实线是直的. (2) a 与 b 一样长. (3) AB 平行于 CD.
【方法总结】验证特例是判定一个结论错误的最好方法.
【类型三】举出反例例3 如图，从点 O 出发作出四条射线 OA、OB、OC、
OD，已知 OA⊥OC，OB⊥OD.
(1) 若∠BOC＝30°，求∠AOB 和∠COD 的度数； (2) 若∠BOC＝54°，求∠AOB 和∠COD 的度数； (3) 由 (1)、(2) 你发现了什么？
第七章平行线的证明
7.1 为什么要证明
观察与思考
两图的中间圆大小一样吗？
是静还是动？
平行线：不敢相信图中的横线是平行的，不过它们就是平行线!
你觉得观察得到的结论一定正确吗？
数学的结论必须经过严格的论证判断一个数学结论是否正确，仅靠观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步、有根有据的推理.

2014年北师大版数学八上能力培优7.1为什么要证明7.2定义与命题

第七章平行线的证明
7.1为什么要证明、7.2定义与命题（附答案）
专题推理在实际中的应用
1．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.
李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”
甲说:“是乙不小心闯的祸.”
乙说:“是丙闯的祸.”
丙说:“乙说的不是实话.”
丁说:“反正不是我闯的祸.”
如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的祸
( )
A.甲
B. 乙
C.丙
D.丁
答案：
1．D 【解析】本题可分三种情况进行讨论：
①若甲真，则乙假，丙真，丁真，这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符；
②若甲假，乙真，则丙假，丁真，这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；
③若甲假，乙假，则丙真，丁假，这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件．
由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．故选D．。

北师大版数学八年级上册 7.1《为什么要证明》教案-最新教学文档

第七章平行线的证明1 为什么要证明教学目标【知识与技能】1.体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确,使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑,从而认识到证明的必要性.2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:试验验证、举出反例推理证明等,理解数学的严谨性.【过程与方法】通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识.【情感、态度与价值观】发展学生的探索意识以及合作交流的习惯;关注现实,培养学生进行深入思考的能力和质疑精神.教学重难点【重点】理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明,理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法.【难点】体会数学推理的重要性和必要性.教学过程一、创设情境,引入新课师:在以前的学习过程中,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论,那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?下面我们一起来感受几个例子!1.探究一:观察得到的结论正确吗?教师多媒体出示.(1)图1中两条线段a,b的长度相等吗?图2中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法体验你观察到的结论.(2)如图3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.学生凭着自己的观察和直观感觉说想法后,组织学生动手量一量、算一算,验证结论是否正确.(图1中的两条线段相等;图2是正方形;图3中假设地球半径是R,则赤道长2πR,铁丝长(2πR+1)米,那么这个铁丝围成的半径是(R+)米,所以铁丝与赤道之间的间隙为米≈16厘米,能放进一个拳头).然后引导学生回答下列问题:(1)由观察得到的结论正确吗?(2)你还能举出日常生活中的例子吗?2.探究二:归纳得到的结论正确吗?(1)听故事“公鸡归纳法”:某主妇养小鸡十只,公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋,公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.天天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨,其中的一只公鸡正在想:“第一天早晨有米吃,第二天早晨有米吃,……第九十九天早晨有米吃,所以今天,第一百天的早晨,一定有米吃.”这时,该主妇来了,正好把这只公鸡抓去杀了.第1天有食吃,第2天有食吃……第99天有食吃,一定能推出第100天有食吃吗?从这个故事中你明白了什么道理?同桌之间相互交流.(2)算一算验证“归纳法”:①出示代数式n2-n+11,让学生分别计算当n=1,2,3,4,5时,代数式的值是多少,提问它们的值都是质数吗?②追问学生:我们是不是可以由此得出结论,当n为任意自然数时,n2-n+11的值一定是质数呢?③让学生再多取几个数代入代数式中,验证结论是否正确.(不正确,比如当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数.)④思考:由归纳得到的结论一定正确吗?(3)再次验证“归纳法”.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB、AC的中点,连接DE,DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗?与同伴进行交流.(DE与BC平行,且等于BC长度的一半;引导学生尝试猜想:连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边,且是第三条边长度的一半;组织学生进行归纳并验证结论,发现这样的结论对所有的三角形都成立.)小结:归纳得到的结论有的正确有的不正确.3.交流与发现.通过上述几类问题的分析,你有什么发现吗?(1)通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确?怎样判断一个结论是否正确呢?(2)总结:实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明.二、例题讲解【例1】观察图1中的两条线段a与b,你认为哪条线段长些?图1分析:观察往往会产生错觉,得出的结论不一定正确,想要判断两条线段是否一样长,最科学、合理的方式是量一量,组织学生动手操作量一量.【答案】两条线段一样长【例2】图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上?请你先观察,再用三角尺验证一下.【答案】线段b与线段d在同一直线上三、课堂小结1.通过本节课的学习,我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确,从而明白证明的意义和必要性.2.让学生反思自己在本节课学习中的优缺点、不足之处以及改进的方法,并能积极地参与与总结性的发言.。

2024年北师大版八年级上册教学设计第七章7.1 为什么要证明

课时目标1.经历观察、归纳、验证等活动过程,在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠,初步感受证明的必要性.2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:实验验证、举反例验证、推理证明等,理解数学的严谨性.3.通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识,发展学生的推理意识.学习重点了解证明的意义,知道要判断一个数学结论是否正确,必须进行证明.学习难点会用实验验证、举出反例、推理证明等方法简单地验证一个数学结论是否正确.课时活动设计情境引入通过多媒体播放视频和图片,引导学生观察,思考.通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论,那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?我们再感受几个!(1)图1中两条线段a,b的长度相等吗?图2中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.图1图2图3(2)如图3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝和地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.学生尝试解答,教师使用多媒体展示答案.解:画出示意图如图,设铁丝圈的半径为R ,地球的半径为r ,赤道周长为C.由题意,得R -r =C+12π-C 2π=12π≈0.16(m).所以可以放一个拳头.设计意图:由大量的现实图片引出,让学生产生视觉上的强烈冲击,激发强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.通过理性的计算,验证了很难想像到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为论证的合理性和必要性提供素材.探究新知教师引导学生思考下面问题.1.代数式n 2-n +11的值是质数吗?取n =0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有的自然数n ,n 2-n +11的值都是质数?与同伴进行交流.学生组内合作,互相讨论交流.教师通过多媒体展示成果.2.如图,在△ABC 中,点D ,E 分别是AB ,AC 的中点,连接DE ,DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.解:通过测量得出:位置关系:DE △BC ;数量关系:DE =12BC.你能肯定你的结论对所有的△ABC 都成立吗?与同伴进行交流.教师总结:通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确.要判断一个数学结论是否正确,无论验证多少个特殊例子,也无法保证其正确性,要确定其正确性,必须要进行有根有据的证明.设计意图:引导学生小组合作交流,通过第1题让学生明白,只举几个特殊例子就证明结论是正确的,这种做法不恰当.为下一步的学习提供必要的准备.在第2题中,学生通过测量得出猜想,并通过改变三角形的形状,在不同的三角形中再次得到验证,因而较为相信这个结论的正确性;但毕竟是测量结果,测量难免有误差,因此难以令人信服,还需要寻求更为可信的证明.典例精讲例我们知道2×2=4,2+2=4,试问对于任意数a与b,是否一定有结论a×b=a+b?解:3×2=6,而3+2=5,6≠5,所以不是对于任意数a与b都一定有结论a×b=a+b.设计意图:让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识,体验了证明的必要性.通过特例我们并不能直接得到结论,可以通过举出反例的方式加以证明,培养学生的严谨意识.巩固训练1.当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值都等于1吗?解:当n=1时,(n2-5n+5)2=1;当n=2时,(n2-5n+5)2=1;当n=3时,(n2-5n+5)2=1;当n=4时,(n2-5n+5)2=1;当n=5时,(n2-5n+5)2=25≠1.△当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值不一定都等于1.2.当n为正整数时,n2+3n+1的值一定是质数吗?解:当n=1时,n2+3n+1=5;当n=2时,n2+3n+1=11;当n=3时,n2+3n+1=19;当n=4时,n2+3n+1=29;当n=5时,n2+3n+1=41;当n=6时,n2+3n+1=55.因为当n=6时,n2+3n+1=55,是个合数,不是质数,所以当n为正整数时,n2+3n+1的值不一定是质数.设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考的基础上,对现有结论进行验证,让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性,从而对不完全归纳的合理性产生怀疑,进而认识到证明的必要性.在此过程中培养学生的运算能力、表达能力和总结能力,让学生学会用数学语言表达现实世界.课堂小结1.通过实验、观察、归纳得到的结论一定正确吗?2.你有哪些证明结论是否正确的方法?设计意图:通过小结让学生复述本节课所学知识,使学生牢固掌握本节课所学内容,把所学知识内化成自己的知识.课堂8分钟.1.教材第164页习题7.1第1,2,3题.2.七彩作业.教学反思。

八年级数学上册第7章名师教案：为什么要证明(北师大版)

北师大版数学八年级上册 7.1为什么要证明名师教案课题7.1 为什么要证明单元第七单元学科数学年级八学习目标知识与技能：体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理等,发展学生的推理能力.过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法所得的结论产生怀疑,以此激发学生的好奇心理,从而认识证明的必要性,培养学生的推理意识.情感态度与价值观：通过积极参与,获取正确的数学推理方法,理解数学的严密性,并培养与他人合作的意识.重点要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验、观察或实验是不够的,必须一步一步、有理有据地进行推理.难点通过对一些规律的探讨和分析,养成动脑思考问题的习惯.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图新知导入师:同学们,请你们用学过的数学知识解决下面的问题。

从A地到B地有五条道路,时间紧急,张先生要从B地赶往A地乘车,此时张先生应该选择哪条路?你的依据是什么?两点之间,线段最短.你还记得我们是如何得到“两点之间,线段最短”这个结论的吗?张先生应该走第③条路.两点之间,线段最短.从学生已知的数学结论出发,感受有些结论是通过观察、实验、归纳等活动得出的,适时提出问题,通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?设置悬念,激发学生的求知欲,为新课的学习做好铺垫.新知讲解我们曾经通过观察、实验、归纳等活动得到了很多正确的结论.但是通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?如何才能得到正确的结论呢?图(1)中的两条线段a,b长度相等吗? 学生先观察,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同让学生的观察结果与实验结果产生思维上的碰撞,同时让学生明白只有实践才能出真知的道观察的结果是线段a比较长;经过测量,线段a,b长度相等.图(2)中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.观察的结果是四边形的四条边是曲线;经过直尺验证,四边形是正方形.如图,把地球看成球形,假设用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.解:设赤道的周长为C米,则铁丝的长为(C+1)米,那么铁丝与地球赤道间的间隙为R-r,c+1c1-=≈0.16(m)2π2π2π0.16 m=16 cm.通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过计算来证实.请大家解决下面问题.代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.当n=0时,n2-n+11=11. 当n=1时,n2-n+11=11. 当n=2时,n2-n+11=13. 当n=3时,n2-n+11=17. 当n=4时,n2-n+11=23. 当n=5时,n2-n+11=31. 因为当n=0,1,2,3,4,5时,代数式n2-n+11的值都是质数,所以对于所有自然数n,n2-n+11的值都是时,教师利用多媒体进行验证.学生先凭感觉想象,再动手验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行展示.学生先思考,再动手计算,然后小组交理,从而归纳知识:仅仅依靠观察不能判断一个数学结论是否正确.通过理性的计算,验证了很难想象到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为证明的必要性提供素材.对归纳的结论进行验证,让学生通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑.检验数学结论常用的方法：主要有：实验验证、举出反例、推理证明实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．应用：检验数学结论常用的三种方法的应用：实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举出反例法多用于验证某结论是不是正确的；推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．实验、观察、归纳得出的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据推的证明．手、作图验证,然后小组交流.教师巡视、指导学生,在学生回答的同时,教师利用多媒体进行成果展示.得出的结论仍有不确定性,需要更合适的方法来解决问题.课堂练习 1.小刚和小明在手工制作课上,用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示.那么他们用的材料长度( A ) 学生认真做课堂练习。

北师大版八年级数学上册：7.1 为什么要证明

1 为什么要证明1．推理证明的必要性给出两条线段a，b，判断它们是否相等，我们就需要去测量，因为有误差，所以测量的结果可能相等，也可能不相等，这说明测量所得出的结论也不一定正确．实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，必须一步一步、有根有据地进行推理．谈重点证明的必要性(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质．【例1】观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？解析：仅凭观察得到的结论不一定正确．眼睛看到的并一定可靠，眼睛有时会产生一些错觉．本例中感觉左图中间的圆圈好像比右图中间的圆圈要小一些，实际上这两个圆圈是一样大的．答案：一样大点评：实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．2．检验数学结论常用的方法(1)检验数学结论常用的方法主要有：实验验证、举出反例、推理证明．实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．(2)应用检验数学结论常用的三种方法的应用：实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举出反例法多用于验证某结论是不正确的；推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．【例2－1】我们知道：2×2＝4,2＋2＝4.试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b?分析：通过举反例，找出使a×b＝a＋b不成立的a，b的值，就可以得出答案．解：3×2＝6，而3＋2＝5，因为6≠5，所以不是任意数a与b，都有结论a×b＝a＋b.【例2－2】如图，在▱ABCD中，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，试问DF与BE 的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．分析：由图可知位置关系应为平行，而数量关系则为相等，用推理的方式说明理由即可．解：DF∥BE，DF＝BE.理由：由DF⊥AC，BE⊥AC，可知∠DFC＝∠BEA＝90°，故DF∥BE.由AB∥CD，得∠DCF＝∠BAE.又AB＝CD，∠CFD＝∠AEB＝90°，所以△DCF≌△BAE.所以DF＝BE.点评：观察只是猜测其结论，只有推理才能说明其结论的正确性．3．推理的应用推理的应用在数学中很多，下面给出两种较常见的应用：(1)规律探究给出形式上相同的一些代数式或几何图形，观察、猜想其中蕴含的规律，并验证或推理说明．这是规律归纳类题目的特点．解题思路：解决此类题目时，要用从特殊到一般的思想找到思路，而且必须善于猜想．代数规律题一般用式子表示其规律，对于几何规律题有时用式子表示，有时写出文字结论．(2)推理在日常生活中的应用生活中我们经常需要对有关结论的真伪作出判断，如购买货物、称重是否准确、获得的某种信息是否可靠等．我们可以根据自己的知识储备或借助外力，进行适当的推理，辨别真伪，从而作出判断．【例3－1】下列图案均由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成．依此规律，第5个图案中小正方形的个数为__________．解析：第1个图形中正方形的个数为1，第2个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1＋3＋1个，第3个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1＋3个，即为1＋3＋5＋3＋1.所以第5个图案中小正方形的个数为1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41.答案：41【例3－2】有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：①红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里．”②黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里．”③蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里．”已知①②③中只有一句是真的，那么苹果在哪个箱子里？分析：注意①与③互相矛盾，两件矛盾的事，不能都是真的，又不能都是假的，必有一真，这样问题就解决了．解：经分析得①③中有一句是真话，一句是假话，而已知真话只有一句，所以②必是假话，从而可知苹果在黄箱子里．点技巧巧用排除法判断数学结论正确与否，可选择“排除法”．。

2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期7.1、为什么要证明素材4

猜猜他的家乡和职业
四位运动员分别来自北京、上海、浙江和吉林，在游泳、田径、乒乓球和足球4项运动中，每人只参加了一项．除此之外，只知道一些零星情况：
①张明是球类运动员，不是南方人；
②胡志纯是南方人，不是球类运动员；
③李勇和北京运动员，乒乓球运动员同住一间房；
④郑志禄不是北京运动员，年纪比吉林运动员和游泳运动员都小；
⑤浙江运动员没有参加游泳比赛．
根据这些条件，请你分析一下，这4位运动员各来自什么地方？各参加什么运动？
下面给同学们提供一张表格，将你们从题中获取的信息标记在表格中，以便于进一步分析．
希望你能“猜”出来啊！
参考答案
张明是北京的足球运动员；胡志纯是上海的游泳运动员；李勇是吉林的田径运动员；郑志禄是浙江的乒乓球运动员．。

7.1 为什么要证明知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册

______．
7.1 为什么要证明
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［解析］若 A 错，则 B 为第一，C 为第二或第三，D
重
难
题为最后一名，符合题意；若 B 错，则 B 最后，D 也是最后
型一名，出现矛盾；若 C 错，则C 是第一或最后一名，与 A
突
破是第一、D 是最后一名，矛盾；若 D 错，其他都对的话，
则没有最后一名．
7.1 为什么要证明
● 考点清单解读
● 重难题型突破
7.1 为什么要证明
■考点
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推理证明的必要性
考
点
1. 推理论证的意义：实验、观察、归纳得到的结论可能
清
单
解正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确
读，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据
的证明.
2. 检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证法、验

1－（−1）
a3 是 a2的差倒数，a4 是 a3 的差倒数，以此类推，则
1
3
a211＝______.
7.1 为什么要证明
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解题通法
在解决数式规律这类问题时，先猜想结论
重
难
题或判断给出的猜想是否正确，然后再根据计算验证猜想是
型否正确.
突
破
［答案］解：小明的猜想正确.理由：因为 n 为奇数
重
难
2-1=（2k+1
，所以可设
n=2k+1（k
为自然数），
所以
n
题
型）2-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=（2k+2）×2k=4k（k+1），

八年级数学上册课件：7.1为什么要证明(共24张PPT)

的中间将绳子全部剪断,此时细绳被剪成
段.
答案 33 解析根据题意列表如下:
故当对折5次时,剪断后的段数为25+1=33.
1 为什么要证明
填空题 (2018河北保定长城中学月考,19,★★☆)(1)观察下列图形与等式的关系(如图7-1-2),并填空:
图7-1-2
1 为什么要证明
(2)观察图7-1-3,根据(1)中的结论,计算图中黑球的个数,用含有n的代数
按照前面的规律,则(a+b)5=
图7-1-4 .
答案 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
解析观察图形,可知(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5.
1 为什么要证明
2.某参观团依据下列约束条件,从A、B、C、D、E五个地方中选定参观地点: ①A、B两地都去或都不去; ②D、E两地至少去一处; ③B、C两地只去一处; ④C、D两地都去或都不去; ⑤如果去E地,那么A、D两地也必须去. 依据上述条件,你认为该参观团能去哪些地方参观?
n
n
证明: n 1×(n+1)= n2 2n 1 = (n 1) (n2 n) = n 1+n+1.
n
n
n
n
1 为什么要证明
如图所示,两个图中间的圆分别是圆A和圆B.小明通过观察,认为圆A 大于圆B,他的判断正确吗?若不正确,试说明理由.
解析小明的判断不正确.借助圆规或刻度尺可知两圆的半径或直径相等,故两圆一样大,小明的判断不正确.
1 为什么要证明
题型通过观察与推理论证解决规律性问题例观察各式规律: 12+(1×2)2+22=(1×2+1)2; 22+(2×3)2+32=(2×3+1)2; 32+(3×4)2+42=(3×4+1)2; …… 写出第2 018行的式子,第n行的式子,并验证你的结论.

为什么要证明--教学设计(聂慧)

为什么要证明--教学设计（聂慧）1．为什么要证明贵阳市第十七中学聂慧内容和内容解析内容感受证明的必要性,了解检验数学结论的常用方法。

内容解析本节课是义务教育教科书数学八年级上册〔北师大版〕第七章第一节。

学生在从小学到初中的三个学段中，认识图形的要求有着明显的层次性，从〝辨认〞到〝初步认识〞，再从〝认识〞到〝探索并证明〞。

这种层次性既表达了从整体到局部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐步深入，循序渐进。

这节内容设置在八年级，已经是第三学段中期。

在七年级时教材已经设置了«基本平面图形»、«相交线与平行线»和«三角形»的学习，学生通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了很多正确的结论，学生也尝试进行了一些验证和说理，基本认可这些结论，但并没有进行严格的证明，因而容易给学生造成一些错觉，认为通过探究得到的结论都是正确的。

本节课就是让学生认识到：通过观察、实验、归纳等活动得到的结论未必可靠，就是可靠的结论也需要进行严格的证明，初步感受证明的必要性，从而为后面学习演绎推理埋下伏笔。

根据以上对教材地位和作用的分析，结合课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：知道观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识。

【二】目标和目标解析目标〔1〕经历观察、验证、归纳等过程，使学生产生认知冲突，对由这些方法所得到的结论产生怀疑，从而认识证明的必要性。

〔2〕了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举反例论证、推理论证等，并能运用这些方法来验证某些问题的结论正确与否，发展学生合情推理和演绎推理能力，培养学生的推理意识．〔3〕在积极参与数学活动的过程中，激发学生的好奇心和求知欲；通过实验和探究活动，养成合作交流、反思质疑的学习习惯，形成修正错误、严谨求实的科学态度。

2、目标解析目标〔1〕达成的标志是学生通过〝观察图片〞、〝比较线段长短〞的问题、〝铁丝围地球〞的问题、〝费马数〞的问题等，发现通过观察、猜测、归纳等活动得到的结论不一定都正确，从而认识到证明的必要性目标〔2〕达成的标志是通过学生在经历多次错误的观察、猜想判断后，不再随意猜测，而是通过测量、计算、推理、举反例等方法来有理有据地证明这些结论正确与否。