高等数学北大第二版61多元函数

映这射 里u与， v是两个二元函.数
a
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设 D 为 Rn中的一 .又 个 f是 设 D 集 Rm 合 的一.个 那么， D 中 对 的 于 每 (x 1,一 x2,,个 xn),点 在Rm中都有 惟一确定的点 (y1, y2,, ym)与之相对应这， 里每一个 y j ( j1,,m都 ) 是 (x 1,x2由 ,,xn)所决 . 故定 y j是的 (x1,x2,,xn)的一个函数 设 ， fj( 它 1 ,x x 2 ,,为 x n )j( 1 ,,m )
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特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
z f(x ,y ),(x ,y ) D R 2
当 n = 3 时, 有三元函数
u f( x ,y ,z ),( x ,y ,z ) D R 3
多元函数的定义域及图形.
例1, 二元函数 z r2x2y2
定义域为圆域 (x,y)x2y2r2
图形为中心在原点的上半球面.
R 3 {x ,( y ,z)|x R ,y R ,z R }.
相等同
R 具有坐标的直线 ）（ 上数 的轴 全. 体点
相等同
R2 具有坐标的平面的全点体 .
相等同
R3 具有坐Βιβλιοθήκη 的三维的 空全 间体 中.点全体有 n个 序 实 的 (数 x1,x2组 ,xn)所组成的
R n {x 1 ,( x 2 ,x n )|x j R ,j 1 ,2 ,,n }.
z
o ry
x
a
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例2 函数zln(xy)的定义域为
{(x y)|xy>0} 函数zarcsin(x2y2)的定义域为
{(x y)|x2y21}
补例 三元函数 uarcx2 siy2 nz(2)
定义域为 单位闭球
(x ,y ,z )x 2 y 2 z 2 1
图形为 R 4 空间中的超曲面.
看法下，一个二元函数实质上就是平面上某个点集合到
实 数域R 的一个映射（如图）. 同样地，一个三元函数实 质上就是三维空间中某个点集合到实数 域R 的一个映射.
全体有序的实 (x,数 y)所组组成的集合：
R 2{x,(y)|x R a ,y R }.
3
全体有序的三元(x实 , y,z数 )所组组成的集合：
定义为
n
xj
x
0 j
2
.
j 1
在数轴 R 上 dxx0 xx02
在平面 R 2 中 ddxxxx0022yyyy0022 在空间 R 3 中 dxx02yy02zz02它满足下列条件：
1dP,Q0, 当且仅当 P Q 时等号成立；
2 d P ,Q d Q ,P , P ,Q R n ;
集合 [，]到R2的映:射 f:[， ]R2. 但是,与函数
不同，对于每一个 t[，],f(t不 ) 再是一个而值应，是
a
8
R2中一个.点 因此， f (t)应由两个坐标刻 即 画，
f(t)((t) ,(t)).
例4 平面上的坐标变换
uxcosysin, vxsinycos,
其为 中一.固 映(x,定 射 y) (u 常 ,v)是 R 数 2到 R 2一个
3 d P , Q d P , R d R , Q , P , Q , R R n ;三角不等式
a
12注
回忆一维空间中点的邻域概念
点 x 0的 邻 U x 域 0 ,()： {x||xx0|}
. (
)
x0
x0
x0
U x 0 ,) ( { x |d x ,x 0 ( ) }
在这里c是三个自变量的函数，而p是两个自变量的函数.
a
2
多元函数几何解释：我们将两个自变量形成的数组，
如上面的(T,V),看作是平面上的一个点，而将三个自变量
形成的数组，如上面的(a,b, ),看作是空间上的一个点.当
一个二元函数的两个自变量在一定的允许范围内变化
时，相应的数组则对应于平面上的某一个点集合.在这种
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 . a
7
2. R n 中的集合到 R m 的映射
n元函数实Rn质 中上 的就 一是 个 R的 集 一 合 个 .
一般化就是 Rn中的一个集合 Rm到 的映射 . 例3 平面曲线的参数方程
xy ((tt)),(t), 其中 与是在 [，]上的连续 . 这函 实数 质上R是 1中的
于是，映射
f : DRm
y1 = f1 x1,
, xn ,
ym = fm x1,
, xn ,
a
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因此R， n中的集合 Rm的 到一个映射可用 m个 有 n 序 元函数表示 .其中j个 第n元函f数 j称作映第射j个的 分量.
a
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3. Rn 中距离、邻域及开集
R n中的点 Px1, ,xn到 Q x10, ,xn0 的距离 d P,Q
每一个 (x1,x实 2,xn 数 )称组 R 作 n的一 . 个点
a
4
定义 设有一个集合D Rn , 如果对于D 中每一点
x1, ,xn, 按照一定的规则 f , 都有一个唯一确定的实
数u R 与之相对应，则称 f 是一个定义在 D 上的n元
函数． 记作
u f(x 1 ,x 2 , ,x n )
利用 “点” 将邻域概念推广到高维空间
a
13
定义 设 P0 R n为给定的一点, r 是给定
的正数, 定义 P 0 点的 r 邻域是集合
U rP 0 P R n|d P 0 ,P r.
在 R2 中：
U r(P 0 ) { x ,y ()| (x x 0 )2 (y y 0 )2 r }
点集 D 称为函数f的定义域 ; 全体函数值的集合：
f ( D ) u u f ( x 1 , x 2 , , x n ) |( x 1 , x 2 , , x n ) D
称为函数f的值域 .
通常 (x1,把 x2, ,xn)称自作 变量，而把u称作因变量.
有时我u是 们 (x1,x也 2, ,称 axn)的函 . 数
第六章 多元函数微分学
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
a
1
6-1 多元函数
1.多元函数的概念
引例:
• 三角c 形 是之 另 a 与 一 外 b 及 边 两 其 的 边 夹 函
c a2b22ac bo.s
b a c
•一定质量的理想气体的压强p是其体积V及温度T的
函数:
pk T (k为常数, ） V