[高考数学]高考数学函数典型例题

⎩0

31．（本小题满分14分）

已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处

取得极小值m-1(m≠0)．设f(x)=g(x) x．

（1）若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值；（2）k(k∈R)如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点．

32．（20XX年高考福建卷理科10）对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数),对任给的正数m,存在相应的x∈D,使得当x∈D且x>x时,总有

00

⎧0

⎨,则称直线l:y=kx+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数如下:

①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) .

年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ⎨ x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。

2

x 2 +1 xlnx+1 2x 2

x lnx x+1

其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是(

)

A. ①④

B. ②③

C.②④

D.③④

33.

(20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任

意

3 x

x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m )

2 m

恒成立，则实数 m 的取值范围是

。

34 ．（ 20XX

⎧ 2

⎩1, x < 0

f (1- x 2 )> f ( 2x 的

x 的范围是__▲___。

35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线

(梯形的周长） 梯形的面积

36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 .

（Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围；

（Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

(x ), f (x ) > f (x ) ⎨ ⎩

37（20XX 年高考江苏卷试题 20）（本小题满分 16 分）

设 f ( x ) 是定义在区间 (1,+∞) 上的函数，其导函数为 f '( x ) 。如果存在实数 a 和函数

h ( x ) ，其中 h ( x ) 对任意的 x ∈ (1,+∞) 都有 h ( x ) >0，使得 f '( x ) = h( x )( x 2 - ax + 1) ，则称

函数 f ( x ) 具有性质 P(a) 。

(1)设函数 f ( x ) = ln x + b + 2

x + 1

( x > 1) ，其中 b 为实数。

(i)求证：函数 f ( x ) 具有性质 P(b ) ； (ii)求函数 f ( x ) 的单调区间。

(2)已知函数 g ( x ) 具有性质 P(2) 。给定 x , x ∈ (1,+∞), x < x , 设 m 为实数，

1 2

1

2

α = mx + (1 - m ) x ， β = (1 - m ) x + mx ，且 α > 1, β > 1 ，

1 2

1

2

若| g (α ) - g (β ) |<| g ( x ) - g ( x ) |，求 m 的取值范围。

1 2

38. (20XX 年全国高考宁夏卷 21）（本小题满分 12 分）

设函数 f ( x ) = e x - 1 - x - ax 2 。

（1） 若 a = 0 ，求 f ( x ) 的单调区间；

（2） 若当 x ≥ 0 时 f ( x ) ≥ 0 ，求 a 的取值范围

39.（江苏卷 20）若 f (x ) = 3

x - p 1

1

(x ), f (x ) ≤ f (x ) (x ) = ⎧⎪ f 1

且 f

1 2 ⎪ f 2

1

2

， f

2

(x ) = 2 3 x - p 2

， x ∈ R, p , p 为常数，

1 2

（Ⅰ）求 f (x ) = f 1

(x ) 对所有实数成立的充要条件（用 p , p 1

2 表示）；

（Ⅱ）设 a, b 为两实数， a < b 且 p , p

1

2

(a, b ),若 f (a ) = f (b )

已知函数 f (x ) =

1

） （Ⅱ）设 x 为 f ( x ) 的一个极值点，证明[ f ( x )]2

=

x

1 + x

2 < a

求证： f (x )在区间 [a, b ]上的单调增区间的长度和为 b - a

（闭区间 [m , n ]的长度定义为

2

n - m ）．

40.（江西卷 22 ．（本

小题满分 14 分）

1

ax + +

1 + x 1 + a

ax + 8

， x ∈ (0, + ∞ )．

(1) ．当 a = 8 时，求 f (x )的单调区间；

(2) ．对任意正数 a ，证明：1 < f (x ) < 2 ．

41.（天津）设函数 f ( x ) = x sin x ( x ∈ R) .

（Ⅰ）证明 f ( x + 2k π ) - f ( x ) = 2k π sin x ,其中为 k 为整数；

0 4 0

2

；

（Ⅲ）设 f ( x ) 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列a , a , , a , , 1 2 n

证明

π

n +1

- a < π (n = 1,2, ) 。 n