【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三高考押题卷三理数试题(解析版)

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2017届河北省衡水中学高三高考押题卷三卷数学(理)试题(解析版)

河北省衡水中学2017届高三高考押题卷三卷理数试题一、选择题1．已知复数12z =-，则z z +=（）A. 12-B. 12-C. 12+D. 12 【答案】C【解析】由题意可得： 1,12z z =-+= ，则z z += 12. 本题选择C 选项.2．集合2{|30}A x x x =-≤， (){|lg 2}B x y x ==-，则A B ⋂=（） A. {|02}x x ≤< B. {|13}x x ≤< C. {|23}x x <≤ D. {|02}x x <≤ 【答案】A【解析】由题意可得： {|03},{|2}A x x B x x =≤≤=< ，则A B ⋂= {|02}x x ≤<. 本题选择A 选项.3．已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.4．已知实数x ， y 满足约束条件33,{24,34120,y x y x x y ≥-≤+++≥则2z x y =-的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点()0,3B - 处取得最大值23z x y =-= . 本题选择B 选项.5．一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ， AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于M ，若2AB AE = ， 3AD AF =， (),AM AB AC R λμλμ=-∈ ，则52μλ-=（） A. 12- B. 1 C. 32D. -3【答案】A【解析】由几何关系可得： 15AM AC = ，则： 15AM AC = ，即： 110,,055AM AB AC μλ⎛⎫=--∴=-= ⎪⎝⎭，则52μλ-= 12-. 本题选择A 选项. 点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6．在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布()1,1N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=， (22)0.9545P X μσμσ-<≤+=.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积0.95450.68270.13592S -== ，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布()1,1N -的密度曲线）的点的个数的估计值为0.13591000013591N =⨯= . 本题选择B 选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. 808π+B. 804π+C. 808π-D. 804π- 【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4， ∴该几何体的表面积212442344248042S πππ⎛⎫=⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭，本题选择B 选项.8．已知数列{}n a 中， 11a =， 1n n a a n +=+.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（）A. 2016?n ≤B. 2017?n ≤C. 2015?n <D. 2017?n < 【答案】B【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当2018n = 时推出循环，则判断框内的条件是2017?n ≤. 本题选择B 选项.9．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（）A. 3B. 72C. 185D. 4 【答案】B【解析】由题意知， ξ的可能取值为2,3,4,其概率分别为()22251210A P A ξ===，()2113232335+3310A C C A P A ξ===， ()32131133233245+6410A C C A C C P A ξ===，所以13672+3+4=1010102E ξ=⨯⨯⨯，故选B ．10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(00,()2pM x x >是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =截得的弦长为MA .若2MA AF=，则AF 等于( )A.32B. 1C. 2D. 3 【答案】B【解析】由题意：M （x 0，2√2）在抛物线上，则8=2px 0，则px 0=4，① 由抛物线的性质可知,02pDM x =-， 2MA AF= ，则0222332p MA AF MF x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭， ∵被直线2p x =截得的弦长为√3|MA|，则02p DE MA x ⎫==+⎪⎝⎭，由MA ME r ==，在Rt △MDE 中，丨DE 丨2+丨DM 丨2=丨ME 丨2，即2220001432292p p p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入整理得： 220420x p += ②，由①②，解得：x 0=2，p=2， ∴01132p AF x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A 到焦点的距离转化为点A 到其准线的距离是关键.11．若定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，则当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式()232cos 2sin 22xf x >-的解集为（） A. 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ D. ,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】不妨令()f x x = ，该函数满足题中的条件，则不等式转化为：232cos 2sin 22x x >- ，整理可得： 1cos 2x > ，结合函数的定义域可得不等式的解集为,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 本题选择D 选项.12．已知0x 是方程222ln 0xx e x +=的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（）A. 0ln2x ≥B. 01x e<C. 002ln 0x x +=D. 002ln 0x e x +=【答案】C【解析】令()(0)xf x xe x => ，则()()'10xf x ex =+> ，函数()f x 在定义域内单调递增，方程即： ()00022ln 200002ln ,2ln x x x x ex x e e x -=-=- ，即()()002ln f x f x =- ，结合函数的单调性有： 00002ln ,2ln 0x x x x =-∴+= .本题选择C 选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号． (2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、填空题13．若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为________．【答案】2【解析】试题分析：26()bax x +展开后第k 项为k k k k k k k x b a C xb ax C 315171-61721-6)()(-----=，其中3x 项为4=k ，即第4项，系数为3320b a ，即1202033=⇒=ab b a ，2222=≥+ab b a ，当且仅当1==b a 时22a b +取得最小值2.【考点】二项式公式，重要不等式.14．已知ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ，若222a b c b c =+-，16bc =，则ABC ∆的面积为__________．【答案】【解析】由题意有：2222221,cos ,sin 22b c a b c a bc A A bc +-+-=∴====，则ABC ∆的面积为1sin 2S bc A ==15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右端点分别为,A B ，点(),C ，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为__________．【解析】由题意可得， ABC ∆为正三角形，则=，所以双曲线的离心率=16．已知下列命题：①命题“x R ∀∈， 235x x +<”的否定是“x R ∃∈， 235x x +<”；②已知p ， q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝为真命题”； ③“2015a >”是“2017a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________. 【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“x R ∀∈， 235x x +<”的否定是“x R ∃∈， 235x x +≥”；②已知p ， q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()()p q p q ⌝∧⌝=⌝∨ 为真命题”；③“2015a >”是“2017a >”的必要不充分条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序号是②.三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =， ()()121n n na n S n n +=+++， *n N ∈.（1）证明：数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求12n n T S S S =+++ .【答案】（1）见解析；（2）()()111222n n n n T n ++=-⋅+-.【解析】试题分析：(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为首先为2，公比为2的等比数列；(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得()()111222n n n n T n ++=-⋅+-.试题解析：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以()()()121n n n n S S n S n n +-=+++，即()()1211n n nS n S n n +=+++，则1211n n S Sn n+=⨯++，所以11211n n S S n n +⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，又1121S +=，故数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列.（2）由（1）知1111221n n n S S n -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以2n n S n n =⋅-，故()()21222212nn T n n =⨯+⨯++⋅-+++ .设212222n M n =⨯+⨯++⋅ ，则231212222n M n +=⨯+⨯++⋅ ，所以212222n n M n +-=+++-⋅= 11222n n n ++--⋅，所以()1122n M n +=-⋅+，所以()()111222n n n n T n ++=-⋅+-.点睛：证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明1nn a a - ＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明2n a ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．18．如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ， BE EC ⊥，6BC =，AB =30ABC ∠=︒.（1）求证： AC BE ⊥；（2）若二面角B AC E --为45︒，求直线AB 与平面ACE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得AC ⊥平面BCDE ，结合线面垂直的定义有AC BE ⊥. (2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线AB 与平面ACE 所成角的. 试题解析：（1）ABC ∆中，应用余弦定理得222cos 2?AB BC AC ABC AB BC +-∠==解得AC = 所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =， BC AC ⊥，所以AC ⊥平面BCDE ，又因为BE ⊂平面BCDE ，所以AC BE ⊥.（2）由（1）AC ⊥平面BCDE ， CE ⊂平面BCDE ，所以AC CE ⊥.又因为BC AC ⊥，平面ACE ⋂平面ABC AC =，所以BCE ∠是平面EAC 与平面BAC 所成的二面角的平面角，即45BCE ∠=︒. 因为BE EC ⊥， AC BE ⊥，所以BE ⊥平面ACE .所以BAE ∠是AB 与平面ACE 所成的角.因为在Rt ACE ∆中， sin45BE BC =︒=所以在Rt BAE ∆中， sin BE BAE AB ∠==19．某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位： cm ）频数分布表如表1、表2. 表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[)165,180的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[)165,180学生的人数，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）300；（2）35；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300； (2)用频率近似概率值可得该校学生身高在[)165,180的概率为35. (3) 由题意可得X 的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为1715. 试题解析：（1）设高一女学生人数为x ，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在[)165,180的人数为5141363142+++++=，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[)165,180的概率为423705=. 因此，可估计该校学生身高在[)165,180的概率为35.（3）由题意可得X 的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在[)165,180的概率为13，男生身高在[)165,180的概率为45.所以()4120115315P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()41419111535315P X ⎛⎫⎛⎫==-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()41425315P X ==⨯=. 所以X 的分布列为：所以()9417012151515E X =+⨯+⨯=.20．中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且．（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；（2）若是射线上不同两点，，过点的直线与交于，直线与交于另一点．证明：是等腰三角形．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.由，得，因为故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以的轨迹方程为.设，依题意，所以，即，代入的轨迹方程得，，所以点的轨迹的方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行，因为，所以直线为，与联立得，，由韦达定理，同理，所以或，当时，轴，当时，由，得，同理，轴.因此，故是等腰三角形.解法二：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.在轴上取，因为点在线段上，且，所以，则，故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），所以点的轨迹的方程为.（2）设，，由题意得，直线斜率不为0，且，故设直线的方程为：，其中，与椭圆方程联立得，，由韦达定理可知，，其中，因为满足椭圆方程，故有，所以.设直线的方程为：，其中，同理，故，所以，即轴，因此，故是等腰三角形.21．已知函数()2x f x e x a =-+， x R ∈，曲线()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为y bx =.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）当x R ∈时，求证： ()2f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()21xf x e x =--；（2）见解析；（3）(),2e -∞-.【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为()21xf x e x =--.(2)构造新函数()()21xg x f x x x e x =+-=--.结合函数的最值和单调性可得()2f x x x ≥-+.(3)分离系数，构造新函数()()f x x xϕ=， 0x >，结合新函数的性质可得实数k 的取值范围为(),2e -∞-. 试题解析：（1）根据题意，得()'2xf x e x =-，则()'01f b ==.由切线方程可得切点坐标为()0,0，将其代入()y f x =，得1a =-，故()21xf x e x =--.（2）令()()21xg x f x x x e x =+-=--.由()'10xg x e =-=，得0x =，当(),0x ∈-∞， ()'0g x <， ()y g x =单调递减；当()0,x ∈+∞， ()'0g x >， ()y g x =单调递增. 所以()()min 00g x g ==，所以()2f x x x ≥-+.（3）()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的()0,x ∈+∞恒成立. 令()()f x x xϕ=， 0x >，得()()()2''x f x f x x x ϕ-==()()2221x x x e x e x x ----=()()211x x e x x---.由（2）可知，当()0,x ∈+∞时， 10xe x -->恒成立，令()'0x ϕ>，得1x >；令()'0x ϕ<，得01x <<.所以()y x ϕ=的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1，故()()m i n12x e ϕϕ==-，所以()min 2k x e ϕ<=-. 所以实数k 的取值范围为(),2e -∞-. 22．选修4-5：不等式选讲. 已知a ， b 为任意实数.（1）求证： ()42242264a a b b ab a b ++≥+；（2）求函数()()()4224332162221f x x a a b bx a b ab=-+--+-+-的最小值.【答案】（1）见解析；（2）()max 1f x =. 【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论； (2)利用题意结合不等式的性质可得()max 1f x =. 试题解析：（1）()42242264a a b b ab a b ++-+=()()222222244abab a b a b +-++⋅=()2222a b ab +-()4a b =-，因为()40a b -≥，所以()42242264a a b b ab a b ++≥+.（2）()()4224216f x x a a b b =-+--()332221x a b ab +-+-= ()4224216x a a b b -+--+()3322221x a b ab -+-≥()33|22221x a b ab ⎡⎤-+--⎣⎦ ()4224216|x a a b b ⎡⎤-+--=⎣⎦()411a b -+≥. 即()max 1f x =.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项来放缩求解．。

【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考试理数(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合A 中至少有3个元素，所以2log 4k >，所以4216k >=，故选C ．考点：1、集合的元素；2、对数的性质． 2.复数212ii +-的共轭复数的虚部是（） A ．35- B ．35C ．-1D ．1 【答案】C 【解析】考点：复数的概念及运算． 3. 下列结论正确的是（）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α 【答案】A 【解析】试题分析：A 中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβ，正确；B 中，若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则两平面可能相交或平行，故B 错；C 中，若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12l l 、可能相交、平行或异面，故C 错；D 中，若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D 错，故选A ．考点：空间直线与平面间的位置关系．【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（） A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 【答案】B考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式．【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ．5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，2222x y y z x x+++==+表示的几何意义为区域内的点到点(0,2)P -的斜率k 加上2．因为(3,2)A 、(1,0)C -，所以4,23AP CP k k ==-，所以由图知43k ≥或2k ≤-，所以1023k +≥或20k +≤，即103z ≥或0z ≤，故选D ．考点：简单的线性规划问题．6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】C考点：1、对数的运算；2、基本不等式．7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和 C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和【答案】D 【解析】试题分析：第一次循环，得1,2A i ==；第二次循环：1+21,3A i =⨯=；第三次循环：21+21+21,4A i =⨯⨯=；第四次循环：231+2+2+2,5A i ==；第五次循环：2341+2+2+2+2,6A i ==；第六次循环：23451+2+2+2+2+2A =，76i =>，不满足循环条件，退出循环，输出23451+2+2+2+22A =+，即计算数列{}12n -前6项的和，故选D ．考点：循环结构流程图．【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．8.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数．9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（）A ．1BC ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩；又o x ∃∈R ，使220oo ax x b ++=成立，所以440ab -≥，故只有440ab -=，即0,,1a a b ab >>=，所以22a b a b+-＝a b -+2aba b-=2a b a b -+≥-，故选D ．考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（）A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．2041【答案】A考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式． 11.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B 【解析】试题分析：由条件知，方程22ln a x x -=-，即22ln a x x -=-在1[,]e e上有解．设2()2ln f x x x =-，则22(1)(1)()2x x f x x x x -+'=-=．因为1x e e ≤≤，所以()0f x '=在1x =有唯一的极值点．因为1()f e＝212e --，2()2f e e =-，()(1)1f x f ==-极大值，又1()()f e f e <，所以方程22ln a x x -=-在1[,]e e上有解等价于221e a -≤-≤-，所以a 的取值范围为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，故选B ．考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】考点：向量的几何意义．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________．【答案】a b < 【解析】试题分析：因为()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->()112a b ->，又()()112a b a b -+≥-，所以()1122a b -+>，即a b <．考点：基本不等式． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________．【答案】0 【解析】试题分析：由110tan tan 3αα+=，得(tan 3)(3tan 1)0αα--=，所以tan 3α=或1tan 3α= ．因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 3α=，所以2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭22αα＋22αα+2222222sin cos cos sin sin cos sin cos αααααααα-+++＝2222tan 1tan tan 1tan 1αααα-++++222231303131⨯-++=++．考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．【答案】80 【解析】考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．【答案】1724b <≤ 【解析】考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <．【答案】（1）()*21n a n n N =-∈；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）首先根据正弦函数性质解出M 中的元素，从而得到21,x k k Z =+∈，由此可求得数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后利用放缩法与裂项法即可使问题得证．考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和．18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =．（1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）32⎤⎥⎦．【解析】试题分析：（1）首先利用向量的数量积公式求出函数()f x 的解析式，然后利用二倍角公式求值即可；（2）首先由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，然后利用三角函数公式化简求出角A 的范围，从而求出三角函数值的范围．试题解析：（1）()21113sin cos cos cos sin 4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭，由()1f x =，得1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=，则22,33AC A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是32⎤⎥⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质．【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角B 的值是关键，结合三角形形状得到函数(2)f A 的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A π<，实在可惜．19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A AC B --的大小．【答案】（1）见解析；（2）3π．【解析】（2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影， ∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点，∴112AD A B ==且,26ADC ACD ππ∠=∠=，∴AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．9分过点A 作1AE AC ⊥于点E ，连接DE ，由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD AC ⊥，且AE AD A =，∴AED ∠即为二面角1A AC B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分且直角1A AC ∆中，11A A AC AE A C ===，又2AD ADE π=∠=，∴sin AD AED AE ∠===1A ACB --为锐二面角，∴3AED π∠=，即二面角1A ACB --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =，由111,BC n BA n ⊥⊥得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角．【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值．【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-．【解析】（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解． 21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-．（1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中1x =，2x =【解析】试题分析：（1）首先用向量的数量积公式代入到()f x 的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得a 的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数()x Γ的导数可为0，从而对函数()x Γ求导后解得切点横坐标0x 与m 的关系，根据不等式得到0x 的范围，进而求得实数m 的范围；（3）当函数()x ϕ存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数k ，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点．试题解析：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+， ∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞，也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞，∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根，由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mkx x x x ϕ-++-+'=--=--- 方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为11x =<，或21x =>，则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中12x x ==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理． 23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．【答案】（1）2；（2）16．【解析】考点：24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．【答案】（1）{}|1T t t =≤；（2）6．【解析】试题分析：（1）由条件可知关于x 的不等式t x x ≥---|2||1|有解即可，因此只需()max12x x t ---≥，进而可求出实数t 的集合T ；（2）根据条件知道应有max 33log log t n m ≥⋅，再结合（1）的结论以及基本不等式，进而可求出n m +的最小值．试题解析：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．：。

【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三高考押题理数试题附详细解析必考经典题型

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.3.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（）A. B. C. D.4.已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B.它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D.它们的离心率相等5.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图，则输出的值为（）A.1009B.-1009C.-1007D.10087.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8.已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D.9.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.学。

科。

网...10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A.720B.768C.810D.81611.焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A.或B.C.或D.12.定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为_________．14.已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=__________．15.在中，角，，的对边分别为，，，，且，的面积为，则的值为__________．16.已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知的展开式中的系数恰好是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.18.如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.已知椭圆：的长轴长为6，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.学。

【河北省衡水中学】2017届高三下学期三调数学(理科)试卷-答案

（2）()312545339910540100,1,2,3,0,(1)48428421C C C X P X P X C C =========． ()()2134543399305412,384148421C C C P X P X C C ========．其分布列为X 0123P542 1021 514 121∴510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（12分） 19．（1）因为,,DA AE DA AB AB AE A ⊥⊥=I ，故DA ABFE ⊥平面．故CB ABFE ⊥平面，以B 为原点，BABF BC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，则0,2,0F （），2,0,1D （），11,12G （，），2,1,0E （），0,0,1C（）所以1=1,0,2EG ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知ABCD 平面的一个法向量()0,1,0n =r ．所以()11,0,0,1,002EG n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u u u r r g g ．所以EG n ⊥u u u r r ．又EG ABCD ⊄平面，所以EG ABCD P 平面．（6分）（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与FCD 平面所成角的余弦值等于215．理由如下：直线BN 与FCD 平面所成角的余弦值等于215，即直线BN 与FCD 平面所成角的正弦值等于25，因为()()2,2,1,2,0,0FD CD =-=u u u r ．设FCD 平面的法向量为()1=0,1,2n r．由110n FD n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g u u r g ，得111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，取11y =得FCD 平面的一个法向量()10,1,2n =u u r ．假设线段FD 上存在一点N ，使得直线BN 与FCD 平面所成角的正弦值等于25．所以sin cos ,BN n α=u u u r r()()()122221222559845222BN n BN n λλλλλ====-+⋅+-+u u u r u u r g u u u r u u r g ．所以29810λλ--=，解得11=9λλ=-或（舍去）．因此，线段DF 上存在一点N ，当点N 与点D 重合时，直线BN 与FCD 平面所成角的余弦值等于。

【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研考理数试题

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.复数212ii+-的共轭复数的虚部是（） A ．35- B ．35C ．-1D ．1 3.下列结论正确的是（）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（） A ．29 B ．31 C ．33 D ．365.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．27.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和 C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和 8. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“()sin 3cos sin cos C A A B =+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．2210.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()1153392102a a a b b b b ++=++（）A ．1941 B ．1737C ．715D ．204111.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <． 18.（本小题满分12分）已知向量23sin,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记()f x m n =．（1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A A C B --的大小．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-．（1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2222x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCABDCDADABC二、填空题13. a b < 14．0 15．80 16．1724b <≤ 三、解答题17．解：（1）∵()2f x =，∴()22x k k Z πππ=+∈，∴21,x k k Z =+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又∵0x >，∴()*21n a n n N =-∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∴()11111111111422314414n n T b b n n n ⎛⎫=++<-+-++-=-< ⎪++⎝⎭ ∴14n T <．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．（1）()231113sin cos cos sin cos sin 44422222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭，由()1f x =，得1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=，则22,33A C A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，所以3sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是313,22⎛⎤- ⎥ ⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．（1）证明：如图，取1A B 的中点D ，连接AD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因1AA AB =，则1AD A B ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1111A BC A ABB A B =侧面，．．．．．．．．．．．．．．3分得AD ⊥平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥．又1AA AD A =，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影， ∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点， ∴1122AD A B ==且,26ADC ACD ππ∠=∠=， ∴22AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分过点A 作1AE A C ⊥于点E ，连接DE ，由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD A C ⊥，且AEAD A =，∴AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分且直角1A AC ∆中，1122226323A A AC AE AC ⨯===，又2,2AD ADE π=∠=，∴23sin 2263AD AED AE ∠===，且二面角1A A C B --为锐二面角， ∴3AED π∠=，即二面角1A A C B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分解法二（向量法）：由（1）知A B B C ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =，由111,BC n BA n ⊥⊥得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，则6πθ=，得12121sin6242AC n AC n a π-===-，解得2a =，即()2,2,0AC =-，又设平面1A AC 的一个法向量为2n ，同理可得()31,1,0n =，设锐二面角1A A C B --的大小为α，则1212121cos cos ,2n n n n n n α===，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3πα=， ∴锐二面角1A A C B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）∵()()()322ln g x a x a x =----，∴()23g x a x'=--，∴()1g x a '=-，．．．．．．．．2分又()11g =，∴121110a --==--，得2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分由()22320x g x x x-'=--=<，得02x <<， ∴函数()g x 单调减区间为()0,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221x x a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，则()()2221220x m x x x x --'=-+=<，故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞，综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+，∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞，也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞，∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根，由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）由（1）得()()()2211111f x x x m mg x x x x x -++===-+---，∴()()()()21ln ln 1,11m mx g x x x x x x x x Γ=-+=-+Γ=---， ∵存在一条与y 轴垂直的直线和()x Γ的图象相切，且切点的横坐标为0x ， ∴()()00200011021m x m x x x x Γ=-=⇒=+--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵0013x x -+>，∴02x >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分令()()122h x x x x=+->，则()()()221111x x h x x x +-'=-=，当2x >时，()()()2211110x x h x x x +-'=-=>，∴()12h x x x=+-在()2,+∞上为增函数，从而()()00011+222h x x h x =->=，∴12m >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mkx x x x ϕ-++-+'=--=--- 方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为212412k k m x +-+=<，或222412k k mx +++=>，则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分②若0m <时，当0∆≤，即22m k m --≤≤-时，()2210x k x k m -++-+≥恒成立，()()0,x x ϕϕ'≥在()1,+∞上为增函数，此时()x ϕ在()1,+∞上没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分下面只需考虑0∆>的情况，由0∆>，得2k m <--或2k m >-，当2k m <--，则221224241,122k k m k k m x x +-++++=<=<，故()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，∴函数()x ϕ没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当2k m >-时，221224241,122k k m k k m x x +-++++=>=>，则()11,x x ∈时，()()120;,x x x x ϕ'>∈时，()()20;,x x x ϕ'<∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()11,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极大值和极小值，极小值点2x ，有极大值点1x ．综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-时，函数()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中22122424,22k k m k k m x x +-++++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）由BC CD =可知，BAC DAC ∠=∠，在ABD ∆中，则AB AD BM DM=，因此AB MD AD BM =；．．．．．．．．．．．．．5分（2）由CP MD CB BM =，可知CP BM CB MD =，又由（1）可知BM AB MD AD =，则CP AB CB AD=，由题意BAD PCB ∠=∠，可得BAD PCB ∆∆，则ADB CBP ∠=∠，又ADB ACB ∠=∠，即CBP ACB ∠=∠，又PB 为圆O 的切线，则CBP CAB ∠=∠，因此ACB CAB ∠=∠，即AB AC =．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）已知曲线 C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()22,0-．则22m =-，将直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线22:1124x y C +=联立，得2220t t --=，则122FA FB t t ==．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C 上的定点()23cos ,2sin P θθ，则以P 为顶点的内接矩形周长为()423cos 2sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，33log log 1m n ≥，根据基本不等式3333log log 2log log 2m n m n +≥≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式26m n mn +≥≥当且仅当3m n ==时取等号，所以m n +的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期三调考试数学(理)试题

河北衡水中学2016~2017学年度高三下学期数学第三次调研（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足iiiz 2134++=，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 已知集合}0)12(log |{3≤-=x x A ，}23|{2x x y x B -==，全集R U =，则)(B C A U 等于（）A ．]1,21( B ．)32,0( C ．]1,32( D ．)32,21(3.若),2(ππα∈,且)4sin(2cos 3απα-=，则α2sin 的值为（）A ．181-B ．181C ．1817-D ．18174. 已知2)(,12)(xx g x x f x =-=，则下列结论正确的是（） A ．)()()(x g x f x h +=是偶函数 B ．)()()(x g x f x h +=是奇函数 C. )()()(x g x f x h =是奇函数 D ．)()()(x g x f x h =是偶函数5.已知双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a by a x ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为双曲线E 的两个焦点，且双曲线E 的离心率是2，直线AC 的斜率为k ，则||k 等于（） A ．2 B ．23 C. 25D ．3 6.在ABC ∆中，NC AN 41=，P 是直线BN 上的一点，若AC AB m AP 52+=，则实数m 的值为（） A ．4- B ．1- C. 1 D ．47.已知函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象与直线)0(A a a y <<=的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则)(x f 的单调递减区间是（）A ．)](36,6[Z k k k ∈+ππB ．)](6,36[Z k k k ∈-ππC. )](36,6[Z k k k ∈+ D ．)](6,36[Z k k k ∈-8. 某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为1a ，2a ，…，10a （如：3a 表示5月3号的门票收入），下表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（）A ．3B ．4 C. 5 D ．69.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每天还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译.针对他们懂的语言，正确的推理是（）A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英 C. 甲日德、乙法德、丙英德、丁英德 D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英 10.如图，已知正方体''''DC B A ABCD -的外接球的体积为π23，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（）A ．2329+ B ．33+或2329+ C. 32+ D ．2329+或32+11.如图，已知抛物线的方程为)0(22>=p py x ，过点)1,0(-A 作直线l 与抛物线相交于Q P ,两点，点B 的坐标为)1,0(，连接BQ BP ,，设BP QB ,与x 轴分别相交与N M ,两点.如果QB 的斜率与PB 的斜率之积为3-，则MBN ∠的大小等于（）A ．2π B ．4π C. 32π D ．3π12.已知R b a ∈,，且b x a e x+-≥)1(对R x ∈恒成立，则ab 的最大值是（） A ．321e B ．322e C. 323e D ．3e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在92017)11(xx +-的展开式中，含3x 项的系数为． 14. 在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3kD V =，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3kD V =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式3kD V =求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、等边圆柱（底面圆的直径为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k ，2k ，3k ，那么=321::k k k ．15.由约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≤≥1330,kx y x y y x ，确定的可行域D 能被半径为22的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是．16.如图，已知O 为ABC ∆的重心，90=∠BOC ，若AC AB BC ⋅=24，则A 的大小为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，01≠a ，常数0>λ，且n n S S a a +=11λ对一切正整数n 都成立. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设100,01=>λa ，当n 为何值时，数列}1{lgna 的前n 项和最大？ 18.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：x （月份） 1 2 3 4 5y （万盒） 4 4 5 6 6（1）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=，根据表中数据已经正确计算出6.0ˆ=b ，试求出a 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.已知多面体ABCDEF 如图所示，其中ABCD 为矩形，DAE ∆为等腰等腰三角形，AE DA ⊥，四边形AEFB 为梯形，且BF AE //，90=∠ABF ，22===AE BF AB . （1）若G 为线段DF 的中点，求证：//EG 平面ABCD ；（2）线段DF 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值等于521？若存在，请指出点N 的位置；若不存在，请说明理由.20.如图，椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 左、右顶点为A 、B ，左、右焦点为1F 、2F ，4||=AB ，32||21=F F .直线m kx y +=（0>k ）交椭圆E 于点D C ,两点，与线段21F F 、椭圆短轴分别交于NM ,两点（N M ,不重合），且||||DN CM =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线AD ，BC 的斜率分别为21,k k ，求21k k 的取值范围. 21.设函数ax xbxx f -=ln )(，e 为自然对数的底数. （1）若函数)(x f 的图象在点))(,(22e f e 处的切线方程为0432=-+e y x ，求实数b a ,的值；（2）当1=b 时，若存在],[,221e e x x ∈，使a x f x f +≤)(')(21成立，求实数a 的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，斜率为1的直线l 过定点)4,2(--.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为0cos 4sin 2=-θθρ. （1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的参数方程；（2）两曲线相交于N M ,两点，若)4,2(--P ，求||||PN PM +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|23||12|)(-++=x x x f ，且不等式5)(≤x f 的解集为}5354|{bx a x ≤≤-，R b a ∈,. （1）求b a ,的值；（2）对任意实数x ，都有53||||2+-≥++-m m b x a x 成立，求实数m 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CDCAB 6-10: BDAAB 11、12：DA二、填空题13. 84- 14.1:4:6ππ 15.]31,(-∞ 16.3π三、解答题17.解：（1）令1=n ，得0)2(,22111121=-==a a a S a λλ，因为01≠a ，所以λ21=a ，当2≥n 时，n n S a +=λ22，1122--+=n n S a λ，两式相减得)2(221≥=--n a a a n n n ，所以)2(21≥=-n a a n n ，从而数列}{n a 为等比数列，所以λnn n a a 2211=⋅=-.（2）当01>a ，100=λ时，由（1）知，2lg 22lg 100lg 1002lg 1lg ,1002n a b a n n n n n n -=-====，所以数列}{n b 是单调递减的等差数列，公差为2lg -，所以01lg 64100lg 2100lg 6621=>==>>>b b b 当7≥n 时，01lg 2100lg77=<=≤b b n ，所以数列}1{lg n a 的前6项和最大. 18.解：（1）3)54321(51=++++=x ，5)66544(51=++++=y ，因线性回归方程a x b yˆˆˆ+=过点),(y x ，∴2.366.05ˆ=⨯-=-=x b y a∴6月份的生产胶囊的产量数：8.62.366.0ˆ=+⨯=y. （2）3,2,1,0=X ，4254810)0(3935====C C X P ，21108440)1(392514====C C C X P ，1458430)2(391524====C C C X P ，211844)3(3934====C C X P ，其分布列为 X 0 1 2 3P425 2110 145 211 ∴3432112145121100425)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 19.（1）因为AE DA ⊥，AB DA ⊥，A AE AB = ，故⊥DA 平面ABFE ，故⊥CB 平面ABFE ，以B 为原点，BC BF BA ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,2,0(F ，)1,0,2(D ，)21,1,1(G ，)0,1,2(E ，)1,0,0(C ，所以)21,0,1(-=EG ，易知平面ABCD 的一个法向量)0,1,0(=n ，所以0)0,1,0()21,0,1(=⋅-=⋅n EG ，所以n EG ⊥，又⊄EG 平面ABCD ，所以//EG 平面ABCD .（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值等于521.理由如下：直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值为521，即直线BN 与平面FCD 所成角的正弦值为52，因为)0,0,2(),1,2,2(=-=CD FD ，设平面FCD 的法向量为),,(1111z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011CD n FD n ，得⎩⎨⎧==+-020221111x z y x ，取11=y 得平面FCD 的一个法向量)2,1,0(1=n假设线段FD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面FCD 所成角的正弦值等于52，设)10(≤≤=λλFD FN ，则),2,2()1,2,2(λλλλ-=-=FN ，),22,2(λλλ-=+=FN BF BN ，所以5248952)22()2(52||||||,cos sin 2222111=+-⋅=+-+⋅=⋅>=<=λλλλλαn BN n BN n BN ，所以01892=--λλ，解得1=λ或91-=λ（舍去）因此，线段DF 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值为521. 20.解：（1）因为322,42==c a ，所以1222=-=c a b ，所以椭圆的方程为1422=+y x . （2）将直线m kx y +=代入椭圆1422=+y x ，得0448)41(222=-+++m mkx x k . 设),(),,(2211y x C y x D ，则22212214144,418km x x k km x x +-=+-=+，又),0(),0,(m N k m M -，由||||DN CM =得N M x x x x +=+21，即kmk km -=+-2418，因为0,0>≠k m ，得21=k ，此时22,222121-=⋅-=+m x x m x x ，因为直线l 与线段21F F 、椭圆短轴分别交于不同两点，所以323≤-≤-m 且0≠m ，即2323≤≤-m 且0≠m . 因为2,2222111-=+=x y k x y k ，所以)2()2(122121+-=x y x y k k ，两边平方得212121211212212222212122222221)(24)(24)2)(2()2)(2()2)(41()2)(41()2()2()(1x x x x x x x x x x x x x x x x x y x y k k +++++-=++--=----=+-= 2222)1()1(22)2(2422)2(24-+=-+-+-+--=m m m m m m ，所以1211121---=-+=m m m k k ，又因为12121---=m k k 在]23,0(),0,23[-上单调递增，所以34723123111231231347+=-+≤-+≤+-=-mm ，且111≠-+m m ，即34734721+≤≤-k k ，且121≠k k，所以]347,1()1,347[21+-∈ k k .21.解：（1）由已知得1,0≠>x x ，a x x b x f --=2)(ln )1(ln )('，则22)(2222e ae be e f -=-=，且434)('2-=-=a b e f ，解之得1,1==b a . （2）当1=b 时，a x x x f --=2)(ln 1ln )('，又a x a x x a x x x f -+--=-+-=--=41)21ln 1(ln 1)ln 1()(ln 1ln )('222+故当21ln 1=x 即2e x =时，a xf -=41)('max . “存在],[,221e e x x ∈，使a x f x f +≤)(')(21成立”等价于“当],[2e e x ∈时，有a xf x f +≤max min )(')(”又当],[2e e x ∈时，a xf -=41)('max ，∴41)('max =+a x f ，问题等价于“当],[2e e x ∈时，有41)(min ≤x f ”. ①当41≥a 时，)(x f 在],[2e e 上为减函数，则412)()(22min ≤-==ax e ef x f ，故24121ea -≥；②当41<a 时，a x x f -+--=41)21ln 1()('2在],[2e e 上的值域为]41,[a a --，（i ）当0≥-a ，即0≤a 时，0)('≥x f 在],[2e e 上恒成立，故)(xf 在],[2e e 上为增函数，于是41)()(min >≥-==e ae e e f x f ，不合题意；（ii ）当0<-a ，即410<<a 时，由)('x f 的单调性和值域知，存在唯一∈0x ),(2e e ，使0)('=xf ，且满足当∈0x ),(0x e 时，0)('<x f ，)(x f 为减函数；当∈0x ),(20e x 时，0)('>x f ，)(x f 为增函数.所以),(,41ln )()(200000min e e x ax x x x f x f ∈≤-==，所以412141ln 141ln 22000-<->-≥e e x x x a ，与410<<a 矛盾. 综上，得a 的最小值为24121e-. 22.解：（1）由0cos 4sin 2=-θθρ得0cos 4sin 22=-θρθρ，所以曲线C 的直角坐标方程为042=-x y ，即x y 42=，所以直线l 的参数方程为是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222（t 为参数）.（2）将直线l 的参数方程代入x y 42=中，得到0482122=+-t t ，设N M ,对应的参数分别为21,t t ，则21221=+t t ，04821>=t t ，故212||||||||2121=+=+=+t t t t PN PM . 23.解：（1）若21-≤x ，原不等式可化为52312≤+---x x ，解得54-≥x ，即2154-≤≤-x ；若3221<<-x ，原不等式可化为52312≤+-+x x ，解得2-≥x ，即3221<<-x ；若32≥x ，原不等式可化为52312≤-++x x ，解得56≤x ，即5632≤≤x ；综上所述，不等式5|23||12|≤-++x x 的解集为]56,54[-，所以2,1==b a . （2）由（1）知2,1==b a ，所以3|21||2||1|||||=---≥++-=++-x x x x b x a x ，故3532≤+-m m ，0232≤+-m m ，所以21≤≤m ，即实数m 的最大值为2.。

2017届河北省衡水中学高三高考押题数学(理)试题(解析版) Word版含答案

河北省衡水中学2017届高三高考押题理数试题一、选择题1．已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+， 1{|24}4x B x =≤≤，则A B ⋂=（） A. {|12}x x -≤≤ B. {}1,0,1,2- C. {}2,1,0,1,2-- D. {}0,1,2 【答案】B【解析】由题知{}1,0,1,2,3,4A =-， {|22}B x x -≤≤＝，则{}1,0,1,2A B ⋂=-故本题答案选B ．2．已知i 为虚数单位，若复数1i1it z -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（）A. []1,1- B. ()1,1- C. (),1-∞- D. ()1,+∞ 【答案】B 【解析】由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+tz===-i 1+i 1+i 1-i 22．又对应复平面的点在第四象限，可知110022t t-+>-<且，解得11t -<<．故本题答案选B ． 3．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（） A. 42y x x =+ B. 2x y = C. 22x xy -=- D. 12log 1y x =-【答案】D【解析】42y x x =+为非奇非偶函数， A 排除； 2xy =为偶函数，但在(),0-∞内单调递减， B 排除； 22x xy -=-为奇函数， C 排除．故本题答案选D ．4．已知双曲线1C ： 2212x y -=与双曲线2C ： 2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =，焦点都在圆223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为y x =，由于实轴长度不同故离心率ce a=不同．故本题答案选D ，5．在等比数列{}n a 中，“4a ， 12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由韦达定理知4124123,1a a a a +=-=，则4120,0a a <<，则等比数列中4840a a q =<，则81a ==-．在常数列1n a =或1n a =-中， 412,a a 不是所给方程的两根．则在等比数列{}n a 中，“4a ， 12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的充分不必要条件．故本题答案选A ． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 1008 【答案】B【解析】由程序框图则0,1;1,2;12,3;123,4S n S n S n S n =====-==-+=，由S 规律知输出123456...20152016201720181009S =-+-+-++-+-=-．故本题答案选B ．【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.7．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.163π+ B. 112π+ C. 1123π+ D. 143π+ 【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选Ｃ． 8．已知函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（）A. 5,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 1,06⎛⎫⎪⎝⎭ C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 11,06⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知A =，又()6282T=--=，即2πT=16ω=，所以π8ω=．则()πi n 8f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象过点()6,0，则3πs i n 04ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3ππ4k ϕ+=，所以3ππ4k ϕ=-+，又ϕπ<，则π4ϕ=．故()ππ48g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππππ482x k +=+，得322x k =+，令1k =-，可得其中一个对称中心为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭．故本题答案选C ． 9．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =， BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A.0,0)2a ba b +≥>> B. 222(0,0)a b ab a b +≥>>C. 20,0)ab a b a b ≤>>+D. 0,0)2a b a b +≤>> 【答案】D【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a br +=，又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，则()()2222222442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2a b +≤Ｄ． 10．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（） A. 720 B. 768 C. 810 D. 816 【答案】B【解析】由题知结果有三种情况． ()1甲、乙、丙三名同学全参加，有1444C A =96种情况，其中甲、乙相邻的有123423C A A 48=种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848-=种情况； ()2甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314434C C A 288=种情况； ()3甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有224434432C C A =种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768++=种情况，故本题答案选B11．焦点为F 的抛物线C ： 28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（）A. 2y x =+或2y x =--B. 2y x =+C. 22y x =+或22y x =-+D. 22y x =-+ 【答案】A【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF===∠∠，则当MA MF取得最大值时， MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k =-= ，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离MF 转化成到准线的距离MP ，将比值问题转化成切线问题求解．12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()()224,23,{12,34,x x x f x g x ax x x x-+≤≤==++<≤，对[]12,0x ∀∈-， []22,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A. 11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭B. 11,00,48⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. (]0,8 D. ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题知问题等价于函数()f x 在[]2,0-上的值域是函数()g x 在[]2,1-上的值域的子集．当[]2,4x ∈时， ()()224,232,34{x x x x xf x --+≤≤+<≤=，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时()93,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()()22f x f x +=，可得()()()112424f x f x f x =+=+，当[]2,0x ∈-时， []42,4x +∈．则()f x 在[]2,0-的值域为39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦．当0a >时， ()[]21,1g x a a ∈-++，则有3214918{a a -+≤+≥，解得18a ≥，当0a =时， ()1g x =，不符合题意；当0a <时， ()[]1,21g x a a ∈+-+，则有3149218{a a +≤-+≥，解得14a ≤-．综上所述，可得a 的取值范围为 ][11,,48⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．故本题答案选D ．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该不重复不遗漏．二、填空题13．已知()1,a λ=， ()2,1b = ，若向量2a b + 与()8,6c = 共线，则a 在b 方向上的投影为_________．【答案】5【解析】由题知()24,21a b λ+=+，又2a b + 与c 共线，可得()248210λ-+=，得1λ=，则a 在方向上的投影为a b b ⋅==． 14．已知实数x ， y 满足不等式组20,{250,20,x y x y y --≤+-≥-≤且2z x y =-的最大值为a ，则2cos 2xa dx π⎰=__________．【答案】3π。

河北衡水中学2017年高考数学(理科)押题卷

河北衡水中学2017年高考数学（理科）押题卷必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()()13lg 21|,|132x M x f x N x x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭，则集合M N 等于（）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈，若12z z i -=+，则1zi+等于（） A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，若33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，则此数列的前5项和5S 等于（） A ．1213B ．41C ．1193D ．24194. 已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e 等于（） A ．23 B ．22 C. 6 D ．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- ”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（）A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是233，则其底面周长为（）A ．()231+ B ．()251+ C. ()222+ D ．53+8.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +”猜想.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输出n 的值为8，则输入正整数m 的所有可能值的个数为（）A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（）A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111nn n aa a a a a n aa +++++= 对任何的正整数n 都成立，则1250111a a a ++的值为（） A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.已知向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（）A ．32 B ．2 C. 52 D ．15212.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格x8.5 9 9.5 10 10.5销售量y 12 11976由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y x a =-+，则ˆa= ． 14.将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是．15.已知两平行平面αβ、间的距离为23，点A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为．16.已知A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足23,3OAB AB FB S AB ∆==，则AB 的值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知ABC ∆关于AC 边的对称图形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==，1tan 2BAC ∠=.（1）求BC 边的长；（2）求cos ACB ∠的值.18.如图，已知圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，52AO =，AO AD ⊥.（1）求证：平面ABD ⊥平面ODE ；（2）求二面角B AD O --的正弦值．19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．20.如图，已知6,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若23AB =，求PQ ．21. 已知函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．（参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈，）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥．（1）平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程；（2）求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知实数a b 、满足223a b ab +-=．（1）求a b -的取值范围；（2）若0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 39.4 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：（1）因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=．因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-= ，所以42BE =，又75BC AB CE AE ==，所以723BC =．（2）由（1）知42BE =，所以2224932252cos 222742AB BE AE B AB BE +-+-===⨯⨯ ，所以2sin 2B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以525sin ,cos 55BAC BAC ∠=∠=，所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+2522510sin sin cos cos 252510B BAC B BAC =∠-∠=⨯-⨯=-． 18.解：（1）依题易知，圆锥的高为()225255h =-=，又圆柱的高为 6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()()22222222222 6.455526.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B = ，所以DE ⊥平面ABD ．又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．（2）如图，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．则()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ．所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===，设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，则()12,41,15u =- ．可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =，所以4182cos ,10582u v u v u v ===，所以二面角B AD O --的正弦值为3210． 19.解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有339⨯=个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢”为i A ；事件“第i 次划拳小华平”为i B ；事件“第i 次划拳小华输”为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=．（2）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==，所以X 的分布列为：X 2 3 4 5P29 1327 2281 281所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）依题知2222611,5,04a b a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E 的离心率22232233a b e a --===；（2）依题知圆F 的圆心为原点，半径为2,23r AB ==，所以原点到直线AB 的距离为2222232122AB d r ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为点P 坐标为6,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ．所以直线AB 的方程为612y k x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，即6102kx y k --+=，所以261211k d k-==+，解得0k =或26k =．①当0k =时，此时直线PQ 的方程为62x =，所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当26k =时，直线PQ 的方程为161226y x ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y 并整理，得234106210x x --=，设Q 点坐标为()11,x y ，所以16106234x +=，解得17634x =-，所以211630121726PQ x ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭．21.解：（1）因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ，所以()1x x f x ae e -⎛⎫'=⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >．所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ③当0a >时，由()0f x '<得，1x >；由()0f x '>，得1x <，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增．（2）因为()()1,20a f x g x =+=，所以121202x x xx b e e e x e--++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++．令12x x t e e -=+，则有10t e b t-++=，即()210t b e t +-+=．设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，则121t t = ，所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x xt e t e e e --=+=+ 的根．由（1）知12x xt e e -=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减．且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如图，依据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+，因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-．所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增，所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：（1）因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-，即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=．（2）设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=，则()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2，同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=．23.解：（1）因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-，即10ab -≤<，所以13ab -≤≤，则034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-，所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；（2）由（1）知03ab <≤，因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。

【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期三调考试数学(理)试题

河北衡水中学2016~2017学年度高三下学期数学第三次调研（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足iiiz 2134++=，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 已知集合}0)12(log |{3≤-=x x A ，}23|{2x x y x B -==，全集R U =，则)(B C A U 等于（）A ．]1,21( B ．)32,0( C ．]1,32( D ．)32,21( 3.若),2(ππα∈,且)4sin(2cos 3απα-=，则α2sin 的值为（）A ．181-B ．181C ．1817-D ．18174. 已知2)(,12)(xx g x x f x=-=，则下列结论正确的是（） A ．)()()(x g x f x h +=是偶函数 B ．)()()(x g x f x h +=是奇函数 C. )()()(x g x f x h =是奇函数 D ．)()()(x g x f x h =是偶函数5.已知双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a by a x ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为双曲线E 的两个焦点，且双曲线E 的离心率是2，直线AC 的斜率为k ，则||k 等于（） A ．2 B ．23 C. 25D ．3 6.在ABC ∆中，NC AN 41=，P 是直线BN 上的一点，若AC AB m AP 52+=，则实数m 的值为（）A ．4-B ．1- C. 1 D ．47.已知函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象与直线)0(A a a y <<=的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则)(x f 的单调递减区间是（）A ．)](36,6[Z k k k ∈+ππB ．)](6,36[Z k k k ∈-ππ C. )](36,6[Z k k k ∈+ D ．)](6,36[Z k k k ∈-8. 某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为1a ，2a ，…，10a （如：3a 表示5月3号的门票收入），下表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（）A ．3B ．4 C. 5 D ．69.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每天还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译.针对他们懂的语言，正确的推理是（）A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英 C. 甲日德、乙法德、丙英德、丁英德 D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英 10.如图，已知正方体''''DC B A ABCD -的外接球的体积为π23，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（）A ．2329+ B ．33+或2329+ C. 32+ D ．2329+或32+ 11.如图，已知抛物线的方程为)0(22>=p py x ，过点)1,0(-A 作直线l 与抛物线相交于Q P ,两点，点B 的坐标为)1,0(，连接BQ BP ,，设BP QB ,与x 轴分别相交与N M ,两点.如果QB 的斜率与PB 的斜率之积为3-，则MBN ∠的大小等于（）A ．2π B ．4π C. 32π D ．3π12.已知R b a ∈,，且b x a e x+-≥)1(对R x ∈恒成立，则ab 的最大值是（） A ．321e B ．322e C. 323e D ．3e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在92017)11(xx +-的展开式中，含3x 项的系数为． 14. 在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3kD V =，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3kD V =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式3kD V =求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、等边圆柱（底面圆的直径为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k ，2k ，3k ，那么=321::k k k ．15.由约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≤≥1330,kx y x y y x ，确定的可行域D 能被半径为22的圆面完全覆盖，则实数k 的取值范围是．16.如图，已知O 为ABC ∆的重心，90=∠BOC ，若AC AB BC ⋅=24，则A 的大小为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，01≠a ，常数0>λ，且n n S S a a +=11λ对一切正整数n 都成立.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设100,01=>λa ，当n 为何值时，数列}1{lgna 的前n 项和最大？ 18.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：x （月份） 1 2 3 4 5y （万盒） 4 4 5 6 6（1）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=，根据表中数据已经正确计算出6.0ˆ=b ，试求出a 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.已知多面体ABCDEF 如图所示，其中ABCD 为矩形，DAE ∆为等腰等腰三角形，AE DA ⊥，四边形AEFB 为梯形，且BF AE //，90=∠ABF ，22===AE BF AB . （1）若G 为线段DF 的中点，求证：//EG 平面ABCD ；（2）线段DF 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值等于521？若存在，请指出点N 的位置；若不存在，请说明理由.20.如图，椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 左、右顶点为A 、B ，左、右焦点为1F 、2F ，4||=AB ，32||21=F F .直线m kx y +=（0>k ）交椭圆E 于点D C ,两点，与线段21F F 、椭圆短轴分别交于NM ,两点（N M ,不重合），且||||DN CM =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线AD ，BC 的斜率分别为21,k k ，求21k k 的取值范围. 21.设函数ax xbxx f -=ln )(，e 为自然对数的底数. （1）若函数)(x f 的图象在点))(,(22e f e 处的切线方程为0432=-+e y x ，求实数b a ,的值；（2）当1=b 时，若存在],[,221e e x x ∈，使a x f x f +≤)(')(21成立，求实数a 的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，斜率为1的直线l 过定点)4,2(--.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为0cos 4sin 2=-θθρ. （1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的参数方程；（2）两曲线相交于N M ,两点，若)4,2(--P ，求||||PN PM +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|23||12|)(-++=x x x f ，且不等式5)(≤x f 的解集为}5354|{bx a x ≤≤-，R b a ∈,. （1）求b a ,的值；（2）对任意实数x ，都有53||||2+-≥++-m m b x a x 成立，求实数m 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CDCAB 6-10: BDAAB 11、12：DA二、填空题13. 84- 14.1:4:6ππ 15.]31,(-∞ 16.3π三、解答题17.解：（1）令1=n ，得0)2(,22111121=-==a a a S a λλ，因为01≠a ，所以λ21=a ，当2≥n 时，n n S a +=λ22，1122--+=n n S a λ，两式相减得)2(221≥=--n a a a n n n ，所以)2(21≥=-n a a n n ，从而数列}{n a 为等比数列，所以λnn n a a 2211=⋅=-.（2）当01>a ，100=λ时，由（1）知，2lg 22lg 100lg 1002lg 1lg ,1002n a b a n nn n n n -=-====，所以数列}{n b 是单调递减的等差数列，公差为2lg -，所以01lg 64100lg 2100lg 6621=>==>>>b b b当7≥n 时，01lg 2100lg 77=<=≤b b n ，所以数列}1{lg n a 的前6项和最大. 18.解：（1）3)54321(51=++++=x ，5)66544(51=++++=y ，因线性回归方程a x b yˆˆˆ+=过点),(y x ，∴2.366.05ˆ=⨯-=-=x b y a∴6月份的生产胶囊的产量数：8.62.366.0ˆ=+⨯=y.（2）3,2,1,0=X ，4254810)0(3935====C C X P ，21108440)1(392514====C C C X P ，1458430)2(391524====C C C X P ，211844)3(3934====C C X P ，其分布列为 X 0 1 2 3P425 2110 145 211 ∴3432112145121100425)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 19.（1）因为AE DA ⊥，AB DA ⊥，A AE AB = ，故⊥DA 平面ABFE ，故⊥CB 平面ABFE ，以B 为原点，BC BF BA ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,2,0(F ，)1,0,2(D ，)21,1,1(G ，)0,1,2(E ，)1,0,0(C ，所以)21,0,1(-=EG ，易知平面ABCD 的一个法向量)0,1,0(=n ，所以0)0,1,0()21,0,1(=⋅-=⋅n EG ，所以n EG ⊥，又⊄EG 平面ABCD ，所以//EG 平面ABCD .（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值等于521.理由如下：直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值为521，即直线BN 与平面FCD 所成角的正弦值为52，因为)0,0,2(),1,2,2(=-=CD FD ，设平面FCD 的法向量为),,(1111z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011CD n FD n ，得⎩⎨⎧==+-020221111x z y x ，取11=y 得平面FCD 的一个法向量)2,1,0(1=n假设线段FD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面FCD 所成角的正弦值等于52，设)10(≤≤=λλFD FN ，则),2,2()1,2,2(λλλλ-=-=FN ，),22,2(λλλ-=+=FN BF BN ，所以5248952)22()2(52||||||,cos sin 2222111=+-⋅=+-+⋅=⋅>=<=λλλλλαn BN n BN n BN ，所以01892=--λλ，解得1=λ或91-=λ（舍去）因此，线段DF 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值为521.20.解：（1）因为322,42==c a ，所以1222=-=c a b ，所以椭圆的方程为1422=+y x . （2）将直线m kx y +=代入椭圆1422=+y x ，得0448)41(222=-+++m mkx x k . 设),(),,(2211y x C y x D ，则22212214144,418k m x x k km x x +-=+-=+，又),0(),0,(m N k m M -，由||||DN CM =得N M x x x x +=+21，即kmk km -=+-2418，因为0,0>≠k m ，得21=k ，此时22,222121-=⋅-=+m x x m x x ，因为直线l 与线段21F F 、椭圆短轴分别交于不同两点，所以323≤-≤-m 且0≠m ，即2323≤≤-m 且0≠m . 因为2,2222111-=+=x y k x y k ，所以)2()2(122121+-=x y x y k k ，两边平方得212121211212212222212122222221)(24)(24)2)(2()2)(2()2)(41()2)(41()2()2()(1x x x x x x x x x x x x x x x x x y x y k k +++++-=++--=----=+-= 2222)1()1(22)2(2422)2(24-+=-+-+-+--=m m m m m m ，所以1211121---=-+=m m m k k ，又因为12121---=m k k 在]23,0(),0,23[-上单调递增，所以34723123111231231347+=-+≤-+≤+-=-mm ，且111≠-+m m ，即34734721+≤≤-k k ，且121≠k k，所以]347,1()1,347[21+-∈ k k .21.解：（1）由已知得1,0≠>x x ，a x x b x f --=2)(ln )1(ln )('，则22)(2222e ae be e f -=-=，且434)('2-=-=a b e f ，解之得1,1==b a . （2）当1=b 时，a x x x f --=2)(ln 1ln )('，又a x a x x a x x x f -+--=-+-=--=41)21ln 1(ln 1)ln 1()(ln 1ln )('222+故当21ln 1=x 即2e x =时，a x f -=41)('max . “存在],[,221e e x x ∈，使a x f x f +≤)(')(21成立”等价于“当],[2e e x ∈时，有a xf x f +≤max min )(')(”又当],[2e e x ∈时，a xf -=41)('max ，∴41)('max =+a x f ，问题等价于“当],[2e e x ∈时，有41)(min ≤x f ”. ①当41≥a 时，)(x f 在],[2e e 上为减函数，则412)()(22min ≤-==ax e ef x f ，故24121ea -≥； ②当41<a 时，a x x f -+--=41)21ln 1()('2在],[2e e 上的值域为]41,[a a --，（i ）当0≥-a ，即0≤a 时，0)('≥x f 在],[2e e 上恒成立，故)(xf 在],[2e e 上为增函数，于是41)()(min >≥-==e ae e e f x f ，不合题意；（ii ）当0<-a ，即410<<a 时，由)('x f 的单调性和值域知，存在唯一∈0x ),(2e e ，使0)('=xf ，且满足当∈0x ),(0x e 时，0)('<x f ，)(x f 为减函数；当∈0x ),(20e x 时，0)('>x f ，)(x f 为增函数.所以),(,41ln )()(200000min e e x ax x x x f x f ∈≤-==，所以412141ln 141ln 22000-<->-≥e e x x x a ，与410<<a 矛盾. 综上，得a 的最小值为24121e -. 22.解：（1）由0cos 4sin 2=-θθρ得0cos 4sin 22=-θρθρ，所以曲线C 的直角坐标方程为042=-x y ，即x y 42=，所以直线l 的参数方程为是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222（t 为参数）.（2）将直线l 的参数方程代入x y 42=中，得到0482122=+-t t ，设N M ,对应的参数分别为21,t t ，则21221=+t t ，04821>=t t ，故212||||||||2121=+=+=+t t t t PN PM . 23.解：（1）若21-≤x ，原不等式可化为52312≤+---x x ，解得54-≥x ，即2154-≤≤-x ；若3221<<-x ，原不等式可化为52312≤+-+x x ，解得2-≥x ，即3221<<-x ；若32≥x ，原不等式可化为52312≤-++x x ，解得56≤x ，即5632≤≤x ；综上所述，不等式5|23||12|≤-++x x 的解集为]56,54[-，所以2,1==b a .（2）由（1）知2,1==b a ，所以3|21||2||1|||||=---≥++-=++-x x x x b x a x ，故3532≤+-m m ，0232≤+-m m ，所以21≤≤m ，即实数m 的最大值为2.。

河北省衡水中学高考数学押题卷三理(含解析)

全国统一考试模拟试题理科数学（皿）第I 卷一、选择题：本题共 12个小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 已知复数z :.1,则丘—|z|=（）A.' ?i B. ' i C. 二―斗 D.2 2 1 2^2' 2 T 2 ' 2 2 1【答案】C【解析】由题意可得：丁 — ?i. 7| -丨，则E — Iz| = ' i.本题选择C 选项.2.集合A - {X x '-3x - C}，巳=3 V =切2 ，则也 I E=（）A = {x D - x - 2}.B = {x x - 2}，则2 i E ；= {x|0 - x 2}. 本题选择A 选项.3.已知函数仆创: '：u •门？的最小正周期为！■，则函数fl I 的图象（）A. 可由函数JU —:心“F 的图象向左平移"个单位而得B. 可由函数J 灯二—C 【的图象向右平移"个单位而得C. 可由函数屮小 4"的图象向左平移:个单位而得D. 可由函数口 =二cc2n 的图象向右平移:个单位而得【答案】D【解析】由已知得，工”二则fi 艾］ 3G2X 一」的图象可由函数- C.C-.-J'X 的图象向A. {x|0 - x 2} C. {x|2 - :< - 2}【答案】AB. U 工 2} D.{x|0 - x - 2}【解析】由题意可得:右平移［个单位而得，故选 D.y > 3x-3,4. 已知实数y：, y满足约束条件•.. 则丁-：戈y的最大值为（）3x + 4y + 12 > 6A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点Bi） J 处取得最大值z = 2x y = 2 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形AECD中的两边2E, AC分别交于匕、卜，且交其对角线A匚于*，若] ] 勺q ，-q 5An.-心，―.工.卜，2阴_〉£口||/\匸入|」「. R：'，则一丄 A =（）A. 一B. 1 C. D. -3【答案】A【解析】由几何关系可得••心'.AC，则：, 1 —* 1即• A閘CAB ，：匚,则j - A=-；.本题选择A选项.点睛：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.6•在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线匚为正态分布fv 1.1；的密度曲线)的点的个数的估计值为(附：若x Nip.c ；,则尺|」口 •• X- |一、- 6O.6S27 ,P::|.1 2a ■. X -」I 2a.:- = 3 9545.()则落入阴影部分(曲线匚为正态分布Ni U 的密度曲线)的点的个数的估计值为N 10000| '二"勺.本题选择B 选项•点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 ① 熟记 P( [1 — (T <XW 口 + b ) , P ( — 2 a<XW 卩 + 2 a ) , P([i — 3(T <XW+ 3 a)的值.② 充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为 2的半圆，则该几何体的表面积是()A. SO - SnB. SO - 4nC. SO £nD. SD — n【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积0.9545-0.6827=0.1359D. 3413【答案】BI LMIU【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4,•••该几何体的表面积 5 2'4 4 .1： 2 ■: - 3 4 4 I H 2 4 汎！ I 4n ,本题选择B选项•8. 已知数列心J中，3 丄,..白.'ll.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是( )A. ri - 2016?B. ri - 2017?C. n ■. 2015'?D. 门“ 2017?【答案】B【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当门=2 013时推出循环，则判断框内的条件是/0 1^?.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为E 则弐=( )A. 3B.C. —D. 4【答案】B阴1【解析】由题意知，£的可能取值为2,3,4,其概率分别为F 2'：..,口(“3)=蹙护遐卞+)=注严謠，所以仝 2 :: , - 4 ' ■:，故选 B.10. 已知抛物线匚：匸一2|»沖的焦点为F,点M：：x ,,2-. 2：.：：/ ,门是抛物线匚上一点,圆“与线段閘F相交于点2,且被直线x —-截得的弦长为•MA|，若=2,则AF =( ) A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意：M(x o, 2V2)在抛物线上，则8=2px o，则px o=4,①由抛物线的性质可知，邛X 「，J 2 ,则2住卜「1卜:i.X,•••被直线X ［截得的弦长为V 3|MA|，则DE| -,|MA| 」；£.•「，2 2 2由MA = =「，在Rt △ MDE中，丨DE丨+丨DM丨=丨ME丨，即1 p2 p 2 4 p1 I (X ■.'X '.：'，代入整理得：4】- I丁 2 0②，由①②，解得：x o=2, p=2,；卜r ■■-丄，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想，转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点准线的距离是关键•11. 若定义在E上的可导函数fi I满足fi I I - I，且?f < I - 1 ,则当:一］时,I'1 "(' H：'儿ii厂的解集为( ).TI 4n, J IT 4T I L Tl. t TI TI,A. .B. :;C.D.:-.....:【答案】D【解析】不妨令和1 =工，该函数满足题中的条件，则不等式转化为：£整理可得：「，结合函数的定义域可得不等式的解集为-.A到其不等式2x ：」lli .,本题选择D选项.12. 已知工是方程］*亡• — ||讥-；_：的实根，则关于实数x的判断正确的是（）A. x■-B. X ■.. 'C. »一 2 卩D. 2e - Inx ,-紅【答案】C【解析】令fl X I _ .2 \工Q；，则f ■ Y. X 「：-，函数fiz在定义域内单调递增，方程即：——I门—啓上’-e_ ' ' '：-lnx ::，即f2「f：—I"：,结合函数的单调性有:】X -1门一1门「 C .本题选择C选项.点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.（2）若可导函数在指定的区间D上单调递增（减）,求参数范围问题，可转化为f（x）三0（或f（x）so）ta成立问题，从而构建不等式‘要注意"三是否可以取到•第n卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若（日『的展开式中◎项的系数为20,则$ + 的最小值为__________ .【答案】2【解析】试题分析：七J :展开后第；项为 . . .. ，其X"工"中x项为；一，即第「项，系数为-_ ；；,即二了二［，「4片”,二1当且仅当力二1 时日+匕取得最小值2 .考点：二项式公式，重要不等式•14. 已知AAE匸中，内角A, E,匚的对边分别为L匕，J若A - b -匸-be，氐=It,则AABC的面积为___________.【答案】4 ■ 3【解析】由题意有：匕一二一汀一匕匸.…匚口* 一' ' - ..si'i.A -.丄A _, 则弘巳匚的面积为\ .*川也4胃.15.已知双曲线号-弓=l（a > O r b > 0）的左、右顶点分别为戈，B两点，点CfOA^b）,若线段AC的3 b垂直平分线过点B ‘贝H双曲线的离心率为__________ -【答案】—【解析】由题意可得，摯为正三角形，则.21」-.北，所以双曲线的离心率16. 已知下列命题：①命题“:. R, £ _巳.孙”的否定是“ I戈:.R, £ _巳•孙”；②已知p，|为两个命题，若“匸丫：|”为假命题，则“ —J为真命题”；③“日：• 2 015”是“日：• 2017 ”的充分不必要条件；④“若心-::，则x =匚且丫 =［：”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是____________ .【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“空工::R, * +包“弘”的否定是“ b • R.,工+ 3- Ex”；②已知|：，|为两个命题，若“八：1”为假命题，则“Lp.—.-匚|］= 一⑴詁⑴为真命题”；③“ ；i - / C ”是“ ；i - / 0 : 7 ”的必要不充分条件；④“若心-：：，则乂 = C且亍-〔：”是假命题，则它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序号是②.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设&为数列/的前「I项和，且白丄，I坷_ | ： J 一丄X 一［门-丄］，「「N .（1）证明：数列L；为等比数列；（2）求丁匚一 5 —…-.【答案】（1）见解析；（2）【「• 2 2 '.【解析】试题分析：⑴利用题意结合等比数列的定义可得数列打叮为首先为2,公比为2的等比数列；（2）利用（1）的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得.试题解析：（1）因为白.,.- ，所以 I I '.S, | - S ,1 2 | "I 2- -i ：.i'i 1:，即I 佗..I 丄上,iv. 'i I.'，则.n + Ln所以:「12（；'. -1），又 • 1「故数列打 1；为等比数列.（2）由（1）知「| 1I 「-2’；，所以 S , n ■ 2 '门，故T. ：：1 - 2 ■ 2 - 2' I ■■■ ■ n ■ 2' ：： il - 2 ................................ 「］•设 M - 1 ■ 2 + 2 - 2 —…+ 2 ，则2M - 1 ■ 2'' - 2 - 2 -——r ■ 2 1 +所以 M - "n - ： i ■ ?' ■-厂所以［..ir. 1） ■ 21' ■ 1 ■ 2" '.' '•点睛：证明数列｛a n ｝是等比数列常用的方法：一是定义法，证明一一=q （n 》2, q 为常数）；即-i二是等比中项法，证明 n = a n -1 • a n +1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法.18.如图所示，四棱锥 A BCDE ，已知平面巳匚口 E 平面£三二，匕匕二匚，巳匸=AR - 4 -. “心匚丸.1 求证：A 匸 EE ；2 若二面角B AC E 为，求直线2 E 与平面代匸E 所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2） | .所以-M _ 2 ■ 2- | ...2r n + 1 r_n + 12 - 2 - n ■ 2【解析】试题分析:(1)利用题意首先证得人匚平面BCDE，结合线面垂直的定义有A匸EE.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线试题解析:所以AC - E匚「一蓟巳，所以AC 三匚.因为平面巳匚口 E 平面心、］，平面E.匚DE I平面2三匚EC：,E匚AC，所以2匚平面BCDE，又因为EL ■平面吕匚DE,所以也匚EE.(2)由(1) 平面巳〔HF,二F •平面巳匚匕F,所以空匚CE.又因为巳匸£匚，平面ACE I平面A5C = AC，所以/' RC.F是平面ER匸与平面巳2匚所成的二面角的平面角，即/ ECE = 45:.因为巳F 二匚，-二F：F,所以巳E 平面九匸F.所以&.E是AE与平面匚匕所成的角.因为在RtiACE中，巳E — E•匸引门」5 - 3- 2，所以在RtAR.'XF 中，。

河北省衡水中学2017年高考数学猜题卷理(含解析)

2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（）A．2 B．C．D．4．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C 的焦距等于（）A．2 B．2 C．4 D．45．若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（）A．B．C．D．或6．已知，则tan2α=（）A．B．C．D．7．《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（）A．4 B．5 C．7 D．118．如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（）A．B．C．D．10．在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（）A．（﹣0.4，﹣0.3）B．（﹣0.2，﹣0.1）C．（﹣0.3，﹣0.2）D．（0.4，0.5）11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（）A． B． C．D．12．已知函数f（x）=﹣，若对任意的x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2时，[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣e2，e2]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则的值是．14．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有种．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为．16．已知等腰直角△ABC的斜边BC=2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B﹣AD﹣C为，则四面体ABCD的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点．（I）求证：BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）（1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列（表二）（参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d）20．给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；（2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|，a∈R（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围．2017年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】解出集合Q，再根据P⊆Q，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合P的个数；【解答】解：集合Q={x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，∴Q={0，1，2}，共有三个元素，∵P⊆Q，又Q的子集的个数为23=8，∴P的个数为8，故选D；2．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==i﹣2的虚部为1．故选：B．3．某样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（）A．2 B．C．D．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据平均数公式先求出a，再计算它们的方差．【解答】解：设丢失的数据为a，则这组数据的平均数是×（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，根据方差计算公式得s2=×[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故选：A．4．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C 的焦距等于（）A．2 B．2 C．4 D．4【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C5．若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（）A．B．C．D．或【考点】7C：简单线性规划．【分析】依题意，三条直线围成一个直角三角形，可能会有两种情形，分别计算两种情形下三角形的顶点坐标，利用三角形面积公式计算面积即可．【解答】解：有两种情形：（1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直，则k=﹣，三角形的三个顶点为（0，0），（0，1），（，），三角形的面积为s=×1×=；（2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直，则k=0，三角形的三个顶点为（0.0），（0，1），（，1），三角形的面积为s=×1×=．∴该三角形的面积为或．故选：D．6．已知，则tan2α=（）A．B．C．D．【考点】GU：二倍角的正切．【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】解：∵，∴，化简得4sin2α=3cos2α，∴，故选：C．7．《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m的值为35，则输入的a的值为（）A．4 B．5 C．7 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，求出运算结果即可．【解答】解：起始阶段有m=2a﹣3，i=1，第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9，i=2，第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21，i=3，第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45，i=4，第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93，跳出循环，输出m=32a﹣93=35，解得a=4，故选：A8．如图所示，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AE|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．故选C．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的四个三视图，可知四个三视图，分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥，但其中有一个是错误的，根据A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，可得A，C均正确，而根据AC可判断B正确，D错误．【解答】解：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；且四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边分别为1，2的棱锥A与C中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故A，C表示同一棱锥设A中观察的正方向为标准正方向，以C表示从后面观察该棱锥B与D中俯视图正好旋转180°，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故B，D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，根据B中正视图与A中侧视图相同，侧视图与C中正视图相同，可判断B是从左边观察该棱锥故选D10．在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（）A．（﹣0.4，﹣0.3）B．（﹣0.2，﹣0.1）C．（﹣0.3，﹣0.2）D．（0.4，0.5）【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由题意求得cosA=﹣，再由余弦定理，得出关于﹣的方程，构造函数，利用函数零点的判断方法得出cosA的取值范围．【解答】解：△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，∴c=b=2，﹣acosA=1，cosA=﹣＜0，且4＞a＞2；由余弦定理得，cosA==，∴﹣=，化为：8•﹣8•+1=0，令﹣=x∈（﹣，﹣），则f（x）=8x3﹣8x2+1=0，∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0，f（﹣0.3）=0.064＞0，∴cosA∈（﹣0.4，﹣0.3）．故选：A．11．已知符号函数sgn（x）=，那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）的大致图象是（）A． B． C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1，可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），利用排除法即可得到答案．【解答】解：令f（x）=x3﹣3x2+x+1，则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+），∴f（，1）=0，f（1﹣）=0，f（1+）=0，∵sgn（x）=，∴sgn（f（1））=0，可排除A，B；又sgn（f（1﹣））=0，sgn（f（1﹣））=0，可排除C，故选D．12．已知函数f（x）=﹣，若对任意的x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2时，[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣e2，e2]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增，分类讨论，根据函数的性质及对勾函数的性质，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：由任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0，则函数y=丨f（x）丨单调递增，当a≥0，f（x）在[1，2]上是增函数，则f（1）≥0，解得：0≤a≤，当a＜0时，丨f（x）丨=f（x），令=﹣，解得：x=ln，由对勾函数的单调递增区间为[ln，+∞），故ln≤1，解得：﹣≤a＜0，综上可知：a的取值范围为[﹣，]，故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则的值是（）2018．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理，对等式中的x赋值﹣2，可求得a0=0，再令x=，即可求出答案．【解答】解：∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018，∴令x=﹣2，得a0=0再令x=﹣，得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018，∴=，故答案为：（）2018，14．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有18 种．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、对于A、B、C区域，将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，由排列数公式可得其排法数目，②、对于D、E区域，分2种情况讨论：若A，E种的植物相同，若A，E种的植物不同；由加法原理可得D、E区域的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、对于A、B、C区域，三个区域两两相邻，种的植物都不能相同，将3种不同的植物全排列，安排在A、B、C区域，有A33=6种情况，②、对于D、E区域，分2种情况讨论：若A，E种的植物相同，则D有2种种法，若A，E种的植物不同，则E有1种情况，D也有1种种法，则D、E区域共有2+1=3种不同情况，则不同的种法共有6×3=18种；故答案为：18．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为8 ．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f （x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f （x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．16．已知等腰直角△ABC的斜边BC=2，沿斜边的高线AD将△ABC折起，使二面角B﹣AD﹣C为，则四面体ABCD的外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意，△BCD是等边三角形，边长为1，外接圆的半径为，AD=1，可得四面体ABCD的外接球的半径==，即可求出四面体ABCD的外接球的表面积．【解答】解：由题意，△BCD是等边三角形，边长为1，外接圆的半径为，∵AD=1，∴四面体ABCD的外接球的半径==，∴四面体ABCD的外接球的表面积为=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，∴S n==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时，T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，T n=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．18．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点．（I）求证：BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．（II）以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面BEF的一个法向量，平面BCF的一个法向量，设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，利用数量积求解即可．【解答】解：（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点．因为F为DE的中点，所以OF∥BE．因为BE⊄平面ACF，OF⊂平面AFC，所以BE∥平面ACF．（II）因为AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD．因为ABCD为正方形，所以CD⊥AD．因为AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，所以CD⊥平面DAE．因为DE⊂平面DAE，所以DE⊥CD．所以以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）．因为AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，所以AE⊥CD．因为AE=DE=2，所以．因为四边形ABCD为正方形，所以，所以．由四边形ABCD为正方形，得==（2，2，2），所以．设平面BEF的一个法向量为=（x1，y1，z1），又知=（0，﹣2，﹣2），=（1，0，0），由，可得，令y1=1，得，所以．设平面BCF的一个法向量为=（x2，y2，z2），又知=（﹣2，0，﹣2），=（1，﹣2，0），由，即：．令y2=1，得，所以．设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，又cos===．则．所以平面BCF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）（1）完成表格一中的空位①﹣④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二，并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列（表二）（参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d）【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BL：独立性检验．【分析】（1）由频率分布表的性质能完成表（一），从而能完成频率分布直方图，进而求出30岁以下频率，由此以频率作为概率，能估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格，求出K2=≈4.04＜5.024，从而得到没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：10×0.2=2人，50岁以下人数ξ的取值可能0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．【解答】解：（1）完成表（一），如下表：完成频率分布直方图如下：30岁以下频率为：0.1+0.15+0.25=0.5，以频率作为概率，估计2017年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为：12000×0.5=6000．（2）完成表格，如下：K2==≈4.04＜5.024，所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：10×0.2=2人，50岁以下人数ξ的取值可能0，1，2P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．∴ξ的分布列为：20．给定椭圆C： =1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆的标准方程及其即可得出；（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x的一元二次方程，利用直线与椭圆相切⇔△=0，即可解得k的值，进而利用垂直与斜率的关系即可证明；（ii）分类讨论：l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，无论两条直线中的斜率是否存在，都有l1，l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4的直径．【解答】（Ⅰ）解：∵椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到F的距离为．∴，，∴=1，∴椭圆方程为，∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明：（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵，∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：，当l1：时，l1与准圆交于点，此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，∴由得．由△=0化简整理得，∵，∴有．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值；（2）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；54：根的存在性及根的个数判断；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数，利用f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，列出方程组求解a，b．（2）通过a=0，a＜0，判断方程的解．a＞0，求出函数的导数判断函数的单调性，求出极小值，分析出当a∈[0，e）时，方程无解；当a＜0或a=e时，方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．【解答】解：（1）因为：（x＞0），又f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b所以解得：a=2，b=﹣2ln2…（2）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；…当a＜0时，在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．∵，，所以方程有惟一解．…当a＞0时，因为当时，f'（x）＞0，f（x）在内为减函数；当时，f（x）在内为增函数．所以当时，有极小值即为最小值…当a∈（0，e）时，，此方程无解；当a=e时，．此方程有惟一解．当a∈（e，+∞）时，，因为且，所以方程f（x）=0在区间上有惟一解，因为当x＞1时，（x﹣lnx）'＞0，所以x﹣lnx＞1，所以，，因为，所以，所以方程f（x）=0在区间上有惟一解．所以方程f（x）=0在区间（e，+∞）上有惟两解．…综上所述：当a∈[0，e）时，方程无解；当a＜0或a=e时，方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．…[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；O7：伸缩变换．（I）直线l的参数方程消去数t，能求出直线l的一般方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，【分析】ρ2=x2+y2，能求出曲线C的直角坐标方程，由圆心（2，3）到直线l的距离d=r，得到直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换，得到曲线E的方程为，从而点M的参数方程为（θ为参数），由此能求出的取值范围．【解答】解：（I）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴消去数t，得直线l的一般方程为，∵曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12，∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，得曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．∵圆心（2，3）到直线l的距离d==r，∴直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换，得到曲线E的方程为，则点M的参数方程为（θ为参数），∴，∴的取值范围为[﹣2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|，a∈R（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立，求实数m的取值范围．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式，然后解绝对值不等式，根据绝对值不等式的解法解之即可；（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式的解法去绝对值，然后利用图象研究函数的最小值，使得1﹣2m大于等于不等式左侧的最小值即可．【解答】解：（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3，2≤x≤8，∴解集为{x|2≤x≤8}；（II）当a=1时，f（x）=|x﹣1|，令，由图象知：当时，g（x）取得最小值，由题意知：，∴实数m的取值范围为．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

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