【数学】2017-2018年宁夏石嘴山三中高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

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数学---宁夏石嘴山市第三中学2017届高三上学期期中考试(文)

宁夏石嘴山市第三中学2017届高三上学期期中考试（文）一、选择题（每题四个选项中只有一个正确，每小题5分，共60分） 1.复数i1iz =-（i 是虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{}{}260,2x M x x x N y y M N =+-<==⋂=，则（） A. ()0,2B. [)0,2C. ()0,3D. [)0,33.已知某篮球运动员2016年度参加了25场比赛，从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图1所示，则该样本的方差为（） A.25B.24C.18D.164.已知命题:R,sin p x x a ∃∈＞，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为（） A.1＜a B.1≤a C.1=a D.1≥a5．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足20 00x y x y y k ≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩＋，－，，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．06. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( ) A ．108 cm 3 B ．100 cm 3 C ．92 cm 3 D ．84 cm 37．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为（） A ．22 B ．16 C ．15 D ．118. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A.1升B.升C.升D.升9.直线()0,0022>>=+-b a by ax ，被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为（） A ．41 B ．2 C ．21D ．410.已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）A.6B.7C.8D.911.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（）B．1C．1D．2+12. 函数(){}2,min-=x x x f ,其中,若动直线与函数的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为、、,则的取值范围是（）A ．()32，B ．()43，C ．()54，D ．()65，二、填空题：（每题5分，共20分）13.已知,lg ,24a x a==则x =________.14.等比数列的各项均为正数，且，则________．15.抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为36π，则p = ．16.在四面体S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，SA =AC =2，AB =1，则该四面体的外接球的表面积为．三、解答题：（共6道题，满分70分）A B C 221x y +=AB BC ⊥P (2,0)PA PB PC ++{}n a 154a a =2122232425log +log +log +log +log =a a a a a17.（本小题满分12分）如图△ABC 中，已知点D 在BC 边上，且（1）求AD 的长， (2)求cos C .18.如图，四面体中，、分别的中点，，．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．19.为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10．规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：0,sin 3AD AC BAC ⋅=∠=AB BD ==ABCD O E BD BC 2CA BC CD BD ====AB AD ==AO ⊥BCD E ACD（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（2）用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率．20．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．21.（本小题满分12分）已知函数2()ln(1)1f x p x p x=+-+.625.0（1）讨论函数的单调性；（2）当时，()f x kx ≤恒成立，求实数的取值范围；（3111请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号.22.如图，已知AD ，BE ，CF 分别是△ABC 三边的高，H 是垂心，AD 的延长线交△ABC 的外接圆于点G ．求证：DH =DG ．23.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2cos θ，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t(t 为参数)与曲线C 相交于M ，N两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)证明|PM |，|MN |，|PN |成等比数列．选修4—5：不等式选讲24、设函数1()11()2f x x x x R =++-∈的最小值为a ．（1）求a ；（2）已知两个正数,m n 满足22,m n a +=求11m n+的最小值．参考答案一、选择题二、填空题 13.1014.5 15.8 16.三、解答题 17.(1)3(2)36 18.（1）证明：连结．∵，，∴． ∵，，∴．在中，由已知可得，，而，∴，∴，即．，∴平面．（2）解：设点到平面的距离为． ∵，∴，在△ACD 中，CA =CD =2，AD =，∴，而，，∴，∴点E 到平面ACD 的距离为．19.解：（1）6条道路的平均得分为∴该市的总体交通状况等级为合格．（2）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”OC BO DO =AB AD =AO BD ⊥BO DO =BC CD=CO BD ⊥AOC ∆1AO=CO =2AC =222AO CO AC +=90AOC ∠=AO OC ⊥BD OC O = AO ⊥BCD E ACD h A ACD A CDE V V --=1133ACD CDES h S AO ∆∆⋅=⋅212ACDS ∆==1AO =2122CDE S ∆==17CDE ACDAO S h S ∆∆⋅===7215.7)1098765(61=+++++A 5.0从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共个基本事件事件包括,,,,,,共个基本事件．…10分 ∴．答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为． 20.解：（1）设点M 的坐标为（x ，y ），点P 的坐标为（x 0，y 0），则x =x 0，y =2y 0，所以x 0=x ，y 0=，①因为P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=1上，所以x 02+y 02=1②，将①代入②，得点M 的轨迹方程C 的方程为x 2+=1；…（2）由题意知，|t |≥1，设切线l 的方程为y =kx +t ，k ∈R ，由，得（4+k 2）x 2+2ktx +t 2﹣4=0③，设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由③得：x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又直线l 与圆x 2+y 2=1相切，得=1，即t 2=k 2+1，∴|AB |===，又|AB |==≤2，且当t =±时，|AB |=2，综上，|AB |的最大值为2，62)6,5()7,5()8,5()9,5()10,5()7,6()8,6()9,6()10,6()8,7()9,7()10,7()9,8()10,8()10,9(15A )9,5()10,5()8,6()9,6()10,6()8,7()9,7(7157)(A P 5.0157依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．21.（本小题满分12分）解：（1）的定义域为（0，+∞），p 时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；当1当时，＜0，故在（0，+∞）单调递减；当0＜＜1时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调递增，在单调递减（2）因为，所以p=时，恒成立当1令，则,因为，由得，且当时，；当时，.所以在上递增，在上递减.所以，故（3）由（2）知当时，有，当时，即，令，则，即所以，，…，，相加得而所以，22、解：连结CG ，∵AD ⊥BC ，∴∠ABC +∠GAB =90°同理可得∠ABC +∠FCB =90°，从而得到∠GAB =∠FCB =90°﹣∠ABC 又∵∠GAB 与∠GCB 同对弧BG ， ∴∠GAB =∠GCB ，可得∠GCB =∠FCB ， ∵CD ⊥GH ，即CD 是△GCH 的高线∴△CHG 是以HG 为底边的等腰三角形，可得DH =DG ．23.解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2cos θ，得y 2＝2x由⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t(t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2x ，x －y －2＝0.(2)证明将⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2x ，整理得t 2－102t ＋40＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t1＋t2＝102，t1·t2＝40，∵|MN|2＝(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝40 |PM|·|PN|= t1·t2＝40，∴|MN|2==PM|·|PN| ∴|PM|，|MN|，|PN|成等比数列……10分24、解：（1）函数3-,2211()11=2,21 223,12x xf x x x x xx x⎧≤-⎪⎪⎪=++--+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，当x∈（﹣∞，1]时，f（x）单调递减当x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=1时，f（x）的最小值a=32．（2）由（1）知m2+n2=32，由m2+n2≥2mn，得mn≤34，∴≥43故有+≥2≥43，当且仅当m=n=3时取等号．所以+的最小值为43．。

宁夏石嘴山市第三中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

石嘴山市第三中学2017-2018学年度高一第一学期期中考试数学试卷总分：150分时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知函数的定义域为集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数y=lgx中，x＞0，即A=（0，+∞），∵集合B={x|x2-x≤0}={x|0≤x≤1}=[0，1]，∴A∩B=（0，1]．故选：D．2. 下列各组函数是同一函数的是（）①与；②f(x)=x与；③与；④与。

A. ②④B. ③④C. ②③D. ①④【答案】B【解析】对于①，∵与（x≤0）对应关系不同，不是同一函数；对于②，f（x）=x值域为R，，值域为，故不是同一个函数；对于③f（x）=的定义域，=1的定义域，对应关系也相同，是同一函数，故正确．对于④f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；故正确．3. 若在区间（4，+）上是增函数，那么实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】二次函数f（x）=x2+2（a-1）x+2是开口向上的二次函数，对称轴为x=1-a，∴二次函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在[1-a，+∞）上是增函数，∵在区间（4，+∞）上是增函数，∴1-a≤4，解得：a≥-3．故选B．4. 已知幂函数的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（）A. 函数图象经过点（﹣1，1）B. 当x∈[﹣1，2]时，函数的值域是[0，4]C. 函数满足=0D. 函数的单调减区间为（﹣∞，0]【答案】C5. 函数的定义域为（）A. （﹣∞，2）B. （﹣1，2）C. （1，2）D. （2，+∞）【答案】C【解析】由题意得：解得：1＜x＜2，故选：C．6. 若奇函数在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[-3,-1]上（）A. 是减函数，有最小值0B. 是增函数，有最小值0C. 是减函数，有最大值0D. 是增函数，有最大值0【解析】由奇函数的性质，因为奇函数在上为增函数，所以奇函数在上为增函数，又奇函数在上有最小值，所以奇函数在上有最大值，故选D.7. 已知，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以可得，故选择C考点：比较大小8. 已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以=所以=f（-2）=3−2＝故选A9. 设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（）A. [0,1]B. [1,2]C. [－2，－1]D. [－1,0]【答案】D【解析】试题分析：函数f（x）在区间[a，b]上有零点，需要f（x）在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f（a）f（b）≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D．考点：零点存在定理10. 某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是，则该沙漠地区在该时段的最大温差是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】轴为,所以在递增,在递减;所以,所以在该时段的最大温差是43-(-21)=64故选C点睛：本题考查了二次函数在闭区间上的最值，由轴与区间的位置关系判断函数的单调性求出最大值最小值即得解.11. 已知幂函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵幂函数的定义域为{x|x＞0}，在（0，+∞）上单调递减．∴若f（a+1）＜f（10-2a），则解得3＜a＜5，即a的取值范围是（3，5）．故选C：．点睛：本题主要考查幂函数的性质，根据幂函数的单调性解不等式是解决本题的关键，注意定义域的限制.12. 若是偶函数，且当∈[0，＋∞)时，，则的解集是( )A. (－1,0)B. (－∞，0)∪(1,2)C. (1,2)D. (0,2)【答案】D【解析】根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图．把函数f(x)向右平移1个单位，得到函数f(x－1)，如图，则不等式f(x－1)<0的解集为(0,2)，选D.第II卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 函数（的图象必定经过的点坐标为_______________.【答案】（2,1）【解析】令x-1=1，解得x=2，求得y=1，故函数的图象经过定点（2，1），故答案为（2，1）．14. 函数y=的值域是__________.【答案】【解析】令,则.所以.函数y=的值域是.点睛：通过整体换元，将函数化为简单初等函数是常用的一种求值域的方法，本题中注意指数函数的图象是以x轴为渐近线的，容易被学生忽视.15. 已知是上的增函数，那么的取值范围是___________【答案】【解析】因为是上的增函数，所以故答案为点睛：本题根据分段函数的单调性，求实数a的取值范围，着重考查了基本初等函数单调性的知识点，注意限制分界点处两个函数值的大小关系.16. 下列各式：（1）; （2）已知，则；（3）函数的图象与函数的图象关于y轴对称；（4）函数的定义域是R，则m的取值范围是;（5）函数的递增区间为.正确的．．．有______________________.【答案】（1）（3）(4)【解析】对于（1），正确；对于（2），当时，则1＞或a＞1，命题错误；对于（4），函数的定义域是R，则mx2+mx+1≥0恒成立，当m=0时，1≥0成立；当时，解得0＜m≤4，所以m的取值范围是0≤m≤4，命题正确；对于（5），令＞0，解得0＜x＜1，且二次函数的对称轴是x=，所以函数的递增区间为（0，]，命题错误．综上，正确的命题是（1）、（3）、（4）．三、解答题（共70分）17. 计算下列各式的值：（Ⅰ）设，求的值；（Ⅱ）．【答案】(1)14;(2)-1.【解析】试题分析：（Ⅰ）本题考查了指数幂的运算，对给出的式子进行平方处理即得解（Ⅱ）利用对数运算性质，log a M+log a N=log a MN及换底公式进行化简即得解.试题解析：（Ⅰ）因为所以即; 则.（Ⅱ）,.18. 已知集合，.（Ⅰ）分别求（Ⅱ）已知集合，求实数的取值范围【答案】(1)(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）解指数不等式和对数不等式求出集合A，B，结合集合的交集，交集，补集运算的定义，可得答案．（Ⅱ）分C=和C≠两种情况，分别求出满足条件的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案试题解析：（Ⅰ）集合（Ⅱ）集合当时，，满足条件；当时，，则，即，综上所述，.19. 已知函数（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）判断的奇偶性。

2018年宁夏石嘴山三中高考数学三模试卷(文科)

2018年宁夏石嘴山三中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知U =R ．设集合A ={x|x −1>0}，集合B ={x|x ≤3}，则∁U (A ∩B)=( ) A.{x|1<x ≤3} B.{x|x ≤1或x >3} C.{x|x <1或x ≥3} D.{x|x <1或x >3} 【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求解不等式化简集合A ，由交集运算性质求出A ∩B ，则∁U (A ∩B)可求．【解答】∵ U =R ，集合A ={x|x −1>0}={x|x >1}，集合B ={x|x ≤3}， ∴ A ∩B ={x|x >1}∩{x|x ≤3}={x|1<x ≤3}， ∴ ∁U (A ∩B)={x|x ≤1或x >3}．2. 已知复数z =m+i 1+i(m ∈R)为纯虚数，则m ＝（）A.1B.−1C.2D.−2【答案】 B【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】 ∵ z =(m+i)(1−i)(1+i)(1−)=(m+1)+(1−m)i2为纯虚数，∴m+12=0，1−m 2≠0，则m ＝−1．3. 设不等式组{0≤x ≤50≤y ≤5 确定的平面区域为D ，在D 中任取一点P(x, y)满足x +y ≥2的概率是（） A.1112B.56C.2125D.2325【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】结合图象求出面积的比值从而求出满足条件的概率即可．【解答】画出满足条件{0≤x ≤50≤y ≤5 的平面区域，如图示：，S △ODE =2，S 四边形OABC =25，故满足条件的概率p =25−225=2325，4. 已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →+CB →=0，则OC →等于（） A.2OA →−OB →B.−OA →+2OB →C.23OA →−13OB →D.−13OA →+23OB →【答案】A【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用【解答】∵ 依题OC →=OB →+BC →=OB →+2AC →=OB →+2(OC →−OA →)． ∴ OC →=2OA →−OB →．5. 函数y =xln|x|的部分图象大致为（） A.B.C.D.【答案】C【考点】函数的图象变化利用导数研究函数的单调性【解析】利用函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数，判断函数的单调性，推出结果即可．【解答】解：函数y=xln|x|是奇函数，排除选项B，当x>0时，函数y=xlnx的导数为：y′=lnx+1，．可得函数的极值点x=1e)，y′<0，并且x∈(0, 1e函数是减函数，且y=xlnx没有零点，,+∞)，y′>0，函数是增函数，x∈(1e所以函数的图象是C．故选C.6. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A.8日 B.9日 C.12日 D.16日【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】通过已知条件转化为两个等差数列的前n项和为定值问题，进而计算可得结论．【解答】由题可知，良马每日行程a n构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n构成一个首项为97，公差为−0.5的等差数列，则a n＝103+13(n−1)＝13n+90，b n＝97−0.5(n−1)＝97.5−0.5n，则数列{a n}与数列{b n}的前n项和为1125×2＝2250，又∵数列{a n}的前n项和为n2×(103+13n+90)=n2×(193+13n)，数列{b n}的前n项和为n2×(97+97.5−0.5n)=n2×(194.5−12n)，∴n2×(193+13n)+n2×(194.5−12n)＝2250，整理得：25n2+775n−9000＝0，即n2+31n−360＝0，解得：n＝9或n＝−40（舍），即九日相逢．7. 执行下面的程序框图，如果输入a=1，b=1，则输出的S=()A.54B.33C.20D.7【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】如果输入a=1，b=1，当k=0时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=2，a=2，b=3，k=2；当k=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=7，a=5，b=8，k=4；当k=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后：S=20，a=13，b=21，k=6；当k=6时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为20，8. 一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为（）A.1 3B.23C.1D.43【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=12×1×1=12，棱锥的高ℎ=2，故棱锥的体积V=13Sℎ=13，9. 已知sin(π3−1pℎa)=14，则cos(π3+21pℎa)=()A.5 8B.−78C.−58D.78【答案】B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用诱导公式和二倍角公式即可计算．【解答】由sin(π3−1pℎa)=14，可得：cos（1pℎa+π6）＝sin[π2−(π3−1pℎa)]=14．那么：cos(π3+21pℎa)=cos2(π6+1pℎa)＝2cos2（1pℎa+π6）−1＝2×116−1=−78．10. 某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师不是福州人，也不是广州人．听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师（）A.一定是南昌人B.一定是广州人C.一定是福州人D.可能是上海人【答案】D【考点】合情推理的作用【解析】依次按A、B、C、D选项进行假设，结合题意进行分析，能求出正确选项．【解答】解：在A中，若胡老师是南昌人，则甲说对了一半，乙说的全对，丙说的也全对；在B中，若胡老师是广州人，则甲说对了一半，乙说对了一半，丙说对了一半；在C中，若胡老师是福州人，则甲全说对了，乙说的全不对，丙说对了一半；在D中，若胡老师是上海人，则甲说的全不对，乙说对了一半，丙全说对了.所以胡老师可能是福州人，也可能是上海人.故选D.11. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0, 2)，则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【答案】C【考点】抛物线的标准方程【解析】根据抛物线方程算出|OF|=p2，设以MF为直径的圆过点A(0, 2)，在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=√4+p24．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px(p>0)，∴焦点F(p2, 0)，如图：设M(x, y)，由抛物线性质|MF|=x+p2=5，可得x=5−p2，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为5−p2 +p22=52，由已知圆半径也为52，据此可知该圆与y轴相切于点(0, 2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M(5−p2, 4)，代入抛物线方程得p 2−10p +16=0，所以p =2或p =8．所以抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x ．故选C ．12. 已知|a →|=2|b →|,|b →|≠0，且关于x 的函数f(x)=13x 3+12|a →|x 2+a →∗b →x 在R 上有极值，则a →与b →的夹角范围为（） A.[0,π6) B.(π6,πbrackC.(π3,2π3brackD.(π3,πbrack【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据函数在实数上有极值求出导函数，使得导函数等于零有解，即一元二次方程有解，判别式大于零，得到 b →的模与两向量数夹角余弦值的不等关系，求出角的范围．【解答】因为|a →|=2|b →|,|b →|≠0，且关于x 的函数f(x)=13x 3+12|a →|x 2+a →∗b →x =13x 3+|b →|x 2+2|b →|2cosθ∗x 在R 上有极值，所以f ′(x)=x 2+2|b →|x +2|b →|2cosθ=0在R 上有不等实根，所以判别式△=4|b →|2−8|b →|2cosθ>0，所以cosθ<12，所以θ∈(π3, π]；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.若log a 2=m ，log a 3=n ，a 2m+n =________．【答案】 12【考点】对数的运算性质【解析】由题设条件先求出a m =2，a n =3，再由a 2m+n =(a m )2⋅a n 能够导出a 2m+n 的值．【解答】∵ log a 2=m ，log a 3=n ， ∴ a m =2，a n =3，∴ a 2m+n =(a m )2⋅a n =22⋅3=12．设F 1、F 2是双曲线x 2−y 224=1的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________．【答案】24【考点】双曲线的特性【解析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】双曲线x2−y224=1的两个焦点F1(−5, 0)，F2(5, 0)，|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=43x，由双曲线的性质知43x−x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90∘，∴△PF1F2的面积=12×8×6=24．三棱锥S−ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠B=60∘，SA=2√5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】256π3【考点】球的体积和表面积【解析】该三棱锥的外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的直三棱锥的外接球，利用正弦定理求出r，然后求解球的半径，即可得到球的表面积．【解答】由余弦定理得，AC=√AB2+BC2−2AB∗BC∗cos60∘=7，该三棱锥的外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的直三棱锥的外接球，∵在△ABC中，设△ABC的外接圆半径为r，则ACsin60=2r，∴r=√3，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=√5，∴球的半径R=√5+493=√643．∴该三棱锥的外接球的表面积为4π×643=256π3．定义在实数集R上的奇函数f(x)满足：f(x+2)=f(x)，且当x∈[−1, 1]时，f(x)= x，则下列四个命题：①f(2018)=0；②函数f(x)的最小正周期为2；③当x∈[−2018, 2018]时，方程f(x)=12有2018个根；④方程f(x)=log5|x|有5个根．其中真命题的序号为________【答案】①②③④【考点】命题的真假判断与应用【解析】运用代换法可得f(x+2)=f(x)，可得f(x)的最小正周期为2，计算f(2018)，由对称性作出f(x)的图象，以及直线f(x)=12，f(x)=log5|x|的图象，找出它们的交点个数，即可得到真命题的个数．【解答】定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，可得f(x)的最小正周期为2，且当x∈[−1, 1]时，f(x)=x，f(2018)=f(1008×2)=f(0)=0；由f(x+2)=f(x)，可得f(x)的图象关于直线x=1对称，作出y=f(x)的图象，作出f(x)=12可得在[−2016, −2014]，[−2012, −2010]，…，[−4, −2]，[0, 2]，[4, 6]，…，[2016, 2018]，y=f(x)和f(x)=12的图象各有2个交点，共有2×1009=2018个根；作出y=log5|x|的图象，可得共有6个交点，可得方程f(x)=log5|x|有6个根，则①②③④正确．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n−1，其中n∈N∗．( I)求数列{a n}的通项公式；( II)设b n=1+log3a n，求数列{a n b n}的前n项和T n．【答案】（I）∵数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n−1，其中n∈N∗，∴S n=32a n−12(n∈N∗)，①当n=1时，S1=32a1−12，解得a1=1，当n≥2时，S n−1=32a n−1−12，②①-②，得：a n=32a n−32a n−1，∴a n=3a n−1(n≥2)又∵a1=1，a2=3，∴a n+1a n=3对n∈N∗都成立，∴{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n=3n−1(n∈N∗)．(II)∵b n=1+log3a n，a n=3n−1，∴b n=n,a n b n=n∗3n−1，∴数列{a n b n}的前n项和：T n=1+2∗3+3∗32+⋯+n∗3n−1，∴3T n=3+2∗32+3∗33⋯+n∗3n，∴−2T n=1+3+32+⋯+3n−1−n∗3n=(12−n)3n−12，∴T n=(2n−1)3n4+14．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（I）由2S n=3a n−1，求出a1=1，a n=32a n−32a n−1，推导出{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．(II)由a n=3n−1，得b n=n,a n b n=n∗3n−1，由此利用错位相减法能求出数列{a n b n}的前n项和．【解答】（I）∵数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n−1，其中n∈N∗，∴S n=32a n−12(n∈N∗)，①当n=1时，S1=32a1−12，解得a1=1，当n≥2时，S n−1=32a n−1−12，②①-②，得：a n=32a n−32a n−1，∴a n=3a n−1(n≥2)又∵a1=1，a2=3，∴a n+1a n=3对n∈N∗都成立，∴{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n=3n−1(n∈N∗)．(II)∵b n=1+log3a n，a n=3n−1，∴b n=n,a n b n=n∗3n−1，∴数列{a n b n}的前n项和：T n=1+2∗3+3∗32+⋯+n∗3n−1，∴3T n=3+2∗32+3∗33⋯+n∗3n，∴−2T n=1+3+32+⋯+3n−1−n∗3n=(12−n)3n−12，∴T n=(2n−1)3n4+14．唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国当代陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史，某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得其重量（单位：kg）数据，将数据分组如表：（1）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[2.20, 2.30）的中点值是2.25)作为代表．据此，估计这100个数据的平均值；（2）根据样本数据，以频率作为槪率，若该陶瓷厂生产这样的工艺品5000件，试估计重量落在[2.40, 2.70)中的件数；（3）从第一组和第六组6件工艺品中随机抽取2个工艺品，求一个来自第一组，一个来自第六组的概率．【答案】这100个数据的平均值约为：2.25×0.04+2.35×0.26+2.45×0.30+2.55×0.28+2.65×0.10+2.75×0.02=2.47．重量落在[2.40, 2.70)中的概率约为0.30+0.28+0.10=0.68，所以某陶瓷厂生产这样的工艺品5000件中，估计重量落在[2.40, 2.70)中的件数估计为：5000×0.68=3400（件）记第一组的4件工艺品为A1，A2，A3，A4，第六组2件工艺品为B1，B2，从中抽取两件共有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，B1B2共有15种取法，其中分别来自第一第六组的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，共有8种，∴一个来自第一组，一个来自第六组的概率为p=8．15【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（1）利用频率分布表能求出这100个数据的平均值．（2）重量落在[2.40, 2.70)中的概率约为0.68，由此能求出某陶瓷厂生产这样的工艺品5000件中，估计重量落在[2.40, 2.70)中的件数．（3）记第一组的4件工艺品为A1，A2，A3，A4，第六组2件工艺品为B1，B2，从中抽取两件，利用列举法能求出一个来自第一组，一个来自第六组的概率．【解答】这100个数据的平均值约为：2.25×0.04+2.35×0.26+2.45×0.30+2.55×0.28+2.65×0.10+2.75×0.02=2.47．重量落在[2.40, 2.70)中的概率约为0.30+0.28+0.10=0.68，所以某陶瓷厂生产这样的工艺品5000件中，估计重量落在[2.40, 2.70)中的件数估计为：5000×0.68=3400（件）记第一组的4件工艺品为A1，A2，A3，A4，第六组2件工艺品为B1，B2，从中抽取两件共有：A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，A 4B 1，A 4B 2，A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4， A 2A 3，A 2A 4，A 3A 4，B 1B 2共有15种取法，其中分别来自第一第六组的有：A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，A 4B 1，A 4B 2，共有8种，∴ 一个来自第一组，一个来自第六组的概率为p =815．将棱长为a 的正方体截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点．(Ⅰ)证明：AF ⊥平面DD 1E ； (Ⅱ)求点E 到平面AFD 1的距离．【答案】证明：(Ⅰ)∵ D 1D ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， ∴ D 1D ⊥AF ，∵ 点E ，F 分别是BC ，D 1C 的中点，∴ DF =CE ，又∵ AD =DC ，∠ADF =∠DCE =90∘， ∴ △ADF ≅△DCE ，∴ ∠AFD =∠DEC ，又∵ ∠CDE +∠DEC =90∘， ∴ ∠CDE +∠AFD =90∘，∴ ∠DOF =180∘−(∠CDE +∠AFD)=90∘， ∴ AF ⊥DE ，又∵ D 1D ∩DE =D ，∴ AF ⊥平面D 1DE ． (Ⅱ)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，E(a 2, a, 0)，A(a, 0, 0)，F(0, a2, 0)，D 1(0, 0, a)， AE →=(−a2, a, 0)，AF →=(−a, a2, 0)，AD 1→=(−a, 0, a)，设平面AFD 1的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗AD 1→=−ax +az =0n →∗AF →=−ax +a2y =0 ，取x =1，得n →=(1, 2, 1)， ∴ 点E 到平面AFD 1的距离d =|n →∗AE →||n →|=32a √6=√64a ．【考点】直线与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】(Ⅰ)推导出D 1D ⊥AF ，△ADF ≅△DCE ，AF ⊥DE ，由此能证明AF ⊥平面D 1DE ． (Ⅱ)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E 到平面AFD 1的距离．【解答】证明：(Ⅰ)∵ D 1D ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， ∴ D 1D ⊥AF ，∵ 点E ，F 分别是BC ，D 1C 的中点，∴ DF =CE ，又∵ AD =DC ，∠ADF =∠DCE =90∘， ∴ △ADF ≅△DCE ，∴ ∠AFD =∠DEC ，又∵ ∠CDE +∠DEC =90∘， ∴ ∠CDE +∠AFD =90∘，∴ ∠DOF =180∘−(∠CDE +∠AFD)=90∘， ∴ AF ⊥DE ，又∵ D 1D ∩DE =D ，∴ AF ⊥平面D 1DE ． (Ⅱ)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，E(a2, a, 0)，A(a, 0, 0)，F(0, a2, 0)，D 1(0, 0, a)， AE →=(−a2, a, 0)，AF →=(−a, a2, 0)，AD 1→=(−a, 0, a)，设平面AFD 1的法向量n →=(x, y, z)，则{n →∗AD 1→=−ax +az =0n →∗AF →=−ax +a2y =0，取x =1，得n →=(1, 2, 1)， ∴ 点E 到平面AFD 1的距离d =|n →∗AE →||n →|=32a √6=√64a ．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x −√2y +6=0相切．(Ⅰ)求椭圆C 标准方程；(Ⅱ)已知点A ，B 为动直线y =k(x −2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使EA →⋅EB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ)由e =√63，得ca=√63，即c =√63a ，①以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2+y 2=a 2，此圆与直线2x −√2y +6=0相切，∴ a =√4+2=√6，代入①得c =2，∴ b 2=a 2−c 2=2，∴ 椭圆的方程为x 26+y 22=1．(Ⅱ)由{x 26+y 22=1y =k(x −2) ，得(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，∴ x 1+x 2=12k 21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k 2，根据题意，假设x 轴上存在定点E(m, 0)，使得EA →∗EB →为定值，则有EA →∗EB →=(x 1−m, y 1)⋅(x 2−m, y 2)=(x 1−m)⋅(x 2−m)+y 1y 2 =(x 1−m)(x 2−m)+k 2(x 1−2)(x 2−2)=(k 2+1)x 1x 2−(2k 2+m)(x 1+x 2)+(4k 2+m 2) =(k 2+1)⋅12k 2−61+3k 2−(2k 2+m)⋅12k 21+3k2+(4k 2+m 2) =(3m 2−12m+10)k 2+(m 2−6)3k 2+1，要使上式为定值，即与k 无关，则应有3m 2−12m +10=3(m 2−6)，即m =73，此时EA →∗EB →=m 2−6=−59为定值，定点为(73,0)．【考点】【解析】(Ⅰ)由e =√63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x −√2y +6=0相切，求出a ，b ，由此能求出椭圆的方程．(Ⅱ)由{x 26+y 22=1y =k(x −2) ，得(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使EA →⋅EB →为定值，定点为(73,0)．【解答】(Ⅰ)由e =√63，得c a=√63，即c =√63a ，①以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2+y 2=a 2，此圆与直线2x −√2y +6=0相切，∴ a =√4+2=√6，代入①得c =2，∴ b 2=a 2−c 2=2，∴ 椭圆的方程为x 26+y 22=1．(Ⅱ)由{x 26+y 22=1y =k(x −2) ，得(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，∴ x 1+x 2=12k 21+3k，x 1x 2=12k 2−61+3k ，根据题意，假设x 轴上存在定点E(m, 0)，使得EA →∗EB →为定值，则有EA →∗EB →=(x 1−m, y 1)⋅(x 2−m, y 2)=(x 1−m)⋅(x 2−m)+y 1y 2 =(x 1−m)(x 2−m)+k 2(x 1−2)(x 2−2)=(k 2+1)x 1x 2−(2k 2+m)(x 1+x 2)+(4k 2+m 2) =(k 2+1)⋅12k 2−61+3k 2−(2k 2+m)⋅12k 21+3k2+(4k 2+m 2) =(3m 2−12m+10)k 2+(m 2−6)3k 2+1，要使上式为定值，即与k 无关，则应有3m 2−12m +10=3(m 2−6)，即m =73，此时EA →∗EB →=m 2−6=−59为定值，定点为(73,0)．已知函数f(x)=ax 2−(a +2)x +lnx ．（1）当a =1时，求f(x)在区间[1, e]上的最小值；（2）若对任意x 1，x 2∈(0, +∞)，x 1<x 2，且f(x 1)+2x 1<f(x 2)+2x 2恒成立，求a 的取值范围．a=1时，f(x)=x2−3x+lnx，(x>0)，f′(x)=2x−3+1x =2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x≥0在[1, e]恒成立，故f(x)在[1, e]递增，故f(x)min=f(1)=−2；设g(x)=f(x)+2x，则g(x)=ax2−ax+lnx，只要g(x)在(0, +∞)上单调递增即可，而g′(x)=2ax2−ax+1x，当a=0时，g′(x)=1x>0，此时g(x)在(0, +∞)上单调递增；当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，因为x∈(0, +∞)，只要2ax2−ax+1≥0，则需要a>0，对于函数y=2ax2−ax+1，过定点(0, 1)，对称轴x=14>0，只需△=a2−8a≤0，即0<a≤8．综上0≤a≤8．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】(1)求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数再闭区间的最小值即可；(2)设g(x)=f(x)+2x，则g(x)=ax2−ax+lnx，只要g(x)在(0, +∞)上单调递增即可，从而可求a的取值范围．【解答】a=1时，f(x)=x2−3x+lnx，(x>0)，f′(x)=2x−3+1x =2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x≥0在[1, e]恒成立，故f(x)在[1, e]递增，故f(x)min=f(1)=−2；设g(x)=f(x)+2x，则g(x)=ax2−ax+lnx，只要g(x)在(0, +∞)上单调递增即可，而g′(x)=2ax2−ax+1x，当a=0时，g′(x)=1x>0，此时g(x)在(0, +∞)上单调递增；当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，因为x∈(0, +∞)，只要2ax2−ax+1≥0，则需要a>0，对于函数y=2ax2−ax+1，过定点(0, 1)，对称轴x=14>0，只需△=a2−8a≤0，即0<a≤8．综上0≤a≤8．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C 1:{x =−4+cost y =3+sint （t 为参数），C 2:{x =8cosθy =3sinθ （θ为参数）．(Ⅰ)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (Ⅱ)若C 1上的点P 对应的参数为t =π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3:ρ(cosθ−2sinθ)＝7距离的最小值．【答案】（1）曲线C 1:{x =−4+costy =3+sint （t 为参数），化为(x +4)2+(y −3)2＝1，∴ C 1为圆心是(−4, 3)，半径是1的圆． C 2:{x =8cosθy =3sinθ （θ为参数），化为x 264+y 29=1．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（2）当t =π2时，P(−4, 4)，Q(8cosθ, 3sinθ)，故M(−2+4cosθ,2+32sinθ)，直线C 3:ρ(cosθ−2sinθ)＝7化为x −2y ＝7，M 到C 3的距离d =√55|4cosθ−3sinθ−13|=√55|5sin(θ+φ)−13|，从而当cosθsinθ=45，sinθ=−35时，d 取得最小值8√55．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)曲线C 1:{x =−4+costy =3+sint （t 为参数），利用sin 2t +cos 2t ＝1即可化为普通方程；C 2:{x =8cosθy =3sinθ（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ＝1化为普通方程．(Ⅱ)当t =π2时，P(−4, 4)，Q(8cosθ, 3sinθ)，故M(−2+cosθ,2+32sinθ)，直线C 3:ρ(cosθ−2sinθ)＝7化为x −2y ＝7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】（1）曲线C 1:{x =−4+costy =3+sint （t 为参数），化为(x +4)2+(y −3)2＝1，∴ C 1为圆心是(−4, 3)，半径是1的圆． C 2:{x =8cosθy =3sinθ （θ为参数），化为x 264+y 29=1．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（2）当t =π2时，P(−4, 4)，Q(8cosθ, 3sinθ)，故M(−2+4cosθ,2+32sinθ)，直线C 3:ρ(cosθ−2sinθ)＝7化为x −2y ＝7，M 到C 3的距离d =√55|4cosθ−3sinθ−13|=√55|5sin(θ+φ)−13|，从而当cosθsinθ=45，sinθ=−35时，d 取得最小值8√55．[选修4-5：不等式选讲]f(x)=|x −a|+|2x +1|．（1）a =1，解不等式f(x)≤3；（2）f(x)≤2a +x 在[a, +∞)上有解，求a 的取值范围．【答案】由题意可得{x <−121−x −1−2x ≤3 或{−12≤x ≤11−x +2x +1≤3 或{x >1x −1+2x +1≤3 解得−1≤x <−12或−12≤x ≤1或⌀，所以原不等式的解集为{x|−1≤x ≤1}．因为x ∈[a, +∞)，所以f(x)=|x −a|+|2x +1|=x −a +|2x +1|≤2a +x ，推出|2x +1|≤3a 有解，所以a ≥0，所以不等式化为2x +1≤3a 有解，即2a +1≤3a ，解a ≥1．【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）问题转化为|2x +1|≤3a 有解，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】由题意可得{x <−121−x −1−2x ≤3 或{−12≤x ≤11−x +2x +1≤3 或{x >1x −1+2x +1≤3 解得−1≤x <−12或−12≤x ≤1或⌀，所以原不等式的解集为{x|−1≤x ≤1}．因为x ∈[a, +∞)，所以f(x)=|x −a|+|2x +1|=x −a +|2x +1|≤2a +x ，推出|2x +1|≤3a 有解，所以a ≥0，所以不等式化为2x +1≤3a 有解，即2a +1≤3a ，解a ≥1．。

宁夏石嘴山市第三中学高三数学第一学期期中考试(文科)

2009届石嘴山市第三中学高三第一学期期中数学考试(文科)一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{1,3},{|15,}A B x x x Z ==<<∈，则A ∪B 等于（）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{1，2，3，4}2．计算212(1)2ii +-+得（） A ．2i -B ．23i +C ．132i + D ．12i - 3．过抛物线2y x =上点11(,)24M 的切线倾斜角是（） A ．30°B ． 45°C ． 60°D ．90°4．函数1()4x f x a -=+（a>0，且a ≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（） A ．（5，1） B ．（1，5） C ．（1，4） D ．（4，1） 5．给出下列三个图像和三件事，图像与事件吻合最好的是（）（1）我离开家不久，发现自己的作业本忘在家里了，于是返回家里，找到了作业本再上学（2）我骑着自行车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速A ．(1)－(a)，(2)－(c)，(3)－(b)B ．(1)－(b)，(2)－(c)，(3)－(a) C ．(1)－(c)，(2)－(a)，(3)－(b)D ．(1)－(c)，(2)－(b)，(3)－(a)6．“a=1”是“函数2()23f x x ax =-+在区间[1，+∞）上为增函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分不必要 7．函数3223125y x x x =--+在[0，3]上的最大值，最小值分别是（）A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－15D ．5，－16 8．若a<b<0，则下列不等式中成立的是（）A ．11a b< B ．11a b a>- C ．|a|>|b| D ．22a b <9．当0<a<1时，函数log y x =和(1)y a x =-的图像只可能是（）10．若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围是（）（） A ．a<－1B ．a>1C ．－1<a<1D ．0≤a<1 11．已知函数122(0)()(0)x x f x x x -<⎧⎪=⎨⎪≥⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．(0,)+∞C ．(,2)(0,)-∞-+∞D ．(,0)(1,)-∞+∞12．在R 上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)在区间[－2，－1]上是（）函数，在区间[3，4]上是（）函数 A.增，增 B.增，减 C.减，增D.减，减二．填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．已知命题P ：,sin 1x R x ∀∈≤，则P ⌝是14．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，则对于x R ∈，函数()1f x x =*，，则(2)f =15．实数x 、y 满足不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数24z x y =+的最小值是_______16．对于函数()f x 定义域中任意的1x ，2x （1x ≠2x ）。

宁夏石嘴山三中2018届高三上学期第四次(1月)月考数学(文)试卷(含答案)

石嘴山市第三中学2018届高三上学期第四次（1月）月考数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R ，集合2{x|x -90}A =<， {|15}B x x =-<≤，则()R A C B ⋂= A. ()3,0- B. ()3,1-- C. (]3,1-- D. ()3,3-2．设1(z i i =+是虚数单位），则复数22z z+在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．角α的终边与单位圆交于点13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,则cos2α= A. 12 B. 12- C. 1 D. -1 4．下列说法正确的是A. 命题:p “,sin cos 2x R x x ∀∈+≤”，则p ⌝是真命题B. 命题“x R ∃∈使得2230x x ++<”的否定是：“2,230x R x x ∀∈++>”C. “1x =-”是“2230--=x x ”的必要不充分条件D. 线性相关系数r 的绝对值越接近1，表示两变量的相关性越强5．如图，在ABC ∆中，1,3=uuu uu r r u AN NC P 是BN 的中点，若=-uu u r uu u r uuu r AP mAB nAC ，则实数+m n 的值为 A. 38 B. 13 C. 23 D. 58 6．某市在对两千多名出租车司机的年龄进行的调查中，从两千多名出租车司机中随机抽选100名司机，已知这100名司机的年龄都在20岁至50岁之间，且根据调查结果得出的年龄情况频率分布直方图如图所示（部分图表污损）.利用这个残缺的频率分布直方图，可估计该市出租车司机年龄的中位数大约是 B P CN AA. 31.4岁B. 32.4岁C.33.4岁D. 36.4岁7．已知x ， y 满足约束条件1,2, 30,x x y x y ⎧⎪⎨⎪≥-≤⎩+≤若2+≥x y m 恒成立，则m 的取值范围是A. 3m ≥B. 3m ≤C. 72m ≤D. 73m ≤ 8．3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率，首创“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出n 的值为（参考数据： sin22.50.3827︒=， sin11.250.1951︒=）A. 8B. 16C. 24D. 329．设数列}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且数列}{n a 的公差0d >，那么当数列}{n a 的前n 项和S n 取得最小正值时，n 的值为A ．18B ．19C ．20D ．2110．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且在区间[]1,0-上单调递增，设()3a f =， 2b f =， ()2c f =，则a 、b 、c 大小关系是A. a b c >>B. a c b >>C. b c a >>D. c b a >>11．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与y 轴和双曲线右支分别交于,A B 两点，若点A 平分1F B ，则该双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C.2 D. 312．已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数1x ， 2x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是A. ()ln3,2B. [)2ln3,2-C. (]0,2ln3- D. ()0,2ln3-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=__________．14．过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线L 交抛物线于 A B 、两点，且33AF BF ==，则此抛物线的方程为__________． 15．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．16．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第82页第8题的函数()1lg1x f x x -=+为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：①同学甲发现：函数()f x 的定义域为()1,1-；②同学乙发现：函数()f x 是偶函数；③同学丙发现：对于任意的(),1,1a b ∈-，都有()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭； ④同学丁发现：对于函数()f x 定义域中任意的两个不同实数12,x x ，总满足()()12120f x f x x x ->-；其中所有正确研究成果的序号是__________．三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）如果，在Rt ABC ∆中， 2ACB π∠=， 3AC =， 2BC =，P 是ABC ∆内的一点.（1）若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长；（2）若23BPCπ∠=，设PCBθ∠=，求PBC∆的面积()Sθ的解析式，并求()Sθ的最大值.18．（本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国38 51 32 28 16俄罗斯24 23 27 32 26（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）从表中近五届奥运会中国和俄罗斯两国代表团获得的金牌数至少各27枚的六次中，任取两次，求俄罗斯代表团至少出现一次的概率；（3）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间x变化的数据：时间x（届）26 27 28 29 30金牌数之和y（枚）16 44 76 127 165作出散点图如图：由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程，并预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？附：对于一组数据()11,x y ， ()22,x y ，…， (),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中， PA AC ⊥， ⊥AC BC ， M 为PB 的中点， D 为AB 的中点，且AMB ∆为正三角形.（1）求证：平面⊥PA ABC ；（2）若2PA BC =，=2AB ，求点B 到平面DCM 的距离.20．（本小题满分12分）已知1F 、2F 为椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，且124PF PF +=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若圆O 是以12F F 为直径的圆，直线l ： y kx m =-与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且32OA OB ⋅=-u u u v u u u v ，求k 的值．()()()()51211,ˆ()381===--=--=-∑∑∑n i ii i i n i ii x x y y b x x y y x x21．（本小题满分12分）设函数()21x f x e x ax =--- (e 为自然对数的底数），a R ∈. （1）证明：当2212a n <-时， ()f x '没有零点；（2）若当0x >时， ()0f x x +≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22，23两道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2 x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()20，，直线12M M 与曲线2C 相交于P ， Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211||||OA OB +的值.23．（本题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知不等式2112x x -+-<的解集为.M（1）求集合M ；（2）若整数m M ∈，正数,,a b c 满足42a b c m ++=，证明： 1118.a b c++≥。

宁夏石嘴山市第三中学2017届高三数学上学期第三次适应性(期中)试题文(扫描版)

宁夏石嘴山市第三中学2017届高三数学上学期第三次适应性（期中）试题文（扫描版）次适应性考试文科数学答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分，）13. 83 14. 315. 12 16 . ①③三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答出应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本题满分10分)[解] (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ)＝12cos (2x －φ)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又∵f (x )过点(π6，12)，∴12＝12cos (π3－φ)，cos (π3－φ)＝1.由0<φ<π知φ＝π3. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分(2)由(1)知f (x )＝12cos (2x －π3)将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，变为g (x )＝12cos (4x －π3)．．．．．7分∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18．（本题满分12分）[解] (1)补全直方图如图：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由直方图可知：(0.1＋0.2)×1×20＝6，(0.25＋0.2)×1×20＝9，(0.1＋0.05)×1×20＝3.∴这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段分别为6个、9个、3个．．．．．4分(2)由(1)知拥堵路段共有6＋9＋3＝18个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项CAADBADABCBA为：618×6＝2，618×9＝3，618×3＝1，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2,3,1. ．．．．8分(3)记(2)中选取的2个轻度拥堵路段为A 1，A 2，选取的3个中度拥堵路段为B 1，B 2，B 3，选取的1个严重拥堵路段为C 1，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)，共15种可能．其中至少有1个轻度拥堵的有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，共9种可能．∴所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为915＝35. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．（本题满分12分）[解]（1）因为等差数列{}n a 的公差2d =，由题知：2213b b b =，所以2111(24)(6)a a a +=+，解得13a =，得3(1)221n a n n =+-⨯=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分设等比数列{}n b 的公比为q ，则24113b a q b a ===，所以3n n b =．于是3(13)3(31)132n nn B ⨯-==-- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）得(2)n S n n =+，所以11111()(2)22n S n n n n ==-++，因此 1111111111(1)()()()()232435112n T n n n n ⎡⎤=⨯-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦…1111(1)2212n n =⨯+--++32342(1)(2)n n n +=-++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．（本题满分12分）【解析】（1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===AD ∴⊥平面BDC∴四面体体积11121223323BCD V AD S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===由题设，BC ∥面EFGH 面EFGH 面BDC FG = 面EFGH面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又,,BD AD AD DC BD DC D ⊥⊥=∴AD ⊥平面BDCAD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥AD EF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．(本题满分12分) 解：（1）由题意得142a =，∴2a =，故抛物线2C 的方程为22x y =-，又32e =，∴3c =，∴1b =，从而椭圆1C 的方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1122:2,,,,l y kx P x y Q x y =+．由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221416120k x kx +++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()()2216412140k k∆=-⨯+>，∴33,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．9分1212221612,1414k x x x x k k-+==++，根据题意，得000900POQ OP OQ <∠<⇔>，∴()()()()()2121212121212222222212412116164240141414OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k k k =+=+++=+++++--=+⨯+=>+++．．．11分∴22k -<<，综上得32,,2k ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．(本题满分12分)解：（1）函数()f x 的定义域为()0,1(1,)+∞，2(ln 1)'()(ln )m x f x x -=，又由题意有：21'()42m f e ==，所以2m =，故2()ln x f x x =．此时，22(ln 1)'()(ln )x f x x -=，由'()0f x <，解得01x <<或1xe <<，所以函数()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,)e ．（2）要()ln k f x x >+2ln ln x k x x >+2lnln k x x x <-①当()0,1x ∈时，ln0x <，则要2ln k x x >-恒成立，令()2ln g x x x =-，则'()g x =令()ln 2h x x =-，则'()h x 10x =<所以()h x 在(0,1)内递减，所以当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h >=，故'()0g x =>，所以()g x 在()0,1内递增，()(1)2gx g <=，故2k ≥．②当(1,)x ∈+∞时，ln 0x >，则要2ln k x x <-恒成立，由①可知，当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以()h x 在(1,)+∞内递增，11 所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h >=，故'()0g x x =>，所以()g x 在(1,)+∞内递增，()(1)2g x g >=，故2k ≤．综合①②可得：2k =，即存在常数2k =满足题意．。

2017-2018学年宁夏石嘴山市第三中学高三数学上期中考试(文)试题(含答案)

石嘴山市第三中学2018届高三年级第一学期期中考试试题数学（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在复平面内，复数z 的对应点为（1，-1），则(2)z i z +⋅=（） A.22i + B.2 C.0 D.2i 2．已知集合1|0 3x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{}|1 5 B x N x =∈-≤≤，则A B ⋂=（）A. {}0,1,3,4,5B. {}0,1,4,5C. {}1,4,5D. {}1,3,4,5 3．“33a b >”是“ln ln a b >”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4．直线l 1：2x+(m+1)y+4=0与直线l 2:mx+3y-2=0平行，则m 的值为( ) A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-35．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 86．在ABC ∆中， E ， F 分别为边AB ， AC 上的点，且2AE EB =， AF FC = ，若3AB = ， 2AC = ， 60A =︒，则BF EF ⋅=（）A.72 B. 92 C. 134 D. 1547．一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（） A.2π+ B.24π+ C.4π+D.22π+ 8．数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有123.....21nn a a a a ++++=-，则22212......n a a a +++=（）A. ()221n - B.()1413n - C. ()1213n - D. 41n -9．函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0ω>， 2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（）A. ()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭10．某校高三(1)班每周都会选出两位“进步之星”，期中考试之后一周“进步之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”，小谭说：“小赵说的对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“进步之星”是（） A. 小赵、小谭 B. 小马、小宋 C. 小马、小谭 D. 小赵、小宋11．已知实数满足若的最大值为10，则（）A. 4B. 3C. 2D. 112．已知函数12ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P .函数22y x =--的图象上存在点Q ，且,P Q 关于原点对称，则a 的取值范围是（）A. 23,e ⎡⎤⎣⎦B. )2,e ⎡+∞⎣ C. 2214,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ D. 13,4e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分共20分.)13．若1(,),tan()247ππαπα∈+=，则cos α=____________.14．已知实数(3,1)a ∈-，11(,)84b ∈，则ab的取值范围是__________．15．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.16．在研究函数()f x =某同学受两点间距离公式启发将()f x变形为，()f x =并给出关于函数()f x 以下五个描述：①函数()f x 的图像是中心对称图形；②函数()f x 的图像是轴对称图形； ③函数()f x 在[0,6]上是增函数；④函数()f x 没有最大值也没有最小值； ⑤无论m 为何实数，关于x 的方程都有实数根.其中描述正确的是__________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()*,n S n n N n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在函数32y x =-的图象上. （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）设n T 是数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T . 18．在ABC ∆中， 3B π=， 2BC =（1）若3AC =，求AB 的长（2）若点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥， E为垂足，ED =A 的值. 19．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x 万元时，销售量t 万件满足1253t x =-+，现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t 万件还需投入成本()102t +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为205t ⎛⎫+⎪⎝⎭万元/万件. （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.20．在三棱锥P ABC -中， PAC ∆和PBC ∆2AB =， ,O D 分别是,AB PB 的中点.（1）求证：//OD 平面PAC ；（2）求证: OP ⊥平面ABC ；（3）求三棱锥D ABC -的体积.21．已知函数()22ln ,f x x a x a R x=++∈ . (1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.(2）记函数()()222g x x f x x ⎡⎤=+-⎣'⎦，若()g x 的最小值是6-，求函数()f x 的解析式.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）．M 是1C 上的动点，P 点满足2,OP OM P =点的轨迹为曲线2C ．（1）求曲线2C 的普通方程；（2）在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3πθ=与曲线1C 的异于极点的交点为A ，与曲线2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．石嘴山市第三中学2018届高三年级第一学期期中考试试题数学（文科）参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分共20分.)13． 14． 15. 16．①③④三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(1)见解析;（2）n T =261nn +. 【解析】试题分析：(1)先求出n S ,然后利用2n ≥时， 1n n n a S S -=-代入求解,最后验证首项即可; (2)将12n n a a +进行裂项,即1211136561n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭,然后进行求和,消去一些项即可求出数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.试题解析：(1)依题意，32nS n n=-，即232n S n n =-， 2n ≥时， ()()()221323121n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----⎣⎦65n =-当1n =时， 111a S ==符合上式，所以()*65n a n n N =-∈.又 ∵()1656156n n a a n n -⎡⎤-=----=⎣⎦， ∴{}n a 是一个以1为首项，6为公差的等差数列. （2）由（1）知，()()1221113656165615n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+⎡⎤-+-⎝⎭⎣⎦，故1111111377136561n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 112136161n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 18．（1）1AB =；（2）4A π=.【解析】试题分析:先求CD ，在△BCD 中，由正弦定理可得： sin sin BC CDBDC B= 结合∠BDC=2∠A ，即可得结论．解：（1）设AB x =，则由余弦定理有： 2222cos AC AB AC AB AC B =+-⋅ 即2223222cos60x x =+-⋅︒解得： 1x =所以1AB =（2）因为ED =sin ED AD DC A ===. 在BCD ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC CDBDC B=∠，因为2BDC A ∠=∠，所以2sin2A =.所以cos A =，所以4A π=.19．（1）y =25－（363x ++x ），（0x ≥）（2）见解析【解析】试题分析：（1）利润为总销售所得减去投入成本和促销费用，得y =t(5+20t）)﹣(10+2t ）﹣x=3t+10－x ，又销售量t 万件满足t=5－123x +，整理化简可得y =25－（363x ++x ）；（2）将函数方程整理为对勾函数形式y =28－（363x ++x+3），利用基本不等式得到363x += x +3，即x =3时，得到利润最大值为16。

易错汇总2017-2018学年宁夏石嘴山三中高三上学期期末数学试卷(文科)含答案

A．2
B．1
C．
其中 a＞0，当 z=2x+y D．
【解答】解：先作出
对应的区域，
当 z=2x+y 的最小值为 1 时，即 2x+y=1，作出 2x+y=1 由图象知直线 2x+y=1 与 x=1 相交为 C（1，﹣ 1），
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此时 C（1，﹣ 1）也在直线 y=a（x﹣3）上，即﹣ 1=a（1﹣3）=﹣2a，解得 a= ，故选： C．
【解答】解： A 选项不正确，因为 a， b 可能是平行线，那么两个平面可能相交； B 选项不正确，因为 a? α，b?α， a， b 是异面直线，那么 b 与 α可能平行； C 选项正确， a⊥ α， b⊥β，α∥β，则 a∥ b；满足平面平行的性质定理． D 选项不正确，两个平面可能是相交的．故选： C．
8．（5 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 的对边分别是 a， b，c，若 a2﹣b2= bc， sinC=2 sinB，则∠ A 的值为（）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由 sinC=2 sinB 得： c=2 b，
所以
= ?2 b2，即 a2=7b2，
则 cosA=
=
= ，又 A∈（ 0，π），
第 3 页（共 20 页）
=7，a5=32．
（Ⅰ）求数列 { an} 的通项公式；（Ⅱ）求数列 { nan} 的前 n 项和 Tn． 18．（ 12 分）某校从高一年级学生中随机抽取 40 名中学生，将他们的期中考试
数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段： [ 40，50）， [ 50，60）， …，[ 90，100] ，得到如图所示的频率分布直方图．（ 1）求图中实数 a 的值；（ 2）若该校高一年级共有 640 人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数；（ 3）若从数学成绩在 [ 40，50）与 [ 90，100] 两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生，求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率．

【数学】2017-2018年宁夏石嘴山市平罗中学高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

2017-2018学年宁夏石嘴山市平罗中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设U=R，A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1} 2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列函数中，在其定义域既是奇函数又是减函数的是（）A．y=|x|B．y=﹣x3C．D．y=（）x4．（5分）设向量=（2，m），=（1，﹣1），若⊥（+2），则实数m等于（）A．2 B．4 C．6 D．﹣35．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2B．C．ab＞a2D．|a|＜|b|6．（5分）《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（）A．110尺B．90尺C．60尺D．30尺7．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≤bm2，则a≤bB．若向量满足，则与的夹角为锐角C．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件D．“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≥0”8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=（）A．100 B．101 C．200 D．2019．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinA=2sinBcosC，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形10．（5分）在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，点F满足=2，=x+y，则x+y=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣11．（5分）若函数满足f（x）+f（﹣x）=0，且在上（0，+∞）是增函数，又f （﹣3）=0，则（x﹣1）f（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（1，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（1，3）12．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）向量与的夹角为60°，若=（0，2），||=1，则|+2|=．14．（5分）若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是．15．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=4x+y的最大值为．16．（5分）关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；写出所有正确的命题的题号：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB （1）求B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1+s n），求数列{a n b n}的前n项和为T n．20．（12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若f（x）在区间上的最大值与最小值的和为1，求a的值．21．（12分）已知函数．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的单调区间．（2）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在的图象下方．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣1|．（1）若a=1，解不等式f（x）≤4；（2）若不等式f（x）＞2对任意x∈R化恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年宁夏石嘴山市平罗中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设U=R，A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：因为全集U=R，集合B={x|x≥1}，所以∁U B={x|x＜1}=（﹣∞，1），且集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A∩∁U B={﹣2，﹣1，0}故选：C．2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．3．（5分）下列函数中，在其定义域既是奇函数又是减函数的是（）A．y=|x|B．y=﹣x3C．D．y=（）x【解答】解：对于A，函数y=|x|，是定义域R上的偶函数，不满足题意；对于B，函数y=﹣x3，是定义域R上的奇的函数，且为减函数，满足题意；对于C，函数，是定义域R上的奇函数，但不是减函数，不满足题意；对于D，函数y=（）x，是定义域R上的非奇非偶函数，不满足题意．故选：B．4．（5分）设向量=（2，m），=（1，﹣1），若⊥（+2），则实数m等于（）A．2 B．4 C．6 D．﹣3【解答】解：向量=（2，m），=（1，﹣1），若⊥（+2），则•（+2）=0，即为（1，﹣1）•（4，m﹣2）=0，即有4﹣m+2=0，解得m=6．故选：C．5．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2B．C．ab＞a2D．|a|＜|b|【解答】解：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、C、D，故选：B．6．（5分）《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（）A．110尺B．90尺C．60尺D．30尺【解答】解：由题意知等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴=90（尺）．故选：B．7．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≤bm2，则a≤bB．若向量满足，则与的夹角为锐角C．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件D．“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≥0”【解答】解：对于A，当m2=0，即m=0时，am2≤bm2恒成立，不能得出a≤b，A错误；对于B，向量满足，则||×||cosθ＞0∴cosθ＞0，此时与的夹角θ为锐角或0°，∴B错误；对于C，命题“p∧q为真”时，p、q都是真命题，∴命题“p∨q为真”，必要性成立，即命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件，C正确；对于D，命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，∴D错误．故选：C．8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=（）A．100 B．101 C．200 D．201【解答】解：∵A，B，C三点共线∴a1+a200=1又∵∴s200=100故选：A．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinA=2sinBcosC，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC﹣sinCcosB=0，即sin（B﹣C）=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．三角形为等腰三角形．故选：A．10．（5分）在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，点F满足=2，=x+y，则x+y=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣【解答】解：在平行四边形ABCD中，点E为CD中点，点F满足=2，则：，=﹣，=﹣﹣+，=﹣由于：，则：x+y=，故选：A．11．（5分）若函数满足f（x）+f（﹣x）=0，且在上（0，+∞）是增函数，又f （﹣3）=0，则（x﹣1）f（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（1，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（1，3）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∵（x﹣1）•f（x）＜0，则有或，解可得1＜x＜3或﹣3＜x＜0．故不等式的解集为：（1，3）∪（﹣3，0）；故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；故x3（x1+x2）+=﹣+x4，其在1＜x4≤2上是增函数，故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；即﹣1＜﹣+x4≤1；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）向量与的夹角为60°，若=（0，2），||=1，则|+2|=2．【解答】解：由题意得，||=2，||=1，向量与的夹角为60°，∴•=2×1×cos60°=1，∴|+2|===2．故答案为：2．14．（5分）若x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是16．【解答】解：∵∴=当且仅当时，取等号．故答案为16．15．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=4x+y的最大值为14．【解答】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，2）．化目标函数z=4x+y为y=﹣4x+z，由图可知，当直线y=﹣4x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a=14．故答案为：14．16．（5分）关于下列命题①函数y=tanx在第一象限是增函数；②函数y=cos2（﹣x）是偶函数；③函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；④函数y=sin（x+）在闭区间[﹣，]上是增函数；写出所有正确的命题的题号：①③．【解答】解：①由正切函数的图象可知函数y=tanx在第一象限是增函数，命题正确；②f（x）=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x，f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），故命题不正确；③∵0=4sin（2×﹣），∴命题正确；④由2k≤x+≤2k可解得函数y=sin（x+）的单调递增区间为[2k，2k]k∈Z，故命题不正确．综上，所有正确的命题的题号：①③，故答案为：①③三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）根据{a n}为等差数列，d≠0．前n项和为S n，且S10=110，即110=10a1+45d，…①∵a1，a2，a4成等比数列．可得：a22=a1•a4．∴（a1+d）2=a1•（a1+3d）…②由①②解得：，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n（2）由b n=，即b n==．那么：数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n=（1﹣++…+）=（1﹣）18．（12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB （1）求B；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵a=bcosC+csinB，∴根据正弦定理，得sinA=sinBcosC+sinBsinC…①，∵A+B+C=π．sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC…②，∴比较①②，可得sinB=cosB，即tanB=1，结合B为三角形的内角，可得B=45°；（2）∵△ABC中，b=2，B=45°，∴根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2﹣2accos45°=4，化简可得a2+c2﹣ac=4∵a2+c2≥2ac，∴4=a2+c2﹣ac≥（2）ac即ac≤4）当且仅当a=c时等号成立．∴△ABC面积S=acsinB≤，综上所述，当且仅当a=c时，△ABC面积S的最大值为．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1+s n），求数列{a n b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）∵．∴n=1时，a1=s1=2；n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）=2×3n﹣1．n=1时也成立．∴a n=2×3n﹣1．（2）b n=log3（1+s n）=n，∴a n b n=2n•3n﹣1．∴数列{a n b n}的前n项和为T n=2（1+2×3+3×32+…+n•3n﹣1），∴3T n=2[3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n]，∴﹣2T n=2[1+3+32+…+3n﹣1﹣n•3n]=2[﹣n•3n]，化为：T n=．20．（12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若f（x）在区间上的最大值与最小值的和为1，求a的值．【解答】解：函数．化简可得：=．（1）所以f（x）的最小正周期T=π．由，得．∴函数f（x）的单调递减区间是（k∈Z）．（2）因为，所以．所以．因为函数f（x）在上的最大值与最小值的和为，解得：．21．（12分）已知函数．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的单调区间．（2）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在的图象下方．【解答】（1）解：a=﹣1时，f（x）=﹣lnx，（x＞0）．f′（x）=x﹣=，可得：x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞）；单调递减区间为（0，1）．（2）证明：a=1时，令h（x）=﹣﹣lnx，x∈[1，+∞）．h（1）=＞0．h′（x）=2x2﹣x﹣=．令u（x）=2x3﹣x2﹣1，u（1）=0，u′（x）=6x2﹣2x=6x＞0，∴函数u（x）在x∈[1，+∞）单调递增，∴u（x）≥u（1）=0．∴h′（x）≥0，∴函数h（x）在x∈[1，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（1）=＞0．∴在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在的图象下方．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，转化为：ρ2=2ρcosθ整理得：x2+y2﹣2x=0．（2）直线（t 为参数），代入x 2+y 2﹣2x=0．得到：，解得：，t 1t 2=18，所以：．23．已知函数f （x ）=|x +a |+|x ﹣1|．（1）若a=1，解不等式f （x ）≤4；（2）若不等式f （x ）＞2对任意x ∈R 化恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由于，所以f （x ）≤4等价于或﹣1≤x ＜1或解之得不等式f （x ）≤4的解集为{x |﹣2≤≤2}．（2）由f （x ）=|x +a |+|x ﹣1|≥|a +1|得f （x ）min =|a +1|． ∴|a +1|＞2，解得a ∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

宁夏石嘴山市第三中学高三数学上学期第三次适应性(期

17.(本题满分10分)[解] (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ)＝12cos (2x －φ)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又∵f (x )过点(π6，12)，∴12＝12cos (π3－φ)，cos (π3－φ)＝1.由0<φ<π知φ＝π3. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分(2)由(1)知f (x )＝12cos (2x －π3)将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，变为g (x )＝12cos (4x －π3)．．．．．7分∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18．（本题满分12分）[解] (1)补全直方图如图：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由直方图可知：(0.1＋0.2)×1×20＝6，(0.25＋0.2)×1×20＝9，(0.1＋0.05)×1×20＝3.∴这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段分别为6个、9个、3个．．．．．4分(2)由(1)知拥堵路段共有6＋9＋3＝18个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别为：618×6＝2，618×9＝3，618×3＝1，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2,3,1. ．．．．8分(3)记(2)中选取的2个轻度拥堵路段为A 1，A 2，选取的3个中度拥堵路段为B 1，B 2，B 3，选取的1个严重拥堵路段为C 1，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)，共15种可能．其中至少有1个轻度拥堵的有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，共9种可能．∴所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为915＝35. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．（本题满分12分）[解]（1）因为等差数列{}n a 的公差2d =，由题知：2213b b b =，所以2111(24)(6)a a a +=+，解得13a =，得3(1)221n a n n =+-⨯=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分设等比数列{}n b 的公比为q ，则24113b a q b a ===，所以3n n b =．于是3(13)3(31)132n nn B ⨯-==-- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）得(2)n S n n =+，所以11111()(2)22n S n n n n ==-++，因此 1111111111(1)()()()()232435112n T n n n n ⎡⎤=⨯-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦…1111(1)2212n n =⨯+--++32342(1)(2)n n n +=-++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．（本题满分12分）【解析】（1）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===AD ∴⊥平面BDC∴四面体体积11121223323BCD V AD S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由该四面体的三视图可知：,,BD DC BD AD AD DC ⊥⊥⊥，2,1BD DC AD ===由题设，BC ∥面EFGH 面EFGH 面BDC FG = 面EFGH面ABC EH =BC ∴∥FG ，BC ∥EH ， FG ∴∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， EF ∴∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又,,BD AD AD DC BD DC D ⊥⊥=∴AD ⊥平面BDCAD BC ∴⊥BC ∥FG ,EF ∥AD EF FG ∴⊥∴四边形EFGH 是矩形．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．(本题满分12分) 解：（1）由题意得142a =，∴2a =，故抛物线2C 的方程为22x y =-，又e =，∴c =1b =，从而椭圆1C 的方程为2214x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1122:2,,,,l y kx P x y Q x y =+．由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221416120k x kx +++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()()2216412140k k∆=-⨯+>，∴3,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．9分1212221612,1414k x x x x k k-+==++，根据题意，得000900POQ OP OQ <∠<⇔>，∴()()()()()2121212121212222222212412116164240141414OP OQ x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k k k =+=+++=+++++--=+⨯+=>+++．．．11分∴22k -<<，综上得32,,2k ⎛⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．(本题满分12分)解：（1）函数()f x 的定义域为()0,1(1,)+∞，2(ln 1)'()(ln )m x f x x -=，又由题意有：21'()42m f e ==，所以2m =，故2()ln x f x x =．此时，22(ln 1)'()(ln )x f x x -=，由'()0f x <，解得01x <<或1x e <<，所以函数()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,)e ．（2）要()ln k f x x >+2ln ln x k x x >+2ln ln k x x x <-①当()0,1x ∈时，ln 0x <，则要2ln k x x >-恒成立，令()2ln g x x x =-，则'()g x =令()ln 2h x x =-，则'()h x 10x =<所以()h x 在(0,1)内递减，所以当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h >=，故'()0g x =>，所以()g x 在()0,1内递增，()(1)2g x g <=，故2k ≥．②当(1,)x ∈+∞时，ln 0x >，则要2ln k x x <-恒成立，由①可知，当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以()h x 在(1,)+∞内递增，11 所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h >=，故'()0g x =>，所以()g x 在(1,)+∞内递增，()(1)2g x g >=，故2k ≤．综合①②可得：2k =，即存在常数2k =满足题意．。