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人教版高二数学第一学期期中考试

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高二数学上学期期中试题(新版)新人教版.doc

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2019高二上学期期中试题数学试题2018.11第I 卷（选择题 共60分）评卷人 得分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列{}n a 中，n S 表示{}n a 的前n 项和，若363a a +=，则8S 的值为A ．3B ．8 C.12 D ．24 2．设a ，b ∈R ，a ＞b ，则下列不等式一定成立的是A ．a 2＞b 2B ．C ．a 2＞abD ．2a ＞2b3.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m = A ．9 B ．4 C ．2 D ．3 4.已知等比数列{a n }中，a 3=4，a 4a 6=32，则的值为A ．2B ．4C ．8D ．16 5. 2x 2－5x －3<0的一个必要不充分条件是 A ．－21<x <3 B ．－21<x <0 C ．－3<x <21D ．－1<x <6 6.命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是A ．不存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0B ．存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0 7.若等式022>++bx ax 的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,则a －b 值是 A.－10 B.－14 C.10 D.148.若关于x 的不等式10ax ->的解集是(1)+∞，,则关于x 的不等式(1)(2)0ax x -+≥的解集是A ．[)2,+-∞B ．[]2,1-C.（-∞，-2）∪（1，+∞） D ．（-∞，-2］∪［1，+∞） 9．在△ABC 中，“sinB ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10.已知数列{}n a 为等比数列，若261=⋅a a ，下列结论成立的是A. 53424a a a a =B ．243=+a aC ．22321=a a aD ．2252≥+a a11．若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有3个整数，则实数a 的取值范围是A. ()4,5B. （-3，-2）∪（4，5）C.(]4,5 D.［-3，-2）∪（4，5］ 12.设0a >，0b >，若5是5a 与5b 的等比中项，则11a b+的最小值为 A ．8 B ．4 C ．1 D ．41第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）评卷人 得分二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若方程25－k ＋2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为__________． 15．已知不等式 012≥--bx ax 的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,21，求不等式02<--a bx x 的解集16.一动圆过定点A （2,0），且与定圆B ：032y x 4x 22=-++内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，-2），（0,2），并且经过（25,23-，），求它的标准方程。

高二上学期期中考试数学试卷含答案

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高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试(含解析)

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2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 函数的定义域为A.B.C.D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.A ={x ∈Z||x|<5}B ={x|≥4}2x A ∩B =(2,5)[2,5){2,3,4}{3,4,5}y =12+x −x 2−−−−−−−−−√lg(2x −2)()(1,)∪(,4]3232(1,4][−3,4][−3,)∪(,4]3232434C.D.4. 乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（ ）A.B.C.D.5. 命题：，的否定是( )A.，B.，C.，D.，6. “”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 下列命题中，真命题是（ ）A.函数＝的周期为B.，223(1)(2)12cm 9cm 18c 2–√m 36cm7cm8cm9cm∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x ≤0−x −2≤0x 2∃≤0x 0−−2≤0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2∃>0x 0−−2≤0x 20x 0x <2lg(x −1)<0y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数 8. 在中，角，，所对的边是，，，若，且，则等于( )A.B.C.D.9. 等比数列中，若，，则其前项的积为( )A.B.C.D.10. 瑞士数学家欧拉（）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心﹑重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是( )．A.B.C.D.11. ""是"方程 表示的曲线为椭圆"的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件a +b 0y ln△ABC A B C a b c c ⋅cos B =b ⋅cos C cos A =23sin B 6–√63–√2130−−√6{}a n +=a 1a 294+=18a 4a 556481192243LeonhardEuler 1765△ABC A (−4,0),B (0,4)x −y +2=0C (2,0)(0,2)(−2,0)(0,−2)n >m >0+=1x 2m y 2n()D.既不充分也不必要条件12. 在四棱锥中，已知平面平面, 是以为底边的等腰三角形，是矩形，且，则四棱锥的外接球的表面积为 （ A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知异面直线，的方向向量分别为，，若异面直线，所成角的余弦值为，则的值为________.14. 设为等差数列的前项和，，则________，若，则使得不等式成立的最小整数________．15. 已知平面向量， ， ，若，则________．16. 已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．18. 已知向量．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值． 19. 在平面四边形中，，，，．P −ABCD ABCD ⊥PAD △PAD AD ABCD AB =AP =2AD =2P −ABCD O )π12415π3115π25615π6415m n =(2,−1,1)a →=(1,λ,1)b →m n 6–√6λS n {}a n n +a 6a 7=1S 12=<0a 7<0S n n==(2,λ)a →=(−3,6)b →=(4,2)c →//a →b →(−)⋅=a →c →b →△ABC B C +=1x 23y 2A BC △ABC xOy O x −y −4=03–√O P(3,2)P O θλABCD ∠BAD =∠BCD =90∘AB =5BC =8AC =7(1)∠ADC求的大小；求的长度．20. 已知两直线：，，当为何值时，与，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直． 21. 已知命题：函数且 在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立.若为真命题,求实数的取值范围；若为真命题,求实数的取值范围.22. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前项和．(1)∠ADC (2)CD L 1(m +3)x +5y =5−3m:2x +(m +6)y =8L 2m L 1L 2p y =(x +1)(a >0，log a a ≠1)q (a −2)+2(a −2)x +1>0x 2x (1)q a (2)“p ∧(¬q)”a {}a n n S n 2a n S n (1){}a n (2){}b n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n {}1b n n Tn参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】据题意，分析可得，，，进而求其交集可得答案．【解答】解：集合，，则．故选．2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据条件可得解不等式可得结果．【解答】解：由已知可根据条件可得解不等式可得.故选.A ={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|x ≥2}A ={x ∈Z||x|<5}={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|≥4}={x|x ≥2}2x A ∩B ={2,3,4}C 12+x −≥0x 22x −2>02x −2≠112+x −≥0,x 22x −2>0,2x −2≠1,{x |1<x ≤4且x ≠}32A3.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，再求体积即可.【解答】解：由已知中几何体的三视图，可得该几何体为正四棱锥，且底面正方形边长为，高为，所以该几何体的体积为.故选.4.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，求出，再利用烧制前后边长的变化，即可得到答案.【解答】解：设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，解得.∵在烧制的过程中发现，直径为 的作品烧制成功后直径缩小到．那么烧制前正四面体陶坯棱长为.故选.5.【答案】C【考点】21V =×2×2×1=1343A acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a =612cm 9cm 6×=8cm 129C命题的否定【解析】命题 ， 为特称量词命题，其否定为全称量词命题，写出其否定即可.【解答】解：命题，为特称量词命题，所以其否定为全称量词命题，其否定为，.故选.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由，可得，再利用集合之间的包含关系求充分必要条件即可.【解答】解：由，可得，解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.7.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；∃>0x 0−−2>0x 20x 0∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2C lg(x −1)<00<x −1<1lg(x −1)<00<x −1<11<x <2{x|x <2} {x|1<x <2}x <2lg(x −1)<0B A x 2B C D y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．8.【答案】D【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式诱导公式半角公式【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理后得到，用表示出，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：在中，，利用正弦定理化简得：,即，∴，即，则.故选．9.【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得，解得，又，y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D B =C A B △ABC c cos B =b cos C sin C cos B =sin B cos C sin C cos B −sin B cos C =sin(C −B)=0C −B =0C =B sin B =sin =cos =π−A 2A 21+cos A 2−−−−−−−−√=30−−√6D ==8+a 4a 5+a 1a 2q 3q =2+=+2=a 1a 2a 1a 1943所以，所以.故选.10.【答案】A,D【考点】三角形五心【解析】此题暂无解析【解答】解：设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为∴，①由重心为，代入欧拉线方程，得，②由①②可得或.故选.11.【答案】A【考点】椭圆的定义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则 ，，且，故" "是“方程"表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.=a 134==×=243a 1a 2a 3a 4a 5a 51q 10()345210D C (x,y),AB y =−x △ABC x −y +2=0y =−x M (−1,1),MC|=,∴+=1010−−√(x +1)2(y −1)2A (−4,0),B (0,4),△ABC (,)x −43y +43x −y +2=0x −y −z =0x =2,y =0x =0,y =−2AD +=1x 2m y 2n m >0n >0m ≠n n >m >0+=1x 2m y 2nA故选.12.【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，将四棱锥补为一个三棱柱，∵是以为底边的等腰三角形，，∴的外接圆的半径为，∴球的半径的平方，∴球的表面积为.故选.二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角A P −ABCD PAD −QBC △PAD AD AP =2AD =2△PAD 415−−√O =+1=R 216153115O S =4π=R 2124π15A 76【解析】此题暂无解析【解答】略14.【答案】,【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】根据题意，由等差数列的前项和公式和性质可得＝＝，代入数据可得第一空答案，同理可得，即可得第二空答案．【解答】解：因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：；.15.【答案】【考点】平面向量的坐标运算平面向量数量积的运算【解析】根据，求得 ，进而求得的坐标，然后利用数量积求解．【解答】解：因为向量， ，且，613n S 12<0S 13+=1a 6a 7=6(+)=6S 12a 6a 7<0a 7>0a 6{}a n =6>0S 12=13<0S 13a 7=13n min 613−30//a →b →λ−a →c →=(2,λ)a →=(−3,6)b →//a →b →所以，所以.故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】设另一个焦点为，根据椭圆的定义可知，最后把这四段线段相加求得的周长．【解答】解：椭圆中，．设另一个焦点为，则根据椭圆的定义可知，．∴三角形的周长为：．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．【考点】直线与圆相交的性质圆的切线方程−=(−2,−6)a →c →(−)⋅=−30a →c →b →−3043–√F |AB |+|BF |=2a|AC |+|FC |=2a △ABC +=1x 23y 2a =3–√F |AB |+|BF |=2a =23–√|AC |+|FC |=2a =23–√|AB |+|BF |+|AC |+|FC |=43–√43–√+=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0（1）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径的值，可得所求的圆的方程．（2）由题意可得点在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率的值，可得所求切线方程．【解答】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．18.【答案】∵向量，∵这两个向量的夹角为，，则＝＝＝，∴＝．若，则（+）-•-，∴＝．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】..r P k +=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0θθ∈[0cos θθ⋅(λ+(λ−7)λ余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．（2）由（1）知当时，直线与相交；当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．【考点】两条直线平行的判定两条直线垂直的判定【解析】（1）两直线与相交；（2）两直线与平行；（3）两直线与重合；（4）两直线与垂直．【解答】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2m =−6L 1L 2m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔≠(m ≠0,n ≠0)a m b n ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔=≠(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔==(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔am +bn =0m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由 得，所以时直线与垂直．21.【答案】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数 在定义域上单调递增，所以 ，因为命题为假,由可知， 或 ，所以 即，所以实数的取值范围为 .22.【答案】解：，，成等差数列，可得，m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)2a n S n 2=a n 2+S n化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．【考点】等差中项数列的求和等比数列的通项公式【解析】（1）由题意可得＝，运用数列的递推式：当＝时，＝，时，＝，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得＝＝，，，由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：，，成等差数列，可得，当时，，解得，时，，化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．n n n−1n n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +12a n 2+S n n 1a 1S 1n ≥2a n −S n S n−1log 2a n log 22n n =n(n +1)b n 12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1(1)2a n S n 2=a n 2+S n n =1=a 1=S 12−2a 1=a 12n ≥2=a n −=S n S n−12−2−2+2a n a n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +1。

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5．难度系数：0.72。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。

人教版高二上学期期中测试卷

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人教版高中数学测试卷（考试题）期中测试卷04（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：人教A 版必修5全册+选修1-1第一章、第二章一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知命题p ：20,x x e x ∀<≥，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃<，020x e x <B ．00x ∃≥，020x e x <C ．0x ∀<，2x e x <D ．0x ∀≥，2x e x <2．关于x 的不等式2450x x -++>的解集为（ ）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(5,)-∞-+∞3．在等差数列{}n a 中，824a =，168a =，则24a =（ ）A ．24-B ．16-C ．8-D ．04．“平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC 中，9,10,60a b A ===︒，则此三角形解的情况是（ ）A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解6．已知等比数列{}n a ，10a ，30a 是方程210160x x -+=的两实根，则20a 等于（ ）A ．4B ．4±C ．8D ．8±7．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为（ ）A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 8．双曲线222:1(0)36x y C a a -=>左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线与直线430x y +=垂直，点M 在C 上，且214MF =，则1||MF =（ ）A ．6或30B ．6C ．30D ．6或209．已知实数x ，y 满足不等式组40,0,1,x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．3-D ．5-10．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13C ．12-D ．3-11．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a c b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（ ）A．32⎫⎪⎪⎝⎭B．2⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D．)212．已知椭圆的方程为()22211x y a a+=>，上顶点为A ，左顶点为B ，设P 为椭圆上一点，则PAB ∆面积1.若已知()),M N ，点Q 为椭圆上任意一点，则14QN QM+的最小值为（ ）A ．2B．3+C ．3D ．94二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设ABC 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知(4)cos cos a c B b C -=，则cos B =______． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n S n n+=+，则17a a +=_______. 15．若正实数,x y 满足39log log 1x y +=，则2x y +的最小值为_______. 16．以下四个关于圆锥曲线命题：①“曲线221ax by +=为椭圆”的充分不必要条件是“0,0a b >>”；②若双曲线的离心率2e =，且与椭圆221148y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为y =；③抛物线22x y =-的准线方程为18x； ④长为6的线段AB 的端点,A B 分别在x 、y 轴上移动，动点(,)M x y 满足2AM MB =，则动点M 的轨迹方程为221416x y +=．其中正确命题的序号为_________．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知:p 22a -<<，q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根.（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，q ⌝为真命题，求实数a 的取值范围. 18．已知不等式2320x x -+≤的解集为{}|x a x b ≤≤.（1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：()()0x c ax b -->（c 为常数，且2c ≠）.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：12y x m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且AB m 的值． 20．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值.21．如图，在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．附赠材料必须掌握的试题训练法题干分析法怎样从“做题”提升到“研究”题干分析法,是指做完题目后,通过读题干进行反思总结:这些题目都从哪几个角度考查知识点的?角度不同,容易出错的地方是不是变化了?只有这样,我们才能从单纯的“做题目”上升到“研究”,我们的思维能力和做题效率才能不断提高。

高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

高二数学第一学期期中考试本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一：选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。

）1.若1a b >>，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．11a b< B > C ．b a a b > D ．l o g l o g ba ab >2.已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（ ）A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项3．已知129,,,1a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则b 2(a 2-a 1)= （ ）A.8B.-8C.±8D.984.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是 （ ）A ．S 6B ．S 7C ．S 8D ．S 95.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A.B. 3C.D.926.设0a >，0b >5a 与5b 的等比中项，则11a b+的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1D ．417.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（ ）A ．B ．C ．D ．8.若关于x 的不等式10ax ->的解集是(1)+∞，,则关于x 的不等式(1)(2)0ax x -+≥的解集是（ ）A ．[)2,+-∞B ． []2,1- C. (,2)(1,+)-∞-⋃∞ D ．(][),21,+-∞-⋃∞ 9.设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF 则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段10．已知方程220(0,,0)ax by ab ax by c ab a b c +=++=≠≠>和其中，它们所表示的曲线可能是 ( )A B C D11. 已知2212221(0,0)x y F F a b a b-=>>、分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则当△PF 1F 2的面积为2a 时，双曲线的离心率为（ ）A.B. C. D.212.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|F M |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)第II 卷（非选择题）（共90分）二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分,请将正确答案写在答题纸指定位置上。

人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)

人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)

人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。

A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。

A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。

A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。

A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。

A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。

A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。

高二上学期期中考试数学试题(带答案)

高二上学期期中考试数学试题(带答案)

高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。

）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。

2022-2022学年高二数学上学期期中质量检测试卷试题—附答案

2022-2022学年高二数学上学期期中质量检测试卷试题—附答案

2022-2022学年高二数学上学期期中质量检测试卷试题—附答案2022-2022学年第一学期高二数学期中质量检测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（5某12=60分）1．把二进制数化为十进制数为（）A.B.C.D.2．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A.3B.4C.5D.63．设为实数，命题：，.则命题的否定是（）A.：，B.：，C.：，D.：，4．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（）A.，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 B.，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C.，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D.，乙比甲稳定，应选乙参加比赛5．如图是根据变量，的观测数据（1,2,3…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有相关关系的图是（）①②③④A.①②B.②③C.①④D.③④6．某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样：③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是．其中说法正确的为（）A.①②③B.②③C.②③④D.③④7．已知变量某与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=1.5，=5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.B.C.D.8．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（）A.B.C.D.9．2022年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）A.B.C.D.10．一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，下图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为（）A.2B.3C.4D.511．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．12．已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形二、填空题（5某4=20分）13．某班级有名学生，现采取系统抽样的方法在这名学生中抽取名，将这名学生随机編号号，并分组，第一组，第二组，，第十组，若在第三组中抽得的号码为号的学生，在第八组中抽得的号码为_____的学生.14．在区间上随机选取一个实数某，则事件“”发生的概率为_____.15．若椭圆上的点到两焦点距离之和为，则该椭圆的短轴长为______.16．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．两人能会面的概率为________．三、解答题17（10分）．某大学高等数学这学期分别用两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”（参考方式：，其中）（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.18（12）．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并理由.19（12）．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，分成5组，制成如图所示频率分直方图．（1）求图中某的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．20．已知，设命题：实数满足，命题：实数满足．（1）若，为真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．21（12分）．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长是10，离心率是；（2）在某轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．22（12分）．点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）直线被椭圆截得的弦长为，求的值参考答案1．A2C3D4B5D6A7A8B9B10B11A12B13．4414．15．16．17．（1）见解析；（2）.试题解析：（1）甲班乙班合计优秀不优秀合计，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关.（2）甲班不低于80分有6人，随机抽取两人，用列举法列出15种情况，至少有1名86分的情况有9种，18．(1)男、女同学的人数分别为3人，1人；(2)；(3)第二位同学的实验更稳定，（1）设有名男同学，则，∴，∴男、女同学的人数分别为3人，1人（2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为（3），，因，所以第二位同学的实验更稳定.19．（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）（1）由，解得．（2）这组数据的平均数为．中位数设为，则，解得（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人．记为记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，利用古典概型概率公式可知.20．（1）（2）由，得，（1）若，则：，若为真，则，同时为真，即，解得，∴实数的取值范围.（2）由，得，解得.即：.若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，则必有，此时：，.则有，即，解得.21．（1）+=1或+=1；（2）+=1解：（1）设椭圆的方程为：+=1（a＞b＞0）或+=1（a＞b＞0），由已知得：2a=10，a=5，e==，故c=4，故b2=a2-c2=25-16=9，故椭圆的方程是：+=1或+=1；（2）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，∵在某轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．故所求椭圆的方程为+=1．22．（1）；（2）（1）由点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．可得，解得，进而，所以椭圆方程为：.（2）设直线与曲线的交点分别为联立得,,即又，，化简，整理得，∴，符合题意.综上，.。

高二期中考试(数学)试卷含答案解析

高二期中考试(数学)试卷含答案解析

高二期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．2i12i-=+（）A．1 B．−1 C．i D．−i2.（5分）2．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+13.（5分）3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4.（5分）4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%5.（5分）5．设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．106.（5分）6．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A．10B．18C ．20D ．367.（5分）7．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．108.（5分）8．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种9.（5分）9．北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红､迎春黄､天霁蓝､长城灰､瑞雪白；间色包括天青､梅红､竹绿､冰蓝､吉柿；辅助色包括墨､金､银.若各赛事纪念品的色彩设计要求：主色至少一种､至多两种，间色两种､辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､冰蓝､银色这三种颜色的概率为（ ） A ．8225B ．245C ．115D ．21510.（5分）10．如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．1511.（5分）11．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名12.（5分）12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数()y f x =满足：()()x xf x f x xe '-=且(1)3f =-，(2)0f =．则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．14.（5分）14．262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15.（5分）15．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.16.（5分）16．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.18.（12分）18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.19.（12分）19．（12分）已知函数3()6ln f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅰ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； 20.（12分）20．（12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1、q 1和p 2、q 2；（2）求X 2的分布列和数学期望E (X 2) ．21.（12分）21．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22.（12分）22．（12分）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅰ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：（Ⅰ0x ≤≤； （Ⅰ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1D 2.（5分） 2B 3.（5分） 3 C 4.（5分） 4C 5.（5分） 5C 6.（5分）6B 7.（5分） 7C 8.（5分） 8 C 9.（5分） 9 B 10.（5分） 10C 11.（5分） 11 B 12.（5分） 12 A二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．1 14.（5分） 14． 24015.（5分） 15． 16.（5分） 16．45三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）【解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.……（5分）（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.……（10分）18.（12分）18．（12分）【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=……（4分） （2）样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑……（4分）（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. ……（4分）19.（12分）19．（12分） 【答案】（Ⅰ）98y x =-；（Ⅰ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；【解】(Ⅰ) ∵()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.…4分 （Ⅰ） 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值. ……（12分）20.（12分）20．（12分）【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）；详见解析【解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯.……（8分） （2）227(2)27P X p ===；2216(1)27P X q ===；22124(0)33327P X ==⨯⨯=；∴2X 的分布列为故210()9E X =.；……（12分） 21.（12分）21．（12分）【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；……（4分） （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. ……（12分）22.（12分）22．（12分）【答案】（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析. 【解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；……（4分） （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xex x e x x ∴--≤≤--≤≤（8分）（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--， 即只需证明224(2)(1)(1)ae e a -≥--， 令22()4(2)(1)(1),(12)as a e e a a =----<≤， 则22()8(2)(1)8(2)(1)0aas a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a≥--.……（12分）。

2022-2023学年全国高中高二上数学人教A版期中试卷(含解析)

2022-2023学年全国高中高二上数学人教A版期中试卷(含解析)

2022-2023学年全国高二上数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 直线的倾斜角满足： ，且过点 ，则的方程为( )A.B.C.D.2. 已知椭圆 的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作 轴垂线，该垂线与直线交点为，若 ，且 的面积为 ，则的标准方程为( )A.B.C.D.3. 设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为( )A.B.C.D.l αtan α=2l (1,0)l y =2x −1y =2x −2x +2y −2=0x −2y −2=0C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F B A F x AB M =3AM −→−BM −→−△AFM 93–√2C +=1x 28y 26+=1x 24y 23+=1x 22y 2+=1x 24y 22P +=4(x −3)2(y +1)2Q 3x −4y +12=0|PQ|12344. 圆与圆的公共弦长为（ ）A.B.C.D.5. 规定：若双曲线与双曲线 的渐近线相同，则称双曲线与双曲线为“等渐双曲线”设为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左顶点和右焦点，为等边三角形，双曲线 与双曲线 为”等渐双曲线”，且双曲线 的焦距为，则双曲线的标准方程是( )A.B.C.D.6. 已知圆＝，直线＝，点在直线上．若存在圆上的点，使得＝（为坐标原点），则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 设椭圆的左、右焦点分别为点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是( )A. +=8x 2y 2++4x −16=0x 2y 28421C 1C 2C 1C 2.M :−=1(a >0,b >0)C 1x 2a 2y 2b 2A F C 1△MAF C 1:−=1(>0,>0)C 2x 2a ′2y 2b ′2a ′b ′C 282–√C 2−=1x 230y 22−=1x 22y 230−=1x 260y 24−=1x 24y 260O :+x 2y 22l :x +2y −40P(,)x 0y 0l C Q ∠OPQ 45∘O x 0[0,1][0,]85[−,1]12[−,]1285+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(−c ，0)，(c ，0)，F 1F 2N(c ，)a 2M |M |+|MN|<||F 132F 1F 2e (0，)2–√2，1)–√B. C. D.8. 在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列说法正确的是 A.“”是“点到直线的距离为”的充要条件B.直线的倾斜角的取值范围为）C.直线与直线平行，且与圆相切D.离心率为的双曲线的渐近线方程为10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列结论中成立的有( )A.抛物线的准线方程为B.线段长度的最小值为C.D.11. 下列结论正确的是( )A.已知点在圆上，则的最小值是B.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为(，1)2–√2(，)2–√256(，1)562ABCD −A 1B 1C 1D 1E F C 1D 1B 1C 1P A 1B 1C 1D 1AP//BDEF P 12–√222–√()c =5(2,1)3x +4y +c =03x sin α−y +1=0[0,]∪[,ππ43π4y =−2x +52x +y +1=0+=5x 2y 23–√y =±x2–√C :=2px (p >0)y 2F 2F P,Q O C y =−1PQ 4≥2S △OPQ ⋅=−3OP −→−OQ −→−P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y +2x 43kx −y −k −1=0M (−3,1),N (3,2)k −≤k ≤1232P (a,b)+=222ax +by =2C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交D.若圆上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是12. 如图，已知为正方体，，分别是，的中点，则（ ）A.B.C.向量与向量的夹角是D.异面直线与所成的角为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知直线：过抛物线：的焦点，交抛物线于、两点，若，则直线的斜率为________．14. 如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心）中，所有棱长都为，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．15. 已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴右侧，且截直线＝所得弦的长为，则圆的方程为________．16. 直三棱柱中，若，则点到平面的距离为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）P (a,b)+=x 2y 2r 2l ax +by =r 2l M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2N (1,0)1r (4,6)ABCD −A 1B 1C 1D 1E F BC C A 1⋅(−)=0C A 1−→−A 1B 1−→−−A A 1−→−(++=6B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−)2CD−→−2B A 1−→−AD 1−→−60∘EF DD 145∘l x =my +1C =2px y 2F C A B =2AF −→−FB −→−l P −ABCD 2M PA N PC BN MD x 5–√y x +2y 02ABC −A 1B 1C 1∠BAC =，AB =AC =，A =290∘2–√A 1A B A 1C 117. 求过直线与的交点，且与直线平行的直线方程． 18. 如图，四面体中，、分别、的中点，，．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值的大小；（3）求点到平面的距离．19. 已知：圆与轴交于，两点（为坐标原点），圆经过，两点，且与直线相切．求圆的方程；若点，点为圆上异于点，的动点，直线与圆交于另一点（不同于点），证明： . 20. 已知直三棱柱的底面为正三角形，，分别是，上的点，且满足，．（1）求证：平面平面；（2）设直三棱柱的棱长均相等，求二面角的余弦值．21. 已知动点与点的距离比它到直线的距离小．求动点的轨迹的方程；设为直线上任一点，过点作曲线的切线，，切点分别为，，直线，与轴分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求证：与的乘积为定值．22. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.2x −y +1=0x −y +5=02x +y −5=0ABCD O E BD BC AB =AD =2CA =CB =CD =BD =22–√AO ⊥BCD AD BC D ABC :+=5C 1(x +1)2(y −2)2y O A O C 2O A OC 1(1)C 2(2)P (3,4)M C 1A O MO C 2N O PM =PN ABC −A 1B 1C 1E F A 1C 1B 1C 1E =E A 1C 1F =3F B 1C 1AEF ⊥B C B 1C 1ABC −A 1B 1C 1−AE −B C 1P F (1,0)l :x +2=01(1)P C (2)P x =−1P C PA PB A B PA PB y M N M N m n m n C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】直线的点斜式方程直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：设直线的方程为，，即，将点 代入得，.故选.2.【答案】A【考点】椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，且，则，所以，；l (y −)=k(x −)y0x 0tan α=2k =2(1,0)y =2(x −1)=2x −2B =3AM −→−BM −→−OB//FM==aa +cb ||FM −→−23||=b FM −→−32a =2c =−222又因为，所以，则.根据的面积为，从而求得，则，，所以椭圆的标准方程为：.故选.3.【答案】C【考点】点到直线的距离公式【解析】先求出圆心到直线的距离，利用的最小值为进行求解.【解答】解：圆的圆心坐标为，半径，∵圆心到直线的距离为，∴的最小值为.故选.4.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析=−b 2a 2c 2b =c 3–√||=c FM −→−33–√2△AFM 93–√2c =2–√a =22–√b =6–√C +=1x 28y 26A (3,−1)3x −4y +12=0d |PQ|d −r =5−2=3+=4(x −3)2(y +1)2(3,−1)r =2(3,−1)3x −4y +12=0d ==5|3×3−4×(−1)+12|+3242−−−−−−√|PQ|d −r =5−2=3C【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：据题意可知， ，由分析知，点坐标为 或 ，点在双曲线上，∴ .又∴，∴ 解得故双曲线 的标准方程是 .故选6.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】根据条件若存在圆上的点，使得＝（为坐标原点），等价即可，求出不等式的解集即可得到的范围【解答】=,+=(=32b ′a ′b a a ′2b ′282–√2)2M (,(a +c))−a +c 23–√2(,−(a +c))−a +c 23–√2M C 1−=1(−a +c 2)2a 2(a +c 34)2b 2=+,c 2a 2b 2(=15b a )2==b ′a ′b a 15−−√.=2,=30.a ′2b ′2C 2−=1x 22y 230B.C Q ∠OPQ 45∘O PO ≤2x 0O Q ∠OPQ PQ圆外有一点，圆上有一动点，在与圆相切时取得最大值．如果变长，那么可以获得的最大值将变小．可以得知，当＝，且与圆相切时，＝，而当时，在圆上任意移动，恒成立．因此满足，就能保证一定存在点，使得＝，否则，这样的点是不存在的；∵点在直线＝上，∴＝，即∵＝＝，∴，解得，，∴的取值范围是7.【答案】D【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：∵在椭圆的外部，则，解得，∴，即，由椭圆性质可得：.在中，，∵恒成立，∴.解得即.所以椭圆离心的取值范围是.故选.8.【答案】B O P Q ∠OPQ PQ OP ∠OPQ ∠OPQ 45∘PQ PO 2PO >2Q ∠OPQ <45∘PO ≤2Q ∠OPQ 45∘Q P(,)x 0y 0x +2y −40+2−4x 0y 00=y 04−x 02|OP |2+x 20y 20+(=−2+4≤4x 204−x 02)254x 20x 0−2≤054x 20x 00≤≤x 085x 0[0,]85N(c ，)a 2>a 2b 2a >2a 2b 2>c a 2–√2e >2–√2|M |+|MN|=2a −|M |+|MN|F 1F 2△MNF 2|MN|−|M |≤N =F 2F 2a 2|M |+|MN|<||F 132F 1F 22a +<⋅2c a 232>，c a 56e >56(，1)56D【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算【解析】【解答】解：如图所示，分别取棱，的中点，，连接，，∵，，，为所在棱的中点，∴，．∴，又平面，平面，∴平面，连接，由，，，，可得，，则四边形为平行四边形，则，而平面，平面，则平面．又，∴平面平面．又是上底面内一点，且平面，∴点在线段上，又，∴点的轨迹长为 .故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C【考点】A 1B 1A 1D 1M N MN B 1D 1M N E F MN//B 1D 1EF//B 1D 1MN//EF MN ⊂BDEF EF ⊂BDEF MN//BDEF NF NF//A 1B 1NF =A 1B 1//AB A 1B 1=AB A 1B 1NF//AB NF =AB ANFB AN//FB AN ⊂BDEF FB ⊂BDEF AN//BDEF AN ∩NM =N AMN//BDEF P A 1B 1C 1D 1AP//BDEF P MN MN =12B 1D 1P 2–√B双曲线的渐近线命题的真假判断与应用直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：，由题意可得，解得或，故“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故错误；，直线方程可化为，因为，所以该直线倾斜角的取值范围为，故正确；，易知，直线与直线平行，圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故正确；，由题意得，且，则，当双曲线焦点在轴时，渐近线方程为，当双曲线焦点在轴时，渐近线方程为，故错误.故选.10.【答案】B,C,D【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线结合的最值问题【解析】无【解答】解：焦点到准线的距离为，所以抛物线的焦点为，准线方程为，则选项错误；当垂直于轴时长度最小，此时，，所以，则选项正确；A d ==3|3×2+4×1+c|+3242−−−−−−√c =5c =−25c =5(2,1)3x +4y +c =03A B y =sin αx +1−1≤sin α≤1[0,]∪[,π)π43π4B C y =−2x +52x +y +1=0y =−2x +5d ===r |5|+1222−−−−−−√5–√y =−2x +5+=5x 2y 2C D e ==3–√c a +=a 2b 2c 2b =a 2–√x y =±x 2–√y y =±x 2–√2D BC F p =2C (1,0)x =−1A PQ x P (1,2)Q (1,−2)|PQ|=4B P(，)Q(,)PQ设，，直线的方程为，联立消去，可得，消去，可得，所以，，，所以，当时成立，则选项正确；又，，所以，则选项正确.故选．11.【答案】C,D【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线和圆的方程的应用直线与圆相交的性质命题的真假判断与应用斜率的计算公式【解析】选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；选项中直线恒过点，计算即可求解；选项中利用圆心到直线距离及点在圆外即可判断；选项根据以为圆心，为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解．【解答】解：选项，设 ，则，因为点在圆 上，所以直线与圆有交点，因此圆心到直线的距离 ，解得 或，故错误；选项，由得，所以即直线过点，P(，)x 1y 1Q(,)x 2y 2PQ x =my +1{x =my +1，=2px ，y 2y −(4+2)x +1=0x 2m 2x −4my −4=0y 2+=4+2x 1x 2m 2+=4m y 1y 2=−4y 1y 2=|OF||−|S △OPQ 12y 1y 2=×1×12−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=×≥21216+16m 2−−−−−−−−√m =0C =1x 1x 2=−4y 1y 2⋅=+=−3OP −→−OQ −→−x 1x 2y 1y 2D BCD A B kx −y −1−1=0P (1,−1),k PM k PN C P D N 1A k =y +2xy =kx −2P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y =kx −2C :+=2(x −1)2(y −1)2(1,1)y =kx −2d =≤|k −3|1+k 2−−−−−√2–√k ≤−7k ≥1A B kx −y −k −1=0k (x −1)−(y +1)=0{x =1，y =−1，kx −y −k −1=0P (1,−1)因为直线和以，为端点的线段相交，所以只需或 ，故错误；选项，圆的圆心到直线的距离 ，而点是圆外一点，所以 ，所以 ，所以直线与圆相交，故正确；选项，与点的距离为的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足 ，解得 ，故正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】向量加减混合运算及其几何意义棱柱的结构特征空间向量运算的坐标表示用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果．【解答】解：在正方体中，以点为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，kx −y −k −1=0M (−3,1)N (3,2)k ≥==k PN 2−(−1)3−132k ≤==−k PM 1−(−1)−3−112B C +=x 2y 2r 2(0,0)ax +by =r 2d =r 2+a 2b 2−−−−−−√P (a,b)+=x 2y 2r 2+>a 2b 2r 2d =<=r r 2+a 2b 2−−−−−−√r 2r l C D N (1,0)1+=1(x −1)2y 2M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2+=1(x −1)2y 2d =MN =5r −1<d =5<r +14<r <6D CD ABCD −A 1B 1C 1D 1A AB AD AA 1x y z 2ABCD −A 1B 1C 1D 1A AB AD AA 1x y z，设正方体棱长为，则，，，，，，，所以，，因此，故正确；，又，，所以，，因此，故正确；，因为，，所以，因此向量与向量的夹角是，故错误；，因为，分别是，的中点，所以，，则，又，所以，又异面直线的夹角大于且小于等于，所以异面直线与所成的角为，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】A 2A (0,0,0)(0,0,2)A 1B (2,0,0)(2,0,2)B 1C (2,2,0)D (0,2,0)(0,2,2)D 1=(2,2,−2)C A 1−→−−==(2,0,2)A 1B 1−→−−A A 1−→−AB 1−→−⋅(−)=⋅=4−4=0C A 1−→−A 1B 1−→−−A A 1−→−C A 1−→−AB 1−→−A B ++=+B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−A B 1−→−C B 1−→−=(−2,0,−2)+(0,2,−2)=(−2,2,−4)=(−2,0,0)CD −→−(++B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−)2=4+4+16=246=24CD −→−2=6(++)B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−2CD −→−2B C =(2,0,−2)B A 1−→−=(0,2,2)AD −→−1cos , =B A 1−→−AD 1−→−⋅B A 1−→−AD 1−→−|||B A 1−→−A |D 1−→−−==−−4×4+4−−−−√4+4−−−−√12B A 1−→−AD 1−→−120∘C D E F BC C A 1E (2,1,0)F (1,1,1)=(−1,0,1)EF −→−=(0,0,2)DD 1−→−−cos , =EF −→−DD 1−→−−⋅EF −→−DD 1−→−−||||EF −→−DD 1−→−−==2×21+1−−−−√2–√20∘90∘EF DD 145∘D ABD抛物线的标准方程【解析】【解答】14.【答案】【考点】二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】＝【考点】圆的标准方程【解析】根据题意，设圆的圆心的坐标为，则圆的方程为＝，，由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线＝的距离，由此可得＝，解可得的值，将的值代入圆的方程可得答案．【解答】根据题意，设圆的圆心坐标为，则其标准方程为＝，，则圆心到直线＝的距离，又由该圆截直线＝所得弦的长为，则有＝，解可得＝，又由，则＝，故要求圆的方程为＝，16.(x −2+5–√)2y 25(a,0)(x −a +)2y 25(a >0)x +2y 01+(a 5–√5)25a a (a,0)(x −a +)2y 25(a >0)x +2y 0d ==a |a +2×0|1+22−−−−−√5–√5x +2y 021+(a 5–√5)25a ±25–√a >0a 25–√(x −2+5–√)2y 25点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：由．求得，∴直线与的交点为与直线平行的直线一般式方程为，把点代入可得，故所求的直线方程为．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系直线的点斜式方程两条直线的交点坐标【解析】解方程组求得交点坐标，设与直线平行的直线一般式方程为，把交点代入可得的值，从而求得所求的直线方程．【解答】解：由．求得，∴直线与的交点为与直线平行的直线一般式方程为，把点代入可得，故所求的直线方程为．18.{2x −y +1=0x −y +5=0{x =4y =92x −y +1=0x −y +5=0(4,9)2x +y −5=02x +y +λ=0(4,9)λ=−172x +y −17=0x +2y −3=0x +2y +λ=0λ{2x −y +1=0x −y +5=0{x =4y =92x −y +1=0x −y +5=0(4,9)2x +y −5=02x +y +λ=0(4,9)λ=−172x +y −17=0直线与平面垂直的判定异面直线及其所成的角点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：，令，得，∴可设圆心为，又点，∴直线的方程为，∴点到直线的距离，即，解得，∴圆的方程为： ．证明：①当直线的斜率为零时，易求，，线段中点，则，∴，②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为：，联立解得，联立解得，∴线段中点，∴ ，∴，∴．(1)+=5(x +1)2(y −2)2x =0A (0,4)C 2(a,2)(−1,2)C 1OC 12x +y =0C 2OC 1d =|O |C 2|=|2a +2|5–√+4a 2−−−−−√a =4C 2+=20(x −4)2(y −2)2(2)MO M (−2,0)N (8,0)MN Q (3,0)PQ ⊥MN PM =PN MO MO y =kx {y =kx,+=5.(x +1)2(y −2)2M (,)4k −21+k 24−2k k 21+k 2{y =kx,+=20.(x −4)2(y −2)2N (,)4k +81+k 24+8k k 21+k 2MN Q (,)4k +31+k 24+3k k 21+k 2==−k PQ −44+3k k 21+k 2−34k +31+k 21k PQ ⊥MN PM =PN直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】无无【解答】解：，令，得，∴可设圆心为，又点，∴直线的方程为，∴点到直线的距离，即，解得，∴圆的方程为： ．证明：①当直线的斜率为零时，易求，，线段中点，则，∴，②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为：，联立解得，联立解得，∴线段中点，∴ ，∴，∴．20.【答案】(1)+=5(x +1)2(y −2)2x =0A (0,4)C 2(a,2)(−1,2)C 1OC 12x +y =0C 2OC 1d =|O |C 2|=|2a +2|5–√+4a 2−−−−−√a =4C 2+=20(x −4)2(y −2)2(2)MO M (−2,0)N (8,0)MN Q (3,0)PQ ⊥MN PM =PN MO MO y =kx {y =kx,+=5.(x +1)2(y −2)2M (,)4k −21+k 24−2k k 21+k 2{y =kx,+=20.(x −4)2(y −2)2N (,)4k +81+k 24+8k k 21+k 2MN Q (,)4k +31+k 24+3k k 21+k 2==−k PQ −44+3k k 21+k 2−34k +31+k 21k PQ ⊥MN PM =PN B C G GA证明：（1）取的中点，连结，∵，，∴，在等边中，由是的中点，知，∴，∵三棱柱是直棱柱，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．解：（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱的棱均为，则，，，∴，，设是平面的一个法向量，由，取，得，平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直的判定【解析】（1）取的中点，连结，推导出，，从而，由三棱柱是直棱柱，得到，从而平面，由此能证明平面平面．（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取的中点，连结，∵，，∴，在等边中，由是的中点，知，∴，∵三棱柱是直棱柱，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．解：（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱的棱均为，则，，，∴，，设是平面的一个法向量，B 1C 1G G A 1F =3F B 1C 1FG =FC 1EF //G A 1△A 1B 1C 1G B 1C 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥B 1A 1B 1C 1EF ⊂A 1B 1C 1B ⊥EF B 1B ∩=B 1B 1C 1B 1EF ⊥B C B 1C 1EF ⊂AEF AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z ABC −A 1B 1C 12A(0,0,0)B(,1,0)3–√E(0,1,2)=(0,1,2)AE −→−=(,1,0)AB −→−3–√=(x,y,z)n →ABE {⋅=x +y =0n →AB −→−3–√˙x =−2=(−2,2,−)n →3–√3–√AEC 1=(1,0,0)m →−AE −B C 1θcos θ===||⋅||m →n →˙219−−√219−−√19−AE −B C 1219−−√19B 1C 1G G A 1EF //G A 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥EF B 1EF ⊥B C B 1C 1AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z −AE −B C 1B 1C 1G G A 1F =3F B 1C 1FG =FC 1EF //G A 1△A 1B 1C 1G B 1C 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥B 1A 1B 1C 1EF ⊂A 1B 1C 1B ⊥EF B 1B ∩=B 1B 1C 1B 1EF ⊥B C B 1C 1EF ⊂AEF AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z ABC −A 1B 1C 12A(0,0,0)B(,1,0)3–√E(0,1,2)=(0,1,2)AE −→−=(,1,0)AB −→−3–√=(x,y,z)n →ABE ˙由，取，得，平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．21.【答案】解：∵点与的距离比它到直线的距离小，点与的距离到直线的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故抛物线的标准方程为．设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为．据得．所以，得．同理，得，所以分别令，得，，所以.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题抛物线的标准方程轨迹方程【解析】【解答】解：∵点与的距离比它到直线的距离小，点与的距离到直线的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，{⋅=x +y =0n →AB −→−3–√˙x =−2=(−2,2,−)n →3–√3–√AEC 1=(1,0,0)m →−AE −B C 1θcos θ===||⋅||m →n →˙219−−√219−−√19−AE −B C 1219−−√19(1)P F(1,0)l :x =−21∴P F(1,0)l :x =−1∴P F(1,0)l :x =−1C =4x y 2(2)P (−1,)y 0AP y =(x +1)+k 1y 0BP y =(x +1)+k 2y 0{=4x,y 2y =(x +1)+,k 1y 0−4y +4+4=0k 1y 2k 1y 0Δ=16−4(4+4)=0k 1k 1y 0+−1=0k 21y 0k 1+−1=0k 22y 0k 2{+=−，k 1k 2y 0=−1，k 1k 2x =0m =+k 1y 0n =+k 2y 0mn =(+)(+)k 1y 0k 2y 0=+(+)+y 20k 1k 2y 0k 1k 2=−−1y 20y 20=−1(1)P F(1,0)l :x =−21∴P F(1,0)l :x =−1∴P F(1,0)l :x =−1=4x 2故抛物线的标准方程为．设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为．据得．所以，得．同理，得，所以分别令，得，，所以.22.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得C =4x y 2(2)P (−1,)y 0AP y =(x +1)+k 1y 0BP y =(x +1)+k 2y 0{=4x,y 2y =(x +1)+,k 1y 0−4y +4+4=0k 1y 2k 1y 0Δ=16−4(4+4)=0k 1k 1y 0+−1=0k 21y 0k 1+−1=0k 22y 0k 2{+=−，k 1k 2y 0=−1，k 1k 2x =0m =+k 1y 0n =+k 2y 0mn =(+)(+)k 1y 0k 2y 0=+(+)+y 20k 1k 2y 0k 1k 2=−−1y 20y 20=−1(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2−24，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)。

人教版高二上册数学期中数学试卷带答案

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2020-2021学年高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)1. 已知a>b，c>d>0，则（）A.1 a <1bB.a−c>b−dC.ac>bdD.dc<d+4c+42. 关于x的不等式x+1x−2≥0的解集为（）A.(−∞, −1]∪(2, +∞)B.[−1, 2)C.(−∞, −1]∪[2, +∞)D.[−1, 2]3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＝1，且S6−S2＝10，则a3+a4＝（）A.2B.3C.4D.54. 若不等式ax2+bx−1<0的解集为{x|−1<x<2}，则a+b的值为（）A.−14B.0 C.12D.15. 已知等比数列{a n}中，a2a3a4=1，a6a7a8＝64，则a5＝（）A.±2B.−2C.2D.46. 已知在数列{a n}中，a1=2,a n+1=nn+1a n，则a2020的值为（）A.1 2020B.12019C.11010D.110097. 已知a>0，b>0，a+b＝3，则y=4a +1b+1的最小值为（）A.9 8B.94C.92D.98. 已知数列{b n}满足b n=2λ(−12)n−1−n2，若数列{b n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A.(−1, 103) B.(−12, 103) C.(−1, 1) D.(−12, 1)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.)9. 下列说法正确的有（）A.“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件B.“1a >1b”是“a<b”的既不充分又不必要条件C.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件D.“a>b>0”是“a n>b n(n∈N, n≥2)”的充要条件10. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，2a5+a11＝0，则（）A.a8<0B.当且仅当n＝7时，S n取得最大值C.S4＝S9D.满足S n>0的n的最大值为1211. 已知a，b均为正实数，且a+b＝1，则（）A.a2+b2的最小值为12B.ab+1ab的最小值为2C.√a+√b的最大值为√2D.1a +1b的最大值为412. 对于数列{a n}，定义：b n=a n−1a n(n∈N∗)，称数列{b n}是{a n}的“倒差数列”．下列叙述正确的有（）A.若数列{a n}单调递增，则数列{b n}单调递增B.若数列{b n}是常数列，数列{a n}不是常数列，则数列{a n}是周期数列C.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}没有最小值D.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}有最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.)13. 命题“∃x∈R，x2−2x+m≤0”的否定是________．14. 在等比数列{a n }中，已知a 3⋅a 8=10，则a 53⋅a 7的值为________．15. 已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则x +3y 的最小值为________．16. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为________，此数列的通项公式a n ＝ {n 2−12(n)n 22(n)．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在①f(x +1)−f(x)＝2ax ，②f(x)的对称轴为x =12，③f(1)＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．已知二次函数f(x)＝ax 2+bx +1，若_____，且不等式f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立，试求实数a 的取值范围．18. 已知数列{a n }是公比q >1的等比数列，若a 1+a 2+a 3＝14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，数列{1b n b n+1}的前n 项和为T n ，若T n <m 2−1对n ∈N ∗恒成立，求满足条件的自然数m 的最小值．19. 已知数列{a n }中，a 1＝2，且满足a n+1−2a n ＝2n+1(n ∈N ∗)．（1）求证：数列{a n2n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对于数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．20. 已知函数f(x)=a⋅2x +12x −1,a ∈R ．（1）当a ＝1时，求不等式f(x)>3的解集；（2）若不等式|f(2x)−f(x)|≤1对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数a的取值范围．21. 如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC．为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即△ABC的周长）为l．设EC＝x百米．（1）试用x表示线段BC的长度；（2）求l关于x的函数解析式f(x)，并求f(x)的最小值．22. 已知数列{a n}为等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）若a1＝0，d＝2，求S100的值；,8)内，求d的取值范围；（2）若a1＝−1，{a n}中恰有6项在区间(12（3）若a1＝1，S2＝3，集合A={a n|n∈N∗}，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列{b n}，使得此新数列{b n}满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：叫作数a和数b的调和平均数）．数2aba+b参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】D【解析】由不等式的性质逐一判断即可．2.【答案】C【解析】根据题意，原不等式变形可得(x+1)(x−2)>0或x+1＝0，解可得x的取值范围，即可得答案．3.【答案】B【解析】先根据求和公式和等差数列的性质可得a5+a4＝5，即可求出a3+a4．4.【答案】B【解析】不等式ax2+bx−1<0的解集是{x|−1<x<2}，故−1，2是方程ax2+bx−1＝0的两个根，由根与系数的关系求出a，b．5.【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4=1，a6a7a8＝64，可得(q4)3＝64，解得q2．又(a1q2)3=1，解得a1．利用通项公式即可得出．6.【答案】C【解析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．7.【答案】B【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．8.【答案】A【解析】)n−2n−1<0，分类讨论，根据数列的根据函数为递减数列可得b n+1−b n＝6λ(−12函数特征即可求出．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.9.【答案】A,B,C【解析】利用不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法即可判断出正误．10.【答案】A,C,D【解析】2a5+a11＝0利用通项公式可得：a1＝−6d．根据a1>0，可得d<0，利用通项公式和求和公式进而判断出结论．11.【答案】A,C,D【解析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．12.【答案】B,D【解析】对于A，根据函数f(x)＝x−1在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，但在整个定义域上不x是单调递增，即可判断；=t，通过数列的递推关系可得数列{a n}是以2为周期的周期数对于B，设b n＝a n−1a n列，)n，分了n为奇数和偶数，利用数列的单调性即可判断．对于CD，若a n＝1−(−12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.13.【答案】∀x∈R，x2−2x+m>0【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．14.【答案】100【解析】根据等比数列的性质即可求出．15.【答案】6【解析】此题暂无解析16.【答案】180【解析】直接利用数据求出数列的关系式和通项公式．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】选①f(x+1)−f(x)＝2ax，∵f(x)＝ax2+bx+1，∴a(1+x)2+b(1+x)+1−ax2−bx−1＝2ax，整理可得，2ax+a+b＝2ax，∴a+b＝0，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选②：f(x)的对称轴为x=12，∴−b2a =12，∴b＝−a，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选③：f(1)＝2，∴a+b+1＝2即b＝1−a，∵f(x)＝ax2+(1−a)x+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，x+1≥0不恒成立，当a≠0时，{a>0(1−a)2−4a≤0，解得3−2√2≤a≤3+2√2，故3−2√2≤a≤3+2√2．【解析】选①：f(x+1)−f(x)＝2ax，结合已知二次函数代入可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选②：f(x)的对称轴为x=12，结合已知二次函的对称轴方程可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选③：f(1)＝2，直接代入可得b＝1−a，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求．18.【答案】数列{a n}是公比q>1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项．所以{a1+a2+a3=142(a2+1)=a1+a3，整理得{a1+qa1+a1⋅q2=142(a1⋅q+1)=a1+a1⋅q2，解得{a1=2q=2，故a n=2n．由于b n＝log2a n＝n，所以1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，所以T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1<1，若T n<m2−1对n∈N∗恒成立，只需满足m2−1≥1即可，故m≥4，即满足条件的自然数m的最小值为4．【解析】（1）直接利用已知条件和关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法和恒成立问题的应用求出数列的和及m的最小值．19.【答案】数列{a n}中，a1＝2，且满足a n+1−2a n＝2n+1(n∈N∗)．整理得a n+12n+1−a n2n=1（常数），所以数列{a n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n2n=1+(n−1)=n，所以a n=n⋅2n．证明：由于a n=n⋅2n，所以b1+2b2+...+nb n＝n⋅2n①，当n＝1时，b1＝2，当n≥2时，b1+2b2+⋯+(n−1)b n−1=(n−1)⋅2n−1②，①-②得：nb n=n⋅2n−(n−1)⋅2n2=(n+1)⋅2n2，所以b n=(n+1)2n−1n，（首项符合通项），所以b n=(n+1)2n−1n，即数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．【解析】（1）直接利用构造新数列的应用求出数列的通项公式； （2）利用数列的递推关系式的应用求出结果． 20. 【答案】当a ＝1时，f(x)=2x +12x −1，由f(x)>3，即2x +12x −1>3，化为2−2x2x −1>0， 即1<2x <2，可得0<x <1， 则解集为(0, 1)； f(x)=a⋅2x +12x −1=a +a+12x −1，则f(2x)−f(x)=a+122x −1−a+12x −1=(a +1)⋅−2x22x −1，令t ＝2x ，因为x ∈[1, 2]，可得t ∈[2, 4]， 由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x=t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t )min ，而g(t)＝t −1t 在[2, 4]递增，可得g(t)min ＝g(2)=32， 则|a +1|≤32，解得−52≤a ≤12， 则a 的取值范围是[−52, 12]． 【解析】（1）由题意可得f(x)=2x +12x −1，由指数不等式的解法和指数函数的单调性，可得所求解集；（2）计算f(2x)−f(x)，令t ＝2x ，t ∈[2, 4]，由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x =t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t)min ，运用g(t)＝t −1t在[2, 4]的单调性，可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围． 21.【答案】∵ AB ⊥AC ，∴ ∠EAC +∠BAD ＝90∘，在Rt △ABD 中，∠ABD +∠BAD ＝90∘，∴ ∠EAC ＝∠ABD ，则Rt △CAE ∽Rt △ABD ， ∴ ACAB =ECAD ．∵ EC ＝x ，AC =√AE 2+EC 2=√1+x 2，AD ＝1，∴AB=1×√1+x2x =√1+x2x，则BC=√AB2+AC2=√1+x2+1+x2x2=√x2+2+1x2=x+1x；f(x)=√1+x2+√1+x2x +x+1x，x>0．∵x>0，∴f(x)≥2√√1+x2⋅√1+x2x +2√x⋅1x=2√1x+x+2≥2√2+2．当且仅当√1+x2=√1+x2x ，且1x=x，即x＝1时取“＝”．∴f(x)min=2√2+2，故景观桥总长的最小值为(2√2+2)百米．【解析】（1）由已知证明Rt△CAE∽Rt△ABD，得ACAB =ECAD，由EC＝x，得AC=√AE2+EC2=√1+x2，AD＝1，再由勾股定理求BC；（2）写出f(x)的表达式，然后利用基本不等式求最值．22.【答案】因为a1＝0，d＝2，又因为S n＝na1+n(n−1)2⋅d，所以S100＝100×0+12×100×99×2＝9900；设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，则{a m>12 a m−1≤12a m+5<8 a m+6≥8，即有{−1+(m−1)d>12−1+(m−2)d≤12−1+(m+4)d<8−1+(m+5)d≥8，解得{32(m−1)<d≤32(m−2)9m+5≤d<9m+4，所以{32(m−1)<9m+49 m+5≤32(m−2)，解得m∈(2, 175]，所以m＝3，所以d∈[98, 97 )；因为a1＝1，S2＝a1+a2＝3，所以a2＝2，d＝a2−a1＝1，所以a n＝n，①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m，若a n=2a m a ma m+a m=a m，矛盾；若a m=2a n a ma n+a m，解得a m＝a n，所以a n，a m是两个不同项，且a m≥1，a n≥1，所以a n≠a m，所以新数列{b n}中有两个相同和一个不同项是不成立的；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，设m＝a m，n＝a n，r＝a r，且m<n<r，b1＝m，b2＝n，则a n=2a m a ra m+a r ，即n=2mrm+r，解得r=mn2m−n ，设第四项为p，则r=2npn+p，即p=nr2n−r =mn22m−n2n−mn2m−n=mn3m−2n，设第五项为t，则p=2rtr+t ，即t=rp2r−p=mn2m−n⋅mn3m−2n2mn2m−n−mn3m−2n=mn4m−3n，由数学归纳法可得b n=b1b2(n−1)b1−(n−2)b2，即(n−1)b1>(n−2)b2，b1b2>n−2n−1，当n非常大时，n−2n−1趋向于1，则b1b2≥1，即b1≥b2（与假设矛盾），故三项不同的数列{b n}也不存在．综上可得，{b n}不存在．【解析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，可得所求和；（2）设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，运用等差数列的通项公式可得m，d的不等式组，解不等式可得所求范围；（3）分别讨论①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，推理论证即可判断存在性．试卷第11页，总11页。

高二数学上学期期中模拟卷(空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆)(解析版

高二数学上学期期中模拟卷(空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆)(解析版

2023-2024学年高二数学上学期期中考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】lg 0m >等价于1m >.若2m =，则方程()2211m x y m -+=-表示单位圆.若方程()2211m x y m -+=-表示椭圆，则椭圆方程可化为2211y x m +=-，则1m >且2m ≠.故“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.2．直线()()()2212:110,:120l a x ay l a x a a y -+-=-+++=，若12//l l ，则实数a 的值不可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2-【答案】A【分析】根据平行列式，求得a 的值，进而确定正确答案.【详解】由于12//l l ，所以()()()2211a a a a a -⨯+=⨯-，()()()21110a a a a a +---=，()()()()()()22211112120a a a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-+=-+=⎣⎦，解得0a =或1a =或2a =-.当0a =时，12:10,:20l x l x --=-+=，即12:1,:2l x l x =-=，两直线平行，符合题意.当1a =时，12:10,:220l y l y -=+=，即12:1,:1l y l y ==-，两直线平行，符合题意.当2a =-时，12:3210,:3220l x y l x y --=-++=，即12:3210,:3220l x y l x y --=--=，两直线平行，符合题意.所以a 的值不可能是1-.故选：A3．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN等于（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．111222a b c+- D ．221332a b c+-【答案】B【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，若1AM AB AA λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A ．4B ．8C ．855D ．82【答案】C【分析】由题意知点M 在平面11ABB A 内，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设(,0,)M a b ，根据空间向量的数量积的坐标表示可得24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由1,[0,1]AM AB AA λμλμ=+∈、，知点M 在平面11ABB A 内，以1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,2),(4,4,0),(0,4,4)P C D ，设(,0,)M a b ，则1(,4,4),(4,4,2)D M a b CP =--=-- ，由1D M CP ⊥，得1416280D M CP a b ⋅=-++-=，即24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，则4245525BQ ⨯==，又BC ⊥平面11ABB A ，故BC BQ ⊥，所以BCM S △的最小值为145854255QBC S =⨯⨯= .故选：C.5．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，将军从点()2,0A 出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（）A ．101-B ．251-C ．25D ．10【答案】B【分析】根据题意作出图形，然后求出()2,0A 关于直线4x y +=的对称点A '，进而根据圆的性质求出A '到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为22:1x y Ω+≤，圆：221x y +=的圆心为原点，半径为1，作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，设(),A x y '为A 关于直线4x y +=的对称点，因为()2,0A ，所以线段AA '的中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，则2422x y ++=即60x y +-=，又12AA yk x '==-，联立解得：42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2A '，所以总路程||||||||PB PA PB PA '+=+，要使得总路程最短，只需要||||PB PA '+最短，即点A '到圆22=1x y +上的点的最短距离，即为11OA OB OA ''-=-=.故选：B.6．在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC 的重心，则QR 的长度等于（）AB．9C．9D．9【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，得出ABC 各顶点以及重心的坐标，设(),0P a ，04a <<.求出直线BC 的方程，根据光的反射原理得出点P 关于BC 以及y 轴的对称点的坐标，表示出RQ 的方程，代入重心坐标，求出a 的值，得出RQ 的方程.进而求出,R Q 的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ，ABC 的重心坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭，BC 方程为40x y +-=，设(),0P a ，04a <<.根据光的反射原理以及已知可知，点P 关于BC 的对称点1P 在QR 的反向延长线上，点P 关于y 轴的对称点2P 在QR 的延长线上，即12,,,P P Q R 四点共线.由已知可得点()111,P x y 满足()11110422011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得1144x y a =⎧⎨=-⎩，所以()14,4P a -.易知()2,0P a -.因为12,,,P P Q R 四点共线，所以有直线QR 的斜率为()40444a ak a a ---==--+，所以，直线QR 的方程为()44ay x a a-=++.由于直线QR 过重心44,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以有444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，整理可得2340a a -=，解得43a =或0a =（舍去），所以直线QR 的方程为44434343y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭+，整理可得3640x y -+=.所以，R 点坐标为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.联立QR 与BC 的方程364040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得209169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2016,99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，QR ==.故选：B.7．正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A ．2B ．94C ．3D ．52【答案】C【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以22333BG BE ==所以AG ===r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，238OM ON ⋅=-=-⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，POPM PN ⋅的最大值为23348⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C8．已知M 为椭圆：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为左右焦点，设12MF F α∠=，21MF F β∠=，若sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+，则离心率e =（）A ．12B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，结合三角恒等变换以及正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+化为22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，继而推出,,a b c 的关系，求得答案.【详解】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，则2m n a +=，由sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+得3sin 3sin cos sin cos sin ααββαβ-=+，即3sin 2sin cos sin sin cos cos sin sin sin()ααββαβαββαβ-=++=++，在12MF F △中，由正弦定理得1222sin sin sin sin()n m c cF MF αβαβ===∠+，故32cos 2n m m c β-=+，又2224cos 4c n mcmβ+-=，故22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，即282(3)()()0c c m n m n n m +-++-=，即[4()][2()]0c m n c n m -+--=，即4c m n =+或2c n m =-，结合椭圆定义可知2m n c +>且||2m c -<，故4c m n =+，即142,2c c a e a =∴==，故选：C【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求,,a b c 之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得,,a b c 的关系，即可求解答案.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积可能是（）A ．1B ．3C ．4D ．7【答案】BC【分析】根据给定条件，求出线段AB 长，点P 到直线AB 的距离范围，再利用三角形面积公式求解即得.【详解】依题意，点(2,0),(0,2)A B --，则||AB =圆()2222x y -+=的圆心(2,0)C ，半径2r =，则点C 到直线AB 的距离4222r =>，因此点P 到直线AB 的距离[2,32]d ∈，ABP 的面积1||2[2,6]2S AB d d =⋅=∈，显然BC 满足，AD 不满足.故选：BC10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则15m =±D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式2112100m m ++-<+即可判断A 错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B 正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C 正确；对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D 正确.【详解】对于A ，由点(1,1)在圆1C 的内部，得2112100m m ++-<+，解得42m -<<，故A 错误；对于B ，若2m =，则圆221:41040C x y x y ++-+=，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是41490x y -+=，故B 正确；对于C ，圆1C 的标准方程为22()(5)25x m y ++-=，圆心为()1,5C m -，半径15r =，圆2C 的标准方程为22(2)9x y ++=，圆心为()20,2C -，半径23r =，若圆12,C C 外切，则1212C C r r =+，即24953m +=+，解得15m =±，故C 正确；对于D ，当l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =，圆心2C 到l 的距离23d r ==，满足要求，当l 的斜率存在时，设l 的方程为()32y k x =-+，圆心2C 到l 的距离224331k d r k -===+，解得724k =，所以l 的方程是724270x y -+=，故D 正确.故选：BCD.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A B 的中点，P 为棱BC 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A ．存在点P ，使11D P AC ⊥B ．存在点P ，使1PE D E =C ．四面体11EPCD 的体积为定值83D ．二面角11P DE C --的余弦值的取值范围是23⎡⎢⎣⎦【答案】AB【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设()02CP a a =≤≤，则(),2,0P a ，()2,1,2E ，()()12,0,0,0,2,2A C ，()10,0,2D ，则()12,2,2AC =- ，()1,2,2D P a =-，112442D AC a a P ⋅=-+-=-，当0a =时，即P 点与C 点重合时，11D P AC ⊥，故A 正确.由1PE D E =2a =，此时P 点与B 点重合，故B 正确.111111111422223323E PC D P C D E C D E V V S --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯= 为定值，故C 错误.又()12,1,0D E = ，()1,2,2D P a =-，设平面1D EP 的法向量()1,,n x y z = ，由11112002200D E n x y D P n ax y z ⎧⋅=+==⎪⎨⋅=+-==⎪⎩，令1x =则=2y -，22a z =-，11,2,22a n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ，又平面11D EC 的法向量()20,0,2n =，12cos ,22n an ∴=-又02a ≤≤，122cos ,3n n ⎤∴∈⎣⎦，故D 错误.故选：AB12．已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B．椭圆C C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为2636c e a ===，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()22212122446F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥底面,90,4,45ABC BAC AB AC PBC ∠∠==== ，则点C 到平面PAB 的距离是.【答案】463/463【分析】建立空间直角坐标系，设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，由点C 到平面PAB 的距离为PC m d m⋅=求解.【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,4,42A B C P ，所以()()()0,4,42,4,0,0,0,0,42AP AB PC ===-.设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4420,40,y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令y 1z =-，所以()1m =-，所以点C 到平面PAB的距离为PC m d m⋅==14．若非零实数对(),a b满足关系式1771a b a b ++=-+=，则a b=．【答案】34-或43【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由1771a b a b ++=-+=5==，()1,1A 到直线10ax by ++=的距离1d，()7,7B -到直线10ax by ++=的距离2d ，5==，所以125d d ==.因为10AB =，1210d d +=，所以当点A ，B 在直线10ax by ++=同侧时，直线AB 与直线10ax by ++=平行，当点A ，B 在直线10ax by ++=异侧时，A ，B 关于直线10ax by ++=对称，因为直线AB 的斜率174173k +==--，直线10ax by ++=的斜率为ab-，所以43a b -=-或413a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43a b =或34ab=-.故答案为：34-或43.15．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为(2,1)P 且斜率为1-的直线与C 相交于,A B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为.【答案】3/3+【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.【详解】法一：将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±，所以22ba=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，又124x x +=，1212122,1y y y y x x -+==--，所以22210a b-=②，解①②得3a b ==，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.法二：将x c =代入椭圆C 的方程得2by a=±，所以22b a =，直线AB 的方程是1(2)y x -=--，即3y x =-，代入椭圆的方程并消去y 整理得()2222222690a b x a x a a b +-+-=，则()()()()22222222222490694a a b a a b a b a b ∆=--++-->=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122264a x x a b+==+，即222a b =②，解①②得3a b ==，满足0∆>，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.故答案为：3.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，圆22:1O x y +=，在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数），则Q 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设00(,)Q x y ，(,)P x yλ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，从而得到202202(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，从而得到202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，即可求出λ与0x ，从而得解.【详解】设00(,)Q x y ，(,)P x y ，则PA =PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数)，λ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-，整理得222222022000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =，由于P 在圆O 上，所以221x y +=，故202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，其中点(),P x y 在圆22:1O x y +=上，令x y m +=，则0x y m +-=，所以直线0x y m +-=与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即1d ≤，解得m ≤≤[x y +∈，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=.当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A 重合，舍去.当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时λ=故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合221x y +=与00x y =化简得202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，从而得到关于0,x λ的方程组，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF CD ⊥.(2)已知点G 在平面PAD 内，且GF ⊥平面PCB ，试确定点G 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点G 为AD 的中点【分析】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AD a =，再根据0EF DC ⋅= 即可证明.（2）设(,0,)G x z ，根据GF ⊥平面PCB 得到0FG CB ⋅= ，0FG CP ⋅= ，即可得到答案.【详解】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），设AD a =，则(0,0,0)D ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0,)P a ，,,222a a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,0,22a a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0),,0DC a = ，所以,0,(0,,0)022a a EF DC a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ ，所以EF CD ⊥.（2）因为∈G 平面PAD ，设(,0,)G x z ，所以,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .由（1），知(,0,0)CB a = ，(0,),CP a a =- .因为GF ⊥平面PCB ，所以,,(,0,0)()02222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪⎝⎭ ，2,,(0,,)022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2a x =，0z =，所以点G 的坐标为,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.18．（12分）已知直线:1l y kx k =+-．(1)求证：直线l 过定点；(2)若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；(3)若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)11[,]35-(3)(21y x =+++(21y x =+【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【详解】（1）由1y kx k =+-，得1(1)y k x +=+．由直线方程的点斜式可知，直线l 过定点(1,1)--；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤，所以k 的取值范围是11[,35-；（3）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ．当0x =时，得||||1|OB k =-，当0y =时，得|1|||||k OA k -=，所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△，即211|1|12||k k -⨯=，解得2k =2，所以直线l 的方程为(21y x =+(21y x =+19．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点．(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)若P 为矩形场地AD 边上的一点，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，问：P 点应在何处？【答案】(1)2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)P 的横坐标范围为⎤⎥⎝⎦即可逃脱.【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME v v =，利用两点间的距离公式可得答案.（2）利用三角函数得到极端情况时P 点的横坐标即可得到答案.【详解】（1）分别以AD ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,2E ，()0,4F ，设成功点(),M x y ，可得2MF ME v v ==化简得2241639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤，故所求轨迹方程为2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）当线段FP 与（1）中圆相切时，则413sin 4243AFP ∠==-，所以30AFP ∠=︒，所以4tan 30AP =︒=，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是⎤⎥⎝⎦．20．（12分）．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求平面BCE 和平面BCF 夹角的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)10；(3)2.【分析】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ ，通过证明平面//MQN 平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；（2）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，分别求出平面BCE 和平面BCF 夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设()0,0,P t ，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒可得点P 坐标，可得点P 到平面CDE 的距离.【详解】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ .因M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，Q 为GD 中点，由三角形及梯形中位线定理，可得,NQ ED MQ DC .又注意到，,ED DC ⊂平面EDC ，,NQ MQ ⊄平面EDC ，,NQ MQ ⊂平面MNQ ，∩NQ MQ Q =，则平面//MQN 平面CDE .又MN ⊂平面MQN ，则//MN 平面CDE .（2）因DG ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，则,DG DC DG DA ⊥⊥，又AD DC ⊥，则如图建立以D 为原点的空间坐标系.则()()()()()()()000200020002120202012,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D A C G B E F .()()()100122112,,,,,,,,BC BE BF =-=-=--.设平面BCE 和平面BCF 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == .则1111110220BC n x BE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()10,1,1n = ；222222020BC n x BF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，取()20,2,1n = .设平面BCE 和平面BCF 夹角为θ，则1210cos cos ,θn n === .则平面BCE 和平面BCF夹角的正弦值为sin θ=（3）由（2），设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()12,,BP t =-- 又由题可得，平面ADGE 的一个法向量可取()30,1,0n = .结合直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，则32cos ,n BP t ==⇒=则(DP = ，()()020202,,,,,DC DE == .设平面CDE 法向量为()4444,,n x y z = ，则4444420220DC n y DE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ .取()4101,,n =- ，则点P 到平面CDE的距离442n DP d n ⋅=== .21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 是圆O ：228x y +=上的两个动点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒；(1)求点P 的轨迹方程；(2)点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线l ：4x =上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，判断直线MN 是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)224x y +=(2)过定点()1,0Q ．【分析】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，根据几何关系得到2OP =，得到轨迹方程.（2）设()4,E t ()0t ≠，分别计算CE ，DE 的直线方程，联立圆方程得到交点坐标，考虑直线MN 斜率存在和不存在两种情况，计算直线方程得到答案.【详解】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒，圆O ：228x y +=的半径r =122OP AB ===，故点P 的轨迹方程为：224x y +=．（2）不妨取()2,0C -，()2,0D ，设()4,E t ()0t ≠，则直线CE 的方程为()26t y x =+，直线DE 的方程为()22t y x =-，联立()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得2222364440363636t t t x x +++-=，则224236M t x t -=-+，即2272236M t x t -=+，()2242636M M t t y x t =+=+，所以22272224,3636t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．联立()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得22224404t x t x t +-+-=，则22424N t x t +=+，即22284N t x t -=+，()28224N N t t y x t -=-=+，所以222288,44t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．①当t ≠±MN 的斜率222222224883647222812364MNt t t t t k t t t t t --++==----++，则直线MN 的方程为222288284124t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭，即()28112t y x t =--，直线过定点()1,0，所以()1,0Q ；②当t =±MN 垂直于x 轴，方程为1x =，也过定点()1,0Q ．综上所述：直线MN 恒过定点()1,0Q ．【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中设出E 的坐标，分别计算,M N 坐标再计算直线方程是解题的关键.22．（12分）如图所示，已知椭圆2219x y +=中()3,0A ，()0,1B ；P 在椭圆上且为第一象限内的点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N(1)求证：①||||AN BM ⋅为定值；②PMN 与PAB 面积之差为定值；(2)求MON △面积的最小值.【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)92+【分析】（1）①设00(,)P x y ，利用直线方程求出点,M N 坐标，从而可得||||AN BM ⋅的表达式，结合点在椭圆上化简，即可证明结论；②利用PMN 与PAB 面积之差为MAN BAN S S - ，利用三角形面积公式，结合①的定值即可证明结论；（2）利用三角形面积公式表示出MON △面积的表达式，利用（1）的定值结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）证明：①设00(,)P x y ，()001,030x y <<<<，则220019x y +=，即220099x y +=，直线()0033:y PA y x x =--，令0x =，则0033M y y x =--，故003|||1|3y BM x =+-；直线0011:y PB y x x =+-，令0y =，则001N x x y -=-，故00|||3|1x AN y =+-；所以00000000003|||||3||1||33|||133331x y x y x y AN BM y x y x ⋅=+⋅+⋅-+----+()()()2220000000000000033996618||||3133x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+000000001666183|38x y x y x y x y --++-==-，即||||AN BM ⋅为定值6；②PMN 与PAB 面积之差为11||||||||22MAN BAN S S AN OM AN OB -=⋅-⨯⋅ 1||||32AN BM =⨯⋅=,即PMN 与PAB 面积之差为定值3；（2）MON △面积()()11||||3||1||22OMN S ON OM AN BM =⋅=++ ()1||||||3||32AN BM AN BM =⋅+++()1966322+≥+=，当且仅当||3||AN BM =，结合||||6AN BM ⋅=，即|||AN BM ==时取等号，即MON △面积的最小值为92+.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于证明||||AN BM ⋅为定值，解答时要利用直线方程表示出||,||AN BM ，从而求得||||AN BM ⋅表达式，结合点在椭圆上化简即可证明结论.。

福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)

福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)

福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共4页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（）A.-3B.-1C.0D.22.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（）5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（）(3,1)(2,1)A y B+-、3π4y22221(0,0)x ya ba b-=>>542y x=±12y x=±43y x=±34y x=±22:(1)(2)1M x y+++=22(3)(4)1N x y-++=：l l 250x y++=250x y--=250x y++=250x y--=2:4C y x=F F l C16||3AB=l22221(0)x ya ba b+=>>12,F F12F F12AF F 12AF FV12,AF AF6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.7.如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且交AB 于点，点的坐标为，则方程为（ ）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）A.的虚轴长为6B.的离心率为C.的渐近线方程为D.点到的一条渐近线的距离为410.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）1-F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C OEF V C l 22y x =,OA OB OD AB ⊥⊥D D (1,1)l 20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=12,F F P 12PF PF >1PF 2F 1e 2e 2114e e +(5,)+∞(6,)+∞(7,)+∞(6,7)F 22:1169x y Γ-=ΓΓ54Γ430x y ±=F ΓP :60l x y +-=Q 22:(1)(1)4C x y -+-=P CA.直线与圆相交B.|PQ |的最小值为C.四边形PACB 面积的最小值为4D.存在点，使得11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，已知函数.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆与轴交于A ，B 两点，动点与点A 的距离是它与点距离倍.（1）求点的轨迹方程;l C 2-P 120APB ︒∠=C C (0)a a >C y x =C (1,1)--()322||x yxy +=C 2π8a (2,6)a ∈C 221(4)4x y m m +=>m 24y x =A x B C ABC V 1y x=y x =y x =-(1,1),(1,1)--(y x =+e 22O :4x y +=x P B P（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M ，N 两点，求弦长|MN |.16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程;（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.17.（本小题15分）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程;（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点，记AP 的斜率为的斜率为.求证:为定值.18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB 的中点.（i ）求证:点N 在定直线上;（ii ）若的面积为6，求点A 的坐标.19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，B 45︒l P 2222:100x y C a b a b-=>>（，）0x -=P C l C ,A B (3,2)l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F A B C C (1,0)D l l C M 1,k BQ 2k 12k k 2:2(0)C y px p =>F (,2)M t C ||2MF =C ()()1122,,,A x y B x y 12x x <C M AMB ∠x N MAB ∆(,)AB x y =AB A θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θP (A B -B A π3P P 221x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>O π4C（i ）求斜椭圆的离心率;（ii ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M 、N ，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G 、H是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.C Q 1l C O 2l 1l 2l C 21||OH +福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则等于( )A.B.C.D.2. 中，点、、分别为、、的中点，则 A.B.C.D.3. 吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式．开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高．从河里打捞上来的条开河鱼的重量（单位：千克）分别为，，，，，则这组数据的中位数是________.A.B.C.D.4. 设，，则“”是“”的( )A.充要条件A ={x|<4}2xB ={x|y =}x −1−−−−−√A ∩B (2,+∞)[1,+∞)(1,2)[1,2)△ABC D E F AB BC CA −=(AF −→−DB −→−)FD−→−FC−→−FE−→−BE−→−61.58 1.43 1.63 1.85 1.71 1.67.1.631.671.641.65x >0y ∈R x >y x >|y |B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球6. （理）在正方体中，点在上，且，则（ ）A.B.C.D.7. 定义在上的偶函数满足，且在区间上是增函数，若，是锐角三角形的两个内角，则( )A.B.C.D.8. 以和为端点的线段的中垂线方程是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）22ABCD −A 1B 1C 1D 1E A 1C 1|E |=||A 114A 1C 1=x +y +z AE −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−x =1,y =，z =1212x =，y =1，z =1212x =1,y =，z =1312x =1,y =，z =1414R f (x)f (x +2)=f (−x)[−3,−2]A B f (sin A)>f (cos B)f (sin A)<f (cos B)f (sin A)>f (sin B)f (cos A)>f (cos B)A(1,3)B(−5,1)AB 3x −y +8=0x −3y +8=03x +y +8=03x +y +4=09. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是 A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为C.目标被命中的概率为D.目标被命中的概率为10. 已知函数 若，且，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.11. 已知是边长为的等边三角形，，分别是， 上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.在方向上的投影为12. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为，，下列结论正确的是( )A.的离心率为B.的渐近线方程为1213()+1213×1213×+×122312131−×1223f(x)={−−2x ，x ≤0，x 2|x|，x >0，log 2<<<x 1x 2x 3x 4f()=f()=f()=f()x 1x 2x 3x 4+=−1x 1x 2=1x 3x 41<<2x 40<<1x 1x 2x 3x 4△ABC 2D E AC AB =AE −→−EB −→−=2AD −→−DC −→−BD CE O ⋅=−1AB −→−CE −→−+=OE −→−OC −→−0→|++|=OA −→−OB −→−OC −→−3–√2ED −→−BC −→−76P C:−=1x 2y 23C F 1F 2C 2C y =±x 3–√3C.动点到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点在双曲线的左支上时，的最大值为卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 如图，已知正方形边长为，点，分别为线段，上一点，且，，为内一点（含边界），设（，为实数），则的最大值为________．14. 已知直线，直线．若直线的倾斜角为，则________；若，则两平行直线间的距离为________．15. 已知函数的图像恒过定点，若点在一次函数的图像上，其中，则的最小值是________．16. 已知棱长为的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知两直线与，求与间的距离．18. 已知甲袋中装有只白球，只黑球；乙袋中装有只白球，只黑球．在甲袋中任取球，求取出的两球颜色不同的概率；若在甲、乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率．19. 已知函数图象的对称中心到对称轴的最短距离为．将的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，其中点是函数图象的一个对称中心．求的解析式；若，且，求的值．20. 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形．PP C|P|F1|PF2|214OABC3M N BC AB2BM=MC AN=NB P△BNM=λ+μOP−→−OA−→−OC−→−λμλ−μ13:ax+y−1=0l1:x−y−3=0l2l1π3a= //l1l2A A2:6x−8y−3=0l1:3x−4y+6=0l2l1l22423(1)2(2)f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)π8f(x)2π3g(x)(,0)π12g(x)(1)g(x)(2)g(A)=6–√3<A<5π243π4cos2AABCD−A1B1C1D1ABCD2证明：平面；求异面直线与所成角的大小．21. 某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答．竞答分为必答题（共题）和选答题（共题）两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.求甲恰好答对道必答题的概率；在选答阶段，若选择回答且答对奖励分，答错扣分，选择放弃回答得分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列． 22. 如图，在四棱锥中，，，且，，，和分别是棱和的中点．求证：；求直线与平面所成的角的正弦值．(1)//A 1C 1ACD 1(2)CD AD 1524525(1)4(2)52012X P −ABCD ∠PAB =90°AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘E F CD PC (1)CD ⊥BF (2)PB PCD参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，所以．故选．2.【答案】D【考点】向量的减法及其几何意义【解析】本题考查的知识点是向量的减法及其几何意义，由、、分别为、、的中点，我们易得，然后根据图形分析答案中的四个变量，易求出与相等的向量，即可求出答案．【解答】解：如下图所示：A B A ={x|<4}={x|x <2}2x B ={x|y =}={x|x ≥1}x −1−−−−−√A ∩B ={x|1≤x <2}=[1,2)D D E F AB BC CA −==AF −→−DB −→−12BC −→−DF −→−DF −→−中，点、、分别为、、的中点则．故选．3.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】解：将条开河鱼的重量按照从小到大的顺序排列为，，，，，1.，则中位数为.故答案为：.4.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设，，△ABC D E F AB BC CA−AF −→−DB −→−=−12AC −→−12AB−→−=(−)12AC −→−AB −→−===12BC −→−DF −→−BE −→−D 6 1.43 1.581.63 1.67 1.7185(1.63+1.67)=1.65121.65x >0y ∈R x >|y |当，时，满足，但不满足，故“”推不出“”，充分性不成立；而“”“”，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件.故选.5.【答案】C【考点】互斥事件与对立事件【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴不正确对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴不正确对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴正确对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴不正确6.【答案】D【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用向量的加减运算，借助于空间向量的基本定理，空间任意一个向量都可用不共面的基向量唯一表示可求．【解答】解：由题意，，故选．7.【答案】x =1y =−1x >y x >|y |x >y x >|y |x >|y |⇒x >y x >y x >|y |C A A B B C C D D =+=+=+(+)AE −→−AA 1−→−E A 1−→−AA 1−→−14A 1C 1−→−−AA 1−→−14AB −→−AD −→−DB【考点】函数的周期性运用诱导公式化简求值函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】【解答】解：因为偶函数满足，所以，即函数是周期为的函数，又在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是减函数；又，是锐角三角形的两个内角，所以即，因此，即，所以 .故选．8.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程【解析】先求出线段的中垂线的斜率，再求出线段的中点的坐标，点斜式写出的中垂线得方程，并化为一般式．f (x)f (x +2)=f (−x)f (x +2)=f (−x)=f (x)f (x)2f (x)[−3,−2]f (x)[−1,0]y f (x)[0,1]A BA +B >，π20<A <，π20<B <，π20<−B <A <π2π20<sin(−B)<sin A <1π20<cos B <sin A <1f (sin A)<f (cos B)B AB AB AB【解答】解：直线的斜率为，所以线段的中垂线得斜率，又线段的中点为，所以线段的中垂线得方程为即，故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,D【考点】相互独立事件【解析】①目标恰好被命中一次即是：甲中而乙不中，乙中而甲不中，再依据结论：若，相互独立，则，即可得到正确结论；②目标恰好被命中两次表示甲中并且乙中，再依据结论，即可得到正确结论；③目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；④结合题意，目标没命中为目标被命中的对立事件，依据结论：若，相互对立，则，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，甲、乙两人射击是否命中目标相互独立．目标恰好被命中一次的概率为，故错误；由于目标恰好被命中两次，则两人全部命中，其概率为，故正确；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为，故错误；由于目标没命中的概率是，则目标被命中的概率为，故正确．故答案为．10.【答案】B,C,D【考点】分段函数的应用函数的图象AB =1−3−5−113AB k =−3AB (−2,2)AB y −2=−3(x +2)3x +y +4=0D A B P(AB)=P(A)⋅P(B)A B P(A)=1−P(B)×(1−)+×(1−)12131312×1213×(1−)+×(1−)+×121313121213(1−)×(1−)=×121312231−×1223BD【解析】此题暂无解析【解答】解：画出函数的大致图象如下图，得出，，故错误，正确；由图可知，故正确；因为，，所以，故正确．故选．11.【答案】B,C,D【考点】向量的模向量的加法及其几何意义平面向量数量积向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，为中点，则，如图，以为原点，，分别为轴， 轴正方向建立平面直角坐标系．f(x)+=−2x 1x 2=1x 3x 4A B 1<<2x 4C −2<<−1x 1=(−2−)x 1x 2x 1x 1=−−2=−(+1+1∈(0,1)x 21x 1x 1)2=∈(0,1)x 1x 2x 3x 4x 1x 2D BCD E AB CE ⊥AB E EA EC x y所以，，，，.设，，因为，，而，所以 ，解得，所以，所以是的中点.选项， ，所以，故选项错误；选项，因为是的中点，所以，故选项正确；选项， ，所以，故选项正确；选项， ，，所以在方向上的投影为：，故选项正确．故选．12.【答案】A,C【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率基本不等式在最值问题中的应用点到直线的距离公式E (0,0)A (1,0)B (−1,0)C (0,)3–√D (,)1323–√3O (0,y)y ∈(0,)3–√=(1,y)BO −→−=(−,y −)DO −→−1323–√3//BO −→−DO −→−y −=−y 23–√213y =3–√2O(0,)3–√2O CE A ⊥AB −→−CE −→−⋅=0AB −→−CE −→−A B O CE +=OE −→−OC −→−0→B C ++=2+=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−OC −→−OE −→−|++|=||=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−3–√2C D =(,)ED −→−1323–√3=(1,)BC −→−3–√ED −→−BC −→−==⋅ED −→−BC −→−|BC|+213276D BCD【解析】此题暂无解析【解答】解：对于双曲线 ，，，，∴双曲线的离心率为，渐近线方程为，故选项正确，选项错误；设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为：和，则点到两条渐近线的距离之积为： ，故选项正确；当动点在双曲线的左支上时， ，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，故选项错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】向量在几何中的应用【解析】如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，表示各点的坐标，根据向量的坐标运算得到，构造目标函数，利用可行域即可求出最值．【解答】C :−=1x 2y 23a =1b =3–√c =2C e ==2cay =±x 3–√A B P (,)x 0y 0−=1x 20y 203C x −y =03–√3x +y =03–√3P |−||+|x 03√3y 0x 03√3y 01+()3√32−−−−−−−−−√1+(−)3√32−−−−−−−−−−√==|−|x 20y 2034334C P C |P |≥c −a =1F 1|P |=2a +|P |=|P |+2F 2F 1F 1|P |F 1|PF 2|2=|P |F 1(|P |+2)F 12=|P |F 1|P +4+4|P |F 1|2F 1=1|P |++4F 14|P |F 1≤=12+4|P |⋅F 14|P |F 1−−−−−−−−−−√18|P |=2F 1|P |F 1|PF 2|218D AC 56OA x OC y λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919OA OC解：如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，则，，，，∵，，∴，，设，∵（，为实数），∴，∴，即，∴，令，即，由，，得到直线的方程为，则，满足的区域为，如图所示，当目标函数，过点时，最大，则，∴故答案为：14.【答案】,【考点】两条平行直线间的距离直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，对于直线，变形可得，若其倾斜角为，则其斜率，则有，即．对于直线，直线，若，则有，解得，则的方程可以变形为．OA x OC y O(0,0)A(3,0)C(0.3)B(3,3)2BM =MC AN =NB M(1,3)N(3,)32P(x,y)=λ+μOP −→−OA −→−OC −→−λμ=λ(3,0)+μ(0,3)=(3λ,3μ)OP −→−{x =3λy =3μλ=x 3μ=y3λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919z =3x −y y =3x −z M(1,3)N(3,)32MN 3x +4x −15=0x y1≤x ≤3≤y ≤3323x +4y −15≥0z =3x −y N(3,)32Z =3×3−=9−=z max 3232152(λ−μ)max =×=13191525656−3–√22–√:ax +y −1=0l 1y =−ax +1π3k =tan =π33–√−a =3–√a =−3–√:ax +y −1=0l 1:x −y −3=0l 2//l 1l 2a ×(−1)+1×1=0a =−1l 1x −y +1=0==2|1−(−3)|则两平行直线间的距离．故答案为：；．15.【答案】【考点】函数的概念及其构成要素空间两点间的距离公式【解析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解．【解答】由可得当时，，故点在一次函数的图像上，，即．当且仅当，即时等号成立，故的最小值是故答案为：16.【答案】【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）d ==2|1−(−3)|+(−112)2−−−−−−−−−√2–√−3–√22–√8A (4,1)2m +n =1+=(+)(2m +n)1m 2n 1m 2ny =(x −3)+1(a >0,a ≠1)log a x =4y =1A (4,1)A y =x +n m 21=×4+n m22m +n =1m >0,n >0+=(+)(2m +n)=++4≥2+4=81m 2n 1m 2n n m 4m n ⋅n m 4m n−−−−−−−√=n m 4m n m =,n =1412+1m 2n 8.8.【答案】解：，，把的方程化为，与间的距离．【考点】两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：，，把的方程化为，与间的距离．18.【答案】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815无【解答】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．19.【答案】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以 ，因为，所以．所以 ．【考点】正弦函数的周期性两角和与差的余弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6同角三角函数间的基本关系函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）答案未提供解析．【解答】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以 ，因为，所以．所以 ．20.【答案】（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）异面直线与所成角为．【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD AD 190∘【解答】解：（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）解：∵平面，平面，∴，∴异面直线与所成角为．21.【答案】解：甲恰好答对道必答题的概率为依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为【考点】相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】解：甲恰好答对道必答题的概率为A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD ⊥ADD 1A 1A ⊂D 1ADD 1A 1CD ⊥AD 1CD AD 190∘(1)4P =()=.C 45()45415256625(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)4P =()=.C 45()45415256625=121依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为22.【答案】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，∵，，且，，∵，，(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角两条直线垂直的判定【解析】（1）推导出四边形为矩形，从而平面，进而平面，由此能证明．（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的正弦值．【解答】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n → ⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6ABED AB ⊥PAD CD ⊥BEF CD ⊥BF A AB x AD y A ABCD z PD PBC (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z∵，，且，，∵，，∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n →⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6。

)高二数学上学期期中联考试题-人教版高二全册数学试题

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某某省浙北G2（某某一中、某某中学）2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、某某、试场号、座位号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．110y +-=的倾斜角是（▲）A ．30B ．60C ．120D ．150 2．命题“若0x >，则20x >”的否命题是（▲）A ．若0x >，则20x ≤B ．若20x >，则0x >C ．若20x ≤，则0x ≤D ．若0x ≤，则20x ≤3．圆2211O x y +=：与圆()()222112O x y -++=：的位置关系是（▲）A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离 4．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形所得的直观图的面积是（▲）AB C ．．5．已知椭圆C ：222125x y m+=（0m >）的左焦点为()14,0F -，则m =（▲）A ．9B ．4C ．3D ．2 6．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“直线m ，n ，l 在同一平面” 是“直线m ，n ，l 两两相交”的（▲）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知圆2260x y x +-=，过点()1,2的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值是（▲） A ．2 B ．3 C ．4D ．58．如图，已知三棱锥A BCD -，记二面角A BC D --的平面角是θ，直线AB 和CD 所成的角为1θ，直线AB 与平面BCD 所成的角2θ，则（▲）A ．1θθ≤B ．1θθ≥C ．2θθ≤D ．2θθ≥9．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为12,A A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率是（▲）A ．63B ．33C ．23D ．1310．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC △的垂心O ，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，记1PAM θ∠=，记α与底面ABC 所成的锐二面角的大小为2θ，当1θ取到最大时，2tan θ是（▲）A ． 2B ．22C ．2D ．12二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．椭圆22194x y +=的长轴长是 ▲ ，离心率是 ▲ ．12．如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度是 ▲ ，体积是 ▲ ．13．若把圆心角为120︒，半径为6的扇形卷成圆锥，则该圆锥的底面半径是 ▲ ，侧面积是 ▲ ． 14．若棱长为4的正四面体A BCD -的顶点都在同一球面上，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值是 ▲ ，该球的表面积是 ▲ ． 15．已知直线l 为圆224x y +=在点()2,2处的切线，点P 是直线l 上一动点，点Q 是圆()2211x y ++= 上一动点，则PQ的最小值是 ▲ ．16．已知直线l ：1y kx =+（R k ∈），若直线上l 总存在点M 与两点()1,0A -，()1,0B 连线的斜率之积为3m -（0m >），则实数m 的取值X 围是 ▲ ．17．如图，在空间四边形ABCD 中，4AB BD DA ===，22BC CD ==．第12题图第8题图设直线AB 与直线CD 所成角为α，当二面角A BD C --的大小在2[,]33ππ变化时，则cos α的最大值是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分14分)已知直线1l ：2240kx y k --+=，直线2l ：224480k x y k +--=． （Ⅰ）若直线1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线1l 的方程； （Ⅱ）若12l l ∥，求直线2l 的方程．19．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：直线//PA 平面BDE ；（Ⅱ）若PD AB =，求直线BE 与底面ABCD 所成角的正切值．20．(本小题满分15分)已知圆C 经过点()1,3A --，且与直线34150x y ++=相切，且圆心在直线12y x =上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过点()7,2P 且与圆C 相切，求直线l 的方程． 21．(本小题满分15分)如图，已知平面多边形P —ABCD 中，,224,//,AP PD AD DC CB AD BC AP PD ====⊥，AD DC ⊥，现将三角形APD 沿AD 折起，使22PC =．（Ⅰ）证明：PB AD ⊥；（Ⅱ）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ； （Ⅲ） 求二面角P AB D --的平面角的余弦值．第19题图22．(本小题满分15分)已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点．点()4,3P ，记直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程．第22题图参考答案：一、 选择题(本大题共有10小题，每小题4分，共40分．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CDABCBADAB二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．) 11. 6；53． 12．3；13． 13．2；12π． 14. 0;24π．15．212+． 16．13m ≥． 17．2268+．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.解：（Ⅰ）①若直线1l 过原点，则1l 在坐标轴的截距都为0，显然满足题意，此时则240k -+=，解得2k =，②若直线1l 不过原点，则斜率为12k=-，解得2k =-。

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B．
C．
D．
11、关于
的不等式
的解集是
，则关于
的不等式
的解集是 ( ） A．
B．
C．
D．
12.数列的前n项和为，若，则等于
A.1
B.
C.
D.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分,请将答案填在答题纸
上)
13.在中,分别为角A，B，C所对的边，若，则 .
14.若关于的不等式的解集，则的值为_________.
15.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第
个图案中有白色地面砖的块数是
.
第1个 第2个 第3个
16.若不等式mx2+4mx-4＜0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为 . 三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤. 17. （本小题满分12分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
……………………8分
所以，①
以上等式两边同乘以得
②
①-②，得
， 所以. ………………………………14
D.等边三角形
8、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数列
C.30°或150° C.等腰三角形
中，，则
的值为 （ ）
A. 49 B. 50 C. 51 D.52 9、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，
，b=2，则c等于（ ）
A. 4
B. 2
C.
D.
10、如果，那么下列不等式中正确的是( )． A．
A. B.
C. D.
4.等差数列
的前n项和为
，且
=6，
=4， 则公差d等于
A.3
B.
C.1
D.-2
5.已知，<0，那么下列不等式成立的是
A.
B. C.
D.
6.ΔABC中，a=1，b=, A=30°，则B等于
A.60°
B.60°或120°
D.120°
7.在中，，则三角形的形状为
A.直角三角形 B.锐角三角形
综上知，当0≤时，原不等式的解集为或；
当≤1时，所以原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为
……………………12分
21.解：（Ⅰ）依题意f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n
……………………4分
……………………6分
（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有
由题意，得 即
…………………4分
解得，或
……………………8
分
所以，原来的三个数分别为或
…………………………
12分
20.解：原不等式即为(x－a)[x－(1－a)]>0，
因为a-(1-a)=2a-1，所以，
当0≤时，所以原不等式的解集为或；…………3分
当≤1时，所以原不等式的解集为或；…………6分
当时，原不等式即为>0,所以不等式的解集为……9分
(1)为等差数列{an}的前n项和，,，求. (2)在等比数列中，若求首项和公比.
18.（本小题满分12分） 在
中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ．
若 的面积等于 ，求 .
19.（本小题满分12分） 有三个数成等差数列，前两个数的和的3倍正好是第三个数的2
倍，如果把第二个数减去2，那么所得到数是第一个数与第三个数的 等比中项.求原来的三个数.
………………………3分
解得，所以， …………………6分
(2)设等比数列{an}的公比为q，
由题意，得
…………………………………3分
解得，
……………………………………………6分
18.解：由题意，得 即 ………………………6分
因为 所以
由得
………………………………………………12分
19.解：设成等差数列的三个数分别为
22. （本小题满分14分） 设数列前n项和，且. （Ⅰ）试求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：AABDD BCDAD DB
二、填空题：13.3；
14.2
15.4n+2；
16.-1<m≤0.
三、解答题：
17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得即
20. （本小题满分12分） 若0≤a≤1, 解关于x的不等式(x－a)(x+a－1)＜0.
21. （本小题满分12分） 某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽
油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元， 第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增. （Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n) 的表达式； （Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用 最少）.
……………………8分
仅当，即n=12时，等号成立.
………………11
分
答：汽车使用12年报废为宜.
………………………………12分
22.解：（Ⅰ）当时，
所以， 即
…………………………3分
当时，
…………………………4分
由等比数列的定义知，数列是首项为2，公比为2的等比数
列，
所以，数列的通项公式为 ………………6分
高二数学试题（文）
注意事项：
本试题共分三大题，全卷共150分。考试时间为120分钟。
第I卷（共60分）
1、 选择题 (本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给
出的4个选项中，只有一项符合题目要求.)
1.两数与的等差中项是
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC中，若则
A.
B.
C.
D.
3.不等式的解集为
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