“导数的概念及其几何意义”教学设计
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。
在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} \]其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
2. 导数的基本概念根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。
导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。
二、导数的几何意义1. 切线和切线斜率在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。
对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。
通过求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图像在各个点的变化趋势。
2. 导数与函数图像的关系导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。
对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。
通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态和特性。
三、深入理解导数的意义1. 导数的局部性导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。
通过导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局部特性有更深入的理解。
2. 导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是密切相关的。
导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。
导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的核心内容。
结语：导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意义。
通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。
2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。
5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。
8. 作业：布置作业，巩固所学内容。
六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。
针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。
七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。
鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。
2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。
2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。
3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。
导数的概念及其几何意义(1)教学设计
根据导数的定义，
，
所以 .
同理可得 .
在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为 与 .说明在第2h附近，原油温度大约以 的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以 的速率上升.一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况.
例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 时汽车的速度（单位： ）为 ，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
教学过程
1、新课导入
在上节课的学习中，我们研究了平均速度和瞬时速度的物理问题，以及割线斜率和切线斜率的几何问题，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，这节课我们就来探究一下平均变化率、导数的概念及其几何意义.
2、探索新知
一、平均变化率的概念
对于函数 ，设自变量 从 变化到 ，相应地，函数值 就从 变化到 .这时， 的变化量为 ， 的变化量为 .我们把比值 ，即 叫做函数 从 到 的平均变化率.
2.过程与方法：通过设计三次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而抽象出导数的概念；
3.情感、态度与价值观：让学生初步理解导数的内涵及其蕴含的“运动变化的观点”和极限思想。
教学内容
1、教பைடு நூலகம்重点
平均变化率的概念及求法、利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用.
2、教学难点
导数概念及其几何意义的理解和应用.
二、瞬时变化率（导数）的概念
如果当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数（也称为瞬时变化率），记作 或 ，即 .
三、求函数在 处的导数（瞬时变化率）
例1设 ，求 .
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
导数概念教学设计
导数概念教学设计一、导数概念简介导数是微积分学中的重要概念，可以理解为函数在某一点上的变化率。
导数的概念及其应用在数学和科学领域中具有广泛的应用。
为了有效地教授导数概念，本教学设计将分为三个部分进行介绍和讲解，以帮助学生全面理解导数概念的基础知识和应用。
二、导数概念的引入在教授导数概念之前，我们先通过一个例子引入导数的概念。
假设有一个小球在斜坡上滚动的示例，并且我们想要知道小球在某个时刻的速度。
我们让学生思考如何计算小球在不同时刻的速度以及在不同位置的速度会有何变化。
三、导数的定义与计算1. 导数的定义导数可以通过极限来定义，当一个函数f(x)在点x处可导时，其导数f'(x)可以通过以下公式计算：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx2. 导数的计算为了让学生更好地理解导数的计算过程，我们可以提供一些简单的函数，如常数函数、幂函数、指数函数和三角函数，并指导学生通过基本的求导法则进行计算。
例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数可以应用幂函数的求导公式等。
四、导数的几何意义导数除了可以表示函数在某一点上的变化率外，还有几何意义。
在本部分教学中，我们将通过图形的变化来说明导数的几何意义。
首先，我们可以使用绘图软件绘制简单的函数图像，并选择几个特定点，计算这些点的导数。
然后，我们将绘制这些点对应的切线，并观察切线在图像上的变化。
通过观察，学生可以理解导数代表了函数图像在某一点上的切线斜率。
五、导数的应用导数不仅在数学领域中有重要的应用，还在其他领域中具有广泛的应用。
在本部分教学中，我们可以介绍导数在物理学、经济学和工程学等领域中的具体应用。
六、导数概念的巩固与练习为了帮助学生巩固和深化对导数概念的理解，我们可以提供一些练习题供学生进行练习。
这些练习题可以包括导数的计算、导数的应用和导数的概念理解等方面。
七、导数概念的扩展为了进一步拓展学生对导数概念的认识，我们可以介绍一些高级导数概念，如高阶导数、导数的性质和导数的极值等。
5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计
5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A 版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学习了平均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。
因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。
本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 二、教学目标：1. 知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；（2）体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
2. 过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.3. 情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点：重点：导数的概念，导数的几何意义. 难点：导数的概念，曲线切线概念.三、教学过程设计 （一）旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h 与时间t 的函数为)(t h s =，则0t 到t 的平均速度为，t t h t t h v ∆-∆+=)()(00而在0t 时刻的瞬时速度为.)()(000lim t t h t t h t ∆-∆+→∆2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为)(x f y =，，，))((000x f x P ，，))((00x x f x x P ∆+∆+则割线P P 0的斜率为，x x f x x f k ∆-∆+=)()(00而在，，))((000x fx P 处切线的斜率为.)()(000limx x f x x f x ∆-∆+→∆3. 导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆（二）新知学习Δx )-f (x 0)导数)('0x f 表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况.那么导数)('0x f 平均变化率xy∆∆表示什么？ xx f x x f x y Q P PQ ∆-∆+=∆∆=)()(000表示割线P P 0的斜率.当点 ))(,(x f x P 沿着曲线无限接近于点))(,(00x f x P 割线P P 0称为曲线 )(x f y =在 0x x =的切线.割线P P 0的斜率00)()(x x x f x f k --=当 0→-=∆x x x在0x x =的导数)('0x f ，x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)('00000导数的几何意义：)('x f 是)(x f y =函数在0x x =处切线T P 0的斜率.0P 附近的曲线，将0P 附近的曲线不.因此，在0P 附近曲线可以用点0P 处的切线T P 0近例 1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数118.49.4)(2++-=t t t h的图象.根据图象，请描述、比较曲线)(t h 在210t t t t ，，=附近的变化情况.x处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当0t t= 时，曲线)(t h 在0t t =处的切线0l 平行于t 轴，0)('0=t h 在0t t =附近曲线比较平坦；（2）当1t t =时，曲线h(t)在1t t = 处的切线1l 的斜率在1t t =附近单调递减, 下降缓慢；（3）当2t t = 时，曲线h(t)在2t t= 处的切线2l 的斜率在2t t =附近单调递减，但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度)(t f c = (单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计 min 8.06.04.02.0，，，=t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t )在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f (t )在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如()0.910.7，则此刻切线的斜率，4.17.00.191.048.0-≈--=k .4.1)8.0('-≈f三、课堂总结导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆四、作业教材第70页，习题5.1复习巩固 1，2，3。
导数的几何意义教案及说明
导数的几何意义教案及说明教案章节：一、导数的定义；二、导数的计算；三、导数的应用；四、导数与曲线的切线；五、导数与函数的单调性一、导数的定义1. 教学目标：理解导数的定义，掌握导数的几何意义。
2. 教学内容：引入导数的概念，解释导数的几何意义，举例说明导数表示曲线的切线斜率。
3. 教学步骤：a. 引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
b. 解释导数的几何意义，即导数表示曲线的切线斜率。
c. 举例说明导数表示曲线的切线斜率，通过图形演示导数的变化。
4. 教学练习：a. 练习计算函数在某一点的导数。
b. 练习根据导数的几何意义，确定曲线的切线斜率。
二、导数的计算1. 教学目标：掌握导数的计算方法，能够计算常见函数的导数。
2. 教学内容：介绍导数的计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
3. 教学步骤：a. 介绍导数的计算方法，包括常数函数的导数为0，幂函数的导数按幂次降次，指数函数的导数为自身，对数函数的导数为1/x。
b. 举例说明常见函数的导数计算，包括正弦函数、余弦函数、绝对值函数等。
4. 教学练习：a. 练习计算常见函数的导数。
b. 练习根据导数的计算结果，分析函数的单调性。
三、导数的应用1. 教学目标：理解导数在实际问题中的应用，掌握导数的基本应用方法。
2. 教学内容：介绍导数在实际问题中的应用，包括速度、加速度、优化问题等。
3. 教学步骤：a. 介绍导数在速度和加速度中的应用，解释速度是位置关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
b. 举例说明导数在优化问题中的应用，通过导数找到函数的最大值和最小值。
4. 教学练习：a. 练习根据导数计算速度和加速度。
b. 练习使用导数解决优化问题。
四、导数与曲线的切线1. 教学目标：理解导数与曲线的切线的关系，掌握求解切线方程的方法。
2. 教学内容：解释导数与曲线的切线的关系，介绍求解切线方程的方法。
3. 教学步骤：a. 解释导数与曲线的切线的关系，即导数表示曲线的切线斜率。
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义 教案
导数的概念及其几何意义教学设计一般地，f′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为y=v(t)=−t2+ 6t+60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 ),v′(6 ).解：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 )和 v′(6 ).根据导数的定义，∆y ∆t =v(2+∆t)−v(2)∆t=−(2+∆t)2+6(2+∆t)+60−(−22+6×2+60)∆t=−∆t+3,所以v′(2 )=lim∆t→0∆y∆t=lim∆t→0(−∆t+2)=2同理可得v′(6 )=−6在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别2 m/s2与−6 m/s2. 说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s .思考观察函数y=f (x)的图象（图5.1-3），平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？瞬时变化率f′(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？提示：平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示割线P0P的斜率.如图5.1-4，在曲线y=f (x)上任取一点P (x , f (x))，如果当点P (x , f (x))沿曲线y=f (x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f (x)在点P0处的切线.易知，割线P0P的斜率k=f(x)−f(x0)x−x0记∆x=x−x0，当点P沿着曲线y=f (x)无限趋近于点P0时，即当∆x→0时，k无限趋近于函数y=f (x)在x=x0处的导数.因此，函数y=f (x)在x=x0处的导数f′(x0 )（即瞬时变化率），就是切线P0T的斜率k0，即k0=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=f′(x0)这也导数的几何意义.继续观察图5.1-4，可以发现点P0处的切线P0T 比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线. 进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大（如图5.1-5），可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点P0附近，曲线y=f (x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.例4 图5.1-6是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线的斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，ℎ′(t0)=0. 这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率ℎ′(t1)<0. 这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.（3）当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率ℎ′(t2)<0. 这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图5.1-6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.例5图5.1-7是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确度0.1）.解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t=0.8处的切线，并在切线上取两点，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率k=0.48−0.911.0−0.7≈−1.4所以f′(0.8)≈−1.4表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0 )是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f′(x) 就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数（简称导数）. y=f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x )=y′=lim∆x→0f(x+∆x)−f(x)∆x.课堂练习：1根据导数的定义求下列函数的导数．(1)求函数y=x2+3在x＝1处的导数；(2)求函数y=1x在x=a(a≠0)处的导数．解：(1) ∆y=f(1+∆x)−f(1)=[(1+∆x)2+ 3]−(12+3)=2∆x+(∆x)2∴∆y∆x =2∆x+(∆x)2∆x=2+∆x∴y′|x=1=lim∆x→0(2+∆x)=2 (2)∆y=f(a+∆x)−f(a)=1a+∆x−1a=a−(a+∆x)a(a+∆x)=−∆xa(a+∆x)∴∆y∆x =−∆xa(a+∆x)∙ 1∆x=− 1a(a+∆x)∴y′|x=a=lim∆x→0[− 1a(a+∆x)]=−1a2求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤2 已知函数f (x)在 x =x 0处导数的4，则lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x=____ .解： lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x =lim ∆x→0[f (x 0+3∆x )−f (x 0)3 ∆x ×3]=3lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)3∆x =3f ′(x 0 )=3×4=12答案：12注：（1）本题中x 的增量是3∆x ，即(x 0+3∆x )−x 0=3∆x ，而分母为∆x ，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．（2）在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．3 长方形的周长为10，一边长为x .其面积为S. （1） 写出S 与x 之间的函数关系；（2） 当x 从1增加到1+∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？解释它的实际意义；（3）当长从x 增加到x +∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？ （4）在x =1处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义；（5）在x 处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？1平均变化率2瞬时变化率3导数的概念4 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤。
《导数的概念及其几何意义》教学设计
.精品文档.《导数的概念及其几何意义》教学设计《导数的概念及其几何意义》教学设计课题：导数的概念及其几何意义教材分析：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学史上的伟大地位。
而导数的概念是微积分核心概念之一，它具有极其丰富的实际背景和广泛应用。
导数的概念及其几何意义一课是在学生已经学习了解了一些实际问题的平均变化率的基础上对于瞬时变化率的确切的再认识，同时也是高中数学与大学数学衔接的重要内容节。
考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。
因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。
教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。
教学目标：1.知识与技能：抽象概括并理解导数的概念，发现并学习导数的几何意义2.过程与方法：体会瞬时变化率，归纳形成导数概念。
观察函数曲线的变化趋势，发现形成导数的几何意义。
3•情感态度价值观：学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养，渗透不断逼近和以直代曲的数学思想，以有限认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想的无限魅力。
教学重点：导数的概念以及导数的几何意义。
教学难点：导数的概念以及导数的几何意义。
教学过程：【复习回顾，创设情境】：回顾什么是平均变化率？情境1、吹气球的时候，随着气球的不断膨胀，吹起，会越越难，这是怎么回事？怎样用数学知识解释这一现象？情境2、巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片，当陡峭程度不同时，登山运动员的感受程度是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考？情境3、观看跳水视频，运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t 存在函数关系为。
导数的概念及导数的几何意义
<<高等数学>>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令tt 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0, 则y f (x 0x )f (x 0) f (x )f (x 0), x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(lim0x x x f x f x x --→ 成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.导数的定义 设函数y f (x )在点x 0及其近旁有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量x时, 相应地函数y 取得增量y f (x 0x )f (x 0)， 如果当x ®0时，xy∆∆的极限存在, 则称这个极限为函数y f (x )在点x 0处的导数, 记作,0()f x , 即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,也可记作0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处有导数（即极限xyx ∆∆→∆0lim 存在），有时也说成f (x )在点x 0可导.如果极限x yx ∆∆→∆0lim不存在, 就说函数yf (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于x ®0时,xy∆∆®∞也往往说函数y f (x )在点x 0处的导数为无穷大. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果函数y f (x )在开区间（a ，b ）内的每一点都可导, 就称函数y=f (x )在开区间（a ，b ）内可导, 这时, 对于开区间（a ，b ）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数,()f x . 这样就构成了一个以（a ，b ）为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f (x )的导函数, 简称导数，记作)(x f ',y ',dx dy , 或dxx df )(. 即 )(x f '=x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000f ¢(x 0)与f ¢(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f ¢(x )就是导函数f ¢(x )在点x x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f ¢(x )简称导数, 而f ¢(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f ¢(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f (x )在0x 的左导数:0,()fx -=lim 0x -∆→00()()f x x f x x +∆-∆; f (x )在0x 的右导数:0,()fx +=lim 0x +∆→00()()f x x f x x+∆-∆. 左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢(x 0) 和右导数f ¢(x 0)都存在且相等. 如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f ¢(a ) 和左导数f ¢(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导. .3、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim )(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即(C ) ¢0.例2 求xx f 1)(=的导数解 h xh x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3 求x x f =)(的导数 解 hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→例2．求函数f (x )x n(n 为正整数)在x a 处的导数. 解: f ¢(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n 1ax n2× × ×a n 1)nan 1.把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x )nx n 1, 即 (x n )¢nx n 1. (C )¢=0, 21)1(x x -=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .更一般地, 有(x )¢x 1, 其中为常数.例3．求函数f (x )sin x 的导数. 解: f ¢(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim0hh x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )¢cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )¢sin x . 例4．求函数f (x ) a x (a >0, a ¹1) 的导数. 解: f ¢(x )h x f h x f h )()(lim 0-+=→ha a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim0t t a a t x +→ a a ea x a xln log 1==. 特别地有(e x)e x.例5．求函数f (x )log a x (a >0, a ¹1) 的导数.解: hx h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==.解:h xh x x f a a h log )(log lim)(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→h xa h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 a x x a ln 1)(log ='. :特殊地 xx 1)(ln ='. a x x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.例6．求函数f (x )x |在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f ¢(0)¹ f ¢(0), 所以函数f (x )|x |在x 0处不可导.二、导数的几何意义设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x ®x 0. 如果当x ® 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即00)()(lim 0x x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k tan ,其中是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.函数y f (x )在点x 0处的导数f ¢(x 0)在几何上表示曲线y f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即f ¢(x 0)tan , 其中是切线的倾角.如果y f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x x 0为极限位置, 即曲线y f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y y 0f ¢(x 0)(x x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y f (x )在点M 处的法线如果f ¢(x 0)¹0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=-.例8. 求等边双曲线xy 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解: 21x y -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4x y 40.所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x 8y 150.例9 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x 0 则切线的斜率为0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )(230000x x x x x y -=-. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--, 解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y 即3x y 40三、函数的可导性与连续性的关系定理1 如果函数y f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.设函数y f (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f xyx '=∆∆→∆存在. 则00)(lim lim limlim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x .这就是说, 函数y f(x)在点x0处是连续的.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7．函数3)(xxf=在区间(, )内连续, 但在点x0处不可导. 这是因为函数在点x0处导数为无穷大h fhfh )0()0(lim0-+→+∞=-=→hhhlim3.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。
引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。
1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。
强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。
1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。
通过实例引导学生理解导数性质的应用。
2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。
利用导数的运算法则进行函数求导。
2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。
利用导数判断函数的单调性。
3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。
利用导数求解函数的极值。
3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。
利用导数求解函数的拐点。
第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。
解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。
4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。
解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。
4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。
解释切线与法线的概念及几何意义。
第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。
强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。
导数的几何意义教案(后附教学反思
导数的几何意义教案（后附教学反思）一、教学目标1. 让学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义。
2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，求解曲线的切线斜率。
2. 难点：导数的几何意义的理解，求解曲线的切线斜率的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。
2. 通过图形演示、实例分析，引导学生直观理解导数的几何意义。
3. 以学生为主体，鼓励学生主动探究、积极参与，培养学生的动手能力和思考能力。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何描述曲线的变化率。
2. 讲解导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义，强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。
引导学生直观理解导数的几何意义。
4. 导数与切线斜率的关系：讲解导数与切线斜率的关系，引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。
5. 应用实例：分析实际问题，运用导数求解曲线的切线斜率，巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：1. 讲解导数的定义时，要注重极限思想的理解，引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
2. 通过图形演示，让学生直观地理解导数的几何意义，强化空间想象能力。
3. 结合实际问题，让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率，提高学生的应用能力。
4. 课堂练习环节，要注意引导学生主动思考，培养学生的解决问题能力。
5. 教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。
教学设计：导数的概念和几何意义
导数的概念和几何意义一、教学目标一知识目标1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵2．通过函数图象直观了解导数的几何意义（二）能力目标掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题（三）情感目标通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题二、教学重点导数的定义与求导的方法三、教学难点对导数概念的理解四、教学过程：（一）复习引入师：前面我们研究了两类问题，一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来生：这两类问题都涉及到以下几件事：（1）一个函数f（）；（2）f（d）－f（）；（3）dx fdxf)()(-+；（4）当d趋于0时，dx fdxf)()(-+趋于一个确定的常数师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义（二）探求新知 1增量、变化率的概念对于函数),(),(000y x P x f y =是函数图象上的一点，),(11y x Q 是另一点，自变量从0变化为1时，相应的函数值有0变为1，其中1－2叫做自变量的增量，记为△，1－0叫做函数的增量（也叫函数的差分），记为△，则).()(01x f x f y -=∆叫做函数的变化率（或函数在步长为△的差商）★ 光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限 ★ 物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限 2．导数定义设函数在包含0的某个区间上有定义，如果比值dx f d x f )()(00-+在d 趋于0时，（d ≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数在=0处的导数或微商，记做)('x f上述定义的符号表示为：)0)(()()(0'00→→-+d x f dx f d x f这个表达式读作“d 趋于0时，dx f d x f )()(00-+趋于)(0'x f简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商 ★)('x f 也是关于的函数，叫做函数的导函数 3．求导数的步骤（1）求函数的增量).()(00x f x x f y -∆+=∆； （2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）令△→0，差商→)(0'x f 4．导数的几何意义函数)(x f y =在点0处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点P （0，）处的切线的斜率)(0'x f5．导数的物理意义函数)(t s s =在点t 0处的导数)(0't s 的物理意义是运动物体在时刻t 0处的瞬时速度（三）讲解例题例1 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W 1（t ），W 2（t ）分别表示甲、乙企业在时刻t 的排污量）试问哪个企业的治污效果较好分析：本题主要体现差商（即差分和对应步长的比）定义在现实生活中的运用，要想知道哪个企业的治污效果好，关键看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好解：在时刻t 1处，虽然W 1（t ）=W 2（t即排污量相同，但是考虑到一开始 有W 1（t 0）＞W 2（t 0），所以有10212010111)()()()(t t t W t W t t t W t W -->-- 说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均 治污率大即企业甲的治污效果要好一些例2 投石入水，水面产生圆形波纹区 圆的面积随着波纹的传播半径r 的增大而增大（如图）， 计算：（1）半径r 从a 增加到ah 时，圆面积相对于r 的平均变化率；（2）半径r=a 时，圆面积相对于r 的瞬时变化率 分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆） 面积的平均变化率。
5-1-2导数的概念及其几何意义( 教学设计)- -2023-2024学年高中数学新教材册)
5.1.2导数的概念及其几何意义本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习导数的概念及其几何意义本节内容通过分析上节中，高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出导数的概念，并引出导数的几何意义。
导数及其几何意义是本章中的核心概念，它是研究函数的基础。
在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的渗透。
课程目标学科素养A.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．B.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．1.数学抽象：导数的概念2.逻辑推理：导数及导数的几何意义3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率4.直观想象：导数的几何意义重点：导数的概念及其几何意义难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解多媒体一、 新知探究前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。
这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式。
下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。
探究1： 对于函数y =f(x) ，设自变量x 从x 0变化到x 0+ ∆x ，相应地，函数值y 就从f(x 0)变化到f(x +x 0) 。
这时， x 的变化量为∆x ，y 的变化量为∆y =f (x 0+∆x )−f(x 0) 我们把比值∆y∆x ，即∆y ∆x =f (x 0+∆x )−f(x 0)∆x叫做函数从x 0到x 0+∆x 的平均变化率。
1．导数的概念如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即Δy Δx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处____，并把这个________叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为__________)，记作f ′(x 0)或________，即 f ′(x 0)＝ ＝ . 可导； 确定的值； 瞬时变化率； y ′|x ＝x 0；lim Δx →0ΔyΔx；lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx由导数的定义可知，问题1中运动员在t =1时的瞬时速度v(1) ，就是函数h (t )＝－4.9t 2＋4.8t ＋11.在t =1处的导数ℎ′(1) ；问题2中抛物f (x )=x 2线在点P 0(1,1)处的切线P 0T 的斜率k 0，就是函数f (x )=x 2在x =1处的导数f ′(1) ，实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值（GDP ）的增长率等。
导数的定义的教案
导数的定义的教案教案标题：导数的定义教案概述：本教案旨在通过引导学生理解导数的定义，帮助他们掌握导数的概念和计算方法。
通过使用实例和练习，学生将能够理解导数的几何和物理意义，并能够应用导数来解决相关问题。
教学目标：1. 理解导数的定义和概念；2. 掌握导数的计算方法；3. 理解导数在几何和物理中的意义；4. 能够应用导数解决相关问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、白板、白板笔；2. 学生准备：课本、笔记本、笔。
教学过程：步骤一：导入导数的概念（5分钟）1. 教师简要介绍导数的概念，并解释导数在数学、几何和物理中的应用；2. 提问学生是否了解导数的概念，并鼓励他们分享自己的理解。
步骤二：导数的定义（15分钟）1. 教师引导学生通过观察直线、曲线和函数图像的变化来理解导数的概念；2. 教师解释导数的定义：对于函数f(x)，在点x处的导数表示函数曲线在该点的切线斜率；3. 教师通过示例和图示解释导数的计算方法，如使用极限、差商等；4. 教师引导学生一起计算简单函数的导数，如常数函数、幂函数和三角函数。
步骤三：导数的几何意义（10分钟）1. 教师通过绘制函数图像和切线来解释导数的几何意义；2. 教师引导学生观察导数的正负和大小对应函数图像的上升、下降和极值点的特征；3. 教师鼓励学生通过练习题来巩固对导数几何意义的理解。
步骤四：导数的物理意义（10分钟）1. 教师解释导数在物理中的应用，如速度、加速度等；2. 教师引导学生通过实例和图示来理解导数在物理中的意义；3. 教师鼓励学生通过练习题来应用导数解决物理问题。
步骤五：总结与拓展（5分钟）1. 教师与学生一起总结导数的定义、计算方法和几何、物理意义；2. 教师鼓励学生思考导数的更多应用领域，并提供相关拓展资源。
步骤六：作业布置（5分钟）1. 教师布置相关练习题作为课后作业；2. 教师提醒学生及时复习导数的概念和计算方法。
教学反思：本教案通过引导学生理解导数的定义、概念和应用，帮助学生建立起对导数的基本认识。
2022年《导数的概念及其几何意义》参考优秀教案
导数的概念及其几何意义教学目标：1．导数的概念及几何意义；2．求导的根本方法；3．导数的应用.教学重点：导数的综合应用；教学难点：导数的综合应用.一.知识梳理1．导数的概念及几何意义.2．求导的根本方法①定义法：=②公式法：〔c 为常数〕; = (n∈N) ; =3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值；③研究函数的图象形态、性状；④导数在不等式、方程根的分布〔个数〕、解析几何等问题中的综合应用．二．根底训练1.函数有极值的充要条件是( )A. B. <0 D.2.函数在闭区间上的最大值、最小值分别是〔〕，-1 ，-17 ，-17 ，-19>3,那么方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根B 1个根C 2个根D 3个根4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,假设的图象如下图,以下判断:①f(x)在(-2,0)上是减函数;②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的选项是A①②B②③C③④D②③④5. 函数f(x) =-x3+3x2+ax+c在(-∞,1]上是单调减函数,那么a的最大值是A -3 B-1 C1 D36．设t≠0，点P(t，0)是函数f(x)=x3+ax与y=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．(I)用t表示a，b，c；(Ⅱ)假设函数y=f(x)-g(x)在(-l，3)上单调递减，求t的取值范围．三．典型例题例1.设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a．〔I〕求f(x)的极值；〔Ⅱ〕当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点．例2f(x)=x3+ax+b定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l，x2∈[-1，1]，且x1≠x2．1)求证：|f(x1)-f(x2)|< 2|x1-x2|；2)假设0<x l<x2≤1，求证：|f(x1)-f(x2)|<1．例3抛物线和，如果直线L同时是和的切线，称L是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
导数的概念及几何意义教学设计教案.doc
零时平均速度的极限，即V2、曲线的切线limA/->0AsAr得出: lim—山TO心limA AT O佩 + Ax)-/(%)Ax导数的概念及几何意义教学设计一、目标分析依据教材结构与内容，并结合学生实际，特确定以下知、能、情教学目标：（1）知识与能力目标：理解导数的概念，探求导数的几何意义，培养学生运用极限思想去思考问题的能力以及建立数学模型的能力。
（2）过程与方法目标：通过实例引入、师生共同探究，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生逻辑思维和抽象概括能力。
（3）情感态度与价值观冃标：通过导数的学习拓宽学生的视野，提升学生思考问题的广度和深度，让学生学会自主学习与相互交流学习，激发学生学习数学的热情。
二、教学重点理解导数的概念及儿何意义运用极限的思想抽象出导数的定义三、教学方法是讨论发现法，问题探究法。
四、设计的指导思想现代认知心理学——建构主义学习理论。
五、设计的设计理念为了学生的一切.六、教学过程（一）创设情境、导入课题_1、在时间段（to+At）— to= At内，刘翔的平均速度为：v =— Ar因此刘翔在跨过最后一栏的I瞬时速度V就是他在to到S+ △ t这段时间内，当△ t趋向于我们发现，当点Q沿肴曲线无限接近点P即△ X-0时，割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为a ,那么当△ x->0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.（二）实例分析、形成概念物体的瞬时速度及切线的斜率的共同特点是什么？函数的改变量Ay与自变量的改变量Ax比值的极限。
.. Av 5（r +Ar）-5（r）v = lim ——=lim --- -------------- -zU->0 人工A XT O提炼得出概念导数的定义：设函数丿才仪）在点心处及其附近有定义，当自变量X在点心处有改变量△x时，函数y相应的增量△y=/Cr°+ Ax）— /（x0）,Ax A AT O Ar比值0就叫做y =于⑴在兀。
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计一、内容及内容解析1．内容：（高中新课标数学课程内容）导数的概念及其几何意义.2．解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值.导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想.本节课的教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.二、目标及目标解析1．教学目标（1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养. （2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.（3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.2．目标解析（1）导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问题广泛地存在于社会生活与科学研究中，因此，从具体案例中抽象出导数概念，不仅可以得到一个应用广泛的数学工具，还可以由此培养学生的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程.（2）导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元联系”.因此，从函数在0x x 处的导数就是函数图象在对应点的切线的斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直观想象素养的难得机会.（3）导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为未来进一步学习极限提供典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一般”、“从具体到抽象”是数学研究的重要思想方法.三、学生学情诊断分析本节课授课对象是广东省重点中学深圳中学的学生，在广东省属于基础非常好的学生，他们具有扎实的基础，较强的计算能力和较高的逻辑思维水平.如何正确理解瞬时速度、切线的斜率是极限，这是第一个教学问题.要解决这个教学问题，需要用好前面学习过的案例，通过数值变化和图象直观，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线斜率的极限就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义，这也是建立导数概念的关键.如何从已经学习过的求瞬时速度、求切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二个教学问题，也是教学难点.要解决好这个问题，需要先从学习过的具体案例中提练出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来.在此基础上，通过自变量的改变量趋于0的变化，观察平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.导数概念的建立过程中，涉及大量的相关概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意义，是第三个教学问题.教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用相关概念与符号.教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.四、教学策略分析学生在上一节课体验了用平均速度逼近瞬时速度、割线斜率逼近切线斜率，这是求瞬时速度、求切线斜率的重要方法，也是建立函数导数概念的重要支持.而且，学生在高中数学学习过程中，已经建立了不少概念，对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会与认识.学生没有极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这都增加了学生抽象概括出导数概念的难度. 因此，借助技术平台(如EXCEL软件等)使学生直观感受极限的“逼近”的过程，以此降低认识导数就是极限的难度，是本节课的另一个重要支持条件.此外，教学中还应该关注以下几点：1．注重由特殊到一般的思维引导本课以预设问题链激发学生思考、推动课堂教学.问题的设置体现了由特殊到一般的认知规律，即学生从跳水运动员的平均速度到瞬时速度的逼近和割线斜率到切线斜率的逼近，然后再推广到一般情形，建立导数的概念.2．强化数学抽象的核心素养在学生充分经历瞬时速度和切线斜率的计算过程后，引导学生归纳概括函数的平均变化率的概念，导数的概念.3．引导学生借助直观想象理解导数的几何意义通过割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率的过程，向学生展示切线形成及切线斜率计算的过程，帮助学生理解导数的几何意义.五、教学过程设计【问题1】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何求出0.5s t =时刻的瞬时速度？师生活动预设：①教师通过提示学生上节课用平均速度逼近瞬时速度的方法计算出1s t =，2s t =时刻的瞬时速度，提问：如何求出0.5s t =时刻的瞬时速度？②学生复习上节课求瞬时速度的方法，并思考教师提出的问题.③教师利用信息技术演示平均速度逼近瞬时速度的计算过程：先计算[]0.5,0.5t +∆时间段的平均速度，再令时间间隔t ∆无限趋近于0，平均速度趋近于一个确定的值，这个(极限)值就是0.5s t =时的瞬时速度，同时进行极限运算的时候要向学生强调极限的运算过程，体会无限逼近的思想.追问：(1)现在我们算出1s t =，2s t =，0.5s t =时刻的瞬时速度，那么对于某一时刻0t ，你能否算出瞬时速度？如果能，请计算求出；如果不能，请说明理由.解：时间段[]00,t t t +∆内的平均速度()()0004.99.8 4.8h t t h t v t t t+∆-==-∆-+∆，令0t ∆→，则004.99.8 4.89.8 4.8v t t t =-∆-+→-+，可见瞬时速度是一个只与0t 有关的值，不妨记为()0v t ，即()0000lim lim( 4.99.8 4.8)9.8 4.8t t v t v t t t ∆→∆→==-∆-+=-+，所以运动员在某一时刻0t 的瞬时速度为()009.8 4.8v t t =-+.师生活动预设：①学生思考；②教师展示计算过程，强调极限的表示和描述性定义.设计意图：通过复习上节课瞬时速度的计算，提出一般时刻的瞬时速度的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.追问：①类似地，我们还研究了抛物线2y x =在点某点处的切线斜率，如点()1,1P ，()1,1P -，其他点处切线的斜率能不能求？②一般的点怎么表示？其斜率如何计算？设计意图：继续复习上节课切线斜率的计算，提出一般的点处切线斜率的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.【问题2】如果把高台跳水和求抛物线斜率问题中的函数换为一般函数()y f x =，你可以类似地得出什么结论？师生活动预设：①给学生充分思考的时间，引导学生抽象概括导数的概念.技术平台；教师通过信息技术平台展示学生的解答过程并点评其中的问题，同时完善学生的表达，强调其中符号的表示.③教师给出函数的平均变化率、导数的定义：对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应的，函数值y 就从()0f x 变化到()0f x x +∆.这时，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为()()00y f x x f x ∆=+∆-.我们把比值yx∆∆，即 ()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆ 叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率.如果当0x ∆→时，平均变化率y x ∆∆趋近于一个确定的值，即yx∆∆有极限，则称()f x 在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数(derivative)，记作()0'f x 或0'|x x y =，即00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆.设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法. 设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法.追问：瞬时速度()0.5v 用导数怎么表示？点()200,P x x 处的切线斜率k 用导数怎么表示？ 师生活动预设：①学生在学案上写下答案并拍照上传到技术平台；②教师通过信息技术平台展示学生的解答并点评其中的问题，同时强调导数符号的表示()()0.5'0.5v h =，()00'|x x v t y ==.例1 设()1f x x=，求()'1f .解：()()1111111f x f x x x x-+∆-+∆==-∆∆+∆，()()()000111111'1lim lim lim 11x x x f x f x f x x x ∆→∆→∆→-+∆-⎛⎫+∆===-=- ⎪∆∆+∆⎝⎭. 师生活动预设：①学生思考.②教师板书演示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念.【问题3】 曲线3y x =(0x ≥)上的点到直线330x y --=距离的最小值为________.师生活动预设：①教师先回忆上节课研究的抛物线2y x =上一点到直线330x y --=距离的最小值问题，然后提出问题：将抛物线2y x =换成曲线3y x =(0x ≥)如何解决.②学生有可能给出如下回答：类似于抛物线的解决方法，如(1)设点坐标直接求，困难是三次函数的最值求不出来；(2)数形结合，利用几何方法，将点到直线的距离转化为平行线间的距离，当直线与曲线相切时取得最小值，从而引出求切线方程的问题.③教师利用信息技术动态演示距离的变化情况，引出切线问题.追问：①现在我们需要求得曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,x x (00x ≥)的切线，使其平行于直线330x y --=，也就是让切线斜率等于？②现在的关键是求出曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,x x (00x ≥)的切线斜率，那么切线怎么定义？是类似于圆的切线定义还是抛物线的切线定义？师生活动预设：①学生思考并讨论，如何定义曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,xx (00x ≥)的切线.②学生有可能给出如下回答：小部分回答圆的切线定义方式，大部分抛物线的切线定义方式.追问：我们上节课已经知道圆的切线定义方式不适用于抛物线，那么抛物线的切线定义方式是否适用于圆呢？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.②教师利用信息技术动态演示圆的割线逼近切线的过程. 追问：对于曲线3y x =(0x ≥)呢？一般曲线()y f x =呢？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.②教师利用信息技术动态演示圆及一般曲线的割线逼近切线的过程，并给出一般曲线()y f x =在一点处的切线定义：取曲线()y f x =上的一动点()()00,P x x f x x +∆+∆，当点()()00,P x x f x x +∆+∆沿着曲线()y f x =趋近于点()()000,P x f x 时，割线0PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为点P 处的切线(tangent line ).追问：现在切线定义已经解决了，如何求切线斜率？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：用割线斜率逼近切线斜率.②教师投影切线斜率()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆.追问：现在我们称()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆为？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(函数()y f x =在0x x =处的)导数. 追问：导数的几何意义就是？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的)切线斜率.追问：曲线3y x =(0x ≥)上的哪个点处的切线斜率为3？师生活动预设：①教师提示：设点()300,P x x (00x ≥)处切线斜率为3，则()0'3f x =.②学生在学案上计算0x 的值并拍照上传到畅言平台. ③教师点评学生的答案，并给出解答过程.追问：曲线3y x =(0x ≥)上的点到直线330x y --=距离的最小值是？设计意图：通过研究一道解析几何经典问题，引出一般曲线的切线定义及某点处切线斜率的计算方法，直观形象地让学生体会导数的几何意义.追问：通过前面的例子，你知道求函数()y f x =在0x x =处的导数的步骤吗？师生活动预设：学生思考并回答问题：第一步，求函数的平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆并化简； 第二步，求极限，令0x ∆→，得到导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵，掌握导数运算. 【问题 4】你认为下列命题哪些是正确的？①瞬时速度是导数. ②导数是切线斜率. ③导数是特殊的极限.④曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程是()()()000'y f x f x x x -=-.师生活动预设：①学生在技术平台上完成解答；②教师通过信息技术平台展示学生的解答情况并点评出错较多的问题，并由此进行小结.③教师布置课后检测作业.设计意图：通过【问题 4】对本节课内容进行小结，进一步加深学生对导数概念的理解，加强数学抽象、直观想象等核心素养.六、目标检测设计1.圆的面积S 与半径R 的关系为2πS R =，问5R =时面积关于半径的瞬时变化率是多少？(设计意图：认识瞬时变化率(导数)的概念，练习导数的计算)2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(设计意图：理解导数的概念及其几何意义)3.求曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角的大小.(设计意图：理解导数的几何意义)。
导数的概念及几何意义教学设计
导数的概念及几何意义教学设计导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率。
导数的几何意义是切线的斜率，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律和性质。
本教学设计旨在通过直观的几何图像和实际问题的分析，帮助学生深刻理解导数的概念及几何意义。
设计主要针对高中数学任课老师使用。
一、教学目标：1.理解导数的概念及几何意义；2.能够通过几何图像和实际问题分析导数的性质和应用。
二、教学准备：1.教学实例：选择一个具有实际意义的函数作为示例，比如一个运动物体的位移函数；2. 数学软件：准备一台计算机并安装数学软件，如Geogebra，用于绘制函数图像和求解导数。
三、教学过程：1.引入导数的概念：b.教师出示一个运动物体的位移函数图像，提问“你们觉得这个函数图像代表了什么？”引导学生讨论函数图像表达的是运动物体的位置随时间的变化规律。
c.教师解释导数的概念：导数就是函数在其中一点的变化率，可以看作是瞬时变化率。
2.几何意义的引入：a.教师给出一个具体的实例，比如一个运动物体的位移函数y(t)=t^2，在计算机上绘制该函数图像并标出一个点A(2,4)。
b.教师引导学生思考，如何找到函数在点A处的变化率或斜率？c.教师通过计算机软件，绘制出点A处的切线，并解释切线斜率与导数的关系，即导数就是切线的斜率。
3.导数的计算：a.教师解释导数的计算方法，即通过函数的极限定义求解。
b.教师通过计算机软件演示导数的计算步骤，例如求解函数y(x)=2x^3-3x^2+4x-1的导数。
c.教师引导学生思考，导数是否对函数的每一个点都有定义？如何解释导数不存在的情况？4.导数的性质和应用：a.教师解释导数的性质，如导数为正表示函数在该点增加，导数为负表示函数在该点减少。
b.教师给出一些实际问题，如抛物线的导数在哪些点为零？求解这些问题并解释其实际意义。
c.教师引导学生思考，导数与极值和拐点的关系，并解释其几何意义。
5.总结与拓展：a.教师与学生一起总结导数的概念及几何意义，并强调函数图像和实际问题分析的重要性。
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一、内容与内容解析本课时内容选自人教A 版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2—2）》第一章“导数及其应用”中第一单元“变化率与导数”中的单元分讲2——导数的概念及其几何意义.本课时内容是在学生已经学习了单元分讲1——章引言和两个变化率问题，即已经研究了物理学中的平均速度和瞬时速度，以及几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上，通过数学抽象，得出导数的概念及其表达.通过信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想，感受导数的几何意义，抽象生成一般曲线y =f ()x 在点()x 0，f ()x 0处的切线定义，体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.基于以上分析，确定本课时的教学重点：导数的概念，导数的几何意义，极限思想.二、目标与目标解析本节课的教学目标与目标解析如下.（1）经历解决生活中不同领域的瞬时变化率问题，抽象得到导数的概念及其数学表达.通过类比探究，抽象概括得出导数的几何意义，生成一般曲线在某一点处的切线的定义.应用信息技术，直观感受“逼近”和“以直代曲”的极限思想.体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.（2）理解导数的概念，掌握利用定义求导数的基本方法，能够运用导数的概念和几何意义解决实际问题.（3）经历导数概念的形成和几何意义的探究，体会从特殊到一般、从具体到抽象在解决数学问题中的一般性和有效性.发展学生观察、类比、概括的数学能力，提升学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学核心素养.收稿日期：2019-02-25作者简介：马丽娜（1983—），女，中学一级教师，主要从事数学教学研究.“导数的概念及其几何意义”教学设计马丽娜摘要：导数是研究函数性质的重要工具.本节课在学生已经学习了章引言和两个变化率问题的基础上，通过对实例进行数学抽象，得出导数的概念及其表达.通过类比和归纳，得出一般曲线导数的几何意义.通过应用几何画板软件的探究及直观演示，引导学生体会“以直代曲”的极限思想，感受“数形结合”的思想方法.整节课将微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题贯穿始终.关键词：数学核心素养；数学抽象；归纳类比；运动变化；极限思想微信扫码！立即观看！微信扫描左侧二维码，即可获取本文配套资源——“导数的概念及其几何意义”课堂实录及课件，欢迎观看、下载！（4）经历从实际情境抽象出数学概念，让学生感受数学的科学价值和应用价值.通过学生自主探究、合作交流，培养学生敢于质疑、勇于探索的学习习惯，提升发现问题、分析问题和解决问题的能力.三、教学问题诊断1.学生已经具备的认知基础本课时的教学对象是天津市直属重点中学的学生.学生积累了一定的数学活动经验，具有一定的动手实践能力，有较好的探究意识和团队合作意识.学生在物理中已经学习了平均速度和瞬时速度等概念，在数学上已经掌握了函数的概念和函数的表示法，已经学习了与直线的斜率和直线的方程相关的知识.2.学生可能存在的认知困难学生首次接触“极限”思想，在理解上会存在一定困难.用运动变化的观点解决问题，突破了学生的“惯性思维”，是本节课的难点之一.基于以上分析，本节课的教学难点确定为：用运动变化的观点解决问题和对导数的概念及其几何意义的探究.突破难点的措施：利用问题引导学生探究，利用几何画板软件动态演示“以直代曲”的过程，使抽象问题直观化.四、教学媒体设计本节课将学生收集的实例作为情境导入，应用导学案直观呈现知识的建构过程，提高探究效率.教师应用几何画板软件演示“逼近”与“放大”的过程，巧妙突破难点.使用希沃同屏软件，实时展示学生的探究过程和结果，充分发挥生生互评、师生互评的评价效能.学生用手持ipad上的几何画板软件探究导数的几何意义，直观感受知识的形成过程，积累活动经验.五、教学过程设计为了逐步达成教学目标，完成教学任务，本节课设计了四个教学环节，如图1所示.图11.温故知新，建构导数概念教师引言1：上周开始，我们进入了一个新单元的学习——变化率与导数.上两节课我们学习了章引言，并探究了两个变化率的问题.这节课让我们继续探究导数的概念及其几何意义.师生活动：教师板书课题“导数的概念及其几何意义”.教师引言2：让我们首先重温上节课的两个情境.情境1——高台跳水问题，涉及物理学中的平均速度和瞬时速度；情境2——抛物线的切线问题，涉及到几何学中的割线斜率和切线斜率.上节课，老师布置了课前作业，同学们以学习小组为单位，每个小组写出一个与“变化率”有关的实例，写出具体问题与解答过程.请三个小组的同学进行分享.师生活动：教师用PPT展示上节课的两个情境.情境1：高台跳水问题.运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t存在函数关系h()t=-4.9t2+6.5t+10，求t=2时的瞬时速度.涉及问题：平均速度→瞬时速度.数学表达：vˉ=ΔhΔt→v()2=limΔt→0ΔhΔt=limΔt→0h()2+Δh-h()2Δt.情境2：抛物线的切线问题.求抛物线f()x=x2在点P()0，0处的切线的斜率.涉及问题：割线斜率→切线斜率.数学表达：kn=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f()0+Δx-f()0Δx.课前，教师收上来七个小组的“变化率”实例，筛选出“非同质性”的实例三个，并让这三个小组的代表进行分享.教师提前将小组作业拍照，用PPT播放，学生解说.【设计意图】让学生搜集“变化率”实例，写出完整的解答过程，能够较好地反馈学生对上一单元分讲中平均变化率和瞬时变化率的掌握与理解情况.学生课前搜集，教师提前筛选，提高课堂效率的同时，使得实例涉及不同领域，对数学共性的说明更具有说服力，为引出导数的概念做好充分的铺垫.探究1：导数的概念.问题1：虽然前面的五个实例涉及不同的领域，但是从数学的角度思考上述五个实例，在“过程与方法”“结果的形式”上有哪些共性？师生活动：教师引导学生从“数学的角度”观察问题的一致性，从“过程与方法”和“结果的形式”进行归纳小结.学生小组合作探究，教师巡视，深入小组活动，倾听学生交流.教师让小组代表分享交流，其他小组进行补充.教师用PPT展示“数学共性”的内容，如下表所示.过程与方法（1）用运动变化的观点研究问题；（2）应用了极限的思想；（3）用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”结果的形式结果都是一个确定的值，具有相同的表现形式【设计意图】引导学生得出五个例子在“过程与方法”“结果的形式”上的共性.让学生体会微积分的重要思想——用运动变化的观点研究问题.体会极限思想，感受用“平均变化率”趋近“瞬时变化率”的研究方法.关注结果形式的一致性——都是一个确定的数值，培养学生的观察、概括能力.问题2：如果研究更一般的问题，对于函数y=f()x，在x=x0处的瞬时变化率如何表示？师生活动：教师提问，学生回答.教师要关注学生的数学表达，让学生感受从具体到一般的抽象过程和研究方法.教师板书：函数y=f()x在x=x0处的瞬时变化率为limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f()x0+Δx-f()x0Δx.【设计意图】让学生感悟从特殊到一般、从具体到抽象的研究数学问题的方法，从而使学生深刻体会概念的建构过程.教师引言3：其实，函数y=f()x在x=x0处的瞬时变化率就称为函数y=f()x在x=x0处的导数，这就是导数的概念.师生活动：教师板书导数的概念.导数的概念：函数y=f()x在x=x0处的瞬时变化率是f′()x0=y′|x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f()x0+Δx-f()x0Δx，我们称它为函数y=f()x在x=x0处的导数.问题3：让我们应用导数的概念，再来重温两个情境.如何用导数表示运动员在t=2时的瞬时速度v()2？如何用导数表示抛物线f()x=x2在点P()0，0处的切线的斜率k？它们的意义是什么？师生活动：教师用PPT展示问题，学生独立思考、回答问题.教师引导学生用导数的表达形式f′()x0来表示v()2和k，用导数的本质——瞬时变化率解释两个情境的意义.师生共同给出问题的答案.情境1的问题：如何用导数表示运动员在t=2时的瞬时速度v()2？你能说出它的意义吗？答案：运动员在t=2时的瞬时速度v()2就是函数h()t=-4.9t2+6.5t+10在t=2处的导数h′()2.它表示运动员相对于水面的高度h在t=2时的瞬时变化率.情境2的问题：如何用导数表示抛物线f()x=x2在点P()0，0处的切线的斜率k？你能说出它的意义吗？答案：抛物线f()x=x2在点P()0，0处的切线的斜率k就是函数f()x=x2在x=0处的导数f′()0.它的意义是抛物线f()x=x2在x=0处的瞬时变化率.【设计意图】通过具体实例，帮助学生理解导数的概念，体会导数的本质就是瞬时变化率.2.学以致用，解决典型问题教师引言4：下面，让我们学以致用，来解决一道数学问题.例1设f()x=2x，求f′()-1.问题4：f′()-1表示什么？追问：如何用导数的定义求f′()-1？师生活动：教师引导学生关注导数的符号表达，引导学生用导数的定义解决问题，体会导数的求解步骤.教师提问，学生独立思考，并在学案上作答.教师巡视，让学生回答，并板书如下解题过程：f′()-1= limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f()-1+Δx-f()-1Δx=limΔx→02-1+Δx-()-2Δx= limΔx→0æèçöø÷2-1+Δx=-2.【设计意图】学以致用，让学生加深对导数概念的理解，明确利用定义求导数的步骤.教师板书，示范解题格式，展示数学的严谨.教师引言5：让我们再来解决一道实际问题.例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h 时，原油的温度（单位：°C ）为y =f ()x =x 2-7x +15()0≤x ≤8.计算第2h 、第3.5h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.问题5：原油温度在第2h 、第3.5h 和第6h 时的瞬时变化率，从数学的角度，求的是什么？师生活动：教师要引导学生体会原油温度在第2h 、第3.5h 和第6h 时的瞬时变化率就是函数y =f ()x =x 2-7x +15()0≤x ≤8在x =2，x =3.5，x =6处的导数，即f ′()2，f ′()3.5，f ′()6.引导学生将实际问题抽象成数学问题，用导数的定义解决问题，注意结果的形式是一个确定的数值.引导学生将导数值放回情境，就表示原油温度的瞬时变化率，深刻体会导数的本质.教师提问，学生先独立思考，然后在学案上作答，组内互评，教师巡视，将学生答案同屏在大屏幕上分享.教师巡视时，要关注学生导数符号的书写和解题格式的完整，要关注学生对实际意义的表达.【设计意图】让学生经历用导数的概念解决实际问题、感受导数值的多样性，为下一个单元分讲——应用导数探究函数的单调性埋下伏笔.问题6：将原油温度问题一般化，那么f ′()x 0表示什么意义？师生活动：教师引导学生说出f ′()x 0表示原油温度在t =x 0时刻的瞬时变化率.深刻体会导数的数学表达和本质.教师提问，学生独立思考、回答问题.【设计意图】引导学生用数学的思维解决问题，将实际问题抽象为数学问题，深化学生对导数概念的理解，让学生理解导数的本质就是瞬时变化率.教师引言6：可见，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率.师生活动：教师小结提升.3.自主探究，获得几何意义探究2：导数的几何意义.问题7：从“数”的角度，我们已经得知导数f ′()x 0表示函数y =f ()x 在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f ()x 在x =x 0附近的变化情况，那么从“形”的角度，导数f ′()x 0具有什么几何意义呢？追问：让我们再回忆情境2，抛物线f ()x =x 2在点()0，0处的切线斜率就是函数f ()x =x 2在x =0处的导数f ′()0，这就是导数f ′()0的几何意义.类比探究，一般曲线y =f ()x 在x =x 0处的导数f ′()x 0的几何意义是什么？师生活动：学生应用ipad 上的几何画板软件小组合作探究，将探究结果整理在学案上.教师巡视，倾听小组交流，用希沃同屏软件将学生的探究过程同步投影在大屏幕上进行分享，让小组代表陈述本组的探究过程和结论，其他小组补充、互评.【设计意图】引导学生用运动变化的观点研究问题，体会割线的极限位置就是切线，体会割线斜率的极限就是切线斜率，割线斜率的极限的数学表达就是导数.感受从特殊到一般、从具体到抽象以及类比概括在研究数学问题时的一般性和有效性.教师引言7：通过刚刚同学们的探究、分享，我们确实发现当点P 1趋近于点P 时，割线斜率k n 趋近于切线斜率k ，k n 趋近于函数y =f ()x 在x =x 0处的导数.因此，函数f ()x 在x =x 0处的导数f ′()x 0就是切线PT 的斜率k ，即k =lim Δx →0f ()x 0+Δx -f ()x 0Δx=f ′()x 0，这就是导数的几何意义.师生活动：教师小结提升，注重小结“割线的极限位置就是切线”，“割线斜率极限的数学表达就是导数”.用PPT 将导数的“数”与几何意义的“形”同屏播放，如图2所示.（1）因为割线PP 1的斜率k n =lim Δx →0f ()x 0+Δx -f ()x 0Δx，切线PT 的斜率k =lim Δx →0f ()x 0+Δx -f ()x 0Δx，所以当P 1→P 时，k n →k ，k n →f ′()x 0.所以k =lim Δx →0f ()x 0+Δx -f ()x 0Δx=f ′()x 0.（2）图2教师板书导数的几何意义:函数f ()x 在x =x 0处的导数就是函数f ()x 在x =x 0处的切线的斜率，即k =f ′()x 0.【设计意图】让学生感受数形结合的思想方法，深化对导数概念的理解.探究3：切线的定义.问题8：刚刚的探究中，我们发现此处的切线与初中学习的切线的定义有所不同.既然割线的极限位置就是切线，那么如何定义一般曲线y =f ()x 在点P ()x 0，f ()x 0处的切线呢？师生活动：教师提出问题，学生独立思考、回答问题.教师引导学生体会割线的极限位置就是切线，进而用运动变化的观点生成一般曲线y =f ()x 的切线的定义.教师板书切线的定义：当点P n 沿着曲线y =f ()x 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定的位置PT 称为曲线y =f ()x 在点P 处的切线.【设计意图】学生经历“提出问题—分析问题—解决问题”的过程，感受知识的形成过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象，以及类比归纳的研究方法.教师引言8：下面，老师用几何画板软件再次为大家演示“割线逼近切线”的过程，同学们观察在点P 处哪条直线最接近点P 附近的曲线？老师将图象放大，你能否发现点P 处的切线与曲线的位置关系？师生活动：教师用几何画板软件演示“割线逼近切线”的过程，如图3所示.图3通过图4，教师用几何画板软件让学生直观感受当图象逐渐放大时，点P 处的切线越来越贴近点P 附近的曲线，感受“以直代曲”的极限思想.图4【设计意图】几何画板软件的动态演示，能够让学生直观感受“以直代曲”的必要性，巧妙突破难点.引导学生再次感受极限的思想，体会微积分的重要思想——以直代曲.例3如图5，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h ()t =-4.9t 2+6.5t +10的图象.描述运动员在t =t 0，t =t 1，t =t 2附近的变化情况.师生活动：教师着重引导学生用导数的几何意义研究问题.“曲线”描述的是运动员的高度变化，要描述运动员的瞬时变化率可以应用函数的导数，而导数的几何意义就是切线的斜率.因此，应用“切线的斜率”研究“曲线的变化”是十分必要的，让学生感悟“以直代曲”的意义.引导学生感知：因为可以“局部以直代曲”，所以可以用切线的上升、下降近似替代曲线的上升、下降.而切线的上升、下降可以用斜率来反映.引导学生应用切线的斜率解释运动员的瞬时变化率.体会“数”与“形”的结合，深刻体会导数的几何意义的应用价值.教师提问，学生独立思考、在学案上作答，教师将学生的答案同屏在大屏幕上分享，学生互评.【设计意图】学以致用，应用导数的几何意义解释情境中的瞬时变化率问题，体会导数的几何意义就是切线的斜率，感受“以直代曲”的思想的应用价值.将“高台跳水”情境贯穿在本单元、本课时的教学中，让学生感知数学源于生活、应用于生活.通过切线的斜率的正、负、0为下个单元分讲——用导数研究函数的性质埋下伏笔，使学生的思维延伸到课堂之外.4.小结提升，布置分层作业问题9：谈谈本节课你用了什么样的方法收获了什么知识，说说你的感悟.师生活动：教师着重引导学生从“知识”和“方法”两个方面进行小结.让学生梳理本节课的知识收获：导数的概念、导数的几何意义、切线的定义.让学生感受应用的思想方法和研究方法：极限思想、以直代曲思想、数形结合思想、类比归纳方法.教师提问，学生独立思考、回答，相互补充.教师板书研究方法：（1）“极限”思想；（2）“以直代曲”思想；（3）“数形结合”思想；（4）归纳、类比.【设计意图】培养学生归纳总结的能力，让学生回图5（下转第64页）概念的教学中，应该遵循概念教学的一般进程，尤其要突出两点：一是突出典型丰富实例基础上的抽象概括过程，强调“概念发生发展过程的合理性”；二是突出以恰时、恰点的问题引导学生进行高水平的数学思维活动，强调“学生认知过程的合理性”.并在上述两个过程中注意渗透概念中蕴涵的思想方法；同时，应该根据概念的具体特点充分使用信息技术.这样就能使学生掌握“四基”，培养“四能”，落实数学学科核心素养，实现数学课程的育人目标.本课题对当下“三新一旧”（注：“三新一旧”通常指新课程方案、新课程标准、新高考、旧教材）背景下，乃至在即将全面铺开的新课程标准教材的教学中，全面落实立德树人要求，深入挖掘数学课程内容的育人价值，树立基于数学学科核心素养的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程，具有重要参考价值.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.［2］普通高中数学课程标准修订组.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读［M］.北京：高等教育出版社，2018.［3］章建跃.中学数学教学概论［M］.北京：北京师范大学出版社，2008.［4］吕世虎，吴振英，杨婷，等.单元教学设计及其对促进数学教师专业发展的作用［J］.数学教育学报，2016，25（5）：16-21.［5］吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤［J］.当代教育与文化，2016，8（4）：41-46.味本节课生成的知识和应用的方法，积累数学知识和活动经验，感知导数的意义，为下一分讲用导数研究函数的性质奠定基础.教师引言9：本节课的作业分为必做和选做两部分.必做作业：（1）整理导学案；（2）完成课堂教学目标检测.选做作业：（1）完成拓展学案；（2）阅读刘徽《九章算术注》中的“割圆术”，写出收获与感悟.【设计意图】必做作业保证本课时知识和方法的落实，为后续学习打下基础；拓展学案针对学有余力的学生，保证不同的学生得到不同的发展.体会“极限思想”是本单元的教学目标之一，让学生阅读刘徽《九章算术注》中的“割圆术”，感受极限思想的产生背景和伟大意义，感知知识的形成过程与研究方法，为微积分的后续学习奠定基础.六、目标检测设计1.一个直线运动的物体，从时间t运动到时间t+Δt，物体的位移为Δs，那么limΔt→0ΔsΔt为（）.（A）从时刻t到时刻t+Δt时，物体的平均速度（B）从时刻t到时刻t+Δt时，物体的瞬时速度（C）当时刻为Δt时，物体的瞬时速度（D）当时刻为t时，物体的瞬时速度2.已知函数y=f()x的图象如图6所示，则f′()x A与f′()x B的大小关系是（）.（A）f′()x A>f′()x B（B）f′()x A<f′()x B（C）f′()x A=f′()x B（D）不能确定3.设函数f()x=2x+5，应用导数的定义求f′()1.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2017.［2］曹才翰，章建跃.中学数学教学概论（第3版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［3］章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程［J］.数学通报，2010，49（1）：25-29.（上接第58页）图6。