电路第8章

第八章 相量法
主要内容： 正弦量的概念
正弦量的相量表示法
基尔霍夫定律的相量形式 基本要求：
牢固掌握正弦量的概念和相量表示法 基尔霍夫定律的相量形式
§8-1 复数
1、一个复数A的几种表示形式 (1) 代数形式（直角坐标形式）： A=a1+ ja2
式中a1、a2都是实数，分别为A的实部和虚部，
I I i


i ( t ) I m cos(t i )
（2）VCR相量形式 U Rm R I m

U RI


它既表明电压、电流有效值之间的关系，又表明电压、 电流相位之间的关系。 即： U=RI 和 u = i
前者表明电压有效值和电流有效值符合欧姆定律，后者 表明电压与电流同相。 电压幅值和电流幅值符合欧姆定律 URm=RIm
同相
i1超前i2
正交
反相
三、正弦电流、电压的有效值
1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量，分 别作用于同一电阻，如果经过一个周期的时间产生相等 的热量，则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小。 电流、电压有效值用大写字母I、U表示。 根据有效值的定义，则有
I 1 T

T
0
i 2 Rdt I 2 RT
I 1 、 2 、 3 构成平行四边形； I I
Biblioteka I 1 与 I 2 首尾相联，与 I 3 构成电流三角形。
三、元件VCR的相量形式
1、电阻元件 （1）VCR时间函数关系式 其中： uR ( t ) U Rm cos(t u ) uR(t)=Ri(t)
U R U R u
(3)相位角：式中t+ 称为相位角，简称相位。
(4) 初相角 ：正弦量在t=0时刻的相位角，简称初相。 初相角反映了正弦量初始值的大小。 即：u(0)=Umcos 初相角的取值：的大小与计时起点有关。 如果正弦量的正最大值发生在时间起点之前，则为正值； 如果正弦量的正最大值发生在时间起点之后，则为负值。 ||。 单位：弧度(rad)，工程上常用度作单位。 1= /180 rad， 1 rad = (180 / ) 幅值、初相、角频率可确定一个正弦量，称为正弦量的 三要素。
i1 ( t ) 10 2 cos(t 60 ) A
i3 i2 i1
i2 ( t ) 5 2 cos(t 90 ) A
求i3(t)及I3。 解： I 1 10 60 A

I 2 5 90 A

依KCL可得：
I 3 I 1 I 2 1060 5 90 5 j 8.66 j 5 5 j 3.66 6.236.2 A
KCL可表示为：
I
k 1
n

k
0
或
I
k 1
n

km
0
二、KVL的相量形式 正弦电流电路的任一回路中，沿任意回路绕行方向计算各支 路电压的有效值相量（或幅值相量）的代数和恒为零。 KVL可表示为： U k 0
k 1 n
或
U
k 1
n

km
0
例3、图示为电路中一个节点，已知
即：复数相乘，其模相乘，其辐角相加。 (4)除法运算 ：用极坐标形式或指数形式来进行。
A / B a / b(a b ) a / be
j ( a b )
即：复数相除，其模相除，其辐角相减。
(5)旋转因子：复数ej称为旋转因子。
e j 1 是一个模等于1而辐角为的复数。
i1 ( t ) 3 2 cos(314t / 6) A i2 ( t ) 4 2 cos(314t / 3) A
试写出代表这两个正弦电流的相量， 并画相量图。 解： I 3 / 6 A 1

+j

I1
/6 o
-/3

+ 1
I1 I 2

I2


小结：
1、相量法就是用复数来表示正弦量，正弦量与相量之间 有一一对应关系。实质上相量法是一种变换，它通过相量 把时域里求微分方程的正弦稳态解的问题，“变换”为在 频域里解复数代数方程的问题。 u(t)=Um cos(t+)
U m Ume

j
U m
2、利用相量法，同频率正弦量的相加(或相减)可以变换为 其对应的相量相加(或相减)。 i1(t)=I1mcos(t+1) A i =i1+i2

T
0
i 2 dt
周期电流的有效值又叫方均根值。
2、正弦量的有效值
对于正弦电流，设 i ( t ) I m cos(t i )
I 1 T Im 2

T
0
2 I m cos 2 (t i )dt
0.707I m
Im
同理： U
2I
i(t )
2 I cos(t i )
任意复数 A aa 乘以ej等于把复数A逆时针 旋转一个角度，而A的模值不变。
一个复数乘以j，等于把该复数在复平面上逆时针旋转/2； 一个复数除以j，等于把该复数乘以-j，即等于把该复数 在复平面上顺时针旋转/2。
§8-2 正弦量
正弦电压和电流：随时间按正弦规律变化的电压和电流 分别称为正弦电压和正弦电流。
电阻中正弦电流和电压的波形图、相量图
2、电容元件
（1）电容元件电压电流时间函数关系式
1 uC ( t ) i ( t )dt C
其中： uC ( t ) U Cm cos(t u )
i ( t ) I m cos(t i )
上式中
U Cm UCm e ju UCmu
1 2
U m 0.707U m
Um
2U
通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。
§8-3 相量法的基础
相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电路的微分 (积分)方程转化为代数方程，而这些方程在形式上与电阻 电路的方程相类似，从而使正弦激励下的电路的分析和计 算大大简化。 1、用复数表示正弦函数 正弦电压 u(t)=Umcos(t+)可以写作：
(1) 相等：两个复数的实部和虚部分别相等；
两个复数的模和辐角分别相等。
(2)加减运算：用代数形式来进行。
几个复数的相加或相减，就是它们的实部和虚部分别 相加或相减。 复数的加减运算可以用平行四边形法则在复平面上用 作图法来进行。
(3)乘法运算 ：用极坐标形式或指数形式来进行。
A B ab(a b ) abe j ( a b )
I2 4 / 3A

I I 1 I 2 5 23.1 A
i ( t ) i1 ( t ) i2 ( t ) 5 2 cos(314t 23.1 ) A
U 1 m 50 30 V U 2 m 100 150V 例2、已知



f=50Hz，试写出它们所代表的正弦电压。 解： = 2f = 100 = 314 rad/s

为电压幅值相量 为电流幅值相量
I m I m e ji I mi

（2）VCR相量形式

U Cm
1 1 Im j Im jC C
1 1 UC I j I j C C

它既表明电压、电流有效值之间的关系，又表明电压、 电流相位之间的关系。
即：
(2) 相位比较 = 1 - 2 如果 > 0，说明u1的相位超前于u2的相位一个角度， 简称为u1超前u2 (或u2 滞后u1) 。 即u1比u2先 到达正最大值。 如果 < 0，说明u1的相位滞后于u2的相位一个角度， 简称为u1滞后u2 (或u2超前u1) 。即u1比u2后 到达正最大值。 如果 = 0，则称u1与u2同相位。 如果 = ±/2，则称u1与u2相位正交。 如果 = ，则称u1与u2反相位。
u(t)=Umcos(t+)
U m U m e j U m

du U m sin(t ) U m cos(t ) dt 2 du/dt的相量为 j U m
5、利用相量法，一个正弦量对时间取积分的运算可以变换 为其对应相量除以j的运算。
二、同频率正弦量的比较
例： u1(t)=U1mcos(t+1) u2(t)=U2mcos(t+2) (1) 相位差：相角或相位之差， 也称相位角差。 用表示， = (t+1) - (t+2) = 1 - 2 相位差在任何瞬间都是一个常数，等于它们的初相之差， 而与时间无关。 相位差与计时起点的选择无关。
1 UC I C
u i i 90 2
2 1
2 2
称为复数A的模(或幅值)，总为正值； tg= a2 / a1，称为复数A的辐角。 复数A在复平面上可用向量表示，如图。 (3) 指数形式 由欧拉公式
e cos j sin
j
可得：
A ae
j
(4) 极坐标形式
A a
是复数三角形式和指数形式的简写形式。
2、复数的运算
U m Ume
称之为相量。

j
U m
如果给定角频率，则可以完全地确定一个正弦电压，
(1)电压相量：幅值相量 有效值相量

U m U m u U U u



其中Um为电压幅值，U为电压有效值，u为电压初相。
Um

2U
(2)电流相量：幅值相量
I m I mi
通常说的交流电指正弦交流电。 可用正弦（sin）或余弦（cos）函数表示。