第六节泰勒公式与泰勒级数
泰勒公式和泰勒级数
微积分ⅡCalculus Ⅱ§10.1 无穷级数的概念§10.2 无穷级数的基本性质§10.3 数项级数的敛散性判别法第十章 无穷级数§10.4 函数项级数与幂级数§10.5 函数的幂级数展开泰勒公式和泰勒级数的和恰好等于该点处的函数值 ，即一个给定的函数 ，若在区域 的每一点，级数∑∞=0n nn x a D)(x f )(x f 则称函数 在区域 内可以展开成 的幂级数 .)(x f D x ∑∞=0n nn xa ,,)(0D x x a x f n nn ∈=∑∞=(1)(1)式称为 关于 的幂级数展开式。
)(x f x 定义一泰勒公式某邻域内有直到 阶若函数)(x f 在0x )1( n )(x f 0x 的导数，则 在 处的n阶泰勒公式定理1（泰勒中值定理）110)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ ——拉格朗日型余项(2))()(!)()(!2)(00)(200x R x x n x f x x x f n n n +-++-''+ ))(()()(000x x x f x f x f -'+=ξ（ 介于 与 之间）x 0x麦克劳林公式1)1()!1()()(+++=n n n xn f x R ξ x ξ（ 介于 0 与 之间）1)1()!1()()(+++=n n n xn x fx R θ10<<θ（ ）)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+= (3)二泰勒级数若 在 某邻域内有任意阶导数，则级数)(x f 0x ))(()(000x x x f x f -'+(4)+-++-''+nn x x n x f x x x f )(!)()(!2)(00)(200为 在 处)(x f 的泰勒级数。
泰勒定理和泰勒公式
泰勒定理和泰勒公式
泰勒定理（Taylor's theorem）是一个数学定理，描述了一个实数或复数函数在某个点附近的函数值与它在该点处的函数值及各阶导数之间的关系。
泰勒公式（Taylor series）是泰勒定理的一个特例，表达了一个实数或复数函数在某个点附近的函数值为无限次可导函数在该点处的函数值及各阶导数的线性组合。
泰勒公式的一般形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(x)表示要近似的函数，f(a)表示函数在某个点a处的函数值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示函数在点a处的一阶、二阶、三阶导数，(x-a)表示自变量和点a之间的差值，n!表示n的阶乘。
公式右侧的无穷级数表示了函数在点a处的各阶导数对函数值的贡献。
泰勒公式在数学和工程中广泛应用，能够以多项式逼近复杂函数，帮助简化计算和分析。
高等数学下教学new-第六节-taylor级数与函数的幂级数展开课件.ppt
二、函数展开为幂级数
1、直接展开法
先求出 f (z) 的各阶导数 f (n)(z)和 f (n)(a)，n 1, 2,
代入
f (z)=
f (n)(a)(z a)n ，再确定收敛半径即可。
n0 n!
例5 设(1 z)a ealn(1z)（, 称为(1 z)a的主值支），求它的 Marclaurin展开式。
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故f (z)的Marclaurin展式为
f (z) (1 z)a 1 a(a 1) (a n 1) zn, ( z 1)
n1
n!
特别地，当a 1和a 2时，有
1
(z)n ,( z 1)
1 z n0
1
(1)n1 nzn1, ( z 1)
(1 z)2 n1
f (z)在闭圆 z - a r 内解析。
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现记圆周Kr { : a r}，由Cauchy积分公式，
f (z) = 1 f ( ) d
2 i Kr z
由 z a 1，有
a
1
1
z ( a) (z a)
1 a
1
1 z
a
a
1 a
n0
z
a a
2
n!
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1 x 1
说明：（7）在 - 1 x 1 恒成立，但当a 取不同值时，
端点 - 1、1处的收敛情况是不同的。
1
(1＋x )2
(1)n (n 1)xn , (1
n0
x
1)
1
(1 x) 2
1
(1)n (2n 1)!! xn, (1 x 1)
n1
(2n)!!
大一高数知识点总结泰勒公式
大一高数知识点总结泰勒公式泰勒公式是大一高等数学中的一个重要知识点，它是利用函数在某一点的展开式来逼近函数在该点附近的近似值。
这个公式可以用于计算函数的导数、极限以及函数的近似值等。
下面将对泰勒公式的原理和应用进行详细的总结。
一、泰勒公式的原理泰勒公式是基于泰勒级数展开原理而得出的。
泰勒级数是将一个函数表示为无穷级数的形式，可用来逼近函数在某一点附近的值。
设函数f(x)在$x=x_0$处具有$n+1$阶连续导数，则函数f(x)在$x=x_0$处的泰勒展开式为：$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n$$其中，$R_n$为余项，表示泰勒展开式近似于原函数的误差。
泰勒展开式中的每一项都是函数在$x=x_0$处的导数与$(x-x_0)$的幂的乘积，这样的展开式可以用来计算函数在$x=x_0$处的近似值。
二、泰勒公式的应用1. 求函数的导数利用泰勒公式的展开式，可以计算函数在某一点处的导数。
例如，要求函数$f(x)$在$x=x_0$处的导数，可以根据泰勒公式展开$f(x)$，然后对展开式中的每一项求导。
最后，将$x=x_0$代入求得的导数表达式，即可得到函数在该点的导数值。
2. 计算函数的极限通过泰勒公式展开函数，可以用泰勒展开式逼近函数在某一点附近的近似值。
利用这个性质，可以计算一些复杂函数在某一点的极限。
将函数在该点处的展开式进行整理，并去除余项，可以得到函数在该点的近似极限。
3. 近似计算函数的值利用泰勒公式，可以通过计算泰勒展开式的有限项来逼近函数在某一点的值。
该方法在数值计算中经常使用。
通过增加泰勒展开式中的项数，可以提高逼近的精度。
4. 研究函数的性质泰勒公式可以用来研究函数的性质，例如函数的极值、拐点等。
通过分析泰勒展开式的各项系数，可以得到函数的一些重要信息。
泰勒级数与泰勒展开
泰勒级数与泰勒展开泰勒级数和泰勒展开是数学中常见的重要概念，它们在函数近似、计算和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍泰勒级数和泰勒展开的基本概念、原理以及应用。
一、泰勒级数的概念和原理泰勒级数是将一个函数表示成无穷级数的形式，用于近似表达复杂函数。
设函数f(x)在某一点a处具有无限阶可导性，那么它的泰勒级数可表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，依此类推。
二、泰勒展开的概念和原理泰勒展开是通过泰勒级数来近似表示函数的方法。
将泰勒级数中的有限项相加，就得到了函数f(x)在点a处的近似值。
泰勒展开公式如下：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... +f^(n)(a)(x-a)^n/n!在这个公式中，n表示展开的阶数，当n足够大时，展开项的误差将趋近于零。
三、泰勒级数和泰勒展开的应用1. 函数逼近与近似计算：通过泰勒级数和泰勒展开，我们可以将复杂的函数近似表示为无穷级数或有限项级数的形式，从而简化计算和分析过程。
例如，利用泰勒展开可以近似计算数学函数的值，如三角函数、指数函数等。
2. 物理学应用：泰勒级数和泰勒展开在物理学中应用广泛。
例如，牛顿力学中利用泰勒展开可以推导出运动物体的运动方程。
此外，在电磁学、量子力学等领域也有许多应用。
3. 工程与科学研究：在工程和科学研究中，泰勒级数和泰勒展开被广泛应用于信号处理、图像处理、优化算法等领域。
通过近似和展开，可以简化问题的复杂性，提高计算效率。
常用泰勒公式
简介在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数这里，n!表示n的阶乘而f?(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。
如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。
当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。
为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。
上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。
如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。
对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。
例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。
而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(? 1/z2) 并不趋于零。
一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。
但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。
例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。
Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。
这个定理是对Picard iteration一个推广。
[编辑]泰勒级数列表下面我们给出了几个重要的泰勒级数。
它们对于复参数x依然成立。
指数函数和自然对数:几何级数:二项式定理:三角函数:双曲函数:Lambert's W function:tan(x) 和 tanh(x) 展开式中的B k是Bernoulli numbers。
7.6 泰勒公式与泰勒级数
麦克劳林(Maclaurin)公式:
f ′′ ( 0 ) 2 注3：当n=0时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理. f ( x ) = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + 2! f ( x ) = f ( f 0( ) )+ 0f)′(ξn)( x − (x0+) ) (θ ξ在x0n与x之间) x n ( f n 1 (x ) + ... + x + ⋅ x +1 n! ( n + 1)! x
两函数 Rn (x)及( x − x0 )n+1在以 x0及 x 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得 的区间上满足柯西中值定理的条件,
Rn ( x ) Rn ( x ) − Rn ( x0 ) = n +1 ( x − x0 ) ( x − x 0 ) n +1 − 0
′ Rn (ξ1 ) = (ξ1在 x0与 x之间) n ( n + 1)(ξ1 − x0 )
因为 S
(n+1) n
( (x) = 0, 所以 Rnn+1) (x) = f (n+1) (x)
由 式 则 上 得
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在 0与 之 ) x x 间 (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 (ξ在 0与 之 ) Rn (x) = x x 间 ( n +1)!
e , x ≠ 0 例 f ( x) = 如 0, x=0
− 1 x2
点任意可导, 在x=0点任意可导 且 f 点任意可导
第六节泰勒公式与泰勒级数
第六节泰勒公式与泰勒级数泰勒公式和泰勒级数是微积分中重要的概念，它们被广泛应用于函数的近似计算和函数的性质研究。
本文将详细介绍泰勒公式与泰勒级数的概念、定义以及它们的应用。
一、泰勒公式泰勒公式是函数在其中一点附近用多项式逼近的公式。
它基于以下的泰勒定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，且x=c是区间[a,b]上的一点，那么对于该函数，存在一个n次多项式P(x)，使得对于[a,b]上的任意x，有以下的公式成立：f(x)=P(x)+R_n(x)其中，P(x)是f(x)在x=c处的n次泰勒多项式，R_n(x)是一个余项。
在泰勒公式中，多项式P(x)称为函数f(x)的n次泰勒多项式，它的表达式为：P(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+...+f^n(c)(x-c)^n/n!其中f^(k)(c)表示函数f(x)在x=c处的k阶导数。
泰勒公式的重要性在于它将复杂的函数逼近为简单的多项式，从而方便了函数的计算和分析。
二、泰勒级数泰勒级数是泰勒公式的一种特殊形式，它是将泰勒多项式的所有项展开为无穷级数的形式。
具体而言，对于函数f(x)，如果它的任意阶导数都存在，并且在其中一点c处的n次泰勒多项式P(x)收敛到f(x)，则函数f(x)在x=c处的泰勒级数表示为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+...+f^n(c)(x-c)^n/n!+...对于泰勒级数，需要注意的是它可能只在一些区间内收敛，而在其他地方发散。
所以在应用泰勒级数进行近似计算时，需要注意选取合适的展开点。
泰勒级数的应用非常广泛，它可以用来近似计算复杂函数的值，在数学、物理、工程等领域都有重要的作用。
例如，在计算机图形学中，泰勒级数被用来逼近函数以实现图像的平滑和变形；在自然科学中，泰勒级数被用来描述物理量的变化规律，如波动现象等。
泰勒公式及泰勒级数的应用
泰摘要：泰勒公式及泰勒级数在数学分析中有着很大的作用，是重要的数学工具。
除了我们熟悉的应用方面外，在其他问题解决中也有妙用。
本文举例介绍了泰勒公式及泰勒级数在求极限、求高阶导数值、判定级数和广义积分的敛散性、函数的不等式证明和近似计算中的应用等问题。
这对学生解决问题的能力及综合运用知识的能力有着很好的指导作用。
可以开阔学生的解题思路，提高学生的分析问题的能力。
关键词：泰勒公式泰勒级数应用The Application of a T aylor Formula and T aylor SeriesAbstract: Taylor formula and Taylor series have many important applications in mathematical analysis . This paper gives some examples to show several applications which include limit and differential coefficient calculation,judgement of convergence and divergence of progression and improper integral, proving variable function equation and so on. It is an important guide for us to exploit students’ thinking to study problems, to improve students’ ability in analyzing and solving problems.Key words: Taylor formula Taylor series application0引言泰勒公式和泰勒级数是极重要的数学工具。
泰勒公式和泰勒级数共26页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
泰勒公式和泰勒级数的应用（精品）
NEW EDUCATION中专职教泰勒公式和泰勒级数的应○琼台师范高等专科学校何勤一、预备知识泰勒公式：若函数f 在x 0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则f (x)=f ′(x 0)(x 0-x 0)+f (x 0)2(x -x 0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+R(x)①Rn(x)=f n+1(ξ)(n+1)!(x-x 0)n+1其中ξ在x 与x 0之间，称①为f 在x 0处的泰勒公式。
如果在①中抹去余项R n （x ），那么在x 0处附近f 可用①式右端的多项式来近似代替。
如果函数f 在x=x 0处存在任何阶的导数，这时称形式为f (x)=f ′(x 0)(x-x 0)+f ″(x 0)2(x-x0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+…②的级数为函数f 在x 0的泰勒数。
二、泰勒级数在不等式证明中的应用函数f （x ）在x 0的某邻域上能展开为泰勒级数①，应用对泰勒公式R n (x)的讨论，可能证明一些不等式。
虽然泰勒级数在不等式的证明中应用不多，但是能够应用泰勒公式时，往往能收到事半功倍的效果。
例证明不等式1+x 2-x 28＜1+x 姨（x ＞0)分析：不等式左边是二次三项。
右边是无理式，两者没有明显的大小关系，作差显然不行，作商也比较麻烦，用微分的方法也麻烦，这时，可将1+x 姨用x 0=0时二阶泰勒公式表示出来，然后与左边的二次三项式作比较，进行判断两者的大小关系。
证明：设f （x)=1+x 姨,则f (0)=1f (x)=12(1+x)则f (0)=12f (x)=14(1+x)则f (0)=14f 苁(x)=38(1+x)代入x 0=0的二阶泰勒公式有f （x)=1+x 姨=1+x 2-x 28+116(1+θx)x 3,0＜θ＜1当x ＞0时余项116（1+θx)x 3＞0从而有：1+x 2-x 28＜1+x 姨。
三、在正项级数敛散性判定中的应用1.在级数理论中，要判定一个正项级数∞n =1Σαn是否收敛，通常要找一个较简单(p ＞0),再用比较判别法来判定,在的问题是如何选取适当的∞n =1Σ1np例如（1）若p =2，此时∞n =1Σ1n 2收敛lim n -＞∞a n 1n 2=+∞。
泰勒定理和泰勒公式
泰勒定理和泰勒公式泰勒定理和泰勒公式什么是泰勒定理？•泰勒定理是数学分析中的重要定理。
•它是将一个函数表示成该函数在某点的多项式展开式的形式。
泰勒定理的数学表达式：•假设f(x)在x=a处具有n阶可导性。
泰勒公式：•泰勒公式是泰勒定理的具体形式。
•它将函数展开成无穷级数的形式，包含了函数在每个阶段的导数。
泰勒公式的数学表达式：•假设f(x)在x=a处具有n阶可导性。
一阶泰勒公式：f(x) = f(a) + f’(a)(x-a)二阶泰勒公式：f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + f’’(a)(x-a)^2/2n阶泰勒公式：f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + f’’(a)(x-a)^2/2! + … +f n(a)(x-a)n/n!使用泰勒公式的好处：•泰勒公式可以用于近似函数的计算，帮助我们更好地理解和处理复杂的数学问题。
•它可以在某一点附近用多项式的形式来逼近函数的行为。
应用领域：•泰勒公式在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
•它可以用于求解微分方程、近似计算等问题。
总结：•泰勒定理和泰勒公式是数学中重要的工具。
•它们可以帮助我们理解函数的行为和性质，以及解决实际问题。
•了解和掌握泰勒定理和泰勒公式对于数学和相关领域的学习和研究具有重要意义。
泰勒定理的推导过程：1.首先，我们假设函数f(x)在x=a处具有n阶可导性。
2.那么函数f(x)在x=a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + f’’(a)(x-a)^2/2!+ … + f n(a)(x-a)n/n!其中，f’(a)表示函数f(x)在x=a处的一阶导数，f’’(a)表示函数f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。
3.接下来，我们可以通过不断迭代，将泰勒展开式中的每一项进行求导，得到函数f(x)在x=a处的各阶导数的表达式。
4.最终，将这些导数代入泰勒展开式中，就可以得到函数在x=a处的泰勒展开式。
泰勒公式ppt课件
在计算复杂函数的近似值时，泰勒公式可以将函数展开为多项式，从而快速得到 函数的近似值。这对于解决一些实际问题，如数值分析、近似计算等具有重要的 意义。同时，泰勒公式的误差项也可以给出近似计算的精度估计。
04
泰勒公式的扩展与推广
泰勒级数的收敛性
定义
泰勒级数是将一个函数表示为无 穷级数的和，而这个无穷级数在 某个点附近的收敛性决定了泰勒
泰勒公式的应用场景
近似计算
信号处理
在科学计算和工程领域中，常常需要 计算复杂的数学函数，而泰勒公式可 以提供近似的函数值。
在信号处理中，泰勒公式用于分析信 号的频谱和波形，例如傅里叶变换和 小波变换等。
数值分析
在数值分析中，泰勒公式用于求解微 分方程、积分方程等数学问题，提供 数值解的近似值。
02
与函数值之间的距离有关。
应用
了解收敛速度有助于选择合适的 泰勒级数进行近似计算，以提高
计算精度。
泰勒级数的误差估计
定义
误差估计是指在应用泰勒级数进行近似计算时， 估计计算结果与真实值之间的误差大小。
方法
通过比较泰勒级数展开式与原函数的差值，可以 得到误差估计的上界和下界。
应用
误差估计有助于了解近似计算的精度，从而选择 合适的泰勒级数进行近似计算。
公式。
泰勒公式的数学推导
利用等价无穷小替换，将复杂的 函数转化为简单的多项式函数， 再利用多项式函数的性质进行推
导。
利用函数的幂级数展开式，将复 杂的函数展开成幂级数形式，再
利用幂级数的性质进行推导。
利用函数的泰勒级数展开式，将 复杂的函数展开成泰勒级数形式 ，再利用泰勒级数的性质进行推
导。
泰勒公式的几何解释
第六节泰勒公式与泰勒级数
第六节泰勒公式与泰勒级数泰勒公式与泰勒级数是微积分中的重要概念，可用于近似计算函数的值。
本文将对泰勒公式与泰勒级数进行详细介绍，并说明其应用。
一、泰勒公式泰勒公式是描述函数在其中一点附近的展开式。
对于充分光滑的函数f(x)，在x=a处进行展开，泰勒公式的一般形式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，f(a)为函数在x=a处的值，f'(a)、f''(a)等为函数在x=a处的导数，R_n(x)为余项，表示泰勒公式的误差。
二、泰勒级数当展开点a为0时，泰勒公式称为麦克劳林级数。
麦克劳林级数的一般形式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...+f^n(0)x^n/n! +R_n(x)可以发现，麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式。
三、泰勒级数的应用1.近似计算通过泰勒级数，我们可以用低阶多项式来近似计算一个函数的值。
只需要计算前几项，就可以在展开点附近得到较为准确的近似值。
这在数值计算中十分有用，尤其是对于复杂函数，可以通过截断泰勒级数来简化计算过程。
2.函数分析泰勒级数提供了一种分析函数性质的工具。
通过观察级数的收敛性和余项，可以推断函数的性质。
例如，若余项趋于0，那么泰勒级数可以收敛到函数的真实值；若余项有界，那么级数在展开点附近收敛。
3.极值和拐点泰勒级数可以帮助我们分析函数的极值和拐点。
通过求导，我们可以得到函数的驻点，然后通过泰勒级数展开驻点附近的函数，进一步分析函数的极值和拐点。
4.函数逼近泰勒级数可以用于函数逼近。
通过选择合适的展开点和截断阶数，可以用低阶多项式来近似复杂函数。
这对于在数值计算中需要高效计算函数值的问题非常有用。
泰勒公式及泰勒级数在计算中的应用
—科教导刊（电子版）·2019年第19期/7月（上）—182泰勒公式及泰勒级数在计算中的应用高爱平（阳江职业技术学院广东·阳江529566）摘要将函数作泰勒展开是非常有力的数学方法。
文章通过实例介绍泰勒公式及泰勒级数在极限、导数、微分、积分等计算问题中的应用，突出泰勒公式的重要性，开拓解题思路。
关键词泰勒公式泰勒级数应用中图分类号：O171文献标识码：A 泰勒公式及泰勒级数是高等数学的一个重要内容，它不仅在理论上占有重要地位，被誉为微积分的基本定理，而且在计算、证明等方面有着广泛应用。
解决问题的主要方法是将一个不太容易处理的函数转换为简单的多项式函数，从而进行有效的运算或证明。
本文仅就数值计算问题探讨泰勒公式所提供的有效而又方便快速的解决方案。
泰勒定理：若函数在的邻域存在阶导数，，则有带皮亚诺余项的泰勒公式；若在的邻域存在阶导数，，则有带拉格朗日余项的泰勒公式其中在与之间。
以下是部分常用函数的泰勒级数（麦克劳林级数）：1利用泰勒公式计算极限为了简化极限运算，有时可用泰勒公式来代替其中的一项，使得原来的函数的极限问题转化为多项式有理分式的极限问题，从而解决一些用等价无穷小和洛必达法则较难解决的题。
2利用泰勒级数计算高阶导数为了简化高阶导数的计算,有时可用泰勒级数来代替其中的一项，使得原来的函数的高阶导数问题转化为幂级数的系数问题，从而解决一些用直接计算和莱布尼兹公式较难解决的题。
例2：设，求。
2n3泰勒级数在解微分方程的应用例3：解微分方程（是常数）。
解：假设原方程在原点周围有幂级数解则，由恒等定理知上述等式右端系数全为零。
即：一般的，，得递推公式：由此可知，下标为偶数的系数均可用表示，下标为奇数的系数均可用表亦即：代入幂级数解中，得：数|学|研|究—科教导刊（电子版）·2019年第19期/7月（上）—183则有不难验证，级数，的收敛区域均为。
经检验知：是原方程的解，其中，4利用泰勒公式计算积分例4：解：将在处展开，有。
泰勒公式及泰勒级数的应用
摘要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。
而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。
本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。
关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用目录目录1 引言 (3)2预备知识 (4)2.1泰勒公式 (4)2.2泰勒级数和泰勒展开式 (4)2.3常见函数的展开式 (6)3泰勒公式与泰勒级数的应用 (7)3.1用泰勒公式进行近似计算 (7)3.2利用泰勒公式进行极限计算 (7)3.3求函数的极值和不等式的证明 (8)3.4判断或证明级数的敛散性 (9)3.5用泰勒公式求行列式的值 (9)3.6 泰勒公式在经济学中的应用 (10)3.7用泰勒级数解微分方程 (11)4结论 (14)参考文献 (15)致谢 (14)1引 言泰勒公式是高等数学中非常重要的内容，它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的方法，使它成为分析和研究其他数学的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用。
泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了解决。
泰勒级数使得幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
而实际应用中，我们需要把泰勒级数截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的误差。
泰勒公式中含有有限多项, 泰勒级数中含有无限多项, 泰勒公式不是泰勒级数, 泰勒级数也不是泰勒公式。
当()f x 的各阶导数都存在时，()f x 的泰勒级数在收敛情况下一定等于()f x ；但不论()f x 的泰勒级数是否收敛,只要()f x 有1n 阶导数, 就有泰勒公式成立。
可见泰勒级数收敛时,与泰勒公式结果一致,都是()f x 。
泰勒公式在理论研究和数值计算中具有广泛的应用, 泰勒级数是函数项级数的特例, 泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性, 但是它们引入不同, 因此还是有一定的差异性。
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§ 泰勒公式与泰勒级数教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh ，了解函数的Taylor 级数与 Taylor 展式的关系.重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法.教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：O 、近似表达函数的多项式的特性 无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数引例：当x 很小时，1xe x ≈+，设()xf x e =，1()1P x x =+，则11(0)(0)1,(0)(0)1f P f P ''====若将21222()()1,(0)(0)1,()2x x P x P x x f P P x e ''''=+==换成＋则与在0x =更为接近.猜想将1()()n P x P x 换成则在0x x =处两函数有直到n 阶相同的导数，其在0x x =处接近的程度更高，即212!nxx x e x n ≈++++L .为用多项式表示更复杂的函数：设有函数)(x f 在0x x =的某一邻域内有直到1n +阶的导数，令)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-L ，再令 )()(1I D x f n +∈,),(0b a I x =∈,若 ()()00()()k k n f x P x =,n k ,,1,0Λ=.（(0)(0)00()()n f x P x =表示0k =的函数值相等）则)(!10)(x f k a k k =（n k ,,1,0Λ=），于是)(x f ≈0100()()()n n n P x a a x x a x x =+-++-L .证明：因0100()()()nn n P x a a x x a x x =+-++-L ,10()()(1)n P x a x x O '=+-,20()2!()(1)n P x a x x O ''=+-…… ,()0()!()(1)k n k P x k a x x O =+- …… , ()()!n n n P x n a =,那么 ()()00()()!k k n k f x P x k a ==,所以 )(!10)(x f k a k k =, n k ,,1,0Λ=.一、泰勒（Taylor ）公式在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式000()()()()f x f x f x x x '≈+- （ 当0x x -很小时，）从几何上看，这是在点0x 附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在 函数改变量的表达式0000()()()()()f x f x f x x x o x x '=+-+-中 略去了一个关于（0x x -）的高阶无穷小量（0x x →时）.但公式000()()()()f x f x f x x x '≈+-在实际计算中的精度不高，其误差为 000()()()()()R x f x f x f x x x '=---，可以求出()200()()(),,2!f R x x x x x ξξ''=-∈.如果需要精度更高些，可将（0x x -）的高阶无穷小分离成两部分()220200()()()o x x a x x o x x -=-+-（0x x →时）.保留与20()x x -同阶的无穷小量，略去20()x x -的高阶无穷小量，此时有 200020()()()()()f x f x f x x x a x x '≈+-+-，以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n 次多项式()P x 近 似表示()f x ，当0x x -很小时，将多项式()P x 写成以（0x x -） 的方幂展开的形式2010200()()()()n n P x a a x x a x x a x x =+-+-++-L ，其中012,,,a a a L 是待定系数.我们知道()P x 具有任意阶的连续导数，将 ()P x 的多项式两边求一阶到n 阶导数，并令0x x =可得 ()0001020(),(),()2!,,()!n n P x a P x a P x a P x n a '''====L 于是()P x 可以写成200000()()()()()()2!P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+L()00()()!n n P x x x n +- 若函数)(x f 在0x x =的某一邻域内一阶到n 阶的导数都存在，可以做出一个n 次多项式200000()()()()()()2!n P x P x P x P x x x x x '''=+-+-+L ()00()()!n n P x x x n +- ()n P x 不一定等于()f x ，但它可以近似表示()f x ，它的近似程度可以由误差()()()n n R x f x P x =-来确定. 设10()()(1)!n n kR x x x n +=-+，如果能确定k 的值，则()n R x 就确定了.【定理】（泰勒公式）设()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内 有直到1n +阶的连续导数,则),(b a x ∈∀，()f x 可以按（0x x -） 的方幂展开为()()()n n f x P x R x =+)())((!1))(()(00)(000x R x x x f n x x x f x f n n n +-++-'+=Λ. 此式称为按0x x -的幂展开n 阶泰勒公式.其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ 称为拉格朗日型余项, ξ介于0x 与x 之间. 证明：因为()f x 在含有0x 的区间(,)I a b =内有直到1n +阶的连续导数,所以对于0(,)x a b ∈，可将()f x 写成200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+L()10001()()()!(1)!n n n k f x x x x x n n ++-+-+为求出k 的值，引进辅助函数2()()()()()()()2!f t t f x f t f t x t x t ϕ'''=------L ()11()()()!(1)!n n n k f t x t x t n n +----+ 显然 0()()0x x ϕϕ==，()t ϕ在区间0[,]x x 上连续（设0x x >）， 在区间0(,)x x 内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点 0(,)x x ξ∈，使得()0ϕξ'=，因为()()()()[()()()]t f t f t x t f t x t f t ϕ''''''=------2()[()()()]2!f t x t f t x t '''''----(4)32()()[()()]3!2!f t f t x t x t '''-----L (1)()(1)()()[()()]()!(1)!!n n nn n f t f t k x t x t x t n n n +-----+-- 化简整理得 (1)()()[()]!nn x t t k f t n ϕ+-'=- 所以(1)()[()]0!nn x k f n ξξ+--=，而 ()0n x ξ-≠ 由 (1)(1)()0()n n k fk f ξξ++-=⇒=，于是 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0x 与x 之间.在公式中当00x =时，公式可化为麦克劳林公式()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n nn f f f x f f x x x R x n '''=+++++L其中 (1)1()()(1)!n n n f R x x n ξ++=+ 或令,01x ξθθ=<<，则 (1)1()()(1)!n n n f x R x x n θ++=+另证：不妨设0x x >.令()()()n n R t f t P t =-,10)()(+-=n n x t t G ,由条件知：(连续1n +次使用柯西中值定理可以证明)],[)(),(0)()(x x C t G t R k n k n ∈,),()(),(0)()(x x D t G t R k n k n ∈, 显然 0)()(0)(0)(==x G x R k n k n , n k ,,1,0Λ=.那么)()()()()()()()()()()()(0101110010x G G x R R G R x G x G x R x R x x x R n n n n n nn n n n n n '-''-'=''=--=-+ξξξξ )!1()()()()()()1(1)1(1)1(22+===''''=+++++n f G R G R n n n n n n n n n ξξξξξΛ, 其中 x x n <<<<=<+1210ξξξξΛ，所以10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ, ξ介于0x 与x 之间. 例1 求xe xf =)(的n 阶麦克劳林公式. 解 因x k e x f=)()(,1)0(0)(==e f k ,1,,1,0+=n k Λ，那么1)1()()!1()()0(!1)0()0()(++++++'+==n n nn xx n x f x f n x f f x f e θΛ1 2)!1(!1!211+++++++=n xn x n e x n x x θΛ,10<<θ.例2 求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式.解 因)2sin()()(πk x x f k +=, )2sin()0()(πk f k =.有(0)0,(0)1,(0)0,(0)1,f f f f ''''''====-L 0)0()2(=k f ,(21)(0)(1)k k f +=-L ,0,1,2k =L ，那么 sin ()x f x =(21)()211()(0)(0)(0)!(21)!n n nn f x f f x f x xn n θ++'=+++++L 35212()3!5!(21)!n n x x x x R x n -=-+-++-L ,(或21()n R x +都可以)其中：212sin[(21)]2()(21)!n n x n R x x n πθ+++=+,10<<θ. 特别地：1n =时，x x ≈sin , !3||||32x R ≤；2n =时，!3sin 3x x x -≈, !5||||54x R ≤；3n =时，!5!3sin 53x x x x +-≈, !6||||66x R ≤. 例3 按(4)x -的乘幂展开多项式432()523f x x x x x =-+-.解 324(4)60,(4)(41523)|21,x f f x x x ='=-=-+-=244(4)(12302)|74,(4)(2430)|66,x x f x x f x ==''''=-+==-= (5)(4)24,()0,()0n f f x R x '''===,所以 432()(4)11(4)37(4)21(4)60f x x x x x =-+-+-+--. 二、泰勒级数1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数. 由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件2.问题：已知函数有1,(1)1n n x x x ∞==<-∑收敛域 )11()1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x nx x n n n .问：(1) 对于一般的函数)(x f 是否也有nn nx x a x f )()(0-=∑∞=(2) 如果能展开,项的系数n a 如何确定(3) 展开式是否唯一(4) 在什么条件下函数才能展开成幂级数 3.【定理】（TaylorTh ）: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数, 则在),(0δx U 内n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞= ⇔0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 为)(x f 的拉格朗日型余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ.证明 由于 ()000()()()()()()!n nn n n n n f x f x x x R x P x R x n ==-+=+∑. 所以等式两边取极限 ()000()()()lim ()!n n n n n f x f x x x P x n ∞→∞==-=∑⇔lim ()lim[()()]0n n n n R x f x P x →∞→∞=-=, ),(0δx U x ∈.4．函数)(x f 在点0x x =有泰勒展式⇔)(x f 在),(0δx U 有任意阶导数且0)(lim =∞→x R n n .注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor 级数时，其展式是唯一的. 因为泰勒系数()0()!n f x n （0,1,2,n =L ）是唯一的.2）n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为 )(x f 在0x x =点的Taylor 级 数，等式nn nx x a x f )()(0-=∑∞=在0)(lim =∞→x R n n 时成立，称为函数的Taylor 展式.5．泰勒级数与麦克劳林级数设)(x f 在0x x =点具有任意阶导数，则称 (1)n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=为)(x f 在点0x 的泰勒级数, 记作 n n n x x n x f x f )(!)(~)(000)(-∑∞=.(2)nn n x n f ∑∞=0)(!)0(称为)(x f 的麦克劳林级数, 记作 nn n x n f x f ∑∞=0)(!)0(~)(. )0(0=x 注意问题: )(x f 在0x x =点具有任意阶导数，那么级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=在收敛区间内是否收敛于)(x f 例: ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 在0=x 点任意可导,且Λ,1,0,0)0()(==n f n ,于是~)(x f =∑∞=nn n x n f 0)(!)0(000=⋅∑∞=n nx,+∞<<∞-x显然≠)(x f 0!)0(0)(=∑∞=nn n x n f , 0≠x . 结论：当级数n n n x x n x f )(!)(000)(-∑∞=收敛于)(x f 时，即 0)(lim =∞→x R n n 时有泰勒展式.小结：1.函数()f x 在点0x x =的泰勒公式为()000()()()()!k nk n k f x f x x x R x k ==-+∑(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+其中余项为, ξ介于0x 与x 之间公式成立的条件是:()f x 在点0x x =的邻域内有直到1n +阶的导数.2. 函数()f x 在点0x x =的泰勒展式为n n n x x n x f x f )(!)()(000)(-=∑∞= ，其系数()0()!n n f x a n =为泰勒系数.当00x =时，()f x 的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.泰勒定理成立的条件是:()f x 在点0x x =邻域内的各阶导数存在且lim ()0n n R x →∞=.3．在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n 的特殊值即可得 到所要近似值.课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.。