平行四边形性质家庭作业12.4

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(完整)平行四边形的性质练习题及答案-1

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平行四边形的性质一、课中强化（10分钟训练）1。

如图3，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是( ) A。

∠1+∠2=180° B.∠2+∠3=180° C。

∠3+∠4=180° D.∠2+∠4=180°图3 图4 图52。

如图4，ABCD的周长为16 cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DC E的周长为( ）A。

4 cm B。

6 cm C.8 cm D.10 cm3。

如图5，ABCD中,EF过对角线的交点O，如果AB=4 cm,AD=3 cm，OF=1 cm,则四边形BCFE的周长为__________________。

4。

如图6,已知在平行四边形ABCD中，AB=4 cm，AD=7 cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_____________ cm。

图6 图75。

如图7，在平行四边形ABCD中,点E、F在对角线BD上，且BE=DF，求证:AE=CF。

6.如图8，在ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BE=2 cm，DF=3 cm，∠EAF=60°,试求CF的长。

图8二、课后巩固（30分钟训练)1。

ABCD中,∠A比∠B大20°,则∠C的度数为( )A。

60° B.80° C。

数学下册专项练习题平行四边形的性质

数学下册专项练习题平行四边形的性质平行四边形是数学中的一个重要概念，具有许多特殊性质。

下面将针对数学下册专项练习题中关于平行四边形的性质进行详细讨论。

1. 平行四边形的定义：平行四边形是一个四边形，它的对边两两平行，相邻两边之间的夹角为180度。

2. 平行四边形的基本性质：(1) 对边相等：在平行四边形中，对边之间的长度是相等的。

(2) 两对对边互相平行：平行四边形的两对对边分别平行于对立的第三和第四边。

(3) 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即将平行四边形划分为四个相等的三角形。

(4) 对角线长度关系：平行四边形的对角线长度满足对角线定理，即对角线的平方等于两个相邻边长度的平方之和。

3. 平行四边形的性质推论：(1) 两对对角线相等：由于平行四边形的对角线互相平分，所以两对对角线的长度是相等的。

(2) 对边夹角的性质：平行四边形的对边夹角是等于180度的，所以相邻的两个对边夹角之和是180度。

(3) 相对边夹角的性质：平行四边形的相对边夹角是等于180度的，所以相对的两个边夹角之和是180度。

4. 平行四边形的应用：平行四边形的性质在几何学中有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，平行四边形的性质可用于确定墙角是否垂直，以及测量各种角度。

此外，在计算面积和周长时，平行四边形的性质也起到重要作用。

5. 平行四边形的判定：判定一个四边形是否为平行四边形，我们可以利用平行四边形的定义、性质和推论进行推导。

若四边形的对边两两平行，并且任意两条相邻边的夹角之和为180度，那么这个四边形就是平行四边形。

总结：平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，它的对边两两平行，相邻两边之间的夹角为180度。

平行四边形的基本性质包括对边相等、两对对边互相平行、对角线互相平分以及对角线长度关系。

根据这些性质的推论，我们可以判定一个四边形是否为平行四边形，并应用它的性质解决实际问题。

通过学习和理解平行四边形的性质，我们能够更好地应用几何知识，提高解题能力和思维能力。

平行四边形性质

《平行四边形性质1》一、理解概念（2分钟完成）1、平行四边形定义：组边分别的四边形叫做平行四边形；2、对角线定义：平行四边形的两个顶点连成的线段叫做它的对角线；3、画出右图中的平行四边形的对角线，它们是；4、右图中的平行四边形可记作。

二、巩固练习（6分钟完成）1、如图，四边形ABCD 是平行四边形。

求：（1）∠ADC 、∠BCD 、∠BAD 的度数；（2）边AB 、BC 的长度. 解：2、四边形ABCD 是平行四边形，它的四条边中哪些线段可以通过平移而相互得到？3、如右图，在平行四边形ABCD 中， A G BEF ∥AB ，GH ∥AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有个。

平行四边形的性质应用练习一、填写正确答案：1、如右图若ABCD 是平行四边形，则 ∥ ，∥ ，AB= ，AD= ，OA=___ =21 ，OB=___ =21。

2、如右图，ABCD 是平行四边形。

（1）若∠A+∠C=260°，则∠A=____，∠B=____, ∠C=____,∠D=____；（2）若∠B +∠D =80°，则∠A=____，∠B=____,∠C=____,∠D=____；（3）若∠A －∠B =70°，则∠A=____，∠B=____, ∠C=____,∠D=____。

二、作出正确的选择：1、如右图，在□ABCD 中，下列关系不一定正确的是（）A. AB=CDB. ∠A+∠D=180°C. ∠A=∠CD. AB=BC2、如右图，a ∥b ，AB ∥CD ，CE ⊥b ，FG ⊥b ，E 、G 为垂足，则下列说法中错误的是（） A.AB=CD B.CE=FGC.A 、B 两点的距离就是线段AB 的长EA BCDF CG EDBAabA BCDO第1题A BCD第2题D.直线a、b间的距离就是线段CD的长三、解决问题：1、□ABCD的两条对角线相交于点O，OA，OB，AB的长度分别为6cm，8cm，10cm，求其他各边以及两条对角线的长度。

平行四边形性质及判定练习题

平行四边形性质及判定练习题在几何学中，平行四边形是一种特殊类型的四边形，具有许多独特的性质。

本文将介绍平行四边形的性质，并提供一些判定平行四边形的练习题供读者练习。

一、平行四边形的定义和性质平行四边形定义：如果一组四边形的对边是平行的，那么这个四边形就是平行四边形。

平行四边形的性质如下：1. 对边性质：平行四边形的对边相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。

3. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。

4. 对顶角性质：平行四边形的对顶角相等。

二、判定平行四边形的方法1. 判定对边相等：如果一个四边形的对边相等，那么它是一个平行四边形。

2. 判定对角线平分：如果一个四边形的对角线互相平分，那么它是一个平行四边形。

3. 判定内角和：如果一个四边形的内角和为180度，那么它是一个平行四边形。

4. 判断对顶角相等：如果一个四边形的对顶角相等，那么它是一个平行四边形。

三、判定练习题1. 判断以下四边形是否是平行四边形：题目一：ABCD是一个四边形，AB = CD，AD = BC，AC = BD。

证明：ABCD是一个平行四边形。

解答一：由题意知，AB = CD，AD = BC，根据判定对边相等的方法可得，ABCD是一个平行四边形。

题目二：ABCD是一个四边形，AC是对角线，且AC平分∠BAD。

证明：ABCD是一个平行四边形。

解答二：由题意知，AC平分∠BAD，根据判定对角线平分的方法可得，ABCD是一个平行四边形。

题目三：ABCD是一个四边形，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。

证明：ABCD是一个平行四边形。

解答三：由题意知，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°，根据判定内角和的方法可得，ABCD是一个平行四边形。

题目四：ABCD是一个四边形，∠A = ∠C，∠B = ∠D。

证明：ABCD是一个平行四边形。

平行四边形性质练习题

平行四边形性质练习题平行四边形性质练习题平行四边形是初中数学中一个重要的几何概念，它具有一些独特的性质和特点。

在本文中，我们将通过一些练习题来加深对平行四边形性质的理解和应用。

练习题1：已知ABCD是一个平行四边形，AC的延长线与BD的延长线交于点E，证明AE与BC平行。

解析：我们可以通过证明三角形ABE与三角形CDE相似来证明AE与BC平行。

首先，由于ABCD是一个平行四边形，所以AB与CD平行，即∠ABE与∠CDE是对应角，且∠AEB与∠CED是共顶角，因此∠ABE≌∠CDE。

又因为∠AEB与∠CED互为对应角，所以∠AEB≌∠CED。

根据相似三角形的性质，我们可以得出三角形ABE与三角形CDE相似。

因此，我们可以得出AE与BC平行的结论。

练习题2：已知ABCD是一个平行四边形，E是AD的中点，F是BC的中点，连接EF并延长交于点G，证明AG与BC平行。

解析：我们可以通过证明三角形AGE与三角形BFC相似来证明AG与BC平行。

首先，由于ABCD是一个平行四边形，所以AB与CD平行，即∠AGE与∠BFC是对应角，且∠AEG与∠BFC是共顶角，因此∠AGE≌∠BFC。

又因为∠AEG与∠BFC互为对应角，所以∠AEG≌∠BFC。

根据相似三角形的性质，我们可以得出三角形AGE与三角形BFC相似。

因此，我们可以得出AG与BC平行的结论。

练习题3：已知ABCD是一个平行四边形，E是AD的中点，F是BC的中点，连接EF并延长交于点G，证明AG=2GF。

解析：根据题意，我们可以得出AE=ED，BF=FC。

由于E是AD的中点，所以AE=ED=1/2AD；同理，由于F是BC的中点，所以BF=FC=1/2BC。

根据平行四边形的性质，我们可以得出AD=BC。

因此，AE=1/2AD=1/2BC=BF。

根据三角形的等边性质，我们可以得出三角形AGE与三角形BFC是等边三角形。

因此，AG=AE+EG=BF+FC=2BF=2GF。

平行四边形陪练：五年级数学教案二家庭作业

平行四边形陪练：五年级数学教案二家庭作业在五年级数学教材中，其中一部分内容就是关于平行四边形的学习。

而平行四边形在现实生活中并不是普遍，孩子们可能很难完全理解这个概念。

为了帮助孩子更好地理解和掌握平行四边形，老师给孩子布置了家庭作业，让家长和孩子一起完成练习。

家庭作业主要内容为练习题和思考题。

其中，练习题主要是让孩子做一些简单的计算题，如图形边长、面积、周长等，而思考题主要通过图形、实例、解题方法等方式来引导孩子思考，激发他们自身的求知欲望，加深他们对平行四边形的理解。

为了帮助孩子更好地完成家庭作业，家长们可以采取以下措施：家长应该根据孩子的实际情况，合理安排他们的家庭作业，并提前预习教材，以便更好地指导孩子完成任务。

特别是在家长看过教材后，可以将其中的重点、难点、易错点等与孩子详细讲解，帮助孩子理解和掌握。

家长可以通过举例、画图等方式，对孩子进行具体的解释和展示，让孩子更易于理解。

例如，可以通过画图来帮助孩子较为直观地观察、比较、分析图形的形状、大小等属性，并通过不同的图形进行对比、类比，让孩子加深理解。

家长可以通过游戏、竞赛等形式，调动孩子们的学习兴趣，增强他们的学习动力。

例如，可以通过游戏的方式考察孩子们对平行四边形的理解，或者和孩子一起比赛解决练习题，以此来激发孩子的学习兴趣和自信心。

家长应该时刻关注孩子完成家庭作业的状态，不仅要督促孩子在规定的时间内完成任务，还要对孩子的作业进行检查和纠正，及时帮助孩子发现和解决问题，确保孩子在学习中不断进步。

平行四边形的学习是五年级数学中的重要内容，通过家庭作业的形式来加深孩子对平行四边形的理解和掌握是很必要的。

在家长和孩子共同努力的情况下，相信孩子们会在学习中收获满满，成为更加优秀的数学者。

平行四边形的性质与判定,附练习题含答案

平行四边形的性质与判定（讲义）一、知识梳理1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2.平行四边形的性质边：平行四边形的对边相等；角：平行四边形的对角相等；对角线：平行四边形的对角线互相平分．3.平行四边形的判定两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形对角线：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形4.夹在平行线之间的平行线段相等．例：已知：如图，在□ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形．【思路分析】①读题标注：②梳理思路：要证四边形BFDE是平行四边形，根据题目中已有的条件选择判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在□ABCD中：AD∥BC，且AD=BC，根据条件E，F分别为AD，BC的中点，得ED=12AD，BF=12BC，从而可以得到ED=BF．又因为AD∥BC，即ED∥BF，所以四边形BFDE是平行四边形．【过程书写】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∵E，F分别为AD，BC的中点，∴ED=12AD，BF=12BC，∴ED=BF，∴四边形BFDE是平行四边形．FE DCBAFE DCBA二、练习题1. 已知□ABCD 的周长是100，且AB :BC =4:1，则AB 的长为______________．2. 如图，在□ABCD 中，∠DAB 的平分线AE 交CD 于点E ，若AB =5，BC =3，则EC 的长为（） A ．1B ．1.5C ．2D ．33. 在□ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（）A ．1:2:3:4B ．1:2:2:1C ．1:1:2:2D ．2:1:2:14. 在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若△ABO 的周长为15，AB =6，则AC +BD =____________．5. 在周长为20cm 的□ABCD 中，AB <AD ，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BD ，交线段AD 于点E ，连接BE ，则△ABE 的周长为_______．6. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，已知AD =12，AB =13，BD ⊥AD ，求BC ，CD ，OB 的长以及□ABCD 的面积．7. 如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，延长BD 至点C ，使AC=AB ，连接AD ，CE ．（1）求证：△BAD ≌△ACE ；（2）若∠B =30°，∠ADC =45°，BD =10，求□ABDE 的面积．8. 下列说法：①如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形； ②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③如果AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 平分BD ，那么四边形ABCD 是平行四边形；BCED AABCD O A BCD E④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列选项中，按照所给条件得到的四边形EFGH 不一定是平行四边形的是（）A ．EF ⊥BC ，GH ⊥ADB ．E ，F ，G ，H 分别是□ABCD 各边的中点C ．AF ，BH ，CH ，DF 分别是D ．EG ，FH 是过□ABCD□ABCD 各内角的角平分线对角线交点的两条线段10. 如图，AB ∥CD ，AB =CD ，点E ，F 在BC 上，且BE =CF ．试证明：以A ，F ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形．11. 上的两点，12. 如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，AB 的延长线上，且AE =AD ，CF =CB ．求证：四边形AFCE 是平行四边形．13. 在□ABCD 中，若∠A :∠B =5:4，则∠C 的度数为（）A ．80°B ．120°C ．100°D ．110°H A CD E FGBHA CDE FG BFH A CDEG BHE FGA CDBABCDEF OABC DEF14. 在□ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（）A ．1:2:3:4B ．1:2:2:1C ．1:1:2:2D ．2:1:2:1 15. 若□ABCD 的周长为40，△ABC 的周长为25，则对角线AC 的长为（）A ．5B ．15C ．6D ．1616. 已知平行四边形的一边长为10，则其两条对角线的长可能是（）A ．3，8B ．20，30C ．6，8D ．8，1217. 已知四边形ABCD 的对角线相交于点O ，以下条件能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A ．AB ∥CD ，BC =ADB ．AB ∥CD ，AO =COC ．AB ∥CD ，∠DAC =∠CAB D ．AB =CD ，∠B =∠C18. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AD ，HN ∥AB ，则图中的平行四边形共有（）A ．12个B ．9个C ．7个D ．5个19. 已知平行四边形的周长为56，两邻边长之比为3:1，则这个平行四边形较长的边长为____________．20. 在□ABCD 中，已知AB ，BC ，CD 三条边的长度分别为3x +，4x -，16，则这个平行四边形的周长为___________．21. 如图，在□ABCD 中，CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．若∠B =60°，则∠ECF =___________．22. 若□ABCD 的周长为22，AC ，BD 相交于点O ，△AOD 的周长比△AOB 的周长小3，则AD =_________，AB =_________．F ED C B A N HFEDC B A参考答案1.402.C3.D4.185.10cm6.BC=12，CD=13，OB52=，□ABCD的面积为607.（1）证明（2）50+8.B9.A10.提示：证明△ABE≌△DCF11.提示：方法①，证明△AED≌△CFB，得到DE=BF，∠AED=∠CFB，则∠DEC=∠BF A，所以DE∥BF，进而可证明四边形EBFD是平行四边形方法②，连接BD，利用对角线互相平分可以证得四边形EBFD是平行四边形12.提示：证明△EAD≌△FCB13.C14.D15.A16.B17.B18.B19.2120.5021.60°22.4，7。

北师大版八下数学《平行四边形的性质》典型例题(含答案)

《平行四边形的性质》典型例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长．例3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由．例4 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边BC 上，且DE AF AD DE ⊥=,，垂足为F 。

求证：.DC AF =例5 O 是ABCD 对角线的交点，OBC ∆的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ∆与OAB ∆的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______.例6 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=. 求这个平行四边形的面积.例7 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，若︒=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=.求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.参考答案例1 分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．解设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得1803=+x x ，解得45=x ，∴.1353=x∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．例2 分析由平行四边形对边相等，可知=+BC AB 平行四边形周长的一半＝30cm ，又由AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，可知8=-BC AB cm ，由此两式，可求得各边的长．解 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴.,,OO AO BC AD CD AB ===60=+++BC AD CD AB Θ，∴.30=+BC AB8)(=++-++OC BC OB OB AB AO ，∴.8=-BC AB∴.11,19====AD BC CD AB答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm ．说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．例3 分析观察图形，DOF BOE CFO AEO CDO ABO ∆≅∆∆≅∆∆≅∆,,，从而可说明.OF OE =证明在ABCD 中，BD AC 、Θ交于O ，∴.OC AO =CD AB //Θ，∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,，∴)(AAS CFO AEO ∆≅∆，∴.OF OE =例4 分析观察图形，AFD ∆与DCE ∆都是直角三角形，且锐角DEC ADF ∠=∠，斜边DE AD =，因此这两个直角三角形全等。

(完整版)平行四边形的性质和判定练习题

初2017级寒假培训（八）A 层----平行四边形的性质与判定班级：姓名：1.定义：两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD 记作：□ 几何语言：,2.性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分；几何语言：∵ 四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥ BC, _________ （对边平行）；AD=BC ,__________（对边相等）；，_________（对角相等）；…（邻角互补）；，（对角线互相平分）。

平行四边形的判定：判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定4.对角线互相平分的四边形是平行四边形判定5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；几何语言判定1., 判定2.，判定3., 判定4. 判定5.,夯实基础：1.如图，将□的一边BC 延长至E ，若∠A =110°，则∠1=________．E2.如图，在□中，，则＝ °．3.在平行四边形ABCD 中，cm AB 6=，cm BC 8=，则平行四边形ABCD 的周长为 cm ．4.如图，在□中，已知，平分交边于点，ABCD BC AD CD AB //,// 是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAC ∠=∠ 180=∠+∠ABC BAC OC OA =BC AD CD AB //,// 是平行四边形四边形ABCD ∴BC AD DC AB ==,是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAD ADC ABC ∠=∠∠=∠, 是平行四边形四边形ABCD ∴,,DO BO CO AO == 是平行四边形四边形ABCD ∴CD AB CD AB =,// 是平行四边形四边形ABCD ∴ABCD ABCD 120=∠A D ∠ABCD ,6,8CM AB CM AD ==DE ADC ∠BC E ABCDOA B CD 4 EA B C D 2 1A B C D则等于（）5．平行四边形中一边的长为10cm ，那么它的两条对角线的长度可以是（）6.在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若BD 与AC 的和为18cm ， CD ：DA=2：3，ΔAOB 的周长为13cm ，那么BC 的长为（） A. 6cm B. 9cm C .3cm D .12cm7.如图，▱ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC=6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为．8.在下面给出的条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）9.一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）10.点A ，B ，C ，D 在同一平面内，从①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，④BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）种A ．3B ．4C ．5D ．68.如图，在平行四边形ABCD 中，若AB=6，AD=10，▱ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，求DF 的长．9.已知：如图a ，的对角线、相交于点，过点与、分BE CM A 2.CM B 4.CM C 6.CM D 8.cm cm A 64.和cm cm B 3020.和cm cm C 86.和cm cm D 128.和CD AD BC AB A ==,.BC AD CD AB B =,//.D B CD AB C ∠=∠,//.D C B A D ∠=∠∠=∠,. 88,108,88.A 108,104,88.B 92,92,88.C 108,72,108.D ABCD AC BD O EF O AB CD DC B A别相交于点、．（1）求证：（2）若上题中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），结论是否成立，说明你的理由．10.已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F ，求证：四边形AECF 是平行四边形。

平行四边形的性质() 分层作业(解析版)

人教版初中数学八年级下册18.1.2平行四边形的性质（2）同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列说法不正确的是（）A ．平行四边形两组对边分别平行B ．平行四边形的对角线互相平分C ．平行四边形的对角互补，邻角相等D ．平行四边形的两组对边分别相等【答案】C【分析】根据平行四边形的性质依次分析判断即可．【详解】解：A ．平行四边形两组对边分别平行，原说法正确，故该项不符合题意；B ．平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，故该项不符合题意；C ．平行四边形的对角相等，邻角互补，原说法不正确，故该项符合题意；D ．平行四边形的两组对边分别相等，原说法正确，故该项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行且相等，平行四边形的对角相等，邻角互补，平行四边形的对角线互相平分，熟记性质是解题的关键．2．如图，ABCD Y 的周长为30cm ，ABC 的周长为27cm ，则对角线AC 的长为（）A ．27cmB ．17cmC ．12cmD ．10cm【答案】C 【分析】因为平行四边形对边相等，所以平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即 230AB BC ，则15AB BC ，而ABC 的周长27AB BC AC ，即可求出AC 的长．【详解】∵ABCD Y 的周长是30cm ，∴ 230AB BC ∴15AB BC ，∵ABC 的周长是27cm ，∴27AB BC AC ，∴ 27271512cm AC AB BC ．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．3．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB AC ．若4AB ，6AC ，则BD 的长是（）A ．10B ．8C ．12D ．14【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，属于基本题型，熟练掌握上述知识是关键．Y中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是4．ABCD（）A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7△的周长比ABEBCD的周长大8，则BE的长有可能为（）A．2B．3C．4D．5【分析】依据平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得到BO 的长，再根据BE BO ，即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC AB CD ，，O 是BD 的中点，又∵OE BD ，∴OE 垂直平分BD ，∴BE DE ，∴AE BE AE DE AD ，∵BCD △的周长比ABE 的周长大8，∴ 8BC CD BD AB AE BE ，即 8BC CD BD AB AD ，∴8BD ，则4BO ，又∵Rt BOE 中，BE BO ，∴4BE ，观察四个选项，BE 的长可能为5，故选：D ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长等知识，解答本题的关键是判断出OE 是线段BD 的垂直平分线．6．如图，已知平行四边形ABCD 的面积为48，E 为AB 的中点，连接DE ，则ODE 的面积为（）A ．8B ．6C ．4D ．3已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A． 2,3B． 1,2C． 2,2D． 3,2【答案】C【分析】由平行四边形的性质得AE=CE，即点E是AC的中点，设C（a，b），利用中点坐标公式，进而求解C点坐标．【详解】解：设C（a，b），∵四边形ABCO为平行四边形，8．在平行四边形中一边长为8cm，它的一条对角线的长12cm，那么它的另一条对角线m的长度的取值范围______．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形三边关系定理，关键是把已知数和未知数设法放在一个三角形中，题目比较好，难度适中．9．如图，在ABCD Y 中，点O 是对角线AC BD 、的交点，AC 垂直于BC ，且6cm,8cm AC AD ，则OB ______cm ．的周长大1，则ABCD Y 的周长等于__________．【答案】10【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△ADO 的周长比△ABO 的周长大1，则AD 比AB 大1，所以可以求出AD ，进而求出周长．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BO =DO ，AB =CD ，AD =BC ，∵△ADO 的周长比△ABO 的周长大1，∴AD ﹣AB =1，∵AB =2，∴AD =3，∴AB +AD =5，∴平行四边形的周长为 22510AD AB ．故答案为：10．【点睛】本题考查了平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．11．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BC ，垂足为E ，4AB ，6AC ，10BD ，则AE 的长为______．于点M，N，若∠MDO＝∠MOD，BN＝2．则MN的长为________．又∵MDO MOD ，∴2O M D M ，∴2ON ，∴224MN OM ON ，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明MDO NBO ≌是解答本题的关键．13．如图，ABCD Y 中，4AB ，5BC ，60ABC ，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作OE AD ，则OE 等于______．连接CE ，若CED △的周长为6，则四边形ABCD 的周长为___________．【答案】12【分析】由平行四边形的性质得出DC AB ，AD BC ，由线段垂直平分线的性质得出AE CE ，得出CDE 的周长AD DC ，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ，AD BC ，∵AC 的垂直平分线交AD 于点E ，∴AE CE ，∴CDE 的周长6DE CE DC DE AE DC AD DC ，∴四边形ABCD 的周长2612 ；故答案为：12．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三、解答题：15．在▱ABCD 中，AC 、BD 交于点O ．过点O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ，连接DE ．若∠CDE ＝∠CBD ＝15°．求∠ABC 的度数．【答案】45【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE ＝ED ，得出15CBD BDE ，求出30ABD ，则可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ，∵OE ⊥BD ，∴BE =ED ，∴15CBD BDE ，∵15CDE ，∴30BDC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，∴30ABD BDC ，∴301545ABC ABD CBD ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．16．如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为点E ，F ，求证：AC ，EF 互相平分．【答案】证明见解析【分析】证出AEO CFO ≌，得出OE ＝OF 即可得证．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO =CO ．∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEO =∠CFO =90°．在△AEO 和△CFO 中，AEO CFO EOA FOC OA OC，∴△AEO ≌△CFO （AAS ），∴OE ＝OF ，AC ，EF 互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，证明△AEO ≌△CFO 是解题的关键．17．已知：如图，在ABCD Y 中，过AC 的中点O 的直线分别交CB ，AD 的延长线于点E ，F ．求证：BE DF ．【答案】证明见解析．【分析】证明 AOF COE ASA ≌，可得：AF CE ，再利用AD BC ，即可证明BE DF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO OC，AD BC ，DAO BCO ，在AOF 和COE 中，DAO BCO AO OC FOA COE∴ AOF COE ASA ≌，∴AF CE ，∵AD BC ，∴ AF AD CE BC ，即BE DF ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定定理及性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定定理及性质，证明 AOF COE ASA ≌．18．如图，ABCD Y 的对角线AC 和BD 相交于点O ，EF 过点O 且与边BC ，AD 分别相交于点E 和点F .(1)求证：OE OF ；(2)若4BC ，3AB ，2OF ，求四边形CDFE 的周长.【答案】(1)见解析(2)四边形CDFE 的周长为11【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA OC ，AD BC ∥，继而可证得 ASA AOE COF ≌△△，则可证得结论；（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC ，AD BC ∥，∴OAF OCE，∵在OAF △和OCE △中OAF OCE OA OC AOF COE，∴ ASA AOE COF ≌△△，∴OF OE ．（2）解：∵AOF COE ≌△△，∴AF CE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ，AB CD ，∵4BC ，3AB ，2OE OF ，∴CDFE EF DF CE CDC 四边形2OE DF AF CD2OE AD CD44311 ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．能力提升篇一、单选题：1．如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BC ，垂足为E ．2,4AB AC BD ，则AE 的长为（）A B ．32C D ．72．如图，在▭ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，线段EF 经过点O ，AH ⊥BC 于点H ．若AH =2，BC =3，则图中阴影部分的面积为(）A ．1.5B ．2C ．3D ．4.5①OE OF ；②图中共有4对全等三角形；③若4AB ，6AC ，则214BD ；④ABC ABFE S S 四边形；其中正确的结论有（）A．①④B．①②④C．①③④D．①②③的边OA在x轴上，对角线OB，AC相交于点E，已知A点坐标为(6,0)，4．如图，OABC点E 的坐标为 4.5,2，则OABC 的周长为______．掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．5．如图，在ABCD Y 中，32AO ，30ACB ，AC AB ，点E 在AC 上，1CE ，点P 是BC 边上的一动点，连接PE PA 、，则PE PA 的最小值是________．∵点A 与点F 关于直线BC 对称，∴CA CF ，30ACB FCB ，则∴ACF △是等边三角形，∵在ABCD Y 中，32AO ，∴23CF AC AO ，∴30CEG ，∴1122CG CE ，2213122EG，∴52FG FC CG ，∴2235722EF，∴PE PA 的最小值是7．故答案为：7．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．如图，在▱ABCD 中，45DBC DE BC ，于E BF CD ，于F DE ，、BF 交于H BF AD ，，的延长线交于G ，给出下列结论：①2DB BE ；②A BHE ；③AB BH ；④若BG 平分DBC ，则21BE EC ；其中正确的结论有______.(填序号)【答案】①②③④【分析】①由题意可知BDE △是等腰直角三角形，故此可得到2BD BE ；②由HBE CBF HEB CFB ，证明即可；③先证明BHE DEC △≌△，从而得到BH DC ，然后由平行四边形的性质可知AB BH ；④连接CH ，证CEH △是等腰直角三角形，DH CH ，设EH EC a ，得出22DH CH EC a ，进而得出21BE DE EC ．【详解】解：DH BC ∵，90DEB ，AB CD∵，，③正确；AB BH7．如图所示，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE BC ，垂足为点E ，AB ，2AC ，4BD ．(1)求证：AB AC ；(2)求AE 的长．(1)如图1，若BD AB 的长；(2)如图2，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，连接AE ，过点A 作AF ⊥AE 交BD 于点F ，求证：OF ＝CE ＋OE ．∴∠FAC =∠OCG ，∠AFO =∠OGC ，∵OA =OC ，∴ AFO CGO AAS ，∴OF=OG，∵AB⊥AC，AF⊥AE，∴∠BAC=∠FAE=90°，∴∠BAC-∠FAO=∠FAE-∠FAO，∴∠BAF=∠CAE，∵CE⊥BD，∴∠CED=∠CEF=90°，∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=90°+∠AEF，∵∠AFB是AFE的一个外角，∴∠AFB=∠FAE+∠AEF=90°+∠AEF，∴∠AEC=∠AFB，∵AB=AC，∴∠AFE=∠AEF=45°，∴∠AFE=∠CGO=45°，∴CEG是等腰直角三角形，∴CE=EG，∵OG=OE+EG，∴OF=OE+CE．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．。

第十周家庭作业(平行四边形性质与判定)

丹凤县育才学校第十周家庭作业姓名服务电话：1389146183 平行四边形的性质和判定综合练习1、定义：有_________________________四边形叫做平行四边形． 2．平行四边形的性质边方面：角方面：对角线方面：对称性：平行四边形的面积=_________________． 3．平行四边形的判定方法从边上(1) （2）（3）从角上（4）从对角线上（5） 4．三角形中位线定理定义：性质： 5．两条平行线间的距离定义：。

性质：。

6．同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．一、基础达标 1、在中，∠A ：∠B ＝2：3，则∠B ＝，∠C ＝，∠D ＝。

2、已知的周长为28cm ，AB ：BC ＝3：4，则AB ＝，BC ＝，CD ＝，AD ＝．3、一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x 的取值范围为____________．4、下面给出了四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，其中能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）Ａ．１：２：３：４Ｂ．２：２：３：３Ｃ．２：３：２：３Ｄ．２：３：３：２5、下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）Ａ．一组对边平行，另一组对边相等Ｂ．一组对边平行，一组对角互补Ｃ．一组对角相等，一组邻角互补Ｄ．一组对角相等，另一组对角互补 6、在下面给出的条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）Ａ．ＡＢ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＣ．ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ=∠ＤＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ 7、用两个全等的三角形按不同的方法拼成四边形，在这些拼出的四边形中，平行四边形最多有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个8、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判别四边形ABCD 是平行四边形，还需满足条件（） A.∠A +∠C =180° B.∠B +∠D =180° C.∠A +∠B =180°D.∠A +∠D =180°9．已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是___________________________________（•填一个你认为正确的条件）． 10、中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________． 11、如图，中，对角线AC 长为10 cm ，∠CAB ＝30°，AB 长为6 cm ，则的面积是____________ 12、 ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE=2cm,则BC =______cm ．二、解答题12、如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且AE ∥CF ，求证：AE =CF13、如图，在□ABCD 中，O 是对角线AC 、BD14、如图，在□ABCD 中，已知AE 、CF 分别是∠DAB 四边形．15、已知：□ABCD 中E 、F 是对角线AC 上的两点，且AF ＝CE ，求证：DE ＝BF=∠D BA F 。

北师大版八下数学《平行四边形的性质》同步练习1(含答案)

6.1 平行四边形的性质一、填空题(每题4分，共40分)1．平行四边形是对称图形，对称中心是2．Y ABCD中，∠B＝65°，则∠A＝3．Y ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠D＝4．Y ABCD中，∠D－∠A＝40°，则∠C＝5．Y ABCD中，∠A＝60°，那么其余角的度数分别是6．Y ABCD中，AB＝18cm，BC＝22cm，则Y ABCD的周长是7．周长为40的Y ABCD中，两条邻边之比为2∶3，则它的四边长分别为8．Y ABCD中，两条邻边的差是5cm，周长为36cm，则两条邻边的长分别是9．Y ABCD中，AB＝10cm，则还可以知道10．Y ABCD的对角线相交于O，AC＝8cm，BD＝10cm，则AO＝cm，BO ＝cm二、选择题(每题4分，共24分)1．如图，关于Y ABCD和Y CEFG，下列等式错误的是（）A．∠1＋∠8＝180°B．∠4＋∠6＝180°C．∠2＋∠8＝180°D．∠1＋∠5＝180°2．平行四边形的一个角比它的邻角的2倍还大15°，则相邻的两个内角为（）A．30°，75°B．40°，95°C．55°，125°D．50°，115°3．若平行四边形的一条边长为10cm，一条对角线长为16cm，则另一条对角线a的取值范围是（）A．2＜a＜18 B．6＜a＜36 C．4＜a＜36 D．10＜a＜16 4．Y ABCD的周长为60cm，对角线交于O点，△BOC的周长比△AOB的周长少8cm，则AB、BC的长分别是（）A．18cm，10cm B．20cm，12cmC．34cm，26cm D．19cm，11cm5．平行四边形不具有的特征是（）A．对边平行B．对边相等C．两邻角互补D．对角线互相垂直三、解答题(每题9分，共18分)1．Y ABCD中，AC、BD相交于O点，两条对角线的和为36cm，CD长为5cm，求△OCD的周长。

初二平行四边形的判定和性质讲义(含答案)

1．平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等．平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形．平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍．平行四边形的面积：底乘以高． 2.平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．一、平行四边形的性质【例1】如图，四边形ABCD 为平行四边形，即AB CD ∥，AD BC ∥．通过证明三角形全等来说明：⑴AB CD =，AD BC =．（对边相等） ⑵AO CO =，BO DO =．（对角线互相平分）ODCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】⑴ ∵AB CD ∥，AD BC ∥∴ABD CDB ∠=∠，ADB CBD ∠=∠ 在ABD ∆和CDB ∆中，例题精讲知识点睛平行四边形的性质及判定ABD CDB BD DBADB CBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD CDB ∆∆≌ ∴AB CD =，AD BC =． ⑵ 在ABO ∆和CDO ∆中，ABO CDO AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AO CO =，BO DO =．【巩固】如图，点E F ，是平行四边形ABCD 对角线上的两点，且BE DF =，那么AF 和CE 相等吗？请说明理由21FEDCB A【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】因为ABCD 是平行四边形所以AD BC AD BC =，∥所以12∠=∠，又因为1180ADF ∠+∠=︒，2180EBC ∠+∠=︒ 所以ADF EBC ∠=∠ 又因为BE DF =，所以ADF CBE ∆∠≌，所以AF CE = 【答案】AF CE =【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，EF BC GH AB EF ∥，∥，与GH 相交于点O ，图中共有个平行四边形O HGF EDC BA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】9个【巩固】以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】B【例3】（2008兰州）如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥．对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．⑴ 证明：当旋转角为90︒时，四边形ABEF 是平行四边形； ⑵ 试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等．【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2008年，兰州中考【解析】⑴ 证明：当90AOF ∠=︒时，AB EF ∥，又∵AF BE ∥，∴四边形ABEF 为平行四边形． ⑵ 证明：四边形ABCD 为平行四边形∴AO CO =，FAO ECO ∠=∠，AOF COE ∠=∠ ∴AOF COE ∆∆≌ ∴AF EC =【答案】⑴ 证明：当90AOF ∠=︒时，AB EF ∥，又∵AF BE ∥，∴四边形ABEF 为平行四边形． ⑵ 证明：四边形ABCD 为平行四边形∴AO CO =，FAO ECO ∠=∠，AOF COE ∠=∠ ∴AOF COE ∆∆≌ ∴AF EC =【例4】在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（）A ．2B ．35C ．53D ．15【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】3星【关键词】2008年，山东潍坊【解析】利用对称性、平行线的性质及割补法可得C．【答案】C【巩固】如图，在平行四边ABCD中，AC、BD为对角线，6BC ，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）．A．3 B．6 C．12 D．24(1)D CBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】3星【关键词】2009年，桂林市中考，百色市中考【解析】利用平行线的性质及割补法可得C．【答案】C【例5】现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．(2)【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】5星【关键词】1995年，昆明竞赛，2003年宿迁中考【解析】省略【答案】答案不惟一．【巩固】如图1，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图2，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是． D CBA O 4O 3O 2O 1ED CBAO 5O 4O 3O 2O 1【考点】圆的相关概念及性质【题型】填空【难度】4星【关键词】2008年，天津【解析】1O ，3O 如图（提示：答案不惟一，过13O O 与24O O 交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；5O ，O ，如图（提示：答案不惟一，如4AO ，3DO ，2EO ，1CO 等均可）．O DCBAO 4O 3O 2O 1EO DCBAO 5O 4O 3O 2O 1【答案】见解析【例6】如图，,E F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE CF =.求证：（1）ADF ∆≌CBE ∆；（2）EB DF ∥.AFE DCB【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2007年，浙江临安中考【解析】（1）∵AE CF=，∴AE EF CF FE+=+，即A F C E=.又∵ABCD是平行四边形，∴,AD CB AD BC=∥.∴DAF BCE∠=∠.∴ADF∆≌CBE∆（2）∵ADF∆≌CBE∆∴DFA BEC∠=∠.∴DF EB∥.【答案】（1）∵AE CF=，∴AE EF CF FE+=+，即A F C E=.又∵ABCD是平行四边形，∴,AD CB AD BC=∥.∴DAF BCE∠=∠.∴ADF∆≌CBE∆（2）∵ADF∆≌CBE∆∴DFA BEC∠=∠.∴DF EB∥.【巩固】如图，已知：在平行四边形ABCD中，BCD∠的平分线CE交边AD于E，ABC∠的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE DG=．F GE DCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2008年，青海西宁【解析】⑴①（答案不惟一）⑵∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴AD BC∥，AB CD=（平行四边形的对边平行且相等）∴GBC BGA∠=∠，BCE CED∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵BG平分ABC∠，CE平分BCD∠（已知）∴ABG GBC∠=∠，BCE ECD∠=∠（角平分线定义）∴ABG AGB∠=∠，ECD CED∠=∠．∴AB AG=，CE DE=（在同一个三角形中，等角对等边）∴AG DE=∴AG EG DE EG-=-，即AE DG=【答案】⑴①（答案不惟一）⑵∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴AD BC∥，AB CD=（平行四边形的对边平行且相等）∴GBC BGA∠=∠，BCE CED∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵BG平分ABC∠，CE平分BCD∠（已知）∴ABG GBC∠=∠，BCE ECD∠=∠（角平分线定义）∴ABG AGB∠=∠，ECD CED∠=∠．∴AB AG=，CE DE=（在同一个三角形中，等角对等边）∴AG DE=∴AG EG DE EG-=-，即AE DG=【例7】已知：如图，平行四边形ABCD 内有一点E 满足ED AD ⊥于点D ，EBC EDC ∠=∠，45ECB ∠=︒，请找出与BE 相等的一条线段，并给予证明．EDCBAFABCD E【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】AB 或CD ．证明：延长DE 交BC 于F ， ∵ED AD ⊥且AD BC ∥ ∴DF BC ⊥又∵45ECB ∠=︒∴CEF ∆为等腰直角三角形 ∴EF CF =在BEF ∆和DCF ∆中 EBF CDF BFE DFC EF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BEF DCF ∆∆≌ ∴BE DC AB ==【答案】AB 或CD【巩固】如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2009年，湖南长沙中考【解析】省略【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，∴ACB CAD ∠=∠．又BE DF ∥，∴BEC DFA ∠=∠， ∴BEC DFA ∆∆≌， ∴CE AF =【例8】如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线BD ，过A C ，两点分别作AE BD CF BD E F ⊥⊥，，，为垂足，求证：四边形AECF 是平行四边形FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】因为ABCD 是平行四边形，所以AB CD =且AB CD ∥ 所以ABE CDF ∠=∠ 因为AE BD CF BD ⊥⊥，，所以90AEB CFD ∠=∠=︒ 所以ABE CDF ∆∆≌，所以AE CF =因为90AEO CFO ∠=∠=︒，所以AE CF ∥ 所以四边形AECF 是平行四边形【巩固】如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 、AB 的延长线交于点F ，连接AE 、CF ．求证：ABE EFC S S ∆∆=．【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】易证BEF CED ∆∆≌，∴BF CD AB ==∴ABE ∆和FBE ∆是以AB 、BF 为底的等底等高三角形． ∴ABE FBE S S ∆∆=∵FBE ∆和FCE ∆是以BE 、CE 为底的等底等高三角形． ∴FBE FCE S S ∆∆=，∴ABE EFC S S ∆∆=．【例9】 ⑴如图，已知等边三角形的边长为10，P 是ABC ∆内一点，PD AC ∥，PE AB PF BC ∥，∥，点D E F ，，分别在AB BC AC ，，上，则PD PE PF ++=PFEDCBA⑵如图1，在平行四边ABCD 中，120A ∠=︒，则D ∠= ︒．AB图图1DC BA⑶如图2，在平行四边形ABCD 中，DB DC =，65A ∠=︒，CE BD ⊥于E ，则B C E ∠= ︒．EEAB图ABCD图2D⑷已知四边形的四条边长分别是a b c d ，，，，其中a b ，为对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+则这个四边形是（）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形⑸（2009东营）如图3，在平行四边ABCD 中，已知8cm AD =，6cm AB =，DE 平分ADC ∠交BC 边于点E ，则BE 等于 cm ．E ABCD图3D⑹已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB ∆的周长比BOC ∆ 的周长多8cm ，则AB 的长度为 cm ．OD CBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】填空【难度】3星【关键词】【解析】⑴省略；⑵省略；⑶∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒． ⑷省略⑸∵8cm BC AD ==，6cm CE CD AB ===，∴2cm BE =．⑹如图，AOB ∆的周长为AB AO BO ++，BOC ∆的周长为BC BO CO ++ 由平行四边形的对角线互相平分可得()()8AB AO BO BC BO CO AB BC ++-++=-=∴6082194AB +⨯==．【答案】⑴10；⑵60︒；⑶25︒；⑷B ；⑸2cm ；⑹19【巩固】一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7，则它的一条边长a 的取值范围是．OD CBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】填空【难度】3星【关键词】【解析】如图，不妨设AB a =，5AC =，7BD =，在ABO ∆中，52AO =，72BO =，由三角形三边关系可得AO BO AB AO BO -<<+，即16a <<．【答案】16a <<【例10】如图，是某区部分街道示意图，其中CE 垂直平分AF ，AB DC ∥，BC DF ∥，从B 站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E ---，路线2是B C F E ---，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．A BCDEFG【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】两条路线一样长延长FD 交AB 于点G ，∵CE 垂直平分AF ，AB DC ∥， ∴DF DA =，90FED EAB ∠=∠=︒，DAF DFA ∠=∠． ∴90DGA DFA DAG DAF ∠+∠=∠+∠=︒ ∴DAG DGA ∠=∠ ∴AD DG = 又∵AB DC BC FG ∥，∥∴四边形DCBG 为平行四边形，∴BC DG AD FD === ∴四边形BCFD 亦为平行四边形，∴CF DB = 路线1BD DA AE =++，路线2BC CF FE =++ ∴路线1与路线2相等．【答案】路线1与路线2相等【巩固】如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD 是平行四边形，BE AC ⊥，DF AC ⊥，E 、F 是垂足，G 、H 分别是BC 、AD 的中点，连接EG GF FH ，，． HE 为公园中小路，问小明从B 地经E 地，H 地到F 地，与小强从D 地经F 地，G 地到E 地，谁的路程远．A BCDEFGH【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】两人一样远∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD =， AD BC BAC DCA =∠=∠，，∵BE AC DF AC ⊥⊥，，∴BE DF ∥ ∴ABE CDF ∠=∠ ∴ABE CDF ∆∆≌，∴BE DF =又∵G 、H 分别是BC 、AD 中点，∴12EG GC BC == G E C G C E ∠=∠，同理12FH AH AD DAF AFH ==∠=∠，∴EG HF ∥且EG HF =∴四边形EGFH 为平行四边形，∴BE EH HF DF FG EG ++=++ ∴两人路程一样远．【答案】两人路程一样远【例11】在平行四边形ABCD 中，过A 任作一直线AM ，过B 、C 、D 作AM 的垂线BE 、CF 、DG ，垂足分别是E 、F 、G ，求证：BE DG CF =-．GFE DCBAHGFE DC BAHGFE DCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】省略【答案】解法一：如图，过C 作CH DG ⊥于H ，则GFCH 为矩形．∴GH CF =，CH AM ∥．又AB CD ∥，∴BAE DCH ∠=∠．又AB CD =，∴Rt Rt ABE CDH ∆∆≌．∴BE DH DG GH ==-，∴BE DG CF =-．解法二：如图，延长CF 到H ，使HF BE =，连接BH ，显然BHFE 为矩形． ∴90BHC AGD ∠=︒=∠．∵DG CF ∥，AD BC ∥，∴ADG BCH ∠=∠．又∵AD BC =，∴ADG BCH ∆∆≌，∴DG CH CF HF CF BE ==+=+． ∴BE DG CF =-．【巩固】 AC 是平行四边形ABCD 较长的一条对角线，点O 是ABCD 内部一点，OE AB ⊥于点E ，OF AD ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，求证：AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．KQL NM ABC DOEF G GFE ODCBA【考点】相似三角形的性质和判定【题型】解答【难度】5星【关键词】【解析】省略【答案】如图所示，，分别过点B 、C 、D 作直线AO 的垂线，EG CP DL ∥∥、Q 、N 为垂足；分别过B 、D 作AC 的垂线，L 、K 为垂足．显然，A 、E 、O 、G 、F 五点共圆，AO 是直径．由DN AO ⊥，CQ AO ⊥，BM AO ⊥，DC AB ∥且DC AB =可知NQ AM =．已知AF AD AN AO ⋅=⋅，AE AB AM AO ⋅=⋅，则AF AD AE AB ⋅+⋅ AN AO AM AO =⋅+⋅ ()AO AN AM =+()AO AN NQ =+AO AQ =⋅ AG AC =⋅故AE AB AF AD AG AC ⋅+⋅=⋅．点评：ab cd ef +=类型的问题一般要转化为ab mn =型的问题（当然，如果能够使用勾股定理、余弦定理等，大家也可以踊跃尝试），把握了这一点，就能及时调整思路，确保解题不会误入歧途．二、平行四边形性质和判定的综合应用【例12】点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）种 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】2星【关键词】【解析】选B ．①和②对，①和③对，①和④错，②和③错，②和④对，③和④对．等腰梯形是错的特例．【答案】B【巩固】如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ∥，在AB 上截取BF AE =，连接DE EF ，，求证：四边形BDEF 是平行四边形FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】因为AD 平分BAC ∠ 所以BAD CAD ∠=∠因为DE AB ∥，所以BAD ADE ∠=∠ 所以EAD ADE DE AE ∠=∠=，因为BF AE =，所以DE BF =因为DE BF ∥，所以BDEF 是平行四边形【例13】已知：如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB CD 的中点.求证：(1)AFD ∆≌CEB ∆；(2)四边形AECF 是平行四边形．CE F D BA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2006年，南京中考【解析】省略【答案】（1）∵四边形ABCD 平行四边形，∴,,AB CD AD BC B D ==∠=∠. 又∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴11,22BE AB DF CD ==.∴,BE DF AE CF ==. ∴AFD ∆≌CEB ∆.（2）由（1）知AE CF =，AFD ∆≌CEB ∆. ∴AF CE =. ∴四边形AECF 是平行四边形．【巩固】如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，B D ∠=∠，6BC =，3AB =，求四边形ABCD 的周长．DCB A【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2009年，柳州中考【解析】省略【答案】解法一：∵AB CD ∥∴180B C ∠+∠=︒ 又∵B D ∠=∠∴180C D ∠+∠=︒∴AD BC ∥，即得ABCD 是平行四边形 ∴3AB CD ==，6BC AD ==∴四边形ABCD 的周长262318=⨯+⨯= 解法二：连接ACABCD∵AB CD ∥∴BAC DCA ∠=∠又∵B D ∠=∠，AC CA = ∴ABC CDA ∆∆≌∴3AB CD ==，6BC AD ==∴四边形ABCD 的周长262318=⨯+⨯= 解法三：连接BDAB CD∵AB CD ∥∴ABD CDB ∠=∠又∵ABC CDA ∠=∠ ∴CBD ADB ∠=∠∴AD BC ∥，即ABCD 是平行四边形 ∴3AB CD ==， 6BC AD ==∴四边形ABCD 的周长262318=⨯+⨯=【例14】如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．DPCBAQDPCBA【考点】平行四边形的性质和判定【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】如图所示，将PAB ∆平移至QDC ∆的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．【例15】如图所示，在平行四边形ABCD 中，、F 是对角线AC 上两点，且AF CE =，求证：四边形BEDF是平行四边形．FEDCBAOF E DCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】连接BD ，交AC 于O∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴BO DO =，AO CO = ∵AF CE =，∴AF AO CE CO -=-∴OF OE =，∴四边形BFDE 是平行四边形【巩固】已知：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AF CE =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】∵ED ∥BF ，∴DEF BFE ∠=∠，∴AED BFC ∠=∠又∵AF CE =，∴AE CF = ∵AD ∥BC∴EAD FCB ∠=∠，∴AED ∆≌CFB ∆∴AD BC =，∴ABCD 是平行四边形【例16】如图，在平行四边形ABCD 的各边AB BC CD DA ，，，上，分别取E F G H ，，，，使AE CG =， BF DH =，求证：四边形EFGH 为平行四边形H GF ED CB A【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】利用AEH CGF ∆∆≌，AEH DFE ∆∆≌，证明HE FG HG EF ==，【例17】如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若P E P F =，且AP AE CP CF +=+．求证：四边形ABCD 是平行四边形．PFE DCBANMAEDPC FB【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2008年，西城模拟改编【解析】省略【答案】延长PA 、PC ，使AM AE =、CF CN =．连结MF 、EN ．∵AP AE CP CF +=+ ∴PM PN =∴四边形MFNE 是平行四边形． ∴ME NF =,M N ∠=∠ ∵AE AM =，CN CF = ∴AME CNF ∆∆≌ ∴AM CN =∴AP CP =,PAD PCB ∠=∠ ∴APD NCPB ∆≌ ∴PD PB =∴四边形ABCD 是平行四边形．【巩固】如图，在平行四边形ABCD 中，点M 、N 是对角线AC 上的点，且AM CN =，DE BF =，求证：四边形MFNE 是平行四边形．ENFM D CBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD ∥，AB CD = ∴MAF NCE ∠=∠ 又∵DE BF = ∴AF CE = 又∵AM CN =显然AFM CEN ∆∆≌∴FM EN =且AMF CNE ∠=∠ ∴FMN ENM ∠=∠∴四边形MFNE 是平行四边形．【巩固】如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE CF =．⑴求证：ABE ∆≌CDF ∆； ⑵若M N ，、分别是BE 、DF 的中点，连接MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论．EN M CDFBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2005年，四川中考【解析】省略【答案】⑴由ABCD 是平行四边形可知，AB CD =，BAE DCF ∠=∠又AE CF =，故ABE ∆≌CDF ∆⑵由(1)可知，AEB CFD ∠=∠，BE DF = 又FN DN =，BM ME =，∴ME NF = 而AD ∥BC ，∴有AEB CBE ∠=∠ ∴CBE CFD ∠=∠，∴BE ∥DF ∴四边形MFNE 为平行四边形【例18】如图，过四边形ABCD 对角线的交点O 作直线EF 交AD 、BC 分别于E 、F ，又G 、H 分别为OB 、OD 的中点，求证：四边形EHFG 为平行四边形．O GFH EDCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】易证EO FO =，HO GO =∴四边形EHFG 为平行四边形【巩固】如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．当AB AC ≠时，证明四边形ADFE为平行四边形．FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】2008年，佛山中考【解析】省略【答案】∵ABE ∆、BCF ∆为等边三角形，∴AB BE AE ==，BC CF FB ==，60ABE CBF ∠=∠=︒． ∴FBE CBA ∠=∠． ∴FBE CBA ∆∆≌． ∴EF AC =．又∵ADC ∆为等边三角形， ∴CD AD AC ==． ∴EF AD =．同理可得AE DF =．∴四边形AEFD 是平行四边形．【例19】如图，点E F G H M N ，，，，，分别在ABC ∆的BC AC AB ，，边上，且NH MG BC ME NF AC ∥∥，∥∥，GF EH AB ∥∥，有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F 点出发，黑蚂蚁沿路线F N H E M G F →→→→→→爬行，白蚂蚁沿路线F B A C F →→→→爬行，那么（） A ．黑蚂蚁先回到F 点 B ．白蚂蚁先回到F 点 C ．两只蚂蚁同时回到F 点D ．哪只蚂蚁先回到F 点视各点的位置而定N MH GFECBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】选择【难度】5星【关键词】2006年，第17届，希望杯试题【解析】可知四边形CFNH AHEM BMGF ，，均为平行四边形，可知选C 【答案】C【巩固】以ABCD 的对边AB 、CD 为边分别在外作等边ABE ∆、等边CDF ∆．求证：四边形AECF 是平行四边形．EC DFBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】∵AB CD =，ABE ∆和CDF ∆都是等边三角形∴AE CF =，EB DF =∵BC AD =，ABC ADC ∠=∠，ABE CDF ∠=∠ ∴CBE ADF ∠=∠，∴CBE ∆≌ADF ∆∴CE AF =，∴四边形AECF 是平行四边形【巩固】等边ABC ∆中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且CD BE =，所以AD 为边作等边ADF ∆．求证：四边形CDFE 是平行四边形．FEDCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】连结FB ．∵1602BAD ∠=-∠=∠ ，AF AD =，AB AC =∴AFB ∆≌ADC ∆，∴60ABF ACD ∠=∠= ，FB DC = ∵CD BE =，∴FB BE =∴BEF ∆是等边三角形，∴EF BE DC ==，60BEF ∠= ∵60ABC ∠= ，∴BEF ABC ∠=∠∴EF ∥BC ，∴四边形CDFE 是平行四边形【例20】如图，已知AC 是平行四边形ABCD 的对角线，ACP ∆和ACQ ∆都是等边三角形，求证：四边形BPDQ 是平行四边形．QP DCB A OQP DCB A【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】省略【答案】方法一：（利用全等得两组对边相等）∵AC 是平行四边形ABCD 的对角线 ∴DAC BCA ∠=∠∵60ACP CAQ ∠=∠=︒ ∴DAQ BCP ∠=∠又∵AD CB =，AQ CP = ∴ADQ CBP ∆∆≌ ∴DQ BP =类似可证ABQ CDP ∆∆≌ ∴BQ DP =∴四边形BPDQ 是平行四边形．方法二：（利用对角线互相平分证明结论）连结BD 交AC 于O ，连结PO 、QO ．利用ACP ∆和ACQ ∆是全等等边三角形可得 P 、O 、Q 三点共线，且PO QO = 又∵BO DO =∴四边形BPDQ 是平行四边形．【巩固】如图，ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 是AC 上任意一点，EF ∥AB ，DF ∥BE ．求证：DF 与AE 互相平分．FEDCB AFEDCB A【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】连结AF 、DE ．∵EF ∥AB ，DF ∥BE ，∴四边形BDFE 是平行四边形 ∴EF BD =∵AD BD =，∴AD EF =∵AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形 ∴DF 与AE 互相平分【例21】如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A B C D ，，，处均种有一颗大核桃树，田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想让核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由DCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】济南中考【解析】连接AC BD ，，交于O ，过A C ，分别作BD 的平行线，过B D ，分别作AC 的平行线，他们分别交于E F G H ，，，，则平行四边形EFGH 合乎题设要求【答案】见解析【巩固】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED BC ⊥于点D ，在DE的延长线上取一点F ，使AF CE =．求证：四边形ACEF 是平行四边形．FEDBCA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2009年，湖北黄冈【解析】省略【答案】∵90ACB ∠=︒，AE BE =∴CE AE BE == 又∵AF CE =∴AF CE AE BE === 又∵ED BC ⊥，BE CE = ∴BED CED ∠=∠ 又∵BED AEF ∠=∠由AE AF =得F CED ∠=∠ ∴CE AF ∥∴四边形ACEF 是平行四边形．【例22】如图，在平行四边形ABCD 中，DE AB ⊥于E ，BM MC DC ==，那么EMC ∠与BEM ∠的大小关系怎样？EM D C BAF 165432B MC DE A【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】延长EM 交DC 的延长线于F ，连结DM ，∵56∠=∠，4F ∠=∠，MB MC =，∴FCM EBM △△≌，∴M 是EF 的中点． ∵AB CD ∥，DE AB ⊥，∴DE FD ⊥．在Rt EFD △中，∵1F ∠=∠， ∴32F ∠=∠，又∵CM DM =，∴21F ∠=∠=∠，又∴3EMC F ∠=∠，而4F ∠=∠，∴3EMC BEM ∠=∠．【答案】3EMC BEM ∠=∠【巩固】已知平行四边形ABCD ，2BC AB =，M 为AD 的中点，CE AB ⊥．求证：3EMD AEM ∠=∠．EMDCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】省略【答案】解法一：如图，取BC 的中点N ，连接MN 、MC ．NMEDCBA∵AM BN ∥，AM BN =，∴MN AB DC ==，AEM EMN ∠=∠．又CE AB ⊥，∴CE MN ⊥，且平分CE ．∴EMN CMN ∠=∠．又MDCN 为菱形， ∴CMN CMD EMN ∠=∠=∠， ∴3EMD AEM ∠=∠．解法二：如图，延长EM 、CD 交于F ．FMDCB EA∵AB CF ∥，∴AEM DFM ∠=∠，EAM FDM ∠=∠．又AM DM =，∴AEM DFM ∆∆≌，∴AEM F ∠=∠，EM FM =．又∵AB CD ∥，CE AB ⊥， ∴CE CD ⊥， ∴MC MF =，故MCF F ∠=∠．∴22EMC F AEM ∠=∠=∠．又∵DM CD =，∴DMC MCF F AEM ∠=∠=∠=∠． ∴3EMD AEM ∠=∠．解法三：如图，过M 作MH CE ⊥于H ．HMDCBEA∵AE CD ∥，AE CE ⊥， ∴MH AE CD ∥∥．又AM DM =， ∴EH CH =，∴EMH CMH ∠=∠， ∴3EMD AEM ∠=∠解法四：如图，连接CM 并延长交BA 的延长线于F ，FM DCB EA则AMF DMC ∠=∠．又AM DM =，BF CD ∥， ∴FAM CDM ∠=∠， ∴AMF DMC ∆∆≌， ∴MF MC =． ∵90CEF ∠=︒， ∴MF ME =， ∴F AEM ∠=∠．∴2EMC F AEM AEM ∠=∠+∠=∠．∵22AD BC AB CD ===，12DM AD CD ==，∴DMC DCM F AEM ∠=∠=∠=∠， ∴3EMD EMC DMC AEM ∠=∠+∠=∠．【例23】已知：如图，平行四边形ABCD 中，AE BE CF DF 、、、分别平分BAD ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠，BE DF 、的延长线分别交AD BC 、于点M N 、．连接EF ，若7AD =，4AB =．求EF 的长．NM F EDCBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】2008年，顺义二模【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，AB CD =，∴CBM AMB ∠=∠，∵BE 平分ABC ∠，∴ABM CBM ∠=∠，∴ABM AMB ∠=∠， ∴4AM AB ==．∵AE 平分BAD ∠，∴12EM BM =．同理，CN CD =，12DF DN =，∴AM CN =，∴AD AM BC CN -=-，即DM BN =，∴四边形BNDM 是平行四边形，∴BM DN =，BM DN ∥， ∴EM DF =，EM DF ∥， ∴四边形MEFD 是平行四边形，∴EF MD =，∴743EF MD AD AM AD AB ==-=-=-=．【例24】如图，P 为平行四边形ABCD 内一点，过点P 分别作AB 、AD 的平行线，交平行四边形于E 、F 、G 、H 四点，若3AHPE S =，5PFCG S =，求PBD S △．P GHFE D CBA【考点】平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】设AH a =，HB b =，在平行四边形AHPE 中，AH 边上的高为m ，平行四边形PFCG 中PF 边上的高为n ，由EF AB ∥，GH AD ∥知四边形EPGD 、HBFP 也是平行四边形，故()()()()111222ABD S AB m n a b m n am an bm bn =+=++=+++△，12ABD S an =△，12BHP S bm =△，3AHPE S am == 平行四形，5PECG S bn == 平行四形，由ABD BDP EPD BHP AHPE S S S S S =+++ △△△△四形，∴()1113531222BDP S an bm an bm =+++---=△．【答案】1【例25】如图，在 ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC 于F 。

数学下册综合算式专项练习题平行四边形的性质

数学下册综合算式专项练习题平行四边形的性质平行四边形是数学中的重要概念，具有特殊的性质和特点。

本篇文章将以综合算式专项练习题为例，详细探讨平行四边形的性质和应用。

通过解析具体问题，加深对平行四边形的理解和运用能力。

一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。

在平行四边形中，对边之间的距离相等，对角线互相平分。

同时，相邻角的和为180度，对角线交点连线互相平分。

这些性质是平行四边形的基本特征，也是我们解题时的主要依据。

二、平行四边形性质的应用1. 计算平行四边形的周长为了计算平行四边形的周长，我们可以利用相邻边相等的性质，将四个边长相加即可。

例如，已知平行四边形ABCD的两对边AB和CD分别为8cm和12cm，那么该平行四边形的周长为8cm + 12cm + 8cm + 12cm = 40cm。

2. 判断平行四边形的边长关系在某些问题中，要求根据已知条件判断平行四边形的边长关系。

根据平行四边形的定义，我们可以利用平行四边形的对边平行性质来进行判断。

例如，如果已知平行四边形ABCD中AB = 2x，BC = 3x，CD= 4x，那么根据对边平行性质可知2x = 4x，3x = 4x，进而可得到x = 0。

这说明该平行四边形不存在。

3. 求解平行四边形的面积计算平行四边形的面积需要知道两个关键因素：底边的长度和高的长度。

在平行四边形中，由于对边平行，我们可以选择较短的一边作为底边，以便计算高。

例如，已知平行四边形ABCD的底边为5cm，高为3cm，那么该平行四边形的面积为底边乘以高的一半，即5cm *3cm / 2 = 7.5cm²。

4. 判断平行四边形的特殊性质在解决几何问题时，有时会需要判断平行四边形是否具有特殊性质，例如是否为矩形、菱形等。

根据平行四边形的性质，可以利用某些已知条件进行判断。

例如，如果一个平行四边形的对角线互相平分，那么这个平行四边形就是一个矩形，因为矩形的对角线互相平分。

平行四边形性质专题

CFBEDA一、平行四边形基本定义：1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

表示：平行四边形用符号“□”来表示。

２、平行四边形性质：３、扩展性质：二.平行四边形的面积：平行四边形的面积：等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。

平行四边形中的等积法使用：DFBCDEAB⨯=⨯三、总结：（1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。

（2）平行四边形中对角线是常用辅助线。

例题1如图，在▱ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）A．4 B．3 C．25D．2例题2如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△AED；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△ABE=S△CDE；⑤S△ABE=S△CEF．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①③④平行四边形性质平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。

平行四边形对角线分平行四边形成面积相等的四个小三角形。

平行四边形对角线分平行四边形成四个小三角形中，相邻两个小三角形周长差等于边长差平行四边形对角线的一半和大于任意一边长过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分平行四边形的面积问题实例：如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB=AC ．（1）求证：△BAD ≌△AEC ；（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积．平行四边形中的折叠实例：如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF ，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B ，C 分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF 交于点G ，连接DG ，B′G ．求证：（1）∠1=∠2；（2）DG=B′G ．DE=B′F ，∴△DEG ≌△B′FG ，∴DG=B′G ．一、选择题1、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB=5，△OCD 的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是（）A ．18 B ．28 C ．36 D ．46A ．246B ．216C ．-216D ．274 2如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 最小的值是（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 *3如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＞CD ，按以下步骤作图：以A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB 、CD 于E 、F ；再分别以E 、F为圆心，大于21EF 的长半径画弧，两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H ．则下列结论：①AG 平分∠DAB ，②CH=21DH ，③△ADH 是等腰三角形，④S △ADH=21S 四边形ABCH ．其中正确的有（）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③．**4如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC=3：2，∠DAB=60°，E 在AB 上，且AE ：EB=1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则DP ：DQ 等于（）A ．3：4B 13:25C 13:26D ．23 :13**5、如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使EF=41AD ，那么平行四边形ABCD 应满足的条件是（）A ．∠ABC=60°B ．AB ：BC=1：4 C ．AB ：BC=5：2 D ．AB ：BC=5：8**６如图，在▱ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连接CE 、CF ，EF ，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF ≌△EBC ；②∠CDF=∠EAF ；③△ECF 是等边△；④CG ⊥AE ．A ．只有①②B ．只有①②③C ．只有③④D ．①②③④二、填空题：*7如图，过▱ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的▱AEMG 的面积S 1与▱HCFM 的面积S 2的大小关系是 **8 在▱ABCD 中，∠DAB 的平分线分对边BC 为3cm 和5cm 两部分，则▱ABCD 的周长为 **9、如图，▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为．三、解答题：*10如图，在▱ABCD 中，点E 是AB 边的中点，DE 与CB 的延长线交于点F ．（1）求证：△ADE ≌△BFE ；（2）若DF 平分∠ADC ，连接CE ．试判断CE 和DF 的位置关系，并说明理由．**11如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD=32°．分别以BC 、CD 为边向外作△BCE 和△DCF ，使BE=BC ，DF=DC ，∠EBC=∠CDF ，延长AB 交边EC 于点G ，点G 在E 、C 两点之间，连接AE 、AF ．（1）求证：△ABE≌△FDA；（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数．**12（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．。