2020-2021学年山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区高二上第二次月考数学(文)

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山西省朔州市怀仁某校2020学年高一数学下学期第二次月考试题理

山西省朔州市怀仁某校2020学年高一数学下学期第二次月考试题理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( )A ．330°B ．210°C ．150°D ．30° 2．若sin α，π2<α<π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( ) A．－3B ．－12 C.12D.33．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 24．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度5( )A ．sin 2＋cos 2B ．cos 2－sin 2C ．sin 2－cos 2D ．±cos 2－sin 26．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( ) A.12 B ．－128．若x x f 2cos 3)(sin -=，则)(cos x f 等于( )A ．x 2cos 3-B ．x 2sin 3-C ．x 2cos 3+D ．x 2sin 3+9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2 C ．0 D.3410．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( ) B.32 C ．－32A ．－12D.1211.已知函数>><+=ωϕω,0)sin()(A x A x f )2||,0πϕ<在一个周期内的图象如图所示．若方程m x f =)(在区间],0[π上有两个不同的实数解21,x x ，则21x x +的值为（）A ．3πB ．π32C ．π34D ．3π或π3412．已知函数f (x)=f (x),且当)2,2(ππ-∈x 时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 14．已知f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－2)＝4，则f (π＋2)＝________. 15．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________． 16．已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos . 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.18．(12分)已知、是关于x 的方程的两个根.(1)求的值;(2)求的值.19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合．21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，求实数m 的取值范围．22．(12分)某港口水深y(米)是时间单位:小时)的函数,下表是水深数据: t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦函数的图象.(1) 试根据数据表和曲线,求出的表达式;(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)数学（理数）答案1. B2. A3. B4. B5. C6. C7. C8. C9. A 10. B 11. A 12. D 13. m 14. －2 15. (2k π，2k π＋π)，k ∈Z 16. 2317. 解：（1）；.（2），又是第三象限角,，.18. 解：解:由已知原方程判别式,解得或.又,即.或(舍去).. (1)由诱导公式可得.(2)19. 解：(1)列表如下：x －π4 π4 3π4 5π4 7π4 x ＋π40 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π41－13sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 0 3 0 －3 0(2)由图可知，值域为[－3，3]，最小正周期为2π，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20. 解：(1)因为函数图象过点(0，1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝12. 因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z .(3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12，所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z .21. 解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ，则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上有两个根．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.所以m －16∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.所以m ∈[33＋1，7)．22. 解：(1)根据数据,，,, ,,将点代入可得函数的表达式为;(2)由题意,水深, 即,, ,,1, 或;所以,该船在至或至能安全进港.若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.。

山西省朔州市怀仁一中2019-2020学年高二上学期第二次月考数学(文)试卷含答案

2019—2020学年第一学期高二年级第二次月考数学文科试题一、选择题（每小题5分，共60分）1不等式360x y +-<表示的区域在直线360x y +-=的（）A.右上方B.左上方C.右下方D.左下方2 在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )． A ．135° B ．105° C ．45° D ．75°3 若向量=（1,2），=（3,4），则=( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2) 4 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．145 不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．(－1,2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2]6 若不等式组 ⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围( )． A ．[5,7)B ．[7，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)7 若x ＞0，则x ＋4x的最小值为( )．A ．2B ．3C ．2 2D ．48 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )． A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．29 已知下列四个条件①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b 成立的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10 过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )． A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝011 已知直线l 的倾斜角α满足条件sin α＋cos α＝15，则l 的斜率为( )A.43B. －43 C ． 34 D ．－3412 已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4)D ．(－4,2)二填空题（每题5分，共20分）13若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．14 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是15 若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点共线，则m 的值为________．16 在y 轴上的截距是—6，倾斜角的正弦值是54的直线方程是__________________.三、解答题（本大题共6道题，共70分）17 （10分）已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 18 （12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上． (1)求角C 的值；(2)若 (a －3)2＋(b －3)2＝0，求△ABC 的面积．19（12分）设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20 （12分）已知不等式ax2－3x＋b>4的解集为{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.21 （12分）已知f(x)＝a x2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．22 （12分）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由．高二文科数学月考二答案选做题（1—12）DCACB , ADBCA, BD填空题（每小题5分）13 －1 14 ⎝⎛⎭⎫π6，π2. 15. 12. 16 . 634-±=x y17 解 (1)证明因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2) b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.18解(1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由 (a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.19解1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.[4分] ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. 综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.[6分] (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎨⎧－a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎨⎧－a ＋1＝0，a －2≤0， ∴a ≤－1.[10分]综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[12分]20 解：解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋b >4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅. 综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式的解集为∅.21解方法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f 1，4a －c ＝f 2，解得⎩⎨⎧a ＝13[f 2－f 1]，c ＝－43f1＋13f 2.所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋83f (2)．因为－4≤f (1)≤－1，所以53≤－53f (1)≤203，因为－1≤f (2)≤5，所以－83≤83f (2)≤403.两式相加，得－1≤f (3)≤20，故f (3)的取值范围是[－1,20]．方法二：待定系数法 22 解存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， △ AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.。

2025届山西省朔州市怀仁一中高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2025届山西省朔州市怀仁一中高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（） A ．5B ．3C ．2D ．22．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 23．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（） A ．121B ．221C ．115D ．2154．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（） A ．56B ．72C ．88D ．406．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33B ．32C ．63D ．627．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．8．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为 A ．132- B 312i + C ．132+ D 312i - 9．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 10．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：2222(1)(21)123n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．156012．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

怀仁县怀仁一中云东校区高二数学上学期第二次月考试题理

山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2020—2021学年高二数学上学期第二次月考试题理时间：120分钟满分:150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的）1.已知直线:03)2(3=+++y m mx ，2l ：02)2()2(=+++-y m x m ，且21//l l ，则m 的值为( ） A ．1- B ．21 C ．21或2- D ．1-或2-2.若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（） A ．()1,1-B ．22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．(3,3)D ．(2,2-3.圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2:x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是（ )A ．内切B ．外离C ．内含D ．相交4.已知a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（） A ．若直线a ，b 异面，b,c 异面，则a ，c 异面 B ．若直线a,b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交 C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等 D ．若a ⊥b ，b ⊥c,则a ∥c5.若圆锥轴截面是等边三角形且轴截面的面积为23，则体积为（ )A ．33π B ．63π C ．233π D ．263π6。

已知圆C ：()()22118x y +++=与直线l 切于点()1,1P ,则直线l 的方程是（）A ．0x y -=B ．210x y --=C ．20x y +-=D ．20x y ++=7。

圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有( ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8.直线1y kx =+与圆2210xy kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称,则k 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．39.。

2020年山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区高二第一学期第二次月考理科数学试题及解析答案

2020～2021学年度山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区高二第一学期第二次月考数学(理)试题一、单选题1.已知直线1l :()3230mx m y +++=,2l :()()2220m x m y -+++=,且12//l l ,则m 的值为( )A.1-B.12C.12或2- D.1-或2-【参考答案】A【试题解析】由直线平行的性质可得2m =-或1m =-,代入验证即可得解.因为直线1l :()3230mx m y +++=,2l :()()2220m x m y -+++=,且12//l l , 所以()()()3222m m m m +=+-,解得2m =-或1m =-,当2m =-时,直线1l :630x -+=,2l :420x -+=,两直线重合,不合题意; 当1m =-时,直线1l :330x y -++=,2l :320x y -++=,符合题意; 故1m =-. 故选:A.本题考查了由直线平行求参数,考查了运算求解能力,属于基础题.2.若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部,则实数m 的取值范围是( )A.(1,1)-B.(,22- C.( D.(【参考答案】D【试题解析】将圆化为标准方程,再将点代入圆列不等式即可.22222240x y mx my m +-++-=化为标准方程为:22()()4x m y m -++=把原点坐标代入圆的方程得: 22(0)(0)4m m -++<,解得:m <,故选:D.本题主要考查了点和圆的位置关系,属于基础题.3. 圆O 1:x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2:x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是 ( ) A.内切 B.外离 C.内含 D.相交【参考答案】A【试题解析】圆1O 的圆心()12,3O ,半径11r =,圆2O 的圆心()24,3O ,半径212123,2,2r O O r r ===-=,1212OO r r ∴=-,故两圆内切,故选A .4.已知a ,b ,c 是两两不同的三条直线,下列说法正确的是( ) A.若直线a ,b 异面,b ,c 异面,则a ,c 异面 B.若直线a ,b 相交,b ,c 相交,则a ,c 相交 C.若//a b ,则a ,b 与c 所成的角相等 D.若a b ⊥,b c ⊥,则//a c 【参考答案】C【试题解析】利用直线的位置关系及直线所成的角的定义逐项判断即可得解.对于A ,若直线a ,b 异面,b ,c 异面,则a ,c 相交、平行或异面,故A 错误; 对于B ,若直线a ,b 相交,b ,c 相交,则a ,c 相交、平行或异面,故B 错误; 对于C ,由直线所成的角的定义可得若//a b ,则a ,b 与c 所成的角相等,故C 正确; 对于D ,若a b ⊥,b c ⊥,则a ,c 相交、平行或异面,故D 错误. 故选:C.本题考查了空间中直线与直线之间的位置关系,考查了空间思维能力,属于基础题.5.若圆锥轴截面是等边三角形且轴截面的面积为则圆锥的体积为( )【参考答案】D【试题解析】由圆锥的几何特征列方程可得圆锥底面圆的半径,再由圆锥的体积公式即可得解.设圆锥底面圆的半径为r ,则122r ⨯=解得r =所以圆锥的体积213V r π==. 故选:D.本题考查了圆锥几何特征的应用及体积的求解,考查了运算求解能力,属于基础题. 6.已知圆C :()()22118x y +++=与直线l 切于点()1,1P ,则直线l 的方程是( )A.0x y -=B.210x y --=C.20x y +-=D.20x y ++=【参考答案】C【试题解析】先求出点C ()1,1--与()1,1P 所在直线的斜率PC k ,再结合l PC ⊥,可得到1l PC k k ⋅=-,从而可求出l k ,进而可求出直线l 的方程.由题意,圆心C ()1,1--,则点C ()1,1--与()1,1P 所在直线的斜率为11111PC k --==--, 因为l PC ⊥,所以1l PC k k ⋅=-,即1l k =-,又直线l 过点()1,1P ,所以直线l 的方程为()11y x -=--,即20x y +-=. 故选:C.本题考查圆的切线,考查直线的斜率,考查学生的计算求解能力,属于基础题.7.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的点共有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个【参考答案】C【试题解析】求出圆的圆心和半径,比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.圆222430x x y y +++-=可变为()()22128x y +++=,∴圆心为()1,2--,半径为22, ∴圆心到直线10x y ++=的距离12122d --+==,∴圆上到直线的距离为2的点共有3个.故选:C.本题考查了圆与直线的位置关系,考查了学生合理转化的能力,属于基础题.8.直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称,则k 等于( ) A.0B.1C.2D.3【参考答案】A【试题解析】直线方程与圆的方程联立,根据交点关于y 轴对称可得120x x +=,从而构造出关于k 的方程,解方程求得结果. 由22110y kx x y kx y =+⎧⎨++--=⎩得:()221210k x kx +⋅+-= 两交点恰好关于y 轴对称 122201kx x k ∴+=-=+,解得:0k = 本题正确选项:A本题考查韦达定理在圆的问题中的应用,属于基础题.9.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4【参考答案】C【试题解析】分析:根据三视图还原几何体,利用勾股定理求出棱长,再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解:由三视图可得四棱锥P ABCD -,在四棱锥P ABCD -中,2,2,2,1PD AD CD AB ====,由勾股定理可知:22,22,3,5PA PC PB BC ====,则在四棱锥中,直角三角形有:,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个,故选C.点睛:此题考查三视图相关知识,解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原,分析线面、线线垂直关系,利用勾股定理求出每条棱长,进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.10.若三棱锥P ABC -中,PA PB ⊥,PB PC ⊥,PC PA ⊥,且1PA =,2PB =,3PC =,则该三棱锥外接球的表面积为()A.72πB.14πC.28πD.56π【参考答案】B【试题解析】将棱锥补成长方体,根据长方体的外接球的求解方法法得到结果.根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直,可以以三条侧棱为长方体的楞,该三棱锥补成长方体,两者的外接球是同一个,外接球的球心是长方体的体对角线的中点处.设球的半径为 R ,则()2222227123242R R R ++==⇒=表面积为2414.S R ππ== 故答案为B.本题考查了球与几何体的问题,是高考中的重点问题,要有一定的空间想象能力,这样才能找准关系,得到结果,一般外接球需要求球心和半径,首先应确定球心的位置,借助于外接球的性质,球心到各顶点距离相等,这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心,过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等,然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线(这两个多边形需有公共点),这样两条直线的交点,就是其外接球的球心,再根据半径,顶点到底面中心的距离,球心到底面中心的距离,构成勾股定理求解,有时也可利用补体法得到半径,例:三条侧棱两两垂直的三棱锥,可以补成长方体,它们是同一个外接球.11.三棱锥A－BCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中点,则异面直线BM 与AN所成角的余弦值为()A.13B.24C.33D.23【参考答案】D【试题解析】连接DN,取DN的中点O,连接MO,BO,得出BMO∠(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角,根据长度关系求出BMO∠(或其补角)的余弦值即可.连接DN,取DN的中点O,连接MO,BO,∵M是AD的中点,∴MO∥AN,∴BMO∠(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角.设三棱锥A－BCD的所有棱长为2,则2213AN BM DN===-则13122MO AN NO DN ====,则2237 142BO BN NO=+=+=, 在BMO∠中,由余弦定理得2223732cos 23BM MO BO BMO BM MO +-+-∠===⋅,∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23.本题主要考查异面直线的夹角,解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角,属于中档题.12.已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切,则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 ( )【参考答案】C【试题解析】内切球的球心为正方体的体对角线交点,根据三棱锥1O ACB -为正三棱锥及各棱长,可求得点O 到平面1ACB 的距离;根据内切圆半径和圆心到平面1ACB 的距离可求得切面的圆心半径,进而求得圆锥的体积.因为球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切所以球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球,则球O 的半径1r =球心O 到A的距离为2OA ==底面1ACB 为等边三角形,所以球心O 到平面1ACB 的距离为d == 所以平面1ACB截球O3=所以圆锥的体积为213V π=⨯⨯=⎝⎭所以选C本题考查了正方体的内切球性质,平面截球所得截面的性质,属于中档题.二、填空题13.已知点(,)P m n 是直线250x y ++=上的任意一点,值为________【试题解析】(1,﹣2)到直线2x ＋y ＋5＝0的距离,由此能求出结果.∵点P (m ,n )是直线2x ＋y ＋5＝0上的任意一点, (1,﹣2)到直线2x ＋y ＋5＝0的距离,d==本题考查代数式的最小值的求法,是基础题,考查了点到直线的距离公式的应用. 14.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半,且其轴截面的周长是18,则该圆柱的体积是______. 【参考答案】27π【试题解析】设圆柱的底面圆的半径为r ,高为h ,由题意两个条件可列出关于两个未知数的方程组,进而可求出3r h ==,即可求圆柱的体积.解:设圆柱的底面圆的半径为r ,高为h .由题意可得()22π12π2π22218rhr rh r h ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩,解得3r h ==,则该圆柱的体积是2π27πr h =. 故答案为:27π.本题考查了圆柱体积的求解,考查了圆柱的侧面积.本题的关键是求出圆柱底面圆的半径和高.本题的难点在于轴截面的周长这一条件的理解.15.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E,F 分别为棱11,AA CC 的中点,则四棱锥11B EBFD - 的体积为__________.【参考答案】83【试题解析】由题意可得1112B EBFD F B EB V V --=,再利用三棱锥的体积公式进行计算即可.由已知得,115EB BF FD D E ====,1//D F BE ,四边形1EBFD 是菱形,所以111111182222222333B EBFD B EFB F B EB B EBV V V S---===⨯⨯=⨯⨯⨯=.本题考查几何体的体积,解题的关键是把四棱锥的体积转化为两个三棱锥的体积,属于基础题.16.对于平面直角坐标系内任意两点()11,A x y ,()22,B x y ,定义它们之间的一种“折线距离”:()2121,d A B x x y y =-+-.则下列命题正确的是______.①若()1,3A -,()10B ,,则(),5d A B =;②若点C 在线段AB 上,则()()(),,,d A C d C B d A B +=;③在ABC 中,一定有()()(),,,d A C d C B d A B +>;④若A 为定点,B 为动点,且满足(),1d A B =,则B 点的轨迹是一个圆;⑤若A 为坐标原点,B 在直线2250x y +-=上,则(),d A B 最小5(写出所有正确命题的序号) 【参考答案】①②⑤【试题解析】利用“折线距离”: ()2121,d A B x x y y =-+-,对选项逐一判断.①因为()1,3A -,()1,0B ,则()(),11035d A B =--+-=,故正确; ②设()11,A x y ,()22,B x y ,()00,C x y ,因为C 在线段AB 上,不妨设102102,x x x y y y <<<<,则()()01010202,,x x y d A C d y x x B y y C +-+-+-+-=,010*********+++=---+-=--x x y y x x y y x x y y ,()2121,x x y y d A B =-+-=,故正确;③设()11,A x y ,()22,B x y ,()00,C x y ,()()01010202,,x x y d A C d y x x B y y C +-+-+-+-=,()2121,d A B x x y y =-+-当01202100,,,x x y y y x y x ==≠≠时A ,B ,C 三点不共线构成三角形,但()()(),,,d A C d C B d A B +=,故③错误;④不妨设A 为原点,(),B x y ,则(),1d A B x y =+=,则B 点的轨迹是一个正方形,故错误; ⑤如图所示:(()0,25,5,0,M NBQ x ⊥轴,而2BQ QN =,所以(),d A B AQ BQ AQ QN AN =+≥+=, 当点B 与N 重合时,(),d A B 5故正确;故答案为:①②⑤本题主要考查距离的新定义及其应用,还考查了转化求解问题的能力,属于中档题.三、解答题17.已知直线l 的倾斜角为135︒且经过点()1,1P .(1)求直线l 的方程;(2)求点()3,4A 关于直线l 的对称点A '的坐标.【参考答案】(1)x ＋y －2＝0;(2)A '(－2,－1)【试题解析】(1)由题意得直线l 的斜率为tan1351k =︒=-,∴直线l 的方程为()11y x -=--,即20x y +-=.(2)设点(),A a b '的坐标为, 由题意得()411,33420,22b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩ 解得21a b =-⎧⎨=-⎩. ∴点A '的坐标为()2,1--.18.已知圆22:40C x y x +-=.(1)直线l的方程为0x -=,直线l 交圆C 于A 、B 两点,求弦长||AB 的值;(2)从圆C 外一点(4,4)P 引圆C 的切线,求此切线方程.【参考答案】(1)4x =或3440x y -+=.【试题解析】(1)由圆方程可得圆心()2,0C ,2r =,先求出圆心C 到直线距离1d ,根据勾股定理可得AB ==2)当直线为4x =时,与圆相切,符合题意. 当斜率存在时,设斜率为k ,可设直线()44y k x -=-,利用圆心到切线的距离等于半径列方程,即可解得k 的值,从而可得结果.. 试题解析:(1)∵圆22:40C x y x +-=,∴圆心()2,0C ,2r =,圆心C 到直线距离()1222113d ==+-,∴221223AB r d =-=.(2)①当直线为4x =时,与圆相切,符合题意.②当斜率存在时,设斜率为k ,∴直线()44y k x -=-,即440kx y k -+-=,圆心C 到直线距离2222442411k kk d k k +--==++,∵直线与圆相切,∴2d r =即22421k k -=+,∴34k =,∴直线:3440x y -+=,∴综上可知,切线方程为4x =或3440x y -+=.19.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,(1)求此几何体的表面积;(2)求此几何体的体积.【参考答案】(1)1122413+;(2)144.【试题解析】本题主要考察几何体的三视图,及组合体的体积和面积公式,属于容易题,通过三视图可知,该几何体是由一个长方体和一个四棱台组成.(1)求表面积把各个面的面积相加即可,注意长方体的下底面是没有的;(2)体积即长方体和四棱台的体积相加. 由题意知,该几何体是一个组合体,如图所示:上边是长方体,长为4cm ,宽为4cm ,高为2cm ,下边是一个四棱台,上底边长为4cm ,下底边长为8cm ,高是3cm四棱台的斜高为,则该几何体的表面积.该几何体的体积.【知识点】几何体的三视图、表面积、体积.20.已知圆经过点(1,0)A 和(1,2)B --,且圆心在直线:10l x y -+=上.(1)求圆的标准方程; (2)若线段CD 的端点D 的坐标是()4,3,端点C 在圆C 上运动,求CD 的中点M 的轨迹方程. 【参考答案】(1)()2214x y ++=;(2)2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【试题解析】(1)设圆心的坐标为(),1t t +,由圆的性质列方程可得1t =-,计算出圆的半径后即可得解;(2)设线段CD 中点(),M x y ,()11,C x y ,由中点坐标公式可得()()22241234x y -++-=,化简即可得解.(1)设圆心的坐标为(),1t t +,则有()()()()22221113t t t t -++=+++,整理求得1t=-,故圆心为()1,0-,半径r满足()()222114r t t=-++=,则圆的方程为()2214x y++=;(2)设线段CD中点(),M x y,()11,C x y,由()4,3D可知124x x=-,123y y=-,∵点C在圆()2214x y++=上运动,∴()()22241234x y-++-=,∴M的轨迹方程为2233122x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.本题考查了圆的方程的确定及动点轨迹的求解,考查了运算求解能力与转化化归思想,属于中档题.21.有一块扇形铁皮OAB,∠AOB＝60°,OA＝72cm,要剪下来一个扇环形ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:(1)AD应取多长?(2)容器的容积为多大?【参考答案】(1)36;(2)50435π【试题解析】(1)设圆台上、下底面半径分别为r R AD x、，=,则72OD x=-,由题意得60272180602(72)180723Rr xx R＝＝＝ππππ⎧⨯⎪⎪⎪⨯-⎨⎪-⎪⎪⎩,由此能求出AD长.(2)圆台所在圆锥的高22721235H R=-= ,圆台的高6352Hh=＝ ,由此能求出容器的容积.试题解析;(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为r,R,AD＝xcm,则OD＝(72-x)cm.由题意得()60?π2?72,18060?π272,180723.R r x x R ππ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪-=⎪⎪⎩所以R ＝12,r ＝6,x ＝36,所以AD ＝36cm. (2)圆台所在圆锥的高H圆台的高h ＝H 2＝小圆锥的高h'＝所以V 容＝V 大锥-V 小锥＝13πR 2H-13πr 2h'＝22.已知圆22:124C x y .(1)若圆C 的切线在x 轴、y 轴上的截距相等,求切线方程;(2)从圆C 外一点(),P x y 向该圆引一条切线,切点为M ,且有PM PO =(O 为坐标原点),求使PM 取得最小值时点P 的坐标.【参考答案】(1)0y =或43y x =-或3x y +=+或3x y +=-;(2)11,105P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【试题解析】(1)分两种情况讨论:①直线过原点,设所求切线方程为y kx =;②直线在x 轴、y 轴上的截距均为()0a a ≠,设所求切线方程为x y a +=.利用圆心到直线的距离等于半径列等式,求出相应的参数,即可得出所求切线的方程;(2)先由PM PO =求得点P 的轨迹方程为2410x y +-=,由此可得出当PO 与直线2410x y +-=垂直时,PM 最短,求出直线PO 的方程,求出该直线与直线2410x y +-=的交点,即为所求的点P .(1)①设圆C 的切线在x 轴、y 轴上的截距均为0,则切线过原点,设所求切线方程为y kx =,即0kx y .则圆心到切线的距离为2d ==,解得:0k =或43-. 此时,所求切线的方程为0y =或43y x =-; ②若截距均不为0,设所求切线方程为x y a +=,则圆心到切线的距离为2d ==,解得3a =±此时,所求切线方程为3x y +=+3x y +=-综上所述,所求切线方程为0y =或43y x =-或3x y +=+3x y +=-; (2)由题意可知,PM CM ⊥,则()()2222222124241PM PC CM x y x y x y =-=-+--=+--+, 由PM PO =得2222241x y x y x y +--+=+,化简得2410x y +-=. 所以,点P 的轨迹方程为2410x y +-=, 要使PM 最小,即PO 最小,过O 作直线2410x y +-=的垂线,垂线方程为2y x =,联立24102x y y x +-=⎧⎨=⎩,解得11015x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因此,所求的点P 的坐标为11,105⎛⎫ ⎪⎝⎭.本题考查圆的切线方程的求法,同时也考查了动点轨迹方程的求解,考查计算能力,属于中等题.。

山西省朔州市怀仁一中2019-2020年高二上学期第二次月考数学(文)试卷及答案

2019—2020学年第一学期高二年级第二次月考数学文科试题一、选择题（每小题5分，共60分）1不等式360x y +-<表示的区域在直线360x y +-=的（）A.右上方B.左上方C.右下方D.左下方2 在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )． A ．135° B ．105° C ．45° D ．75°3 若向量=（1,2），=（3,4），则=( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2) 4 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．14 5 不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．(－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2]6 若不等式组 ⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围( )． A ．[5,7)B ．[7，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)7 若x ＞0，则x ＋4x的最小值为( )．A ．2B ．3C ．2 2D ．48 经过两点A＝( )． A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．29 已知下列四个条件①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b 成立的有( )． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10 过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )． A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝011 已知直线l 的倾斜角α满足条件sin α＋cos α＝15，则l 的斜率为( )A.43B. －43 C ． 34 D ．－3412 已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围 ( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)二填空题（每题5分，共20分）13若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．14 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是15 若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点共线，则m 的值为________．16 在y 轴上的截距是—6，倾斜角的正弦值是54的直线方程是__________________.三、解答题（本大题共6道题，共70分）17 （10分）已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；高二文数月考二第 2 页共3页(2)设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，求数列{b n}的通项公式．18 （12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin A－sin B)＋y sin B＝c sin C上．(1)求角C的值；(2)若(a－3)2＋(b－3)2＝0，求△ABC的面积．19（12分）设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．20 （12分）已知不等式ax2－3x＋b>4的解集为{x|x<1或x>b}，(1)求a，b；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.21 （12分）已知f(x)＝a x2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．22 （12分）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由．高二文数月考二第3页共3页高二文科数学月考二答案选做题（1—12） DCACB , ADBCA, BD 填空题（每小题5分）13 －1 14 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2. 15. 12. 16 . 634-±=x y17 解 (1)证明因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2) b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.18解(1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由 (a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.19解1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.[4分] ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. 综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.[6分] (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0， ∴a ≤－1.[10分] 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[12分]20 解：解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋b >4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅. 综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式的解集为∅.21解方法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f (1)，4a －c ＝f (2)，解得⎩⎨⎧a ＝13[f (2)－f (1)]，c ＝－43f (1)＋13f (2).所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋83f (2)．因为－4≤f (1)≤－1，所以53≤－53f (1)≤203，因为－1≤f (2)≤5，所以－83≤83f (2)≤403.两式相加，得－1≤f (3)≤20，故f (3)的取值范围是[－1,20]．方法二：待定系数法 22 解存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )，△ AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.。

山西省朔州市怀仁一中2020学年高二数学上学期第二次月考试题文

山西省朔州市怀仁一中2020学年高二数学上学期第二次月考试题文一、选择题（每小题5分，共60分）1不等式360x y +-<表示的区域在直线360x y +-=的（）A.右上方B.左上方C.右下方D.左下方2 在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )．A ．135°B ．105°C ．45°D ．75°3 若向量=（1,2），=（3,4），则=( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2)4 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．145 不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．(－1,2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2]6 若不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围( )．A ．[5,7)B ．[7，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)7 若x ＞0，则x ＋4x 的最小值为( )．A ．2B ．3C ．2 2D ．48 经过两点A (4,2＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )．A ．－9 已知下列四个条件①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b 成立的有()． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10 过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )．A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝011 已知直线l 的倾斜角α满足条件sin α＋cos α＝15，则l 的斜率为( ) 高二文数月考二第 1 页共3页A.43B. －43 C ． 34 D ．－3412 已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)二填空题（每题5分，共20分）13若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．14 若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是15 若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点共线，则m 的值为________． 16 在y 轴上的截距是—6，倾斜角的正弦值是54的直线方程是__________________.三、解答题（本大题共6道题，共70分）17 （10分）已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．18 （12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若 (a －3)2＋(b －3)2＝0，求△ABC 的面积．19（12分）设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0 (a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．20 （12分）已知不等式ax 2－3x ＋b >4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0. 高二文数月考二第 2 页共3页21 （12分）已知f(x)＝a x2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．22 （12分）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由．高二文数月考二第3页共3页高二文科数学月考二答案选做题（1—12） DCACB , ADBCA, BD填空题（每小题5分）13 －1 14 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2. 15. 12. 16 . 634-±=x y 17 解 (1)证明因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2. (2) b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.18解(1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3. (2)由 (a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3，所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934. 19解1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.[4分] ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0. 综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.[6分](2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＝0，a －2≤0， ∴a ≤－1.[10分]综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[12分]20 解：解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋b >4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅. 综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式的解集为∅. 21解方法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝f 1，4a －c ＝f 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13[f 2－f 1]，c ＝－43f 1＋13f 2.所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋83f (2)．因为－4≤f (1)≤－1，所以53≤－53f (1)≤203，因为－1≤f (2)≤5，所以－83≤83f (2)≤403. 两式相加，得－1≤f (3)≤20，故f (3)的取值范围是[－1,20]．方法二：待定系数法22 解存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， △ AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.。

山西省朔州市怀仁县大地学校2020-2021学年高二下学期第二次月考理科数学试题

山西省朔州市怀仁县大地学校2020-2021学年高二下学期第二次月考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}240M x x =-≥，{}N x x a =<，若MN =R ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．(),2-∞-C ．[)2,+∞D ．()2,+∞ 2．复数20192i i-的共轭复数为（） A ．1255i + B ．1255i - C ．1255i -+ D ．1255i -- 3．对两个变量y 和x 进行回归分析，则下列说法中不正确的是（）A ．由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本点的中心x y （，）. B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.C ．用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 的值越小，说明模型的拟合效果越好.D ．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.4．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（）A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.155．已知点(1,P ，则它的极坐标是（）A ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 6．经过极点倾斜角为α的直线的极坐标方程是（）A ．θα=B ．θαπ=+C ．θα=或θαπ=+D ．2πθα=+7．曲线C 的方程为22231x y +=，曲线C 经过伸缩变换'2'3x x y y =⎧⎨=⎩，得到新曲线的方程为( )A ．228271x y +=B ．2218121x y +=C ．22123x y += D ．22149x y += 8．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（） A ．10 B ．24 C ．32 D ．569．在某校运动会的开幕式中，学校对已经入选的5男、3女共8名国旗护卫队队员进行队形安排，要求2位男队员走在国旗后方，左、右两边各3名队员负责护旗，且同侧的必须男女队员都有，则队员的安排方案的种数为（）A ．6400B ．6480C ．12960D ．136000 10．若()2019200119201x a a x a x a x +=++⋯++，则01910a a a a ++⋯++的值为（） A ．192 B ．191020122C - C ．191020122C + D ．1910202C + 11．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）附表：则下列选项正确的是（）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响12．已知,a b 为实数，随机变量X ，Y 的分布列如下：若()(1)E Y P Y ==-，随机变量ξ满足XY ξ=，其中随机变量X ，Y 相互独立，则()E ξ取值范围的是（）A ．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,118⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题 13．设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，如果()10.8413P X ≤=，则()10P X -<<= ________.14．如图，用5种不同的颜色给图中A ，B ，C ，D 四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有__________种.15．若1223211333385n n n n n n n C C C C ---+++++=，则n 的值为．16．具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如下表所示：若y 与x 的回归直线3ˆ32y x =-，则m 的值是_______.三、解答题 17．某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气AQI 数值的影响，进而唤醒全市人民的环保节能意识.对该市取暖季烧煤天数x 与空气AQI 数值不合格的天数y 进行统计分析，得出表数据：（1）以统计数据为依据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测该市烧煤取暖的天数为20时空气AQI 数值不合格的天数.参考公式：1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-.18．共享单车的投放，方便了市民短途出行，被誉为中国“新四大发明”之一.某市为研究单车用户与年龄的相关程度，随机调查了100位成人市民，统计数据如下：（1）求出列联表中字母x 、y 、m 、n 的值；（2）①从此样本中，对单车用户按年龄采取分层抽样的方法抽出5人进行深入调研，其中不小于40岁的人应抽多少人？②从独立性检验角度分析，能否有90%以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关.下面临界值表供参考：19．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.20．已知函数()x f x xe =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[]21x ∈-，时，()f x a ≤恒成立，求a 的取值范围. 21．如图所示，ABCD 是边长24AB cm =，9AD cm =的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，M 、N 是AB 上被切去的小正方形的两个顶点，设()AM x cm =.（1）将长方体盒子体积3()V cm 表示成x 的函数关系式，并求其定义域；（2）当x 为何值时，此长方体盒子体积3()V cm 最大？并求出最大体积.22．（1）已知a ，b 都是正数，并且a b ，求证：552332a b a b a b +>+；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y =>，求证：12x y +<与12y x+<中至少有一个成立.参考答案1．C【分析】先求出集合M ，再利用MN =R ，即可得出结果. 【详解】由{}240M x x =-≥，得(][),22,M =-∞-+∞，又M N =R ，所以2a ≥.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用集合的并集运算求解参数的问题.属于较易题.2．A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简整理，再利用共轭复数的概念，求解即可.【详解】由()()()2019322122225i i i i i i i i i -+-+===---+，则复数20192i i-的共轭复数为1255i +. 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念，属于较易题.3．C【分析】回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.线性回归方程一定过样本中心点.在一组样本数据中，残差平方和越小，2R 的值越大，拟合的效果越好.对选项逐一分析，即得答案.【详解】A 项，由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心()x y ，，正确； B 项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；C 项，用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 的值越大，拟合的效果越好，故C 错误；D 项，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，正确. 故选：C .【点睛】本题考查回归分析，属于基础题.4．B【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a=，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案．【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====，即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7y x a =+，即79ˆ0.722a =⨯+，解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+，当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ．【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．C【分析】由tan y xρθ==计算即可．【详解】在相应的极坐标系下2ρ==，由于点P 位于第四象限，且极角满足tan y xθ==3πθ=-. 故选C.本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题．6．C【分析】根据极坐标系的概念即可得到.【详解】因为直线经过极点且倾斜角为α，所以直线的极坐标方程为θα=或θαπ=+故选：C【点睛】本题考查了极坐标方程的概念，属于容易题.7．C【分析】由伸缩变换'2'3x x y y =⎧⎨=⎩得'2'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入原方程求解即可. 【详解】解:由'2'3x x y y =⎧⎨=⎩，得'2'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22231x y +=，可得22''123x y +=，即曲线C 经过伸缩变换'2'3x x y y=⎧⎨=⎩，得到新曲线的方程为22123x y +=, 故选:C.【点睛】本题考查了曲线的伸缩变换，重点考查了运算能力，属基础题.8．D先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案.【详解】 ∵444111(12)1(12)(12)x x x x x ⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭， ∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=，41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=，故2x 的系数为243256+=.故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.9．C【分析】先求出国旗后方的2名男队员的安排方案种数，再求出剩下6名队员的安排方案种数，最后由分步乘法计数原理即可得结果．【详解】第一步，走在国旗后方的2名男队员共有25A 种安排方法，第二步，剩余的3男、3女共6名队员任意排列的排列数为66A ，3名男生在一侧，3名女生在另一侧的排列数为33332A A ⨯，∴剩下的6名队员中，同侧男女队员都有的排列数为6336332A A A -⨯，故由分步乘法计数原理知，队员的安排方案的种数为()26335633212960A A A A -⨯=．故选：C.【点睛】本题主要考查排列组合的知识，考查的数学核心素养是逻辑推理，解题关键是掌握分步乘法计数原理，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 10．C 【分析】计算20nn a C =，根据对称性得到答案.【详解】()201x +展开式的通项为：120r r r T C x +=，故20nn a C =，()2019200119201x a a x a x a x +=++⋯++，根据对称性知：10200110191020019102020202021 (2222)C a a a a C C C C ++⋯++=+++=+=+. 故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11．A 【解析】分析：根据列联表中数据利用公式求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论. 详解：根据卡方公式求得()223081281020101218K -==⨯⨯⨯，27.89710.828K <<，∴该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断. 12．B 【分析】由()(1)E Y P Y ==-及1a b c ++=，可知13b a =-，2c a =；又因为0,,1a b c ≤≤，可求出103a ≤≤；由题意知1()6E a ξ=-，从而可求出()E ξ取值范围.【详解】解：由()(1)E Y P Y ==-知，a c a -+= ，即2c a = ，又1a b c ++= ，所以13b a =-；因为0,,1a b c ≤≤ ，所以0131021a a ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，解得103a ≤≤.又()1110366E X =-++=- ，且X ，Y 相互独立，XY ξ=，所以()()()11(),0618E E XY E X E Y a ξ⎡⎤===-∈-⎢⎥⎣⎦. 故选:B. 【点睛】本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出a 的取值范围. 13．0.3413 【分析】根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于0x =对称，得到一对对称区间的概率之间的关系，即可求得结果【详解】随机变量X 服从正态分布()01N ，∴曲线关于直线0x =对称()10.8413P X ≤=()()1010.50.3413P X P X ∴-<<=≤-=故答案为0.3413 【点睛】本题主要考查的知识点是正态分布，解题的关键是正态分布和正态分布的曲线关于0x =对称，属于基础题． 14．180 【分析】根据题意可知，不相邻区域可以同色，则可以分类讨论区域A 和区域D 同色与不同色，结合排列公式进行求解即可. 【详解】能够涂相同颜色的只有A，D.若A，D同色，则只需要选择3种颜色即可，此时有35=60A种；若A，D不同色，则只需要选择4种颜色即可，此时有45=120A种.共有60120180+=种.故答案为：180.【点睛】本题主要考查涂色问题，分类加法计数原理，排列数的计算，考查了计算能力，属于中档题. 15．4【分析】由题意可得1+3∁n1+32∁n2+33∁n3+…+3n﹣1∁n n﹣1+3n＝3×85+1，再利用二项式定理解方程求得n 的值．【详解】解：由题意可得3[∁n1+3∁n2+32∁n3+…+3n﹣2∁n n﹣1+3n﹣1 ]＝3×85，∴1+3∁n1+32∁n2+33∁n3+…+3n﹣1∁n n﹣1+3n＝3×85+1，即（1+3）n＝3×85+1＝256，∴n＝4，故答案为4．【点睛】本题考查组合数公式，二项式定理，得到即（1+3）n＝3×85+1，是解题的关键，属于基础题．16．4【解析】试题分析：由已知32x=，84my+=，由回归方程的性质得8333422m+=⨯-，解得4m=．考点：回归直线方程．17．（1）2y x=-；（2）18.【分析】（1）计算出x、y的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出b、a的值，可得出回归直线方程；（2）利用回归直线方程，通过20x ，代入可预测该市烧煤取暖的天数为20天时空气AQI 不合格的天数. 【详解】（1）由表格中的数据可得98754 6.65x ++++==，765324.65y ++++==，519786755342169i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5222222198754235ii x==++++=∑，12225151695 6.6 4.612355 6.6i ii i i x y nx yb x nx==∴--⨯⨯===-⨯-∑∑， 4.6 6.62a y bx =-=-=-，所以，回归直线方程为2y x =-；（2）根据（1）中所求的回归直线方程，当20x时，20218y =-=，预测该市烧煤取暖的天数为20天时空气AQI 数值不合格的天数为18天. 【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归直线方程对数据进行预测，考查计算能力，属于基础题.18．（1）30m =，50n =，38x =，18y =（2）①2人，②不能【分析】（1）由图表运算即可得解；（2）①由分层抽样，按比例即可得解，②先利用()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++，求出k ，再结合临界值表即可判断. 【详解】解：（1）由图表可得：1007030m =-=，100503218y =--=，1005050n =-=，703238x =-=，即30m =，50n =，38x =，18y =，（2）①因为单车用户为30人，不小于40岁的为12人，共抽5人，故不小于40岁的应抽125230⨯=人； ②()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++()21001232381850503070⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.714 2.706≈<，故不能有90%以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关. 【点睛】本题考查了分层抽样方法，重点考查了独立性检验，属基础题. 19．（1）827（2）19（3）148()81E ξ= 【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(i ＝0,1,2,3,4)，则（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故，．所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列．20．（1）单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞；（2）[),e +∞．【分析】（1）求出定义域和导数，由()'0f x <，求出单调递减区间，由()'0f x >，求出单调递增区间；（2）根据题意得出[]21x ∈-，时，()f x a ≤恒成立等价于()max f x a 恒成立，转化为利用导数求出()f x 的最大值即可．【详解】（1）函数的定义域为(),-∞+∞ ，()()1x x xf x e xe e x '=+=+，若()0f x '<，解得1x <-；若()0f x '>，解得1x >-；()f x ∴的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞；（2）当[]21x ∈-，时，()f x a ≤恒成立等价于()max f x a 恒成立，由（1）知()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞可知：[]21x ∈--，，()f x 单调递减，[]11x ∈-，，()f x 单调递增，()1min f x e ∴=-，()222f e -=-，()1f e =，∴当[]21x ∈-，时，()max f x e =，即a e ，a ∴的取值范围是[),e +∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式恒成立问题．属于基础题.21．（1）32466216V x x x =-+，90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）当2x =时长方体盒子体积()3V cm 最大，此时最大体积为3200cm . 【分析】（1）分别由题意用x 表示长方体的长宽高，代入长方体的体积公式即可表示该函数关系，再由实际长方体的长宽高都应大于零构建不等式组，即可求得定义域. （2）利用导数分析体积在定义域范围内的单调性，进而求函数的最大值. 【详解】长方体盒子长(242)EF x cm =-，宽(92)FG x cm =-，高EE xcm '=. （1）长方体盒子体积(242)(92)V x x x =--，32466216V x x x =-+由02420920x x x >⎧⎪->⎨⎪->⎩得902x <<，故定义域为90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知长方体盒子体积32466216V x x x =-+则()()2121322161229V x x x x '=-+=--，在90,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内令0V '>，解得(0,2)x ∈，故体积V 在该区间单调递增；令0V '<，解得92,2x ⎛∈⎫⎪⎝⎭，故体积V 在该区间单调递减； ∴V 在2x =取得极大值也是最大值.此时323426622162200V cm =⨯-⨯+⨯=. 故当2x =时长方体盒子体积()3V cm 最大，此时最大体积为3200cm .【点睛】本题考查实际生活中的最优解问题，涉及数学建模与利用导数求函数的最大值，属于简单题. 22．（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）利用综合法，将两式做差，化简整理，即可证明（2）利用反证法，先假设原命题不成立，再推理证明，得出矛盾，即得原命题成立．【详解】（1）()()552332a ba ba b +-+ ()()532523a a b b a b =-+-()()322322a a b b b a =-+-()()2233a b a b =-- ()()()222a b a b a ab b =+-++因为a ，b 都是正数，所以0a b +>，220a ab b ++> 又a b ≠，所以()20a b ->，所以()()()2220a b a b a ab b +-++>，所以()()5523320a ba ba b +-+>，即552332a b a b a b +>+.（2）假设12x y +<和12y x +<都不成立，即12x y +≥和12yx+≥同时成立. 0x >且0y >，12x y ∴+≥，12y x +≥.两式相加得222x y x y ++≥+，即2x y +≤. 此与已知条件2x y =>相矛盾，12x y +∴<和12yx+<中至少有一个成立. 【点睛】本题主要考查综合法和反证法证明，其中用反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，得出矛盾，即假设不成立，原命题成立，进而得证．。

山西省朔州市怀仁一中2019_2020学年高二数学上学期第二次月考试题文

填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。
若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。
4
不能提前交卷离场
按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。
(1) 若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程；
(2) 若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
20 （ 12 分）已知不等式 ax2－ 3x＋ b>4 的解集为 { x| x<1 或 x>b} ， (1) 求 a， b；
六大注意
1
考生需自己粘贴答题卡的条形码
考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。
2
拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等
拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。
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注意保持答题卡的平整
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山西省朔州市怀仁一中 2019-2020 学年高二数学上学期第二次月考试
题文

山西省朔州市怀仁县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试题

山西省朔州市怀仁县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个三视图完全相同的是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．①④ 2．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是（）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱 3．点()sin ,cos θθ与圆2212x y +=的位置关系是（） A ．在圆上 B ．在圆内 C ．在圆外 D ．不能确定 4．半径为R 的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A B C R D R 5．已知点()1,3A ，()2,1B --，若直线():21l y k x =-+与线段AB 没有交点，则k 的取值范围是（）A ．12k >B ．12k <C ．12k >或2k <- D ．122k ->< 6．已知直线()()12:3453,:258l m x y m l x m y ++=-++=平行，则实数m 的值为（）A ．7-B ．1-C ．1-或7-D ．1337．过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为（）A．2 B．2 C．2 D8．若圆22C :120x y +---=上有四个不同的点到直线:0l x y c -+=的距离为2，则c 的取值范围是（）A ．[]22-，B．⎡-⎣ C ．()22-， D．(- 9．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )AB1 C．6-D．410．已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为A．B．C．D．11．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（0a >）的公共弦长为a 为（）A ．1B ．2 CD．12．已知实数x ，y 满足约束条件38408400,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则91a b +的最小值为（） A ．4312 B ．4912 C ．2512 D ．8512二、填空题13．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''= ，则原ABC 的面积为______.14．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是()5,6，()3,4-，则这个圆的方程是____________.15．若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 16．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的两个实数根，且12(0,1),(1,2)x x ∈∈，则21b a --的取值范围是_________三、解答题 17．分别求满足下列条件的直线方程.（1）过点()2,1A -且与直线31y x =-垂直；（2）倾斜角为60°且在y 轴上的截距为3-.18．若,x y 满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求：（1）2z x y =+的最小值；（2）22z x y =+的范围；（3）y x z x+=的最大值. 19．已知圆22:240C x y x y m +--+=.（1）求m 的取值范围.（2）当4m =时，若圆C 与直线40x ay +-=交于M ，N 两点，且CM CN ⊥，求a 的值.20．已知直线l 的方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈.（1）求证：直线l 恒过定点；（2）当m 变化时，求点()3,1P 到直线l 的距离的最大值；21．已知圆22:4630C x y x y ++--=，过点()1,3N 作直线与圆C 交于A 、B 两点，求ABC 的最大面积及此时直线AB 的斜率.22．在平面直角坐标系xoy 中，设圆2240x y x +-=的圆心为M .（1）求过点()0,4P -且与圆M 相切的直线的方程；（2）若过点()0,4P -且斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点,A B ，设直线OA OB 、的斜率分别为12,k k ，问12+k k 是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.参考答案1．B【分析】试题分析：对于①，正方体的三视图形状都相同，均为正方形，故错误；对于②，主视图和左视图均为等腰三角形，不同于俯视图圆形，故正确；对于③，如图所示的正三棱柱的三视图各不相同，故错误；对于④，正四棱锥的主视图和左视图均为等腰三角形，不同于俯视图正方形（含对角线），故正确．综上所述，有且仅有两个视图完全相同的是②④，故选B ．考点：简单空间图形的三视图．2．C【分析】根据棱台、圆台、棱柱、棱锥的几何结构特征判断即可.【详解】图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台；图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中的几何体是棱锥；图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱.故选：C.【点睛】本题主要考查了棱台、圆台、棱柱、棱锥的判断，属于基础题.3．C【分析】直接利用点与圆心的距离与半径的大小关系判断.【详解】因为221sin cos =1>2θθ+，所以点()sin ,cos θθ在圆外，故选：C【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，属于基础题.4．C【解析】易知圆锥底面半径为22R R r ππ==，所以高为2h R ==，故选C ． 5．C【分析】由已知条件画出图像并求出直线l 与线段AB 相交的条件，进而即可求出答案.【详解】如图所示：由已知可得31212PA k -==--，111222PB k --==--，由此可知直线l 若与线段AB 没有交点，则斜率k 满足的条件为12k >或2k <-. 故选：C【点睛】本题考查了直线与线段的位置关系，熟练掌握直线的斜率与直线的位置之间的关系是解决问题的关键，考查了数形结合的思想，属于基础题.6．A【分析】对x ，y 的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x +y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x ﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m ≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=34m +-x+534m -，y=25x m -++85m+， ∵两条直线平行，∴3245m m +-=-+，534m -≠85m +，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故选：A ．【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．7．C【分析】根据当直线上的点与圆心的连线与该直线垂直时，切线长最小求解.【详解】圆22670x y x +-+=的标准方程为()2232x y -+=，若切线长的最小，则直线y x =上的点P 与圆心的连线与该直线垂直，圆心到直线的距离为：d ===，故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及切线长的最值问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.8．D【解析】依题意，圆的圆心为，半径为4，要使圆上有4个不同的点到直线的距离为2，则需圆心到直线的距离小于2，即2d =<，解得c -<<9．D【分析】求出圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得||||PM PN +的最小值，得到答案．【详解】如图所示，圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标3(2,)A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标为(3,4),，半径为3，由图象可知，当,,P M N 三点共线时，||||PM PN +取得最小值，且||||PM PN +的最小值为圆3C 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径之和，即23144AC --==，故选D ．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．10．B【解析】试题分析：将圆的方程22680x y x y +--=化为标准方程得()()222345x y -+-=，过点(35)，的最长弦为直径，所以2510AC =⨯=；最短的弦为过点(35)，且垂直于该直径的弦，所以BD ==AC BD ⊥，四边形ABCD 面积111022S AC BD =⋅=⨯⨯=，故选B ．考点：1、圆的标准方程；2、对角线垂直的四边形面积．11．A【详解】圆224x y +=的圆心为(0,0)，半径r =2.圆22260x y ay ++-=的圆心为(0, −a ),半径r ==两个圆的公共弦的方程为：()2222264x y x y ay +-++-=解得：1y a =∴有2214a ⎛=⎫- ⎪⎝⎭，又a >0，解得：a =1或−1(舍去)故选A点睛：相交的两圆的公共弦方程是两圆方程进行相减即可，求出两个圆的圆心和半径以及两个圆心的距离，利用两个圆的公共弦的方程和勾股定理即可求出a 的值12．B【分析】作出可行域，根据平移法即可得到最优解，从而得到,a b 的关系式，再根据“1”的代换，即可求出91a b+的最小值．【详解】作出可行域，如图所示：．由z ax by =+可得，a z y x b b =-+．由3840840x y x y --=⎧⎨-+=⎩解得，4,1x y ==．因为0,0a b >>，所以当直线a z y x b b=-+平移至经过点()4,1A 时，max 412z a b =+=，即1312a b +=．因此9191373374912431312212b a a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭⎝⎭，当且仅当23,412a b a b =+=，即1812,77a b ==时取等号．故选：B ．【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的求解，以及基本不等式中的“1”的代换应用，属于基础题．13【分析】根据直观图画出原图，再根据三角形面积公式计算可得.【详解】解：依题意得到直观图的原图如下：且1BO CO ==，222A O AO '='⨯==所以11222ABC S BC AO ∆=⋅=⨯=【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属于基础题．14．()()224126x y -+-=；【分析】先求出圆的圆心和半径，即得圆的方程.【详解】由题得圆心的坐标为5364(,)22+-，即(4,1).=所以圆的方程为()()224126x y -+-=.故答案为：()()224126x y -+-=【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.15．8【分析】由直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a=，即2,4a b ==时取等号，所以2a b +的最小值为8故答案为：8【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题16．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：利用二次方程根的分布，建立不等式关系，利用线性规划以及21b a --的几何意义求21b a --的取值范围． ∵12x x ，是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的两个实数根，∴设函数22f x x ax b =++（），∵120112x x ∈∈（，），（，）．∴()()()00{1020f f f ><>，即20{2102240b a b a b >++<++>，作出不等式组对应的平面区域如图：设21b z a -=-，则z 的几何意义是区域内的点P （a ，b ）到定点A （1，2）两点之间斜率的取值范围，由图象可知当P 位于点B （﹣3，1）时，直线AB 的斜率最小，此时121314AB k -==--，可知当P 位于点D （﹣1，0）时，直线AD 的斜率最大，此时02111AD k -==--， ∴114z <<，则21b a --的取值范围是1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭．考点：二次方程根的分布；线性规划；二次函数；目标函数的几何意义． 17．（1）()1123y x +=--；（2）3y =-. 【分析】（1）设所求直线的斜率为k ，根据两直线垂直，利用斜率乘积等于-1求解.（2）由斜率与倾斜角的关系得到斜率，再根据直线在y 轴上的截距为3-，写出直线的方程.【详解】（1）已知直线的斜率为3，设所求直线的斜率为k ，由题意，得31k =-，∴13k =-. 故所求的直线方程为()1123y x +=--. （2）由题意，所求的直线的斜率tan 60k =︒=又因为直线在y 轴上的截距为3-，所以直线的方程是3y =-. 【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及斜率与倾斜角的关系和两直线的位置关系，属于基础题. 18．（1）4；（2）9,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3.【解析】试题分析：作出约束条件1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的可行域，利用目标函数的几何意义：（1）平移直线可对直线的截距求解最值即可；（2）转化为可行域内的点与原点距离的平方，根据可行域内的点到原点的距离范围求解；（3）转化为可行域内的点与原点直线的斜率与1 的和求解即可.试题解析：作出满足已知条件的可行域为ABC ∆内（及边界）区域，其中()1,2A ，()2,1B ，()3,4C .（1）目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =.（2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离2d ==且垂足是33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，故22OD z OC ≤≤，即9,252z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ （3）目标函数1y z x =+，记y k x=. 则k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即max 2k =，即max max3y x z x +⎛⎫== ⎪⎝⎭. 19．（1）5m <；（2）1a =或177a =. 【分析】（1）根据圆的一般方程只需2240D E F +->即可求解.（2）由题意可得圆心到直线的距离2d r =，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）22441640D E F m +-=+->，∴5m <（2）∵4m =，∴()()22121x y -+-=，圆心():1,2C ，半径1r =∵CM CN ⊥，圆心到直线的距离d =，2= 化简：2724170a a -+=∴1a =或177a =. 【点睛】本题考查了圆的一般方程、直线与圆的位置关系求参数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.20．（1）证明见解析；（2）5.【分析】（1）将直线方程化为()()24230x y m x y +++-++=，则满足240230x y x y ++=⎧⎨-++=⎩即可求出定点；（2）可知点()3,1P 与定点()1,2--间的距离，就是所求点()3,1P 到直线l 的距离的最大值，求出即可.【详解】（1）证明：直线l 方程()()221340m x m y m -++++=可化为()()24230x y m x y +++-++=该方程对任意实数m 恒成立，所以240230x y x y ++=⎧⎨-++=⎩解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2-；（2）点()3,1P 与定点()1,2--间的距离，就是所求点()3,1P 到直线l 的距离的最大值，即5=.【点睛】本题考查直线的方程的理解，属于基础题.21．最大面积为8，此时直线AB 的斜率为±.【分析】当直线AB 的斜率不存在时，易得 ABC 的面积，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程30kx y k -+-=，求得圆心()2,3-到直线AB 的距离，线段AB 的长，代入ABC 的面积12S AB d =，再利用基本不等式求解. 【详解】当直线AB 的斜率不存在时，1x =，3y =±，ABC 的面积S =当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k -+-=，圆心()2,3-到直线AB的距离d =AB 的长度2216AB d =-，∴ABC 的面积()22161822d d S AB d +-===，当且仅当28d ==解得k =±所以，OAB 的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为±.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式,三角形面积最值问题以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）344y x =-或0x =，（2）-1 【分析】试题分析：()1设切线方程为4y kx =-，利用圆心到直线的距离等于半径求出k ，即可求过点()04P -，且与圆M 相切的直线的方程； ()2联立22440y kx x y x =-⎧⎨+-=⎩得()()22184160k x k x +-++=，利用韦达定理，即可求出结论．解析：（1）由题意知，圆心M 坐标为()20，，半径为2，当切线斜率存在时，设切线方程为：4y kx =-，所以，由d= 2=解得34k =，所以切线方程为344y x =-，0.x =当切线斜率不存在时，，满足已知（2）假设存在满足条件的实数k ，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立224{40y kx x y x =-+-=得()()22184160k x k x +-++=()()2216216410k k =+-+>，34k ∴>（或由（1）知34k >）则1212228416.11k x x x x k k++=⋅=++，于是()()12211212211212121244kx x kx x y y y x y x k k x x x x x x -+-++=+== ()121242x x k x x +=- ∴ ()128424116k k k k ++=-⋅=-定值点睛：在求圆的切线的情况时，要注意当斜率不存在的情况是否成立，要算斜率之和是定值就要先表示出斜率，这里设而不求，设出点坐标，用点坐标来表示斜率，然后再求定值．。

山西省朔州市怀仁某校2020学年高二数学上学期第二次月考试题文

山西省朔州市怀仁某校2020学年高二数学上学期第二次月考试题文一、单选题（每小题5分，共12小题）1．设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 2.下列命题中正确的是（） A.a b >，c d a c b d >⇒->- B.a ba b c c>⇒> C.ac bc a b <⇒<D.22ac bc a b >⇒>3．不等式3112x x-≥-的解集是（） A ．3{|2}4x x ≤≤ B ．3{|2}4x x ≤< C ．3{|2}4或x x x >≤ D ．3{|}4x x ≥ 4．若直线过点且与直线垂直,则的方程为( )A ．B ．C ．D ．5．已知直线，则它们的图象可能为（）A B C D6.关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为()1,2-，则关于x 的不等式220bx ax -->的解集为（） A.()2,1-B.()(),21,-∞-+∞UC.()(),12,-∞-+∞UD.()1,2-7.如果关于x 的不等式5x－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( ) A ．20≤a ＜25 B ．20＜a ＜25 C ．a ＜20 D ．a ＞258．当(1,2)x ∈时，不等式240xmx ++<恒成立，则m 的取值范围是( )A. 5m ≤-B.5-<mC. 5<mD. 5≥m 9．设正实数a ，b 满足1a b +=，则（） A.11a b+有最大值4 B.ab 有最小值12C.a b +有最大值2D.22a b +有最小值2210．已知正数，满足，则的最大值为（） A ．B ．C ．D ．11.已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 812.已知数列{}n a 满足1=n a ，21≥-+n n a a （+∈N n ），且{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A.12+≥n a n B.2n S n ≥ C.12-≥n n a D.12-≥n n S二、填空题（每小题5分，共4小题） 13. 设直线的倾斜角为，则的值为__________．14.直线xsin －y －2＝0（R ∈）的倾斜角θ的范围为__________. 15．已知x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________． 16．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________. 三、解答题（共6题）17．(10分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求实数a ，b 的值；(2)当c >2时，解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.18.(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.19.(12分)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点.(1)当|OA|=|OB|时，求l的方程(2)当|OA|＋|OB最小|时，求l的方程．20．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知()+=．C A A Bcos cos cos0（1）求角B的大小；（2）若a＋c＝1，求b的取值范围．21.(12分)某化工企业2020年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．22.(12分)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．文科数参考答案1--12:DDBAC BAACC BB 13.-3 14.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡,434,0ππ 15.2 16.251± 17.解析：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1，a >0，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. 当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }．18.解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0. 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6. 19.解析：(1)依题意，l 的斜率存在，且直线l 的斜率为k=-1，所以直线l 的方程为y －4＝-1(x －1) 即x ＋y －5＝0.(2)依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫1－4k，0；令x ＝0，可得B (0,4－k )．|OA |＋|OB |＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9.∴当且仅当－k ＝4－k 且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.20.【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B -++-=，即有sin sin 3sin cos 0A B A B -=．因为sin A ≠0，所以sin 3cos 0B B -=．又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=．（2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 21.解析：(1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋2＋4＋6＋…＋2xx，即y ＝x ＋100x＋1.5(x ∈N *)． (2)由基本不等式得：y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．22.解析：(1)由f (0)＝1，得c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，所求解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．。

2020-2021学年山西怀仁县一中高二上期开学考理数学试卷

【最新】山西怀仁县一中高二上期开学考理数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin160sin10cos 20cos10-的值是（）A． B ．12- C ．12D2．已知向量a ⃗=(1,0),b ⃗⃗=(0,1)，若(ka ⃗+b ⃗⃗)⊥(3a ⃗−b⃗⃗)，则实数k =（） A ．−3 B ．3 C ．−13 D ．133．已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的正切值为（）ABC ．D ．-4．实数,x y 满足不等式组0010210x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨--≤⎪⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（） A ．12- B ．0 C ．2 D ．4 5．已知1tan 3α=，则1cos 2sin 2αα+=（） A ．3 B ．13 C ．3- D ．13- 6．在ABC ∆中，30B∠=，AB =2AC =，则ABC ∆的面积是（） AB ．CD．7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于直线12x π=对称，则下列判断正确的是（） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 的图象关于点7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称D ．函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 8．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（）A ．5π3B ．43πC ．23πD ．3π 9．等比数列{}n a 中,对任意12,...21n n n N a a a *∈+++=-,则22212...n a a a +++=（）A ．()221n -B ．()2213n - C ．413n - D ．41n -10．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若1a =且2B A =，则b 的取值范围是（）A． B．( C．)2 D ．()0,2 11．设,x y 为实数,若2241x y xy ++=,则2x y +的最大值是（） AB．5 C ．85 D．512．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是( )A ．1B ．2C ．D ．二、填空题 13．ABC ∆中，角、、A B C 成等差数列，则2sin sin ac b A C=____________． 14．正项等比数列{}n a 中,6542a a a =+, 若存在两项,m n a a使得14a =,则14m n+的最小值是． 15．设α为锐角,若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为． 16．在四边形ABCD 中,()1,1AB DC ==,且3BABCBDBA BC BD +=,则四边形ABCD 的面积为________．三、解答题17．已知函数f(x)=2acos 2x 2+2√3asin x 2cos x 2−a +b ,且f(π3)=3,f(5π6)=1. （1）求a,b 的值；（2）求函数f(x)在[0,π2]上的值域.18．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为24880005x y x =-+,已知此生产线年产量最大为210吨.（1）求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本；（2）若毎吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+. （1）证明：数列{}n a 是等差数列,并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .20．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为12,满足S 3=15,a 1+2b 1=3,a 1+4b 1=6.（1）求数列{a n },{b n }通项a n ,b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .21．在ΔABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知bcosC +√3bsinC −a −c =0.（1）求B ；（2）若b =√3,求2a +c 的取值范围.22．已知数列{}n a 的前n 项和为()n S n N*∈,且满足21n n a S n +=+. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）求证：2122311111 (2223)n n n a a a a a a ++++<.参考答案1．A【解析】试题分析：()3sin160sin10cos 20cos10cos 2010-=-+=-. 考点：三角恒等变换.【易错点晴】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．2．D【解析】试题分析：(ka ⃗+b ⃗⃗)⋅(3a ⃗−b ⃗⃗)=(k,1)⋅(3,−1)=3k −1=0,k =13. 考点：向量运算.3．B【解析】试题分析：()2cos 42cos 5a a b a a b θθ⋅+=+=+=，1cos ,,tan 23πθθθ===考点：向量运算.4．D【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点()3,2取得最大值为4.考点：线性规划.5．A【解析】试题分析：21cos 22cos 13sin 22sin cos tan αααααα+===. 考点：三角恒等变换.6．C 【分析】先根据正弦定理求出角C ，从而求出角A ，再根据三角形的面积公式1sin 2S bc A =进行求解即可．【详解】解：由23c AB ==，2b AC ==，30B ∠=︒，根据正弦定理sin sin b c B C =得：123sin 32sin 2c B C b ===， C ∠为三角形的内角，60C ∴∠=︒或120︒，90A ∴∠=︒或30在ABC ∆中，由c =，2b =，90A ∠=︒或30则ABC ∆面积1sin 2S bc A == 故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．7．D【解析】由题函数f x sin x ωϕ=+（）（）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 2π ，∴函数f x （）的周期T π=，故A 错误； 02ωω∴=＞， ∴函数()f x 的图象关于直线12x π=对称 62k k Z ππϕπ∴+=+∈，，又2＜πϕ ，解得：3πϕ= ． ∴23f x sin x π=+（）（）． ∴由23x k k Z ππ+=∈，，解得对称中心为：026k k Z ππ-∈（，），，故B 错误；由232x k k Z ，πππ+=+∈ ，解得对称轴212k x k Z ππ=+∈，，故C 错误；由222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，，解得单调递增区间为：5[]1212k k k Z ππππ-+∈，，，故D 正确．故选D ．8．C【分析】首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值.【详解】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C.【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 9．C【解析】试题分析：111211n n n a a S q q q =-=-+--，故111,2,11a q a q=-==-，2222n n a -=是首项为1，公比为4的等比数列，故1441143n n n T --==-. 考点：数列.10．A【分析】先由正弦定理可得2cos b A =，再结合ABC 为锐角三角形可得64A ππ<<，代入求解即可.【详解】解：因为1a =且2B A =，由正弦定理sin sin a b A B=可得：sin sin 2a b A A =，则2cos b A =，又ABC 为锐角三角形，则0202222A A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，解得：64A ππ<<，即cos A ∈⎝⎭，即b ∈，故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题. 11．D【解析】试题分析：22145x y xy xy =++≥，()282135x y xy +=+≤，故25x y +≤. 考点：基本不等式.【思路点晴】在运用时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形.三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．12．C【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．考点：平面向量数量积的运算．13．43【解析】试题分析：由于角A B C 、、成等差数列，所以3B π=.由正弦定理得222sin sin 14sin sin sin sin sin sin 3ac A C b A C B A C B ===. 考点：解三角形，正余弦定理.14．32【解析】试题分析：220,2q q q --==，222211116,16,24,6n m m n a a a a q a m n m n +-⋅==+-=+=，所以()141141413596662n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：基本不等式.15．50【解析】试题分析：27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，24sin 2325πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故247sin 2sin 212342525250πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：三角恒等变换.【思路点晴】对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．16【解析】试题分析：因为AB =DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为113BA BC BD BA BC BD +=，所以平行四边形ABCD 为菱形，且120ABC ∠=，因此sin120 3.ABCD S ==考点：向量加法平行四边形法则17．（1）a =b =1；（2）2≤f(x)≤3【解析】试题分析：（1）使用二倍角公式化简，根据和列方程组可解出；（2）根据的范围求出（）的范围，再根据正弦函数的单调性求出的值域.试题解析：：（1）由题意可得，==又（2）由（1）可知，【考点】1.三角函数的恒等变换；2正弦函数的图象；18．（1）当()200x T =时每吨平均成本最低,且最低成本为32万元；（2）产量为210吨时,最大年利润1660万元.【解析】试题分析：（1）平均成本即y W x =，化简后用基本不等式求得最低成本；（2）设年利润为u（万元）,则28880005x u x =-+-，这是一个二次函数，利用配方法可求得最大值. 试题解析：（1）设每吨的平均成本为W （万元/T ）,则()80001400004848021055y x W x x x x x ⎛⎫==+-=+-<≤ ⎪⎝⎭,当()200x T =时每吨平均成本最低,且最低成本为32万元.（2）设年利润为u （万元）,则()2221404880008880002201680555x x u x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭, 所以当年产量为210吨时,最大年利润1660万元.考点：应用题.19．（1）证明见解析，()21n a n n N*=+∈；（2）()323n n n T =+ 【解析】试题分析：（1）利用公式11,1,1n n n a n a S S n -=⎧=⎨->⎩可求得()21n a n n N *=+∈为等差数列；（2）()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭利用裂项求和法求n T . 试题解析：（1）当1n =时,113a S == ；当2n ≥时,()()221212121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦. 当1n =时,也符合上式,故()21n a n n N *=+∈.因为12n n a a +-=,故数列{}n a 是以3为首项,2为公差的等差数列.（2）因为()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭,故()1111111111...2355721232323323n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=--= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 考点：裂项求和法.20．（1）a n =3n −1,b n =(12)n ；（2）T n =−(3n +5)(12)n +5 【解析】试题分析：（1）因为数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，故设首项和公差，公比，根据已知可建立方程组，进而求出首项和公差，公比，可得到数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）由（1）可得到数列{a n ·b n }的通项公式，数列{a n ·b n }是一个典型的等差数列与等比数列相乘，其前n 项和的求法就是错位相消的方法；试题解析：（1）设{a n }的公差为d ,所以：{3a 1+3d =15a 1+2b 1=3a 1+d +2b 1=6,解得：a 1=2,d =3,b 1=12,∴a n =3n −1,b n =(12)n . （2）由（1）知T n =2×12+5×(12)2+8×(12)3+...+(3n −4)·(12)n−1+(3n −1)×(12)n , ① ①×12得12T n =2×(12)2+5×(12)3+...+(3n −4)×(12)n +(3n −1)×(12)n+1, ②•-‚，得12T n=2×12+3×[(12)2+(12)3+...+(12)n ]−(3n −1)(12)n+1 =1+3×14[1−(12)n+1]1−12−(3n −1)·(12)n+1,∴T n =−(3n +5)(12)n +5.【考点】1、等差数列的性质；2.错位相消法求数列前n 项和.21．（1）B =π3；（2）(√3,2√7)【解析】试题分析：（1）利用正弦定理及三角之间的关系可求出B 的值；（2）由正弦定理及已知的条件可将2a +c 用的形式出来，进而可求出2a +c 的范围；试题解析：（1）由正弦定理知：sinBcosC +√3sinBsinC −sinA −sinC =0,∵sinA =sin(B +C)=sinAcosC +cosAsinC 代入上式得： √3sinBsinC −cosBsinC −sinC =0,∵sinC >0,∴√3sinB −cosB −1=0即sin(B −π6)=12,∵B ∈(0,π),∴B =π3.（2）由（1）得：2R =b sinB =2,2a +c =2R(2sinA +sinC)=5sinA +√3cosA =2√7sin(A +φ),其中,sinφ=√327cosφ=27∵A ∈(0,2π3),2√7sin(A +φ)∈(√3,2√7].【考点】1、三角函数的性质；2.正弦定理应用.22．（1）122n n a =-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用公式11,1,1n n n a n a S S n -=⎧=⎨->⎩可求得1112n n a a -=+，利用配凑法可求得122n na =-；（2）化简12111122121n n n n n a a +++=---，由此考虑用裂项求和法求不等式左边的和，为21113213n +-<-. 试题解析：（1）21n n a S n +=+,令1n =,得()()1111323,,21,211,2,2n n n n a a a S n a S n n n N *--==+=+∴+=-+≥∈,两式相减,得()()1111122,1,22,222n n n n n n a a a a a a n ----==+-=-≥,∴数列{}2n a -是首项为1122a -=-, 公比为12的等比数列,112,222n n n n a a ⎛⎫∴-=-∴=- ⎪⎝⎭. （2）()()11212121111211,2121221212121222n n n n n n n n nn n n n a a +++++++++===------- 223341212341111111111......222212*********n n n n n a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭21113213n +=-<- 考点：裂项求和法.【方法点晴】利用公式11,1,1n nn a n a S S n -=⎧=⎨->⎩是一个通解通法，在具体应用的过程中，可以考虑将n S 转化为n a ，也可以考虑反过来，将n a 转化为n S .在完成第一步后，要注意验证当1n =时是否成立.遇到形如1n n a pa q -=+的递推公式求通项的问题，可以采用配凑法，配凑成等比数列来求通项公式.最后一个考点就是裂项求和法.。

2019-2020学年山西省朔州市怀仁一中高二上学期第二次月考数学(理)试题 Word版

山西省朔州市怀仁一中2019—2020学年第一学期高二年级第二次月考数学试卷（理科）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0或±12．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝sin xC ．y ＝xD ．y ＝ln x 23．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(－2，12)B ．(12，＋∞)C ．(－2，23)∪(23，＋∞)D ．(－∞，12)4．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <4}，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为( )A ．{x |x >12}B ．{x |x <12}C ．{x |14<x <12}D ．{x |x >12或x <14}5．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，对一切自然数n ，都有1n n S nT n =+，则55a b 等于（） A ．34B ．56 C ．910D ．1011 6．若变量,xy 满足约束条件00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则3+2x y 的最大值是（）A ． 0B ． 2C ． 5D ． 67．已知坐标平面内三点()3,(6,2),(P M N ，-1直线过点P .若直线l 与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）高二理科数学月考二第1页共4页A ．5,46ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若直线l 过点(),P 1，2且(),(4,5)A B -2，3到l 的距离相等，则直线l 的方程是（） A ．4+60x y -= B ．+460x y -=C ．3+270460x y x y -=+-=或D ．2+370460x y x y -=+-=或 9．下列各函数中，最小值为4的是（） A. 4y x x =+B. 4sin (0)sin y x x xπ=+<< C. 34log log 3x y x =+ D. 4xxy e e-=+10、在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 211．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（） AB．2C ．1D ．212．已知二次函数22(0)y x x m m =-+≠交x 轴于,A B 两点(,A B 不重合)，交y 轴于C 点.圆M 过,,A B C 三点.下列说法正确的是（）①圆心M 在直线1x =上； ②m 的取值范围是(0,1)；③圆M 半径的最小值为1； ④存在定点N ，使得圆M 恒过点N . A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ①④二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．若x ，y 满足约束条件高二理科数学月考二第2页共4页⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为_____． 14、已知点A (－1,0)，过点A 可作圆x 2＋y 2－mx ＋1＝0的两条切线，则m 的取值范围是_______． 15．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是______．16.已知两条直线1y x =+, (1)y k x =-将圆221x y +=及其内部划分成三个部分, 则k 的取值范围是_______；三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题10分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，222sin sin sin sin sin B C A B C +-=.（1）求A ；（2）若4a =，ABC ∆的面积为b c +.18．（本小题12分）为了了解当下高二男生的身高状况,某地区对高二年级男生的身高(单位:cm )进行了抽样调查,得到的频率分布直方图如图所示.已知身高在(185,190]之间的男生人数比身高在(150,155]之间的人数少1人.(1)若身高在(160,175]以内的定义为身高正常,而该地区共有高二男生18000人,则该地区高二男生中身高正常的大约有多少人?(2)从所抽取的样本中身高在(150,155]和(185,190]的男生中随机再选出2人调查其平时体育锻炼习惯对身高的影响,则所选出的2人中至少有一人身高大于185cm 的概率是多少? 19. （本小题12分）已知数列的前项和为. （1）若为等差数列，且公差，，，求和；（2）若为等比数列，且，，求和公比．20．（本小题12分）已知直线)(021:R k k y kx l ∈=++-．若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB ∆的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． 21．（本小题12分）已知关于,x y 的方程:C x y x y m 22+-2-4+=0. （1）若方程C 表示圆,求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:l x y +2-4=0相交于,M N 两点，且求m 的值 22．（本小题12分）已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B . (1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．2019—2020学年第二学期高二年级第二次月考理科数学参考答案选择题：DDADC CACDB CD填空题：13：3 14：(2，＋∞) 15：(－∞，－8] 16：(,1][0,)-∞-+∞解答题：17：（1）因为222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，所以222b c a bc +-=，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为ABC ∆的面积为1sin 2bc A ==16bc =，因为222,4b c a bc a +-==，所以2232b c +=，所以8b c +==.18：（1）由频率分布直方图知，身高正常的频率为0.7，所以估计总体，即该地区所有高二年级男生中身高正常的频率为0.7，所以该地区高二男生中身高正常的大约有180000.712600⨯=人.（2）由所抽取样本中身高在(150,155]的频率为0.00650.03⨯=，可知身高在(185,190]的频率为0.00450.02⨯=，所以样本容量为11000.030.02=-，则样本中身高在(150,155]中的有3人，记为,,a b c ，身高在(185,190]中的有2人，记为,A B ，从这5人中再选2人，共有(,)a b ，(,)a c ，(,)a A ，(,)a B ，(,)b c ，(,)b A ，(,)b B ，(,)c A ，(,)c B ，(,)A B 10种不同的选法，而且每种选法都是互斥且等可能的，所以，所选2人中至少有一人身高大于185cm 的概率710P =. 19：由题意知，消得：解得，（2）由题意知，消得：，即解得或，将代入上述方程解得或者20．解：由l 的方程，得⎪⎭⎫⎝⎛+-0,21k k A ，()k B 21,0+．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得0>k . 因为k kk OB OA S 21.2121..21++==⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=41421)21(212k k k k ()442221=+⨯≥， “＝”成立的条件是0>k 且k k 14=，即21=k ，所以4min =S ，此时直线l 的方程为042=+-y x21解:（1）方程C 可化为()()x y m 22-1+-2=5-…2分显然m 5->0时，即＜5m 时方程C 表示圆. （2）圆的方程化为()()x y m 22-1+-2=5- 圆心C （1，2）6分则圆心C （1，2）到直线l:x+2y-4=08分高二理科数学月考二答案第2页共4页m=422：解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2，设P (a,2a )，则a 2＋a －2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125. (2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.。