小学奥数数形结合完整版
小学数学数形结合案例
小学数学数形结合案例
下面是一个小学数学数形结合的案例。
小明刚刚学习了平面图形的知识，他非常喜欢数学，于是他决定用数形结合的方式来解决一个实际问题。
小明家里有一个小花园，他想要在花园中心放置一个圆形的喷泉。
他测量了花园的宽度和长度，发现花园是一个矩形，并且宽度为4米，长度为6米。
他还了解到，喷泉的半径是1米。
小明在纸上画出了花园的平面图，并在图上画出了一个圆，表示喷泉的位置。
接下来，小明想要计算一下喷泉所占据的面积是多少。
他先计算了矩形的面积，矩形的面积等于宽度乘以长度，即4米乘以6米，得到了24平方米。
然后，小明计算了圆形的面积。
他知道圆形的面积等于半径的平方乘以π。
喷泉的半径是1米，所以圆形的面积等于1平方米乘以π，即π平方米。
最后，小明将矩形的面积减去圆形的面积，得到了花园中除了喷泉占据的面积。
即24平方米减去π平方米，得到了16.57平方米。
小明非常高兴地发现，花园中除了喷泉占据了16.57平方米的
面积，剩下的部分可以用来种植花草和放置长椅，增加了花园的美观和舒适度。
通过这个案例，小明巩固了数学中平面图形和面积的知识，并将其应用到实际问题中解决，锻炼了自己的数学思维能力。
同时，他还通过数形结合的方式，将抽象的数学概念与具体的实物联系起来，更加深入地理解了数学的意义和应用。
小学一年级奥数+数组合图形
10.9个小朋友玩“老鹰抓小鸡”的游戏，已 经抓住了5只“小鸡”，还有几只没抓住？
9-1-5=3（只）
按规律填数：
（1）1 、3、 5、（7）、（9） （2）2、12、22、32、（42） （3）0、1、3、6、（10） （4）1、13、2、14、3、（15） （5）2、4、6、（8）、（10 ）
4．有一本书，小华第一天看了2页，以后 每一天都比前一天多看2页，第4天看了多 少页？
2+2+2+2=8（页）
5．同学们排队做操，从前面数，小明排第4， 从后面数，小明排第5，这一队一共有多少人？
3+1+4=8（人）
6．有8个皮球，如果男生每人发一个，就多2个， 如果女生每人发一个，就少2个，男生有多少人， 女生有多少人？
小黄 小蓝 小红
退
小绿出
退 出
说说
柜子里有 哪些物品， 它们是怎 样放的？ 进入
退出
退出
进入2 进入1 退出
小华家在左边。
退 出
退出
是不是靠 右边走，应该 以走路的人为 准。他们遵守 交通规则，都 是靠右边走的。
退出
6
退 出
我家在6号楼后面，
从是左小数明第。一小栋明6，住楼在下东
东的楼上。
男生：8-2=6（人） 女生：8+2=10（人）
7．老师给9个三好生每人发一朵花，还多出 1朵红花，老师共有多少朵红花？
9+1=10（朵）
8.马戏团有1只老虎，3只猴子，黑熊和老虎 一样多，问马戏团有几只动物？
1+3+1=5（只）
9.一只猫吃掉一条鱼需要1分钟。照这样， 100只猫同时吃掉100条鱼需要几分钟？
三年级数形结合案例
三年级数形结合案例数形结合是指将数学知识与几何图形相结合，通过几何图形的形状、大小、位置等特征来解决数学问题。
三年级是学习数学和几何的关键阶段，以下是符合要求的一些数形结合案例：1. 小明家里有一块长方形的花坛，他想要在花坛的四周铺上一圈石子，用来美化花坛。
他测量了花坛的长和宽，发现长是5米，宽是3米。
他需要计算一下需要多少块石子才能够铺满整个花坛的四周。
2. 小红正在学习面积的概念，她拿着一个正方形的纸板，边长是4厘米。
她想要知道这个正方形的面积是多少，并用纸板上的方格来计算。
3. 小明和小红正在进行一个游戏，他们需要分别画一个正三角形和一个正方形，然后比较它们的面积。
小明画的正三角形的底边长是6厘米，高是4厘米；小红画的正方形的边长是5厘米。
他们需要计算一下谁画的图形面积更大。
4. 小明正在学习周长的概念，他拿着一个长方形的纸板，长是8厘米，宽是3厘米。
他需要计算一下这个长方形的周长是多少，并用纸板上的方格来计算。
5. 小红家里有一个圆形的花坛，她想要在花坛中间种一棵树，并围上一个圆形的栅栏，用来保护树苗。
她测量了花坛的直径，发现直径是10米。
她需要计算一下围栅栏需要多长的铁丝。
6. 小明正在学习体积的概念，他拿着一个正方体的木块，边长是4厘米。
他想要知道这个正方体的体积是多少，并通过拼装小木块的方式来计算。
7. 小红和小明正在进行一个游戏，他们需要分别画一个长方形和一个正三角形，然后比较它们的周长。
小红画的长方形的长是7厘米，宽是3厘米；小明画的正三角形的底边长是5厘米，高是4厘米。
他们需要计算一下谁画的图形周长更大。
8. 小明正在学习体积的概念，他拿着一个长方体的木块，长是6厘米，宽是3厘米，高是2厘米。
他想要知道这个长方体的体积是多少，并通过拼装小木块的方式来计算。
9. 小红正在学习面积的概念，她拿着一个长方形的纸板，长是7厘米，宽是4厘米。
她想要知道这个长方形的面积是多少，并用纸板上的方格来计算。
数形结合(含解析)
数形结合Ⅰ、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．Ⅱ、典型例题剖析【例1】某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？（3）果你是推销员，应如何选择付费方案？解：（1）y1=20x，y2=10x+300．（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的.【例2】某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图3－3－2，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析．解：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7对月份每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．【例3】某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3l司所示的条形统计图：⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；⑵请根据条形统计图中的数据补全如图3－3－3所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点？⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
小学奥数数形结合解题汇总
第一讲数形结合解题兴趣篇：1、数形结合的思想。
2、用长方形的面积来解决应用题。
3、用面积来证明初中的公式。
4、用柳卡图来解答行程问题。
长方形是一种几何图形，其面积公式为：长×宽＝面积.在许多应用问题中，也有类似的特点，即两个量相乘等于第三个量.如：单价×件数＝总价，速度×时间＝路程等.如果我们用长方形的长表示一个量，用长方形的宽表示另一个量，那么面积则表示这两个量的积.这样一来，抽象的数量关系在长方形图中变得具体、形象，对于我们分析和解决问题会带来很多方便.1、用小学知识证明。
a2− b2 =(a+b)( a−b) (a+b)( c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b) 2 = a2 + b2 +2ab (a+b)c=ac+bc (a+b+c) 2 = a2 + b2 +c2 +2ab+2ac+2bc1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n212＋22＋32＋42＋……＋n2 = n(n＋1)(2n＋1)÷62、 46×64=3、有三组数：A组为0.6 0.9 1.5 B组为3.2 4.3 2.5（1）从每一组数中选一个数，再相乘会得到多少个积。
（2）求所有的积的和是多少。
（用小学知识说明）4、全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人，如果增加一条船，每条船正好坐6人.问全班有多少人？5、小旭有10分和20分邮票共18张，面值2.80元。
两种邮票各多少张？6、一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3分钟，发现这样走下去将迟到3分钟，于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果提前3分钟.这个学生家到学校有多远？7、甲自行车每小时行15千米，乙自行车每小时行12千米。
乙先行1.5小时，问几小时后甲可追上乙？8、一正方形的一边减少五分之一，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形的面积相等。
原正方形的边长是多少米？竞赛篇（柳卡图）1、什么是柳卡图？柳卡图解决什么问题？2、有一路电车自甲站开往乙站，每5分钟发一趟，全程要15分钟．有一人从乙站骑自行车沿电车路线去甲站，出发时恰有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到10辆迎面开来的电车才到甲站，到站时恰好有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站共用了多少分钟？3、甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米每小时，乙车的速度是35千米每小时，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点叫相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么，A，B两地之间的距离等于多少千米？4、（2009年迎春杯复赛高年级组）A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处，甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航。
四年级奥数下册第二讲 数形结合
四年级第二讲数形结合姓名：
1、以AC为对称轴，画出三角形ABC的另一半，使三角形ABD是等腰三角形。
2、一个三角形的三条边的长度分别是2厘米，8厘米，8厘米，这个三角形按角分类是哪种三角形？
3、下图中分别有多少个锐角三角形、直角三角形、钝角三角？
4、下列各图形的对称轴各有多少条？
5、图中共有多少个等边三角形？
6、画出三角形ABC的另一半，使得三角形ABC是以AB为腰的等腰三角形，共有几种不同的画法？
7、一个等腰三角形对折后形成的三角形的度数分别是20°、70°、90°，这个等腰三角形的三个角分别是多少度？
8、下图两条直线上都有3个点，合适地选择其中3个点，就能组成一个三角形，图中共可以画出多少个三角形？
9、下图三条直线上分别有3个、3个、2个点，合适地选择其中3个点，就能组成一
个三角形，图中共可以画出多少个三角形？
10、如图，三角形的面积是多少？（单位：厘米）
8
11、一个等腰直角三角形的腰长3厘米，将两个这样的直角三角形拼成一个大的等腰直角三角形，大三角形的面积是多少平方厘米？。
小学奥数精华15讲第一讲数形结合
18 5 4 3 12
17 16 15 14 13
【答案】10101 【解析】显然，拐角总是发生在一个长方形或正方形结束后，例如：
第 3 个拐角 32π 4π 28π 87.92 ；
第
4
个拐角
π
π
22 32
4
3
3
1；
第 5 个拐角 1 62 10 120 ； 3
第 6 个拐角120 ( 52 ) 4.8 ；
3a b 5 0
a 3
而它们的和是 0，故只能 b c 9 0 ，解此方程组，得 b 4 ，故 a b c 12 .
a c 8 0
c 5
\3/
（3） x 1 x 5 的几何意义是数轴上 x 这个点到 1 这个点的距离，加上 x 这个点到 5 这个点的距 离的和. 显然当1 x 5 时，这个距离和最小，为 5 1 4 .
．
（2）若 3a b 5 b c 9 a c 8 0 ，则 a b c
．
（3）请问：式子 x 1 x 5 的最小值是多少？x 取什么样的数时，这个式子能达到最小值？
【答案】（1）3 （2）12 （3）4，1 x 5 【解析】（1）由题意可知 a 1， b 2 ，故 a b 3 . （2）题目叙述“绝对值”的直观几何意义是数轴上线段两端的“距离”，可见绝对值大于等于 0，等号 成立的条件是绝对值内的数（或式子）等于 0. 由于 3a b 5 、 b c 9 、 a c 8 都大于等于 0，
（3）根据左表，第一行的数和为1 2 3 4 ； 根据右表，左上角的1 13
第二行的数和为： 1 2 3 4
； 2 4 2 (1 2 1) 2
3
第三行的和为： 1 2 3 4
六年级奥数-四大数学思想————(数形结合在应用、行程问题中的应用)
一、等差数列与小方格
二、等比数列与大方格 111111?2481632
+++++=
三、重要公式与正方形
1．22()()a b a b a b -=+-
2．
3．
四大数学思想———
（数形结合在应用、行程问题中的应用）
四、神奇三角与平方和
2222123?n ++++= (21)(12)1(21)(1)36
n n n n n +⨯++
+=++
199298397991?⨯+⨯+⨯++⨯=
【巩固】(★★☆)
12+23+34+45++99100=⨯⨯⨯⨯⨯？ 板块二：数形结合与应用专题
一、矩形图与应用专题
某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分。
那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？
二、柳卡图与行程专题
用1、2、3、4、5(可重复不必全用)可以组成多少个任意相邻两位数字差2的五位数？
甲、乙两人都从A 地去往B 地，甲先出发1小时后乙再出发。
结果乙比甲提前1小时到达B 地，问乙在什么时候追上甲？
如图，已知4AB AE ==cm ，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒ ，10AC =cm ，则 S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=________cm 2。
(★★☆) (★★☆) (★★☆)
(★★★☆) (★★★★★) (2008年迎春杯高年级组决赛)。
二年级奥数第十讲 数形结合 - 教案(1)
第十讲 数形结合 姓名：
12、根据下图的规律，“ ？
？
3、根据下图的规律，“ ？ ”处应选哪个图？
？
4、仔细观察方格里图形的排列规律，再在“ ？ ”处画上合适的图形。
5、按规律填图，在“ ？ ”处应填下面一行中四个图中的哪一个？（选序号）
6、按规律填数。
导入：数“3”的游戏，数到含“3”的3的倍数时，请拍手，2位获胜者，进行抽奖
陈铭数学工作室
7、根据图形的排列规律，在“ ？ ”处画合适的图形。
8、在“”里的数。
10 7
1 13 16 28 26
7 13 20 15
30 48
9、请把1-9这个9个数字填入方格内，使横竖斜三线都相等。
（不可重复填） 10、一辆公共汽车上有54名乘客，从起点站开出，到达第一站时，有8人下车，2人上车；到第二站时，有9人下车，3人上车；到第三站时，有5人下车，3人上车。
你知道这个时候车上还有多少乘客吗？。
小学奥数 数形结合
专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ [略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出1.5小时后追上客车.【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ [略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】第一期第一部分基础达标1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？第二部分强化训练4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
小学奥数精华15讲第一讲数形结合
3a b 5 0
a 3
而它们的和是 0，故只能 b c 9 0 ，解此方程组，得 b 4 ，故 a b c 12 .
a c 8 0
c 5
\3/
（3） x 1 x 5 的几何意义是数轴上 x 这个点到 1 这个点的距离，加上 x 这个点到 5 这个点的距 离的和. 显然当1 x 5 时，这个距离和最小，为 5 1 4 .
6. 定义符号“ a ”，称作 a 的绝对值．绝对值的几何意义是：如下图所示， a 表示数 a 的点到原点 （下图中的 0）的距离；距离不能小于 0．
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
如：3 到原点距离是 3，所以 3 的绝对值是 3；同样 3 的绝对值也是 3；
（1）若 a 1 、 b 2 ，且 b a 0 ，则 a b
7. 计算：12 22 32 42 20052 20062 20072 . 【答案】2015028 【解析】原式 20072 20062 52 42 32 22 12 (2007 2006) (2007 2006) (2005 2004) (2005 2004)
（3）根据左表，第一行的数和为1 2 3 4 ； 根据右表，左上角的1 13
第二行的数和为： 1 2 3 4
； 2 4 2 (1 2 1) 2
3
第三行的和为： 1 2 3 4
； 3 6 9 6 3 (1 2 3 2 1) 3
3
第四行的数和为： 1 2 3 4
5. 平方数也称“正方形数”，若 n 为平方数，则可将 n 个点排成一个正方形. 例如16 42 就是一个正 方形数，如下图所示. （1）若研究如下正方形的转折线，可得： 42 ( ) ( ) ( ) ( ) ；
二年级奥数.几何.数形结合
形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．最初的数和最简的图相对应． 1 和·(点)2 和(线：两点连成一条直线)3 和(平面：三点确定一个平面)4 和(立体：不在同一平面上的四个点构成一个四面体)这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．【例1】我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图)．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗?【例2】古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如他把l ，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．请写出第100个三角形数。
知识框架数形结合例题精讲【例3】三角形数的奇偶性是很有规律的，1，3，6，10，15，2l，28，36，…奇、奇、偶、偶、奇、奇、偶、偶……想一想，这是为什么?【例4】毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第25个四角形数是多少？【例5】第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为你还能试着找到一个这样的例子吗?【例6】类似地，还有四面体数见下图．第七个四面体数是多少？【例7】五面体数，见下图．第五个五面体数是多少？的公式．由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．方法l ：先算空心点，再算实心点：(22)(221)⨯+⨯+．方法2：把点图看作一个整体来算33⨯．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：2222133⨯+⨯+=⨯用上述同样的方法推导一下接下去的两个图【随练1】请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第，n 个五(六)角形数拆成以1为首页、有n 项的等差数列之和的形式．课堂检测从中体会数与形之间的微妙关系．如：方法l：先算空心点，再算实心点，得：2(21)2(21)⨯+÷++方法2：把点图看成一个整体来算，得：3(31)2⨯+÷因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：2(21)2(21)3(31)2⨯+÷++=⨯+÷请你照此继续做下去．【随练3】模仿，用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进而猜想出一个重要的公式．家庭作业【作业1】第25个三角形数是几?【作业2】第50个三角形数是几?【作业3】第1000个三角形数是几??【作业4】观察下列图形，你能发现什么【作业5】第99个与第100个三角形数的和等于多少?【作业6】每一个四角形数(或叫正方形数)(除1外)都能拆成两个三角形数吗?比如，100是哪两个三角形数的和?【作业7】写出前10个四面体数．【作业8】写出前10个五面体数．。
挑战奥数数形结合法
挑战奥数：数形结合法【例1】专业人员对某市区家庭装修的污染情况进行了调查，调查结果如下图。
其中，轻度污染的比重度污染的多40户，质量优良的有多少户？分析：扇形统计图中没有给出具体户数，也没有直接给出40户所对应的百分比。
可以将统计图中的百分比和已知数量在直观的统计图中的百分比和已知数量在直观的线段图上表示出来，形成数与形的对应，从而找到解题思路。
统计图中的数量可用下面的线段图表示：40户所对应的百分比是25%－12.5%，用部分量除以它所对应的百分比，可求出总量，进而求出质量优良的户数。
解：40÷(25%－12.5%)＝320(户)320×62.5%＝200(户)答：质量优良的有200户。
心得体会：数形结合法就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，把复杂问题简单化，抽象问题具体化的思维策略。
变式练习1：下面是六年级同学喜欢吃的水果统计图。
(1)将扇形统计图补充完整。
(2)喜欢吃苹果的同学和喜欢吃梨的同学一共有160人，喜欢吃西瓜的同学有多少人？解：(1)1－25%－15%－28%＝32%(2)160÷(25%＋15%)＝400(人)400×28%＝112(人)答：喜欢吃西瓜的同学有112人。
变式练习2：下面是凤凰小学五年级同学“体育达标测试”结果统计图。
已知达标人数比未达标人数多342人，得优秀的有多少人？解：达标同学的百分比：35%＋45%＋15%＝95%未达同学的百分比：1－95%＝5%年级总人数：342÷(95%－5%)＝380(人)优秀人数：380×35%＝133(人)答：得优秀的有133人。
数学数学素养统计学是一门古老的科学，一般认为其理学研究始于古希腊的亚里士多德时代，迄今已有两素养千三百多年的历史了。
挑战奥数：数形结合法变式练习1．(1)(解析：用单位“1”减去西瓜、梨和苹果的分率就可以求出桃的分率)1－25%－15%－28%＝32% (2)(解析：先用喜欢吃苹果和梨的同学160人去除以对应的分率和(25%＋15%)可以求出总人数，再用总人数乘喜欢吃西瓜同学的分率28%)160÷(25%＋15%)＝400(人)400×28%＝112(人) 2.(解析：达标人数包括合格、良好和优秀的人数，先求出达标同学率35%＋45%＋15%＝95%和未达标人数的分率1－95%＝5%，再用达标人数比未达标人数多的342人除以达标人数与未达标人数的分率差95%－5%可求到总人数，最后用总人数乘优秀的分率35%可以求出优秀人数)达标同学的百分比：35%＋45%＋15%＝95%未达同学的百分比：1－95%＝5%年级总人数：342÷(95%－5%)＝380(人)优秀人数：380×35%＝133(人)。
(完整版)小学奥数数形结合
r b e i n g a r e g o o d f o r s o 专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？[略解]解：设小巧有张邮票，那么小胖有3张邮票.x x ,,.2083=+x x 2084=x 52=x 答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数.【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？[略解]e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o df o r s o解：设轿车开出小时后追上客车.x ，，x x 108903.090=+⨯x 1827=5.1=x 答：轿车开出1.5小时后追上客车.【技巧贴士】这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系.【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？[略解]解：设分钟后两人还相距324米.x ，150********=++x x 8=x 答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为.32415007572-=+x x【巩固练习】第一期第一部分基础达标1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？第二部分强化训练4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
小学奥数 数形结合
专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ [略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出1.5小时后追上客车.【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ [略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】第一期第一部分基础达标1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？第二部分强化训练4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
小学六年级数学竞赛讲座 第1讲 数形结合
第一讲 数形结合模块一、基础性公式： 例1．（1）根据下图计算公式：1+2+3+……+n = .解：图一和图二中每一行的数字对应相加都是n +1，一共有n 行，所以2×(1+2+3+……+n )=n (n +1)，得到1+2+3+……+n =(1)2n n +。
（2）根据下图计算公式：1+3+5+……+(2n −1)= .解：2×[1+3+5+……+(2n −1)]=n ×(1+2n −1)=2n 2，1+3+5+……+(2n −1)=n 2。
（3）总结等差数列的求和公式：a 1+a 2+a 3+……+a n = . 解：a 1+a 2+a 3+……+a n =1()2n n a a +；例2．（1）根据下图计算公式：1+2+3+……+(n −1)+n +(n −1)+……+3+2+1= 。
解：共有n 行n 列，所以1+2+3+……+(n −1)+n +(n −1)+……+3+2+1=n 2.（2）计算3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3= .解：3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3=1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1−(1+2+2+1) =92−6=75.模块二、平方和数列：例3．如下图，有三张相同的三角形表格，每张表均有1个1，2个2，3个3，n−1个n−1，n个n，显然每张表上的数的总和是12+22+32+……+(n−1)2+n2，请回答一下问题：（1）每张表上有多少个数？；（2）三张表相同位置上三个数的和都是；（3）三张表上数的总和是；（4）综上可得：12+22+32+……+n2= .解：（1）(1)2n n+；（2）2n+1；（3）(1)2n n+×(2n+1)；（4）所以12+22+32+……+n2=(1)(21)6n n n++。
例4．计算：（1）112+122+132+……+502= ；（2）12+32+52+……+192= ；解：（1）112+122+132+......+502=(12+22+32+......+502)− (12+22+32+ (102)=505110110112166⨯⨯⨯⨯-=42925−385=42540.（2）12+32+52+......+192=(12+22+32+......+192)−(22+42+62+ (182)=19203991019466⨯⨯⨯⨯-⨯=2470−1140=1330.例5．计算：1×99+2×97+3×95+……+49×3+50×1= 。
小学数学奥数练习题-数形结合通用版
数形结合我们已经学习了长方形的周长和面积计算公式，有了这个学习的基础，我们可以引出其它一些问题。
要能正确解决这些问题，必须结合图形，找出规律。
1、有一个长方形，如果它的宽减少2米，或它的长减少3米那么它的面积都减少24平方米，求原来这个长方形的面积？2、街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？35分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（见图），面积比原来正方形减少了181平方分米，原来正方形的边长是多少分米？854、从长100厘米，宽60厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少？还剩下多少面积？5、用篱笆围城一个长方形的养鸡场地，一边利用20米长的墙壁，篱笆共长40米，求养鸡场的面积？6、用篱笆围城一个长方形的养鸡场地，一边利用20米长的墙壁，篱笆共长30米，求养鸡场的面积最大是多少？7、用三种方法计算下图的面积。
40 50208、用一个正方形水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一条宽8米的观赏带。
观赏带的面积是480平方米，求水池的边长？9，正方形的边长是4米，两个正方形重叠的交叉点是正方形边长的中点，求这个花园的周长和面积？10、把下图分成四块形状相同、大小相同的图形。
11、请把下面两个图中的某一个分成三块，使它们能拼成一个正方形。
20401007012、大小两个正方形部分重合（如下图），两块没有重合的部分面积差是多少？4613、把四个周长都是12厘米的正方形，拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少厘米？14、下面正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四顶点三分正方形边长，求长方形的面积是多少？15、一个长方形长增加8米，面积增加72平方米；宽减少4米，面积就减少48平方米，这个长方形原来面积是多少？16、如下图，正方形被分成了四个长方形，每个小长方形的周长都是60厘米，这个正方形的周长是多少厘米？17、三个相同的正方形拼成下面一个图形，能否分成8个形状相同，面积相等的图形。
小学奥数数形结合 (1)
专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？[略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数.【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？[略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出小时后追上客车.【技巧贴士】这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系.【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？[略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】 第一期第一部分 基础达标1. 商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵元，是平装集邮册价格的倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？2. 一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？3. 上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A 休息了小时，结果巴士车小时后与A 车在途中相遇.已知B 车平均每小时行驶92千米，A 车平均每小时行多少千米？ 第二部分 强化训练4. 动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？5. 一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？6. 甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？7. 暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？8. 甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
小学数学奥数练习题-数形结合通用版
数形结合我们已经学习了长方形的周长和面积计算公式，有了这个学习的基础，我们可以引出其它一些问题。
要能正确解决这些问题，必须结合图形，找出规律。
1、有一个长方形，如果它的宽减少2米，或它的长减少3米那么它的面积都减少24平方米，求原来这个长方形的面积？2、街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？35分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（见图），面积比原来正方形减少了181平方分米，原来正方形的边长是多少分米？854、从长100厘米，宽60厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少？还剩下多少面积？5、用篱笆围城一个长方形的养鸡场地，一边利用20米长的墙壁，篱笆共长40米，求养鸡场的面积？6、用篱笆围城一个长方形的养鸡场地，一边利用20米长的墙壁，篱笆共长30米，求养鸡场的面积最大是多少？7、用三种方法计算下图的面积。
40 50208、用一个正方形水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一条宽8米的观赏带。
观赏带的面积是480平方米，求水池的边长？9，正方形的边长是4米，两个正方形重叠的交叉点是正方形边长的中点，求这个花园的周长和面积？10、把下图分成四块形状相同、大小相同的图形。
11、请把下面两个图中的某一个分成三块，使它们能拼成一个正方形。
20401007012、大小两个正方形部分重合（如下图），两块没有重合的部分面积差是多少？4613、把四个周长都是12厘米的正方形，拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少厘米？14、下面正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四顶点三分正方形边长，求长方形的面积是多少？15、一个长方形长增加8米，面积增加72平方米；宽减少4米，面积就减少48平方米，这个长方形原来面积是多少？16、如下图，正方形被分成了四个长方形，每个小长方形的周长都是60厘米，这个正方形的周长是多少厘米？17、三个相同的正方形拼成下面一个图形，能否分成8个形状相同，面积相等的图形。
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小学奥数数形结合 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】专题二 数形结合【方法简介】数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？[略解]解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.2083=+x x ,2084=x ,52=x .答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ [略解]解：设轿车开出小x 时后追上客车.x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x答：轿车开出小时后追上客车.【技巧贴士】这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ [略解]解：设x 分钟后两人还相距324米.150********=++x x ，8=x 答：设8分钟后两人还相距324米.【技巧贴士】本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .【巩固练习】 第一期 第一部分 基础达标1. 商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵元，是平装集邮册价格的倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？ 2.3. 一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？ 4. 上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A 休息了小时，结果巴士车小时后与A 车在途中相遇.已知B 车平均每小时行驶92千米，A 车平均每小时行多少千米？ 5.第二部分 强化训练6. 动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里的狮子和老虎各有多少只？ 7. 一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，那么正好分完.一共有多少小朋友这盒巧克力有多少颗8.9.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？10.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院11.12.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？13.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？14.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？【典型应用2】几何应用应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。
有些平面图形从表面上看，根本不是长方形或正方形，但我们可以运用所学的知识将其转化为标准的长方形和正方形，再进行解答.遇到立体图形时，我们应该从图形的不同角度看问题，注意长宽高的变化.【题1】如图，把一张长19厘米，宽13厘米的长方形白纸折成右图形壮，EC=厘米，求阴影部分的面积．[略解] 解：（+13）×13÷2-（）×19÷2=×13÷×19÷2=（平方厘米）.答：阴影部分的面积是49平方厘米．【技巧贴士】求组合图形面积一般用割补法，弄清楚阴影部分是哪些图形的和或差.在这道题中，阴影部分的面积=梯形的面积-折过来的部分的面积，又因梯形的上底、下底和高分别为厘米、13厘米和19厘米，折过来的部分的两条直角边分别为=厘米、19厘米，从而利用梯形和三角形的面积公式即可求解．【题2】有个零件形状如图，这个零件的体积是多少立方厘米？如果1立方厘米铁的重量为克，用铁制成的这种零件有多少重？[略解]解：（1）零件的体积：6×3×2+（9-6）×3×6=36+54=90（立方厘米）答：这个零件的体积是90立方厘米．（2）90×=702（克） 答：用铁制成的这种零件重702克．【技巧贴士】此题主要考查长方体的体积的计算方法在实际生活中的应用，关键是先将零件变成规则的图形再求其体积．这个零件由2个长方体组成，它们的长、宽、高分别为：6厘米、3厘米、2厘米；（9-6）厘米、3厘米、6厘米，利用长方体的体积V=abh 即可求出这个零件的体积；再用这个零件的体积乘单位体积的铁的重量，就是这个零件的总重量．【巩固练习】 第二期 第一部分 基础达标1. 如图，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB 的面积比三角形DEF 的面积大30平方厘米，求DE 的长．2. 一块平行四边形的草地中有一条长米、宽1米的小路.这块草地的面积是多少平方米？ 3.4. 图中表示的小正方体的表面积为54平方米，则如图中用8个这样的小正方体组成的正方体的表面积是______平方米．5. 一个长方形玻璃缸，从里面量长50厘米，宽30厘米，水深12厘米，把一个机器零件浸没在水中，这时水面高度15厘米，求零件的体积． 第二部分 强化训练6. 如图的长方形中有三个三角形，它们面积间的关系是（ ） A. 321S S S =+ B. 31S S = C. 32S S = D. 123S S S -=7. 把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体截成两个小长方体，表面积最多增加（ ）.A. 20平方厘米B. 30平方厘米C. 40平方厘米D. 60平方厘米8. 一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱．用三根铁丝捆起来（如图），打结处要用1分米铁丝．这根铁丝总长至少为多少分米？9. 将15个棱长为1的正方体堆放在桌面上（如图），喷上红色后再将它们分开．涂上红色的部分，面积是多少平方厘米？10. 如图，AD=DE=EC ，F 是BC 中点，G 是FC 中点，如果三角形ABC 的面积是24平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米？11. 一张长方形纸板，长24厘米，宽16厘米．现在在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒．当剪去的正方形边长为多少厘米时（取整厘米数），这个纸盒的容积最大（纸板的厚度忽略不计）．这时纸盒的容积是多少立方厘米？ 【典型应用3】统计与可能性应用3：统计初步分为四个步骤：数据收集、数据整理、数据呈现和数据分析.做统计题目就是要懂得去看图分析，总结统计图所给的信息，通常情况下，我们用条形统计图表示各类数量的多少，用折线统计图表示数量增减变化的情况，平均数是最常用的统计量,不但可以反映一组数据的总体情况，也可以用来分析不同数量的几组同类数据.【题1】五年级全体学生参加活动，上周到图书馆借书情况如条形统计图. （1）第_____天借书大于或等于70本？（2）这周平均每天借书多少本（按5天计算，计算结果用四舍五入法凑整到个位）[略解] 通过观察统计图，可知：（1）第二天借书等于70本；第三天（77本）和第五天（90本）借书大于70本；（2）用这一周总共借书的本数除以5即得这一周平均每天借书的本数．【技巧贴士】此题先读出统计图中已知的条件，再根据求平均数的方法求出这一周平均每天借书的本数.【题2】小红到离家6千米的一个风景区游玩，请根据如图的折线图回答：（1）小红在风景区玩了多长时间（2）如果一直走不休息，她几时几分可到达风景区（3）小红骑车回家时每小时行多少千米[略解] 解：（1）因为9点到10点分平均分2个时间段，每段30分钟．所以小红在风景区玩了30分钟．（2）因为8点到9点之间分成了3段，60÷3=20（分钟），中间休息了20分钟，如果不休息，8点40分就可以到达.（3）因为9点到10点平均分2个时间段，60÷2=30（分钟），所以小红回家用了30分钟=21小时．6÷21=12（千米）；答：小红骑车回家时每小时行12千米．【技巧贴士】本题考查折现统计图，看学生能不能运用统计图提供的信息解决实际问题.【巩固练习】 第三期 第一部分 基础达标1.根据统计图信息完成下列问题(1) 上面统计图表示小巧本学期4次数学测验成绩增减变化的情况，它是_______统计图．(2) 小巧第3次数学测验成绩是_______分．(3) 小巧第5次数学测验成绩得_______分，才能使这5次数学测验的平均成绩是91分．2.新华书店第一、第二季度各类图书销售情况如下表，请根据此表完成下面的统计图．童话漫画科普趣味数学第一季度45本95本70本75本第二季度30本90本85本85本(1) 新华书店第一、第二季度各类图书销售情况统计图(2)如果书店想进一些新书，你有什么好推荐？3.小芳统计了全班同学的体重，并将数据记录在下表中．4.5.从这个班中任选一个同学，他的体重在28～30kg之间的可能性是多少？6.7.下面记录的是五（3）班第1组女生的一次跳远成绩．（单位：m）8.9.10.（1）这组数据的中位数，平均数各是多少11.（2）用哪个数代表这个组数据的一般水平更合适12.（3）如果以上为及格，有多少名同学及格了，超过半数了吗？13.第二部分强化训练5.教练陪小明练习100米蛙泳，他们两人游泳的距离和时间的关系如下图，请看图回答问题．（1）小明比教练先游______秒．（2）小明游到______米时，速度明显慢了下来．（3）两人都到达终点时，教练游的时间是小明的() ().6.小丁和小华进行800米赛跑的时间与路程关系如下图．（1）______赢得了比赛的胜利．（2）小华的平均速度是每分钟_______米．（结果保留整数）（3）跑完500米，小丁用了_______分钟，小华用了______分钟7.林科院技术员为了比较两棵不同树木的生长情况，每2年测量一次树的高度，情年数高度/米品种2 4 6 8 10 12 14 16 18甲树 2 4 7 10 10 10乙树 3 5 6 7 8 8 8 8述一下这两种树的生长情况．（3）当两种树的生长速度几乎为0时，乙树的高度是甲树的几分之几（4）生长到第几年两树的高度一样月份\台数/太\种类7月8月9月10月11月12月空调450 750 550 350 250 600冰箱300 500 350 300 250 200（1）根据上表中的数据制成折线统计图（如图1）．（2）平均每月销售空调多少台（3）如果每台冰箱获利100元，那么这个电器城2011年下半年冰箱销售中共获利多少万元（4）下面是某啤酒厂2009～2012年啤酒产量情况统计图如图2．请根据统计图完成下面的统计表．年份2009年2010年2011年2012年合计计划产量实际产量学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和在将来要学的解不等式问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数几何问题化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参数、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.解题中，主要有三种类型：以数化形、以形化数和数形结合.解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似或相同于已学过的基本公式或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解的目标去解决问题。