数学必修5导学案：3-2 第2课时一元二次不等式的应用

第2课时一元二次不等式的应用知能目标解读1.能利用一元二次不等式解简单的分式不等式与高次不等式.2.利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.3.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.4.解决相关实际应用问题.重点难点点拨重点：1.解简单的分式不等式与高次不等式.2.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.难点：利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.学习方法指导解不等式的关键问题就是保证转化的等价性.（1）分式不等式一般先移项通分，然后利用()()x gxf>0(或<0)型转化为f(x)·g(x)>0（或<0），再求解.对于()()x gxf≥0（或≤0），一定不能忽视去掉g(x)=0的情况.（2）含绝对值号的不等式，可分段去掉绝对值号讨论，也可采用两边平方法，应根据题目条件的特点选取方法.（3）高次不等式一般分解因式后用标根法求解，但要注意x的高次项系数为正.（4）不等式恒成立求字母取值范围问题：在给定区间上不等式恒成立，一般地，有下面常用结论：①f(x)<a恒成立，⇔f(x) max<a;②f(x)>a恒成立，⇔f(x) min>a.（5）关于二次方程根的分布主要有以下几种常见问题（a≠0条件下）:①方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号.②方程ax2+bx+c=0有两正根⇔方程ax2+bx+c=0有一正一负两实根⇔③方程ax2+bx+c=0有零根⇔c=0.④方程ax2+bx+c=0有两个大于n的根（解法类似于有两正根）方程ax2+bx+c=0有两个小于k的根（解法类似于有两负根情形）方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k（解法类似于一正一负根的情形）.则需⑤方程ax2+bx+c=0两根都在（m、n）内.则需⑥方程ax2+bx+c=0一根在（m、n）内，另一根在（n、p）内.则需方程ax2+bx+c=0一根在（m,n）内，另一根在（p，q）内.则需思路方法技巧命题方向分式不等式的解法［例1］ 不等式2731422+-+-x x x x <1. ［分析］ 解分式不等式一般首先要化为()()xg x f >0（或<0）的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用"穿针引线法"，借助于数轴得解.［解析］ 解法一：原不等式可化为27313222+-+-x x x x >0⇔ (2x 2-3x +1)(3x 2-7x +2)>0⇔解得原不等式的解集为｛x |x <31或21<x <1，或x >2｝. 解法二：原不等式移项，并因式分解得()()()()213112----x x x x >0⇔ (2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0, 在数轴上标出(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)＝0的根，并画出示意图，如图所示.可得原不等式的解集为｛x |x <31或21<x <1，或x >2｝. ［说明］ 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再进行求解.变式应用1 解不等式：112-+x x ≤1.［解析］ 原不等式⇔112-+x x -1≤0⇔12-+x x ≤0⇔故原不等式的解集为｛x |-2≤x <1｝.命题方向 高次不等式的解法［例2］ 解下列不等式:（1）(x+1)(1-x)(x-2)>0;(2)x3-2x2+3<0;(3)x(x-1) 2(x+1) 3(x+2)≥0.［分析］通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积的问题，然后再依据相关性质解答.［解析］（1）原不等式等价于(x-1)(x-2)(x+1)<0,令y=(x-1)(x-2)(x+1),当y=0时，各因式的根分别为1，2，-1，如图所示可得不等式的解集为｛x|x<-1或1<x<2｝.（2）原不等式可化为（x+1）(x2-3x+3)<0,而对任意实数x，恒有x2-3x+3>0(∵Δ=（-3）2-12<0).∴原不等式等价于x+1<0,∴原不等式的解集为｛x|x<-1｝.(3)∵方程x(x-1) 2(x+1) 3(x+2)=0的根依次为0，1，-1，-2，其中1为双重根，-1为三重根，（即1为偶次根，-1为奇次根），如图所示，由"穿针引线法"可得∴不等式的解集为｛x|-2≤x≤-1，或x≥0｝.［说明］解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，"遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过"，如上图.变式应用2解不等式(x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)>0.［解析］令(x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)=0，得各因式的根分别为-2,1,3,4.将各因式的根从小到大依次标在数轴上，如图∴原不等式的解集是{x|-2<x<1或1<x<3或x>4}.命题方向不等式恒成立问题［例3］函数f(x)=mx2-mx-6+m.(1)若对于m∈［-2,2］，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x∈［1，3］，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.［分析］在（1）中，由已知m的取值范围，要求x的取值范围，因此需要把f(x)转化为m的函数，即以m 为主元，把x 视为参数，在（2）中则恰好相反.［解析］ （1）设f (x )=m (x 2-x +1)-6=g (m ),则g (m )是关于m 的一次函数，且一次项系数为x 2-x +1.∵x 2-x +1=(x -21)2+43>0， ∴g (m )在［-2，2］上递增，∴g (m )<0等价于g (2)=2（x 2-x +1）-6<0，即-1<x <2，∴所求的x 的取值范围为-1<x <2.（2）∵f (x )=m (x -21)2+43m -6<0在x ∈［1，3］上恒成立，解(Ⅰ)得0<m <76. 解(Ⅱ)得m =0.解(Ⅲ)得m <0.综上可得m 的范围是m <76. ［说明］ 在给定区间上，不等式恒成立，常有如下结论：a >f (x )恒成立⇔a >f (x ) maxa <f (x )恒成立⇔a <f (x ) min .变式应用3当x ∈(1,2)时，不等式x 2+mx +4>0恒成立，求m 的取值范围.［解析］ 设f (x )=x 2+mx +4,∵当x ∈(1,2)时，不等式x 2+mx +4>0恒成立，等价于f (x ) min >0恒成立.(1)当2m ≤1,即m ≥-2时，f (x )在区间（1，2）上单调递增， ∴f (x ) min =f (1)=m +5≥0,∴m ≥-5,即m ≥-2.(2)当1<-2m <2,即-4<m <-2时， f (x ) min =f （-2m )=-42m +4>0, 解得-4<m <4,即-4<m <-2.(3)当-2m ≥2,即m ≤4时，f (x )在区间（1，2）上单调递减， ∴f (x ) min =f (2)=2m +8≥0,∴m ≥-4,即m =-4.综上所述,m 的取值范围为m ≥-4.命题方向 实际应用问题［例4］ 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x （0<x <1），则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝（出厂价-投入成本）×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？［分析］ 首先根据题意建立y 与x 的函数关系式，然后解不等式.［解析］ (1)由题意得y =［1.2×（1+0.75x ）-1×（1+x ）］×1000（1+0.6x ）(0<x <1), 整理得y =-60x 2+20x +200(0<x <1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有解得0<x <31. 即投入成本增加的比例应在（0，31）的范围内. ［说明］ 应用问题中需把实际问题转换成数学语言，其中建模是关键，把题中的不等关系用不等式表示，通过不等式的解法解决范围问题.变式应用4(2012·如皋高二检测)国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实际征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元（叫做税率R ％），则每年的销售量减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元，则R 应怎样确定？［分析］ 由题目可获取以下主要信息：①每瓶酒的价格：70元；②不加收附加税，每年产销约100万瓶；③征收附加税，每年销量减少10R ，且税率为R %.按"附加税金额＝销售收入×税率"建立R 的不等式求解.［解析］ 设产销量每年为x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元.从中征收的附加税为70x·R%其中x=100-10R由题意得70(100-10R)·R%≥112,即R2-10R+16≤0.解此不等式得：2≤R≤8.故当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金额不少于112万元.探索延拓创新命题方向用一元二次不等式讨论一元二次方程的根［例5］关于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的两根为正数，求m的取值范围.［分析］利用根与系数的关系或者相应二次函数的图像等价转化为不等式组求解.［解析］方法一：利用判别式Δ及根与系数的关系求解.所以m的取值范围是-1+22≤m<2.方法二：利用相应的二次函数图像及一元二次方程根的分布求解.记f(x)=x2-(m-1)x+2-m,则由题意得f(x)的图像为：下同方法一.下同方法一.［说明］ 1.当Δ≥0时，方程才有实根，故在用根与系数的关系时不要忽略Δ.3.此题为一元二次方程根的分布问题，数形结合法是解决此类问题的好方法.变式应用5已知关于x 的方程2kx 2-2x -3k -2=0的两根一个小于1，一个大于1，求实数k 的取值范围.［解析］ ∵关于x 的方程2kx 2-2x -3k -2=0有两个不同实根，∴k ≠0.又∵一个根小于1，一个根大于1，令f (x ) =2kx 2-2x -3k -2,当k >0时，有f (1)<0，即2k -2-2-3k <0,解得k >-4,∴k >0.当k <0时，有f (1)>0，即2k -2-3k -2>0,解得k <-4,∴k <-4.综上所述,k 的取值范围为k <-4或k >0.名师辨误做答［例6］ 解不等式()21--x x a >1(a ≠1). ［误解］ 原不等式可化为a (x -1)>x -2,即(a -1)x >a -2.①当a -1>0，即a >1时，x >12--a a ; ②当a -1<0，即a <1时，x <12--a a . 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x ｜x >12--a a },当a <1时，原不等式的解集为{x |x <12--a a }. ［辨析］ 在将分式不等式化整式不等式时，因没有考虑x -2的符号而直接乘到不等号右端，得到与原分式不等式不等价的整式不等式.事实上，当x -2>0时，在分式不等式两端同时乘以x -2得到的不等式与原不等式等价，而当x -2<0时，不等式两端同乘以一个负数x -2,不等号的方向要改变.这种因忽略代数式的符号（是正还是负）而直接乘到不等式右端的现象，是很容易犯的错误.［正解］ 原不等式可化为()21--x x a -1>0, 即(a -1) (x -12--a a ) (x -2)>0 ① 当a >1时，①式即为 (x -12--a a ) (x -2)>0.∵12--a a -2=-11-a -1<0, ∴12--a a <2,此时x >2或x <12--a a . 当a <1时，①式即为 (x -12--a a ) (x -2)<0. 2-12--a a =1-a a . 若0<a <1，则12--a a >2,此时2<x <12--a a ; 若a =0，则(x -2) 2<0,此时无解；若a <0，则12--a a <2，此时12--a a <x <2. 综上所述，当a >1时，解集为｛x |x <12--a a 或x >2}; 当0<a <1时，解集为{x |2<x <12--a a }; 当a =0时，解集为; 当a <0时，解集为{x |12--a a <x <2}. 课堂巩固训练一、选择题1.不等式23+-x x <0的解集为（ ） A.{x |-2<x <3} B.{x ｜x <-2}C.{x ｜x <-2,或x >3}D.{x ｜x >3}［答案］ A［解析］ 不等式23+-x x <0可化为(x +2)(x -3)<0, ∴-2<x <3,故选A. 2.不等式xx 1-≥2的解集为（ ） A.［-1,0) B.［-1,+∞)C.(-∞,-1］D.(-∞,-1］∪(0,+∞)［答案］ A［解析］ 解法一：原不等式化为xx 1-≥0， 即x (x +1)≤0且x ≠0,∴-1≤x <0，故选A.解法二：排除法：x =0时，不等式无意义，排除B ；x =-2时，原不等式化为23≥2，不成立，排除C 、D ，故选A.3.下列不等式的解集是R 的为（ ）A.x 2+2x +1>0B.2x >0C.（21)x +1>0D. x 1-31<x1 ［答案］ C［解析］ A 中不等式的解集为｛x |x ≠-1｝,B 的解集为｛x |x ≠0｝,D 的解集为｛x |x ≠0｝,只有C 满足.A.［-1,2］B.［0,2］C.［1,+∞)D.［0,+∞)［答案］ D［解析］ 本小题考查内容为分段函数中不等式的解法.①当x ≤1时，21-x ≤2=21,∴1-x ≤1,∴0≤x ≤1,②当x >1时，1-log 2x ≤2,∴log 2x ≥-1=log 221. ∴x ≥21,∴x >1, 综合①②知，x ≥0.二、填空题5.（2010·大纲全国卷Ⅰ）不等式2322++-x x x ＞0的解集是 ［答案］ {x |-2<x <-1或x >2}［解析］ 由2322++-x x x >0得()()212++-x x x >0,即(x +1)(x +2)(x -2)>0. 如图，用数轴穿根法得原不等式的解集为{x |-2<x <-1或x >2}.6.若函数f (x )=1222---a ax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为 .［答案］ ［-1,0］［解析］ 已知函数的定义域为R ,即2x 2-2ax-a -1≥0在R 上恒成立,也即x 2-2ax-a ≥0恒成立,所以有Δ=(-2a )2-4(-a )≤0,解得-1≤a ≤0.三、解答题7.解不等式：32532-+-x x x ≤2. ［解析］ 原不等式等价变形为32532-+-x x x -2≤0, 即321222-++--x x x x ≤0， 即为321222-+-+x x x x ≥0，画出示意图如下：可得原不等式的解集为｛x |x <-3或-1≤x ≤21或x >1｝. 课后强化作业一、选择题1.若集合A ={x ||2x -1|<3},B={x |xx -+312<0}，则A ∩B 等于（ ） A.{x |-1<x <-21或2<x <3} B.{x |2<x <3} C.{x |-21<x <2} D.{x |-1<x <-21} ［答案］ D［解析］ ∵|2x -1|<3,∴-3<2x -1<3,∴-1<x <2. 又∵xx -+312<0, ∴(2x -1)(x -3)>0,∴x >3或x <-21. ∴A ={x |-1<x <2},B ={x |x >3或x <-21}, A ∩B ={x |-1<x <-21},故选D. 2.（2012·洛阳高二期末）不等式162---x x x >0的解集为（ ） A.{x |x <-2，或x >3} B.{x |x <-2,或1<x <3}C.{x |-2<x <1,或x >3}D.{x |-2<x <1,或1<x <3}［答案］ C［解析］ 不等式162---x x x >0可化为()()123-+-x x x >0, 即（x -3） (x -1)(x +2)>0,如图，由数轴穿根法可得不等式的解集为{x |-2<x <1或x >3}.3.函数y =122-+x x 的定义域是（ ）A. {x |x ＜-4,或x ＞3}B.{x |-4＜x ＜3}C.{x |x ≤-4，或x ≥3}D.{x |-4≤x ≤3}［答案］ C［解析］ 使y =122-+x x 有意义，则x 2+x -12≥0.∴(x +4)(x -3)≥0，∴x ≤-4,或x ≥3.4.（2011·湖北理，2）已知U ={y |y =log 2x ,x >1},P ={y |y =x 1,x >2}，则C U P =（ ） A.［21,+∞) B.(0, 21) C.(0,+∞) D.(-∞,0］∪［21,+∞) ［答案］ A［解析］ 本题考查函数值域求解及补集运算.∵U ={y |y =log 2x ,x >1}=(0,+∞), P ={y |y =x 1,x >2}=(0, 21),∴C U P =［21,+∞). 5.（2012·宁德高二检测）设函数f (x )＝x 2+bx +1,且f (-1) =f (3),则f (x )>0的解集为（ ）A.(-∞,－1)∪(3,+∞)B. RC.{x |x ≠1}D.{x |x =1}［答案］ C［解析］ ∵f (-1)=f (3)∴1-b +1=9+3b +1,∴b =-2,∴f (x )=x 2-2x +1=(x -1) 2,∴f (x )>0的解集为{x |x ≠1}.6.若f (x )=-x 2+mx -1的函数值有正值，则m 的取值范围是（ ）A.m ＜-2或m ＞2B.-2＜m ＜2C.m ≠±2D.1＜m ＜3［答案］ A［解析］ ∵f (x )=-x 2+mx -1有正值，∴Δ=m ２-4＞0，∴m ＞2或m ＜-2.7.关于x 的不等式ax-b >0的解集是（1，+∞），则关于x 的不等式2-+x b ax >0的解集是（ ） A.（-∞,-1）∪(2,+∞) B.（-1，2）C.（1，2）D.（-∞，1）∪(2,+∞)［答案］ A［解析］ 由ax-b ＞0的解集为（1，+∞）得8.如果方程x 2+(m -1)x+m 2-2=0的两个实根一个小于-1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是（ ）A.（-2，2）B.（-2，0）C.（-2，1）D.（0，1）［答案］ D［解析］ 解法一：验证排除法：当m =0时，原方程可化为x 2-x -2=0,∴方程两根为2和-1，不合题意，排除A 、C ；当m =-1时，原方程可化为x 2-2x -1=0,∴方程的两根为1+2或1-2，不合题意，排除B ，故选D.二、填空题9.（2011·安徽文，13）函数y =261x x --的定义域是［答案］ {x |-3<x <2} ［解析］ 该题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法，注意填定义域（集合）.由6-x-x 2>0，得x 2+x -6<0,即{x |-3<x <2}.10.不等式21+-x x >1的解集是 . ［答案］ {x |x <-2}［解析］ 原不等式可化为21+-x x -1>0，即23+-x >0, ∴x +2<0，∴x <-2.11.方程2x 2+4mx +3m -1=0有两个不相等的负根，则m 的取值范围是 .［答案］ （31,21）∪(1,+∞)12.已知1-x ax <1的解集是｛x |x <1或x >2｝，则实数a 的值为 . ［答案］21 ［解析］ ∵1-x ax <1, ∴11-+-x x ax <0, 即［(a -1)x +1］(x -1)<0, 又∵不等式1-x ax <1的解集为｛x |x <1或x >2｝, ∴a -1<0,∴(x +11-a )(x -1)>0. ∴-11-a =2,∴a =21. 三、解答题13.已知不等式ax 2-3x +6>4的解集为｛x |x <1或x >b ｝,（1）求a,b 的值；(2)解不等式bax x --12>0. ［解析］ (1)由已知得：1，b 是方程ax 2-3x +6=4的两根，∴a -3+6=4,∴a =1,∴方程x 2-3x +2=0其两根为x 1=1,x 2=2,∴b =2.(2)将a =1,b =2代入不等式b ax x --12>0得，212--x x >0, 可转化为：（x +1）(x -1)(x -2)>0,把方程（x +1）(x -1)(x -2)=0的根x 1=-1、x 2=1.x 3=2顺次标在数轴上，穿根得：原不等式的解集为｛x |-1<x <1或x >2｝.14.在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ).若不等式（x-a ）⊗（x+a ）<1对任意实数x 恒成立，求a 的取值范围.［解析］ 因为（x-a ）⊗ (x+a )=(x-a )(1-x-a ),又不等式（x-a ）⊗ (x+a )<1对任意实数x 恒成立，所以（x-a ）(1-x-a )<1对任意实数x 恒成立，即x 2-x-a 2+a +1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ=(-1) 2-4(-a 2+a +1)<0, 解得－21<a <23． 即a 的取值范围是－21<a <23. 15.当a 为何值时，不等式（a 2-1）x 2-(a -1)x -1<0的解是全体实数？［解析］ ①当a 2-1=0，即a =±1时，若a =1，则原不等式为-1<0，恒成立.若a =－1，则原不等式为2x -1<0,即x <21，不符合题目要求，舍去. ②当a 2-1≠0,即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是a 2-1<0Δ=(a -1) 2+4(a 2-1)<0,解得-53<a <1. 综上所述，当-53<a ≤1时，原不等式的解为全体实数. 16.解关于x 的不等式12-m x m x -x >0. ［解析］ 原不等式可化为1-mx x >0, 即x (mx -1)>0.当m >0时，解得x <0或x >m1; 当m <0时，解得m1<x <0; 当m =0时，解得x <0. 综上，当m >0时，不等式的解集为｛x |x <0或x >m 1｝; 当m <0时，不等式的解集为｛x |m 1<x <0｝; 当m =0时，不等式的解集为｛x |x <0｝.。