24[1].1.4_圆周角(

A O B C B
A
O C
D
A
O C B
圆周角定理
A
在同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半．
C
O
·
B
E
即∠BAC=
1 2
∠BOC
利用同弧所对的圆周角的相等练习 P86
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的 对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等 的角？
A
） ）
O C
C'
A'
D
F
F
思考：如果不是在同圆或
⌒ ⌒ AC≠A C
等圆中，相等的两个圆 周角所对的弧相等吗？
归纳：
归纳：在同圆或等圆中,如果①两个 圆心角,②两个圆周角③两条弧, ④两条弦, ⑤两条弦心距中,有一 组量相等,那么它们所对应的其余 各组量都分别相等。（知一求四）
如图23.1.9，线段AB是⊙O的直径， 点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，
2、如图，OA、OB、OC都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB 与∠BAC的大小有什么关系？为什 么？ O
A
C
B
例1:
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒
BD=DE
A E B D C
证明：连结AD. ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC，
） ）
O D G
B
） ） ） ）
） ）
例3:P87
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= 求证： △ABC 为直角三角形.
证明： 以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO， CO= AB,
A
又∠BOC=∠A+∠C
O
·
C
∴∠BOC=2∠A 即
A 1 2 BOC
B
（2）折痕在圆周角的内部． 圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用 （１）的结果，有
BAD 1 2
DAC 1 2 DOC
Hale Waihona Puke BO D BAD D AC
1 2
A
( BO D D O C )
O
BAC
1 2
BOC
B
·
C
D
（3）折痕在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
BAD 1 2 BOD
DAC
1 2
DOC
DAC DAB
1 2
( D O C D O B )
O
A
BAC
1 2
BOC
D
·
C B
观察图中∠ACB、 ∠ADB和∠AEB与 我们学过的圆心角 有什么区别？ 你能仿照圆心角 的定义给它们下个 定义吗？
• 像上面的三个角有 两个共同的特点： ① 角的顶点在圆上 ② 角的两边都与圆 相交
C
而且都是由同一条弧AB所 对圆周角
O A B 顶点在圆上 两边都与圆相交
.
∠AOB呢？
⌒ 是AB所对的圆心角
BC
∴∠BAC=∠CPB=60°。 ∴△ABC等边三角形。
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相
交的角叫圆周角.
2.五个重要结论：
（1）圆周角定理：在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的 圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半； （2）圆周角定理推论1：相等的圆周角所对的弧相等。 （3）圆周角定理推论2：半圆或直径所对的圆周角都相等， 都等于90°；90°的圆周角所对的弦是圆的直径。 （4）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．
3：已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度 或 150 度。
A
B
4. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则
25° ∠CAD=______；
5、在圆中，一条弧所对的圆心角和 圆周角分别为（2x＋100）°和 （5x－30）°，求这条弧所对的 圆心角和圆周角的度数. （P87)9、右图是一个圆形的零件， 你能告诉我，它的圆心的位置吗？ 你有什么简捷的办法？
D
A
O 40°
B
C
分析：同一条弧所对 的圆周角有很多，圆 周角的位置灵活多变， 可以把注意力放在圆 周角所对的弧上.
随堂练习
2、如图，A，B，C三点在⊙O上，AD⊥BC于D，且 AC=5，DC=3，AB= 4 2，求⊙O的直径.
A
O B D
C
分析 连结AO，CO，由勾股 定理不难得到△ABD为等腰 直角三角形，则 ∠AOC==90°，又OA=OC， AC长度已知，则可以求出半 径和直径.
A 80 D E B C
A
100
D
C
O
B
(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=______∠D=______ 50° 130° (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 45° ∠A=_____,
(4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,
75° ∠B=750,则∠C=_____

这样的角叫圆周角。
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A D
O B
A O
O
C
A O
B
C
A O
D
B
C
B
C
B
C
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
圆外角
型的你 ？位认 置为 关圆 系周 有角 哪相 几对 种圆 类心
圆内角
探究活动 :
度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看 所对的圆心角有___________ ∠AOB 看圆周角的度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？ 2、分别量出图 中弧AB所对的圆周 角和圆心角的度数，比较一下，你 发现什么？
24.1.4 圆周角（1）
回 忆
1.什么叫圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的 一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心 距有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别 相等（知一求三）。 O
.
A
B
观察：
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可 以通过其中的圆弧形玻璃窗 观看窗内的海洋动物,同 学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠 墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系? 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们 的视角（ ∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
特别提示： 在同圆或等圆中，同弦或等 弦所对的圆周角相等或互补。
同理∠B＋∠D＝180°
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何 一个外角都等于它的内对角。 E A O B C F D ∠D＋∠B＝180° ∠A＋∠C＝180° ∠EAB＝∠BCD ∠FCB＝∠BAD 内对角 对角
外角
1.(1)四边形ABCD内接于⊙O，则 180° ∠A+∠C=______ ∠B+∠ADC=_______;若 180° 80° ∠B=80°，则∠ADC=____ ∠CDE=______ 100°
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数 恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
图 2 3 .1 .1 0
如图弧AB所对的圆周角有___________ 1、分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的 ∠ADB,∠ACB
同弧所对圆周角与圆心角的关系
验证:
• 为了验证我们的猜想，我们根据圆周角与 圆心的相对位置关系分三种情况来证明： （1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心 在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的 外部
B
练习:
3、求圆中角X的度数
P O A
（1）
.
B
600 350
120°
70° x
A
120
O X0
（2）
.
B
练习:
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 2 则⊙O的半径是 。
O
C
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
1、如图，在⊙O中， ∠ ABC=50°， 则∠AOC等于（D ） O B A、50°； B、80°； C、90°； D、100°
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P 在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重 合，则∠BPC等于（ B ） A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
C
A
C
A P
P
P O
P
B O
O
A
B
B A
为了验证这个 发现 ， 可将圆对折，使折 痕经过圆心O和圆周角的顶点C，
这时可能出现三种情况:
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部, （3） 折痕在圆周角的外部。
图 2 3 .1 .11
（1）折痕在圆周角的一条边上；
∵OA=OC， ∴∠A=∠C．
P 60° A O 东
(P88\12)8、如图，P是 圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形。 A P 证明：∵∠ABC和∠APC 都是 ⌒ 所对的圆周角。 · AC O ∴∠ABC=∠APC=60° C B (同弧所对的圆周角相等） 同理，∵∠BAC和∠CPB都是 ⌒ 所对的圆周角，