三湘名校教育联盟●2020届高三第二次大联考理科数学试题及参考答案

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2020年湖南高三二模数学试卷(理科)

当
时，有两个零点；
当
时，无零点．
（2）
．
解析:
（ 1 ）方法一：
，
，
若
，则
，在
上单调递增，且
，
此时存在唯一零点；
若
，令
，得
；
当
，
，单调递增；当
时，
，
时，
，单调递减，
∴
，且当
时，
，当
，
，
所以当
，即
时，无零点；
当
，即
时，有一个零点；
当
，即
时，有两个零点．
综上：当
或
时，有一个零点；
当
时，有两个零点；
，且当
时，
，则函数
9. 设，满足约束条件
A. B. C. D.
，则
的取值范围是（）．
10.
2
若函数 A. B. C. D.
在上单调递减，则实数的取值范围是（）．
11.
的内角，，的对边分别为，，，且，，为
的外心，则
（）．
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数取值范围是（） A. B. C. D.
．
故选：．
6
7. A 解析:
所以当
时，
又因为
，
∴
，
所以的最小正周期为，
当
时，
，
所以在
上为减函数．
故选．
，其图象关于直线
对称，
，
，
，
8. C
解析:
偶函数满足
，故函数的周期为．

2020届高三数学第二次调研考试试题理(含解析)

2020届高三数学第二次调研考试试题理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，进而求交集即可.【详解】，，所以，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查对数函数的单调性与二次不等式的解法，属于基础题.2.设复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算得到，进而得到其共轭复数即可.【详解】，，的共轭复数为，故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.已知为数列前项和，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据得到，从而为等比数列，利用等比数列前n项和公式可得结果.【详解】时，，两式相减，整理得，∵，∴，所以是首项为，公比为的等比数列，∴，故选D.【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.4.已知，为互相垂直单位向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】代数法：，故选A.【点睛】本题考查向量夹角公式，考查向量的运算法则及几何意义，考查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.5.下列说法正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样.②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学.③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.④在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位.A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】B【解析】【分析】①由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样；②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，利用回归系数的意义可得结论．【详解】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从某处抽取一件产品进行某项指标检测，由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样，故①不正确；②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水，故②不正确；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查命题真假判断，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．6.若,且，则的值为( ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，根据诱导公式得，又因为，所以，所以所以，故选A．7.设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画圆：(x–1)2+(y–1)2=2，如图所示，则(x–1)2+(y–1)2≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A.【考点】充要条件的判断，线性规划【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

2020届高三第二次模拟考试数学(理科)试题 Word版含解析

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设351i z i i=++，则z =（）A. 2B.12C.22D.102【★答案★】C 【解析】【分析】根据复数运算法则求得1122z i =-+，根据模长的定义求得结果. 【详解】()351111222i i i z i i i i --=+=+=-++ 112442z ∴=+= 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（）A. (]1,0-B. (]7,0-C. [)0,7D. [)0,1【★答案★】A 【解析】【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}(],0B x x x ==-=-∞(]1,0A B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（）A. B.C. D.【★答案★】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（） A.22B.23C.24D.25【★答案★】C 【解析】分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=，所以12cos ,422⋅<>===a b a b a b. 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线l 与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切，则(p = )A. 6B. 8C. 3D. 4【★答案★】D 【解析】【分析】根据题意，求出圆的圆心为()1,2和半径为4，以及抛物线的准线方程:2pl y =-，利用直线与圆相切的性质得出242p+=，即可求出p 的值．【详解】解：由题可知，圆22:(1)(2)16M x y -+-=的圆心为()1,2，半径为4，抛物线2:2(0)C x py p =>的准线:2p l y =-与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切，则有242p+=，解得：4p =．故选：D .【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（） A. 8B. 7C. 6D. 4【★答案★】A 【解析】【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =，则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（）（参考数据：32.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【★答案★】A 【解析】【分析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为22333320.82692rr ππ==，则33 3.141920.8269π=≈⨯.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【★答案★】B 【解析】【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【★答案★】C 【解析】【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈，所以0.1421log 25log 73->>，因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（）A. x 2212y -=1B. 22134x y -= C. 221169x y -= D. 221916x y -=【★答案★】D 【解析】【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程．【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝，可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=，可得1||22AF a c =+，由于过F 2的直线斜率为247，所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-，则217cos 25AF F ∠=-，由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =，即35a c =，45b c =，可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是（）A.305 B.2305C. 275D.475【★答案★】B【解析】【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22212512CP ⨯==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2xh x x=的最大值为3x ，则（） A. 123x x x >> B. 213x x x >>C. 312x x x >>D. 321x x x >>【★答案★】A 【解析】【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】()1x f x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= 函数()2xg x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->=⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.【★答案★】0 【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为_____【★答案★】0.954y x =+ 【解析】【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于b 与a 的方程组，求解即可得到y 关于x 的线性回归方程.【详解】解：由已知表格中的数据可得，12342.54x +++==，56 6.5825.544y +++==，∴25.52.54b a =+，① 又11.68b a =+，②联立①②解得：0.95b =，4a =.∴y 关于x 的线性回归方程为0.954y x =+.故★答案★为：0.954y x =+.【点睛】本题考查线性回归方程，直接利用公司计算即可，属于基础题15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【★答案★】8π. 【解析】【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +===，所以球的表面积为()2428S ππ==.故★答案★8π【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【★答案★】1 【解析】【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小；（2）若2a =，π3B =，求ABC ∆的面积.【★答案★】(1) 4A π=.(2) 334ABC S ∆+=【解析】【分析】（1）先由正弦定理，将2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即2222b c a bc +-=，再由余弦定理可得2cos 2bc A bc =，即2cos 2A =, 所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()62sin sin 4C A B +=+=，由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4.（1）证明：AE ⊥平面ECD.（2）求直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）69【解析】【分析】（1）证明AA 1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA 1D 1D ，得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD ；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以AA 1⊥平面ABCD ，则AA 1⊥CD.又CD ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，1,AA AD ⊂平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥AE.因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.又CD∩ED＝D，,CD ED⊂平面ECD.所以AE⊥平面ECD.（2）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以1AA所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以E（0，2，2），(0,2,2)AE=，(2,4,0)AC=，1AC=（2，4，﹣4），设平面EAC的法向量为n=（x，y ，z），可得n ACn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240220x yy z+=⎧⎨+=⎩，不妨n=（﹣2，1，-1），所以直线A1C与平面EAC 所成角的正弦值为11||444|46966|636nA CA Cn⋅-++===⋅.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【★答案★】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为X190 200 210 220 230 P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为Y200 220 240 P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，焦距为23.（1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【★答案★】（1）2214x y +=；（2）①见解析；②见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；整理可知：2121214Q Q O O P P y y k k k x x ===，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ'∠=∠，由①知1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：32223c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122xx m +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 2tan tan 3343xOQ xOP xOQ xOP ''=∠+∠⨯⋅∠=≥∠ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xf x e ax b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=．（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x -．（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，且线段AB 的中点为0(P x ，0)y ，证明：0()f x g <（1）0y <.【★答案★】（1）()2xf x e =-；证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据题意，对()f x 求导得()x f x a e '=+，利用导数的几何意义和切线方程求出a 和b ，即可求出()f x 的解析式，令()()11x h x f x x e x =-+=--，利用导数研究函数得单调性和最值得出()0h x ≥，即可证明不等式；（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，设210t x x =->，进而转化为只需证：22tte e t -->，构造函数22()ttF t e e t -=--，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出0()f x g <（1）0y <.【详解】解：（1）由题可知，()xf x e ax b =++，则()x f x a e '=+，由于()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=，所以f （1）2e a b e =++=-，即2a b +=-，即f '（1）e a e =+=，则0a =，解得：2b =-，则()2xf x e =-．令()()11x h x f x x e x =-+=--，()1xh x e '=-，令()0h x '=，即10x e -=，解得：0x =，则0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减；0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴=，则()1f x x -．（2）由题可知，()2g x kx =-，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则1202()22x x x f x e e+=-=-，12120422x x y y e e y ++-==，要证0()f x g <（1）0y <成立，只需证：121224222x x x x e e ek ++--<-<，即证：121222x x x x e k e e++<<，即证：1122122212xx x x x x e e e x e e x +-+<<-，只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，不妨设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<，要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->，令22()t t F t e et -=--，则221()()102t tF t e e -'=+->，()F t ∴在(0,)+∞上为增函数，()(0)0F t F ∴>=，即21t t e e t-<成立；要证112t t e e t -+<，只需证：112t t e t e -<+，令1()12t t e tG t e -=-+，则22222214(1)(1)()0(1)22(1)2(1)t t t t t t t e e e e G t e e e -+--'=-==<+++， ()G t ∴在(0,)+∞上为减函数，()(0)0G t G ∴<=，即112t te e t -+<成立． ∴2112tt t e e e t -+<<，0t >成立， 0()f x g ∴<（1）0y <成立．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用和利用导数证明不等式，还涉及利用导数研究函数的单调性和最值，属于导数知识的综合应用，考查转化思想和运算能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【★答案★】（1）l :cos sin0a ，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得；（2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a .在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【★答案★】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

三湘名校教育联盟●2020届高三第二次大联考理综试题 word含解析

三湘名校教育联盟．2020届高三第二次大联考理科综合试题一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于蛋白质的叙述，错误的是A.高等植物细胞之间依赖糖蛋白才能完成信息交流B．高温处理后的蛋白质与双缩脲试剂会发生紫色反应C．叶绿体基质中的DNA能控制某些蛋白质的合成D．细胞中蛋白质的种类在细胞凋亡和衰老过程中会发生改变2．下列对各种“比值”变化的叙述，错误的是A．细胞在质壁分离的过程中，细胞液浓度／外界溶液浓度的值变大B．进行遮光处理的瞬间，绿叶的叶绿体中NADPH/NADP+的值变大C．同源染色体相互分离时，细胞中染色体数／核DNA数的值不变D．剧烈运动时，人体肌肉细胞呼吸作用中CO2释放量／O2吸收量的值不变3．某种植物正常群体中可产生少量突变型植株，突变型植株可产生有毒的生物碱，导致食用此种植株的某种昆虫死亡；此种昆虫正常群体中也可产生少量突变型个体，突变型个体食用突变型植株不会死亡。

下列叙述正确的是A.突变型植株对此种昆虫的变异起到了定向诱导的作用B．突变型昆虫和突变型植株的出现增加了物种的多样性C．突变型昆虫的存在导致此种突变型植株突变基因的频率增大D．此种昆虫和此种植物之间的相互选择能够实现二者的共同进化4．下列关于无机盐等物质对人体机能影响的叙述，正确的是A.静脉滴注生理盐水会导致人体的细胞外液渗透压升高B．适当增加组织液中Na+浓度，会导致动作电位的峰值减小C．人体摄盐过多后，会引起细胞外液的量减少D．组织液中K+浓度明显降低可导致神经细胞的兴奋性减弱5．工业废水中的物质甲在某些厌氧细菌的作用下可转化为物质乙，物质乙的毒性较大，脂溶性高，较稳定，易被生物吸收和积累。

下列叙述错误的是A.工业废水随意向河流排放会导致海洋污染B．给水体通气不利于降低水体中物质乙的含量C．水体中的厌氧细菌可作为生态系统的分解者D．物质乙可沿着食物链从一个营养级到另一个营养级6．果蝇的灰身、黑身是由等位基因(B、b)控制，等位基因(R、r)会影响雌、雄黑身果蝇的体色深度，两对等位基因分别位于两对同源染色体上。

2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证. 解：解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立. 当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意. 故选:B. 点评：本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系. 2．设i 是虚数单位，a R ∈，532aii a i+=-+，则a =（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2答案：C 由532aii a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值. 解：解：532aii a i+=-+Q，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a=+⎧∴⎨-=⎩ ，解得：1a =. 故选:C. 点评：本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算.3．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） AB ．12C ．3log 2-D ．3log 2答案：A根据分段函数解析式，先求得3f ⎛ ⎝⎭的值，再求得3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 解：依题意12331log log 32f -===-⎝⎭，1212322f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A 点评：本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.4．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为（）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒答案：C求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角. 解：解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为90︒.故选:C. 点评：本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a ba b a b⋅=r rr r r r 进行计算.5．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（）A．45 B．60 C．75 D．100答案：B根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．解：由题意12315234S⨯⨯⨯=，60S=．点评：本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．7．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像（） A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位答案：A运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案.解：解：1sin 22sin 22sin 22sin 22233y x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=-==-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A. 点评：本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 解：将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法；将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种本题正确选项：B 点评：本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.9．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（）A ．B ．4C ．5D ．答案：D由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C ==.通过13sin 22ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值.解：解：4sin 3cos c A C =Q ，即4sin 3cos c A a C =4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.22sin cos 1C C +=Q ，则34sin ,cos 55C C ==.1133sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.222242cos 15215185c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，c ∴=故选:D. 点评：本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值. 10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （）A ．1-B ．0C ．1D ．2答案：C首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 解：由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，而()()330f x f x --+-=，所以()()33f x f x -=+，所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =，所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=. 故选：C 点评：本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（）A ．2B CD答案：D作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值解：解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ，设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ，所以x ＝2a ，则EF 2＝23a ，由勾股定理可得（4a ）2+（23a ）2＝（2c ）2，所以c 2＝7a 2，则e 7ca== 故选：D ．点评：本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.12．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1答案：B先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102xg x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 解：解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点，当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x = 则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 点评：本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算.二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．答案：2作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值. 解：画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2. 故答案为：2。

三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考理科数学试卷(word版,含解析)

三湘名校教育联盟·2020届高三第二次大联考理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 22*{2,1,0,1},{|,},B x x a a =--=≤∈N ，若A ⊆B,则a 的最小值为 A.1B.2C.3D.42.设i 是虚数单位，5,32,aiai a i+∈=-+R 则a= A. -2B. -1C.1D.23.已知函数32,0(),log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则3(())3f f =2.2A1.2B3.log 2C - 3.log 2D4.已知向量(3,2),(5,AB AC ==-u u u r u u u r1),则向量AB 与BC uuu r 的夹角为 A.45°B.60°C.90°D.120°5.α,β表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则//αβ”是“//m β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。

问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15，则输入的k 的值为。

A.45B.60C.75D.1007.要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像A.向左平移2π个单位B.向左平移712π个单位 C.向右平移12π单位 D.向右平移3π个单位 8.阅读名著,品味人生,是中华民族的优良传统.2020年寒假期间,学生李华计划每周一至周五的每天阅读一个小时中国四大名著:《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》,其中每天阅读一种,每周每种至少阅读一次,则每周不同的阅读计划共有A.120种B.240种C.480种D.600种9.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,a= 1,4csinA-3cosC,△ABC 的面积为3,2,则c= AB.4C.5D 10.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(-3-x)+ f(x-3)=0.若f(1)=1,f(2)=-2,则f(1)+f(2)+ f(3) +…+ f(2020)=A. -1B.0C.1D.211.已知12F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点,O 为坐标原点,若122,||||OA BF AF BF ⊥=,则C 的离心率为A.2BCD 12.已知A,B 是函数2,0()ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点,若曲线y= f(x)在点A 、B 处的切线重合,则实数a的最小值是A. -11.2B -1.2C D.1二、填空题:本题共4小题，每小题分,共20分。

三湘名校教育联盟2020届高三4月第二次大联考理科数学试卷(word版,含解析)

三湘名校教育联盟·2020届高三4月第二次大联考理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 22*{2,1,0,1},{|,},B x x a a =--=≤∈N ，若A ⊆B,则a 的最小值为A.1B.2C.3D.4 2.设i 是虚数单位，5,32,ai a i a i +∈=-+R 则a= A. -2 B. -1C.1D.2 3.已知函数32,0(),log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则3(3f f = 2.A1.2B 3.log 2C - 3.log 2D 4.已知向量(3,2),(5,AB AC ==-u u u r u u u r 1),则向量AB 与BC uuu r 的夹角为 A.45° B.60° C.90° D.120°5.α,β表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则//αβ”是“//m β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。

问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15，则输入的k 的值为。

A.45B.60C.75D.1007.要得到函数32sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 232y x x =的图像A.向左平移2π个单位B.向左平移712π个单位 C.向右平移12π单位 D.向右平移3π个单位 8.阅读名著,品味人生,是中华民族的优良传统.2020年寒假期间,学生李华计划每周一至周五的每天阅读一个小时中国四大名著:《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》,其中每天阅读一种,每周每种至少阅读一次,则每周不同的阅读计划共有A.120种B.240种C.480种D.600种9.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,a= 1,4csinA-3cosC,△ABC的面积为3,2,则c=A B.4 C.5D10.定义在R上的奇函数f(x)满足f(-3-x)+ f(x-3)=0.若f(1)=1,f(2)=-2,则f(1)+f(2)+ f(3) +…+ f(2020)=A. -1B.0C.1D.211.已知12F F分别为双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点,过1F的直线l交C于A，B两点,O为坐标原点,若122,||||OA BF AF BF⊥=,则C的离心率为A.2BCD12.已知A,B是函数2,0()ln,0x x a xf xx x a x⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点,若曲线y= f(x)在点A、B处的切线重合,则实数a的最小值是A. -11.2B-1.2C D.1二、填空题:本题共4小题，每小题分,共20分。

2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考理科数学试题(带答案解析)

2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考理科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3D ．4 2．设i 是虚数单位，a R ∈，532ai i a i +=-+，则a =（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2 3．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A．2 B ．12C ．3log 2-D ．3log 2 4．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为（）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 5．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（）A ．45B ．60C ．75D ．1007．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像（）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（）A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种9．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（）A ．B ．4C ．5D ．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （）A ．1-B ．0C ．1D ．211．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（）12．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（）A ．1-B ．12-C ．12D ．1第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．14．若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为_______． 15．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则12x x +=_______；12sin()x x -=_______．16．在四棱锥P ABCD -中，PAB是边长为ABCD 为矩形，2AD =，PC PD ==若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____．三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是n a 与1n a 的等差中项. （1）证明：{}2n S 为等差数列，并求n S ；（2）设11n n nb S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足5n T ≥的最小正整数n 的值. 18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆与1A BC ∆均为等腰直角三角形，190BAC BAC ∠=∠=︒，侧面11BAA B 是菱形.（1）证明：平面ABC ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1A BC C --的余弦值.19．某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2σ；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[)55,65的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y 近似服从正态分布2(,)N μσ.若220(.5)944P Y p μσσ-≤<+>，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线2y x =-上动点，过点作M 抛物线C :2x y =的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点.（1）证明:MN x ⊥轴；（2）直线AB 是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 21．已知函数()1ln f x a x x=+. （1）讨论()f x 的零点个数；（2）证明：当02e a <≤时，()12xe f x ->. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 250ρθρθ+-=. （1）写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()14,M θ，()24,N θ（以上两点坐标均为极坐标，102θπ<<，202θπ<<），使点M 、N 到l 的距离都为3？若存在，求12||θθ-的值；若不存在，请说明理由.23．已知a ，b 均为正数，且1ab =.证明：（111()2a b≥+；（2）22(1)(1)8b a a b+++≥.参考答案1．B【解析】【分析】解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证.【详解】解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立.当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.2．C【解析】【分析】由532ai i a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值.【详解】解：532ai i a i+=-+Q ，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a =+⎧∴⎨-=⎩，解得：1a =. 故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算.3．A【解析】【分析】根据分段函数解析式，先求得3f ⎛ ⎝⎭的值，再求得f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】依题意12331log log 3332f -⎛===- ⎝⎭，1212322f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.4．C【解析】【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r ，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r . 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r的夹角为90︒.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅=r r r r r r 进行计算. 5．A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．B【解析】【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【详解】由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =．故选：B.【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．7．A【解析】【分析】运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案.【详解】解：1sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=-==-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A.【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.8．B【解析】【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法；将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种本题正确选项：B【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.9．D【解析】【分析】由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C ==.通过13sin 22ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值. 【详解】解：4sin 3cos c A C =Q ，即4sin 3cos c A a C =4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.22sin cos 1C C +=Q ，则34sin ,cos 55C C ==. 1133sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.222242cos 15215185c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，c ∴= 故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值. 10．C 【解析】【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，而()()330f x f x --+-=，所以()()33f x f x -=+，所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =，所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．D 【解析】【分析】作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值【详解】解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ，设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ，所以x ＝2a ，则EF 2＝，由勾股定理可得（4a ）2+（a ）2＝（2c ）2，所以c 2＝7a 2，则e ca== 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 12．B 【解析】【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102xg x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点，当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算. 13．2 【解析】【分析】作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．【解析】【分析】由焦点坐标得211m m --=从而可求出2m =，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长. 【详解】解：因为一个焦点坐标为()0,1，则211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-由22211x y m m +=-表示的是椭圆，则0m >，所以2m =，则椭圆方程为22132y x +=所以a a ==故答案为:【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略0m >，从而未对m 的两个值进行取舍. 15．23π45- 【解析】【分析】求出()sin(2)6f x x π=-在()0,π 上的对称轴，依据对称性可得12x x +的值;由2123x x π=-可得121sin(cos(2)6)x x x π-=--，依据13sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求出1cos(2)6x π-的值.【详解】解：令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,32k x k Z ππ=+∈ 因为120x x π<<<，所以12,x x 关于3x π=对称.则122233x x ππ+=⨯=. 由2123x x π=-，则121112sin(sin(2)sin(2)cos(2)36)26x x x x x ππππ-=-=--=-- 由120x x π<<<可知，1112,6612x πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为13125<< ，所以12662x πππ<-<，则14cos(2)65x π-==，即124sin()5x x -=-故答案为: 23π;45-. 【点睛】本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断126x π-的取值范围，导致求出14cos(2)65x π-=±.在求()()sin f x A x =+ωϕ的对称轴时，常用整体代入法，即令,2x k k Z πωϕπ+=+∈ 进行求解. 16．28π 【解析】【分析】做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由已知条件可求出3,PF PG ==运用余弦定理可求120PFG ∠=o ，从而在平面PFG 中建立坐标系，则,,P F G 以及PAD ∆的外接圆圆心为1O 和长方形ABCD 的外接圆圆心为2O 在该平面坐标系的坐标可求，通过球心O 满足12,OO PF OO FG ⊥⊥，即可求出O 的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积. 【详解】解：如图做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由题意知,PF AD PG BC ⊥⊥，则sin 603,PF PG ====o设PAD ∆的外接圆圆心为1O ，则1O 在直线PF 上且123PO PF =设长方形ABCD 的外接圆圆心为2O ，则2O 在FG 上且22FO GO =.设外接球的球心为O在PFG ∆ 中，由余弦定理可知2232191cos 2322PFG +-∠==-⨯⨯，120PFG ∴∠=o .在平面PFG 中，以F 为坐标原点，以FG 所在直线为x 轴，以过F 点垂直于x 轴的直线为y 轴，如图建立坐标系，由题意知，O 在平面PFG 中且12,OO PF OO FG ⊥⊥设()1,O y，则113,,,2222O P ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，因为1OO PF ⊥，所以2213122y -=+解得y =则2PO ==所以球的表面积为2428ππ⨯=⎝⎭.故答案为: 28π.【点睛】本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解. 17．（1）见解析，n S （2）最小正整数n 的值为35. 【解析】【分析】（1）由等差中项可知12n n nS a a =+，当2n ≥时，得1112n n n n n S S S S S --=-+-，整理后可得2211n n S S --=，从而证明{}2n S 为等差数列，继而可求n S .（2）n b ==，则可求出1n T15≥，即可求出n 的取值范围，进而求出最小值. 【详解】解析：（1）由题意可得12n n n S a a =+，当1n =时，11112S a a =+，∴211a =，11a =，当2n ≥时，1112n n n n n S S S S S --=-+-，整理可得2211n n S S --=，∴{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，∴()2211n S S n n =+-=，n S .（2）由（1）可得n b ==，∴15n T ==≥L ，解得35n ≥， ∴最小正整数n 的值为35. 【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了n a 与n S 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有n a 与n S 的递推关系时，常代入11,1n n n a n a S S -=⎧=⎨-⎩ 进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数. 18．（1）见解析（2【解析】【分析】（1）取BC 中点O ，连接AO ，1A O ，通过证明1AOA AOB ∆≅∆，得1A O AO ⊥，结合1A O BC ⊥可证线面垂直，继而可证面面垂直.（2）设2BC =，建立空间直角坐标系，求出平面1ABC 和平面1BCC 的法向量，继而可求二面角的余弦值. 【详解】解析：（1）取BC 中点O ，连接AO ，1A O ，由已知可得AO BC ⊥，1A O BC ⊥，112AO AO BC OB ===， ∵侧面11BAA B 是菱形，∴1AB AA =，1AOA AOB ∴∆≅∆，190AOB AOA ∴∠=∠=︒，即1A O AO ⊥，∵AO BC O =I ，∴1A O ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面1A BC .（2）设2BC =，则11AO AO BO OC ====，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0A ，()10,0,1A ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()111,0,1AA CC ==-u u u r u u u u r，1(1,1,1)C --，()11,2,1BC =--u u u u r ，()1,1,0BA =-u u u r ，设平面1ABC 的法向量为(),,m x y z =u r，则200x y z x y --+=⎧⎨-=⎩，令1x =得()1,1,3m =u r .同理可求得平面1BCC 的法向量()1,0,1n =r ，∴cos ,11m n <>==u r r.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.19．（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可求出平均值μ和样本方差2σ；（2）由题意知X 服从二项分布()3, 0.7B ，分别求出()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =，进而可求出分布列以及数学期望；（3）由第一问可知Y 服从正态分布()60,25N ，继而可求出()5070P Y ≤<的值，从而可判断. 【详解】解：（1）()()()47.572.50.004552.567.50.026557.562.50.07560u =+++⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯+()()()()2226047.572.5600.0260 52.52 67.5 602 0.13 σ=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦-⨯+-+⨯⎣⎦-()22 6057.562.560)[.525(]03+-+-⨯≈（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7. 随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X 服从二项分布()3, 0.7B ，则()03300.70.30.027P X C ==⨯⨯=，()12310.70.30.189P X C ==⨯⨯=，()22320.70.30.441P X C ==⨯⨯=，()330330.70.30.343P X C ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：数学期望30.7 2.1EX =⨯=（3）由题意知Y 服从正态分布()60,25N ，则()()2250700.960.9544P Y P Y μσμσ-≤<+=≤<=>，所以可以认为该校学生的体重是正常的. 【点睛】本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同. 20．（1）见解析（2）直线AB 过定点1(,2)2. 【解析】【分析】（1）设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线MA 的方程，设出M 点坐标并代入切线MA 的方程，同理将M 点坐标代入切线MB 的方程，利用韦达定理求得线段AB 中点N 的横坐标，由此判断出MN x ⊥轴.（2）求得N 点的纵坐标N y ，由此求得N 点坐标，求得直线AB 的斜率，由此求得直线AB 的方程，化简后可得直线AB 过定点1(,2)2. 【详解】（1）设切点()211,A x x ，()222,B x x ，'2y x =，∴切线MA 的斜率为12x ，切线MA ：()21112y x x x x -=-，设(),2M t t -，则有()211122t x x t x --=-，化简得211220x tx t -+-=，同理可的222220x tx t -+-=.∴1x ，2x 是方程2220x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，122x x t =-，122N M x x x t x +===，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()2222121212112222N y x x x x x x t t =+=+-=-+，∴()2,22N t t t -+.∵221212122ABx x k x x t x x -==+=-，∴直线AB ：()()2222y t t t x t --+=-，即122()2y t x -=-，∴直线AB 过定点1(,2)2. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求出()21'ax f x x-=，分别以当0a <，0a =，0a >时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令()ln 1h x ax x =+，结合导数求出()11()12a h x h e e ≥=-+≥；同理可求出()112x g x xe -=满足()()112g x g ≤=，从而可得11ln 12x ax x xe -+>，进而证明()12x e f x ->. 【详解】解析：（1）()21'ax f x x-=，()0,x ∈+∞，当0a <时，()'0f x <，()f x 单调递减，10f a e e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，1110aa f e e ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，此时()f x 有1个零点；当0a =时，()f x 无零点；当0a >时，由()'0f x <得1(0,)x a ∈，由()'0f x >得1(,)x a ∈+∞，∴()f x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a +∞单调递增，∴()f x 在1x a =处取得最小值1()ln f a a a a=-+，若ln 0a a a -+>，则a e <，此时()f x 没有零点；若ln 0a a a -+=，则a e =，此时()f x 有1个零点；若ln 0a a a -+<，则a e >，()10f >，求导易得21()0f a >，此时()f x 在211(,)a a，1(,1)a 上各有1个零点.综上可得0a e ≤<时，()f x 没有零点，0a <或a e =时，()f x 有1个零点，a e >时，()f x 有2个零点.（2）令()ln 1h x ax x =+，则()()'1ln h x a x =+，当1x e >时，()'0h x >；当10x e<<时，()'0h x <，∴()11()12a h x h e e ≥=-+≥.令()112x g x xe -=，则()()11'12x g x e x -=-，当01x <<时，()'0g x >，当1x >时，()'0g x <，∴()()112g x g ≤=， ∴()()h x g x >，11ln 12x ax x xe -+>，∴11ln 2x e a x x -+>，即()12xe f x ->. 【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明. 22．（1）4ρ=，43250x y +-=（2）存在，124||3πθθ-= 【解析】【分析】（1）先求得曲线C 的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线1C 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）求得曲线1C 的圆心和半径，计算出圆心O 到直线l 的距离，结合图像判断出存在,M N 符合题意，并求得12||θθ-的值.【详解】（1）曲线C 的普通方程为221164x y +=，纵坐标伸长到原来的2倍22121164y x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得到曲线1C 的直角坐标方程为2216x y +=，其极坐标方程为4ρ=，直线l 的直角坐标方程为43250x y +-=. （2）曲线1C 是以O 为圆心，4为半径的圆，圆心O 到直线l的距离5d ==.∴由图像可知，存在这样的点M ，N ，则//MN l ，且点O 到直线MN 的距离532OD =-=，∴23MON π∠=，∴124||3πθθ-=.【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 23．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由222a b ab +≥进行变换，得到222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)b a a b+++化为()()()33222a b a b a b +++++，然后利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）222a b ab +≥，两边加上22a b +得()22222()a b a b a b ab +⎛⎫+≥+= ⎪⎝⎭，即222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，11()2a b≥+. （2）()22223333(1)(1)2121112()()b a b b a a a b b a a b a b a a a b b b ab a b a b++++=+++++=++++=++()()22248a b a b ab +++≥+=.当且仅当1a b ==时取等号. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

三湘名校教育联盟●2020届高三第二次大联考理科数学参考答案

；
；
；
出循环，由题意可得＝15，解得 k＝60．
7．A 解析：把 y＝sin2x－ 3cos2x＝2sin(2x－π)＝2cos(2x－5π)的图像向左平移π个单位，得到 y
3
6
2
＝2cos(2(x＋π)－5π)＝2cos(2x＋π)＝ 3cos2x－sin2x，故选 A.
26
6
8．B 解析：由题意 5 天中，有 2 天阅读同一名著，故每周不同的阅读计划共有 C25A44＝240 种．
2
x2
2
22．解析：(1)曲线 C 的普通方程为 x2 ＋y2＝1，纵坐标伸长到原来的 2 倍， 16 4
得到曲线 C1 的直角坐标方程为 x2＋y2＝16，其极坐标方程为ρ＝4.
直线 l 的直角坐标方程为 4x＋3y－25＝0.(5 分)
(2)曲线 C 是以 O 为圆心，4 为半径的圆，
|4×0＋3×0－25|
a
a
a
a
∞)单调递增，∴f(x)在 x＝1处取得最小值 f(1)＝－alna＋a，
a
a
若－alna＋a>0，则 a<e，此时 f(x)没有零点；
若－alna＋a＝0，则 a＝e，此时 f(x)有 1 个零点；
若－alna＋a<0，则 a>e，f(1)>0，求导易得 f(a12)>0，此时 f(x)在(a12，1a)，(1a，1)上各有 1 个零点．
－x－2y＋z＝0
则
，令 x＝1 得 m＝(1，1，3)．
x－y＝0
同理可求得平面 BCC1 的法向量 n＝(1，0，1)，∴cos<m，n>＝
4 11×
＝2 22.(12 分) 2 11

2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三第二学期第二次大联考(理科)数学试卷解析版

2019-2020学年高三第二学期第二次大联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x2≤a2，a∈N*}，若A⊆B，则a的最小值为（）A．1B．2C．3D．42．设i是虚数单位，，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．已知函数，则＝（）A．B．C．﹣log32D．log324．已知向量1），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则α∥β”是“m∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升（注：一斗为十升）．问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝15（单位：升），则输入的k的值为（）A．45B．60C．75D．1007．要得到函数y＝cos2x﹣sin2x的图象，只需把函数y＝sin2x﹣cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移单位D．向右平移个单位8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统．学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（）A．120种B．240种C．480种D．600种9．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a＝1，4c sin A＝3cos C，△ABC的面积为，则c＝（）A．2B．4C．5D．310．定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣3﹣x）+f（x﹣3）＝0．若f（1）＝1，f（2）＝﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝（）A．﹣1B．0C．1D．211．已知F1F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥BF1，|AF2|＝|BF2|，则C的离心率为（）A．2B．C．D．12．已知A，B是函数图象上不同的两点，若曲线y＝f（x）在点A、B处的切线重合，则实数a的最小值是（）A．﹣1B．C．D．1二、填空题13．已知x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为．14．若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则C的长轴长为15．已知函数，若方程的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则x1+x2＝，sin（x1﹣x2）＝．16．在四棱锥P﹣ABCD中，PAB是边长为的正三角形，ABCD为矩形，AD＝2，PC ＝PD＝．若四棱锥P﹣ABCD的顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n是a n与的等差中项．（1）证明：为等差数列，并求S n；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n．，求满足T n≥5的最小正整数n的值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△A1BC均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠BA1C＝90°，侧面BAA1B1是菱形．（1）证明：平面ABC⊥平面A1BC；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的余弦值．19．某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率．（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差σ2（结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65）的人数，求X的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y近似服从正态分布N（μ，σ2）．若P（μ﹣2σ≤Y＜μ+2σ）＞0.9544，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x﹣2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y 的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．（1）证明：MN⊥x轴；（2）直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．21．已知函数．（1）讨论f（x）的零点个数；（2）证明：当时，．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到曲线C1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣25＝0．（1）写出C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（2）曲线C1上是否存在不同的两点M（4，θ1），N（4，θ2）（以上两点坐标均为极坐标，0≤θ1＜2π，0≤θ2＜2π），使点M、N到l的距离都为3？若存在，求出|θ1﹣θ2|的值；若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b均为正数，且ab＝1．证明：（1）（2）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x2≤a2，a∈N*}，若A⊆B，则a的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据集合包含关系，判断B中元素，然后求解．解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x2≤a2，a∈N*}，若A⊆B，∴﹣2∈B，∴a≥2，故选：B．2．设i是虚数单位，，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解：，∴5+ai＝3a+2+（3﹣2a）i，可得：5＝3a+2，a＝3﹣2a，解得a＝1．故选：C．3．已知函数，则＝（）A．B．C．﹣log32D．log32【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（）的值，再求f（f（））的值．解：因为，则＝f（log）＝f（﹣）＝＝故选：A．4．已知向量1），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°【分析】根据题意，设向量与的夹角为θ，求出•、||、||的值，有数量积的计算公式计算可得答案．解：根据题意，设向量与的夹角为θ，又由向量1），则•＝15﹣2＝13，||＝，||＝，故cosθ＝＝＝，则θ＝45°；故选：A．5．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则α∥β”是“m∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据平面几何知识，进行判断．解：α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，若α∥β，则m∥β，若m∥β，则α与β可能平行，相交，故选：A．6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升（注：一斗为十升）．问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝15（单位：升），则输入的k的值为（）A．45B．60C．75D．100【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：S＝k，n＝1，第一次执行循环体后，n＝2，S＝，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，n＝3，S＝，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，n＝4，S＝，满足退出循环的条件；若输出的S＝15（单位：升），即＝15，则输入的k的值为60，故输出k值为60，故选：B．7．要得到函数y＝cos2x﹣sin2x的图象，只需把函数y＝sin2x﹣cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移单位D．向右平移个单位【分析】本题是三角函数图象平移问题可引入辅助角问题，函数y＝sin2x﹣cos2x＝2sin2（x﹣），给定函数y＝cos2x﹣sin2x＝2sin2（x+），即向左平移个单位得到．解：y＝cos2x﹣sin2x，＝2（cos2x﹣sin2x），2（cos2x cos﹣sin2x sin），＝2cos（2x+）＝2sin[+（2x+）]＝2sin（2x+）＝2sin2（x+），y＝sin2x﹣cos2x，＝2（sin2x﹣cos2x）＝2（sin2x cos﹣cos2x sin）＝2sin（2x﹣）＝2sin2（x﹣），所以将函数y＝sin2x﹣cos2x向左平移个单位得到函数y＝cos2x﹣sin2x．故选：A．8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统．学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（）A．120种B．240种C．480种D．600种【分析】由题意将每周星期一至星期五，分为（2，1，1，1）一组，再配给四大名著，即可求出答案．解：由题意将每周星期一至星期五，分为（2，1，1，1）一组，再配给四大名著，故有C52A44＝240种，故选：B．9．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a＝1，4c sin A＝3cos C，△ABC的面积为，则c＝（）A．2B．4C．5D．3【分析】由已知可得4c sin A＝3cos C＝3a cos C，然后结合正弦定理及同角平方关系可求sin C，然后结合三角形的面积公式可求b，再由余弦定理可求c．解：因为a＝1，4c sin A＝3cos C＝3a cos C，由正弦定理可得4sin C sin A＝3sin A cos C，因为sin A≠0，所以4sin C＝3cos C，，联立可得，cos C＝，sin C＝，∵△ABC的面积为＝＝，∴b＝5，则由余弦定理可得，，∴c＝3．故选：D．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣3﹣x）+f（x﹣3）＝0．若f（1）＝1，f（2）＝﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】根据f（x）是R上的奇函数，以及f（﹣3﹣x）+f（x﹣3）＝0即可得出f（x+6）＝f（x），从而得出f（x）的周期为6，并根据f（1）＝1，f（2）＝﹣2，f（0）＝0及f（x+6）＝f（x）可求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6），从而可得出答案．解：：∵y＝f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数满足f（﹣3﹣x）+f（x﹣3）＝0，∴f（x﹣3）＝f（x+3），∴f（x）＝f（x+6），即f（x）的周期为6，∵f（1）＝1，f（2）＝﹣2且f（0）＝0，∴由f（x）＝f（x+6）得，f（3）＝f（﹣3）＝﹣f（3），故f（3）＝0，f（4）＝f（﹣2）＝﹣f（2）＝2，f（5）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，f（6）＝f（0）＝0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝f（6）＝0，且2020＝6×336+4，∴f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2020）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1．故选：C．11．已知F1F2分别为双曲线的左、右焦点，过F1的直线l 交C于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥BF1，|AF2|＝|BF2|，则C的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，则EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，则e＝＝故选：D．12．已知A，B是函数图象上不同的两点，若曲线y＝f（x）在点A、B处的切线重合，则实数a的最小值是（）A．﹣1B．C．D．1【分析】分别在两段上求出各自在A，B处的切线方程，然后令两方程重合，得到它们切点的横坐标间的方程组，消元即可将a表示成关于其中一个坐标的函数，再利用单调性求出最小值即可．解：设A、B的横坐标分别为m，n（m≤0，n＞0）且f′（x）＝2x+1（x≤0）；f′（x）＝lnx+1，故A处切线为：y﹣（m2+m+a）＝（2m+1）（x﹣m），即y＝（2m+1）x﹣m2+a，B处切线为：y﹣（nlnn﹣a）＝（lnn+1）（x﹣n）即y＝（lnn+1）x﹣n﹣a，因为两切线重合，所以，消去n得﹣2a＝e2m﹣m2，（m≤0），令g（m）＝e2m﹣m2，（m≤0），g′（m）＝2e2m﹣2m＞0恒成立，g（m）在（﹣∞，0]上是增函数，故﹣2a≤g（0）＝1，所以．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值为2．【分析】首先画出可行域，关键目标函数的几何意义求最小值．解：由约束条件得到可行域如图：z＝3x+2y变形为y＝﹣x+z，当此直线经过图中B（0，1）时，在y轴的截距最小，z最小，所以z的最小值为3×0+2×1＝2；故答案为：2．14．若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则C的长轴长为2【分析】由题意可得椭圆的焦点在y轴上，且c＝1，由题意的定义可得a2，b2的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程，进而可得长轴长的值．解：有题意可得椭圆的焦点在y轴上，且c＝1，所以m2﹣1﹣m＝1，且m＞0，m2﹣1＞0，解得m＝2，所以椭圆的标准方程为：+＝1，所以a2＝3，即a＝，所以长轴长2a＝2，故答案为：215．已知函数，若方程的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则x1+x2＝，sin（x1﹣x2）＝﹣．【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性求出x1+x2的值．由已知可得x2＝﹣x1，结合x1＜x2求出x1的范围，再由sin（x1﹣x2）＝﹣cos（2x1﹣），求解即可．解：∵函数，若方程的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），∴2x1﹣+（2x2﹣）＝2×，则x1+x2＝，因为0＜x＜π，∴2x﹣∈（﹣，）．又因为方程的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），x1+x2＝，∴x2＝﹣x1，∴sin（x1﹣x2）＝sin[x1﹣（﹣x1）]＝sin（2x1﹣）＝﹣cos（2x1﹣）．由0＜x1＜x2＜π，可得0＜x1＜，故2x1﹣∈（﹣，）．再根据sin（2x1﹣）＝，可得cos（2x1﹣）＝，故sin（x1﹣x2）＝﹣cos（2x1﹣）＝﹣．故答案为：；﹣．16．在四棱锥P﹣ABCD中，PAB是边长为的正三角形，ABCD为矩形，AD＝2，PC ＝PD＝．若四棱锥P﹣ABCD的顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为28π．【分析】有题意求出AB，CD的中点连接PN，PQ，有题意可得NQ，AC，BD交于一点，可求出四棱锥为顶点P到AB距离及到底面的距离，过矩形ABCD的对角线的交点作垂直于底面的垂线，取O使OP＝OA＝R为外接球的半径，分别在两个三角形中有R 表示的式子，解出R，进而求出表面积．解：取AB的中点N，连接PN，因为△PAB是正三角形，所以PN⊥AB，PN＝AB ＝＝3，CD的中点Q，则NQ与矩形ABCD的对角线交于一点，设矩形ABCD对角线的交点M，则M为四边形ABCD外接圆的圆心，PC＝PD＝，所以PQ＝＝＝，所以外接圆的半径为对角线的一半AM＝r＝＝2，过M作MO垂直于底面ABCD，过P作PH⊥底面ABCD与H，作OE⊥PH于N，则四边形OMHE为矩形，则球心在MO上，设球心为O，连接OP，则OP为外接球的半径R，有题意如图NQ＝2，PN＝3，在三角形PNQ中，cos∠PNQ＝＝＝﹣，所以∠PNH＝60°，所以PH＝PN sin60°＝3×＝，HN＝PN cos60°＝3×＝，在三角形PEO中，由勾股定理可得：OP2＝PE2+OE2，OE＝HM＝NH+MN＝1+＝，即R2＝（PH﹣HE）2+（）2＝（﹣HE）2+，在三角形OMA中，OA2＝r2+OM2，即R2＝4+OM2，OM＝HE，两式联立可得：NE＝，R＝所以外接球的表面积S＝4πR2＝28π，故答案案为：28π三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n是a n与的等差中项．（1）证明：为等差数列，并求S n；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n．，求满足T n≥5的最小正整数n的值．【分析】（1）由等差数列的中项性质和数列的递推式、结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得＝＝﹣，运用数列的裂项相消求和可得T n，解不等式可得所求最小值．解：（1）证明：由S n是a n与的等差中项，可得2S n＝a n+，当n＝1时，2a1＝2S1＝a1+，解得a1＝1（﹣1舍去），当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得2S n＝S n﹣S n﹣1+，化为（S n+S n﹣1）（S n﹣S n﹣1）＝1，即S n2﹣S n﹣12＝1，则为首项为1，公差为1的等差数列，由S n2＝1+n﹣1＝n，可得S n＝，n∈N*；（2）＝＝﹣，T n＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣＝﹣1，T n≥5，即﹣1≥5，解得n≥35，则满足T n≥5的最小正整数n的值为35．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△A1BC均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠BA1C＝90°，侧面BAA1B1是菱形．（1）证明：平面ABC⊥平面A1BC；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的余弦值．【分析】（1）取BC中点O，连结AO，A1O，推导出BO＝CO＝AO＝A1O，AB＝AC＝AA1，AO⊥BC，A1O⊥BC，∠A1OA是平面ABC与平面A1BC所成二面角的平面角，再推导出∠A1OA＝∠AOB＝90°，由此能证明平面ABC⊥平面A1BC．（2）以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BC1﹣C的余弦值．解：（1）证明：取BC中点O，连结AO，A1O，∵△ABC与△A1BC均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠BA1C＝90°，侧面BAA1B1是菱形．∴BO＝CO＝AO＝A1O，AB＝AC＝AA1，AO⊥BC，A1O⊥BC，∴∠A1OA是平面ABC与平面A1BC所成二面角的平面角，△ABO≌△ACO≌△A1AO，∴∠A1OA＝∠AOB＝90°，∴平面ABC⊥平面A1BC．（2）解：由（1）知OA，OC，OA1两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，设OA＝1，则A（0，1，0），B（﹣1，0，0），C1（1，﹣1，1），C（1，0，0），＝（1，1，0），＝（2，﹣1，1），＝（2，0，0），设平面ABC1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣3），设平面BCC1的法向量＝（a，b，c），则，取b＝1，得＝（0，1，1），设二面角A﹣BC1﹣C的平面角为θ，则二面角A﹣BC1﹣C的余弦值为：cosθ＝＝＝．19．某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率．（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差σ2（结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65）的人数，求X的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y近似服从正态分布N（μ，σ2）．若P（μ﹣2σ≤Y＜μ+2σ）＞0.9544，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由．【分析】（1）根据图中的数据，先算出每段上的频率，再套用公式计算即可．（2）全校学生基数很大，所以可以看成三次独立重复试验，因此X服从二项分布，求出每次发生的概率，写出分布列、利用公式计算期望．（3）前面已经算出均值、方差，所以直接计算P（μ﹣2σ≤Y＜μ+2σ）即可．解：（1）由已知得：μ＝5（47.5×0.004+52.5×0.026+57.5×0.07+62.5×0.07+67.5×0.026+72.5×0.004）＝60σ2＝5[（47.5﹣60）2×0.004+（52.5﹣60）2×0.026+（57.5﹣60）2×0.07+（62.5﹣60）2×0.07+（67.5﹣60）2×0.026+（72.5﹣60）2×0.004]＝25（2）用样本的频率估计总体的频率，可知从全校学生中随机抽取一人，体重自[55，65]的概率为0.7，随机抽取三人相当于三次独立重复试验，故随机变量X服从二项分布B （3，0.7）．所以P（X＝0）＝；P（X＝1）＝；P（X＝2）＝；P（X＝3）＝．所以分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343所以期望E（X）＝3×0.7＝2.1．（3）由题意知体重Y～N（60，25），σ＝5．则P（μ﹣2σ≤Y＜μ+2σ）＝P（50≤Y＜70）＝0.96＞0.9544．该校学生的体重正常．20．在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x﹣2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y 的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．（1）证明：MN⊥x轴；（2）直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）设切点A，B的坐标，求导可得在A，B的切线的斜率，进而求出切线MA，MB的方程，因为M为两条切线的交点，设M的坐标，可得A，B的横坐标是方程x2﹣2tx+t﹣2＝0的两根，可得横坐标之和，进而求出AB中点N的横坐标，可得M，N的横坐标相同，即MN⊥x轴；（2）由（1）可得AB的中点N的纵坐标，求出直线AB的斜率（用A，B的坐标表示），进而切线直线AB的方程，可得恒过定点．解：（1）设切点A（x1，x12），B（x2，x2），因为y'＝2x，所以切线MA的斜率为2x1，直线MA的方程为：y＝2x1（x﹣x1）+x12＝2x1x ﹣x12，设M的坐标为：（t，t﹣2）所以x12﹣2tx1+t﹣2＝0，直线MB的斜率为2x2，切线MB的方程为y＝2x2x﹣x22，所以M点是方程x22﹣2tx2+t﹣2＝0，所以x1，x2是方程x2﹣2tx+t﹣2＝0的两根，x1+x2＝2t，因为N为AB的中点．所以x N＝＝t，所以M，N的横坐标相同，即证MN⊥x轴．（2）由（1）得y N＝（x12+x22）＝＝2t2﹣t+2，又因为k AB＝＝x1+x2＝2t，所以直线AB的方程为：y﹣（2t2﹣t+2）＝2t（x﹣t），即y﹣2＝2t（x﹣），所以直线AB恒过一定点（，2）．21．已知函数．（1）讨论f（x）的零点个数；（2）证明：当时，．【分析】（1）求导得，分a＜0，a＝0及a＞0三种情况讨论，当a＞0时，利用导数易得，再讨论最小值与0的关系，综合即可得出结论；（2）分析可知要证明，即证，分别构造函数h（x）＝axlnx+1，，利用导数易证h（x）＞g（x），由此即可得证．解：（1），当a＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，，由零点存在性定理可知，此时函数f（x）有一个零点；当a＝0时，函数f（x）无零点；当a＞0时，由f′（x）＜0，得，由f′（x）＞0，得，∴函数f（x）在单调递减，在单调递增，∴，当﹣alna+a＞0，即a＜e，此时函数f（x）无零点，当﹣alna+a＝0，即a＝e，此时函数f（x）有一个零点；当﹣alna+a＜0，即a＞e，，此时函数f（x）在各有一个零点，综上，当0≤a＜e时，函数f（x）没有零点，当a＜0或a＝e时，函数f（x）有一个零点，当a＞e时，函数f（x）有两个零点；（2）证明：令h（x）＝axlnx+1，则h′（x）＝a（1+lnx），当时，h′（x）＞0，当时，h′（x）＜0，∴，令，则，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，∴，∴h（x）＞g（x），即，∴，即得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到曲线C1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣25＝0．（1）写出C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（2）曲线C1上是否存在不同的两点M（4，θ1），N（4，θ2）（以上两点坐标均为极坐标，0≤θ1＜2π，0≤θ2＜2π），使点M、N到l的距离都为3？若存在，求出|θ1﹣θ2|的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先将曲线C化为普通方程为，再根据变换法则可得曲线C1的直角坐标方程，由极坐标与直角坐标的转换关系可得直线l的直角坐标方程；（2）由点到直线的距离公式可求得点O到直线l的距离为5，大于3，故存在点M，N，且MN∥l，点O到直线MN的距离为|OD|＝2，由此得出结论．解：（1）由曲线C的参数方程为可得其直角坐标方程为，将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到曲线C1的直角坐标方程为x2+y2＝16，其极坐标方程为ρ＝4，又直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ﹣25＝0，故其直角坐标方程为4x+3y﹣25＝0；（2）曲线C1是以O为圆心，4为半径的圆，圆心O到直线l的距离为，∴存在这样的点M，N，则MN∥l，且点O到直线MN的距离为|OD|＝2，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b均为正数，且ab＝1．证明：（1）（2）．【分析】（1）由均值不等式可得2（a2+b2）≥（a+b）2，结合题意可得，两边开方即得证；（2）通过变形可得，再利用均值不等式即可得证．【解答】证明：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，即，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴；（2）＝＝（a3+b3）+2（a2+b2）+（a+b），当且仅当a＝b＝1时取等号．。

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20. 分别过椭圆
左、右焦点、的动直线、相交于点，与椭圆
分别交于、与、不同四点，直线、、、的斜率分别为、、、，且满
4
足
，已知当与轴重合时，
，
．
（ 1 ）求椭圆的方程．（ 2 ）是否存在定点，，使得说明理由．
为定值？若存在，求出、点坐标，若不存在，
是纯虚数，则复数
在复平面内对应的点位于（）．
6. 湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为球前，球面上的点到冰面的最大距离为（）． A. B. C. D.
，深
的空穴，则取出该
7. 已知函数 A. 的最小正周期为，且在 B. 的最小正周期为，且在 C. 的最小正周期为，且在 D. 的最小正周期为，且在
（ 1 ）求数列（2）设
的通项公式．，求数列
的前项和．
【答案】
（1）
．
（2）
．
解析: （ 1 ）由
，两边平方并整理得：
∴
，又
，∴
当
时，
由① ②得
，∴
，
又因为
，所以
，
∴数列的首项为，公差为等差数列，∴
（2）
，
∴
，
．
① ②
．
两式相减得
，
∴
．
11
19. 如图，在梯形
中，
，
形，平面
平面
，
2
由命题的否定的定义可知正确．
5. 若复数 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 B
解析:
， ∴ 故选．

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