数学《点到直线的距离》优质课件(新人教B版必修2)
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《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
2 2
2 5
y
P(-1,2) O
②如图，直线3x=2平行于y轴，
d 2 3 ( 1) 5 3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样？
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
则 点 P 到 直 线 l 2的 距 离 为 : P Q A x0 B y0 C 2 A B
2 2
点 P 在 直 线 l1 上 ， A x 0 B y 0 C 1 0
A x0 B y0 C1 P Q
C 2 C1 A
2
B
2
（两平行线间 的距离公式）
d 23 70 8 2 (7)
2 2
14 53
14
53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
2 5
y
P(-1,2) O
②如图，直线3x=2平行于y轴，
d 2 3 ( 1) 5 3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样？
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
则 点 P 到 直 线 l 2的 距 离 为 : P Q A x0 B y0 C 2 A B
2 2
点 P 在 直 线 l1 上 ， A x 0 B y 0 C 1 0
A x0 B y0 C1 P Q
C 2 C1 A
2
B
2
（两平行线间 的距离公式）
d 23 70 8 2 (7)
2 2
14 53
14
53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
《点到直线的距离》课件1(北师大版必修2)
x
方法二： 构造直角三角形边为求斜边上的高，
设A，B，这时直线与x 轴y轴都 有交点，过点p作x轴的平行线，交l l R 于点（x1，y0），作y轴的平行线交l 于S（x0，y2），如何求RS的坐标？
0
y P d Q S x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点p（x０，y０）到直线Ａx＋Ｂy＋Ｃ＝０ 的距离．
d
| Ax0 By0 C | A2 B 2
两条平行线间的距离定义： 两条平行线间的距离是指夹 在两平行线间的公垂线段的长度．
设直线l１∥l２如何求它们之间的距离？
在一条直线上取一点，可以转化为点到 直线的距离．
已知两条平行直线l１和l２的一般方程为：
l１：Ａx＋Ｂy＋Ｃ１＝０；
L２：Ａx＋Ｂy＋Ｃ２＝０
求证：：l１与l２的距离为：
d
|c1 c2 | A2 B 2
当Ａ＝０或Ｂ＝０时，以上公式也适用．
例１：求点p０（－１，２）到下列直 线的距离： （１）２x＋y－１０＝０ （２）３x＝２
例２：已知点Ａ（１，３），Ｂ（３，１）， Ｃ（－１，０）求∆ＡＢＣ的面积．
例３：已知点Ａ（a，６），到直线３x－４y＝２的 距离d取下列各值．求a的值（１）d＝４，（２）d ＞４
一：复习与回顾： 两点间的距离公式：
可得两点p1 x1，y1），p2 x2，y2）间的距离 （ （ 公式：p1 p2 | （x2 x1 ) ( y2 y1 ) |
2 2
二：问题：在平面直角坐标系中，如果已 知某点p的坐标为（x0，y0）直线l的方程为 Ax+B y+C=0，怎样由点的坐标和直线的方 程直接求点p到直线的距离呢？
例４：已知直线l１：２x－７y－８＝０；
2017-2018学年高一数学人教B版必修2课件：2-2-4点到直
7 5 答案： 5
.
【做一做1-2】 若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,则 m= .
解析： P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离 或 m=-3.
答案：7 或-3
|4������-8| d= 5 =4,解得 m=7
1
2
3
2.点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|; (4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 若点(-2,2)到直线3x+4y+m=0的距离为4,求m的 值.
分析：直接根据点到直线的距离公式列方程求解.
解由点(-2,2)到直线3x+4y+m=0的距离为4,
可得 d=
|3× (-2)+4×2+������| 32 +42
=
|2+������| =4, 5
解得m=18或-22.因此,m的值为18或-22.
题型一
题型二
题型三
题型四
两平行线之间的距离
【例2】 已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 2 ,求l1的 方程. 分析：由l1与l2平行设出l1的方程后根据平行线间的距离公式求 解.
解因为l1∥l2,所以可设l1的方程为x+y+c=0.
5 解 (1)直线 l1 的方程可化为 12x-5y+2=0,因此 l1 与 l2 之间的距离
.
【做一做1-2】 若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,则 m= .
解析： P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离 或 m=-3.
答案：7 或-3
|4������-8| d= 5 =4,解得 m=7
1
2
3
2.点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|; (4)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 若点(-2,2)到直线3x+4y+m=0的距离为4,求m的 值.
分析：直接根据点到直线的距离公式列方程求解.
解由点(-2,2)到直线3x+4y+m=0的距离为4,
可得 d=
|3× (-2)+4×2+������| 32 +42
=
|2+������| =4, 5
解得m=18或-22.因此,m的值为18或-22.
题型一
题型二
题型三
题型四
两平行线之间的距离
【例2】 已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 2 ,求l1的 方程. 分析：由l1与l2平行设出l1的方程后根据平行线间的距离公式求 解.
解因为l1∥l2,所以可设l1的方程为x+y+c=0.
5 解 (1)直线 l1 的方程可化为 12x-5y+2=0,因此 l1 与 l2 之间的距离
人教版高中数学必修二《点到直线的距离》教学课件
思路一：直接法
y
思路简单 运算繁琐
直线 的方程 直线 的斜率
O
x点
的坐标 直线 斜率
的
直线 的方程 直线 交点
的方程
点 的坐标
点 的坐标
两点间距离公式
点
之间的距离 （ 到 的距离）
求P(x0,y0)到直线l :Ax+By+C=0的距离。
思路二：间接法
求出点 的坐标 求出点 的坐标
求出
y
求出
利用勾股定理求出
点到直线的距离
复习与回顾
两点间的距离公式（一）
两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)间的距离公式：
y
P1(x1,y1)
H (x2,y1) P2(x2,y2)
o
x
复习与回顾 两点间的距离（二）
两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)间的距离公式：
两点间的距离公式中特别的情况： (1) 若直线P1P2 与x轴平行或重合，即y1=y2 时
式
公式特点：（1）公式的分子部分绝对值里面的式 子与直线的一般式方程等式左边部分形式相同；
（2）公式的分母部分根号里面是直线一般式形 式中的x，y的系数的平方和； 所以我们必须注意：利用点到直线的距离公式 时，必须注意先把直线方程化成一般式。
典型例题
例1 求点
到直线
的距离．
解：把直线 l 的方程化为一般式得 3x－2 ＝0,所以，点P0到直线 l 的距离为：
|P1P2|=|x2-x1| (2) 若直线P1P2与y轴平行或重合，即x1=x2 时
| P1P2 |=|y2-y1|
思考：
点到直线的距离
如图，已知点P和直线 l ，
(教师用书)高中数学 2.2.4 点到直线的距离课件 新人教B版必修2
【提示】 等于．
已知直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 和 l2：Ax＋By＋C2＝0 |C1－C2| (C1≠C2)，则这两条平行直线之间的距离为
A2＋B2
.
点到直线的距离
已知点 A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC 的 面积． 【思路探究】
根据三角形的面积公式，需要求出一条
边与这条边上的高的长度，用两点间的距离公式和点到直线 的距离公式求出这两个长度即可．
●教学建议 根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用 类比发现式教学模式．从学生熟知的实际生活背景出发，通 过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生 探索点到直线的距离的求法．让学生在合作交流、共同探讨 的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高 学生几何问题代数化的数学能力．对于两平行直线之间的距 离，由于两平行线间的距离处处相等，故教学时，可采用类 比化归的思想，将其转化为点到直线的距离来解决问题．
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 ；点 P(x0，y0)到直线 l1：x＝x1 的距离
为 |x0－x1|；点 P(x0，y0)到直线 l2：y＝y1 的距离为 |y0－y1| .
两平行线间的距离公式
【问题导思】 如图 l1∥l2， 两平行线间的距离等于其中任意一条直线上 的任意点到另一条直线的距离吗？
由点(－2,2)到直线 3x＋4y＋m＝0 的距离为 4，
|3×－2＋4×2＋m| |2＋ m| 得 d＝ ＝ 5 ＝4， 2 2 3 ＋4 ∴|2＋ 或－22.
两平行直线的距离
求两平行线 l1：3x＋4y＝10 和 l2：3x＋4y＝15 的距离．
求两平行直线间的距离有两种思路：①利用“化归”法 将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条 直线的距离； ②直接利用两平行线间的距离公式 d＝ |C2－C1| 2 2，但必须注意两直线方程中 x，y 的系数对应相等． A ＋B
数学：2.2.4点到直线的距离 课件(新人教B版必修2)
|Ax1＋By1＋C| |C1－C2| 用公式 d＝ 或 d＝ 2 2 2 2求解． A ＋B A ＋B
求与直线 2x － y － 1 ＝ 0 平行，且与此直 线距离为2的直线方程． 【分析】 可根据平行直线设出所求直线方程， 利用距离确定参数． 【解】 法一：由已知，可设所求的直线方程 为 2x－y＋C＝0，则它到直线 2x－y－1＝0 的 |C－－1| |C＋1| 距离 d＝ 2 ＝ 2，∴ |C＋ 1| ＝ 2＝ 5 2 ＋－1 2 5，C＝± 2 5－1， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x －y－2 5－1＝0.
课堂互动讲练
考点突破
求点到直线的距离
|Ax1＋By1＋C| 利用公式 d＝ 求点(x1， y1)到直线 2 2 A ＋B Ax＋By＋C＝0 的距离：
直线 l 经过点 P(2 ，－ 5) ，且与点 A(3 ，－ 2) 和B(－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程． 【分析】 在已知一点求直线方程时，应首先考 虑斜率不存在时直线是否满足题意，然后再设出 斜率，利用点到直线的距离公式求之． 【解】 ∵直线l过点P(2，－5)，当斜率不存在时， 直线为x＝2，这时d1＝1，d2＝3，d1∶d2≠1∶2， ∴所求直线的斜率是存在的． ∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)， 即kx－y－2k－5＝0，
求两平行直线间的距离有两种思路：
(1) 直接利用两平行线间的距离公式，但必须注意 两直线方程中的x、y的系数对应相等；
(2) 将两平行线间的距离转化或化归为求一条直线
上任意一点到另一条直线的距离来求解．
本题在求解过程中，要注意公式中含有绝对值，
解方程时不要漏解．
跟踪训练 2
求两平行线 l1：3x＋4y＝10和l2：3x
高中数学必修二《点到直线的距离》PPT
d By0 C . B
y l
P
O
x
（2）当 A≠ 0，B =0 时 d Ax0 C . A
公式的应用
例1：求点 P(1,到2)下列直线的距离。 （1）3x 2;
（2）5x 2y 1 0.
（3）y 3 x 1; 4
答案： （1）5 ； （2） 0 ； （3）3 . 3
公式应用
例2 已知点 A1，3，B3，1，C－1，0 ，求ABC
利用等面积法求出|PQ|。
| PQ | | PM | | PN | | Ax0 By0 C |
| PM |2 | PN |2
A2 B2
点到直线的距离公式
点 P(x到0, y直0 )线
l : Ax的距By离 C公式0为
特殊情形
d Ax0 By0 C A2 B2
yQ
l
P
O
x
（1）当 A=0，B≠ 0 时
点到直线的距离
树不修，长不直; 人不学，没知识。
教学目标: 使学生了解点到直线距离公式的 推导，能记住点到直线距离的公式，并会 应用公式解题，渗透算法思想。 教学重点：点到直线距离的公式及其应用。
教学难点：点到直线的距离公式的推导。
复习引入
两点间的距离公式是什么？
已知点 P1x1, y1 ，P2 x2, y2 ，则
求出点N坐标
M Q N
P
O
求出 PM
求出 PN
利用勾股定理求出 MN x
用面积法求出 PQ
l
求出直角三角形三条边长；
易得，PM Ax0 By0 C B
PN Ax0 By0 C A
| MN | | PM |2 | PN |2 | Ax0 By0 C | A2 B2 | A || B |
高中数学必修二《 点到直线的距离》ppt课件
.
新课探究
一、点到直线的距离
过点 P 作直线 l 的
垂线，垂足为 Q 点，线 段 P Q 的长度叫做点 P
到直线 l 的距离．
.
y
Q·
·P
O
x
问题1 当A=0或B=0时,直线为y=y1或 x=x1的形式.如何求点到直线的距离？
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
练习2 求原点到下列直线的距离：
(1) 3x+2y-26=0 2 13 (2) y=x 0 练习3 （１）A(-2,3)到直线 9 3x+4y+3=0的距离为_____. 5
（２）B(-3,5)到直线 2y+8=0的距离为
______. 9
=0
所以l1:
Byx-Ay-Bx0+Ay0=0
P0(x0, y0)
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
太麻烦！
x1
B2x0
AB0yAC A2B2
换y1个A角BA 0度2xBB 思02y考BC ！
|P| Q (x 0x 1)2 (y0y 1)2
Q
O
x
l:AxByC0
.
Ax1+By1+C=0
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
.
[思路二] 构造直角三角形求其高。
y
S Q
O
P(x0,y0)
R
x
L:Ax+By+C=0
.
y
S P(x0,y0)
Q
新课探究
一、点到直线的距离
过点 P 作直线 l 的
垂线，垂足为 Q 点，线 段 P Q 的长度叫做点 P
到直线 l 的距离．
.
y
Q·
·P
O
x
问题1 当A=0或B=0时,直线为y=y1或 x=x1的形式.如何求点到直线的距离？
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
练习2 求原点到下列直线的距离：
(1) 3x+2y-26=0 2 13 (2) y=x 0 练习3 （１）A(-2,3)到直线 9 3x+4y+3=0的距离为_____. 5
（２）B(-3,5)到直线 2y+8=0的距离为
______. 9
=0
所以l1:
Byx-Ay-Bx0+Ay0=0
P0(x0, y0)
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
太麻烦！
x1
B2x0
AB0yAC A2B2
换y1个A角BA 0度2xBB 思02y考BC ！
|P| Q (x 0x 1)2 (y0y 1)2
Q
O
x
l:AxByC0
.
Ax1+By1+C=0
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
.
[思路二] 构造直角三角形求其高。
y
S Q
O
P(x0,y0)
R
x
L:Ax+By+C=0
.
y
S P(x0,y0)
Q
【人教版】高中数学必修二：《点到直线的距离》 PPT
（其中A、B不同时为0）的距离为
d Ax0 By0 C A2 B2
3x 5
环节4
•即时训练－巩固新 知
例1 求点 P(3,4) 到下列直线的距离：
(1)2x y 10 0
(2)3x 5 (3)3 y 2 x 5
(4) y 2 4 ( x 1) 33
方法② 利用三角函数
方法③ 利用向量的数量积
点到直线的距离公式
4．典型例题
例1
例2
5．课堂小结
6．课后作业
1．问题1 如何求点 P(2,0) 到直线x y 0 的距离？
方法① 方法②
2．问题2 如何求点 P(4, 2) 到直线 2x y 2 0 的距离？
3．问题3
的距离？
如何求点 P(x0, y0 ) 到直线Ax By C 0
A2 B2 0
方法① 利用定义
在教学中始终坚持以学生为主体教师为主导的原则通过问题设置让学生主动参与思考和探究让学生在合作交流共同探讨的氛围中认识公式的推导过程及知识的运用进一步提高学生几何问题代数化的数学思维能力逐步将知识内化为自身的认识结构
教材
目标
分析
分析
教学 方法
教学 程序
板书 设计
教材分析
1．教学内容
这节课是新教材高二第二学期 §11．4“点到直线的距离”的第一节课， 主要内容是点到直线的距离公式的推导 过程和公式应用．
问题2 如何求点 P(4,2)到直线 2x y 2 0 的距离？
设计意图:为了推导点到直线的距离公式，学生会面 临比较抽象的字母运算，通过设置两个由浅入深的 具体问题，使学生能够类比思考，为后面推广到一 般情况作好铺垫．
d Ax0 By0 C A2 B2
3x 5
环节4
•即时训练－巩固新 知
例1 求点 P(3,4) 到下列直线的距离：
(1)2x y 10 0
(2)3x 5 (3)3 y 2 x 5
(4) y 2 4 ( x 1) 33
方法② 利用三角函数
方法③ 利用向量的数量积
点到直线的距离公式
4．典型例题
例1
例2
5．课堂小结
6．课后作业
1．问题1 如何求点 P(2,0) 到直线x y 0 的距离？
方法① 方法②
2．问题2 如何求点 P(4, 2) 到直线 2x y 2 0 的距离？
3．问题3
的距离？
如何求点 P(x0, y0 ) 到直线Ax By C 0
A2 B2 0
方法① 利用定义
在教学中始终坚持以学生为主体教师为主导的原则通过问题设置让学生主动参与思考和探究让学生在合作交流共同探讨的氛围中认识公式的推导过程及知识的运用进一步提高学生几何问题代数化的数学思维能力逐步将知识内化为自身的认识结构
教材
目标
分析
分析
教学 方法
教学 程序
板书 设计
教材分析
1．教学内容
这节课是新教材高二第二学期 §11．4“点到直线的距离”的第一节课， 主要内容是点到直线的距离公式的推导 过程和公式应用．
问题2 如何求点 P(4,2)到直线 2x y 2 0 的距离？
设计意图:为了推导点到直线的距离公式，学生会面 临比较抽象的字母运算，通过设置两个由浅入深的 具体问题，使学生能够类比思考，为后面推广到一 般情况作好铺垫．
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
PR 2 PS 2 A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l R
y
P d Q
x O
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1 2 2
A B
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
例4、过点（1，2），且与点A（2，3）和 B（4，-5）距离相等的直线L的方程。
ห้องสมุดไป่ตู้
例5.求两直线l1 : 4 x 3 y 1 0和l2 :12 x 5 y 13 0 夹角平分线方程.
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
PR 2 PS 2 A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l R
y
P d Q
x O
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1 2 2
A B
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
例4、过点（1，2），且与点A（2，3）和 B（4，-5）距离相等的直线L的方程。
ห้องสมุดไป่ตู้
例5.求两直线l1 : 4 x 3 y 1 0和l2 :12 x 5 y 13 0 夹角平分线方程.
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R 作y轴的平行线, 交l与点S x0 , y2
y
P
d
By0 C Ax0 C x x1 , y2 S O A B Ax0 By0 C Ax0 By0 C PR x0 x1 , PS y0 y2 A B
小结：
（1）点到直线距离公式： d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A B
2 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业: 书本P109 (A)9,10(B)2,4,5 随堂:P105 8,9
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R 作y轴的平行线, 交l与点S x0 , y2
y
P
d
By0 C Ax0 C x x1 , y2 S O A B Ax0 By0 C Ax0 By0 C PR x0 x1 , PS y0 y2 A B
小结：
（1）点到直线距离公式： d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A B
2 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业: 书本P109 (A)9,10(B)2,4,5 随堂:P105 8,9
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q
l2
x
O
任意两条平行直线都可以写 成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点P x0 , y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 By0 C2 则点P到直线l2的距离为: PQ A2 B2 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
Ax0 By0 C Ax0 By0 C . A B
S
d
Ax0 By0 C A2 B 2
A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
小结：
（1）点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A2 B 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
《点到直线的距离公式》人教版高中数学必修二PPT课件(第3.3.3课时)
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老师：
时间：2020.4
数学学习品质。
新知探究
几何画板动态演示 铁路
仓库
建模
点到直线的距离
y l : Ax+By+C=0
. P (x0,y0)
o
x
新知探究
课题引入 •Ax+By+C=0 (A、B不同时为0） (1) A=0或B=0(特殊直线) (2) A0且B0(一般直线) • 两点间的距离:|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2 点到直线 的距离公式 |AB|=|x2-x1|或|y2-y1|
人教版高中数学必修二
第3章 直线与方程
3.3.3点到直线的距离公式
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人： 时间：2020.6.1
课堂导入
地位与作用 点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也 是研究直线与圆的位置关系的主要工具。 教材对公式推导的处理 没有说明原因,直接作辅助线,这样做无法展现为什么会想到要构造直角三角形这一最需要学生探 索的过程,不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法.
教学目标
• 1、知识目标： （1）掌握点到直线距离公式的推导，并能用公式计算。 （2）领会渗透于公式推导中的数学思想（如化归思想、数形结合、分类讨论等数学思想），掌
握用化归思想来研究数学问题的方法。 • 2、能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结，发现问题、解决问题，从而达
老师：
时间：2020.4
数学学习品质。
新知探究
几何画板动态演示 铁路
仓库
建模
点到直线的距离
y l : Ax+By+C=0
. P (x0,y0)
o
x
新知探究
课题引入 •Ax+By+C=0 (A、B不同时为0） (1) A=0或B=0(特殊直线) (2) A0且B0(一般直线) • 两点间的距离:|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2 点到直线 的距离公式 |AB|=|x2-x1|或|y2-y1|
人教版高中数学必修二
第3章 直线与方程
3.3.3点到直线的距离公式
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人： 时间：2020.6.1
课堂导入
地位与作用 点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也 是研究直线与圆的位置关系的主要工具。 教材对公式推导的处理 没有说明原因,直接作辅助线,这样做无法展现为什么会想到要构造直角三角形这一最需要学生探 索的过程,不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法.
教学目标
• 1、知识目标： （1）掌握点到直线距离公式的推导，并能用公式计算。 （2）领会渗透于公式推导中的数学思想（如化归思想、数形结合、分类讨论等数学思想），掌
握用化归思想来研究数学问题的方法。 • 2、能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结，发现问题、解决问题，从而达
《点到直线的距离》课件2-优质公开课-人教B版必修2精品
3 1 2 3 0
2 2
5 3
所以，点P0到直线 l 的距离为： x 2 5 d ( 1) l:3x=2 3 3
典型例题
的面积．
思考：还有其他解法吗？
例2 已知点A 1， 3 ，B 3， 1 ，C －1， 0 ，求ABC
y 3 x 1 解: AB 边所在直线的方程为： ， 1 3 3 1 y 即：x+y-4=0
4
点C（-1,0）到x+y-4=0的距离
h
1 0 4 1 1
2 2
5 2
.
C
3 2 2 h 1 1 2
A
2
B
3
-1 O
x
因此，S A B C
1 2 2 2
5 2
5 .
练习
1.求坐标原点到下列直线的距离： (1) 3x+2y-26=0; ( 2) x= y 2.求下列点到直线的距离：
（2）O（0，0），
（3）P3（2，3），
l2 ：2x＋3y－6＝0；
l3 ：2x＋3y－6＝0；
求P(x0,y0)到直线l :Ax+By+C=0的距离. y R (x0,m) 设S(n,y0)，R(x0,m)
|PS|=|X0-n|, |PR|=|y0-m| 因为，S,R均在l上 所以,An+By0+C=0, Ax0+Bm+C=0
|P 1P 2 |
( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
两点间的距离公式中特别的情况： (1) 若直线P1P2 与x轴平行或重合，即y1=y2 时 |P1P2|=|x2-x1| (2) 若直线P1P2与y轴平行或重合，即x1=x2 时 | P1P2 |=|y2-y1|
学年 高中数学 人教B版必修2第二章 点到直线距离课件
结合、转化的数学思想，培养研究、探索的能力.
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.4
1．点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝
本
|Ax0＋By0＋C|
课 时
A2＋B2 .
栏 目
2．设直线 l1 为 Ax＋By＋C1＝0，直线 l2 为 Ax＋By＋C2＝0(A，
开 关
|C1－C2| B 不同时为 0)，则两直线间的距离 d＝ A2＋B2 .
垂线段的长．
本 问题 2 能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，
课
时 如何转化？
栏
目 答 能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是
开 关
两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已
知点，求这点到另一条直线的距离即可．
问题 3 如何取点，可使计算简单？
答 取直线与坐标轴的交点，可使计算简单．
时 栏 目 开 关
2.2.4
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.4
问题 3 你能说出求点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 距
离的一个解题思路吗？
答 由 PQ⊥l，以及直线 l 的斜率为－AB，可得 l 的垂线
本 课
PQ 的斜率为BA，
时 栏
因此，垂线 PQ 的方程可求出．
目 开
解垂线 PQ 与直线 l 的方程组成的方程组，
利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为
本 课
一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．
时 栏
2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图
目 开
形，数形结合，会使问题更加清晰．
关 3．已知两平行直线间的距离，即可利用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2求
人教版B版高中数学必修2：2.2.4 点到直线的距离
两边同减 Ax0+By0,得
A(x1-x0)+B(y1-y0)= -（Ax0+By0+C） ② ①2+②2 得
(A2+B2)(x1-x0)2+(A2+B2)(y1-y0)2=（Ax0+By0+C）2 即(A2+B2)d2=（Ax0+By0+C）2
所以
d=|Ax
0 +B y 0 +C | A 2 +B 2
sin∠PMQ=
PQ PM
=
OF FE
,即 = PQ Ax 0+B y 0+C
|BC |
C ∙ A 2+B 2
A
AB
所以 PQ
=
A A 2 +B 2
×
Ax 0+By0+C A
=
|Ax 0+By0+C| A 2 +B 2
所以点（x0，y0）到直线 Ax+By+C=0 的距离为
d=|������������������+������������������+������|
d=|������������������+������������������+������|
������������+������������
点 P（x0，y0）到直线 l:Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)的距离公式：
d=|������������������+������������������+������|
������������+������������
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M >x
问题： ∠ MPQ与倾斜角α有什么关系呢？
y P
y
P
2Q M
o
α1
x
Q
M
α
1
o
x
∠ MPQ= α
∠ MPQ=180 ° －α
返回
公式说明
| PQ | | Ax0 By0 C | A2 B2
（1）分子是将P点坐标代入直线方程左端的绝对值 注意:直线方程形式为一般式,否则先整理成一般式； （2）分母是直线方程中x、y的系数平方和的算术根;
（5）已知点(a,2)(a 0)到直线 l : x y 3 0
a 的距离为1，则 等于（ C ）
A. 2 B. 2 C. 2 1 D. 2 1
例2:求两条平行直线Ax+By+ C1=0与Ax+By+ C2 =0的
距离.
解：在直线Ax+By+ C1=0上任取一点，如P(x0,y0)
具体分析
∠ MPQ= α (00 < α<900) 或 ∠ MPQ=180 °-α (900 < α<1800 ）
在Rt∆MQP中，
|PQ|=|PM|cos∠MPQ
o
| Ax0 By0 C | | B |
|B|
A2 B2
| Ax0 By0 C | A2 B2
P Q
（3）公式对A=0或B=0仍然成立.
例1
（1）P（—1，2）到直线2x+y-10=0的距离是__2__5__ （2）P（—1，1）到直线y=2x-2的距离是____5_____ （3）P（2，—3）到直线x+4= 0的距离是____6_____ （4）P（—2，3）到直线y= —2的距离是____5______
23 10
（3）求平行直线2x- a 2y=0和2x- a 2y- a=0的距离及
距离的最大值（a 0）.
a
d
(a 0)
4 a4
1 dmax 2
小结
• 1、理解并掌握点到直线的距离公式的推导及应用:
| PQ | | Ax0 Byቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ C | A2 B2
2 、能够推导两平行线间的距离公式.
作业：P54 习题7.3第12. 13. 16.
(1)(函数思想)点到直线的距离是 连接点与直线上任意点距离中 的最小值. (2)试用向量的知识推导点到 直线的距离公式.
y
y
P Q
P Q
o M
>x o
M
>x o
P Q
M >x
y N (x1,y0) P(x0,y0)
Q O
M (x0,y2) x
L:Ax+By+C=0
由SMPN
1 2
PM
PN
1 2
PQ
MN
易得 | PQ | | Ax 0 By 0 C |
A2 B2
y
当PM//y轴时,注意到: 角∠MPQ与直线L的倾斜角有关.
则两平行线的距离就是点P(x0,y0)
到直线Ax+By+ C 2 =0 的距离.
故所求距离d=
Ax0 By0 C2 A2 B2
C1 C2 C1 C2
A2 B2
A2 B2
练习
（1）求平行直线3x-4y+8=0和3x-4y-7=0的距离.
3
（2）求平行直线3x-4y+8=0和6x-8y-7=0的距离.
什么是点到直线的距离？
点到直线的距离是指:
过该点(如图所示点P)作直线(图中L)的垂线， 点P与垂足Q之间的线段│PQ│长度.
P
Q
L
思路一：
问题:已知点P（x。，y。）和直线L：Ax+By+C=0(A•B≠0),
P不在直线L上，试求P点到直线L的距离.
y P
L
.Q
o
x
思路二：构造直角三角形。
y
问题： ∠ MPQ与倾斜角α有什么关系呢？
y P
y
P
2Q M
o
α1
x
Q
M
α
1
o
x
∠ MPQ= α
∠ MPQ=180 ° －α
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公式说明
| PQ | | Ax0 By0 C | A2 B2
（1）分子是将P点坐标代入直线方程左端的绝对值 注意:直线方程形式为一般式,否则先整理成一般式； （2）分母是直线方程中x、y的系数平方和的算术根;
（5）已知点(a,2)(a 0)到直线 l : x y 3 0
a 的距离为1，则 等于（ C ）
A. 2 B. 2 C. 2 1 D. 2 1
例2:求两条平行直线Ax+By+ C1=0与Ax+By+ C2 =0的
距离.
解：在直线Ax+By+ C1=0上任取一点，如P(x0,y0)
具体分析
∠ MPQ= α (00 < α<900) 或 ∠ MPQ=180 °-α (900 < α<1800 ）
在Rt∆MQP中，
|PQ|=|PM|cos∠MPQ
o
| Ax0 By0 C | | B |
|B|
A2 B2
| Ax0 By0 C | A2 B2
P Q
（3）公式对A=0或B=0仍然成立.
例1
（1）P（—1，2）到直线2x+y-10=0的距离是__2__5__ （2）P（—1，1）到直线y=2x-2的距离是____5_____ （3）P（2，—3）到直线x+4= 0的距离是____6_____ （4）P（—2，3）到直线y= —2的距离是____5______
23 10
（3）求平行直线2x- a 2y=0和2x- a 2y- a=0的距离及
距离的最大值（a 0）.
a
d
(a 0)
4 a4
1 dmax 2
小结
• 1、理解并掌握点到直线的距离公式的推导及应用:
| PQ | | Ax0 Byቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ C | A2 B2
2 、能够推导两平行线间的距离公式.
作业：P54 习题7.3第12. 13. 16.
(1)(函数思想)点到直线的距离是 连接点与直线上任意点距离中 的最小值. (2)试用向量的知识推导点到 直线的距离公式.
y
y
P Q
P Q
o M
>x o
M
>x o
P Q
M >x
y N (x1,y0) P(x0,y0)
Q O
M (x0,y2) x
L:Ax+By+C=0
由SMPN
1 2
PM
PN
1 2
PQ
MN
易得 | PQ | | Ax 0 By 0 C |
A2 B2
y
当PM//y轴时,注意到: 角∠MPQ与直线L的倾斜角有关.
则两平行线的距离就是点P(x0,y0)
到直线Ax+By+ C 2 =0 的距离.
故所求距离d=
Ax0 By0 C2 A2 B2
C1 C2 C1 C2
A2 B2
A2 B2
练习
（1）求平行直线3x-4y+8=0和3x-4y-7=0的距离.
3
（2）求平行直线3x-4y+8=0和6x-8y-7=0的距离.
什么是点到直线的距离？
点到直线的距离是指:
过该点(如图所示点P)作直线(图中L)的垂线， 点P与垂足Q之间的线段│PQ│长度.
P
Q
L
思路一：
问题:已知点P（x。，y。）和直线L：Ax+By+C=0(A•B≠0),
P不在直线L上，试求P点到直线L的距离.
y P
L
.Q
o
x
思路二：构造直角三角形。
y