切线的判定
圆的切线的三种判定方法
圆的切线的三种判定方法
三种判定方法如下：1、圆心到直线的距离为半径，就是切线。
2、可以判定直线和圆的交点与圆心的连线和直线垂直也可以证明是切线。
3、也可以是判定直线和圆只有一个交点，也就是切线。
如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切。
这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
切线定理是指一直线若与一圆有交点，且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。
几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。
判定切线的方法
判定切线的方法首先，我们来看一种常见的判定切线的方法——导数法。
对于曲线上的一点P(x0, y0)，如果曲线在这一点处可导，那么曲线在这一点处的切线方程就可以用导数来表示。
具体的切线方程为y = f'(x0)(x x0) + y0，其中f'(x0)表示曲线在点(x0, y0)处的导数。
这个方法的优点是简单直观，只需要计算导数即可得到切线方程，但是也有局限性，即曲线在切点处必须可导。
其次，我们来介绍一种几何判定切线的方法——切线的判定定理。
对于曲线上的一点P(x0, y0)，如果曲线在这一点处存在切线，那么曲线在这一点处的切线方程可以表示为y y0 = k(x x0)，其中k为切线的斜率。
切线的判定定理指出，如果曲线在点(x0, y0)处的导数存在且不为0，那么曲线在这一点处存在唯一的切线。
这个方法的优点是几何直观，可以通过观察曲线的变化来判定切线的存在与否，但是也有局限性，即需要对曲线的性质有一定的了解。
最后，我们来介绍一种实用的判定切线的方法——切线的斜率法。
对于曲线上的一点P(x0, y0)，如果曲线在这一点处可导，那么切线的斜率可以用导数来表示，即k = f'(x0)，其中f'(x0)表示曲线在点(x0, y0)处的导数。
切线的斜率法的优点是简单易用，只需要计算导数即可得到切线的斜率，但是也有局限性，即需要曲线在切点处可导。
综上所述，判定切线的方法有多种多样，每种方法都有其适用的场合和局限性。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来判定切线，从而更好地理解和应用切线的概念。
希望本文介绍的内容能够对大家有所帮助，谢谢阅读！。
《切线的判定》课件
切线与过切点的半径所在的直 线相互垂直。
02
切线的判定方法
利用定义判定切线
总结词：直接验证
详细描述：根据切线的定义，如果直线与圆只有一个公共点，则该直线为圆的切 线。因此，可以通过验证直线与圆的交点数量来判断是否为切线。
利用切线的性质判定切线
总结词：半径垂直
详细描述：切线与过切点的半径垂直，因此，如果已知过切点的半径，可以通过验证直线与半径的夹角是否为直角来判断是 否为切线。
切线判定定理的变种
切线判定定理的变种
除了标准的切线判定定理，还存在一些变种，如利用切线的 性质来判断是否为切线，或者利用已知点和切线的性质来判 断未知点是否在曲线上。
切线判定定理的应用
切线判定定理在几何证明题中有着广泛的应用，如证明某直 线为圆的切线，或者判断某点是否在曲线上。这些应用都需 要熟练掌握切线判定定理及其变种。
04
切线判定定理的证明
定理的证明过程
第一步
根据题目已知条件，画 出图形，标出已知点和
未知点。
第二步
根据切线的定义，连接 已知点和未知点，并作
出过这两点的割线。
第三步
根据切线和割线的性质 ，证明割线与圆只有一 个交点，即证明割线是
圆的切线。
第四步
根据切线的判定定理， 如果一条割线满足上述 性质，则这条割线是圆
切线判定定理在其他领域的应用
物理学中的应用
在物理学中，切线判定定理可以应用于研究曲线运动和力的分析。例如，在分析物体在曲线轨道上的 运动时，可以利用切线判定定理来判断物体的运动轨迹是否与轨道相切。
工程学中的应用
在工程学中，切线判定定理可以应用于机械设计和流体力学等领域。例如，在机械设计中，可以利用 切线判定定理来判断曲轴是否与轴承相切，从而避免轴承的损坏。在流体力学中，可以利用切线判定 定理来判断流体是否沿着流线流动。
切线的判定
复习提问：
1、直线与圆有几种位置关系？ 三种：直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离.
2、怎样判定直线和圆的位置关系？
（1）直线和圆的交点个数；（2）
圆心到直线的距离。
教学目标
1、理解并掌握判定直线与圆的位置关系的 两种方法. 2、理解切线的判定定理并会用它解决问题.
思考:
经过半径OA的 外端点A作直线l⊥OA, 则圆心O到直线l的距离 OA 直线L和 是多少?______, ⊙O有什么位置关系?
O
切线的性质： A 圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言： ∵ ⊙O与直线l相切与点A ∴OA⊥ l
l
一、判定直线与圆相切有几种方法？
（1）由______________ 直线与圆的公共点 __的个数来判断；
（2）由 圆心到直线的距离距d与半径r 的数量关系来判断。
_
（3）切线的判定定理
经过半径的外端点并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.
E M G A F O B
判断： (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(1)过半径的外端点的直线是圆的切线（ ×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的 切线（×）
O l r A O r l O r l
A
A
判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点； •②圆心到直线的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即 经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线.
D
A E O C B
点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O.
练一练
2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O， OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O. 求证：AB是⊙O的切线.
切线的性质和判定
O l A
判断： (1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的 切线（×）
O l r A O r l O r l
过点A作直线l⊥OA。思考： （1） 圆心O到直线l的距离和 圆的半径有什么数量关系?
（2） 二者位置有什么关系？ （3） 由此你发现了什么？
O
A
l
(1)直线l经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直于半径0A．
O l A
则:直线l与⊙O相切
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线。
A
A
判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种：
•①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线.
课本３８页 做一做 例３ 课后题
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 O A C
Hale Waihona Puke 分析：由于AB过⊙O上的点C，
所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。
B
例2 如图，BE平分为∠AＢC，Ｏ是ＢＥ上任 意一点，圆Ｏ与ＢＡ相切于点Ｄ，ＢＣ与
圆Ｏ相切吗？为什么？
D B
Ａ
O
Ｅ
C
Ｆ
例1与例2的证法有何不同?
O A C B D A O B
E
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
切线的判定
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一．
切线必须同时满足两条：①经过半径
1、判断： (1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（ ×） (3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
(4)过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆 的切线。
O l r A O r l A O r A l O r
这节课我们继续探索新的判断直线和圆相切的方法。
O
l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一
种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线
的判定方法。
商城思源实验学校 杨成超
观察下图，在⊙O上任意取一点A，当直线l⊥OA ，思
考以下问题：
（1）直线l经过半径OA的哪里？ 圆心 O 到直线 l 的距离和圆的半径有 什么数量关系 ? 所以你发现二者位
l
A
判定直线与圆相切有哪几种方法？
切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点；
•②圆心到直线的距离等于该圆的半径；
•③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是
圆的切线.
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。 A O C
（3） 由此你发现了什么？
O
A
l
O (1)直线l经过半径OA的外端点A（OA=r）； l A (2)直线l垂直于半径0A．
则:直线l与⊙O相切
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线。
(1)直线l经过半径OA的外端点A（OA=r）；
切线的判定定理
切线的判定定理切线判定有两种方法，分属于几个类型。
切线的判定方法1：明确切点时，连接圆心和切点，再证垂直．题型一：已知角平分线，证切线的方法。
例：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE=√3cm，AC=2√13cm，求DC的长（结果保留根号）．方法指导：∵AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD∵AD⊥DC ∴OC⊥CD ∴DC是⊙O的切线题型二：利用圆的半径相等和互余定理，证切线。
例：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长．方法指导：连接OD。
∵OA＝OD ∴∠A＝∠ADO ∵∠CBD=∠A ∴∠ADO＝∠CBD ∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB＝90°∴∠ADO+∠CBD＝90°∴BD与⊙O相切。
1．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O 的切线；（2）若OC/AC=2/3，且OC=4，求PA的长和tanD的值．2．如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=1/2，AD=3，求直径AB的长．题型三：已知垂径定理，证切线的方法。
例：已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线．方法指导：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CE=DE∴AB⊥CD∵BF∥CD ∴AB⊥BF ∴BF是⊙O的切线．题型四：已知直角三角形斜边的中线，证切线的方法。
切线的判定与性质
B，两切线相交于点P,若∠P=420，求
∠ACB的度数。
A
A
mO
C
C
m
P
O
C
P
B
B
‘
切线的判定与性质
1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
注：已知切线、切点，
则连接半径，应用切线
的性质定理得到垂直关
系，从而应用勾股定理
计算。
切线的判定与性质
B OA P
2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不 同．解题时，灵活选切用线的其判定中与性质之一．
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线。
O
对定理的理解：
l A
切线必须同时满足两条：①经过半径外
端；②垂直于这条半径．
切线的判定与性质
直线与圆的 位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数 公共点名称
直线名称 圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个 交点
割线
Or d
l A
1个 切点
切线
d<r d=r 切线的判定与性质
Or d
l
没有
d> r
图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？
方法1：直线与圆有唯一公共点 O
方法2：直线到圆心的距离等于半径
l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种
方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判
定方法。
切线的判定与性质
请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过 点A作直线l⊥OA。思考：
切线的判定
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE 平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上， DE⊥EB． 求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
F
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE 平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上， DE⊥EB． 求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
F
谈谈今天的收获
随时清点知识是我们胜 利的法宝噢
闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同?
D O A
E A C B C O B
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
●
A B
O ┐
l
精彩源于发现 请你总结一下：圆的 切线的判定有几种方 法？
知识清单： 如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； 直线与圆相切) (3)过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的 切线； A 、经过圆上的一点； B垂直过该点于半径；
O r
d A
l
用切线的判定定 理来判定
圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径
的直线是圆的切线。
(2)垂直于该点的半 条件：(1)经过圆上的一点； 径；
几 何 符 号 表 达
∵l 经过⊙O上的点A且l⊥OA， ∴直线l是⊙O的切线
●
A
O ┐
l
圆的切线判定定理： 已知，如图，直线l 与⊙O交于 点A,且直线l⊥OA, 求证：直线l与是⊙O的切线
切线的判定定理
切线的判定定理
切线的判定方法有三种：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的主要性质：
(1)切线和圆只有一个公共点。
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径。
(3)切线垂直于经过切点的半径。
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点。
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
(6)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线的判定与性质课件
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作 圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. （难点）
切线的判定与性质
1
导入新课
情境引入
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是 否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线的判定与性质
19
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，C
O
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
则PA与☉O的位置关系是相切 .
A
D C
P
O
PA O
B
第2题
第3题
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，
则∠ADP的度数为（ C ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
切线的判定与性质
23
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
切线的判定与性质
O
C
B
8
例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点， ⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
切线的判定和性质
设圆的半径为r， 的距离为d， 设圆的半径为 ，圆心到直线 l 的距离为 ，则： 直线 l 和⊙O相交 相交 直线 l 和⊙O相切 相切 直线 l 和⊙O相离 相离
⇔ ⇔ ⇔
d<r d=r d>r
O
d
r
l
相切
直线
叫做⊙ 的 l 叫做⊙O的切线 个公共点， 直线 l 和⊙O有1个公共点，这个点叫切点 有 个公共点 这个点叫切点
O P
∴ AP = OP 2 − OA2 = 10 2 − 6 2 = 8cm
例4：如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C， 连接BC，若∠A=40°，求∠C的度数。 解: 连接OB 连接OB ∵AB是⊙O的切线，B是切点 AB是 的切线， ∴ OB⊥AB OB⊥
即 ∠OBA=90° OBA=90°
几何语言表达： 几何语言表达：
∵
l
是⊙O的切线，A为切点 的切线，来自∴ 半径OA ⊥ 直线l
例3：如图，PA是⊙O的切线，A为切点，OA=6cm,OP=10cm, 求AP的长度。
A
解: ∵PA是⊙O的切线 PA是 且A为切点 ∴ OA⊥AP OA⊥ ∴ ∠OAP=90° OAP=90°
在RT⊿OAP中，OA=6cm，OP=10cm RT⊿OAP中 OA=6cm，
A O
C
B
练习一：如图，A是⊙O外一点，B是⊙O上一点，AO的延 长线交⊙O于点C，连接BC，∠C=20°，∠A=50° 求证：直线AB是⊙O的切线 连接OB 证: 连接OB ∵OC=OB OBC=20° ∴ ∠C= ∠OBC=20° ∴ ∠BOA=40° BOA=40°
提示：连接OB 提示：连接OB ∵ ∠A=50° A=50° ∴∠OBA=90° OB⊥ ∴∠OBA=90° 即OB⊥AB
切线的判定例题解
圆-切线的判断一、知识回首、切线的判断和性质1）、切线的判断定理:经过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD垂直于切线。
2、切线长定理（1）、切线长:在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2）、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线均分两条切线的夹角。
如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，因此有PD=PE，能够经过连结OP来证明。
二、典型例题例1：（2012·自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O 交于点C．1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O 的切线．剖析：（1）第一依据切线的性质判断∠BAP=90°；而后在直角三角形ABP中利用勾股定理求解。
2）连结OC，OD、AC建立全等三角形△OAD≌△OCD，而后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．解答：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵AB=2，∠P=30°（30°所对的边是斜边的一半）∴BP=41/3（2）证明：如图，连结OC，OD、AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）∴∠ACP=90°又∵D为AP的中点AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）在△OAD和△OCD中{OA=OC{OD=OD(公共边){AD=CD∴△OAD≌△OCD（SSS）∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）又∵AP是⊙O的切线，A是切点AB⊥AP∴∠OAD=90°∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线例2：（2012·济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延伸线交于点P，连结PC、BC．1）猜想：线段OD与BC有何数目和地点关系，并证明你的结论．2）求证：PC是⊙O的切线．剖析：（1）依据垂径定理能够获得D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，依据三角形的中位线定理能够获得OD∥BC，CD=1/2BC；2）连结OC，设OP与⊙O交于点E，能够证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理能够获得：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可等证．解答：（1）猜想：OD∥BC，CD=1/2BC．证明：∵OD⊥AC，∴AD=DCAB是⊙O的直径，OA=OBOD 是△ABC的中位线，OD∥BC，OD=1/2BC2）证明：连结OC，设OP与⊙O交于点EOD⊥AC，OD经过圆心O弧AE=弧CE，即∠AOE=∠COE在△OAP和△OCP中∵OA=OC，OP=OP∴△OAP≌△OCP∴∠OCP=∠OAP PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线2/3例3：（2011·湛江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．剖析：（1）连结OD，由∠A=∠ADO，从而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD；（2）连结DE，由AE是直径，获得∠ADE=90°，而后利用已知条件能够证明DE∥BC，从而获得△ADE∽△ACB，接着利用相像三角形的性质获得AD：AC=DE：BC，又D是AC中点，由此能够求出DE的长度，而AD：AE=4：5，在直角△AD E中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解决问题．解答：（1）连结ODOA=OD∴∠A=∠ADO又∵∠A+∠CDB=90°∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°∴BD⊥OD∴BD是⊙O切线（2）连结DE，（7分）∵AE是直径∴∠ADE=90°，（8分）又∵∠C=90°∴∠ADE=∠CDE∥BC∴△ADE∽△ACB，（9分）AD：AC=DE：BC又∵D是AC中点∴AD=1/2AC∴DE=1/2BC∵BC=6，∴DE=3（11分）AD：AE=4：5在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x∴x=1∴AE=5三、解题经验以上三个例题都不不过独自观察了切线的判断和性质，都参合得有平行线的判断和性质、平行线分线段成比率定理以及推论、勾股定理、相像三角形的判断和性质．解题的重点是找到思路，而后确立协助线，这类题一般都是证明题，顺藤摸瓜究竟。
切线的性质定理和判定定理
O A
O
A
A O
⑴半径
⑵外端
⑶垂直
证明一条直线为圆的切线时，必须 两个条件缺一不可：①过半径外端 ②垂直于这条半径。
尝试运用
1、如图，已知点B在⊙O 上。根据下列条件，能否判 定直线AB和⊙O相切？
⑴OB=7,AO=12,AB=6
B
O
A
⑵∠O=68.5°,∠A=21°30′
B
2、如图，AB是⊙O的直径，
αd ┓α
• 你能写出一个命题来表述这个事实吗?C
A
D
切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端点,并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线.
B
如图
∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A
点,且CD⊥OA,
●O
∴ CD是⊙O的切线.
C
A
D
切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据.
判断下图中的l 是否为⊙O的切线
A
D
Ｏ B
C
E
再证明这条垂线段的长等于半径。
切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.
在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线
切线的判定
直线何时变为切线
• 如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角 为∠α,当CD绕点A旋转时,
1.随着∠α的变化,点O到CD的距离
如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如
B
何变化?
2.当∠α等于多少度时,点O到CD 的距离等于半径?此时,直线CD与
●O
⊙O有什么位置关系?为什么？
AT=AB，∠ABT=45°。
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课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂
复习
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.什么叫相切？ 3.我们学习过哪些切线的判断方法？
思考:
在⊙O中,经过半径OA的
外端点A作直线L⊥OA,
则圆心O到直线L的距离 是多少?__O__A__,直线L和
.O
⊙O有什么位置关系?
___相__切____.
L
A 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
是圆的切线.
AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AC平分∠BAD，求证 ：CD与⊙O相切
D C
A
B OA
如图，AB是圆O的直径，AC垂直于l, BD垂直 于l, C，D为垂足，且AC+BD=AB.
求证：直线l于圆O相切。
B
分析：已知条件中未给出直线
O
l与圆的公共点，因此需要考
虑圆心到直线的距离是否等于 A
线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直， 证半径）
如图，ＡＢ是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB，求：AT是 ⊙O的切线
B
O
T
A
半径，从而想到添加辅助线，
OE垂直CD于E。
C
l
D
E
AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E 在BC上，求证：PE是⊙O的切线。
A P
OA
B
E
C
如图所示，AB为⊙O的直径，∠ABC=90°，过A作弦AD∥OC．求证 ：CD为⊙O的切线．
如图，A是⊙O外一点，连OA交⊙O于C，过⊙O上一点P作OA的垂 线交OA于F，交⊙O于E，连结PA，若∠FPC=∠CPA，求证：PA是 ⊙O的切线．
几何应用: ∵OA⊥L ∴L是⊙O的切线
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（× ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（× ） 3. 过 半 径 的 端 点 与 半 径 垂 直 的 直 线 是 圆 的 切×线 （
）
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
例1 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,
求证:直线AB是⊙O的切线.
证明: 连接OC
∵OA=OB, CA=CB
∴△OAB是等腰三角形,OC 是底边AB上的中线
∴OC⊥AB
∴AB是⊙O的切线
如图 7－8－13，以等腰ΔABC的腰AB为直径的⊙O交底边BC于 D ，DE丄AC于 E，求证：DE为⊙O的切线．
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点
的直线是圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直
线是圆的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外
端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆
心，OD为
D
B
半径作⊙O。
A
O
求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC于E。
E C
∵ AO平分∠BAC，
OD⊥AB
∴ OE＝OD
∵ OD是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线。
.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为 圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.
小结
例1与例2的证法有何不同?
O A
D
B
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为：作垂直,证半径。