高中数学必修四学案：2.3向量的坐标表示 Word版缺答案

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人教a版必修4学案：2.3.2—2.3.2平面向量的正交分解(含答案)

2.3.2—2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面

向量的坐标运算

自主学习

知识梳理

1．平面向量的坐标表示

(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝________，则__________叫做向量a 的坐标，__________叫做向量的坐标表示．

(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →

＝________，若A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，则AB →

＝______.

2．平面向量的坐标运算

(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝____________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝__________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

自主探究

已知直角坐标系内两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把向量AB →按向量a ＝(m ，n )平移至A ′B ′→

的位置．

求：(1)点A ′，B ′的坐标；

(2)向量A ′B ′→

【问题】2020学年高中数学233向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4

【关键字】问题

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算.(重点)

2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的笔直关系.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 两向量的数量积与两向量笔直的坐标表示

阅读教材P112“思考与讨论”以上内容，完成下列问题.

1.向量内积的坐标运算：

已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.

2.用向量的坐标表示两个向量笔直的条件：

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.

已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝( )

A.5

B.4

C.－2

D.－1

【解析】a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.

【答案】 D

教材整理2 向量的长度、距离和夹角公式

阅读教材P112～P113内容，完成下列问题.

1.向量的长度：

已知a＝(a1，a2)，则|a|＝.

2.两点间的距离：

如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.

3.两向量的夹角：

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉

＝.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度.( )

(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.( )

(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.( )

【解析】(1)×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°.

高中数学 2.3.4 平面向量的坐标表示学案(无答案)新人

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示

1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。

2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。

一、课前准备

（预习教材P98—P100）

复习：

⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB u u u r 的坐标为.

⑵若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则a b +=r r ，a b -=r r ，a λ=r

二、新课导学

※探索新知

探究：平面向量共线的坐标表示

问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？

若,a b r r （0b ≠r r ）共线，当且仅当存在实数λ，使。

问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==r r （0b ≠r r ），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？

2、设1122(,),(,)a x y b x y ==v v ，其中0b ≠r r ，则//a b v v 等价于______________________。

※典型例题

例1、已知()2,4-=，()6,b y =r ，且//a b r r ，求y .

变式：判断下列向量a v 与b v 是否共线

①(2,3) (3,4)a b ==v v

②8(2,3) (,4)3

a b ==v v

例2、向量(),12OA k =u u u r ，()4,5OB =u u u r ，()10,OC k =u u u r ，

当k 为何值时，,,A B C 三点共线.

变式：证明下列各组点共线：

（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --，、、

2022-2021学年高二数学人教B版必修4学案：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能依据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.

1.平面对量数量积的坐标表示

若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b

＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的长度

(1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.

(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →

|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式

设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b

|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22

[情境导学] 在平面直角坐标系中，平面对量可以用有序实数对来表示，两个平面对量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面对量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面对量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面对量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探究平面对量数量积的坐标表示. 探究点一平面对量数量积的坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示(一)

问题一：
在刚才我们总结的定理中，基底e1，e2 是不是唯一的呢？
问题一：
在刚才我们总结的定理中，基底e1，e2 是不是唯一的呢？
基底不共线也不唯一，任意两个不共线的向量均可作基底．
e1 a
们之间会有怎样的关
系呢？
e2
将三个向量的起点移到同一点：
M
e1 A a
C
O
e2 B N
平面向量基本定理：
观察如图三个不
共线向量e1 、a 、e2 , 它
e1 a
们之间会有怎样的关
系呢？
e2
将三个向量的起点移到同一点：
M
e1 A a
O
C 显然：a OM ON
e2 B N
归纳：
根据向量共线的条件, 存在唯一的一对
e1 a
们之间会有怎样的关
系呢？
e2
将三个向量的起点移到同一点：
e1 A a
C
O
e2 B
平面向量基本定理：
观察如图三个不
共线向量e1 、a 、e2 , 它
e1 a
们之间会有怎样的关
系呢？
e2
将三个向量的起点移到同一点：
M
e1 A a
C
O
e2 B
平面向量基本定理：

【人教A版】2020高中数学必修四导学案：第二章平面向量2.3.2-2.3.3平面向量的坐标运算_含答案

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.

知识点一平面向量的正交分解

思考如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底. 梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 知识点二平面向量的坐标表示

思考1 如图，向量i ，j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |＝4，以向量i ，j 为基底，如何表示向量a?

答案 a ＝23i ＋2j .

思考2 在平面直角坐标系内，给定点A 的坐标为A (1，1)，则A 点位置确定了吗？给定向量

a 的坐标为a ＝(1，1)，则向量a 的位置确定了吗？

答案对于A 点，若给定坐标为A (1，1)，则A 点位置确定.对于向量a ，给定a 的坐标为a ＝(1，1)，此时给出了a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置还与其起点有关.

思考3 设向量BC →＝(1，1)，O 为坐标原点，若将向量BC →平移到OA →，则OA →

的坐标是多少？A 点坐标是多少？

答案向量OA →的坐标为OA →

＝(1，1)，A 点坐标为A (1，1). 梳理 (1)平面向量的坐标

高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理教学案

§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理

3．1 & 3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理

[对应学生用书P22]

空间向量的标准正交分解与坐标表示

学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10 m，后向南15 m，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．

问题1：e1，e2，e3有什么关系？

提示：两两垂直．

问题2：假定每层楼高为3 m，请把面试地点用向量p表示．

提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.

标准正交基与向量坐标

(1)标准正交基：

在给定的空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．

(2)标准正交分解：

设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝x i＋y j＋z k，叫作a的标准正交分解．

(3)向量的坐标表示：

在a的标准正交分解中三元有序实数(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．

(4)向量坐标与投影：

①i，j，k为标准正交基，a＝x i＋y j＋z k，那么a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z.把x，y，z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影．

②向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．

③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的

投影.

空间向量基本定理

空间中任给三个向量a ，b ，c .

问题1：什么情况下，向量a ，b ，c 可以作为一个基底？提示：它们不共面时．

2019-2020学年高中数学人教A版必修4学案：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算

学习了本节后，可以知道向量有三种表示方法：

母表示法、坐标表示法．

向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实质是同

答案：(－2，－4)

，分别求出它们的坐标．

，B(x0，y0)，

，

＝2sin 45°＝ 2.又

(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．

跟踪训练1 如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →

＝(－1，

－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →

＝________.

解析：由题意知，OC →＝－OA →

＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的

对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)，同理OD →

＝(－1,1)．

答案：(1，－1) (1,1) (－1,1)

结合图形可知OC →＝－OA →

，由正方形的对称性可知B ，D 点坐标. 类型二平面向量的坐标运算

例2 (1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →

＝( )

A.(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)

(2)已知向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a ＋b ，a －b ，3a,2a ＋3b 的坐标．

【解析】 (1)方法一设C (x ，y )，则AC →

＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－4，y ＝－2，

从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 方法二 AB →

＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB →

新人教A版必修4高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示学案

高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案

新人教A 版必修4

【学习目标】

1、理解平面向量的坐标的概念；

2、掌握平面向量的坐标运算；

3、会根据向量的坐标,判断向量是否共线.

【重点难点】

教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解。

【学习内容】

平面向量的坐标运算

一、预习导航：预习时完成下列题目,试试你的身手.

(一)温故而知新：

1、平面向量基本定理：如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,

那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使

a = .

(1) 我们把向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的

一组基底； (2) 基底不惟一,关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ,2e 的条件下进行分解；

(4) 基底给定时,分解形式 . λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确

定的数量.

(二)阅读课本,完成下列题目

1)若11(,)a x y =22(,)b x y =,则a b += ,a b -= 语言叙述：

(2)若),(y x a = 和实数λ,则=a λ

(3) 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=

语言描述：

(三)试试你的自学能力

1、已知向量a ,b 的坐标,求b a +,b a -的坐标：

(1)、)4,2(-=a ,)2,5(=b

(2)、)3,4(=a ,)8,3(-=b

2、已知)2,3(=a ,)1,0(-=b

,求b a 42+-,b a 34+的坐标

2017_2018学年高中数学第二章平面向量2_3_3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4

2．3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？

(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？

[新知初探]

1．向量数量积及向量垂直的坐标表示

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)

(1)数量积a·b＝a1b1＋a2b2.

(2)若a，b为非零向量，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.

[点睛] 记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．

2．三个重要公式

(1)向量的长度公式：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝a21＋a22.

(2)两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x12＋y2－y12.

(3)向量的夹角公式：a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝

a1b1＋a2b2

a21＋a22b21＋b22

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )

(2)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.( )

(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( ) 答案：(1)×(2)×(3)×

2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )

A．23 B．7 C．－23 D．－7

答案：D

3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( )

预习课本P112～114，思考并完成以下问题

A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6}

答案：C

2020-2021学年数学人教A版必修4学案：2.3.1 平面向量基本定理

2．3平面向量的基本定理及坐标表示

2．3.1平面向量基本定理

[目标] 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理． 2.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义． 3.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．

[重点] 平面向量基本定理与向量夹角．

[难点] 平面向量基本定理的应用．

知识点一平面向量基本定理

[填一填]

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么

对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底．

[答一答]

1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？

提示：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．

2．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．

提示：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，

这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．

知识点二向量的夹角

[填一填]

(1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝

θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．

(2)向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°；当a与b同向时，夹角

θ＝0°；当a与b反向时，夹角θ＝180°.

(3)如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.

高中数学第二章平面向量的基本定理及坐标表示231平面向量基本定理学案无答案新人教A版

§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2．3.1 平面向量基本定理

学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问

题．

知识点一平面向量基本定理

eeeea能是两个不共线的确定向量，那么与思考1 如果在同一平面内的任一向量，，2121ee表示？依据是什么？，否用21答案能．依据是数乘向量和平行四边形法则．

eeaee表示？为什么？如果能否用，是共线向量，那么向量，2 思考2211ae共线时可以表示，否则不能表示．不一定，当与答案1ee是同一平面内的两个不共线向量，如果那么对于这一平，梳理 (1)平面向量基本定理：21aaee. λλ，使＋＝面内的任意向量λ，有且只有一对实数λ，211122ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．，基底：不共线的向量(2) 21知识点二两向量的夹角与垂直

思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？

答案存在夹角，不一样．

→→ABCABaBCbab的夹角是多少？，则向量＝，＝思考2 △与为正三角形，设→ABDABBDBDa，，

使＝＝答案如图，延长，则至点

ABCABCCBDab的夹角为120°.＝120°，故向量∵△与为等边三角形，∴∠＝60°，则∠→→abOAaOBbAOB＝θ(0°≤θ，已知两个非零向量梳理 (1)夹角：则∠和，作＝≤180°)，＝ab的夹角(如图所示)．叫做向量与

【高中数学必修四】2.3.4平面向量共线的坐标表示

a b a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0 .
y1 y2 2. 能不能写成 ? x1 x2
讲解范例
例1. 已知a (4, 2), b (6, y ), 且
a // b, 求y .
解： a// b , a 4,2, b 6, y 4 y 6 2 0
y 3

讲解范例
例2. 已知A(1, 1)，B(1, 3)，C(2, 5)，
a与b 共线 (b 0) 当且仅当 x1 y2 x2 y1 0时.
向量共线的坐标表示:
向量共线的两个等价条件
a b 或 a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0 .
向量共线的两个等价条件
a b 或 a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0 .
( x1, y1 ),( x2 , y2 )
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y

解：（2）
若 P1 P 2 PP2 ，同理可得， x1 2 x 2 y1 2 y 2 P , 3 3

P P1
解：（2）
P P1
y
P2 P1
y P
P2

2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案(含答案)

2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案（含答

案）

23.4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示学习目标

1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.

3.掌握三点共线的判断方法知识点平面向量共线的坐标表示1设ax1，y1，bx2，y2，其中b0，a，b共线，当且仅当存在实数，使ab.2如果用坐标表示，可写为x1，y1x2，y2，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，bb0共线注意向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为纵横交错积相减1若向量ax1，y1，bx2，y2，且ab，则x1y1x2y

2.提示当y1y20时不成立2若向量ax1，y1，bx2，y2，且

x1y1x2y20，则ab.3若向量ax1，y1，bx2，y2，且x1y2x2y10，则ab.4向量a1,2与向量b4,8共线题型一向量共线的判定例11下列各组向量中，共线的是Aa2,3，b4,6Ba2,3，b3,2Ca1，2，

b7,14Da3,2，b6，4考点平面向量共线的坐标表示题点向量共线的判定答案D解析A选项，2634240，a与b不平行；B选项，22334950，a与b不平行；C选项，11427280，a与b不平行；D 选项，342612120，ab，故选

D.2在下列向量组中，可以把向量a3,7表示出来的是

Ae10,1，e20，2Be11,5，e22，10Ce15,3，e22,1De17,8，e27，8考点平面向量共线的坐标表示题点向量共线的判定答案C解析平面内不共线的两个向量可以作基底，用它能表示此平面内的任何向量，因为A，B，D都是两个共线向量，而C不共线，故C可以把向量a3,7表示出来反思感悟向量共线的判定题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断，特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配跟踪训练1下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是Ae10,0，e21，2Be11,2，e25,7Ce13,5，e26,10De12，3，e212，34考点平面向量共线的坐标表示题点向量共线的判定与证明答案B解析A选项，e10，e1e2，不可以作为基底；B选项，1725170，e1与e2不共线，故可以作为基底；C选项，310560，e1e2，故不可以作为基底；D选项，2343120，e1e2，不可以作为基底故选

必修四2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

必修四第二章第3节2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

制作人：张楠任晓彤审核人：钱明华适用范围：高一使用日期：6.5-6.12

【教学目标】

1、要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示。

2、掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。

3、能用所学知识解决有关综合问题。【教学重难点】

1、重点：平面向量数量积的坐标表示。

2、难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用。【复习引入】

(1)a ∙ b

=______________

(2)a ⊥b ⇔ a ∙ b

=___________

(3)a

=_________

(4)cos

>=_____________ 【教学内容】基础知识:

已知a=(a 1,a 2),b =(b 1,b 2) 1、向量内积坐标运算：

则 a ∙ b

=_______________

2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：则a ⊥b ⇔ a ∙ b

=___________ 3、向量的长度：

（1）a

=_________

（2）A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB

=________________________________ 4、向量的夹角公式：

co s θ =|

|||b a b

a ⋅⋅ =_________________________

【例题典例】典型例一：

设a = (3， -1)，b = (1， -2)，

求（1）a·b （2）a 、b 间的夹角θ(3)a 长度（4）b 长度

变式训练一：

已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），求（1）a·b （2）a 、b 间的夹角θ(3)a 长度（4）b 长度

高中数学-第二章-平面向量-2.3-平面向量的基本定理及坐标表示-2.3.2-2.3.3-知识巧解学案-新人教A版必修4

2.3.2 平面向量的坐标表示及运算

2.3.3 平面向量共线的坐标表示

疱工巧解牛

知识•巧学

一、平面向量的正交分解

1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示.在解决实际问题时，往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量.

如图2-3-11，△ABC 中，D 、E 分别是边、的中点.

图2-3-11

求证：DE 2

1BC. 证明：先选定一组基底，设=a ，=b ，则=b -a .

又∵AD =

21AB =21a ，AE =21=2

1b ， ∴=-=21b 21 a =2

1 (b -a ). ∴=2，即△ABC 中，DE 21BC. 学法一得利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来，再根据两向量共线的条件，确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系.

2.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.

二、正交分解下向量的坐标

1.向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a .由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x ，y)，使得a =x i +y j .由于向量a 与有序实数对(x ，y)是一一对应的，因此，我们就把(x ，y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作a =(x ，y),其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a =(x ，y)叫做向量的坐标表示.